几何光学的基本原理36[光学教程]第四版姚启钧高等教育出版社

n n n n 0 s s r
物象公式，可见垂轴 物成垂轴象。
根据费马原理可以推出，物体上任意发光点Q所发 出的光束，经主轴附近的球面反射或折射后，能成 像于单独一点Q的条件是： 从Q点发出的所有光线到达Q点时的光程都相等。 在此条件下，主轴上物点P的球面反射或折射成像 公式对轴外物点Q都成立。 球面反射的物象公式
物点近轴： y
s
y h
sx
2
和
y h
s x
2
在光程 l 的展开式中高次项略去是在此条件下才行。
u3 u5 u 近轴光线u很小 sin u u 3! 5! i3 2 5 i i 近轴物点 i 很小 tgi i 3 15
2 2 2
2
利用二项式定理将上式展开略去高次项：
y 2 y 2 y y h 1 1 2 l s s h 2 s 2 s s s 2 s s r
从物点到象点所有光程都相等，光程 l 应与h无关
y s
y 0 s
光线与光轴的夹角小于50时，有sinu ≈tanu ≈ u 光学系统满足这样条件的区域，轴上发出的同心光 束，经系统变换后，仍为同心光束，即点物可成点 像．近轴条件限制了光线与光轴的夹角． 3.6.2 近轴物在近轴光线条件下，球面折射成象 （1）物象公式
类似反射，Q沿A到Q’光程：
ni ) A q n(i) n( n y p u u u h i • O y • p i u q n sin(i) nx sin(i )
s
s
l n
s x y h
2
2
n
s x y h
2
ny 2 ny ny ny h n n n n ns ns h 2 s 2 s s s 2 s s r r ny ny 0 近轴条件下球面折射 s s L与h无关：
1 1 2 s s r
与轴上物点球面反射成象公式相同.表明垂轴物生 成垂轴象.但必须在近轴条件下.
(2) 近轴条件:
-X
光线近轴：h s ， 入
射点很低，A靠近光轴。 物空间孔径角u很小。 如右图：
Q y P
u
-y’
i
h A
o
x h h 2r x
x h h2 x很小，略去不记， x h 2r 2r
第3章 几何光学的基本原理
（Principles of Geometrical Optics ） §3.6 近轴物点 近轴光线成像的条件
Conditions of Paraxial Object Point and Paraxial Imaging
3.6.1 近轴物点的成像 前面研究了光线从单独一点发出而被球面反射或折射 后所产生的像点。物体总有一定的大小和形状，物体 上的每一点仍然可看作是一个发光点。问题在于不在 主轴上的任意一个发光点所发出的光束，经球面反射 或折射后是否仍能保持光束的单心性？应在怎样的条 件下才能保持单心性，并成像于单独的一点？
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二. 亥姆霍兹—拉格朗日定理
由球面折射的横向放大率和角放大率公式：
y ' ns' y n' s
因此
u' s u s'
即
n n'
y' u' n y u n'
或写成
n' y ' u ' nyu
9
n' y ' u ' nyu
—称为亥姆霍兹—拉格朗日 定理（恒等式）
1 1 2 s' s r n' n n' n s' s r
7
球面折射的物象公式
通过推导可以知道，要使不在主轴上的一个发光点 Q能够理想成像于单独一个像点Q，必须同时满足 两个限制条件：
（1）光线必须是近轴的。即光线在球面上的反 射点或折射点到主轴的距离远小于球面的曲率 半径r。 （2）物点必须是近轴的。即物点离主轴的距离y 必须比它离球面的顶点的距离s小得多。
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不在主轴上的物点怎样经球面反射和折射保持单心性？ 费马原理 主轴上的物点、象点间光程恒定 任一波面 上所有点到各对应象点间光程相等 物点 成象点的条件：物点发出的所有光线到象点光程都相 等。 3.6.1 近轴物在近轴光线条件下，球面反射成象公式 （1）公式推导： Q沿QA到Q’光程大小：
10
P
n1
u1
u1 '
n2
u2 u2 '
n3
u3
n1 y1u1 n1 ' y1 ' u1 '
n2 y2u2 n2 ' y2 ' u2 ' nk ' yk ' uk '
即
n1 y1u1 nk ' yk ' uk '
11
2 2
-X
Q y P
C
P’ -y’ Q’
2
h A
o
l QA QA s x y h s x y h
2
l QA QA s x y h s x y h y h s x Q与A离主光轴很近 y h s x
由上式可以看出，y和y 受到近轴物点的限制，u和 u 受到近轴光线的限制。上式正好把轴外物点理想 成像的两个限制条件联系起来了。 凡物点不在主轴上而能理想成像，即能够保持光束 单心性的，都必须满足称为亥姆霍兹—拉格朗日定 理（恒等式）。 若要使共轴的两个或两个以上球面折射时，能产 生理想的像，每一次折射都必须遵从称为亥姆霍 兹—拉格朗日定理（恒等式）。即