推荐-平面应变状态应变分析 精品
2平面问题的基本理论(平面应力与应变,受力状态,圣维兰原理)
当面积 AB 无限减小而趋于 P 点时，平面 AB 上的 应力就是上述斜面上的应力。 现设斜面上的全应力p可以分解为沿坐标向的分 量（ px ， py ），或沿法向和切向的分量（ σn ， τn），如图 2-4b所示。
用n代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：
cosn, x l， cosn, y m
c
0
，则有
F 0， F Mc 0
x
y
0
yx dy dy dx dx xy dy 1 ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 2 2 y 2 2
力矩方程化简后得到：
xy
1 xy 1 yx dx yx dy 2 x 2 y
x yx fx 0 y x xy y f 0 y x y
4.平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连 续性和小变形假定。 5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微 分方程相同。 6.由于τxy =τyx，以后只作为一个独立未知函数 处理。因此，2个独立的平衡微分方程（2-2） 中含有 3个应力未知函数。
由式（2-4）及（2-5）就可以求得经过P点的任意 斜面上的正应力 n 及切应力 n 。
3.然后，再求出主应力和应力主向
设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜 面上的正应力称为在P点的一个主应力，而该斜面 称为在P点的一个应力主平面，该斜面的法线方向 称为在P点的一个应力主向。
（2）只在侧边上受有平行于板面且不沿厚度变化 的面力和体力，且不沿厚度变化，体力 f x , f y , o 和面 力 f x , f y , o ，只是x，y的函数，并构成平衡力系；
弹性力学-平面应力-平面应变问题
平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
THANKS
感谢观看
04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。
应变分析
然满足连续方程。如果先用其他方法求得应变分量，则只有当他们满足应变 连续方程，才能用几何方程求得正确的位移分量。
设 x a x2 y2 ; y axy; xy 2bxy; a，b常数，
应变分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 量 第六节 第七节
位移与应变 质点的应变状态和应变张量 小应变几何方程、应变连续方程 塑性变形体积不变条件 速度分量和速度场、位移增量和应变增
对数应变 平面应变问题和轴对称问题
1位移与应变
1）位移与其分量
变形体内质点M（x，y，z）变形后移动到M1，我们把它们在 变形前后的直线距离称为位移，如图 a中的MM1，位移是矢量。
全量速度分量
u u t
v v t
w w t
ui
ui t
位移速度既是坐标的连续函数，又是时间的函数，故
ui ui x, y, z,t
上式表示变形体内运动质点的速度场。若已知变形体内各 点的速度分量，则物体中的速度场可以确定。
物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生的位移改变
rz dz1 z
因此变形后的单元体体积为
单元体体积的变化（单位体积变化率）
在塑性成形时，由于物体内部质点连续且致密，可以认为体积 不发生变化，因此
上式称为体积不变条件。它表明，塑性变形时三个正应变之和 等于零，说明三个正应变分量不可能全部同号。 体积不变条件用于塑性成形过程的坯料或工件半成品的形状和 尺寸计算。
ij
y
y z
地质构造之力学基础(应变分析)
§2 应变分析
（三） 岩石变形的阶段
有关岩石在应力作用下的变形行为的多数资料是通过岩石变形实验得来的, 岩石在 外力的作用下, 一般都会经历弹性变形、塑性变形、断裂变形等三个阶段。这三个阶段依 次发生, 但不是截然分开的, 而是彼此过度的。 1. 弹性变形:
(1) 弹性变形:岩石在外力作用下变形, 当外力解除后, 岩石又恢复到变形前的状态, 这种变形行为叫弹性变形
2.线应变:物体内某方向上单位长度的改变量叫线应变.
一杆件受纵向拉伸变形, 设杆件原长为l0, 拉伸变形后的长度为l, 那么, 杆件绝对
伸长为:
△l=l－l0 纵向线应变定义为: ε =(l－l0)/ l0 即 ε = △l / l0
实验证明, 杆件拉伸变形, 不但有纵向伸长变形, 同时还有横向缩短变形。设杆
韧性: 岩石在断裂前的 塑性变形量超过10%
§2 应变分析
（四） 剪裂角分析 在岩石变形实验中发现, 岩石受到挤压力的作用, 会在与挤压力方向成
一定交角的位置形成一对剪切破裂, 由于这一对剪切破裂是受同一作用力而形成 的, 构造地质学中称这一对剪切破裂为共轭剪切破裂。
当岩石发生共轭剪切破裂时, 包含最大主应力σ1象限的共轭剪切破裂 面中间的夹角称为共轭剪切破裂角（2θ）
最大主应力轴σ1作用方向与剪切破裂面的夹角称为 剪裂角（θ）.
§2 应变分析
二维应力状态的应力分析可知, 两组最大剪应力作用面与最大主应力轴σ1或最小主 应力轴的夹角均为45°, 二剪裂面之间的夹角为90°, 二剪裂面的交线是中间应力轴s2的作 用方向。
但从野外实地观察和室内岩石实验来看, 岩石内两组共轭剪裂面的交角常以锐角指 向最大主应力σ1方向, 即包含σ1的共轭剪切破裂角常常小于90°, 通常在60°左右, 而共轭 剪切破裂的剪裂角则小于45°, 也就是说, 两组共轭剪裂面并不沿理论分析的最大剪应力 作用面的方位发育, 这个现象可用库伦、莫尔强度理论来解释。
应变分析
应变增量强度（等效应变增量）
d i
2 3
d1 d 2 2 + d 2 d 3 2 + d 3 d1 2
2 3
d x d y
2+
d y d z
2+
d z d x
2+3 2
d
2 xy
+
d
2 yz
+
d
2 zx
六、对数应变
❖ 当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0 的杆，受力后 长为l ，截面积为A，当杆伸长dl 时，应变增量为：
z
1 2
zx
zx ＝ xz
1 2
xy
y
1 2
zy
1 2 1 2
xz yz
z
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
I1 1 + 2 + 3 I2 1 2 + 2 3 + 31
I3 1 2 3
➢ 一点的应变状态完全由应变张量确定
❖任一方向上的正应变： N (l, m, n)
v
B1 y + B2 xy +
1 2
B3
y
2
+
f2 ( x)
xy
v x
+ u y
B2 y +
A3 x
+
df1 ( y) dy
+
df2( x) dx
C1 + C2 x + C3 y
df2( x) dx
+
(
A3
C2 )x C1
df1 ( y) dy
( B2
应变分析PPT课件
yz
x
zx
y
2
y
zx
z
yz
x
zx
y
xy
z
2 z
xy
x
zx
y
xy
z
yz
x
2 x
yz
应 变
不同坐标平面内，应变分量之间应满足的关系：
分 在三维空间内三个切线应变分量一经确定，则线应变分量随之被确定。
析
材料科学与工程学院
塑
性
成
形
力
如果已知一点的位移分量，利用几何方程求得的应变分量
l0
l1
l2
ln1
应用微分的概念 ln dl ln ln
l l0
lo
应
变
——自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也
分
称真实应变。
析
材料科学与工程学院
塑 性
对数应变的优点：
成 形
1、表示变形的真实情况
力
学
将真实应变用相对应变表示，并按泰勒级数展开：
ln ln ln(1 ) 2 3 4
塑
性 §3.4 成 形 力 学
材料科学与工程学院
小应变几何方程(位移场和应变场之间的关系)
应 变 分 析
材料科学与工程学院
塑
性 §3.4 小应变几何方程(位移场和应变场之间的关系)
成
形 力
单元体在xoy坐标平面上的投影：变形前abcd,变形后为 a1b1c1d1
学 设ac=dx, ac∥ox轴，则 ab=dy, ab∥oy轴
力
位移速度：质点在单位时间内的位移。
学
位速度分量：位移速度在三个坐标轴上的投影称为位移速度分量，
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
应变状态
3.3 应变协调条件 相容方程
平面问题几何方程为
x
将
对y 的二阶导数和
对x 的二阶导数相加，得
3.4 平面应变状态分析
受力物件内某一点只存在三个应变分量，而且 都在同一个平面内，其余的应变分量为零。
、、
如xoy在 平面内，只有
而 态。
、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
、
三个分量，
称此种情况为平面应变状
3.4.1 斜向方向应变
但是对于同一点，其主应变与主应变方向是 确定不变的。本章主要分析平面应变状态。
几何方程描述了一点处的位移与应变间关系， 相容方程描述了变形协调时应变分量间应满足的 条件。
3.1 应变概念
线应变与切应变
a点在 方向的线应变或称为正应变
a点在 x-y 平面内的切应变或角应变
3.2 位移与应变的关系 几何方程
3.4.2 主应变及主应变方向
在平面应变状态中，通过一点一定存在两 个相互垂直的方向，在这两个方向上，线应变 为极值而切应变为零。 这样的极值线应变称为主应变，这个方向 称为主应变方向或应变主轴
主应变方向为
主应变为
最大切应变及其方向
3.4.3 应变圆
作图时以横坐标表示线应变，以纵坐标表示 切应变的二分之一
第3章 应 变 分 析
受力构件内各点处受应力作用，各点处就要发 生变形（约束处的点除外），可用单元体的变形来 描述。 线应变分量描述了单元体棱边长度的改变 切应变分量描述了单元体棱边夹角的改变。
对于空间问题，一点处共有6个应变分量。 通常情况下，构件内不同点处的应变是不相 同的；即便是同一点处，沿不同方向的应变分量 也是不相同的。
例3-1 构件内某点处于平面应变状态，从该点取出的单 元体及其变形如图3-4所示。要求：(1)用解析方法求出 主应变及主应变方向；(2)用应变圆求出最大切应变及 其方向。
应变花计算公式[指南]
![应变花计算公式[指南]](https://img.taocdn.com/s3/m/cf67bd7d26d3240c844769eae009581b6bd9bd7a.png)
1. 概述（1）平面应变状态：即受力构件表面一点处的应变情况。
（2）测试原理：一般最大应变往往发生在受力构件的表面。
通常用应变仪测出受力构件表面一点处三个方向的线应变值，然后确定该点处的最大线应变和最小应变及其方程。
2. 公式推导：（1）选定坐标系为xoy，如图示（2）设0点处，为已知。
规定伸长为正，切应变以xoy直角增大为正。
（3）求任意方向，方向（规定逆时针方向为正）的线应变和切应变（即直角的改变量）。
（4）叠加法：求方向的线应变和切应变①由于而引起ds的长度改变 ,② 方向（即方向）的线应变③求的切应变即方向的直角改坐标轴偏转的角度以代替式（c）中的，求得坐标轴偏转角度：3. 结论（1）已知可求得任意方向的（2）已知 ,求得（3）主应变和主应变方向比较上述公式，可见故: 4. 应变圆5. 应变的实际测量①用解析法或图解法求一点处的主应变时，首先必须已知，然而用应变仪直接测量时，可以测试，但不易测量。
所以，一般是先测出任选三个方向的线应变。
②然后利用一般公式，将代入得出：联解三式，求出,于是再求出主应变的方向与数值④由③ 式求出，当时与二、四相限的角度相对应。
6. 直角应变花（45°应变花）测量为了简化计算，三个应变选定三个特殊方向测得：，代入一般公式求得：故讨论：若与二、四相限的角度相对应。
见P257、7.21题6. 等角应变花测量一般公式：测定值：代入式（a）得：主应变方向:故:于是由主应变公式：,穿过二,四相限.见P258，7.22题Example 1. 用直角应变花测得一点的三个方向的线应变Find：主应变及其方向Solution：故过二、四相限。
Example2. 若已测得等角应变花三个方向的线试求主应变及其方向Solution：即:应力测量 (measurement of stress)测量物体由于外因或内在缺陷而变形时，在它内部任一单位截面积上内外两方的相互作用力。
应力是不能直接测量的，只能是先测出应变，然后按应力与应变的关系式计算出应力。
试比较平面应力和平面应变问题的异同点
试比较平面应力和平面应变问题的异同点下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!比较平面应力和平面应变问题的异同点在工程学和材料力学中，平面应力和平面应变问题是常见的分析对象。
弹性力学-平面应力-平面应变问题学习资料
平面应变问题
这时，可以把构件在纵向作为无限长看待。因此 ，任一横截面都可以视为对称面，其上各点就不 会产生沿z向的位移，而沿x、y方向的位移也与坐 标z无关。则有
u=u(x, y), v=v(x, y), w=0
显然，在这种条件下构件所有横截面上对应点（x 、y坐标相同）的应力、应变和位移是相同的。这 样，我们只需从构件中沿纵向截出单位厚度的薄 片进行分析，用以代替整个构件的研究 。
弹性力学-平面应力-平面应变问 题
回顾
弹性力学目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和材料物 理方程
研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz 的分析方法（针对任意 变形体）
dz
dy
dx
弹性体的基本假设
回顾
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在
各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的，
外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。
0
0
0
0
y
0
t
0
z
T
0
y x
0
z
y
z
0
x
3.物理方程：应力-应变的关系
由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状
态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
解释平面应力和平面应变状态
1. 脆性断裂：断裂前，材料未发生明显的宏观塑性变形的断裂，或指断裂应力低于材料屈服强度的断裂2. 包申格效应：是指金属材料经预先加载产生少量塑性变形（残余应力小于4％），而后再同向加载，规定残余伸长应力（屈服强度、弹性极限）增加，反向加载，规定残余伸长（屈服强度、弹性极限）应力降低的现象。
3. 应力状态软性系数：应力状态中最大切应力和最大正应力的比值4. 刚度：在弹性变形范围内，构件抵抗变形的能力。
5.热疲劳：由周期变化的热应力或热应变引起的材料破坏称为热疲劳。
6.蠕变：材料在长时间的恒温、恒载荷作用下缓慢地产生塑性变形的现象。
7.疲劳强度：在指定疲劳寿命下，材料能承受的上限循环应力。
8.断裂韧度：裂纹失稳扩展的临界状态所对应的应力场强度因子称为材料的断裂韧度9.技术磁化：铁磁材料在外加磁场的作用下所产生的磁化称为技术磁化。
10.允带：电子可以具有的能级所组成的能带称为允带。
1. 韧性：是指材料在断裂前吸收塑性变形功和断裂功的能力。
4.松弛稳定性：材料抵抗应力松弛的能力称为松弛稳定性。
7.低温脆性：材料随着温度下降，脆性增加，当其低于某一温度时，材料由韧性状态变为脆性状态，这种现象为低温脆性。
8.解理断裂：材料在拉应力的作用下原于间结合破坏，沿一定的结晶学平面(即所谓“解理面”)劈开的断裂过程。
6. 破损安全：构件内部即使存在裂纹也不导致断裂的情况。
7.平面应力：只在一个平面内存在应力的现象。
10. △K th ：疲劳裂纹扩展的门槛值，表征材料阻止疲劳裂纹开始扩展的能力1. 解释形变强化的概念，并阐述其工程意义。
答：材料进入塑性变形阶段后，随着变形量增大，形变应力不断提高的现象称为形变强化。
（2分）形变强化是金属材料最重要的性质之一，其工程意义在于：1）形变强化可使材料或零件具有抵抗偶然过载的能力，阻止塑性变形的继续发展，保证材料安全。
2）形变强化是工程上强化材料的重要手段，尤其对于不能进行热处理强化的材料，形变强化成为提高其强度的非常重要的手段。
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
弹性力学与材料科学、计算科学、生物学等学科的交叉融合，为解决 复杂工程问题提供了新的思路和方法。
数值模拟与计算
随着计算机技术的进步，数值模拟和计算在弹性力学领域的应用越来 越广泛，能够更精确地模拟和预测材料的力学行为。
多尺度分析
从微观到宏观的多尺度分析方法，能够更好地理解材料的微观结构和 宏观性能之间的关系。
它们简化了问题的复杂性，使得 弹性力学成为一种实用的工程工 具。
02
基本假设的局限性
03
限制条件的考虑
在某些情况下，这些假设可能不 成立，例如在处理非均匀、非各 项同性或大变形问题时。
在应用弹性力学时，必须考虑这 些限制条件，以确保结果的准确 性和可靠性。
06 弹性力学的发展趋势和未 来研究方向
弹性力学的发展趋势
非线性力学
随着工程结构的复杂性和非线性特征的增加，非线性力学的研究越来 越受到重视，为解决复杂工程问题提供了新的理论和方法。
未来研究方向
新材料和新结构的力学行为
智能材料的力学行为
研究新型材料和复杂结构的力学行为，探 索其性能优化和设计方法。
研究智能材料的响应机制和调控方法，探 索其在传感器、驱动器和自适应结构等领 域的应用。
生物医学中的弹性力学问题
研究生物组织的力学行为和生理功能，探 索其在生物医学工程和再生医学等领域的 应用。
环境与可持续发展的弹性力学问 题
研究环境因素对材料和结构的影响，探索 其在环保和可持续发展等领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
材料力学性能的测试
材料弹性模量的测定
通过实验测定材料的弹性模量，可以了解材料的力学性能，为工程设计和材料选择提供依据。
材料固体力学-塑性平面应变问题和极限分析
第六章 塑性平面应变问题和极限分析1. 设具有角形深切口的厚板，其滑移线场构造如图6.1(a)，试求此时该板所能承受的弯矩值。
图6.1(a)解：由于形状对称，滑移线场对称，故可只取右半部分进行分析。
厚板的下部C AO '∆是均匀应力区，在'AO 边上，0==n n τσ，k t 2±=σ，根据力矩M 的方向，应取负值，即4,,2πθσσ=-=-=k k t其应力状态和α线的方向如6.1（b ）所示。
由于厚板的上部ODB ∆也是均匀应力区，在OB 边上，0==n n τσ，k t 2±=σ，根据力矩M 的方向，应取正值，即γαα ββ4π 图6.1(c)图6.1(b)γπθπγππγθσσ-=-=-+===4,42)4(,,2k k t其应力状态和α线方向如图6.1（c ）所示。
正方形'OECE 是均匀应力区，根据对称性知道沿着垂直截面将只作用有拉应力q ，其数值及应力间断点C 的位置由下列平衡方程求得：⎪⎭⎪⎬⎫=---=--0)(210)(2212111h h k qh M h h k qh 由此得出Mkh kM q khM h h -==-212,由于CEDB 是同一根β线，故B BC C k k θσθσ22+=+)21()4(2)4(2γππγπσ-+=---+=k k k k C取OC 边上的单元体进行分析，如图6.1（d ）所示得：4,0,πθτσ-===n n qk q k t t n 2,2-==-σσσ)2(21)(21k q q t n -+=+=σσσk q k C -=-+=)21(γπσ图6.1（d ）Mkh kM k q -=-+=22)21(γπγπγπ24)22(2-+-+=kh M令2021kh M =则可得γπγπ24210-+-+=M M2. 设两边有对称角形深切口的厚板，角形深切口处的高度为h ，试求在极限状态时，该板所能承受的弯矩值。
弹性力学-平面应力-平面应变问题
对于平面应力问题，弹性矩阵为
D
E
1
对 1
称
1 2
0
0
1
2
对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式
中，以 E
1 2
代E，
1
代μ即可。
小结
小结
平面应变和平面应力两种平面问题的平衡微分方程、 几何方程和物理方程可写成以下统一形式：
平衡微分方程：
物理方程：
几何方程：
x x
xy y
X
0
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
uux,y vv(x,y) w0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x
u x
1x,
y,
y
v y
3x,
y,
xy yz
u y
v x
2x,
v w0 z y
y
z
w0, z
zx
u z
w x
0
不等于零的三个应变分量是εx、εy和γxy，而且应变仅发
yE 1yzx
得
x
1 E
1 x
y
y
1 E
1 y
x
xy
1 G
xy
21
E
xy
平面应变问题
应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有
x
E(1) (1)(12)
x
1
y
y
E(1) (1)(12)
1
x
y
xy
E 2(1
)
xy
E(1) (1)(12)
12 2(1)
在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问
平面应力和平面应变
变形后：
P1N1 的方向余弦
P1N1′ 的方向余弦
化简，得：
略去二阶小量；
同理，得：
PN 与 PN′变形后的夹角改变为：
代入，并利用：
并略去高阶小量，有
（12）
从中求出变形后两线段间的夹角
进一步求出
3. 斜方向应变公式的应用
3. 斜方向应变公式的应用
（1）
（2）
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
(2) 受力特征
外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。
(3) 应力特征
如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。
由于板面上不受力，有
因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。
可认为整个薄板的各点都有：
由剪应力互等定理，有
例6
例5
图示楔形体，试写出其边界条件。
上侧：
下侧：
图示构件，试写出其应力边界条件。
例6
上侧：
下侧：
（3）混合边界条件
(1)
物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。
(2)
物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：
图(a)：
—— 位移边界条件
—— 应力边界条件
图(b)：
小结：
—— 平面问题的应力边界条件
（1）斜面上的应力
表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力
τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。
§3.2.3 几何方程 刚体位移
建立：平面问题中应变与位移的关系
—— 几何方程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a xcos2a ysin2a xycosasina
a
x
y
2
x
y
2
cos2a
xy
2
sin2a
上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用 于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关
应力分析电测方法
构件表层 应力一般 情况(无表 面外力时)
要确定三 未知应力 ，需贴三 电阻应变
a
x
y
2
x
y
2
使左下直角增大之 为正
分 析 方 法
知 x , y xy 求 a
分析方法要点：叠加法，切线代圆弧
推导：
a
xdxcosa
dl
dx dl
cosa
a xcos2a
a
ydysina
dl
ysin2a
a
xydycosa
dl
xysin2a
2
结论：
a xcos2a
a ysin2a
a
xysin2a
2
a a a a
cos2a
xy
2
sin2a
A
x
2
y
x
2
y
cos2 A
xy
2
sin2 A
B
x
y
2
x
y
2
cos2 B
xy
2
sin2 B
C
x
y
2
x
2
y
cos2C
xy
2
sin2C
A ,B ,C x , y , xy x , y , xy
应变花
A
x
2
y
x
2
y
cos2
A
xy
2
sin2
A
B
x
2
y
§8-6 平面应变状态应变分析
任意方位的正应变 应力分析电测方法 应变花
任意方位的应变
平面应变状态特点
z xz yz 0
微体内各点的位移均平行于同一平面
平面应变状态任意方位应变
问题：已知应变 x , y与 xy，求 a 方位的正应变 a 规定： 方位角a 以 x 轴为始边，为正
x
2
y
cos2
B
xy
2
sin2
B
C
x
2
y
x
2
y
cos2C
xy
2
sin2C
三轴直角应变花
三轴等角应变花
A B C
0 45 90
x 0 y 90 xy 0 90 2 45
A 0 B 60 C 120
x 0
y
1 3
2 60
2120
0
xy
2 3ห้องสมุดไป่ตู้
60
120