(统编版)2020高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.3映射的概念自主训练苏教版必修50

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高中数学第二章函数概念与基本初等函数I函数的概念函数的概念名师导航学案苏教版

2。

1 函数的概念和图象2.1。

1 函数的概念名师导航知识梳理1.函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有__________的数f （x)和它对应,那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的函数，记作y=f （x)，x ∈A.其中x 叫__________，x 的取值范围A 叫做函数y=f （x ）的__________;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x ）|x ∈A ｝(⊆B ）叫做函数y=f(x ）的__________。

函数符号y=f （x)表示“y 是x 的函数"，有时简记作函数__________。

（1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f:A →B ，这里A ，B 为__________的数集.（2)A:定义域；{f(x ）|x ∈A}：值域,其中｛f(x ）｜x ∈A}__________B ；f ：对应法则，x ∈A,y ∈B.(3）函数符号：y=f （x ）↔y 是x 的函数，简记f(x).2。

已学函数的定义域和值域(1)一次函数f （x ）=ax+b(a ≠0):定义域为__________，值域为__________;(2）反比例函数f(x ）=xk （k ≠0）：定义域为__________，值域为__________；（3）二次函数f （x)=ax 2+bx+c （a ≠0）:定义域为__________，值域:当a 〉0时,为__________；当a 〈0时，为__________。

3。

函数的值:关于函数值f(a ）例：f （x)=x 2+3x+1，则f(2)= __________.4。

函数的三要素：对应法则f 、定义域A 和值域{f(x ）|x ∈A}.只有当这三要素__________时,两个函数才能称为同一函数。

疑难突破有关函数概念的理解剖析:(1)如果一个函数需要几条限制时，那么定义域为各限制所得x 的范围的交集。

高中数学知识点总结(第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示)

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln1－x x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1) B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0，得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}．答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)．答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f x ＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0；若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. 所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2. 答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。

高中高考理科数学专项复习函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用函数的奇偶性与周期性

2 3 1 1 1 解：f2＝f2－2＝f－2＝－4×－2 ＋2＝1.故填 1.
若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则实数 a＝____________.
解：∵函数 f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)，即 xln(x＋ a＋x2)＝－xln(－x＋ a＋x2)， 1 2 ∴x＋ a＋x ＝ 2，得 a＝1.故填 1. －x＋ a＋x
第二章
函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用
§2.3
函数的奇偶性与周期性
1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有，那么函数 f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称．
解法二(图象法)：作出函数 f(x)的图象，由图象关于原点对称的特征知函数 f(x)为奇函数．
2 4 － x ≥0， (3)∵ ∴－2≤x≤2 且 x≠0， x≠0，
3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于于 ”是“一个函数具有奇偶性”的 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数对于函数 f(x)，如果存在一个域内的值时，都有 T，使得当 x 取定义，那么函数 f(x)就叫，即“定义域关条件．
做周期函数．T 叫做这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．的

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I映射的概念名师导航学案苏教版

2。

3 映射的概念名师导航知识梳理1.映射的概念映射f:A→B的定义是：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的__________一个元素，在集合B中都有__________的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作__________。

2.象与原象在映射f:A→B中，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，元素b叫做元素a的__________，元素a叫做元素b的__________，记作__________.3.一一映射如果映射f:A→B再满足_________________，那么这个映射叫做A到B上的一一映射.4.用映射的概念定义函数，函数的定义域、值域如果A、B都是__________,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)(x∈A，y∈B）.原象的集合A叫做函数y=f（x)的__________;象的集合C(C B）叫做函数y=f(x)的__________.__________、__________和__________,通常称为函数的三要素.疑难突破怎样理解映射概念？(1）映射是一种特殊的对应。

教科书上介绍了一些不同的对应，如一对多、一对一、多对一等，而且集合A、B中元素个数也注意了多样化，集合B中有的元素没有得到对应。

（2)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的.(3）映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的.（4）在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B中的元素b,b叫a(在f下）的象，并且a的象是唯一的，a叫做b的原象，b的原象不要求唯一。

B中的每一个元素不要求都有原象.(5）记号“f：A→B"表示集合A到集合B的映射,其中对应法则f的具体内容在教材中是用汉字叙述的，如“求正弦”“乘以2再加5”等.在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示。

(完整版)高中数学各章节内容

第一章集合与函数概念1．1集合1．2函数及其表示1．3函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1指数函数2．2对数函数2．3幂函数第三章函数的应用3．1函数与方程3．2函数模型及其应用【必修二】第一章空间几何体1．1空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．2直线、平面平行的判定及其性质2．3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1直线的倾斜角与斜率3．2直线的方程3．3直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1圆的方程4．2直线、圆的位置关系4．3空间直角坐标系第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3算法案例第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量间的相关关系第三章概率3．1随机事件的概率3．2古典概型3．3几何概型【必修四】第一章三角函数1．1任意角和弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的诱导公式1．4三角函数的图象和性质1．5函数的图象1．6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．2平面向量的线性运算2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．4平面向量的数量积2．5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2简单的三角恒等变换【必修五】第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列的概念与简单表示法2．2等差数列2．3等差数列的前n项和2．4等比数列2．5等比数列的前n项和第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2一元二次不等式及其解法3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4基本不等式选修2-1第一章常用逻辑用语1-1命题及其关系1-2充分条件与必要条件1-3简单的逻辑联结词1-4全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2-1曲线与方程2-2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2-3双曲线探究与发现2-4抛物线探究与发现阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3-1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3-2立体几何中的向量方法小结复习参考题选修2-2第一章导数及其应用1-1变化率与导数1-2导数的计算1-3导数在研究函数中的应用1-4生活中的优化问题举例1-5定积分的概念1-6微积分基本定理1-7定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2-1合情推理与演绎推理2-2直接证明与间接证明2-3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3-1数系的扩充和复数的概念3-2复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1-2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1-3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2-1离散型随机变量及其分布列2-2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2-3离散型随机变量的均值与方差2-4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3-1回归分析的基本思想及其初步应用3-2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题。

高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数文市赛课公开课一等奖省优质课获奖

单调性在x∈ －2ba，＋∞ 上单调递增
在x∈ －2ba，＋∞ 上单调递减
对称性 • 函数图象关于x＝对称
－2ba
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2.幂函数 (1)定义：普通地，形如 y＝xα 函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)幂函数图象比较几何画板展示
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(3)幂函数性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数图象过定点(1，1)； ③当α>0时，幂函数图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
3－a x＝ 2a ，
由
a<0， f(x)在[－1，＋∞)上递减知32－aa≤－1，
解得－3≤a＜0.
综上，a取值范围为[－3，0].
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引申探究若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝___－__3.
答案解析
由题意知a<0，又32－aa＝－1，∴a＝－3.
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(2)已知二次函数f(x)图象经过点(4，3)，它在x轴上截得线段长为2，而且
对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)解析式.
解答
∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)对称轴为x＝2. 又∵f(x)图象被x轴截得线段长为2. ∴f(x)＝0两根为1和3. 设f(x)解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)图象过点(4，3)， ∴3a＝3，a＝1， ∴所求f(x)解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
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命题点2 二次函数最值例3 已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)最小值.

【(2020-2022)三年真题分项汇编】第2讲函数的概念与基本初等函数Ⅰ(新高考)(原卷版)

【（2020-2022）三年真题分项汇编】第2讲函数的概念与基本初等函数Ⅰ1．【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑f(k)22k=1=（）A ．−3B ．−2C ．0D ．12．【2021年新高考2卷】已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c << 3．【2021年新高考2卷】已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f = 4．【2020年新高考1卷（山东卷）】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天5．【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃6．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞ 7．【2022年新高考1卷】已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R ，记g(x)=f ′(x)，若f (32−2x)，g(2+x)均为偶函数，则（）A ．f(0)=0B ．g (−12)=0C ．f(−1)=f(4)D ．g(−1)=g(2)8．【2021年新高考2卷】设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++．则（） A ．()()2n n ωω= B ．()()231n n ωω+=+C ．()()8543n n ωω+=+D ．()21n n ω-= 9．【2021年新高考1卷】已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则=a ______.10．【2021年新高考1卷】函数()212ln f x x x =--的最小值为______.11．【2021年新高考2卷】写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()'f x 是奇函数。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.2函数的表示方法优化训练苏教版必修1

函数表示方法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.函数f(x)=，求解:〔1〕点〔3,14〕在f(x)图象上吗？〔2〕当x ＝4时，求f(x)值；〔3〕当f(x)＝2时，求x 值.解:〔1〕因为≠14,所以点〔3,14〕不在函数f(x)图象上.〔2〕f(x)＝=-3.〔3〕由=2，解得x=14.2.画出以下函数图象：〔1〕f(x)=〔2〕g(x)=3n+1,n∈{1,2,3}.思路解析:画函数图象一般采用描点法，要注意定义域限制.解:〔1〕函数f(x)图象如以下图所示:〔2〕函数g(x)图象如以下图所示:100 cm 2等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长3倍，那么把它高y 表示成x 函数为( )A ．y ＝50x(x ＞0) B.y ＝100x(x ＞0)C.y ＝x 50 (x ＞0)D.y ＝x100 (x ＞0) 思路解析:由·y＝100,得2xy ＝100. ∴y＝x50 (x ＞0). 答案:C10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.以下图形是函数y ＝-|x|(x∈［-2，2］)图象是( )思路解析：y=-|x|=其中y=-x(0≤x≤2)是直线y=-x 上满足0≤x≤2一条线段(包括端点)，y=x 是直线y=x 上满足-2≤x＜0一条线段(包括左端点)，其图象在原点及x 轴下方.答案：B 2.f(x1)=11+x ，那么f(x)解析式为( ) A. 11+x B.x x +1 C.1+x x D.1＋x思路解析:令u=x1，用换元法，同时应注意函数定义域.∵x≠0且x≠-1，那么x=u 1，u≠0，u≠-1.∴f(u)=(u≠0，且u≠-1),即f(x)＝1+x x (x≠0且x≠-1). 答案:C3.求实系数一次函数y=f(x)，使f ［f(x)］=4x+3.思路解析:设f(x)=ax+b 〔a≠0〕，用待定系数法.解:设f(x)=ax+b(a≠0),∴f［f(x)］=a·f(x)+b=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b.∴a 2x+ab+b=4x+3.∴∴或∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.4.在学校洗衣店中每洗一次衣服〔4.5 kg 以内〕需要付费4元，如果在这家店洗衣10次以后可以免费洗一次.〔1〕根据题意填写下表：〔2〕“费用c 是次数n 函数〞还是“次数n 是费用c 函数〞〔3〕写出函数解析式,并画出图象.思路解析:此题考察阅读理解能力,当 n≤10时,c=4n ；当10<n≤21时,c=4〔n-1〕.解:〔1〕〔2〕费用c 是次数n 函数，因为对于次数集合中每一个元素〔次数〕，在费用集合中都有唯一元素〔费用〕与它对应.但对于费用集合中每一个元素〔费用〕，在次数集合中并不都是只有唯一一个元素与它对应.如40元就有10次与11次与它对应.〔3〕函数解析式为c=,,11,,10),1(4,4**N n n N n n n n ∈≥∈≤⎩⎨⎧-且且其图象如图:5.用长为l 铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架，假设矩形底边长为2x ，求此框架围成面积y 与x 函数关系式，并指出其定义域. 思路解析：求函数定义域，如果是实际问题除应考虑解析式本身有定义外，还应考虑实际问题有意义，如此题注意到矩形长2x 、宽a 必须满足2x ＞0与a ＞0，即l-πx -2x>0.解：由题意知此框架围成面积是由一个矩形与一个半圆组成图形面积，而矩形长AB=2x ，宽为a.所以有2x ＋2a ＋πx=l，即a=2l -2πx-x ，半圆直径为2x ，半径为x.所以y=22x π＋(2l -2πx-x)·2x=-(2＋2π)x 2＋lx. 根据实际意义知2l -2πx-x ＞0，又∵x＞0，解得0＜x ＜，即函数y=-(2＋2π)x 2＋lx 定义域是{x|0＜x ＜}.6.如右图，某灌溉渠横断面是等腰梯形，底宽2 m ，渠深1.8 m ，边坡倾角是45°.〔1〕试用解析表达式将横断面中水面积A m 2表示成水深h m 函数；〔2〕画出函数图象;〔3〕确定函数定义域与值域.思路解析:利用等腰梯形性质解决问题.解:〔1〕由，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为〔2+2h 〕 m ，高为h m ，∴水横断面面积A==h 2+2h .〔2〕函数图象如下确定:由于A=〔h+1〕2-1，对称轴为直线h=-1，顶点坐标为〔-1，-1〕，且图象过〔0，0〕与〔-2，0〕，又考虑到0＜h ＜1.8，∴函数A=h 2+2h 图象仅是抛物线一局部，如下图.〔3〕定义域为{h |0＜h ＜1.8},值域由函数A=h 2+2h=〔h+1〕2-1图象可知，在区间〔0，1.8〕上函数为增函数，所以0＜A ＜6.84. 故值域为{A|0＜A ＜6.84}.快乐时光得不偿失一条狗跑进一家肉店，从柜台上叼起一块肉就跑.肉店老板认出那是邻居一只狗，那个邻居是一名律师.肉店老板向邻居打去了问：“嘿，如果你狗从我肉店里偷去了一块肉，你愿意赔我肉钱吗？〞律师答复说：“当然可以，那你说多少钱？〞“7.98元.〞肉店老板答复说.几天后，肉店老板收到了一张7.98元支票，随那张支票寄来还有一张发票，上面写道：律师咨询费150美元.30分钟训练(稳固类训练，可用于课后)1.设f(x)=那么f ［f(21)］( ) A.21 B.13459 D.4125 思路解析:f ［f(21)］=f(-23)=. 答案:B2.由于水污染日益严重，水资源变得日益短缺.为了节约用水，某市政府拟自2007年始对居民自来水收费标准调整如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨6元；当用水超过4吨时，超过局部每吨增收3元.那么某户居民所交水费y元与该月此户居民所用水量x吨之间函数关系式为…( )A.y=6xB.y=C.y=D.y=9x-12思路解析:当用水量0≤x≤4时，水费y=6x；当用水量x>4时，水费y=24+9×〔x-4〕=9x-12.应选B.答案:B3.甲、乙两厂年产值曲线如右图所示，那么以下结论中，错误是……( )思路解析:由图象可知，在1993年、1996年、2002年两厂产值一样，而在1993年以前，甲厂产值明显低于乙厂，而在1995年至2000年时，乙厂年产值增长那么要比甲厂快，所以B选项错.答案:B4.函数f(x)图象如右图所示，那么f(x)解析式是____________.思路解析:∵f(x)图象由两条线段组成，要重点注意是端点值是否可以取到.答案:f(x)＝5.(2006安徽高考，理)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,假设f(1)=-5,那么f(f(5))=___________.思路解析:由f(x+2)=,得f(x+4)= =f(x),所以f(5)=f(1)=-5,那么f(f(5))=f(-5)=f(-1)==-51.答案:- 51 6.f(1-x )=x ，求f(x).思路解析:设1-x =t ，用换元法，同时应注意函数定义域. 解:设1-x=t ，那么x=(1-t)2.∵x≥0，∴t≤1.∴f(t)=(1-t)2(t≤1).∴f(x)=(x -1)2(x≤1).7.设函数f(x)满足f(x)+2f(x 1)=x 〔x≠0〕，求f(x).思路解析:以x 1代换x ，解关于x 1、x 方程组，消去x 1.解:∵f(x)+2f(x 1)=x ， ① 以x 1代换x 得f(x 1)+2f(x)= x 1. ②解①②组成方程组得f(x)=.8.某家庭今年一月份、二月份与三月份煤气用量与支付费用如下表所示：该市煤气收费方法是：煤气费＝根本费＋超额费＋保险费.假设每月用量不超过最低限度A 米3，只付根本费3元与每户每月定额保险C 元，假设用气量超过A 米3，超过局部每立方米付B 元，又知保险费C 不超过5元，根据上面表格求A 、B 、C.思路解析：此题支付费用为每月用气量分段函数，先写出函数解析式，再求A 、B 、C.解：设每月用气量为x 米3，支付费用为y 元，那么得y=,,0,)(3,3A x A x C A x B C >≤≤⎩⎨⎧+-++ 由0＜C≤5有3＋C≤8.由第二、第三月份费用都大于8，即用气量25米3，35米3都大于最低限度A 米3，那么⎩⎨⎧=+-+=+-+.19)35(3,14)25(3C A B C A B 两式相减，得B=0.5.∴A=2C＋3.再分析一月份用气量是否超过最低限度，不妨设A ＜4，将x=4代入3＋B(x-A)＋C,得3＋0.5［4-(3＋2C)］＋C=4.由此推出3.5=4，矛盾.∴A≥4.一月份付款方式选3＋C,∴3＋C=4，即C=1.将C=1代入A=2C ＋3，得A=5.∴A=5，B=0.5，C=1.9.设二次函数f(x)满足f(2+x)＝f(2-x)，且f(x)＝0两个实根平方与为10，f(x)图象过点(0，3)，求f(x)解析式.思路解析:要求二次函数解析式，一般用待定系数法先设f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)，然后根据条件列出关于a、b、c方程组，求解即可.解:∵f(2+x)＝f(2-x)，代入f(x)＝ax2+bx+c化简可得b＝-4a.∵f(x)图象过点(0，3)，∴f(0)＝c＝3.∴f(x)＝ax2-4ax+3.∵ax2-4ax+3＝0两实根平方与为10，6.∴a=1.∴f(x)＝x2-4x+3.∴10＝x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-a10.如右图，动点P从边长为4正方形ABCD顶点B开场，顺次经C、D、A绕边界运动，用x表示点P行程，y表示△APB面积，求函数y=f〔x〕解析式.思路解析:由P点运动方向知当P运动到BC、CD、DA上时，分别对应解析式不同，因此这是个分段函数.解:由，得y=11.某小型自来水厂蓄水池中存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池注入自来水60吨，假设蓄水池向居民小区不连续供水，且t小时内供水总量为1206t吨〔0≤t≤24〕.〔1〕供水开场几小时后，蓄水量最少最少蓄水量是多少吨〔2〕假设蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，试问一天24小时内有多少小时会出现供水紧张现象并说明理由.解:〔1〕设t小时蓄水量y吨，所以y=400+60t-120t6〔0≤t≤24〕.令t=m〔0≤m≤26〕，y=60m2-1206m+400=60〔m-6〕2+40.∴t=6小时时，蓄水量最少为40吨.〔2〕由y ＜80，得60t-120t 6 +400＜80.故一天中有8小时会出现供水紧张现象.12.如右图，动点P 从边长为1正方形ABCD 顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点运动路程，y 表示PA 长，求y 关于x 函数解析式.思路解析:P 在A 、B 间运动，即0≤x≤1时，y=x.P 在B 、C 间运动，即1<x≤2时，y=221)1(22+-=+-x x x . P 在C 、D 间运动时，同理,得y=1061)3(22+-=+-x x x ，2<x≤3. P 在D 、A 间运动时，y=4-x ，3<x≤4.综上，得y 关于x 函数为y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤.43,4,32,106,21,22,10,22x x x x x x x x x x。

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第1节：函数及其表示(学生版)

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第1节函数及其表示考试要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．1.函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A，此时x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系.(3)表示函数的常用方法有：列表法、图像法和解析法.2.分段函数(1)若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数.(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图像至多有1交点.3.注意以下几个特殊函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}.(5)正切函数y ＝tan x x |x ≠k π＋π2，k ∈Z1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一函数.()(2)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .()(3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()2.若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是()3.(2021·贵阳诊断)已知函数f (x )3x（x ≤0），log 3x （x >0），则f 12＝()A.－1B.2C.3D.124.(2020·北京卷)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的定义域是__________.5.(易错题)已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.6.已知函数f (x )x 2＋2，x ≤1，1x，x >1，则f (x )的值域为________.考点一函数的定义域1.函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)的定义域是________.2.函数f(x)＝12－x＋ln(x＋1)的定义域为()A.(2，＋∞)B.(－1，2)∪(2，＋∞)C.(－1，2)D.(－1，2]3.(2021·西安检测)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝f（2x＋1）x＋2的定义域是()A.(－∞，－2)∪(－2，3]B.(－8，－2)∪(－2，1]C.－92，－2(－2，0]D.－92，－24.已知函数f(2x－1)的定义域为[0，1]，则f（2x＋1）log2（x＋1）的定义域是() A.(－1，0) B.(－1，0]C.[－1，0)D.[－1，0]考点二求函数解析式例1求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知x＋1x x2＋1x2，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.训练1(1)已知2x＋1lg x，则f(x)＝________；(2)(2021·黄冈检测)已知x2＋1x2＝x4＋1x4，则f(x)＝________.(3)(2022·唐山模拟)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.考点三分段函数角度1分段函数的求值例2(1)已知函数f(x)2－x，x≥－1，log2（1－x），x<－1，则f(0)－f(－3)＝________.(2)设函数f(x)a x，x≥0，f x＋4a），x<0(a>0且a≠1)，若f(2)＝4，则f(－2023)＝________.角度2分段函数与方程例3(1)(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)x2－4，x>2，|－3|＋a，x≤2.若f(f(6))＝3，则a＝________.(2)(2022·长沙质检)已知函数f(x)log2（3－x），x≤0，2x－1，x>0，若f(a－1)＝12a＝________.角度3分段函数与不等式例4(2021·合肥模拟)已知函数f(x)log2x，x>1，x2－1，x≤1，则f(x)<f(x＋1)的解集为()A.(－1，＋∞)B.(－1，1)C.－12，＋∞ D.－12，1训练2(1)函数f(x)e x－3，x<1，ln x，x≥1，则关于函数f(x)的说法不正确的是()A.定义域为RB.值域为(－3，＋∞)C.在R上为增函数D.只有一个零点(2)(2021·郑州调研)已知函数f(x)2x－1，x>0，a x＋1，x≤0，若f(－1)＝3，则不等式f(x)≤5的解集为()A.[－2，1]B.[－3，3]C.[－2，2]D.[－2，3]函数的值域求函数值域的一般方法：(1)单调性法；(2)不等式法；(3)配方法；(4)换元法；(5)数形结合法；(6)分离常数法；(7)导数法.一、单调性法例1已知a>0，设函数f(x)＝2023x＋1＋20222023x＋1＋2023x3(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为()A.2023B.2024C.4045D.4046二、不等式法主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法.常用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)；ab a＋b22≤a2＋b22(a，b为实数).例2设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为________.配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的最值问题，可以考虑用配方法.例3已知函数y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值.四、换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值.例4(1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________；(2)函数y＝x－4－x2的值域为________.五、数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法.例5对a，b∈R，记max{a，b}，a≥b，，a<b，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________.六、分离常数法例6已知f(x)＝2x＋1x－3，求此函数的值域.例7已知f (x )＝2x －ln x ，求f (x )的值域.1.如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图像.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()2.下列所给图像是函数图像的个数为()A.1B.2C.3D.43.已知函数f (x )x ＋1，x ≤0，－log 2x ，x >0，则f (f (8))等于()A.－1B.－12C.12D.24.设函数x ，则f (x )的表达式为()A.1＋x1－x(x ≠－1) B.1＋xx －1(x ≠－1)C.1－x1＋x(x ≠－1) D.2xx ＋1(x ≠－1)5.已知函数f (x )x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为()A.－1B.1C.－1或1D.－1或－136.(2021·兰州质检)已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝f （2x －1）ln （1－x ）的定义域是()A.[0，1]B.(0，1)C.[0，1)D.(0，1]7.(2021·成都检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f (x )＝12×4x －3×2x ＋4(0<x <2)，则函数y ＝[f (x )]的值域为()A.－12，B.{－1，0，1}C.{－1，0，1，2}D.{0，1，2}8.已知函数f (x )2＋x ，x ≥0，3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为()A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)9.函数f (x )＝＋1－x 2的定义域为________.10.(2022·西安质检)已知函数f(x)x2－2x＋1，x<0，x，x≥0，则满足f(a)>1的实数a的取值范围是________.11.已知函数f(x)满足1xf(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________，________.12.具有性质：f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是________.①y＝x－1x；②y＝ln1－x1＋x；③y＝e1－xx；④f(x)，0<x<1，，x＝1，－1x，x>1.13.(2022·河南名校联考)已知函数f(x)＋x2，x≤0，，x>0，若f(x－4)>f(2x－3)，则实数x的取值范围是()A.(－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(－1，4)D.(－∞，1)14.已知函数f(x)1－2a）x＋3a，x<1，x－1，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是________.15.若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列四个函数：①f(x)＝1x；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos(πx).其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为________.16.已知函数f(x)＝x2.1＋x2(1)求f(2)与f(3)与(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f(3)求f(2)＋f(3)＋f(2022)＋f.。

【600分考点-700分考法】2020版高考理数：专题(2)函数的概念与基本初等函数I

＝
1 x2
－1＝ 1x＋11x－1
＝ 1x＋11x＋1－2，
∴f(x)＝x2－2x(x≠1)．
方法二(换元法)：设
1 x
＋1＝t，则x＝
t－1 1(t≠1)，
∴f(t)＝

1 1
2
－1＝(t－1)2－1＝t2－2t，∴f(x)＝x2－2x(x≠1)．
t－1
考点一函数的概念
求函数的值域时，应根据解析式的结构特点，选择适当的方法，常
见的方法： (1)配方法．将形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数配方，转化为顶点
式，利用二次函数值域的求法求解．
(2)单调性法．先判断函数的单调性，利用单调性确定函数的最值，进而求得值域．若f(x)在[a，b]上单调递增，则x∈[a，b]时，
函数f(2x)的定义域为[0，1]．所以函数g(x)有意义的条件是
0≤x≤1，
x－1≠0，
解得0≤x＜1.故函数g(x)的定义域是[0，1)．
【答案】[0，1）
考点一函数的概念方法2 求函数的解析式
求函数解析式的常见方法：
(1)待定系数法．若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可直接设出函数解析式．例如，二次函数可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c 是待定系数，根据题设条件列出方程组，解出a，b，c即可． (2)换元法．已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，可设h(x)＝t，从中解出x(用t 表示x)，代入g(x)中进行换元得到f(t)，最后将t换成x即可．
考点一函数的概念
必备知识全面把握
1．函数的定义
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x),x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I 2.1 函数的概念 2.1.4 函数的表示方法课堂导学案

2.1.4 函数的表示方法课堂导学三点剖析一、用适当方法表示函数及分段函数【例1】已知f(x)=⎩⎨⎧<+≥+.012,012x x x x(1)求f(1),f(-2),f(a 2+1),f ［f(0)］的值；（2）画出f(x)的图象.思路分析：（1）先确定自变量的取值属于哪一段，再用该段的解析式求函数值.（2）分两段作函数的图象，每一段一般都先作出端点.解析：(1)f(1)=12+1=2,f(-2)=2×（-2）+1=-3，f(a 2+1)=(a 2+1)2+1=a 4+2a 2+2,f ［f(0)］=f(1)=12+1=2.(2)f(x)的图象如下图所示.温馨提示(1)关键是理解分段函数的意义，即自变量在不同范围内取值时，相应的函数解析式不同.（2）f ［g(x)］是g(x)作为自变量执行“f ”这个对应法则，求f ［f(x 0)］的值应从里向外求.二、求函数解析式【例2】（1）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)；（2）已知f(x +4）=x+8x ,求f(x 2).思路分析：（1）可设出二次函数，根据已知条件，确定待定系数.（2）中应先求出f(x)，再求f(x 2).解析：（1）∵f(x)是二次函数，设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0).由f(0)=1得c=1.由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax 2+bx+1)=2x.左端展开整理得2ax+(a+b)=2x.由恒等式原理知⎩⎨⎧=+=,0,22b a a ∴⎩⎨⎧-==.1,1b a ∴f(x)=x 2-x+1.(2)设t=x +4.∴x =t-4(t ≥4).由f(x +4)=x+8x 可得f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t 2-16(t ≥4）.∴f(x)=x 2-16(x ≥4）.∴f(x 2)=x 4-16(x ≥2或x ≤-2）.温馨提示在（2）中求f(x 2)，千万不能直接代入f(x +4)=x+8x ，得f(x 2)=x 2+8|x|，这是没明白x 2与x +4有同等地位，都执行“f ”这个对应法则导致的.三、利用分段函数解决实际问题【例3】在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克付邮资80分，超过20克不超过40克付邮资160分，超过40克不超过60克付邮资240分，依此类推，每封x 克（0<x ≤100)的信应付多少分邮资？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域.解析：设每封信的邮资为y ，则y 是信件重量x 的函数.这个函数关系的表达式为f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈],100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80x x x x x函数值域为{80，160，240，320，400}.在直角坐标系中描点作图，函数图象如下图.温馨提示用函数知识解实际问题，一要注意自变量的取值范围；二要注意自变量x 和函数y 的取值是否具有实际意义.各个击破类题演练 1已知函数y=f(x),f(0)=1，且当n∈N *时，有f(n)=nf(n-1)，求f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5).解析：f(0)=1；f(1)=1·f(1-1)=1·f(0)=1；f(2)=2·f(2-1)=2·f(1)=2×1=2；f(3)=3·f(3-1)=3·f(2)=3×2=6；f(4)=4·f(4-1)=4·f(3)=4×6=24；f(5)=5·f(5-1)=5·f(4)=5×24=120；变式提升 1已知x∈N *,f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),6()2(),6(5x x f x x 则f(3)=__________. 解析:∵f(x)= ⎩⎨⎧<+≥-),6()2(),6(5x x f x x∴f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2,故f(3)=2.答案：2类题演练 2(2004湖北卷高考理，3)已知f(x x +-11)=2211xx +-，则f(x)的解析式可取为（） A.21x x + B.-212x x + C.212x x + D.-21xx + 解析：设x x +-11=t ，则x=tt +-11. ∴f(t)=)11(1)11(12tt t t +-++--=2224t t +=212tt + 即f(x)=212x x +，故选C. 答案：C变式提升 2已知函数φ(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且φ(31)=16,φ(1)=8，求φ(x)的表达式. 解析：设f(x)=k 1x,g(x)=x k 2,则φ(x)=k 1x+xk 2, ∵φ（31）=16，φ(1)=8, ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,8,33162121k k k k 解得⎩⎨⎧==,5,321k k ∴φ（x ）=3x+x5. 类题演练 3某地出租车的出租费为4千米以内（含4千米），按起步费收10元，超过4千米按每千米加收2元，超过20千米（不含20千米）每千米再加收0.2元，若将出租车费设为y ，所走千米数设为x ，试写出y=f(x)的表示式.解析：当0<x ≤4，y=10.当4<x ≤20时，y=10+(x-4)×2=2x+2.当x>20时,y=10+32+(x-20)×2.2=2.2x-2.综上所述，y 与x 的函数关系为y=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+≤<).20(22.2),204(22),40(10x x x x x变式提升 3如下图，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BC 、CD 、DA 由B 点（起点）向A 点（终点）移动，设P 点移动的路程为x,△ABP 的面积为y=f(x).(1)求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值.解析：函数定义域为（0，12）.当0<x ≤4时，S=f(x)=21×4×x=2x ；当4<x ≤8时，S=f(x)=8；当8<x<12时，S=f(x)=21×4×(12-x)=24-2x, ∴函数解析式为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈].12,8(224],8,4(8(0,4],x 2x x x x（2）作出f(x)的图象（下图）.由图象看出［f(x)］max =8.。

高中数学专题02函数的概念与基本初等函数 (2)

专题02函数的概念与基本初等函数1．【2019年天津文科05】已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：由题意，可知：a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2，c＝0.30.2＜1，∴c＜b＜a．故选：A．2．【2019年天津文科08】已知函数f（x）若关于x的方程f（x）x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）A．[，] B．（，] C．（，]∪{1} D．[，]∪{1}【解答】解：作出函数f（x）的图象，以及直线y x的图象，关于x的方程f（x）x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，即为y＝f（x）和y x+a的图象有两个交点，平移直线y x，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a或a，考虑直线与y在x＞1相切，可得ax x2＝1，由△＝a2﹣1＝0，解得a＝1（﹣1舍去），综上可得a的范围是[，]∪{1}．故选：D．3．【2019年新课标3文科12】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数∴，∵log34＞log33＝1，，∴0f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴，故选：C．4．【2019年新课标2文科06】设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+1【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）＝e﹣x﹣1，∵设f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝e﹣x﹣1，即f（x）＝﹣e﹣x+1．故选：D．5．【2019年新课标1文科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．6．【2019年北京文科03】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y【解答】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．故选：A．7．【2018年新课标2文科12】已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．8．【2018年新课标1文科12】设函数f（x），则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）【解答】解：函数f（x），的图象如图：满足f（x+1）＜f（2x），可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，解得x∈（﹣∞，0）．故选：D．9．【2018年新课标3文科07】下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）【解答】解：首先根据函数y＝lnx的图象，则：函数y＝lnx的图象与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称．由于函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称．则：把函数y＝ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y＝ln（2﹣x）．即所求得解析式为：y＝ln（2﹣x）．故选：B．10．【2018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A．f B．f C．f D．f【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：．故选：D．11．【2018年天津文科05】已知a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：∵a，b，c，且5，∴，则b，∴c＞a＞b．故选：D．12．【2017年北京文科05】已知函数f（x）＝3x﹣（）x，则f（x）（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数【解答】解：f（x）＝3x﹣（）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（）x为减函数，故函数f（x）＝3x﹣（）x为增函数，故选：B．13．【2017年北京文科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．1093【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴1093，故选：D．14．【2017年天津文科06】已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f （20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a＝﹣f（）＝f（log25），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．15．【2017年天津文科08】已知函数f（x），设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．C．D．【解答】解：根据题意，函数f（x）的图象如图：令g（x）＝|a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥|a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故选：A．16．【2018年新课标1文科13】已知函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，则a＝．【解答】解：函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，可得：log2（9+a）＝1，可得a＝﹣7．故答案为：﹣7．17．【2018年新课标3文科16】已知函数f（x）＝ln（x）+1，f（a）＝4，则f（﹣a）＝．【解答】解：函数g（x）＝ln（x）满足g（﹣x）＝ln（x）ln（x）＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数．函数f（x）＝ln（x）+1，f（a）＝4，可得f（a）＝4＝ln（a）+1，可得ln（a）＝3，则f（﹣a）＝﹣ln（a）+1＝﹣3+1＝﹣2．故答案为：﹣2．18．【2018年天津文科14】已知a∈R，函数f（x）．若对任意x∈[﹣3，+∞），f （x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是．【解答】解：当x≤0时，函数f（x）＝x2+2x+a﹣2的对称轴为x＝﹣1，抛物线开口向上，要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则只需要f（﹣3）≤|﹣3|＝3，即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）＝﹣x2+2x﹣2a，在射线y＝x的下方或在y＝x上，由﹣x2+2x﹣2a≤x，即x2﹣x+2a≥0，由判别式△＝1﹣8a≤0，得a，综上a≤2，故答案为：[，2]．19．【2017年新课标2文科14】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，则f（2）＝．【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，∴f（﹣2）＝﹣12，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）＝12，故答案为：1220．【2017年新课标3文科16】设函数f（x），则满足f（x）+f（x）＞1的x的取值范围是．【解答】解：若x≤0，则x，则f（x）+f（x）＞1等价为x+1+x1＞1，即2x，则x，此时x≤0，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x，当x0即x时，满足f（x）+f（x）＞1恒成立，当0≥x，即x＞0时，f（x）＝x1＝x，此时f（x）+f（x）＞1恒成立，综上x，故答案为：（，+∞）．21．【2017年北京文科11】已知x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2的取值范围是．【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y＝1，则x2+y2＝x2+（1﹣x）2＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，则令f（x）＝2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x，开口向上，所以函数的最小值为：f（）．最大值为：f（1）＝2﹣2+1＝1．则x2+y2的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．1．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】若函数的图象关于y轴对称，则实数a的值为（）A．2 B．4 C．2±D．4±【答案】C【解析】f x为偶函数.由于为奇函数，故也为奇函数.而依题意，函数()，故，即，解得2a =±.故选：C.2．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷)】己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式的解集为（）A ．()10-，B ．()12-，C ．()02，D ．()2，+∞ 【答案】B 【解析】根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，则不等式f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3，解可得：﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）. 故选：B ．3．【天津市河北区2019届高三一模】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（） A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】∵f （x ）为偶函数∴∵f （x ）在[0，+∞）内单调递减，∴，即故选：C4．【天津市红桥区2019届高三二模】已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln 3c =，则（） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A【解析】且即a b c ∴>>本题正确选项：A5．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数，若()f a b =，则()4f a -=（）A ．bB ．2b -C ．b -D ．4b -【答案】B 【解析】因为故函数()f x 关于点（2,1）对称，则()4f a -=2b - 故选：B6．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数，则（）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称【答案】D 【解析】由题意知：当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递减，A 错误；当10x -<时，()0f x <，可知()f x 最小值为4不正确，B 错误；，则()f x 不关于1x =对称，C 错误；，则()f x 关于()1,2对称，D 正确.本题正确选项：D7．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足，当01x ≤≤时，2()f x x =，则（）A ．2019B ．0C ．1D ．-1【答案】B 【解析】由得：()f x 的周期为4又()f x 为奇函数()11f ∴=，，，即：本题正确选项：B8．【天津市红桥区2019届高三一模】若方程有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．(),1-∞- B ．()1,0-C ．()0,4D ．【答案】D 【解析】解：y，画出函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象，由图象可以看出，y ＝kx ﹣2图象恒过A （0，﹣2），B （1，2），AB 的斜率为4， ①当0＜k ＜1时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有两个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；②当k ＝1时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有1个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有1个不同的实数根；③当1＜k ＜4时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有两个交点，即方程211x x -=-kx ﹣2有两个不同的实数根；④当k 0≤时，函数y ＝kx ﹣2，y 211x x -=-的图象有1个交点.因此实数k 的取值范围是0＜k ＜1或1＜k ＜4. 故选：D ．9．【天津市部分区2019届高三联考一模】设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】在R 上递减，∴若充分性成立，若112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭，则，必要性成立，即“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的充要条件，故选C.10．【广东省2019届高考适应性考试】某罐头加工厂库存芒果()m kg ，今年又购进()n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。

专题02 函数的概念与基本初等函数-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(通用)(原卷版)

专题02函数的概念与基本初等函数I 考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：已知奇偶性求参数2023年全国Ⅱ卷2023年全国乙卷（理）2024年上海卷2022年全国乙卷（文）2023年全国甲卷（理）从近三年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查．考点2：函数图像的识别2022年天津卷2023年天津卷2024年全国甲卷（理）2024年全国Ⅰ卷2022年全国乙卷（文）2022年全国甲卷（理）考点3：函数模型及应用2022年北京卷2024年北京卷2023年全国Ⅰ卷考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性2023年全国乙卷（理）2022年北京卷2023年北京卷2024年全国Ⅰ卷2024年天津卷2023年全国Ⅰ卷考点5：分段函数问题2022年浙江卷2024年上海夏季考点6：函数的定义域、值域、最值问题2022年北京卷2022年北京卷考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用2023年全国Ⅰ卷2022年全国I卷2024年全国Ⅰ卷2022年全国II卷考点8：指对幂运算2022年天津卷2022年浙江卷2024年全国甲卷（理）2023年北京卷考点1：已知奇偶性求参数1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）．A ．1-B ．0C ．12D ．12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（2024年上海夏季高考数学真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．4．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b =．5．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．考点2：函数图像的识别6．（2022年新高考天津数学高考真题）函数()21x f x x-=的图像为（）A ．B ．C ．D ．7．（2023年天津高考数学真题）已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．25e 5e 2x xx --+B ．25sin 1x x +C ．25e 5e 2x xx -++D ．25cos 1x x +8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．810．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．考点3：函数的实际应用12．（2022年新高考北京数学高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态13．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N =D ．3221N N =14．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A ．12p p ≥B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p ≤考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是.16．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=17．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞19．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x x y +=20．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞考点5：分段函数问题21．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是．22．（2024年上海夏季高考数学真题）已知(),0,1,0x x f x x >=≤⎪⎩则()3f =．考点6：函数的定义域、值域、最值问题23．（2022年新高考北京数学高考真题）函数1()1f x x x=-的定义域是．24．（2022年新高考北京数学高考真题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为；a 的最大值为．考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用25．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=27．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <28．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．129．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-考点8：指对幂运算30．（2022年新高考天津数学高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．631．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．5332．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．33．（2023年北京高考数学真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。

高中数学知识点总结(第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第二节函数的单调性与最值)

第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f x的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一确定函数的单调性区间)[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1.由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．法二：导数法 f ′(x )＝ax ′x －1－ax x －1′x －12＝ax －1－ax x －12＝－ax －12.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二求函数的值域最值)[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52(3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号；当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4，即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1，因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25. 12．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1.所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2m x ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2m x 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a>0，所以a>3.答案：(3，＋∞)3．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．。

(统编版)2020高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.3映射的概念自主训练苏教版必修50

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