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材料力学课件-第33讲 第八章 应力状态分析(3)
单位：MPa
30
E(40,30)
D(120,-30)
② 作三向应力圆
例 试作图a所示微体三向应力圆,计算微体的
解： ①作图b所示平面应力微体的应力圆
主应力与第一主应力方位。
单位：MPa
x
y
z
分析：垂直于z轴的平面是一个主平面
s
t
O
130
-30
③ 计算微体的 和主应力
单位：MPa
x
y
z来自百度文库
30
D(120,-30)
s
t
O
130
-30
D’(120,30)
直接测量得： （在xy平面）
§8－6 平面应变状态应变分析
平面应力与平面应变状态的工程实例
拦水坝：平面应变状态
q
q
薄板：平面应力状态
谢谢
B点应力集中
§8－5 复杂应力状态的最大应力
实际工程构件和结构通常处于复杂应力状态
微体A
Ft
分析：截取微元体 三向应力状态。
在切向力（摩擦力）作用下的应力状态 ？
例：火车通过时，导轨面一点的应力分析
一. 三向应力圆
（1）三组特殊的平面应力对应于三个应力圆：平行 平面，由 , 作应力圆；由 , 和 , 分别作应力圆
i)图解法 由图量得(单位：MPa）
应变状态分析
当电桥平衡时， ∆U 即：
=0
R1 R4 − R2 R3 = 0
实际测量时： ( R1 + ∆R1 )( R4 + ∆R4 ) − ( R2 + ∆R2 )( R3 + ∆R3 ) ∆U = U ( R1 + ∆R1 + R2 + ∆R2 )( R3 + ∆R3 + R4 + ∆R4 ) 略去高阶微量：
I2
R4
U AD =
D
U
R1U R3U ∆U = U AB − U AD = − R1 + R2 R3 + R4 R1 R4 − R2 R3 = U ( R1 + R2 )( R3 + R4 )
∆U = U AB − U AD =
R1U RU − 3 R1 + R2 R3 + R4 R1 R4 − R2 R3 = U ( R1 + R2 )( R3 + R4 )
∂u′ ∂u ′ ∂x ∂u ′ ∂y ε x′ = = + ∂x ∂x ∂x′ ∂y ∂y′ ∂v′ ∂u ′ γ x′y′ = −( + ) ∂x′ ∂y′
求导整理后：
ε x′ = ε x cos 2 α + ε y sin 2 α − γ xy sin α cos α γ x′y′ = 2(ε x − ε y ) sin α cos α + γ xy (cos 2 α − sin 2 α )
材料力学8-3-平面应力状态分析-课件
x}$ 和 $varepsilon_{y} = frac{partial v}{partial y}$。
主应力与主方向
主应力定义
在平面应力状态下，三个主应力分别为 $sigma_{1}$、 $sigma_{2}$ 和 $sigma_{3}$，其中 $sigma_{1} geq sigma_{2} geq sigma_{3}$。
估具有重要意义。
通过平面应力状态分析，工程师可以了 解物体在不同受力情况下的应力分布， 从而预测其变形和破坏行为，为优化设
计提供依据。
在实际工程中，许多结构和设备的受力 情况都可以简化为平面应力状态进行分 析，因此掌握平面应力状态分析的方法
对于工程师来说是必备的技能。
平面应力状态分析的应用领域
土木工程
应用
应力张量和矩阵是材料力学中描述应力和应变状态的重要工具，广泛 应用于结构分析和设计等领域。
03
平面应力状态的分类与表示
平面应力状态的分类
平面应力状态
在受力物体中，凡应力分量都处于同一平面内的应 力状态。
平面应变状态
在受力物体中，凡应变分量都处于同一平面内的应 变状态。
平面应力和平面应变的主要区别
目前对平面应力状态的研究已经比较深入，但对复杂应力状态的研究还有待加强。未来将进一步研究三维应力状态、 非均匀温度场下的应力状态等问题。
材料力学：第八章-应力应变状态分析
§3 应力圆
应力圆 应力圆的绘制与应用
应力圆
移项
两等式两边 平方后相加
圆心(
应力圆方程
应力圆
), 半径
利用直径端点确定应力圆方程 应力圆方程
圆心(
), 半径
x截面和y截面的应力对应应力圆上D, E两点, D, E连线的中点为应力圆圆心, D, E两点距离
即应力圆直径。
x截面: Ds x ,t x , y截面:E s y ,t y
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定：
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
本章主要研究内容
平面应力\应变状态 应力圆 极值应力与主应力 复杂应力状态的最大应力 平面应变状态应变分析 广义胡克定律
回顾
斜截面应力分析
问题：建立斜截面应力sa , ta 与sx , tx , sy , ty 的关系
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定：
例题
例 3-1 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： 1. 画应力圆
应变状态分析
第三章应变状态分析
一. 内容介绍
本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。
对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。
应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。
二. 重点
1.应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；
2.几何方程与刚体转动；
3.应变状态分析和应变分量转轴公式；
4.应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；
5.变形协调方程与位移边界条件；
知识点
位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式
主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明
多连域的变形协调变形与应变分量切应变几何方程与应变张量
位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义
变形协调方程的数学意义
§3.1 位移分量与应变分量几何方程
学习思路:
由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。
应变分析
上述应变场什么情况下成立？？
塑性变形体积不变条件
设单元体的初始边长为dx、dy、dz ，则变形前的体积为
小变形时，可以认为只有线应变引起边长和体积的变化，而
切应变所引起的边长和体积的变化是高阶微量，可以忽略不
计。X方向线应变为
xຫໍສະໝຸດ Baidu
rx
dx dx
所以
rx dx1 x
ry dy 1 y
形后保持连续，否则就会出现“撕裂”或“重叠”。 （２）如果已知一点的位移分量，利用几何方程球得的应变分量εij自
然满足连续方程。如果先用其他方法求得应变分量，则只有当他们满足应变 连续方程，才能用几何方程求得正确的位移分量。
设 x a x2 y2 ; y axy; xy 2bxy; a，b常数，
三、应变连续方程（应变协调方程）
由小应变几何方程可知，三个位移分量一经确定，六个应变分量也就确定， 显然，它们不应是任意的。 只有这六个应变分量之间满足一定的关系，才能保证变形体的连续性。
应变分量之间的关系称为应变连续方程或应变协调方程。
三、应变连续方程（应变协调方程）
应变分量之间的关系称为应变连续方程或应变协调方程 两组： 1每个坐标平面内应变分量之间应满足的关系；
ij
d ij
dt
应变速率与应变增量相似，都是描述某瞬时的变形状态。与式
塑性变形体积不变条件
设单元体的初始边长为dx、dy、dz ，则变形前的体积为
小变形时，可以认为只有线应变引起边长和体积的变化，而
切应变所引起的边长和体积的变化是高阶微量，可以忽略不
计。X方向线应变为
xຫໍສະໝຸດ Baidu
rx
dx dx
所以
rx dx1 x
ry dy 1 y
形后保持连续，否则就会出现“撕裂”或“重叠”。 （２）如果已知一点的位移分量，利用几何方程球得的应变分量εij自
然满足连续方程。如果先用其他方法求得应变分量，则只有当他们满足应变 连续方程，才能用几何方程求得正确的位移分量。
设 x a x2 y2 ; y axy; xy 2bxy; a，b常数，
三、应变连续方程（应变协调方程）
由小应变几何方程可知，三个位移分量一经确定，六个应变分量也就确定， 显然，它们不应是任意的。 只有这六个应变分量之间满足一定的关系，才能保证变形体的连续性。
应变分量之间的关系称为应变连续方程或应变协调方程。
三、应变连续方程（应变协调方程）
应变分量之间的关系称为应变连续方程或应变协调方程 两组： 1每个坐标平面内应变分量之间应满足的关系；
ij
d ij
dt
应变速率与应变增量相似，都是描述某瞬时的变形状态。与式
大学生力学竞赛知识01 基础理论-例题
q
2.逐段变形法
C
B
A
l
a
刚化AB段
q
CC
C
B
A
M qa 2 2
刚化BC段
M qa 2
q
C
2
C
B
A
零弯矩，不变形 相当于悬臂梁
F=q qq
BB a
AA
M qa2
2
q
B
A
简单静不定问题（含热应力与初应力）
静定结构——未知力（内力或外力）个数等于独立的平 衡方程数
静不定结构——未知力个数多于独立的平衡方程数 静不定度——未知力个数与独立平衡方程数之差
对于相同的失效形式建立失效原因假说
强度理论:利用拉伸试验的结果建立复杂应力状态下的失效判据
单向应力状态 下的失效判据
一般应力状态下的强度准则
塑性材料
σo＝σS 脆性材料
σo＝σb
屈服准则 最大切应力准则 畸变能准则 断裂准则（宏观无裂纹体） 最大拉应力准则 最大拉应变准则
r.n [ ]
x
2
y
cos2
-
xy
2
sin2
2
x
y
2
sin2
xy
2
cos2
主应变：
广义胡克定律（三向应力状态）
x y z
x
平面应力状态
问题：试建立 sa, ta 与 sx, tx, sy, ty 间的关系
斜截面应力公式
Fn 0， s a dA (t x dAcosa )sina - (s x dAcosa )cosa (t ydAsina )cosa - (s ydAsina )sina 0 Ft 0， t a dA (t x dAcosa )cosa - (s x dAcosa )sina (t ydAsina )sina (s ydAsina )cosa 0
平面与空间应力状态
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态 微体各侧面均作用有 应力－空间应力状态 空间应力状态一般形式
平面应力状态 的一般形式
§2 平面应力状态应力分析
斜截面应力分析 例题
斜截面Baidu Nhomakorabea力分析
问题
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa, ta 符号规定： 切应力 t － 以企图使微体沿 旋转者为正 方位用 a － 以 x 轴为始边、 者为正
§4 平面应力状态的极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力
主平面与主应力 纯剪切应力与扭转破坏 例题
平面应力状态的极值应力
s max s x s y s x s y 2 t x s min 2 2
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
应力-应变关系
Hooke定律
在弹性范围内，应力和应变之间存在线性关系，即 $sigma_{x}=Evarepsilon_{x}$、$sigma_{y}=Evarepsilon_{y}$和 $tau_{xy}=Ggamma_{xy}$。
弹性常数与材料性质
弹性常数E和G是材料本身的性质，与材料的种类、温度、加载历史等因素有关。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中，有限差分法常用于求解偏微 分方程，特别是对于规则的网格划分，计算效率较高。
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
材料力学-应力状态与应变状态分析
二、应力圆
sa
＝
sx＋sy
2
＋
sx－sy
2
cos2a
－tx
sin2a
ta
＝
sx－sy
2
sin2a
＋tx
cos2a
( ) ( ) sa
－
sx＋sy
2
2
＋ta2 ＝
sx－sy
2
2
＋tx2
应力圆（莫尔圆）
t
E (sa ,ta)
点面对应关系
D1(sx ,tx) 角度对应关系
O
2a
C
s tx
D2(sy ,ty)
律
主应变与主应力之间的关系
2．已知 sx、sy、sz 、txy、tyz、tzx
在小变形的条件下，
切应力t 引起的线应变比 起正应力s 引起的线应变
小得多，是高阶微量，可 以略去不计。
sy tyz
tzx sz
sx txy
x
1 E
sx
(s y
sz)
sy tyz sx
y
1 E
sy
(s z
t D1
s3
A2
90° A1
Os
45° 45°
D2
s1
纯切应力圆
n
ta
a
sa t
纯切应力状态
平面应变分析
2
x x
y
2
y
2
x
2
y
cos2
xy
sin
2
sin 2 xy cos2
第七章 应力和应变分析 强度理论
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
tan
2 0
2 xy x
y
max x y
min
2
x
2
y
2
2 xy
tan 20
xy x
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
平面应变状态分析
这里所指的平面应变状态，实际上是平面应力所对应的 应变状态, 它与弹性力学中所说的平面应变状态不同。
由于最大应变往往发生于受力构件的表面，而表面上的 点一般都可按平面应变状态进行分析。
设构件内一点处的应
2
可求得 xy 0 90 2 45
由
max x y
min
2
x
2
y
2
xy
2
2
求主应变
第七章 应力和应变分析 强度理论
2
x
y
2
x
y
2
c os 2 2
xy
2
sin 22
Hale Waihona Puke Baidu
x x
y
2
y
2
x
2
y
cos2
xy
sin
2
sin 2 xy cos2
第七章 应力和应变分析 强度理论
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
tan
2 0
2 xy x
y
max x y
min
2
x
2
y
2
2 xy
tan 20
xy x
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
平面应变状态分析
这里所指的平面应变状态，实际上是平面应力所对应的 应变状态, 它与弹性力学中所说的平面应变状态不同。
由于最大应变往往发生于受力构件的表面，而表面上的 点一般都可按平面应变状态进行分析。
设构件内一点处的应
2
可求得 xy 0 90 2 45
由
max x y
min
2
x
2
y
2
xy
2
2
求主应变
第七章 应力和应变分析 强度理论
2
x
y
2
x
y
2
c os 2 2
xy
2
sin 22
Hale Waihona Puke Baidu
解释平面应力和平面应变状态
1. 脆性断裂：断裂前，材料未发生明显的宏观塑性变形的断裂，或指断裂应力低于材料屈服强度的断裂
2. 包申格效应：是指金属材料经预先加载产生少量塑性变形（残余应力小于4％），而后
再同向加载，规定残余伸长应力（屈服强度、弹性极限）增加，反向加载，规定残余伸长（屈服强度、弹性极限）应力降低的现象。
3. 应力状态软性系数：应力状态中最大切应力和最大正应力的比值
4. 刚度：在弹性变形范围内，构件抵抗变形的能力。
5.热疲劳：由周期变化的热应力或热应变引起的材料破坏称为热疲劳。
6.蠕变：材料在长时间的恒温、恒载荷作用下缓慢地产生塑性变形的现象。
7.疲劳强度：在指定疲劳寿命下，材料能承受的上限循环应力。
8.断裂韧度：裂纹失稳扩展的临界状态所对应的应力场强度因子称为材料的断裂韧度
9.技术磁化：铁磁材料在外加磁场的作用下所产生的磁化称为技术磁化。
10.允带：电子可以具有的能级所组成的能带称为允带。
1. 韧性：是指材料在断裂前吸收塑性变形功和断裂功的能力。
4.松弛稳定性：材料抵抗应力松弛的能力称为松弛稳定性。
7.低温脆性：材料随着温度下降，脆性增加，当其低于某一温度时，材料由韧性状态变为脆性状态，这种现象为低温脆性。
8.解理断裂：材料在拉应力的作用下原于间结合破坏，沿一定的结晶学平面(即所谓“解理面”)劈开的断裂过程。
6. 破损安全：构件内部即使存在裂纹也不导致断裂的情况。
7.平面应力：只在一个平面内存在应力的现象。
10. △K th ：疲劳裂纹扩展的门槛值，表征材料阻止疲劳裂纹开始扩展的能力
1. 解释形变强化的概念，并阐述其工程意义。
平面应力和平面应变
ydx 1 ( xy
xy
x
dy)dx 1
xydy 1 Ydx dy 1 0
两边同除以dx dy，并整理得：
y xy Y 0
y x
平面问题的平衡微分方程：
x yx X 0
x y
xy y Y 0 （2）
x y
x O
y
yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
dy
yxA
X
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y （18） —— 平面问题的应力边界条件
2. 一点的主应力与应力主向
（1）主应力
若某一斜面上 N 0 ，则该斜面上的正应
力 N 称为该点一个主应力 ；
当 N 0 时，有 N s
YXNNml
l x m yx l m y l xy m
第三章 平面问题
要点 —— 建立平面问题的基本方程
包括：平衡微分方程；几何方程；物理方 程；变形协调方程；边界条件的描 述；方程的求解方法等
§3.1 平面应力问题与平面应变问题
1. 平面应力问题
(1) 几何特征
b
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
t a,t b —— 平板
x
z
t
y
y
a
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
材料力学-8
F
τα
σ α = σ cos2 α
同一点在斜截面上时： 同一点在斜截面上时：
τα =
σ
2
sin 2α
§8 - 1 引
言
此例表明： 此例表明：即使同一点在不同方位截 面上，它的应力也是各不相同的，此 面上，它的应力也是各不相同的， 即应力的面的概念。
§8 - 1 引
Mz
言
FQ
横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明： 的结果表明：同一面上不同点的应力各 不相同，此即应力的点的概念。
τ xy
t
§8 - 1 引
言
空间（三向）应力状态： 空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态： 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态： 单向应力状态：两个主应力为零
σ3
σ2
σ1
§8 - 1 引
言
σz
z
τ zy
τ yz
τ zx
x
σx
τ xz
τ xyτ yx
三向应力状态
材 料 力 学（Ⅰ）
主讲教师：张恒文 赠 言
君子之学必日新，日新者日进也。不日新者必日 君子之学必日新，日新者日进也。 未有不进而不退者。 退，未有不进而不退者。 程灏、 程灏、程颐 二程集•河南程氏遗书》 《二程集•河南程氏遗书》卷二十五
§8 - 1 引
τα
σ α = σ cos2 α
同一点在斜截面上时： 同一点在斜截面上时：
τα =
σ
2
sin 2α
§8 - 1 引
言
此例表明： 此例表明：即使同一点在不同方位截 面上，它的应力也是各不相同的，此 面上，它的应力也是各不相同的， 即应力的面的概念。
§8 - 1 引
Mz
言
FQ
横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明： 的结果表明：同一面上不同点的应力各 不相同，此即应力的点的概念。
τ xy
t
§8 - 1 引
言
空间（三向）应力状态： 空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态： 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态： 单向应力状态：两个主应力为零
σ3
σ2
σ1
§8 - 1 引
言
σz
z
τ zy
τ yz
τ zx
x
σx
τ xz
τ xyτ yx
三向应力状态
材 料 力 学（Ⅰ）
主讲教师：张恒文 赠 言
君子之学必日新，日新者日进也。不日新者必日 君子之学必日新，日新者日进也。 未有不进而不退者。 退，未有不进而不退者。 程灏、 程灏、程颐 二程集•河南程氏遗书》 《二程集•河南程氏遗书》卷二十五
§8 - 1 引
《平面应力状态》课件
特点
在平面应力状态下，物体只在两个方 向上受到压力或拉力，且这两个方向 的应力相互独立，不会互相影响。
平面应力状态的重要性
工程应用广泛
在土木工程、机械工程、航空航 天等领域，许多结构在承受力时 都处于平面应力状态。
简化分析模型
对于复杂的三维应力状态，可以 简化为平面应力状态进行分析， 提高计算效率。
桥梁结构
建筑结构
在高层建筑或大跨度结构的分析中，对楼板、梁等 构件进行平面应力分析，以优化结构设计。
在桥梁设计中，对桥面板等关键部位进行平 面应力状态分析，以确保其承载能力和稳定 性。
机械零件
在机械零件如齿轮、轴承等的设计中，通过 平面应力状态分析，确保零件的强度和疲劳 寿命。
材料力学性能的平面应力状态研究
CHAPTER
04
平面应力状态下的强度准则
最大剪应力理论
总结词
该理论认为材料破坏时最大剪应力达到极限值。
详细描述
最大剪应力理论，也称为Tresca屈服准则，它假设当材料受到剪切应力作用时，当最大剪应力达到某一极限值时 ，材料会发生屈服。这一理论主要适用于脆性材料，因为在脆性材料中，剪切应力通常是控制因素。
屈雷斯卡强度准则
总结词
该理论认为当材料某个平面上的剪切应变达到极限值时，材料发生屈服。
详细描述
屈雷斯卡强度准则，也称为Drucker-Prager屈服准则，它基于材料的剪切应变行为来描述屈服。与莫 尔-库仑强度准则类似，该准则也考虑了正应力和剪应力的共同作用。这一准则适用于具有明显剪切应 变行为的材料，如混凝土和某些塑料。
在平面应力状态下，物体只在两个方 向上受到压力或拉力，且这两个方向 的应力相互独立，不会互相影响。
平面应力状态的重要性
工程应用广泛
在土木工程、机械工程、航空航 天等领域，许多结构在承受力时 都处于平面应力状态。
简化分析模型
对于复杂的三维应力状态，可以 简化为平面应力状态进行分析， 提高计算效率。
桥梁结构
建筑结构
在高层建筑或大跨度结构的分析中，对楼板、梁等 构件进行平面应力分析，以优化结构设计。
在桥梁设计中，对桥面板等关键部位进行平 面应力状态分析，以确保其承载能力和稳定 性。
机械零件
在机械零件如齿轮、轴承等的设计中，通过 平面应力状态分析，确保零件的强度和疲劳 寿命。
材料力学性能的平面应力状态研究
CHAPTER
04
平面应力状态下的强度准则
最大剪应力理论
总结词
该理论认为材料破坏时最大剪应力达到极限值。
详细描述
最大剪应力理论，也称为Tresca屈服准则，它假设当材料受到剪切应力作用时，当最大剪应力达到某一极限值时 ，材料会发生屈服。这一理论主要适用于脆性材料，因为在脆性材料中，剪切应力通常是控制因素。
屈雷斯卡强度准则
总结词
该理论认为当材料某个平面上的剪切应变达到极限值时，材料发生屈服。
详细描述
屈雷斯卡强度准则，也称为Drucker-Prager屈服准则，它基于材料的剪切应变行为来描述屈服。与莫 尔-库仑强度准则类似，该准则也考虑了正应力和剪应力的共同作用。这一准则适用于具有明显剪切应 变行为的材料，如混凝土和某些塑料。
平面应变状态分析
1
2
3
1 2
E
(
1
2
3)
3(1 2) 1 2 3 m
E
3
K
式中： K E
3(1 2)
体积弹性模量
m
1
2
3
3
当 0.5时， 0
材料力学
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 3
（ 2 （ 3 （1
3） 1） 2）
材料力学
例：从钢构件内某点的周围取出一部分如图所示。根据
材料力学
材料力学
30
1 E
( 30
120 )
1.857104
对角线 AC 的长度改变量
l (50 mm ) 30 9.29 10 3 mm
材料力学
材料力学
另解： x 30 MPa ， y 0 ， xy 15 MPa
由广义胡克定律求得
材料力学
x
1 E
( x
y)
1.5104
理论计算得 30 MPa ， 15 MPa 。材料的E 200 GPa ， 0.3 。试求对角线 AC 的长度改变量。
解： x 30 MPa
y 0
xy 15 MPa
由公式
x
y
2
x
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使左下直角增大之 为正
分 析 方 法
知 x , y xy 求 a
分析方法要点：叠加法，切线代圆弧
推导：
a
xdxcosa
dl
dx dl
cosa
a xcos2a
a
ydysina
dl
ysin2a
a
xydycosa
dl
xysin2a
2
结论：
a Байду номын сангаасcos2a
a ysin2a
a
xysin2a
2
a a a a
a xcos2a ysin2a xycosasina
a
x
y
2
x
y
2
cos2a
xy
2
sin2a
上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用 于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关
应力分析电测方法
构件表层 应力一般 情况(无表 面外力时)
要确定三 未知应力 ，需贴三 电阻应变
a
x
y
2
x
y
2
cos2a
xy
2
sin2a
A
x
2
y
x
2
y
cos2 A
xy
2
sin2 A
B
x
y
2
x
y
2
cos2 B
xy
2
sin2 B
C
x
y
2
x
2
y
cos2C
xy
2
sin2C
A ,B ,C x , y , xy x , y , xy
应变花
A
x
2
y
x
2
y
cos2
A
xy
2
sin2
A
B
x
2
y
§8-6 平面应变状态应变分析
任意方位的正应变 应力分析电测方法 应变花
任意方位的应变
平面应变状态特点
z xz yz 0
微体内各点的位移均平行于同一平面
平面应变状态任意方位应变
问题：已知应变 x , y与 xy，求 a 方位的正应变 a 规定： 方位角a 以 x 轴为始边，为正
x
2
y
cos2
B
xy
2
sin2
B
C
x
2
y
x
2
y
cos2C
xy
2
sin2C
三轴直角应变花
三轴等角应变花
A B C
0 45 90
x 0 y 90 xy 0 90 2 45
A 0 B 60 C 120
x 0
y
1 3
2 60
2120
0
xy
2 3
60
120
分 析 方 法
知 x , y xy 求 a
分析方法要点：叠加法，切线代圆弧
推导：
a
xdxcosa
dl
dx dl
cosa
a xcos2a
a
ydysina
dl
ysin2a
a
xydycosa
dl
xysin2a
2
结论：
a Байду номын сангаасcos2a
a ysin2a
a
xysin2a
2
a a a a
a xcos2a ysin2a xycosasina
a
x
y
2
x
y
2
cos2a
xy
2
sin2a
上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用 于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关
应力分析电测方法
构件表层 应力一般 情况(无表 面外力时)
要确定三 未知应力 ，需贴三 电阻应变
a
x
y
2
x
y
2
cos2a
xy
2
sin2a
A
x
2
y
x
2
y
cos2 A
xy
2
sin2 A
B
x
y
2
x
y
2
cos2 B
xy
2
sin2 B
C
x
y
2
x
2
y
cos2C
xy
2
sin2C
A ,B ,C x , y , xy x , y , xy
应变花
A
x
2
y
x
2
y
cos2
A
xy
2
sin2
A
B
x
2
y
§8-6 平面应变状态应变分析
任意方位的正应变 应力分析电测方法 应变花
任意方位的应变
平面应变状态特点
z xz yz 0
微体内各点的位移均平行于同一平面
平面应变状态任意方位应变
问题：已知应变 x , y与 xy，求 a 方位的正应变 a 规定： 方位角a 以 x 轴为始边，为正
x
2
y
cos2
B
xy
2
sin2
B
C
x
2
y
x
2
y
cos2C
xy
2
sin2C
三轴直角应变花
三轴等角应变花
A B C
0 45 90
x 0 y 90 xy 0 90 2 45
A 0 B 60 C 120
x 0
y
1 3
2 60
2120
0
xy
2 3
60
120