解直角三角形4
解直角三角形应用4湘教版
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为 一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用.
下： 1.沿着水平地面向前300m到达D点，在D点测得山 顶A的仰角为60 °，求山高AB. 2.沿着坡角为30 °的斜坡前进300m到达D点，在D 点测得山顶A的仰角为60 ° ，求山高AB. A
D 30° C
x E x
F B
三、小结
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关 联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作 辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）； 当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意， 把实际问题化归为直角三角形中的边角关系.
（ 返 回 ）
）
d
D
h
铅 垂 线
） 仰角 ） 俯角
水平线
k D d 2 tg
i
h
tg
( 为斜角 )
( 为坡角 )
一、基础题
1、在Rt △ABC中， ∠ C=90°，∠A的正切等 于2，BC=6，则这个三角形的面积等于____________, 斜边AB=_______________ . 2、某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 则此人的垂直高度增加了____________m .
解直角三角形应用
回顾知识要点
1、解直角三角形定义
2、直角三角形中的边角关系 3、在解直角三角形中，经常接触的名称
1、在一个直角三角形中，已知一条边和一 个锐角或者已知两条边，可以求出其他的边 和角，这就是解直角三角形.
2、在 ABC 中 , C 为直角 , 有下列的边角关系
三边的关系
解直角三角形 知识讲解
解直角三角形 知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有： ①三边之间的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系：sin ,cos ,tan ,cot a bab A A A Ac c b a ==== sin ,cos ,tan ,cot b aba B B B B c c a b==== ④，h 为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 要点二、解直角三角形的常见类型及解法由由，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算；2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别地：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图；2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解；3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，b = 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知， 由cos =a B c 知，48cos cos 60a c B ===°．(2)由tan bB a==B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2c =．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【变式】（1）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=23, c=6 ，求a 和b.【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，b ＝20，解这个直角三角形．【答案与解析】由∠C ＝90°知，∠A+∠B ＝90°，而∠B ＝30°， ∴ ∠A ＝90°-30°＝60°．又 sin 30b c =°，∴ 1202c=． ∴ c ＝40．由勾股定理知222a cb =-．∴ 2224020a =-，a =．【总结升华】解这个直角三角形就是根据已知∠C ＝90°，∠B ＝30°，b ＝20，求∠A 、a 、c 的过程． 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CDsin ∠AEB 的值； (3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案与解析】(1)∵，∴ ∠1＝∠2，又BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝90°． ∴ △ABE ∽△DBC ．(2)由△ABE ∽△DBC ，∴ ∠AEB ＝∠DCB ． 在Rt △BDC 中，BC ＝52，CD＝ ∴ BD= ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB＝552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DEDB AD=，∴ 2AD DE DB =． 又∵2CD AD ==，∴ CD 2＝(BO －BE)·BD ，∴BE =在Rt △ABE 中，AB ＝BE ．sin ∠AEB32=．【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造盲角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE ∽△DBC ．(2)利用(1)的结论，将∠AEB 转化为Rt △BCD 中的DCB ∠．(3)在Rt △ABE 中求AB ．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AC=12cm ，AB=16cm ，sinA=13． （1）求AB 边上的高CD ；（2）求△ABC 的面积S ；（3）求tanB ．【答案】（1）CD=4cm ；（2）S=32 cm 2；（3）类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为i =i ＝铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==．(2)在Rt △DEC 中，∵ tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°． 又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=55FB =+，解得5 3.66(m)FB ==．答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ． 【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.11.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°，∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52，CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30 在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°，∴ 551)22AB AE BE =+=+=≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
4 解直角三角形
∵ tan B b , b 30,
a
∴
a
b tan
B
30 tan 25。
64.
新课讲解
例 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形 的其他元素．(长度精确到0.01) 解：已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小．而 已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数． ∵∠A＝26°44′，∠C＝90°， ∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
新课讲解
典例分析
分析：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答 .
解： ①能够求解；②不能求解；③能够求解； ④能够求解；⑤能够求解 .
答案：C
新课讲解
典例分析
例 2. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角 形的其他元素．(角度精确到1′)
∴∠ B=90° - ∠ A=60° .
∵ tan A= a ，
b
∴
3= a , 3 12
∴ a= 4 3.
c 2a 8 3.
新课讲解
（ 2）在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°，
∴∠ B=90° - ∠ A=30° .
∵ sin A= a ， ∴ 3 = a ,
c
26
∴ a 3 3.
, cos
B
B的邻边 斜边
正切：tan
A
A的对边 A的邻边
，tan
B
B的对边 B的邻边
当堂小练
在Rt△ABC中， ∠C＝90° ， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a, b, c，根据下列条 件求出直角三角形的其他元素（角度精确 到1° ): (1) 已知 a = 4, b =8;
2019-2019学年九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系4解直角三角形课件北师大版
第一章 直角三角形的边角关系
4 解直角三角形
学习新知
检测反馈
在日常生活中,我们常常遇到与 直角三角形有关的问题,知道直 角三角形的边可以求出角,知道
角也可以求出相应的边.如图所
示,在Rt△ABC中共有几个元素? 我们如何利用已知元素求出其他 的元素呢?
学习新知
已知两条边解直角三角形
只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.
问题2 只给出一条边长这一个条件,可以解直角三角形吗?
只给出一条边长,不能解直角三角形.
解直角三角形需要满足的条件: 在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道一 条边和第三个元素,那么这个三角形的所有元素就都可以确定
下来.
1.如图所示的是教学用直角三角板,边
方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理 求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个 锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个
锐角.
方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函 数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐 角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求
出第三条边.
已知一条边和一个角解直角三角形
解析:根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长,根据 锐角三角函数定义得出BO=ABsin 36°,即可判断A,B错误; 过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐 角三角函数定义得出AD=AOsin 36°,AO=AB·sin 54°,所以 AD=sin 36°·sin 54°,即可判断C正确,D错误.故选C.
例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B=25°.求这个三 角形的其他元素(边长精确到1).
解直角三角形知识点九年级
解直角三角形知识点九年级直角三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它与勾股定理有着密切的联系。
在解直角三角形的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点，以便能够准确地计算三角形的边长和角度。
本文将围绕直角三角形的定义、勾股定理、三角函数以及解题技巧展开讨论。
一、直角三角形的定义直角三角形是指其中一个角是 90 度的三角形。
直角三角形的另外两个角分别被称为锐角和钝角。
直角三角形的特点是其中一个角是 90 度，而且满足勾股定理。
二、勾股定理勾股定理是解直角三角形的重要工具，它描述了直角三角形中三条边的关系。
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即 a² + b² = c²，其中 a 和 b 是直角三角形的两条直角边，c 是斜边。
根据勾股定理，我们可以解决一些直角三角形的边长和角度问题。
例如，已知两条直角边的长度，我们就可以利用勾股定理计算斜边的长度。
同样地，如果已知斜边的长度和一条直角边的长度，我们也可以通过勾股定理计算另一条直角边的长度。
三、三角函数除了勾股定理，三角函数也是解直角三角形的重要工具之一。
在解题过程中，我们常用到的三角函数有正弦、余弦和正切。
正弦（sin）是指在直角三角形中，对于一个角度的正弦值等于对边与斜边的比值。
余弦（cos）是指对于一个角度，余弦值等于邻边与斜边的比值。
正切（tan）是指对于一个角度，正切值等于对边与邻边的比值。
通过利用三角函数的定义，我们可以求解直角三角形中的边长和角度。
例如，已知一个角的正弦值，我们可以使用反正弦函数来计算该角的度数。
同样地，如果已知一个角的余弦值，我们可以使用反余弦函数来计算该角的度数。
四、解题技巧解直角三角形的过程中，我们可以运用一些技巧来简化计算。
以下是一些常用的解题技巧：1. 利用相似三角形：有时候，直角三角形与其他的三角形相似，我们就可以通过相似三角形的性质来求解直角三角形的边长和角度。
2. 利用特殊三角函数值：特殊角有比较特殊的三角函数值，如30 度/60 度/45 度三角函数值都很容易记忆，因此在解题过程中可以灵活地利用这些特殊角的三角函数值。
解直角三角形
解直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
解直角三角形，就是通过已知的信息，求取直角三角形的各边长或者角度的过程。
下面将介绍两种解直角三角形的常用方法：勾股定理和三角函数。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的方法之一。
它表明，直角三角形的斜边长度的平方等于另外两边长度的平方之和。
设直角三角形的两个边长分别为a和b，斜边长为c，则有勾股定理的表达式为：c² = a² + b²利用勾股定理可以解决以下两种问题：1. 已知两条边的长度，求解第三条边的长度：若直角三角形的两条边分别为3cm和4cm，求解斜边的长度c。
根据勾股定理的表达式可得：c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25c = √25c = 5所以，斜边的长度为5cm。
2. 已知一条边的长度和斜边的长度，求解另一条边的长度：若直角三角形的斜边长度为5cm，一条边的长度为3cm，求解另一条边的长度b。
根据勾股定理的表达式可得：5² = 3² + b²25 = 9 + b²16 = b²b = √16b = 4所以，另一条边的长度为4cm。
二、三角函数除了勾股定理外，三角函数也是解直角三角形的重要方法。
在直角三角形中，正弦、余弦和正切是最常用的三角函数。
下面以解决两个常见的问题为例介绍三角函数的运用。
1. 已知一条边的长度和夹角，求解另一条边的长度：若直角三角形的一条边长为6cm，夹角为30°，求解另一条边的长度a。
根据正弦函数的定义可得：sin(30°) = a / 6a = 6 * sin(30°)a ≈ 3所以，另一条边的长度约为3cm。
2. 已知两条边的长度，求解夹角的大小：若直角三角形的两条边分别为4cm和7cm，求解夹角θ。
根据正弦函数的定义可得：sin(θ) = 4 / 7θ = arcsin(4 / 7)通过计算可得，θ约为42.48°。
7.解直角三角形(4)坡度
解:(1)在Rt△AFB中，∠AFB=90° 在 △ 中 ° AF i=1:1.5 tan α = = i = 1： 1.5 BF α
A 6m F
D i=1:3 β E C
α ≈ 33.7
o
B
在Rt△CDE中，∠CED=90° △ 中 ° DE tan β = = i = 1: 3 CE
β ≈ 18.4o
A Ｂ
a
Ｃ
a b
Ａ
b
2、以后，我们可以得到解直角三角形的几种基本图形： 、以后，我们可以得到解直角三角形的几种基本图形： 几种基本图形 A
B D C A
P
A D i=1:3 B α F E β C
C
B
C
D
B
作业: 作业
1.复习整章知识点 背诵默写 复习整章知识点(背诵默写 表格); 复习整章知识点 背诵默写P79表格 表格 2.完成课本 完成课本P92第2~6题,8题. 完成课本 第 题 题
在每小段上，我们都构造出直角三角形， 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h 然后我们再“ 出各段山坡的高度 1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把 然后我们再 积零为整” h1,h2,…,hn相加，于是得到山高 相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲” 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲” ”“化曲为直 的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位， 的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在 今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容． 今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般 过程是： 过程是： 抽象为数学问题 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图 ） 实际问题抽象为数学问题（ 转化为解直角三角形的问题）； 解直角三角形的问题 形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函 ）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函 数等去解直角三角形； 数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； ）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． ）得到实际问题的答案．
解直角三角形五种常见类型
解直角三角形五种常见类型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．类型一、已知两直角边解直角三角形【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形．类型二、已知一直角边和斜边解直角三角形【例2】如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．类型三、已知一直角边和一锐角解直角三角形【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°， AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长类型四、已知斜边和一锐角解直角三角形【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形类型五、已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形题型一：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)【例5】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，1，求∠A的三角函数值．且tan ∠BCD＝3题型2:化解四边形问题为解直角三角形问题【例6】【中考·北京】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22 .求CD的长和四边形ABCD的面积．题型3、化解方程问题为解直角三角形问题【例7】已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x 的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．。
28.2.4解直角三角形(4)
3.如图是某公路路基的设计简图,等腰梯形ABCD表示它的 横断面,原计划设计的坡角为A=22°37′,坡长AD=6. 5米,现 考虑到在短期内车流量会增加,需增加路面宽度,故改变设 计方案,将图中1,2两部分分别补到3,4的位置,使横断面 EFGH为等腰梯形,重新设计后路基的坡角为32°,全部工 程的用土量不变,问:路面宽将增加多少? 12 5 (选用数据:sin22°37′≈ ,cos22°37′ ≈ , 13 13 5 tan 22°37′ ≈ 12 , D C G H 3 4 5 tan 32° ≈ )
8
A
1 E
M
N
F
2
B
2 如图, △在ABC中, ∠ A为锐角,sina= ,AB+AC=6cm, 3 设AC=xcm, △ABC的面积为ycm2.
(1)求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围;
(2)何时△ABC的面积最大,最大面积为多少?
C
1 S= ab sina 2
A
B
5、如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点 C的仰角为60o，沿山坡向上走到P处再测得点C 的仰角为45o，已知OA=100米，山坡坡度i=1:2, 且O,A,B在同一条直线上．求电视塔OC的高度 以及此人所在位置P点的铅直高度．（测倾器高 度忽略不计，结果保留根号形式）
达险坦 到勇的 光 于大在 辉 攀道科 的 登，学 顶 的只上 点 人有从 马 ，不没 克 才畏有 思 能艰平
（1）测量工具 （2）示意图如右图 （3）CD=a ,BD=b √ （4）AB = a + 3 3 b 实际应用能力提升 C D
M
30°
N
Ｅ Ｂ
测量对象：一铁塔的高度，测量工具皮尺一根教学 三角板一副高度为1.5米的测角仪（能测仰角和俯角的仪器） 一架。 请选择测量工具，并设计方案，写出必需的测量数据 （用字母表示），并画出测量图形，并用测量数据（用字母表 示）写出计算铁塔高度的算式。 A 方案2
解直角三角形4(方位角)
的数量关系,设x求解.
练习
1.小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向 正北方向匀速行进，如图1，出发时，在B点他 观察到仓库A在他的北偏东30°处，骑行20分钟 后到达C点，发现此时这座仓库正好在他的东南
方向，则这座仓库到公路的距离为__1_.8__千
(A)北偏东20°方向上 (B)北偏东30°方向上 (C)北偏东40°方向上 (D)北偏西30°方向上
2.(2010·深圳中考)如图,一艘海轮 位于灯塔P的东北方向,距离灯塔
海里4 的0 A2处,它沿正南方向航行一
段时间后,到达位于灯塔P的南偏 东30°方向上的B处,则海轮行驶
的路程AB为___ _4_040海里3 (结
米．（参考数据： 3 ≈1.732，结果 保留两位有效数字）
练习2：如图所示，气象台测得台风中心在某港 口A的正东方向400公里处,向西北方向BD移动， 距台风中心300公里的范围内将受其影响，问港 口A是否会受到这次台风的影响？D北C NhomakorabeaA
45 °
东
B
练习3：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30 方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里 的速度向南偏东60方向航行，那么渔轮到达小岛O 的正东方向是什么时间（精确到1分）？
大 一 寒 假 生 活 学习总 结 阳 光 明 媚 的周 末来听 活泼可 爱的倪 老师讲 课，寒 冷 的 冬 天 也 让人感 到生机 勃勃. 今 天 课 非 常 实用， 但是要 真正的 运用不 仅要天 赋 ， 也 更 需 要时间 与实践 .我越来 越觉得 理科生 与文科 生在思 维，表 达，还 有对事 物 的 理 解 上 真的有 非常大 的区别 ，我要 做的是 更加了 解他们 的思维 方式， 用他们 能 迅 速 理 解 的方式 陈述问 题，不 然他们 会误解 或者根 本不理 解我到 底说的 什么。 然 后 呢 ， 我 最大的 一个收 获是在 论证一 个问题 时在没 有充分 的了解 与认知 时不要 用 绝 对 的 话 语陈诉 问题， 这样会 适得其 反.最后 呢，我 学到了 一些销 售技巧 ，在销 售 时 要 关 注 顾客的 反应与 需求， 有时用 一些俏 皮的语 调介绍 产品会 有更好 的销售 效 果 ， ， 在 介绍产 品时要 先介绍 优点， 再提出 产品缺 点这样 顾客更 能接受 ，在销 售 时 一 定 要 常保持 微笑， 这样就 算遇到 特麻烦 的顾客 也不会 陷入僵 局，..在生活中 要 学 会 用 艺 术陶冶 自己， 一个有 内涵的 人更能 受到尊 重，生 活也更 有色彩 ......在上 课 期 间 ， 我 特佩服 那个来 自川大 的东北 女孩， 一种不 考虑后 果的胆 大与自 信让人 欣 赏 . 每 次 的 课 程 都会 有不同 的感受 和心得 体会， 每次都 会有所 成长。 思维，
温州蒙氏教育九年级下册解直角三角形(四)
温州蒙氏教育九年级下册（数学）解角三角形测试题（四）2012年12月11日星期二姓名 得分 （满分100分，层次：A 层：85 B 层：75 C 层：65）一、填空、选择题（每小题10分，共40分）1.如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC=45°,把△ADC 沿AD 对折,点C 落在C ′处, 则BC ′与BC 之间的数量关系是_______.C 'D C B AD CBA图1 图2 图4 2.如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,BC=4,AC=3,设∠BCD=α,则 tan α的值为( )A.34; B.43; C.35; D.45 3.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,则cosB 的值为( ) A.12; B.2; C.2; D.1 4.如图,在平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴的夹角为60°,且点A 坐标为(- 2,0),点B 在x 轴上方,设AB=a,那么点B 的横坐标为( ) A.2-2a ; B.2+2a ; C.-2-2a ; D.-2+2a 二、解答题（共60分）5.(20分)某村计划开挖一条长2000米的水渠,渠道的断面为等腰梯形,渠道深0.5米,下底宽1.5米,坡角为45°,实际开挖渠道时,每天比原计划多挖土20立方米, 结果比原计划提前4天完工,求原计划每天挖土多少立方米?6.（20分）如图,MN 是表示某引水工程的一段设计路线,从M 到N 的走向为南偏东30°,在M 的南偏东60°方向上有一点A,以A 为圆心,500 米为半径的圆形区域为居民区,取MN 上另一点B,测得BA 的方向为南偏东75°,已知MB=400米,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?7.（20分）如图,某港口有一灯塔A,灯塔A 的正东有B 、C 两灯塔,以BC 为直径的半圆区域内有若干暗礁,BC=18海里,一船在M 处测得灯塔A 、C 分别在船的南偏西60°和南偏西15°方向,船沿MN 方向行驶6海里恰好处在灯塔C 的正北方向N 处. (1)求CN 的长(精确到0.1海里); (2)若船继续沿MA 方向朝A 行驶,是否有触礁的危险?(参考数值0=0.2588,cos150=0.9658,tan15°=0.2680, cot15°=3.732)。
解直角三角形知识点
解直角三角形知识点
目录
1. 直角三角形的定义和性质
1.1 直角三角形的定义
1.2 直角三角形的性质
1.2.1 斜边、直角边和斜边上的顶点
1.2.2 直角三角形的角度关系
2. 直角三角形的三边关系
2.1 边长关系
2.2 边与角的关系
2.2.1 正弦定理
2.2.2 余弦定理
2.2.3 正切定理
3. 直角三角形的应用
3.1 三角函数的应用
3.2 直角三角形的计算
3.2.1 三边已知的直角三角形计算
3.2.2 一角和一边已知的直角三角形计算
3.2.3 两角已知的直角三角形计算
4. 直角三角形的解法和技巧
5. 直角三角形的相关定理和证明
6. 直角三角形与勾股定理的关系
7. 直角三角形的真实应用场景及意义。
4.4解直角三角形的应用课件九年级数学上册
感悟新知
水平方向飞行 200m 到达点 Q，测得奇楼底端 B 的俯 角为 45° ，求奇楼 AB 的高度．(结果精确到 1m，参 考数据： sin 1 5 ° ≈ 0 . 26，cos 15 ° ≈ 0 . 97， tan15° ≈ 0.27) 解：如图，延长BA交PQ的 延长线于点C，则∠ACQ＝90°. 由题意得，BC＝225 m，PQ＝200 m，
课堂新授
2. 解决实Βιβλιοθήκη 问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下 表所示：
图形
关系式
图形
关系式
AC＝BC·tanα， AG＝AC＋BE
BC＝DC－BD＝ AD·(tanα －tanβ )
课堂新授
续表
图形
关系式
AB＝DE＝ AE·tanβ， CD＝CE＋DE ＝AE·(tanα＋
tanβ)
图形
关系式
感悟新知
(1) 求登山缆车上升的高度 DE； (2)若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为60m/min，
求 从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要多少分钟 .(结果 精确到 0.1min，参考数据： sin53° ≈ 0.80， cos53° ≈ 0.60，tan53° ≈ 1.33)
感悟新知
课堂新授
例2
课堂新授
解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用 “化斜为直法”解含公共直角边的 直角三角形.
课堂新授
课堂新授
计算结果必须根据 题目要求进行保留.
课堂新授
方法点拨 解直角三角形的实际应用问题的求解方法： 1. 根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角
形的数学问题， 画出平面几何图形，弄清已知条件中 各量之间的关系； 2. 若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关 系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅 助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解.
中考数学解直角三角形
中考数学解直角三角形一、定义：在一个直角三角形中，斜边上的高分两个直角三角形，其中一个与原三角形相似，另一个与原三角形轴对称。
二、解直角三角形的步骤：1、判断三角形的形状：在一个三角形中，最大的角是90°，所以只要有一个角是90°的三角形就是直角三角形。
2、已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b：公式： a2 + b2 = c2或 b = √c2 – a2 (在实数范围内进行运算)。
3、已知直角三角形的一个锐角α和斜边c，求另一直角边b：公式： sinα = a / c或 a = c × sinα，求b： tanα = a / b 或 b = a / tanα。
4、判断一个三角形是否是直角三角形的方法：①有一个角是90°的三角形是直角三角形；②两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形；③一边的中线等于这条中线的二分之一的三角形是直角三角形。
解直角三角形中考题在平面几何中，解直角三角形是中考必考知识点之一，也是初中数学的重点内容之一。
下面从以下几个方面来探讨解直角三角形在中考中的常见题型和解法。
一、锐角三角函数锐角三角函数是解直角三角形的基础知识，主要考查学生对三角函数的掌握程度。
一般题型为：已知一个锐角，求其它锐角的三角函数值。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA=____，cosA=____，tanA=____。
解析：根据勾股定理可求得AB=5，再根据锐角三角函数的定义可求得答案。
二、解直角三角形解直角三角形是解直角三角形中最重要的题型，主要考查学生对勾股定理、锐角三角函数的掌握以及应用能力。
一般题型为：已知一直角三角形中的两个边长或一个边长和另一个角的三角函数值，求未知边的长度。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=0.6，求AC的长。
解析：根据已知条件可求得∠B的三角函数值，再利用勾股定理可求得AC的长。
解直角三角形的应用4
学习目标 1、了解“横断面”“坡度”“坡角” 等概念， h 掌握关系式i＝ ＝tanα
l
2.熟练运用解直角三角形的方法来 解决生活实践中的问题
。
考题再现
1、 （2007旅顺）一个钢球沿坡角31 °
的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的
高度是(单位：米)（
B
）
5米 310
A. 5cos31 °
坡度
AB的坡度i AB
∠α叫坡角
方向角
h l
OA：北偏东30° OB：西南方向 OC：正东方向 OD：北偏西70°
北
坡度是坡角的正切
仰角A水平线AD h α l BB
西
30° 70°
俯角
O
45° 南
C 东
C. 5tan31 °
B. 5sin31 °
D. 5cot31 °
2、一名运动员从坡度为1:5的上坡上滑下， 滑行的距离是150米，那么他下降的高度是多少？
小华的房间在二楼,从客厅到他 房间的斜护栏长8 m, （1）若倾斜角为30 °，则二楼的高 度（相对于客厅）是__________m； 4
（2）若坡角为 ，则二楼的高度 （相对于客厅）是__________m； 8sin
（3）若坡度为 1 : 3 ，则二楼的高 度（相对于客厅）是________m. 4
h l 30 °
3、如图，拦水坝的横截面为梯形ABCD。坝高BE=6m, CD= 6 2 m,AE= 6 3 m. 求坡角∠A和∠D。
F
还有其他解法吗？
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的 夹角叫做俯角. 铅 垂 线
人教新课标版初中九下28.2解直角三角形(4)ppt课件
3 10 ，那 么 其 正 切 值 为（ ）。 10 1 10 3 10 A、 B、 C、 D、 3 3 10 10 4、某 人 从 地 面 沿 着 坡 度 i= 1: 3 的 山 坡 走 了 100 米 ，这 时 他 离
3、如 果 坡 角 的 余 弦 值 为 地面的高度是 米。 5、 某 铁 路 路 基 的 横 断 面 是 等 腰 梯 形 ， 其 上 底 为 10m， 下 底 为 13.6m， 高 1.2m， 则 腰 面 坡 角 的 正 切 值 为 。
28.2 解直角三角形(4)
主
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
页
学习方式说明 按顺序学习，可利用鼠标控制进程。 从右侧或上方导航栏中选择内容，进 行学习。 电子教案可查看配套教案，课后练习 可查看配套练习（含答案）。
目标呈现
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
（2）利用解直角三角形的知识解决实际问题的 时常用的“化整为零，积零为整” 的方法“化 曲为直，以直代曲”。
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
作业
课本第96页习题28．2
F
A
B
l α h
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
课本第95页练习第2题
补充练习： 1、 一 段 坡 面 的 坡 角 为 60° 坡 度 i=_______，坡 角 ______度 ． ，则 2、 如 图 ， •燕 尾 槽 的 外 口 宽 AD=•90mm， •深 为 70mm， •燕 尾 角 为 60•°， •则 里 口 宽 为 ________．
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安溪县2019年初中学业质量检查
20．（8分）如图，已知△ABC ，∠C=90°．
（1）请用尺规作图，在BC 边上找一点D ，使DB DA =；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC=4，cosB=4
5，求tan ∠CAD 的值．
晋江市 2019 年初中学业质量检查数学试题
13.机器人沿着坡度为 1:7 的斜坡向上走了25米，则机器人在竖直方向上升的高度为
________米.
21.(8 分)在四边形 ABCD 中，CD ∥AB ，AC ⊥BD 于点 O ，AC=CB ，21
=AB CD , 求 sin ∠DBC 的
值.
2019年石狮市初中学业质量检查 8.如图，过∠MAN 的边AM 上的一点B （不与点A 重合）作BC ⊥AN 于点C ，过点C 作CD ⊥AM 于点D ，则下列线段的比等于tan A 的是（ ）
A.
C.
D. 2019 年龙岩市九年级学业质量检查
2019 年福建省泉州市初中学业质量检查
21．(8 分)如图，在□ A BCD 中， AC 与 BD 相交于点O ， AC ⊥ BC ，垂足为C . 将∆ABC 沿 AC 翻折得到∆AEC ，连接 D E .
若 AC = 4 ， BC = 3 ，求sin ∠ABD 的值．
2019年三明市初中毕业班教学质量检测
6．如图，点A ，B ，C 在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为
A ．33
B ．3
C ．21
D ．1 2019年厦门市初中毕业班教学质量检测
2.如图1，在△ACB 中，∠C ＝90°，则BC AB 等于
A .sin A
B . sin B
C .tan A
D . tan B
（第6题）
图1 C B
A
20.解：（1）作出AB 的垂直平分线交与D ，则点D 为所求；…………………………3分
中）在（ABC Rt ∆2，,900=∠C
，AB BC B =cos 分，即4.5454⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==AB AB 分
5........,.........322=-=∴BC AB AC
.4A ,x DB D x CD -===则设
.24
7tan 7 (8)
7)4(3902
222
220
==∠∴=∴-=+=+=∠∆AC CD CAD x x x AD CD AC C ACD Rt 分即中，在 13．21、解：∵CD ∥AB ，∴△OCD ∽△OAB ，
∴＝＝，∴＝＝．
∵AC ＝CB ，∴＝．
∵AC ⊥BD ，∴∠COB ＝90°．
在Rt △COB 中，sin ∠DBC ＝sin ∠OBC ＝＝．
8．C 13．3
22 21、解：方法一、如图1所示，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，
∵BE ＝2BC ＝2×3＝6，DE ＝AC ＝4，
∴在Rt △BDE 中，BD ＝＝＝2
， ∵S △BDE ＝×DE •AD ＝AF •BD ，∴AF ＝
＝， ∵Rt △ABC 中，AB ＝＝5，∴Rt △ABF 中，
sin ∠ABF ＝sin ∠ABD ＝＝＝．
方法二、如图2所示，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，同理可得，OB ＝BD ＝
，
∵S △AOB ＝OF •AB ＝OA •BC ，∴OF ＝＝，
∵在Rt△BOF中，sin∠FBO＝＝＝，∴sin∠ABD＝．。