北师大版九年级数学下册《一章直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用》公开课课件_3

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北师大版数学九年级下册《第一章直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 5 三角函数的应用》课件

A北东
B
C
D
解: 过A点作BC的垂线AD,则AD的长即为货轮距离小岛的最短距
离.若AD＞10 n mile,则货轮安全;反之则有触礁的危险.设AD=x.
Rt△ABD中, tan 55 = BD
AD
Rt△ACD中, tan 25 = CD
AD
∴BC=BD－BC=x·tan55°－x·tan25°
∴x=
诚信赢天下，精品得人心！来自ADBEF C
解:(2)S梯形ABCD=(6+30)×4 2 ÷2=7 2 2 (m2)
V=100×S梯形ABCD=100×7 2 2 ≈10182.34(m3)
建筑大坝共需10182.34m3的土石.
谢谢大家
郑重申明
作品整理不易，仅供下载者本人使用，禁止其他网站、公司或个人未经本人同意转载、出售！
tan55
20 －tan25
≈20.79
n
mile
∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
进行新课
如图,小明想测量塔CD的高度. 他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进 50m至B处.测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m)
解:如图∠DAC=30°,∠DBC=60°, AB=50m,设塔高DC=x m.
A
B
C
D
解:如图∠ACD=40°,∠ABD=35°, AC=4m.
Rt△ACD中, sin 40 = AD
AC
∴AD=4sin40°
Rt△ABD中, sin 35 = AD
AB
∴AB=
AD sin35
4sin40 sin35
≈4.48(m)

新北师大版九年级数学下册《一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用》教案_3

完成题目。
完成任务，获得宝箱拼图的第二块！进
入古塔，映入眼帘的是古塔的楼梯，迎来我
们第三个任务——楼梯应该怎样修缮？
五、楼梯应该怎样修缮？（练习三）
古塔年代久远，需要改善原有楼梯的安
一名学生大声读
全性能 , 把倾角由原来的 45°减至 30°, 已知题，其余学生根据条件
PPT
原楼梯的长度为 4m,调整后的楼梯会加长多抽象出数学模型，画出
如图 , 寻宝小分队要测量塔 CD的高度 . 一名队员在 A 处仰望塔顶 , 测得仰角为 30° , 再往塔的方向前进 50m 至 B 处 , 测得仰角为 60° , 那么该塔有多高 ?( 该队员的身高忽略不计 , 结果保留根号 ).
你能完成这个任务吗 ?
一名学生大声读题，其余学生在学案上标出条件。
独立完成题目。
打开宝箱！六、打开宝箱（课堂小结）
三角函数应用宝典实际问题不难解，数学模型要会建，三角函数要记牢，两直角边用正切，斜边对边想正弦，斜边邻边用余弦，必要时设未知数，方程模型来帮助。七、作业布置 A 类：习题 1.6 第 2、 4 题； B 类：习题 1.6 第 2 题；完成学案上的思考题
一名学生大声读题，其余学生在图中标出条件，一名学生在黑板上的图中标出条件。
分析完成题目。
两名学生讲解自Biblioteka 的思路及做法。完成任务，获得宝箱拼图的第一块！船可以顺利航行了，航行到岛边，登上小岛后，岛上有一个古塔，宝藏就在古塔里，但是我们要先完成一个任务才能进入，请看任务二 ——古塔究竟有多高？四、古塔究竟有多高？（练习二）
3．情感教育与价值观
通过对三角函数的实际应用，体会数学源于生活且服务于生活。

九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用北师大版

3.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为 60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了2( 3 2)m.
解析:由题意知调整前梯高为4·sin 45°=4× 2 2 2 (m),调整后梯高为4·sin
2
60°=4× 3 2 3 (m),∴梯子升高了
2
2( 3 2 )m.故填2( 3 2 ).
A.10 3 m B.10 m C.20 3 m D. 2 0 3 m
3
解析:∵在直角三角形ADB中,∠D=30°，
∴BD=
AB tan30
3AB
.∵在直角三角形ABC中,∠ACB=60°，
∴BC=
AB 3 AB .∵CD=20,∴CD=BD-BC=
tan60 3
3
AB-
3 3
AB=20,
解得AB=10 3 .故选A.
解得 x 20 20.79海里 .
tan55tan25
∵20.79＞10,∴货轮没有触礁的危险.
利用仰角和俯角解决实际问题
【想一想】如图所示,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,
测得仰角为30°,再往塔的方向前进50 m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1 m)
AC
∵AC=4 m，∴AB=4sin 40° m，原楼梯占地长
BC=4cos 40° m.
调整后,在Rt△ADB中,sin 35°=
AB AD
，
则AD= AB 4sin40 (m)，楼梯占地长DB= 4 s i n 4 0 m，
sin35 sin35
tan 35
∴调整后楼梯加长:AD-AC=4 s in 4 0 -4≈0.48(m).

新北师大版九年级数学下册《一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用》教案_8

三角函数的应用【学习目标】：能熟练的应用sinA,cosA,tanA,熟记30?,45?,60?角的各三角函数值，并会用解直角三角形的有关知识来解某些简单的实际问题。

【学习重点】：运用直角三角形的边角关系解直角三角形。

【自主“学”习】1．三角函数的定义：sinA= ；cosA= ；tanA= ；2．特殊角的三角函数值3．解直角三角形就分为两大类，一类为：已知一条边及一个锐角，二类为：已知两条边．基本类型和解法归纳如下：4．(1) 互余两角之间的三角函数关系: sinA= ,（2）同角之间的三角函数关系:平方关系：=商的关系: tanA= ,倒数关系：tan A =【基础练习】【合作探究】1、如果α为锐角，那么sinα+cosα的值（）A.小于 1B.等于 1C.大于 1D.不能确定范围2、若∠A为锐角，cosA=，则有（）A.0°<∠A<30°B.30°<∠A<45°C. 45°<∠A<60°D. 60°<∠A<90°3、已知∠A＋∠B＝90°，则下列各式中正确的是（）A.sinA＝cosAB.cosA＝cosBC.sinA＝cosBD.tanA＝tanB例2【链接中考】1、（2014?德州，第7题3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A． 4米B． 6米C． 12米D． 24米2、（2014?滨州，第11题3分）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC的长为（）A．6B．7.5 C．8D．12.53、（2014?舟山，第12题4分）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米（用含α的代数式表示）．4、（2014?广东，第20题7分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据测量数据计算这棵树CD的高度5、（2014?四川巴中，第27题9分）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．6、（2014?襄阳，第15题3分）如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为m（结果保留根号）7、（2014?济宁，第12题3分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB 的长为．8、（2014?四川自贡，第18题8分）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD 的高度．9、（2014?海南,第22题9分）如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度。

新北师大版九年级数学下册《一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用》教案_9

问题。
出转化思想的运用，为后面的比较学习打下基础。
∴ BD=BC-CD3=2 3 -16 ≈32× 1.73-16 ≈ 39（米）答：荷塘宽 BD约为 39 米。
（三）例题精
讲
例 1：如图，平台 AB 高为 12m，在 B 处测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45°，底部点 C 的俯角为 30°，求楼房 CD 的高度。（参考值： 3 ≈1.7）
BE
教师引导学生比较基础练习与例 1。学生听讲并思考。
利用本题与基础练习比较，得出构造直角三角形的基本思路。
∴ BE= CE = 12 = 12 =12 3 m
tan EBC tan30
3
3
在 Rt△ BED中，∠ BED=90°，∠ BDE=∠ DBE=45°
∴ DE=BE=12 3 m
（提问：本题与上题相比，难易程度如何，哪题更简单？为什么更简单？简单在哪？你能迁移应用吗？）解：作 BE⊥CD 于点 E，则∠ BEC=∠BED=90°
由实际可得∠ ECA= ∠A=90°， ∴四边形 ACEB 为矩形， CE=AB=12m ，在 Rt△ BEC中，∠ BEC=90°， tan ∠ EBC=CE
解直角三角形的应用
一、复习目标
1、能利用锐角三角函数和勾股定理解与直角三角形有关的实际问题。 2、备战中考解答题之解直角三角形的应用。
二、复习重点
把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中，再综合应用勾股定理和锐角三角函数解决简单的实际问题。
三、复习难点
把实际问题转化为解直角三角形的数学问题。数形结合、转化思想、方程思想、比较法
sin37 °≈ 3 ，cos37°≈ 4 ， tan37 °≈ 3 ，sin53 °

新北师大版九年级数学下册《一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用》教案_4

1.4船有触礁的危险吗学习目标：1.经历船是否有触礁危险的过程，体会三角函数在解决问题过程中的应用；2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.重点：体会三角函数在解决问题过程中的作用；发展学生数学应用意识和解决问题的能力.难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.学习过程：一、复习回顾：1、直角三角形三边的关系:2、直角三角形两锐角的关系：3、直角三角形边与角之间的关系：4、特殊角300,450,600角的三角函数值：说明：直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等二、课堂探索：探究一：（航海问题）海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.探究二：（测量问题）如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m)探究三：（改造工程问题）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)ABCDH三、课堂练习1、如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?2、如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD＝6 m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30 m，∠ADC=135°. (1)求∠ABC的大小：(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)四、课后作业：1、如图，某校九年级6班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动。

新北师大版九年级数学下册《一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用》教案_5

§1.5 三角函数的应用教学目标( 一) 知识与技能1.经历探索舰艇是否有触礁危险的过程，体会三角函数在解决问题中的应用；通过探究测高问题和建筑问题能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.(三) 情感态度与价值观在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气；选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.教学重点1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.通过测高问题和建筑问题发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图并能利用三角函数建立方程。

教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示（PPT, 视频，投影仪，36份导学案，小组合作卡）教学过程Ⅰ.课堂热身，知识回顾[师]我们知道，三角函数是在直角三角形中定义的，那么直角三角形中存在怎样的边角关系呢？请同学们思考和老师一起完成知识树。

利用“直角三角形”知识树回顾其角之间、边之间、边与角、特殊角的三角函数值。

Ⅱ.创设情境，引入新课[师]在实际生活中哪些方面会用到三角函数呢？（学生思考并回答：在航海、工程等测量问题中有着广泛应用）老师最感兴趣的是它在航海方面的应用，今年是我国海军建军多少周年呢？（学生回答）请同学们先欣赏一段视频(多媒体演示海军70周年纪录片，学生观看，教师板书题目).[师]相信此时，同学们能够感受到保卫祖国，守护人民的职责是神圣的，国家利益所至，舰艇航迹必达。

“航迹问题”就和三角函数有关，只有准确的辨明方向，计算距离才能完成任务。

假如你是船长，下面的问题你能解决吗？（PPT展示探究一）探究一：船是否有触礁危险？海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有一艘救援舰艇由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，舰艇继续往东航行，你认为舰艇继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.（学生讨论交流，师生探讨思路，师生整理具体过程，教师板演）[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD 的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?（师生共同分析已知条件，完成示意图的标注，并分析题意整理思路）[师生共析]解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°＝20.)＝20，AD(tan55°-tan25°AD=25tan 55tan 20≈20.67(海里).（留给学生计算时间，并在导学案上补充过程）这样AD ≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险. [师]这个题目我们就完成了，在解决这个实际问题时，我们首先将它转换成数学问题，画出几何图形，构建直角三角形，实质是解两个直角三角形，解题的突破点就是两个直角三角形的公共边。

新北师大版九年级数学下册《一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用》教案_2

题意画出示意图，根据条件求解。
（三）、解实际问题常用的两种思维方法：
1、切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与
其他特殊图形的组合；
2、粘补法：此方法大都通过延长线段来实现。
（四）、解实际问题常用的两种模型：
1、“背靠背”型
这类型的特点是：两直角三角形是并列关系，有公共直角顶点和一条公共直角边，其中，这
求 B 处与河岸的距离 .
A 后，以和河岸成
30°角的方向行驶了
500m 到达 B 处，
例 2、如图，一艘船以 40km/h 的速度向正东航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 60°方向上，继续航行 1h 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 30°方向上 . 已知在灯塔 C 的四周 30km 内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？
米
C.35.7 米 D.35.74
米
5．（ 2011 年广东）如图，小明家在 A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路
l ，AB 是
A 到 l 的小路 . 现新修一条路 AC 到公路 l. 小明测量出∠ ACD =30o，∠ ABD =45o， BC=50m .
请你帮小明计算他家到公路 l 的距离 AD 的长度（精确到 0.1m；参考数据： 2 1.414 ，
学校附近楼房 CD 的高度，在水平地面 A 处安置测倾器测得楼
房 CD 顶部点 D 的仰角为 45°，向前走 20 米到达 A′处，测
得点 D 的仰角为 67.5 °，已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，
则楼房 CD的高度约为 ( 结果精确到 0.1 米， 2≈1.414)(
)
A.34.14 米 B.34.1
正弦：

新北师大版九年级数学下册《一章直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用》教案_19

§1.5 <三角函数的应用>教学设计教学目标利用三角函数把实际问题转化为数学问题，进行有关三角函数与方程的计算，并能对结果的意义进行说明。

教学重点体会三角函数在解决问题过程中的作用；发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图. 探索——发现法教具准备白板、多媒体演示教学过程一、温故知新设计目的：回顾特殊三角函数值，明确解直角三角形的条件.二、创设情境，引入新知下面我们就来欣赏一段视频：《泰坦尼克号》(多媒体演示).请思考：视频中游轮事故发生的原因是什么？现实生活中类似这样的事故能否避免?与同伴进行交流自己的想法。

.下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题(板书：船有触礁的危险吗) 出示本节课学习目标：利用三角函数把实际问题转化为数学问题，进行有.22135的长，求，，中，如图，在AB AC BC ACB ABC ==︒=∠∆ABC关三角函数与方程的计算，并能对结果的意义进行说明。

三、讲授新课如图，海上有一小岛P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得小岛P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得小岛P在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险?[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?[生]应该是“上北下南，左西右东”.[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的. [生]首先我们可将A处确定，海轮至A处测得P在它的北偏东60°的方向，至B 处测得P在它的北偏东45°处.示意图如下：通过自己的理解，思考一下几个问题：1、如何理解小岛四周有暗礁？2、海轮航行过程中与小岛之间的距离是怎样变化的？3、是否有触礁的危险是由什么来决定的？师生共析：[师]海轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定? [生]根据题意，小岛四周6海里内有暗礁，那么海轮继续向东航行的方向如果到P 的最短距离大于6海里，则无触礁的危险，如果小于6海里则有触礁的危险.P 到AB 所在直线的最短距离为过P 作PC ⊥BC ，C 为垂足，即PC 的长度.我们需根据题意，计算出PC 的长度，然后与6海里比较.[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看PC 如何求.根据题意，有哪些已知条件呢? [生]已知AB ＝6海里，∠PAC ＝30°，∠PBC ＝45°.[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt △APC 和Rt △BPC.你能在哪一个三角形中求出PC 呢?[生]在Rt △BPC 中，只知道∠PBC=45°，不能求PC.[生]在Rt △APC 中，知道∠PAC=30°，虽然知道AB ＝6海里，但它不是Rt △APC 的边，也不能求出PC.[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑? [生]我发现这两个三角形有联系，PC 是它们的公共直角边.而且BC 是这两个直角三角形AC 与AB 的差，即AC ＝AB+BC.PC 的对角是已知的，BC=PC,AC 、BC 和边PC 都有联系. [师]有何联系呢?[生]在Rt △APC 中，tan30°＝ACPC，PC=ACtan30°； [生]设PC=BC=x 就可以列出关于PC 的一元一次方程.[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.下面我们一起完整地将这个题做完.根据题意，可得：于点作解析：过点.C AB PC P ⊥海里6602018=⨯=AB[师]同学们，还有其他方法吗?[生]有，勾股定理也可以算出PC 的长：[师]太棒了！在解决这类实际问题时，我们可以借助这两种方法。

北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系(教案).5三角函数应用(教案)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角函数的基本概念。三角函数是描述直角三角形中角度与边长比例关系的数学函数。它是解决高度、距离等实际问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用三角函数测量建筑物的高度，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切函数的定义和应用这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
此外，学生在解决综合性问题时，数学建模能力有待提高。在今后的教学中，我将着重培养学生的数学建模素养，让他们学会如何将实际问题抽象为数学模型，并运用所学知识进行求解。
在教学方法上，我尝试采用引导式教学，让学生在讨论和实践中发现问题和解决问题。这种教学方式在很大程度上激发了学生的兴趣，但也对课堂节奏的控制提出了更高的要求。在今后的教学中，我需要更好地把握课堂节奏，既要保证学生的讨论和实践时间，又要确保教学目标的顺利完成。
1.讨论主题：学生将围绕“三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
b.引导学生通过分析问题，抽象出数学模型，培养数学抽象素养。
3.培养学生的合作与交流能力，提高数学表达与交流素养；
a.组织课堂讨论和分享，鼓励学生表达自己的观点，倾听他人的意见，培养合作交流能力；
b.引导学生在解题过程中，注重数学语言的表达，提高数学表达与交流素养。

北师大版九年级数学下册《一章直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用》公开课教案_18

1.5 三角函数的应用教学内容分析：本节内容属于是在直角三角形中边角之间关系学习之后的简单运用，是《数学课程标准》中“图形与几何”领域的“图形变化”中的重要内容，本节课主要研究利用锐角三角函数解决实际问题。

学生情况分析：学生已经学习了直角三角形中量与量之间关系，并能够利用这些关系，在直角三角形中进行一些简单计算，并且能根据生活中的一些情景，用所学知识解决一些简单的实际问题，初步具备了一些活动经验。

本节知识是利用锐角三角函数解决较为复杂的实际问题，难度有所增加，学生在探究和解决实际问题时，会出现审题不清，锐角三角函数定义理解不清，不能选择合适的锐角三角函数，计算错误等问题。

教学目标1、能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.2、经历探索船是否有触礁危险，求塔高等过程，进一步体会三角函数生活实际问题的应用，感受数形结合的思想.3、通过问题情境的创设和引导学生主动探究，主动参与，体会数学的应用意识，同时体验成功的快乐，培养学生的合作精神和求真务实的科学态度.教学重难点重点：进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展学生数学应用意识和解决问题的能力.难点：灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决.教学过程一、创设问题情境，引入新课[师]打开人人通授课平台，进入“我的课件”，大屏幕展示我们“北镇双塔”的图片，视频播放介绍双塔，培养学生热爱家乡的情感。

如何能利用我们所学的知识求出塔的高度呢，那这节课我们就来共同学习第5节“三角函数的应用”，我们可以用三角函数的相关内容来解决实际问题，。

首先复习直角三角形的相关知识⑴锐角之间的关系⑵三边之间的关系⑶ 边角之间的关系--------正弦、余弦、正切三角函数特殊角的三角函数值表如下图：BD=50m ，设AC=xm,用含X 的代数式填空：BC=CD=二、讲授新课[师]接下来，我们就来研究本节开头的问题.要测北镇双塔的高度?现在我们来看是怎样测的，并根据得到的数据帮如何求出塔的高度.多媒体演示想一想你会更聪明：如图，数学小组想测量塔CD 的高度.他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B 处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(结果精确到0.1 m)[师]我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角?[生]当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指∠DAC ，60°的仰角指∠DBC.[师]很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答.(教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导)[生]首先，我们可以注意到CD 是两个直角三角形Rt △ADC 和Rt △BDC 的公共边，在Rt △ADC 中，tan30°=AC CD ，即AC ＝︒30tan CD 在Rt △BDC 中，tan60°=BCCD , 即BC ＝︒60tan CD ，又∵AB=AC-BC ＝50 m ，得 ︒30tan CD -︒60tan CD =50. 解得CD≈43.3(m)，即塔CD 的高度约为43.3 m.[师]下面我们再看一道关于航海的问题海中有一个小岛A ，该岛四周10海里内暗礁．今有货轮四由西向东航行，开始在A 岛南偏西600的B 处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西300的C 处．之后，货轮继续向东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?[生]应该是“上北下南，左西右东”.[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.[生]首先我们可将小岛A 确定，货轮B 在小岛A 的南偏西60°的B 处，C 在B 的正东方，且在A 南偏东30°处.示意图如下.[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A 的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A 到BC 所在直线的最短距离为过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足，即AD 的长度.我们需根据题意，计算出AD 的长度，然后与10海里比较.[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD 如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?[生]已知BC ＝20海里，∠BAD ＝60°，∠CAD ＝30°.[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt △ABD 和Rt △ACD.你能在哪一个三角形中求出AD 呢?[生]在Rt △ACD 中，只知道∠CAD=30°，不能求AD.[生]在Rt △ABD 中，知道∠BAD=60°，虽然知道BC ＝20海里，但它不是Rt △ABD 的边，也不能求出AD.[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?[生]我发现这两个三角形有联系，AD 是它们的公共直角边.而且BC 是这两个直角三角形BD 与CD 的差，即BC ＝BD-CD ，BD 、CD 的对角是已知的，BD 、CD 和边AD 都有联系.[师]有何联系呢?[生]在Rt △ABD 中，tan60°＝AD BD ，BD=ADtan60°；在Rt △ACD 中，tan30°＝ADCD ，CD＝ADtan30°.[生]利用BC ＝BD-CD ，就可以列出关于AD 的一元一次方程，即ADtan60°-ADtan30°＝20.[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.下面我们一起完整地将这个题做完.[师生共析]学生到白板上操作，板演。

九下第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用第3课时三角函数在坡度坡角问题中的应用作业新版北师大版

×10＝5(m)，∴点 B 距水平地面
AE
的高度为 5 m
(2)符合要求，理由如下：过点 B 作 BG⊥CE 于点 G，则四边形 BFEG 是矩形，
∴GE＝BF＝5 m，BG＝EF＝FA＋AE＝AB·cos ∠BAF＋AE＝10cos 30°＋21＝(5 3
＋21)m，∴在 Rt△BCG 中，CG＝BG·tan ∠CBG＝(5 3 ＋21)tan 45°＝(5 3 ＋21)m.
如下的方法：先从与古树底端 D 在同一水平线上的点 A 出发，沿斜面坡度 i＝2∶ 3
的斜坡 AB 前进 20 7 m 到达点 B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点 C.在
点 C 处测得古树 DE 的顶端 E 的俯角为 37°，底部 D 的俯角为 60°，求古树 DE 的高
度(结果精确到 0.1 m，参考数据： 3 ≈1.732，sin 37°≈3 ，cos 37°≈4 ，tan 37°≈3 ).
＝ tan
DH ∠DCH
＝ 40 ＝40 3 tan 60° 3
(m)，∴在 Rt△CEH 中，EH＝CH·tan ∠ECH＝
40 3 tan 37°≈17.32(m)，∴DE＝DH－EH≈40－17.32≈22.7(m)，∴古树 DE 的高度约 3
为 22.7 m
9．(24 分)
如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD，点 C，
12 ＝24＋9＝33(m)，∴在 Rt△ADE 中，AE＝DE•tan ∠ADE＝33tan 52°≈42.24(m)，
∴AB＝AE－BE≈42.24－10≈32.2(m)，∴建筑物 AB 的高度约为 32.2 m
8．(20 分)(2023·泸州)如图，某数学兴趣小组为了测量古树 DE 的高度，采用了

九年级数学下册教材目录(北师大版)

九年级数学下册教材目录（北师大版）第一章直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
2 30°，45°，60°角的三角函数值
3 三角函数的计算
4 解直角三角形
5 三角函数的应用
6 利用三角函数测高
回顾与思考
复习题
第二章二次函数
1 二次函数
2 二次函数的图象与性质
3 确定二次函数的表达式
4 二次函数的应用
5 二次函数与一元二次方程
回顾与思考
复习题
第三章圆
1 圆
2 圆的对称性
*3 垂径定理
4 圆周角和圆心角的关系
5 确定圆的条件
6 直线和圆的位置关系*
7 切线长定理
8 圆内接正多边形
9 弧长及扇形的面积
回顾与思考
复习题。