1 .4 解直角三角形
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》(第1课时)教学设计
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》是本册教材中的一个重要内容。
在此之前，学生已经学习了直角三角形的性质、勾股定理等知识。
本节课主要让学生掌握解直角三角形的应用，即如何利用直角三角形的性质解决实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生学会运用解直角三角形的方法解决生活中的问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的概念和性质有一定的了解。
但是，他们在解决实际问题时，往往不知道如何将数学知识运用到具体情境中。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握解直角三角形的应用方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的应用方法。
2.难点：如何将实际问题转化为直角三角形问题，并运用解直角三角形的方法解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现问题，提出解决方案。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的求知欲。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、直角三角板等教学工具。
2.学生准备：课本、练习本、直角三角板等学习工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如测量旗杆高度、房屋面积等，引导学生发现这些问题都可以通过解直角三角形来解决。
从而激发学生的学习兴趣，引入新课。
2.呈现（10分钟）教师展示教材中的例题，引导学生观察题干，分析问题。
然后，教师通过讲解，展示解直角三角形的步骤和方法。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-4解直角三角形》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，则AC的长是（）A．B．3C．D．2．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sin A＝，tan C＝，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．不能确定3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，3）与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么cosα的值是（）A．3B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝，则AC的长为（）A．B．3C．D．25．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．6．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（）A．+1B．﹣1C．D．8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D．若BD＝9，DC＝5，cos B＝，E为边AC的中点，则cos∠ADE的值为（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（）A．B．C．6D．8二．填空题11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为．12．已知等腰三角形两条边的长分别是4，6，底角为α，则cosα＝．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为．14．如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，当n＝2时，则tanα＝；当tanα的值最大时，n的值为．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AC上，∠ABE＝45°，tan∠CBE＝，若AD＝BC，AC＝2，则线段BC的长是．三．解答题16．根据下列条件解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9．17．如图，在平面直角坐标系中，OB＝4，sin∠AOB＝，点A的坐标为（，0）．（1）求点B的坐标；（2）求sin∠OAB的值．18．如图，点C在线段AB上，点D，E在直线AB的同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°，∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，过B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，AC＝30，sin B＝，求：（1）线段CD的长．（2）cos∠BDE的值．20．如图（1），在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，以下是某同学推理证明的过程：证明：∵sin A＝，sin B＝∴c＝，c＝∴根据你掌握的三角函数知识，请在图（2）中的锐角△ABC中，求证：．参考答案一．选择题1．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∴sin A＝＝＝，∴AB＝3，∴AC＝＝＝．故选：A．2．解：∵sin A＝，∴∠A＝60°，∵tan C＝，∴∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．∴△ABC是等边三角形．故选：C．3．解：如图，过P点作P A⊥x轴于A，则∠POA＝α，∵点P的坐标为（1，3），∴OA＝1，P A＝3，∴tan∠POA＝＝＝3，即tanα＝3．故选：D．4．解：∵∠C＝90°，sin A＝＝，BC＝，∴AB＝BC＝×＝2，∴AC＝＝＝＝．故选：C．5．解：如图：在Rt△ABC中，AC＝＝．故选：D．6．解：如图，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC：AD＝2：，∴tan B＝＝，∴∠B＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，故选：C．7．解：如图：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，∴∠BAD＝∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝AC＝，∴CD＝BC+BD＝1+，在Rt△ADC中，tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：B．8．解：∵AD⊥BC，BD＝9，cos B＝，∴AB＝＝15，AD＝＝12，∵DC＝5，∴AC＝＝13，∵E为边AC的中点，∴ED＝，∴∠EDA＝∠DAE，∴cos∠EDA＝cos∠DAE＝，故选：D．9．解：连接AD，∵△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，∴AD＝，∴tan∠BAD＝．∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠BDE+∠ADE＝90°，∠BAD+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴tan∠BDE＝tan∠BAD＝，故选：C．10．解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．∵∠BAC＝120°，∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，∴AE＝AC•cos60°＝4，EC＝AC•sin60°＝4，∵AB＝4，∴BE＝AB+AE＝8，∴BC＝＝＝4，故选：B．二．填空题11．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，∴BD＝3×＝，故答案为：．12．解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为6时，如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝4，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝3，在Rt△ABD中，cos B＝＝，当等腰三角形的腰长为6，底边长为4时，如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝6，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝2，在Rt△ABD中，cos B＝＝＝，综上所述：cosα＝或，故答案为：或．13．解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴＝＝，∵AB＝2BD，∴＝＝＝，在Rt△CDM中，由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，又∵＝＝，∴BC＝2k，AC＝4k，∴＝＝2，故答案为：2．14．解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BG于点N，如图所示：则∠AMC＝90°，∠ANB＝90°，∵直线y＝﹣2与x轴平行，∴∠ABN＝α，∠CGB＝90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∵∠AMC＝∠CGB＝90°，∴△AMC∽△CGB，∴，设BG＝m，∵点A坐标为（4，3），点C坐标为（0，n），∴AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，∴＝，当n＝2时，可得，解得m＝1，∴GB＝1，BN＝3，∴tanα＝＝；∵tanα＝，当BN最小，即BG最大时，tanα最大，∵＝，∴m＝﹣（n﹣3）（n+2）＝﹣（n﹣）2+，∵﹣＜0，∴当n＝时，m取得最大值，即tanα最大，故答案为：，．15．解：如图，过点A作AF⊥BE于点F，设AD与BF交于点G，∵∠ABE＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝BF，∵∠GDB＝∠AFG＝90°，∠BGD＝∠AGE，∴∠GBD＝∠F AG，∴tan∠GBD＝tan∠F AG，∴＝＝，设DG＝x，则BD＝2x，∴BG＝＝x，设FG＝a，则AF＝2a，∴BF＝AF＝2a，AG＝＝a，∴BG＝BF﹣FG＝a，∴a＝x，∴AD＝AG+DG＝a+x＝6x，∵DC＝BC﹣BD＝AD﹣BD＝a+x﹣2x＝a﹣x＝4x，在Rt△ADC中，根据勾股定理得AD2+DC2＝AC2，∴（6x）2+（4x）2＝（2）2，∴x＝1（负值舍去），∴BC＝AD＝6x＝6．故答案为：6．三．解答题16．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∴a＝b＝12，∴∠B＝30°，b＝4，a＝12；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9，∴tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，c＝2a＝6，∴∠A＝30°，∠B＝60°，c＝6．17．解：（1）过点B作BC⊥OA于点C，在Rt△BOC中，OB＝4，sin∠AOB＝，∴BC＝OB•sin∠AOB＝4×＝3，∴，∴点B的坐标为（，3）；（2）∵点A的坐标为（，0），∴OA＝，∴AC＝OA﹣OC＝＝，∵∠ACB＝90°，∴，∴，∴sin∠OAB的值为．18．解：如图，设CE交BD于G．∵∠A＝∠A＝90°，∠ADC＝∠ABD，∴△ADC∽△ABD，∴，，解得AD＝5，∴DC＝＝，DB＝＝，∵∠A＝∠ECD＝∠CBE＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ECB，设∠DBA＝∠CDA＝α，则∠ECB＝α，∴∠GCB＝∠GBC＝α，∴CG＝GB，设CG＝GB＝x，∴DG＝﹣x，∴（）2+x2＝（﹣x）2，解得x＝，∴tan∠CDB＝＝．19．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝30，sin B＝＝，∴AB＝50，∵D为直角三角形ABC斜边上的中点，∴CD＝AB＝25；（2）∵AB＝50，D为AB的中点，∴AD＝BD＝25，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，由勾股定理得：BC＝＝＝40，由勾股定理得：BE2＝BD2﹣DE2＝BC2﹣CE2，即252﹣DE2＝402﹣（25+DE）2，解得：DE＝7，∴cos∠BDE＝＝．20．解：过C点作CD⊥AB于D，过B点作BE⊥AC于E，∴sin A＝，sin B＝，∴CD＝b sin∠A＝a sin B，∴，同理，∴．。
人教版九年级下册数学《解直角三角形应用举例》锐角三角函数研讨复习说课教学课件
学以致用
如图水坝的横断面是梯形，迎水坡的坡角∠B＝30°，背
水坡的坡度为1: 2 (坡面的铅直高度DF与水平宽度AF的
比)，坝高CE(DF)是45米，求AF、BE的长，迎水坡BC的长，
以及BC的坡度.
AF=45 2 m BE=45 3
BC=90m
= 1: 3
知识点二：坡度、坡角的实际应用
角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
课堂小结
1.坡度：我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度 l 的比
叫坡度（或叫坡比）用字母 i 表示：
课件
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课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
D.500
米
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
探索新知
例 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔
80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯
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个人简历：课件/jianli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
典例讲评
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡
AB的坡度i=1:3，斜坡CD的坡度i' =1:2.5,求坝底宽AD和斜坡AB
的长.
(精确到0.1m，tan18°26′ ≈0.3333，sin18°26′≈0.3162)
课件
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28.2.1核心素养【教学设计】《解直角三角形》(人教)
《解直角三角形》教学模式介绍：数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．这些数学学科素养既相对独立，又互相交融，是一个有机的整体．核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的数学核心素质，重视学生在学习活动中的主体地位，让学生在积极参与学习活动的过程中得到发展．教师创设情境设计问题，或通过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习．课堂教学中，要注重让学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，让学生感悟数学思想，积累数学活动经验，在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，让学生能与他人建立良好关系，有效地管理自己的学习、生活，能够发掘自身潜力，战胜学习数学中的困难，让学生能够适应未来社会、进行终身学习，实现全面发展．设计思路说明：1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用.教材分析本节主要学习解直角三角形及其在实际问题中的应用。
我们知道，在直角三角形中，勾股定理反映了三边之间的关系，三角形的内角和定理反映了三个角之间的关系，而锐角三角函数反映了边与角之间的关系。
本节利用锐角三角函数，结合勾股定理、三角形内角和定理等知识解直角三角形.通过本节的学习，学生应全面掌握直角三角形中各个元素之间的关系，并能利用这些关系解直角三角形。
教学目标知识与技能：1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．重点难点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．课前准备:多媒体课件教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题。
2019-2019学年九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系4解直角三角形课件北师大版
第一章 直角三角形的边角关系
4 解直角三角形
学习新知
检测反馈
在日常生活中,我们常常遇到与 直角三角形有关的问题,知道直 角三角形的边可以求出角,知道
角也可以求出相应的边.如图所
示,在Rt△ABC中共有几个元素? 我们如何利用已知元素求出其他 的元素呢?
学习新知
已知两条边解直角三角形
只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.
问题2 只给出一条边长这一个条件,可以解直角三角形吗?
只给出一条边长,不能解直角三角形.
解直角三角形需要满足的条件: 在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道一 条边和第三个元素,那么这个三角形的所有元素就都可以确定
下来.
1.如图所示的是教学用直角三角板,边
方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理 求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个 锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个
锐角.
方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函 数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐 角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求
出第三条边.
已知一条边和一个角解直角三角形
解析:根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长,根据 锐角三角函数定义得出BO=ABsin 36°,即可判断A,B错误; 过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐 角三角函数定义得出AD=AOsin 36°,AO=AB·sin 54°,所以 AD=sin 36°·sin 54°,即可判断C正确,D错误.故选C.
例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B=25°.求这个三 角形的其他元素(边长精确到1).
初中数学_解直角三角形教学设计学情分析教材分析课后反思
2.4.1 解直角三角形 一、【前置学习】1．在三角形中共有几个元素？2．在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，B A c b a ∠∠,,,,这五个元素间有哪些等量关系呢(1)三边之间关系：(2)两锐角之间关系：(3)边角之间关系：， 二、【探究互动】探究：在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，（1）已知︒=∠60A ,6=AB ，则=∠B ,=AC ，=BC（2）已知3=AC ，6=AB ，则=∠B , =∠A ，=BC（3）已知︒=∠60A ,︒=∠30B ，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？结论：在直角三角形六个元素中，除直角外，已知 个元素（ 至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以有已知的元素求出其余元素。
解直角三角形：由直角三角形中除直角外的 个已知元素( 至少有一个是边)，求出 的过程，叫做解直角三角形．演练排疑例1 如图：在Rt △ABC 中，︒=∠90C ， 6=a ,2=b ，ACBC A B解这个三角形．例2 如图：在Rt △ABC 中，︒=∠90C 35B ∠=︒，20=b ，解这个三角形．知识梳理 一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
三、【当堂检测】1．Rt △ABC 中，︒=∠90C ，若︒=∠30A ，则B ∠= ；若︒=∠30A ，a =1，则b = ，c =2.ABC ∆中,90C ︒∠=,cos 2B =,a =则b =________. 3.如图所示，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，4=AC , cos 54=∠BCD ,则BC 的值是_____ 4.根据下列条件解直角三角形 Rt △ABC 中，︒=∠90C ，C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,，（1）︒=∠30A ,3=b（2） 22=b ,4=c【自我评价】1．本节课有困惑的题目是：2．本节课的学习收获是： 学情分析1、学生自主学习。
湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》教学设计1
湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》教学设计1一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》是本册教材中关于直角三角形知识的重要内容。
通过本节课的学习，学生能了解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的方法，并能运用所学知识解决实际问题。
本节课的内容为后续学习勾股定理和三角函数等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了锐角三角形和钝角三角形的性质，了解了三角形的分类。
在此基础上，学生需要进一步掌握直角三角形的性质，并学会解直角三角形。
此外，学生需要具备一定的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力，以便在学习过程中更好地理解和掌握所学知识。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能掌握直角三角形的性质，了解解直角三角形的方法，并能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生动手操作能力、观察能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，解直角三角形的方法。
2.教学难点：解直角三角形的灵活运用，解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，引导学生观察、操作、思考，激发学生学习兴趣。
2.合作学习法：学生进行小组讨论、合作探究，培养学生团队合作精神。
3.启发式教学法：教师引导学生发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的逻辑思维能力。
4.实践操作法：让学生动手操作，加深对知识的理解和记忆。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形的相关课件，包括图片、动画、例题等。
2.教学道具：准备直角三角形模型、三角板等道具，以便进行实物演示。
3.练习题：挑选一些有关直角三角形的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的直角三角形图片，如教室的黑板、楼梯的扶手等，引导学生关注直角三角形。
解直角三角形知识点总结
解直⾓三⾓形知识点总结 解直⾓三⾓形是中考数学的⼀⼤考点，但相关的知识点其实并不是⼗分的难，下⾯解直⾓三⾓形知识点总结是⼩编为⼤家带来的，希望对⼤家有所帮助。
解直⾓三⾓形知识点总结 【知识梳理】 1.解直⾓三⾓形的依据(1)⾓的关系:两个锐⾓互余;(2)边的关系:勾股定理;(3)边⾓关系:锐⾓三⾓函数 2.解直⾓三⾓形的基本类型及解法：(1)已知斜边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(2)已知⼀条直⾓边和⼀个锐⾓解直⾓三⾓形;(3)已知两边解直⾓三⾓形. 3.解直⾓三⾓形的应⽤：关键是把实际问题转化为数学问题来解决 【课前预习】 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下列表中的未知量： a b c ∠A ∠B 6 30° 10 45° 2、所⽰，在△ABC中，∠A=30°，，AC= ，则AB= . 变式：若已知AB，如何求AC? 3、在离⼤楼15m的地⾯上看⼤楼顶部仰⾓65°，则⼤楼⾼约 m. (精确到1m， ) 4、铁路路基横断⾯为⼀个等腰梯形，若腰的坡度为1：，顶宽为3⽶，路基⾼为4⽶， 则坡⾓= °，腰AD= ,路基的下底CD= . 5、王英同学从A地沿北偏西60°⽅向⾛100m到B地，再从B地向正南⽅向⾛200m到C地，此时王英同学离A地 m. 【解题指导】 例1 在Rt△ ABC中，∠C=90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB. (1)求tanB;(2)若DE=1，求CE的长. 例2 34-4所⽰，某居民⼩区有⼀朝向为正南⽅向的居民楼，该居民楼的⼀楼是⾼6m的⼩区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前⾯15m处要盖⼀栋⾼20m的新楼.当冬季正午的阳光与⽔平线的夹⾓为32°时. (1)问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么? (2)若新楼的影⼦刚好部落在居民楼上，则两楼应相距多少⽶? (结果保留整数，参考数据： ) 例3某校初三课外活动⼩组，在测量树⾼的⼀次活动中，34-6所⽰，测得树底部中⼼A到斜坡底C的⽔平距离为8.8m.在阳光下某⼀时刻测得1m的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡⽐，求树⾼AB.(结果保留整数，参考数据 ) 例4 ⼀副直⾓三⾓板放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长. 【巩固练习】 1、某坡⾯的坡度为1: ，则坡⾓是_______度. 2、已知⼀斜坡的坡度为1:4，⽔平距离为20m，则该斜坡的垂直⾼度为 . 3、河堤的横断⾯1所⽰，堤⾼BC是5m，迎⽔斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等于 . 4、菱形在平⾯直⾓坐标系中的位置2所⽰, ,则点的坐标为 . 5、先锋村准备在坡⾓为的⼭坡上栽树，要求相邻两树之间的⽔平距离为5⽶，那么这两树在坡⾯上的距离AB为 . 6、⼀巡逻艇航⾏⾄海⾯处时,得知其正北⽅向上处⼀渔船发⽣故障.已知港⼝处在处的北偏西⽅向上,距处20海⾥; 处在A处的北偏东⽅向上,求之间的距离(结果精确到0.1海⾥) 【课后作业】 ⼀、必做题： 1、4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为 cm. 2、某⼈沿着有⼀定坡度的坡⾯前进了10⽶,此时他与⽔平地⾯的垂直距离为⽶,则这个坡⾯的坡度为__________. 3、已知5,在△ABC中,∠A=30°,tanB= ,BC= ,则AB的长为__ ___. 4、6,将以A为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为 . 5、7所⽰，在⼀次夏令营活动中，⼩亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°⽅向⾛了5km到达B 地，然后再沿北偏西30°⽅向⾛了若⼲千⽶到达C地，测得A地在C地南偏西30°⽅向，则A、C两地的距离为( ) (A) (B) (C) (D) 6、8，⼩明要测量河内岛B到河边公路l的距离，在A测得，在C测得，⽶，则岛B到公路l的距离为( )⽶. (A)25 (B) (C) (D) 7、9所⽰，⼀艘轮船由海平⾯上A地出发向南偏西40°的⽅向⾏驶40海⾥到达B地，再由B地向北偏西10°的⽅向⾏驶40海⾥到达C地，则A、C两地相距( ). (A)30海⾥ (B)40海⾥ (C)50海⾥ (D)60海⾥ 8、是⼀⽔库⼤坝横断⾯的⼀部分，坝⾼h=6m，迎⽔斜坡AB=10m，斜坡的坡⾓为α，则tanα的值为( ) (A) (B) (C) (D) 9、11，A，B是公路l(l为东西⾛向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°⽅向上. (1)求出A，B两村之间的距离; (2)为⽅便村民出⾏，计划在公路边新建⼀个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请⽤尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法). 10、是⼀个半圆形桥洞截⾯⽰意图,圆⼼为O,直径AB是河底线,弦CD是⽔位线,CD∥AB,且CD = 24 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE = .(1)求半径OD;(2)根据需要,⽔⾯要以每⼩时0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将⽔排⼲? 11、所⽰，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑⼀条⾼速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中⼼P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的⽅向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆⼼，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条⾼速公路会不会穿越保护区?为什么?(参考数据：， ) 12、，斜坡AC的坡度(坡⽐)为1: ，AC=10⽶.坡顶有⼀旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有⼀条彩带AB 相连，AB=14⽶.试求旗杆BC的⾼度. ⼆、选做题： 13、,某货船以每⼩时20海⾥的速度将⼀批重要物资由A处运往正西⽅向的B处,经过16⼩时的航⾏到达.此时,接到⽓象部门的通知,⼀台风中⼼正以40海⾥每⼩时的速度由A向北偏西60o⽅向移动,距台风中⼼200海⾥的圆形区域(包括边界)均会受到影响.⑴ B处是否会受到台风的影响?请说明理由.⑵为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少⼩时内卸完货物? 14、所⽰，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P. (1)当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长; (2)若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值; (3)若tan∠BPD= ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.。
1.3解直角三角形(1)教案
1.3 解直角三角形(1)一、教学内容解析：本节是在学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的问题.本课内容既能加深对锐角三角函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下基础，在本章起到承上启下作用.二、教学目标：1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．三、教学重难点重点：直角三角形的解法.难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用.四、教学手段与教学方法教学手段：多媒体教学.教学方法：启发式教学、小组合作学习.五、教学过程：（一）、设疑，激发兴趣1、组织教学，激情口号：我自信、我出色，我努力、我成功.2、情景导入：同学们，幻灯片上的这幅图片是意大利著名的比萨斜塔，它已经有800多年的历史了，在它落成的时候由于地基等问题就已经发生了倾斜，但是在1972年比萨地区发生地震，造成塔顶中心点偏离垂直中心线达到了5.2米.比萨斜塔的高为54.5米，根据以上信息，我们可以把这道实际问题抽象成什么样的几何图形呢？在这个直角三角形中，AB代表比萨斜塔的高54.5米.BC代表塔顶到垂直中心线的距离5.2米，我们能否根据已知条件求出比萨斜塔的倾斜角∠A，或者∠B以及AB的长呢？你们有多少种求法？这就是本节课我们要学习的内容，解直角三角形.3、板书课题：1.3解直角三角形（1）4、请同学们齐读本节课的学习目标.（二）、活动一：自学初探各组组长检查各小组导学案第二部分主“动”展示完成情况.由各小组举牌主动展示以下三个问题.1、什么叫做解直角三角形？2、在一个直角三角形中，一共有几个元素，这五个元素分别是什么？那这五个元素之间有没有什么关系呢？哪组同学愿意主动展示一下第2道题？(1)三边之间关系：(2)两锐角之间关系：(3)边角之间关系：以上三点就是解直角三角形的依据，我们熟知后就可以拿来运用了.3、在直角三角形中，知道几个已知元素就可以求其余未知元素？（三）、活动二：合作再探现在我们回到比萨斜塔这道题，哪名同学愿意上黑板上写出已知元素和要求的未知元素，把它变成解直角三角形的问题.（教师通过这个过程可以观察到学生是否真的理解了什么叫做解直角三角形。
解直角三角形及其应用--知识讲解
解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，一角，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =． 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°． 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin ∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC是半圆⊙O的直径，D是AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，(1)求证：△ABE∽△DBC；(2)已知BC＝52，CD＝52sin∠AEB的值；(3)在(2)的条件下，求弦AB的长．【答案与解析】(1)∵AD CD，∴∠1＝∠2，又BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°．∴△ABE∽△DBC．(2)由△ABE∽△DBC，∴∠AEB＝∠DCB．在Rt△BDC中，BC＝52，CD＝5∴ BD ＝225BC CD -=， ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB＝52552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD ＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DEDB AD=，∴ 2AD DE DB =． 又∵ 5CD AD ==，∴ CD 2＝(BD －BE)·BD ， 即25(5)5BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴ 35BE =． 在Rt △ABE 中，AB ＝BEsin ∠AEB ＝32355452⨯=． 【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造直角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE ∽△DBC ．(2)利用(1)的结论，将∠AEB 转化为Rt △BCD 中的DCB ∠．(3)在Rt △ABE 中求AB ．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】 （2015•河南模拟）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=，则AD 的长为多少?【答案与解析】解：作DE ⊥AB 于E ，如图， ∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC=6， ∴∠A=45°，在Rt △ADE 中，设AE=x ，则DE=x ，AD=x ， 在Rt △BED 中，tan ∠DBE==，∴BE=5x ，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°． 又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即355FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C作CE⊥AB于E．∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD＝10，∴ AC＝12CD＝5．在Rt△ACE中，AE＝AC·sin∠ACE＝5×sin 30°＝52，CE＝AC·cos ∠ACE＝5×cos 30°＝53 2，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝45°，∴5553(31)222AB AE BE=+=+=+≈6.8(米)．∴雕塑AB的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.4 解直角三角形 课件
∵AB＝1，sin B＝
2， 42
2
∴AD＝AB·sin B＝1×
＝
4
. 4
∴BD＝
AB2 AD2
12
2 2 4
14 , 4
CD＝ AC 2 AD2
2 2 2
30
2
4
. 4
∴BC＝ CD BD
30
14
30 14 .
44
4
总结
知3－讲
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角 形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种 “化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知 条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线， 则∠B的正弦值就无法利用．
A．2 3
B．2 2
C. 11
4
D. 5 5
4
（来自《典中点》 ）
知2－导
知识点 2 已知一边及一锐角解直角三角形
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °-
∠
A；②c=
a ;③b sin A
a tan
. A
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
则∠A的度数为( D )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
（来自《典中点》 ）
知1－练
2 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是( C ) A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
解直角三角形 获奖 公开课教案
1.4 解直角三角形1．正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；(重点)2．选择适当的关系式解直角三角形．(难点)一、情境导入如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为该市的一道新景观．在数学课外实践活动中，小亮在河西岸滨河大道一段AC上的A，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，分别测得∠DAC＝60°，∠DBC＝75°.又已知AB＝100米，根据以上条件你能求出观景台D到徒骇河西岸AC的距离吗？二、合作探究探究点：解直角三角形【类型一】利用解直角三角形求边或角已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c，按下列条件解直角三角形．(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长；(2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度数和边c的长．解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，ac＝cos B，即c＝acos B＝3632＝243，∴b＝12c＝12×243＝123；(2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴c＝62，∠A＝∠B＝45°.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C 在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型三】构造直角三角形解决面积问题在△ABC中，∠B＝45°，AB＝2，∠A＝105°，求△ABC的面积．解析：过点A作AD⊥BC于点D，根据勾股定理求出BD、AD的长，再根据解直角三角形求出CD的长，最后根据三角形的面积公式解答即可．解：过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B ＝45°，∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝22 AB＝22×2＝1.∵∠A＝105°，∴∠CAD ＝105°－45°＝60°，∴∠C＝30°，∴CD＝ADtan30°＝133＝3，∴S△ABC＝12(CD＋BD)·AD＝12×(3＋1)×1＝3＋12.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题三、板书设计解直角三角形1．解直角三角形的概念2．解直角三角形的基本类型及其解法3．解直角三角形的简单应用本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新能力、合作能力，激发学生学习数学的积极性、主动性.1 23 4 523454 123。
2024年中考第一轮复习直角三角形 课件
[解析] 设AB=x,则AC=x-2.由勾股定理,
.
得x2-(x-2)2=82.解得x=17.
■ 知识梳理
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于⑥ 斜边的平方
勾股定理
如果三角形中两边的平方和等于第三边的⑦ 平方 ,那么这个三角形
的逆定理 是直角三角形
勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数
∴AD=BC,∠A=∠B=∠CFE=90°,AB∥CD,∴∠AED=∠CDF,∠A=∠CFD=90°,
AD=CF,∴△ADE≌△FCD,∴ED=CD=x,∴FD=x-1,
在Rt△CFD中,FD2+CF2=CD2,∴(x-1)2+32=x2,解得x=5,∴CD=5.故选B.
考向三
勾股定理与拼图
例 3 [2020·孝感]如图 19-11①,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个
图19-6
∴∠BEC=90°,∠BFC=90°,
1
2
∵G 是 BC 的中点,∴EG=FG= BC=5,
∵D 是
1
EF 的中点,∴ED= EF=3,GD⊥EF,
2
∴∠EDG=90°.在 Rt△ EDG 中,
由勾股定理得,DG= 2 - 2 =4,故答案为 4.
考向二
利用勾股定理进行计算
例2 [2020·宜宾]如图19-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,BE平分
∠ABC交AC于点E,连结CD交BE于点O.若AC=8,BC=6,则OE的长是
.
图19-7
【方法点析】勾股定理是求线段长的重要工具,主要应用:(1)已知直角三角形的
两边长求第三边长;(2)已知直角三角形的一边长求另两边的关系;(3)用于证明平
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-4解直角三角形》填空专项练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》填空专项练习题（附答案）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝，则BC的长为．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，则BC的长为．3．如图，△ABC中，过点B作BD⊥AB，交AC于点D，且AD：CD＝4：3，∠ABC＝150°．（1）BD：BC＝；（2）若AB＝4，则△ABC的面积是．4．在△ABC中，AB＝6，AC＝2，∠B＝45°，则∠C＝．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cos A＝，AC＝2，那么AB的长为．6．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝8，那么AC的长为．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若CD＝5，BC＝6，则cos∠ACD的值是．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，则sin∠BCD的值是．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，点D在BC上，且BD＝AD，则cos∠BAD＝．10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，斜边BC的垂直平分线分别交AB、BC交于点D、E，如果cos B＝，AB＝7，那么CD的长等于．11．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos C＝．12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为．13．如图，四边形ABCD由两个直角三角形构成，已知AD＝CD，tanα＝，则tanβ＝．14．如图，在边长为1的3×2小正方形网格中，点A、B、C都在格点上，则tan∠ACB的值是．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD是角平分线．若AC＝5，BC＝12，则tan∠DAC 的值为．16．已知α、β为锐角，若，，利用下列边长均为1的小正方形组成的网格图（如图），可求得tan（α+β）＝．17．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠AOC的值．18．如图，点A、B、C是正方形网格中的格点，则cos∠BAC的值是．19．如图，5×6的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则tan ∠AEC的值是．20．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么cos B 的值为．21．如图，已知在△ABC中，AB＝6，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝3，过点A作直线l（l 不经过线段BC），分别过点B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，则BD+CE的最大值为．22．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的三个顶点均落在格点上，以点A 为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，1为半径画弧，两弧交于点D，则tan∠ADB ＝．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E．如果BC＝18，tan A＝，那么CD＝．24．在“镖形”ABCD中，AB＝4，CB＝8，∠A＝∠B＝∠C＝30°，则点D到AB的距离为．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，DE⊥AB，CD＝DE，AC＝12，则BD ＝．26．如图，在△ABC中，tan∠B＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝5，则线段EF的长为．参考答案1．解：如图．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，∴＝，又∵AC＝，∴AB＝2，∴BC＝＝＝1．故答案为：1．2．解：在△ABC中，∠C＝90°，∴sin A＝＝，∴BC＝AB＝×15＝9．故答案为：9．3．解：（1）过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝30°，∴设CE为a，则BC为2a，∵BD⊥AB，CE⊥AB，∴∠ABD＝∠AEC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△AEC，∴＝，∴＝，∴BD＝a，∴＝＝，故答案为：2：7；（2）由（1）得：△ABD∽△AEC，∴＝，∴＝，∴AE＝7，∴BE＝AE﹣AB＝7﹣4＝3，在Rt△BEC中，CE＝BE tan30°＝3×＝，∴△ABC的面积＝AB•CE＝×4×＝2，故答案为：2．4．解：解法一：过点A作AD⊥BC，垂足为D，分两种情况：当高AD在△ABC的内部，如图：在Rt△ABD中，AB＝6，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝6×＝3，在Rt△ADC中，sin∠ACB＝＝＝，∴∠ACB＝60°，当高AD在△ABC的外部，如图：在Rt△ABD中，AB＝6，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝6×＝3，在Rt△ADC中，sin∠ACD＝＝＝，∴∠ACD＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝120°，综上所述：∠ACB为：60°或120°；解法二：过点A作AD⊥BC，垂足为D，分两种情况：当高AD在△ABC的内部，如图：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝45°，∴AD＝BD，∵AD2+BD2＝AB2，∴2AD2＝36，∴AD＝3或AD＝﹣3（舍去），∴AD＝BD＝3，在Rt△ADC中，AC＝2，∴CD＝＝＝，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°∴∠ACB＝90°﹣∠CAD＝60°，当高AD在△ABC的外部，如图：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝45°，∴AD＝BD，∵AD2+BD2＝AB2，∴2AD2＝36，∴AD＝3或AD＝﹣3（舍去），∴AD＝BD＝3，在Rt△ADC中，AC＝2，∴CD＝＝＝，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝120°，综上所述：∠ACB为：60°或120°．5．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴cos A＝＝，∵AC＝2，∴AB＝3AC＝6，故答案为：6．6．解：在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝8，∴AC＝＝＝6，故答案为：6．7．解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，CD＝5，∴CD＝AD＝AB，∴AB＝10，∴AC＝＝＝8，∴cos A＝＝＝，∵CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∴cos∠ACD＝，故答案为：．8．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD．∴sin∠BCD＝sin A＝＝．故答案为：．9．解：根据题意作图如下：令AC＝1，则BC＝2AC＝2，由勾股定理得AB＝＝，∵BD＝AD，∴∠BAD＝∠B，∴cos∠BAD＝cos∠B＝＝＝，故答案为：．10．解：在△ABC中，∠A＝90°，cos B＝，AB＝7，∴BC＝AB÷cos B＝7＝8，∵斜边BC的垂直平分线分别交AB、BC交于点D、E，∴BE＝BC＝4，∴CD＝BD＝BE÷cos B＝4＝，故答案为：．11．解：连接BD，由图可得，BD＝＝，AD＝＝，AB＝＝，∴BD2+AD2＝AB2，∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°，同理AC＝3，AD＝，BC＝5，∴CD＝2，∴cos C＝＝，故答案为．12．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，∴BD＝3×＝，故答案为：．13．解：根据题意设AD＝CD＝x，则BC＝2x，在Rt△BCD中，BD＝＝，在Rt△ABD中，tanβ＝＝，故答案为：．14．解：连接AB，过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图，根据题意可得，S△ABC＝6﹣＝2，AC＝＝，BC＝＝．∵S△ABC＝，∴＝2，∴BD＝，在Rt△BDC中，CD＝＝＝，在Rt△BDC中，tan∠ACB＝＝＝2．故答案为：2．15．解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：∵AD是∠BAC的角平分线，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝13，∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，∴AC•BC＝AC•CD+DE•AB，即×5×12＝×5×CD+×CD×13，解得：CD＝，∴tan∠DAC＝＝＝，故答案为：．16．解：设点D，点E在格点上，如图：由题意得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴tan∠ABC＝＝＝2，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，在Rt△BEC中，tan∠EBC＝＝，∵，，∴∠ABD＝α，∠EBC＝β，∴α+β＝∠ABD+∠EBC＝∠ABC，∴tan（α+β）＝tan∠ABC＝2，故答案为：2．17．解：设点E在格点上，连接BE，如图：由题意得：OE2＝12+12＝2，OB2＝22+42＝20，BE2＝32+32＝18，∴OE2+BE2＝OB2，∴△OBE是直角三角形，∴tan∠BOD＝＝＝3，∵∠AOC＝∠BOD，∴tan∠AOC＝tan∠BOD＝3，故答案为：3．18．解：连接BC，如图所示：∵点A、B、C是正方形网格中的格点，设小正方形的边长为a，由勾股定理得：AB＝＝a，AC＝＝a，BC＝＝2a，∵（a）2+（2a）2＝（a）2，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，∴cos∠BAC＝＝＝，故答案为：．19．解：如图，连接AC、CB、BD、DA，由网格构造直角三角形，利用勾股定理得，AC＝BD＝CD＝＝，BC＝AD＝＝，∴四边形ACBD是平行四边形，∴CE＝CD＝，∵AC2+CD2＝5+5＝10＝AD2，∴△ACD是等腰直角三角形，即∠ACE＝90°，在Rt△ACE中，tan∠AEC＝＝2，故答案为：2．20．解：如图，连接格点A、D．∵AD⊥BD，AD＝3，BD＝4，∴AB＝＝5．∴cos B＝＝．故答案为：．21．解：如图，作AH⊥BC于H，取BC的中点F，取DE的中点G，连接AF，连接FG，∴FG是梯形BCED的中位线，∴FG∥BD∥CE，BD+CE＝2FG，∵BD⊥DE，∴FG⊥DE，∴∠AGF＝90°，∴FG≤AF，∵∠AHB＝∠AHC＝90°，∠ABC＝45°，∴AH＝BH＝AB＝6，∵tan∠ACB＝＝3，∴CH＝＝2，∴CH＝2，∴BC＝BH+CH＝8，∴CF＝BF＝，∴FH＝CF﹣CH＝2，∴AF＝＝＝2，∴当点G和A点重合时，FG最大＝AF＝2，∴BD+CE的最大值为：4，故答案为：4．22．解：如图1所示：∵AD＝AB＝，CD＝1，∴点D是符合条件的点．在Rt△ADM中，tan∠ADB＝＝2．如图2所示：∵AD＝AB＝，CD＝1，∴点D是符合条件的点．∵AD＝AB＝，BD＝，∴BD2＝AD2+AB2．∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，tan∠ADB＝＝1．故答案为：2或1．23．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，tan A＝，∴AC＝＝＝12，∴AB＝＝＝6，cos B＝＝＝，∵边AB的垂直平分线交边AB于点E，∴BE＝AB＝3．∵在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∴cos B＝＝∴BD＝13，∴CD＝BC﹣BD＝18﹣13＝5，故答案为5．24．解：延长CD交AB于点E，过点E作EG⊥BC于点G，过点D作DF⊥BA于点F，如图．∵∠B＝∠C＝30°，∴∠CEA＝∠B+∠C＝60°，BE＝CE．又EG⊥BC，∴BG＝CG＝4，∴BE＝＝＝．∴AE＝AB﹣BE＝﹣＝．又∠EDA＝90°，∠A＝30°，∴AD＝cos30°×AE＝＝2．∴DF＝＝＝1．即D到AB距离为1．故答案为：1．25．解：∵sin B＝＝，∠ACB＝90°，AC＝12，∴AB＝20，∴BC＝＝16，∵CD＝DE，∴DE＝BC﹣BD，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵sin B＝，∴＝＝，∴BD＝10，故答案为：10．26．解：∵在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD＝CD，∵AC＝5，∴AD＝CD＝AC•sin45°＝5×＝5，∵AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠B+∠BAD＝∠AFE+∠BAD＝90°，∴∠DFC＝∠AFE＝∠B，∵tan∠B＝2，∴tan∠DFC＝2，∴＝2，∴DF＝＝，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣＝，∵tan∠AFE＝tan∠B＝2，∴设AE＝2x，EF＝x，由勾股定理得AF＝x＝，∴EF＝x＝，故答案为：．。
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—直角三角形
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—直角三角形1.了解直角三角形的概念；2.证明并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余(无需证明)；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形；4.掌握勾股定理；会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等；考点1：直角三角形的性质与判定直角三角形性质1.两锐角之和等于90°2.斜边上的中线等于斜边的一半3.30°角所对的直角边等于斜边的一半1.若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明）2.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b,斜边为c,则cba222=+判定1.有一个角为90°的三角形时直角三角形2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形1.一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形考点2：勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.（3）勾股数：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数【题型1：直角三角形的性质与判定】【典例1】（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，∠C ＝30°，AC ∥EF ，则∠1＝（） 2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c 若满足，那么这个三角形为直角三角形。
c b a 222=+面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高ch S 21ab 21==A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．1．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，则∠CED＝90°﹣40°＝50°，∵l∥AB，∴∠1＝∠CED＝50°，故选：C．2．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【答案】B【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，又∵AD⊥BC，∴AD＝AB＝12＝6（m），故选：B【题型2：勾股定理及逆定理】【典例2】（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺．【答案】8，6，10．【解答】解：设门对角线的长为x尺，则门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝10，10﹣2＝8（尺），10﹣4＝6（尺）．答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺．故答案为：8，6，10．1．（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（）A．9B．8C．7D．6【答案】D【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵BD＝CD，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD，∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，∴AB＝＝＝6，故选：D．2．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为50km．【答案】50．【解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC＝＝＝50（km），∴A，C两港之间的距离为50km，故答案为：503．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝1．【答案】1．【解答】解：∵BD＝（BC+），AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD＝（6+）＝5，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1，故答案为：1．4．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为10cm．（杯壁厚度不计）【答案】10．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，连接B′A，则B′A即为最短距离，B′A＝＝＝10（cm）．故答案为：10．【题型3：勾股定理与弦图、拼图】【典例3】（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+ab×4，化简得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2．（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；故答案为3；②结论：S1+S2＝S3．∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2，∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．1．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（）A．2B．C．D．【答案】A【解答】解：由已知可得，大正方形的面积为1×4+1＝5，设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则a2+b2＝5，a﹣b＝1，解得a＝2，b＝1或a＝1，b＝﹣2（不合题意，舍去），∴tanα＝＝＝2，故选：A．2．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝3．【答案】3．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．一．选择题（共7小题）1．在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【答案】C【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，∴另一个锐角的度数＝90°﹣40°＝50°．故选：C．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，沿CD折叠，使A点落在BC边上的E点，若∠B＝2 6°，则∠CDE的度数为（）A．52°B．71°C．72°D．81°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝26°，∴∠A＝90°﹣26°＝64°，根据折叠，∠CDE＝∠ADC，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠ADC＝180°﹣45°﹣64°＝71°，∴∠CDE＝∠ADC＝71°，故选：B．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，则A D长是（）A．4B．5C．6D．8【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，∴BD＝2BC＝4，∵∠A＝15°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，∴∠A＝∠ABD＝15°，∴AD＝BD＝4，故选：A．4．以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（）A．B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以2，3为直角边的直角三角形斜边长＝＝，故选：B．5．下列各组数据是勾股数的是（）A．，，B．4，5，6C．0.3，0.4，0.5D．9，40，41【答案】D【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意；D、92+402＝412，能构成直角三角形，且9，40，41是正整数，故符合题意．故选：D．6．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD【答案】A【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB 全等，故本选项不符合题意；D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；故选：A．7．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，∴△CAE≌△DAE（HL），∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．故选：B．二．填空题（共6小题）8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝50°．【答案】50．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°．∵D为线段AB的中点，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B＝50°．故答案为：50．9．我国古代数学著作《九章算术》记载了这样一个有趣的问题：“有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端刚好达到岸边的水面”，则水池的深度为12尺．【答案】见试题解答内容【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+（10÷2）2＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水的深度是12尺．故答案为：12．10．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝40°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠FCD＝75°，∴∠A+∠B＝75°，∵∠A：∠B＝1：2，∴∠A＝×75°＝25°，∵DE⊥AB于E，∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，∴∠CFD＝∠AFE＝65°，∵∠FCD＝75°，∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．故答案为：40°11．如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为270°．【答案】270．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，故答案为：270．12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形ADEC，若图中阴影部分的面积为9cm2，BC＝4cm，则AB＝5cm．【答案】5．【解答】解：∵正方形ADEC的面积为9，∴AC2＝9，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝5（cm），故答案为：5．13．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为5．【答案】5．【解答】解：延长BD与AC交于点E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵BD＝1，BC＝3，∴CE＝3，∴AE＝BE＝2，∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．故答案为：5．三．解答题（共4小题）14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：Rt △BDE≌Rt△CDF．【答案】见解析．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．（1）证明：△ABC 是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，AD ＝8，CD ＝6，∴AC 2＝AD 2+CD 2＝82+62＝100，∴AC ＝10（取正值）．在△ABC 中，∵AC 2+BC 2＝102+242＝676，AB 2＝262＝676，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形；（2）解：S 阴影＝S Rt △ABC ﹣S Rt △ACD ＝×10×24﹣×8×6＝96．16．如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE ＝1m ，将它往前推送6m （水平距离BC ＝6m ）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF ＝CE ＝3m ，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度？【答案】10m ．【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m，∴x2＝62+（x﹣2）2，解得：x＝10，答：绳索AD的长度是10m．17．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据勾股定理：梯子距离地面的高度为：＝24（米）；（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），根据勾股定理得：25＝，解得CC′＝8．即梯子的底端在水平方向滑动了8米．一．选择题（共5小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝20°，则∠CBD＝（）A．5°B．10°C．15°D．20°【答案】D【解答】解：由折叠得∠ABD＝∠A'BD，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵∠A'BC＝20°，∴∠ABA'＝80°，∴∠ABD＝∠A'BD＝40°，∴∠CBD＝∠A'BD﹣∠A'BC＝20°，故选：D．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若AC＝6，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（）A．3B．2C．1D．无法确定【答案】B【解答】解：由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠CBG＝∠ABG＝30°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，而AC＝6，∴（2BC）2﹣BC2＝62，解得：BC2＝12，同理可得：BG＝2GC，∴（2GC）2﹣GC2＝BC2＝12，∴GC＝2，当GP⊥AB时，GP最短，此时根据角平分线的性质可得GP＝GC＝2，故选：B．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连接PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．4．如图，线段OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，连结OP1；过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，连结OP2；过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，连结OP3，则OP3的长为（）A．1B．C．D．2【答案】D【解答】解：由勾股定理得：＝OP2+＝2，＝+＝3，OP3＝＝2．故选：D．5．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．二．填空题（共3小题）6．如图，在△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为直径向上作三个半圆．若AB＝5，AC＝4，则阴影部分图形的面积为6．【答案】6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC2+AC2＝AB2，BC＝＝＝3，＝BC•AC＝×3×4＝6，∴S△ABC设以BC为直径的半圆的面积为S1，以AB为直径的半圆的面积为S3，以AC为直径的半圆的面积为S2，∵S1＝π•（BC）2＝BC2，S2＝π•（AC）2＝AC2，S3＝π•（AB）2＝AB2，＝S2+S1+S△ABC﹣S3＝（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABC＝6，∴S阴影故答案为：6．7．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝12米，AB＝8米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是2米．【答案】见试题解答内容【解答】解：把立体图形展开为平面图形得：展开后AB方向上线段长度变长，长度为AB+1+1＝8+2＝1 0米，BC＝AD＝12米，AB⊥BC，∴AC＝＝2（米），故答案为：2．8．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为32cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．三．解答题（共4小题）9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【答案】（1）；（2）或t＝1．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴．当时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴．即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．10．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．（1）求证：CD＝AC+ED．（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】证明：（1）∵∠ABC+∠EBD＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，在△ABC与△BED中，，∴△ABC≌△BED（AAS），∴BC＝DE，BD＝AC，∴CD＝BC+BD＝AC+ED；（2）由（1）知，DE＝BC＝a，BD＝AC＝b，＝，∴S梯形ACDE＝S△ABC+S△ABE+S△BDE又∵S梯形ACDE＝ab++＝ab+，∴，∴a2+b2＝c2．11．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，C B＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．问：（1）在离A站多少km处？（2）判定三角形DEC的形状．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km；（2）△DEC是直角三角形，理由如下：∵△DAE≌△EBC，∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，∠DEA+∠D＝90°，∴∠DEA+∠CEB＝90°，∴∠DEC＝90°，即△DEC是直角三角形．12．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．1．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【答案】B【解答】解：由图可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，∴CD＝AB＝3cm，故选：B．2．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A．B．2C．2D．4【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝2，故选：C．3．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4【答案】B【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，∵，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．4．（2022•陕西）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（）A．B．2C．D．3【答案】C【解答】解：需要爬行的最短路程即为线段AB的长，如图：∵正方体棱长为1，∴BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴需要爬行的最短路程为；故选：C．5．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E，则∠EBC＝10°．【答案】10°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．6．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝5．【答案】5．【解答】解：连接CM，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵点M是AB的中点，∴CM＝AB＝5．故答案为：5．7．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A 为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是+1．【答案】+1．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，∴AC＝AB＝，∴OC＝AC+OA＝+1，∵交x轴正半轴于点C，∴点C的坐标为（+1，0）．故答案为：+1．8．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝5．【答案】5．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，＝＝10，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案为：5．9．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为96．【答案】96．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴每个直角三角形的面积为ab＝×12×16＝96，故答案为：96．10．（2021•杭州）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC ＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵∠C＝45°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD；（2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，∴BE＝＝，在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，∴EC＝＝3，∴BC＝3+，＝BC×AE＝．∴S△ABC。
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第1课时)教学设计
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质、锐角三角函数的概念和勾股定理的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生学会解直角三角形，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
教材中通过丰富的实例，引导学生探究直角三角形的边角关系，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和锐角三角函数的概念有一定的了解。
但在解决实际问题时，还可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为解直角三角形的问题，并运用相应的解决方法。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主探究解直角三角形的方法。
2.实例分析法：教师通过展示实例，让学生观察、操作，培养学生的动手操作能力。
3.小组合作法：学生分组讨论，共同解决实际问题，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备相关的教学材料，如PPT、实例、习题等。
2.学生准备：学生需要预习相关内容，了解直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜边长度等，引导学生思考如何解决这些问题。
第1章1.4解直角三角形(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)
今天我们在课堂上一起探讨了解直角三角形的知识，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和总结。
首先，我在导入新课环节通过提出与生活相关的问题，激发了学生的兴趣。他们能够积极参与，提出自己在生活中遇到的实际问题，这有助于提高他们对本节课内容的学习兴趣。但在这一过程中，我也发现部分学生对直角三角形的概念理解不够深入，需要在后续教学中加强基础知识的巩固。
3.培养学生的空间想象力和几何直观，通过绘制直角三角形图形，加深对几何图形的理解。
4.激发学生的合作意识和团队精神，通过小组讨论、互动交流，共同解决问题，提升沟通能力。
5.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，形成自主学习、终身学习的观念。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握直角三角形的定义和性质，特别是斜边、邻边和对边的关系。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切函数的定义和应用这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例子和比较来帮助大家理解如何运用这些函数解直角三角形。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何使用测量工具和三角函数求解未知高度或距离。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨பைடு நூலகம்成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的基本概念、锐角三角函数的重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对解直角三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1-4解直角三角形》解答题专题训练(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1-4解直角三角形》解答题专题训练（附答案）1．如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝25，AC＝39，sin B＝，求BC的长和tan C的值．2．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，BD＝10，∠DBC＝30°，sin A＝，求AB的长．3．如图，在△ABC中，BC＝，∠B＝30°，∠C＝45°，求△ABC的面积．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin B＝．求BC的长及∠A的正切值．5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6，tan C＝，BC＝12．（1）求DC边的长；（2）求cos B的值．6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BD＝8，cos∠ABC＝，BF为△ABC的角平分线，BF 交AD于点E．求：（1）AD的长；（2）tan∠FBC的值．7．如图，在平面直角坐标系中，OB＝5，sin∠AOB＝，点A的坐标为（10，0）．（1）求点B的坐标；（2）求sin∠OAB的值．8．如图．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6．（1）若∠A＝60°，求BC的长度．（2）若sin A＝，求AB的长度．9．如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求AB的长．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长斜边BC到点D，使CD＝BC，联结AD，如果tan B＝，求tan∠CAD的值．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，若sin∠CAD＝，BC＝25，求AC的长．12．如图，AD是△ABC的高，cos B＝，sin C＝，AC＝10，求AB的长．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20．求sin A的值．14．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．（1）求BE的长；（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．15．如图在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、BC的中点，过点B作BF ⊥AC于点F，BF与DE交于点G．（1）求证：DE⊥BF；（2）连结EF，若S△CEF＝S△BDG，求cos∠CEF的值．16．如图，在△ABC中，AD是中线，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°．（1）求的值；（2）求∠ACB的度数．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，AB＝5，AC＝3．（1）求AD的长；（2）求sin∠DAB的值．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，．求sin A的值．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cot B＝，BC＝10．（1）求AB的长；（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝．D是AB边的中点，过点D 作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．（1）求线段CE的长；（2）求sin∠BDE的值．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求AD的长；（2）求∠EBC的正切值．22．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．（1）求sin∠ABE的值；（2）求点E到直线BC的距离．23．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝，求：（1）线段DC的长；（2）sin∠EDC的值．24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝，解这个直角三角形．25．根据下列条件，解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，c＝6．26．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD⊥BC于点D，且AD＝2．（1）求线段BC的长；（2）取AC的中点E，连接BE，求tan∠EBC．27．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6，求△ABC的面积．28．如图，AD是△ABC的高，，，AC＝10，求△ABC的周长．参考答案1．解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：在Rt△ABD中，AB＝25，sin B＝＝，∴＝，∴AD＝15，在Rt△ACD中，CD＝＝＝36，∴tan C＝＝＝，在Rt△ABD中，BD＝＝＝20，∴BC＝BD+CD＝20+36＝56．∴tan C＝，BC＝56．2．解：在Rt△BDC中，∵cos∠DBC＝，∴BC＝cos∠DBC×BD＝cos30°×10＝15；在Rt△BAC中，∵sin A＝＝，∴AB＝＝＝．3．解：作AD⊥BC与D，如图，设AD＝x，在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴BD＝AD＝x，在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴CD＝AD＝x，而BD+CD＝BC，∴x+x＝2+2，解得x＝2，即AD＝2，∴△ABC的面积＝×2×（2+2）＝2+2．4．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，sin B＝，∴AC＝AB•sin B＝6，∴BC＝，∴tan A＝．5．解：（1）∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形．在Rt△ADC中，∵tan C＝＝，AD＝6，∴CD＝4．（2）∵BC＝12，CD＝4，∴BD＝8．在Rt△ADB中，AB＝＝10．∴cos B＝＝＝．6．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴cos∠ABC＝＝，∵BD＝8，∴AB＝10，∴AD＝＝＝6；（2）过E作EF⊥AB于F，如图所示：∵BF为△ABC的角平分线，ED⊥BC，∴ED＝EF，在Rt△BHE和Rt△BDE中，，∴Rt△BHE≌Rt△BDE（HL），∴BH＝BD＝8，∴AH＝AB﹣BE＝2，∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠AEH+∠BAD＝90°，∴∠ABC＝∠AEH，∴cos∠AEH＝＝cos∠ABC＝，设ED＝EH＝4k，则AE＝5k，则AD＝5k+4k＝6，解得：k＝，∴ED＝，∴tan∠FBC＝tan∠EBD＝＝＝．7．解：（1）如图，过点B作BC⊥OA于点C，在Rt△BOC中，∠OCB＝90°，OB＝5，sin∠AOB＝，∴sin∠AOB＝，∴BC＝3，∴，∴点B的坐标为（4，3）．（2）∵点A的坐标为（10，0），∴OA＝10，∴AC＝OA﹣OC＝10﹣4＝6，∵∠ACB＝90°，∴，∴sin∠OAB＝．8．解：（1）∵∠A＝60°，∴tan60°＝＝＝，∴BC＝6；（2）设BC＝4x，则AB＝5x，根据勾股定理可得，（4x）2+62＝（5x）2，解得x＝2，所以AB＝5x＝10．9．解：∵∠A＝105°，∠B＝30°．∴∠C＝45°．过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AC＝2．∴∠DAC＝∠C＝45°．∵sin C＝，∴AD＝CD＝．在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．∵AD＝，∴AB＝2AD＝2．10．解：过点C作CH⊥AC，交AD于点H，∵∠ACH＝∠BAC＝90°，∴AB∥CH，∴△DCH∽△DBA，∴，∴，设CH＝k，∴AB＝3k，∴AC＝4k，∴tan∠CAD＝，∴tan∠CAD的值为．11．解：∵∠BAC＝90°，∴∠CAD+∠BAD＝90°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°，∴∠B＝∠CAD，∴sin B＝sin∠CAD＝．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sin B＝，BC＝25，∴AC＝BC•sin B＝25×＝15．12．解：在Rt△ACD中，sin C＝，∵sin C＝，AC＝10，∴，∴AD＝6．∴CD＝．在Rt△ABD中，∵cos B＝，∴∠B＝45°，∴∠BAD＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝6，∴AB＝6．13．解：在直角三角形BDC中，∠BDC＝45°，BD＝10，∴BC＝BD•sin∠BDC＝10×＝10．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝20，∴sin A＝＝＝．14．解：（1）∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°．在Rt△BED中，∵cos∠ABC＝，∴BE＝cos45°•3＝•3＝3．（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．∴∠EDB＝45°．∴BE＝DE＝3．∵sin∠DAB＝＝，∴AD＝5．∴AE＝＝4．∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．∴S△ABD＝AB•DE＝．∵AD是BC边上的中线，∴S△ADC＝S△ABD＝．15．证明：（1）∵点D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC．∴∠DGB＝∠AFB．∵BF⊥AC，∴∠AFB＝∠BFC＝90°．∴∠DGB＝90°，∴DE⊥BF．（2）∵∠BFC＝90°，点E是BC的中点，∴EF＝BE＝EC，∴∠EFC＝∠C．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∴∠CEF＝180°﹣2∠C＝∠BAC．∵DE∥AC，点D是AB的中点，∴△BDG∽△BAF，∴＝．∵点E是BC的中点，∴S△BFC＝2S△CEF，∵S△CEF＝，∴．∴S△ABC＝S△ABF+S△BCF＝S△ABF+2S△CEF＝S△CEF．∴＝＝S△CEF：S△CEF＝，在Rt△ABF中，cos∠CEF＝cos∠BAF＝＝＝．16．解：（1）过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，在Rt△ABE中，∵∠ABC＝30°，∴AB＝2AE，BE＝＝AE，在Rt△ADE中，∵∠ADC＝45°，∴DE＝AE，∴BD＝BE﹣DE＝AE﹣AE＝（﹣1）AE，∴＝＝+1；（2）如图，在AB上取一点E，使得DB＝DE，连接EC．∵DB＝DE，∴∠DBE＝∠DEB＝30°，∴∠EDC＝∠B+∠DEB＝60°，∵DB＝DC＝DE，∴△DEC是等边三角形，∴∠ECD＝∠CED＝60°，∴∠CEB＝∠CEA＝90°，∵∠ADC＝45°，∴∠EDA＝∠EDC﹣∠ADC＝15°，∵∠DEB＝∠EDA+∠AED，∴∠EDA＝∠EAD＝15°，∴ED＝EA＝EC，∵∠CEA＝90°，∴∠ECA＝45°，∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°+60°＝105°．17．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝＝4．∵D是BC的中点，∴CD＝BC＝2．∴AD＝＝＝．（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E．∵D为BC的中点，∴S△ACD＝S△ADB＝AC×CD＝3．∵S△ABD＝AB×DE＝3，∴DE＝．∴sin∠DAB＝＝＝．18．解：过点C作CD⊥AB，在Rt△CDB中，∵sin B＝＝，设CD＝4x，BC＝5x，则BD＝3x，∴AD＝10﹣3x，在Rt△CDA中，由勾股定理得，AC2＝AD2+CD2，即102＝（10﹣3x）2+（4x）2，整理得：25x2﹣60x＝0，解得：x＝2.4或x＝0（舍去），∴CD＝4x＝9.6，在Rt△CDA中，sin A＝＝＝．19．解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，∵∠BCA＝45°，在Rt△AEC中，AE＝EC，∵cot B＝，在Rt△BEA中，＝，设BE＝3x，AE＝2x，∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10，∴x＝2，∴BE＝6，EA＝EC＝4，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2．即AB2＝36+16＝52．∴AB＝．（2）由（1）知AB＝2，又∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝，∵DF⊥BC，AE⊥BC，∴DF∥AE，∵BD＝AD，∴BF＝FE＝BE＝3．∴DF＝AE＝2，∴FC＝FE+EC＝3+4＝7．∴tan∠DCB＝．20．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝，∴＝，∴AB＝10，∴BC＝＝8，又∵D为AB中点，∴AD＝BD＝CD＝AB＝5，∴∠DCB＝∠B，∴cos∠DCB＝，cos∠B＝，∴，∴CE＝；（2）作EF⊥AB交AB于F，由（1）知CE＝，则BE＝8﹣＝，DE＝＝，设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x，在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝，在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝，∴﹣（5﹣x）2＝﹣x2，解得x＝，∴EF2＝（）2﹣（）2＝，EF＝，∴sin∠BDE＝＝．21．解：（1）过C点作CH⊥AD于H，如图，∵CD＝CA，∴AH＝DH，∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，∴∠ACH＝∠ABC，∴sin∠ACH＝sin∠ABC＝，在Rt△ACH中，sin∠ACH＝＝，∴AD＝2AH＝2；（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝，∴AB＝3AC＝9，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，∵∠E＝90°，而∠EDB＝∠HDC，∴∠HCD＝∠EBD，∴sin∠EBD＝＝，∴DE＝BD＝，∴BE＝＝，在Rt△EBC中，tan∠EBC＝＝＝．22．解：（1）过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，sin∠BAC＝，∴∠BAC＝30°，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝，∴BD＝＝，Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠BAC＝，Rt△BDF中，sin∠ABE＝＝；（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，∴△BCD∽△AHD，∴，∵BC＝2，CD＝AD＝，BD＝，∴，解得AH＝，HD＝，∵∠AEB＝∠BAC＝30°，∴HE＝＝，∴BE＝BD+DH+HE＝，∵EG∥AC，∴∠BDC＝∠BEG，而∠CBD＝∠GBE，∴△CBD∽△GBE，∴，即，∴EG＝．方法二：过E作EG⊥BC于G，∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，∴△ABD∽△ABE，∴＝，即，∴BE＝，∵DC⊥BC，EG⊥BG，∴DC∥BG，∴，即＝，∴EG＝，∴点E到直线BC的距离为．23．解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC．∴sin B＝＝．∵AD＝12，∴AB＝＝＝15．在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，∴AC＝13．∵E是AC的中点，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C．∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝．24．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°．∵sin A＝，tan A＝，即＝，＝，∴AB＝，AC＝．25．解：（1）c＝＝＝4，∵tan B＝＝＝，∴∠B＝30°．∴∠A＝90°﹣30°＝60°；（2）∵∠A＝45°，∴∠B＝90°﹣45°＝45°．∵sin A＝sin45°＝，即＝，∴b＝a＝3．26．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ADB和Rt△ADC中，∵∠B＝30°，∠C＝45°，∴AB＝4，CD＝AD＝2．∴BD＝＝2．∴BC＝BD+DC＝2+2．（2）过点E，作EF⊥CD，垂足为F．∵AD⊥BC，EF⊥CD，E是AC的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴EF＝AD＝1．在Rt△EFC中，∵∠C＝45°．∴∠CEF＝45°，∴FE＝FC＝1．∴BF＝BC﹣CF＝2+1．∴tan∠EBC＝＝＝．27．解：如图，作CD⊥AB于点D．∵∠B＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°，∵BC＝6，∴CD＝BD＝3，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，∴tan30°＝，∴AD＝，∴S△ABC＝•AB•CD＝•（3+）•3＝9+3，∴△ABC的面积是9+3．28．解：在Rt△ACD中，，∵，AC＝10，∴，∴AD＝6．∴CD＝＝8．在Rt△ABD中，∵，∴∠B＝45°，∴∠BAD＝∠B＝45°，∴BD＝AD＝6，AB＝6．∴△ABC的周长为:AB+AC+BD+CD ＝＝．。
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形,解直角三角形有以下两方面的应用：1．为线段、角的计算提供新的途径．解直角三角形的基础是三角函数的概念,三角函数使直角三角形的边与角得以转化,突破纯粹几何关系的局限．2．解实际问题．测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题,许多问题可转化为解直角三角形获解,解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上,准确把实际问题抽象为几何图形,进而转化为解直角三角形．【例题】【例1】 如图,已知电线杆AB 直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上,如果CD 与地面成45°,∠A ＝60°,CD ＝4m,BC ＝(2264-)m,则电线杆AB 的长为 ．【例2】 如图,在四边形ABCD 中,AB=24-,BC -1,CD=3,∠B=135°,∠C ＝90°,则∠D 等于( )A ．60°B ．67．5°C ．75°D ．无法确定注：因直角三角形元素之间有很多关系,故用已知元素与未知元素的途径常不惟一,选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦,无斜用切,宁乘勿除．在没有直角的条件下,常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时,往往先解已具备条件的直角三角形,使得求解的直角三角形最终可解．【例3】 如图,在△ABC 中,∠=90°,∠BAC=30°,BC=l,D 为BC 边上一点,tan ∠ADC 是方程2)1(5)1(322=+-+x x xx 的一个较大的根?求CD 的长．【例4】 如图,自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD,AB=3米,BC=0．5米 ,车厢底部距离地面1．2米,卸货时,车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A 距离地面多少米?(精确到1米)【例5】 如图,甲楼楼高16米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°,此时,求：(1)如果两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是多少米?注：在解决一个数学问题后,不能只满足求出问题的答案,同时还应对解题过程进行多方面分析和考察,思考一下有没有多种解题途径,每种途径各有什么优点与缺陷,哪一条途径更合理、更简捷,从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯,则可逐步培养和提高我们分析探索能力．练习巩固1．如图,在△ABC 中,∠A=30°,tanB=31,BC=10,则AB 的长为 ． 2．如图,在矩形ABCD 中．E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,若tan ∠AEH=34,四边形EFGH 的周长为40cm,则矩形ABCD 的面积为 ．3．如图,旗杆AB,在C 处测得旗杆顶A 的仰角为30°,向旗杆前北进10m,达到D,在D 处测得A 的仰角为45°,则旗杆的高为 ．4．上午9时,一条船从A 处出发,以每小时40海里的速度向正东方向航行,9时30分到达B 处,从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东45°和北偏东15°方向,那么B 处船与小岛M 的距离为( )A ．20海里B ．20海里C ．315海里D ．3205．已知a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边,若关于x 的方程02)(2=-+-+b c ax x c b 有两个相等的实根,且sinB ·cosA —cosB ·sinA ＝0,则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝135°,∠B=∠D=90°,BC=32,AD=2,则四边形ABCD 的面积是( )A ．24B ．34C ． 4D ．67．如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,CD=1,已知AD 、BD 的长是关于x 的方程02=++q px x 的两根,且tanA —tanB=2,求p 、q 的值．8．如图,某电信部门计划修建一条连结B 、C 两地的电缆,测量人员在山脚A 点测得B 、C 两地的仰角分别为30°、45°,在B 地测得C 地的仰角为60°．已知C 地比A 地高200米,则电缆BC 至少长多少米?(精确到0.1米)9．如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C=90°,∠CBD ＝30,则DCAD = ．10．如图,正方形ABCD 中,N 是DC 的中点．M 是AD 上异于D 的点,且∠NMB=∠MBC,则tan ∠ABM ＝ ．11．在△ABC 中,AB=26-,BC=2,△ABC 的面积为l,若∠B 是锐角,则∠C 的度数是 ．12．已知等腰三角形的三边长为 a 、b 、c,且c a =,若关于x 的一元二次方程022=+-c bx x 的两根之差为2,则等腰三角形的一个底角是( )A ． 15°B ．30°C ．45°D ．60°13．如图,△ABC 为等腰直角三角形,若AD=31AC,CE=31BC,则∠1和∠2的大小关系是( ) A ．∠1>∠2 B ．∠1<∠2 C ．∠1＝∠2 D ．无法确定14．如图,在正方形ABCD 中,F 是CD 上一点,AE ⊥AF,点E 在CB 的延长线上,EF 交AB 于点G ．(1)求证：DF ×FC ＝BG ×EC ；(2)当tan ∠DAF=31时,△AEF 的面积为10,问当tan ∠DAF=32时,△AEF 的面积是多少?15．在一个三角形中,有一边边长为16,这条边上的中线和高线长度分别为10和9,求三角形中此边所对的角的正切值．16．台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力．据气象观测,距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C 处移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过四级,则称为受台风影响．(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?17．如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得,从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．(1)请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离,用m表示；如果测D、C间距离,用n表示；如果测角,用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．(2)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示)．。