2.2.3线面平行性质

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2.2.3_线面平行的性质定理

点、直线、平面之间的位置关系
2.判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例.
(1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经过b的任何平面；( ) （2）如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α , b ∥ α ,那么a ∥ b ;( )
(3)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ b,a ∥ α ,b α , 那么 b ∥ α ;( )
B1 P M D N C
A
B
PM PN AC // MN MA NC
CC 1 AA1
MN 面ABCD AC 面ABCD
MN // 面ABCD
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
5、已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD
外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，
关键：寻找平面与平面的交线。
简述：线面平行，则线线平行
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ D ）
A 只和这个平面内一条直线平行；
B 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。
必修2
第二章
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
长方体ABCD －A1 B1C1 D1中，点P BB （异于 B、B1） 4、 1 PA BA1 M , PC BC 1 N , 求证：MN // 平面ABCD
A1 D1 C1 B1 P M D N C
A
B
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系

2.2.3《直线与平面平行的性质》

直线与平面平行的性质定理：直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与这个平面的交线与该直线平行。任一平面与这个平面的交线与该直线平行。符号表示：符号表示：
a // α , a ⊂ β , α ∩ β = b
a // b
β a b
例题示范例4：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。第一步: 第一步:将原题改写成数学符号语言如图,已知直线a,b,平面如图,已知直线a,b,平面α, a,b,平面 a//b,a//α,a,b都在平面且a//b,a//α,a,b都在平面 α外.求证:b// . 求证:b//α. :b// 第二步:分析：怎样进行平第二步:分析：行的转化？行的转化？→如何作辅助平面？第三步: 第三步:书写证明过程
探研新知
已知：如图，a∥α，已知：如图，a∥α， α∩β＝ a ⊂β，α∩β＝b。求证：a∥b。求证：a∥b。证明： α∩β＝证明：∵α∩β＝b，∴b⊂α a∥α，无公共点， ∵ a∥α，∴a与b无公共点， a∥b。 ∵a⊂β，b⊂β，∴a∥b。我们可以把这个结论作定理来用. 我们可以把这个结论作定理来用.
探究: 变式：如果AD∥BC BC∥面A′C′，那么， AD∥BC，变式：如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD 和面BC′ BC′、 BF、 A′C′都有怎样的位置关和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关为什么？系．为什么？
练一练: 练一练: 设平面α α∩β＝ β∩γ＝设平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b， γ∩α＝求证： γ∩α＝c，且a//b. 求证：a∥b∥c.

线面平行面面平行的判定

2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质1．文字语言：一条直线与一个平面平行，则__过这条直线的任一平面与此平面的交线__与该直线平行．2．图形语言：3．符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α__a ⊂β____α∩β＝b __⇒a ∥b 4．作用：线面平行⇒线线平行．要点二面面平行的性质定理1．文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面__相交__，那么它们的交线__平行__.2．图形语言：3．符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫α∥β__α∩γ＝a ____β∩γ＝b __⇒a ∥b 4．作用：面面平行⇒线线平行．要点三平行关系性质的应用1．若平面α与平面β平行，则α上的任何直线与平面β的位置关系是__平行__. 2．若两个面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线的关系是__平行或异面__. 3．A 是异面直线a ，b 外一点，过A 最多可作__0或1__个平面同时与a ，b 平行． 4．过平面外一点能作__无数__条直线和这个平面平行．思考：如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的直线也互相平行，这句话正确吗？为什么？提示不正确，因为这两个平面平行，那么位于两个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面．考点一线面平行、面面平行的性质定理定理可简记为“线面平行，则线线平行”“面面平行，则线线平行”．定理揭示了直线与平面平行中蕴涵着直线与直线平行，即通过直线与平面平行、平面与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法．【例题1】在下列命题中，正确的有__④__(填序号)．①若α∩β＝a，b⊂α，则a∥b；②若a∥平面α，b⊂α，则a∥b；③若平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④平面α∥平面β，点P∈α，a∥β且P∈a，则a⊂α.思维导引：此类题一般是以符号语言为载体的判断题，熟悉相关定理是前提，全面分析是关键，一般通过合理利用模型及排除法解题．解析①若α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，①不正确；②若a∥α，b⊂α，则a与b异面或a∥b，②不正确；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b或a与b异面，③不正确；④若α∥β，点P∈α，知P∉β，所以过点P且平行于β的直线a必在α内，故④正确．【变式1】(1)若直线a，b均平行于平面α，那么a与b的位置关系是__平行、相交或异面__.(2)若直线a∥b，且a∥平面β，则b与β的位置关系是__b∥β或b⊂β__.(3)若直线a，b是异面直线，且a∥β，则b与β的关系是__b∥β或b⊂β或b与β相交__.解析(1)a∥α，b∥α，则知a，b与α无公共点，而a，b平行、相交、异面都有可能．(2)a∥b，a∥β知b∥β或b在β内．(3)b与β的三种位置关系都有可能．考点二线面平行的性质及应用利用线面平行的性质定理判断两直线平行的步骤：(1)先找过已知直线且与已知平面相交的平面；(2)再找两个平面的交线；(3)由定理得出结论．【例题2】如图，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．思维导引：AB∥平面MNPQ，CD∥平面MNPQ→MN∥PQ，NP∥MQ→四边形MNPQ是平行四边形证明因为AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，所以AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，所以AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可证NP ∥MQ.所以四边形MNPQ为平行四边形．【变式2】如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于点F.求证：EF∥B1C．证明由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD 为平行四边形，从而B1C∥A1D，又A1D⊂平面A1DFE，B1C⊄平面A1DFE，于是B1C∥平面A1DFE.又B1C⊂平面B1CD1，平面A1DFE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C．考点三面面平行的性质及应用应用平面与平面平行的性质定理的基本思路：【例题3】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点．当平面AB1C∥平面A1EC1时，点E的位置是__与D重合__.思维导引：平面AB1C∥平面A1EC1，且都与对角面BB1D1D相交，则交线平行．在平行四边形BB1D1D中再来论证平行线的位置．解析如图，连接B1D1，BD，设B1D1∩A1C1＝M，BD∩AC＝O.连接ME，B1O，因为平面AB1C∥平面A1EC1，平面AB1C∩平面BDD1B1＝B1O，平面A1EC1∩平面BDD1B1＝ME，所以B1O∥ME.又由长方体的性质可知四边形B1MDO为平行四边形，则B1O∥MD．故E与D重合．【变式3】已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．解析直线a，b的位置关系是平行．如图所示，连接DD′.因为平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A ′D ′B ∩平面A ′B ′C ′＝A ′D ′，所以A ′D ′∥a . 同理可证AD ∥b .又D 是BC 的中点，D ′是B ′C ′的中点，所以DD ′BB ′，又BB ′AA ′，所以DD ′AA ′，所以四边形AA ′D ′D 为平行四边形，所以A ′D ′∥AD ，所以a ∥b .考点四空间平行关系的相互转换线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行转换．相互间的转换关系如下．【例题4】如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是AD 1，BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1； (2)求PQ 的长；思维导引：通过作辅助线构造平面，从而证得线面平行；或通过线线平行证得线面平行．解析 (1)证明：方法一如图，连接AC ，CD 1.AC 与BD 交于点Q .因为P ，Q 分别是AD 1，AC 的中点，所以PQ ∥CD 1. 又PQ ⊄平面DCC 1D 1， CD 1⊂平面DCC 1D 1，所以PQ ∥平面DCC 1D 1.方法二取AD 的中点G ，连接PG ，GQ ，则有PG ∥DD 1，GQ ∥DC ，且PG ∩GQ ＝G ，则平面PGQ ∥平面DCC 1D 1.又因为PQ ⊂平面PGQ ，则PQ ∥平面DCC 1D 1. (2)由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a .【变式4】如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E ＝C 1F .求证：EF ∥平面ABCD ．证明过E 作EG ∥AB 交BB 1于点G ，连接GF ，则B 1E B 1A ＝B 1GB 1B.因为B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，所以C 1F C 1B ＝B 1GB 1B .所以FG ∥B 1C 1∥BC ，又因为EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ，所以平面EFG ∥平面ABCD ，又因为EF ⊂平面EFG ，EF ⊄平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD ．。

数学必修2——2.2.3-2.2.4《直线与平面、平面与平面平行的性质》导学导练

高中数学必修2个人原创，版权所有，翻印必究，如需借用，QQ 索取密码第1页解密佛山吉红勇老师扣扣：一0七669八11高中数学必修二2.2.3《直线与平面平行的性质》2.2.4《平面与平面平行的性质》导学导练【知识要点】1、直线与平面平行的性质定理（重点）1）直线与平面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.2）符号语言描述：b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα3）图形语言描述，如右图．2、平面与平面平行的性质（重点、难点）1）、两个平面平行的性质（1）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. 简言之，“面面平行，则线面平行.”2）、两个平面平行的的性质（2）：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.【范例析考点】考点一．线面平行性质的应用考点1：由“线面平行”证明“线线平行”例1、如图，已知异面直线AB 、CD 都与平面α平行，CA 、CB 、DB 、DA 分别交α于点E 、F 、G 、H ．求证：四边形EFGH 是平行四边形．HGFEBADCα【针对练习】1．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A ．α内的所有直线都与直线a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内的直线都与a 相交D ．直线a 与平面α有公共点2．直线a ∥平面α，P ∈α，过点P 平行于α的直线( )A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在α内 3．下列判断正确的是( )A ．a ∥α，b α，则a ∥bB ．a ∩α＝P ，b α，则a 与b 不平行C ．aα，则a ∥α D ．a ∥α，b ∥α,则a ∥b4．直线和平面平行，那么这条直线和这个平面内的( )A ．一条直线不相交B ．两条相交直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线都不相交 5、判断下列说法是否正确：①一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何一条直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l 和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l 平行的直线在α内。

高中数学2.2.3 直线与平面平行的性质定理教学设计

《直线与平面平行的性质定理》教学设计一．教材内容与学情分析：本节课内容是人教A版数学必修2第二章第二节第三课时《直线与平面平行的性质定理》，“直线与平面平行的位置关系〞是“空间直线平行关系〞和“空间平面平行关系〞的桥梁和纽带。

“直线与平面平行的性质〞是立体几何的第一节性质定理课，揭示了“直线与平面平行的判定定理〞与“直线与平面平行的性质定理〞的内在关系，构建了新的知识与方法体系。

本节课也是在学生已经学习了“空间直线与平面的位置关系〞“直线与平面平行的判定〞等知识的根底上展开的，这为学习“直线与平面平行的性质〞作了必要的知识准备。

其次学生通过“空间几何体〞，“空间点，直线，平面之间的位置关系〞“直线与平面平行的判定〞的学习，已经初步形成了一定的空间思维和想象能力，以及初步具备了逻辑思维和推理论证能力，从而提高了学习的效率。

二、教学目标：1．知识与技能：学生初步学会应用直线与平面平行的性质定理解决简单问题；2．过程与方法：学生通过对线面平行性质的学习，进一步掌握直线与平面平行的判定和性质定理；通过对探究成果的归纳，整理，分析，从而认清结论的地位和作用，建立知识之间的联系；3．情感态度、价值观：学生通过对线面平行的性质的学习，进一步提高空间想象能力和严谨的思维习惯，养成实事求是的学习态度。

三、教学重点、难点：1．重点：线面平行的性质定理及应用。

2．难点：发现线面平行的性质，理解性质定理与判定定理的关系，并把它们整合到数学知识方法体系中。

四、教法与教具选择：1．教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论2．教学手段：多媒体、三角板、纸棒。

五、教学过程设计：〔一〕导直线与平面平行的判定定理〔符号描述〕线线平行→线面平行【设计意图】“温故而知新，可以为师也〞，回忆上节课的内容既可以对上节课内容作以稳固，也可为本节内容的展开做铺垫。

尤其是“线线平行→线面平行〞要板书在黑板的左方，等线面平行的性质定理得出后，提炼为“线面平行→线线平行〞只需要在原根底上加上反向箭头即可。

2.2.3-2.2.4_直线与平面,平面与平面平行的性质定理-悠

b α
内找出和直线a （2）已知直线 ∥平面，如何在平面内找出和直线）已知直线a∥平面α，如何在平面α内找出和直线平行的一条直线？平行的一条直线？
思考
如图，直线A 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，直线 1B1//面CDD1C1. 面
D1 A1
E
C1 由长方体性质，我们知道A1B1 // C1D1.
β b α a
⊂ β.
又因为a 又因为 ∥α，所以a,b无公共点. 所以 , 无公共点. 无公共点又因为a β 所以a∥ 又因为 ⊂ ，b ⊂β，所以 ∥b
back
已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 例已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 求证另一条也平行于这个平面. 求证另一条也平行于这个平面.
α
(2)该定理作用：“线面平行⇒线线平行” 该定理作用：线面平行⇒线线平行” 该定理作用线面平行性质定理也是找平行线的重要依据. 线面平行性质定理也是找平行线的重要依据 (3)应用该定理，关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相应用该定理，关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相应用该定理并找出两平面的交线. 交，并找出两平面的交线 (4)平面外的两平行线同平行于同一个平面平面外的两平行线同平行于同一个平面. 平面外的两平行线同平行于同一个平面
O
C1
E
D
在 DBD1中，O为DB的中点,BD1 // OE. 所以点E为DD1的中点.
A
B
练习
三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC上的点，A1B//平面上的点，平面ADC1 . 三棱柱是上的点平面求证:点为的中点的中点. 求证点D为BC的中点

2.2.3直线与平面平行的性质1

a

b
思考：
1、求证:如果三个平面两两相交于三条直线, 并且其中两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行.
已知：平面，，， m
n, l且 L∥m
求证：n∥L , n ∥m
LLeabharlann n m思考：2、如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线相交，那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系呢？
直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直（线面平行线线平行）线和交线平行．
（1）三个条件：
b
a
a //
a // b
（2）用途：证明线线平行
（3）线面平行
判定定理
性质定理
线线平行
例题讲解：
判断下列说法是否正确： ①一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行； ②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何条直线无公共点； ③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行； ④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内。
练习
一.指出下列命题是否正确，说明理由： 1. 如果一条直线不在平面内，那么这条直线就与这个平面平行； 2. 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行； 3. 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行。二、已知直线a,b和平面α，下列命题的是 A、若a ∥α,b ∥ α,则a ∥ b B、若a ∥α,b ∥ α,则a ∥ b C、若a ∥ b,b ∥ α,则a ∥α D、若a ∥ b,a ∥ α,则b ∥ α或b α
2.2.3直线与平面平行的性质
复习直线和平面平行判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号表示:

课件6：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质

所以PPAB＝BADC，又 PA＝6，AC＝9，PB＝8，故 BD＝12.
课堂检测
5．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α. 求证：CD∥EF.
课堂检测
证明：因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD. 同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.

典型例题类型2 面面平行性质定理的应用例2 如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与 β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.
典型例题
(1)证明：∵PB∩PD＝P， ∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ，则 α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. 又 α∥β，∴AC∥BD.
课堂检测【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E， G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D. 【答案】 D
跟踪训练
3．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.
证明：因为F为AB的中点，所以AB＝2AF. 又因为AB＝2CD，所以CD＝AF. 因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD. 又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.

课时作业15：2.2.3　直线与平面平行的性质--2.2.4　平面与平面平行的性质

2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线4．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面二、填空题6．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF ∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．7．如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC 分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.三、解答题8．如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．9．如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.10．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.参考答案一、选择题1．【答案】 B【解析】过a 和平面内n 条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a 平行，这条交线可能不是这n 条直线中的一条，也可能是．故选B.2．【答案】 C【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a ∥b ，又a 与α无公共点，故选C.3．【答案】 A【解析】选项A 中直线a 可能与β平行，也可能在β内，故选项A 不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C 正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B ，D 也正确，故选A.4．【答案】 A【解析】由长方体性质知：EF ∥平面ABCD ，∵EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH ∩平面ABCD ＝GH ，∴EF ∥GH ，又∵EF ∥AB ，∴GH ∥AB ，∴选A.5．【答案】 D【解析】无论点A 、B 如何移动，其中点C 到α、β的距离始终相等，故点C 在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．二、填空题6．【答案】 2【解析】因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC .又点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，所以点F 是CD 的中点，所以EF ＝12AC ＝ 2. 7．【答案】 32【解析】 EF 可看成直线a 与点A 确定的平面与平面α的交线，∵a ∥α，由线面平行的性质定理知，BC ∥EF ，由条件知AC ＝AF ＋CF ＝3＋5＝8.又EF BC ＝AF AC ，∴EF ＝AF ×BC AC ＝3×48＝32. 三、解答题8．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD .∵AD ⊂平面APD ，BC ⊄平面APD ，∴BC ∥平面APD .又平面BCFE ∩平面APD ＝EF ，∴BC ∥EF ，∴AD ∥EF .又E ，F 是△APD 边上的点，∴EF ≠AD ，∴EF ≠BC .∴四边形BCFE 是梯形．9．证明：在AB 上取一点P ，使AP BP ＝AM SM，连接MP ，NP ，则MP ∥SB .∵SB ⊂平面SBC ，MP ⊄平面SBC ，∴MP ∥平面SBC .又AM SM ＝DN NB ，∴AP BP ＝DN NB，∴NP ∥AD . ∵AD ∥BC ，∴NP ∥BC .又BC ⊂平面SBC ，NP ⊄平面SBC ，∴NP ∥平面SBC .又MP ∩NP ＝P ，∴平面MNP ∥平面SBC ，而MN ⊂平面MNP ，∴MN ∥平面SBC .10．解：如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ ，则PQ ∥AE .因为EC ＝2FB ＝2，所以PE ＝BF .所以四边形BFEP 为平行四边形，所以PB ∥EF .又AE ，EF ⊂平面AEF ，PQ ，PB ⊄平面AEF ，所以PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF .又PQ ∩PB ＝P ，所以平面PBQ ∥平面AEF .又BQ ⊂平面PBQ ，所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，即点M 为AC 的中点时，BM ∥平面AEF .。

2.2.3直线与平面平行的性质

a // , a , b
作用：可证明两直线平行。
a // b
β a
欲证“线线平行”，可先证明“线面平理: 直线与直线平行直线与平面平行
直线和平面平行的性质定理: 注意: 平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线平行．
直线与平面平行的性质
复习：
１．直线与平面平行的判定定理是什么？判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 用符号表示： a , b , 且a // b a // . ２．证明直线与平面平行的思路是什么？欲证“线面平行”，必须先证“线线平行”。
a // , a , c, a // c. a // b, b // c, 又 c , b , b // .
已知A，B，C，D四点不共面，且 1，
AB∥α，CD∥α，AC∩α=E，AD∩α=F， BD∩α=G，BC∩α=H。求证：EFGH是一个平行四边形。
平行或异面如果一条直线与一个平面平行时，过这条直线作一平面与已知平面相交，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是什么? 平行
两种证明方法：
１．从正面证明２．反证法

a
β
b
直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与这个平面的交线与该直线平行。符号表示：
B A 若一条直线平行于两个相交平面， 2，求证这条直线平行于两个平面的交线。 H G α E 已知：α∩β＝b，a∥α，a∥β α F 求证：a∥b b C β D

课件10：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质

本课结束
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∵NP⊄平面 AA1B1B，AB⊂平面 AA1B1B， ∴NP∥平面 AA1B1B. ∵MP∥BB1，MP⊄平面 AA1B1B，BB1⊂平面 AA1B1B， ∴MP∥平面 AA1B1B. 又∵MP⊂平面 MNP，NP⊂平面 MNP，MP∩NP＝P， ∴平面 MNP∥平面 AA1B1B. ∵MN⊂平面 MNP，∴MN∥平面 AA1B1B.
[类题通法] 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[针对训练] 2．给出下列说法： ①若平面 α∥平面 β，平面 β∥平面 γ，则平面 α∥平面 γ； ②若平面 α∥平面 β，直线 a 与 α 相交，则 a 与 β 相交； ③若平面 α∥平面 β，P∈α，PQ∥β，则 PQ⊂α； ④若直线 a∥平面 β，直线 b∥平面 α，且 α∥β，则 a∥b. 其中正确说法的序号是________．
文字语言那么它们的交线__平__行___
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a_∥__b_
图形语言
三、综合迁移·深化思维 (1)若直线 a∥平面 α，则直线 a 平行于平面 α 内的任意一条直线，对吗？提示：错误．若直线 a∥平面 α，则由线面平行的性质定理可知直线 a 与平面 α 内的一组直线平行． (2)若直线 a 与平面 α 不平行，则直线 a 就与平面 α 内的任一直线都不平行，对吗？提示：不对．若直线 a 与平面 α 不平行，则直线 a 与平面 α 相交或 a⊂α，当 a⊂α 时，α 内有直线与直线 a 平行．
(3)两个平面平行，那么，两个平面内的所有直线都相互平行吗？提示：不一定．它们可能异面． (4)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？提示：一定平行．因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，因而它们平行．

高中数学人教版必修2教案：第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质+2.2.4 平面与平面平行的性质含答案

2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2-2-15【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2-2-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA1∥EE1.图2-2-16【证明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2-2-17(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD ＝PC ＋CD ＝274.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2-2-18，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．图2-2-18【证明】因为平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，所以C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，所以四边形ANC 1M 为平行四边形，所以AN ∥C 1M 且AN ＝C 1M ，又C 1M ＝12A 1C 1，A 1C 1＝AC ，所以AN ＝12AC ，所以N 为AC 的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 【提示】应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2-2-19，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2-2-19【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2-2-20，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.图2-2-20【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()图2-2-21A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG 不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.【答案】 D2．如图2-2-22，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN ∥平面P AD，则()图2-2-22A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能B[∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN ∥P A.]3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.【解析】由直线与平面平行的性质定理知l∥m.【答案】平行4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若P A＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．【解析】两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以P APB＝ACBD，又P A＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.【答案】125．如图2-2-23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图2-2-23【证明】因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2-2-24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2-2-25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.图2-2-26【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.【答案】3 2三、解答题8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．图2-2-27【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.图2-2-28【证明】在AB上取一点P，使APBP＝AMSM，连接MP，NP，则MP∥SB.∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】 C11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2-2-29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。

高一数学必修二2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质导学案(解析版)

2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质一、课标解读1、掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；2、学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。

3、进一步提高学生空间想象能力、思维能力；二、自学导引问题1:在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.问题2:上述定理通常称为直线与平面平行的性质定理，该定理用符号语言可怎样表述？问题3:直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平行”，在实际应用中它有何功能作用？问题4：平面与平面平行的性质定理：问题5：符号语言表述：问题6：面与面平行的性质定理有何作用？三、合作探究探究1:如果直线a 与平面α平行，那么直线a 与平面α内的直线有哪些位置关系？探究2:若直线a 与平面α平行，那么在平面α内与直线a 平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？探究3:如果直线a 与平面α平行，那么经过平面α内一点P 且与直线a 平行的直线怎样定位？探究4：如果α∥β，,,βα⊂⊂b a 则直线a 与直线b 的位置关系如何？四、典例精析例1 如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.已知：βαβα//,//,a a l =求证：l a //变式训练1 已知,,321l l l ===γβγαβα ，1l ∥2l .求证:3l ∥1l ,3l ∥2l例2.如图所示,三棱椎BCD A -被一平面所截,截面为平行四边形EFGH .求证:CD ∥平面EFGH变式训练2 在长方体1111ABCD A BC D -中,点重合）不与11,(B B BBP ∈M BA PA =1 N BC PC =1 ,求证：MN ∥平面AC例 3 已知N M CD AB ,,之间的线段，，是夹在两个平行平面βα分别为CD AB ,的中点.求证：MN ∥α变式训练3 如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，P N M ,,分别为11111,,B A D B B A上的点，若311111==BA BM D B N B ,又PN ∥11D A ，求证：MN ∥平面11BCC B例4 如图所示，已知的分别是所在平面外一点，是平行四边形PC AB N M ABCD P ,,中点，平面l PBC PAD =平面 .（1）求证：l ∥BC（2） MN 与平面PAD 是否平行？证明你的结论.五、自主反馈 1．平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面a ＝c ，若a ∥b ，则c 与a ，b的位置关系是（）A ．c 与a ，b 都异面B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行2．如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（）A ．都平行B ．都相交C ．一个相交，一个平行D ．都异面 3．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//nB ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //4．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β；其中真命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．35．A 、B 是不在直线l 上的两点，则过点A 、B 且与直线l 平行的平面的个数是（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．以上三种情况均有可能 6 用一个平面去截正方体，所得的截面可能是______________________________；7．三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线的位置关系为__________；8. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 是重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ___________；9. P 是边长为8的正方形ABCD 所在平面外的一点，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝8，M 、N 分别在PA 、BD 上，且53＝＝ND BN MA PM ，则MN ＝_________；答案2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质例1 证明：过b a 于交作平面αγb a a //,//∴α，于交平面作平面过c βδα βββ⊂⊄∴c b c b c a a ,,//,//,//又l a l b l b b //,//,,,//∴∴=⊂∴βααβ 又例2 略例3 证明：情形一：若ABCD CD AB 在同一平面内，则平面, BD AC BD AC //,//,,∴βαβα 的交线为，与BD MN CD AB N M //,,∴的中点，为又αα平面平面又//,MN BD ∴⊂P AE E CD AE A CD AB 中点，取于交作异面，过情形二：若α//, 连接AEDC CD AE CD AE ED BE PN MP 确定平面,,//,,,,∴ 且平面AC ED AEDC ,的交线为，与βα的中点分别为又CD AE N P ED AC ,,,//,//∴βααα//,//,//,//MP BE MP PN ED PN ∴∴∴同理可证 αα//,,//MN MPN MN MPN ∴⊂∴平面又平面例4 证明：（1）PAD AD PAD BC AD BC 平面平面⊂⊄,,// l PAD PBC PAD BC =∴平面平面，又平面 //l BC //∴（2）平行证明：取NE AE E PD ,,连接的中点AM NE AM NE =且可得,//是平行四边形可知四边形AMNEPAD MN AE MN 平面//,//∴∴变式训练1.略2.证明：M BA PA AA BB BA B A =11111,// 且中，在平面 1111,,CC PB MA PM CC AA AA PB MA PM =∴==∴又 ① N BC PC CC BB BCC B =11111,// 且中，在平面1CC PB NC PN =∴ ② 由①②得AC MN NC PN MA PM //,∴=AC MN AC AC AC MN 平面，平面平面//,∴⊂⊄3．证明：31,31,//11111111==A B P B D B N B D A PN 得由 ,//,3111BB PM BA BM ∴=又 11111,BCC B BB BCC B PM 平面平面又⊂⊄ 11111111//,////C B D A D A PN BCC B PM ，又平面∴ 111111//,C B PN BCC B C B ∴⊂平面1111//BCC B PN BCC B PN 平面，平面又∴⊄ 11//,BCC B PMN P PN PM 平面平面又∴= 11//,BCC B MN PMN MN 平面平面∴⊂ 自主反馈答案1.D2.A3.C4.A5.D6. 3,4,5,6边形7. 平行或交于一点 8.3392 9. 19。

线面平行推线线平行的条件

线面平行推线线平行的条件1. 引言大家好，今天我们来聊聊一个听起来有点复杂但其实非常简单的数学问题——线面平行推线线平行的条件。

别担心，我会尽量把它讲得轻松幽默，确保你不会觉得像是在看枯燥的教科书。

其实，理解这个问题就像在吃一块美味的蛋糕，慢慢品味，才会发现其中的甜蜜。

2. 基础概念2.1 什么是线面平行？首先，线面平行，简单来说，就是一条线和一个面之间的关系。

如果你想象一下，像一条小河流过一片平原，河流是线，而平原就是面。

只要这条河流没有和任何东西交叉，基本上就算是线面平行了。

2.2 线平行的条件接下来，聊聊线平行的条件。

这就像一场寻宝游戏，只有找到特定的条件，才能揭开线平行的秘密。

一般来说，最主要的条件是要看这条线和其他线之间的关系。

就像朋友之间的默契，只有在特定情况下，才会相互呼应，不然就可能走岔了。

3. 线面平行推线线平行的具体条件3.1 条件一：平面内的线首先，如果你在一个平面上，假设有两条线在这个平面内，且它们是平行的，那么我们就可以大胆地说，这两条线的延长线也会平行于这个平面。

这就像两条快乐的小鱼在水中游来游去，永远不会碰到一起，形成了一种美好的平行关系。

3.2 条件二：相同的斜率接着，我们得看看它们的斜率。

要知道，斜率就像是线的脾气，决定了它的走向。

如果两条线的斜率完全相同，那么就可以说它们是平行的。

这种情况就像你和你的好朋友总是能在同一个频道，不论你们的兴趣有多不同，总能找到共同的话题。

4. 总结最后，总结一下，我们今天所聊的线面平行推线线平行的条件，真的不算复杂。

只要记住几条关键点，理解了这些条件，就能在数学的海洋中自信地畅游。

想想看，学习数学就像在修建一座大楼，每一个条件都是一块砖瓦，缺一不可。

只要搭建稳固，最终一定能迎来一座完美的大楼。

希望大家在理解这些条件的过程中，能感受到学习的乐趣，就像和朋友一起在阳光下玩耍，享受生活的每一刻。

无论你是数学达人还是小白，只要用心去学，肯定能在这个领域找到属于自己的乐趣。

课时作业10：2.2.3 直线与平面平行的性质

2.2.3 直线与平面平行的性质[基础巩固]1．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内存在唯一的直线与a平行D．α内的直线与a都相交2．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点3．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面是四边形，它的周长为________．4．过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.[能力提升]1．已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则()A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点2．直线l∥α，在α内与l平行的直线()A．有1条B．有2条C．有无数条D．不可能有无数条3．如图，在三棱锥SABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能4．直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有() A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条5．下列命题中正确的个数是()①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．A．1 B．2C．3 D．46．如图，在三棱柱ABCA′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC交于直线a，则直线a 与直线A′B′的位置关系为________．7．已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；③若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.其中正确命题的序号是________．8．如图所示，直线a∥平面α，点A∉平面α，并且直线a和点A位于平面α两侧，点B、C、D∈a，AB、AC、AD分别交平面α于点E、F、G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.9．已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，点P是平面AA′D′D的中心，Q为B′D′上一点，且PQ∥平面AA′B′B，求线段PQ的长．10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P∈BB1(P不与B、B1重合)．P A∩A1B＝M，PC∩BC1＝N. 求证：MN∥平面ABCD.参考答案[基础巩固]1． B【解析】由题设知a 和α相交，设a ∩α＝P ，如图，在α内过点P 的直线与a 共面，A 错；在α内不过点P 的直线与a 异面，D 错；(反证)假设在α内存在直线b ∥a ，∵a ⊄α，∴a ∥α，与已知矛盾，C 错．故选B.2． D【解析】若l ∥α，则l ∥α，l ∥b ，l ∥c ，…，所以a ∥b ∥c ，…，若l ∩α＝P ，则a ，b ，c ，…交于点P .3．20【解析】截面如图，可知截面是平行四边形．且EF ＝12AC ＝4，FG ＝12BD ＝6. ∴四边形周长是2×(4＋6)＝20.4．证明：如图．∵CC 1∥BB 1，∴CC 1∥平面BEE 1B 1.又∵平面CEE 1C 1过CC 1且交平面BEE 1B 1于EE 1，∴CC 1∥EE 1.∵CC 1∥BB 1，∴BB 1∥EE 1.[能力提升]1． D【解析】由题意可知直线a 与平面α无公共点，所以a 与b 平行或异面，所以两者无公共点．2． C【解析】当l ∥α时，在α内必有无数条直线与l 平行．3． B【解析】EF ∥平面ABC ，又EF ⊂平面SBC ，平面ABC ∩平面SBC ＝BC ，故EF ∥BC .4． C【解析】过直线a 和n 条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b ，则a ∥b .若所给n 条直线中有1条是与b 重合的，则此直线与直线a 平行；若没有与b 重合的，则与直线a 平行的直线有0条．5．B【解析】①中直线a 有可能与平面α相交，错；②中直线可能与平面α相交，错；③中直线l 与平面α内的直线可能平行，也可能异面，错；④中直线有可能在平面内，错；⑤正确；⑥正确．6．平行【解析】在三棱柱ABC A′B′C′中，A′B′∥AB ，AB ⊂平面ABC ，A′B′⊄平面ABC ，∴A′B′∥平面ABC .又A′B′⊂平面A′B′C ，平面A′B′C ∩平面ABC ＝a ，∴A′B′∥a .故填平行．7． ②③【解析】①错，α与β也可能相交；②对，依题意，由a ，b 确定的平面γ，满足γ∥α，γ∥β，故α∥β；③对，由线面平行的性质定理可知．8．209【解析】由a ∥平面α知EG ∥BD ，故EG BD ＝AF AC ＝59. ∵BD ＝4，∴EG ＝209. 9．解：如图，过点Q 作QE ∥A′D′，交A′B′于点E ，取AA′的中点F ，连接EF ，PF ，PQ . 由题可得PF ∥AD ，AD ∥A′D′，所以QE ∥PF .所以Q ，E ，P ，F 四点共面．又PQ ∥平面AA′B′B ，平面PQEF ∩平面AA′B′B ＝EF ，所以PQ ∥EF ，所以四边形PQEF 为平行四边形，所以QE ＝PF ＝12A′D′，所以E 是A′B′的中点，所以EF ＝12AB′＝22a ，所以PQ ＝EF ＝22a .10．证明：如图，连接AC 、A 1C 1，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， AA 1∥CC 1，且AA 1＝CC 1，∴四边形ACC 1A 1是平行四边形． ∴AC ∥A 1C 1.∵AC ⊄平面A 1BC 1，A 1C 1⊂ 平面A 1BC 1，∴AC ∥平面A 1BC 1. ∵AC ⊂平面P AC ，平面A 1BC 1∩平面P AC ＝MN ， ∴AC ∥MN .∵MN ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴MN ∥平面ABCD .。

学案3：2.2.3 直线与平面平行的性质

2.2.3 直线与平面平行的性质学习目标1．理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件．2．能利用性质定理解决有关的平行问题．基础知识直线与平面平行的性质定理________⇒a∥b归纳总结(1)性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法．(2)若a∥α，在平面α内找到一条直线b，使b∥a的作法是：经过已知直线作一个平面和已知平面相交，则交线和已知直线a平行，此交线就是要找的直线b.做一做如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF 的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，求证：AB∥GH.重点、难点1．理解直线与平面平行的性质定理剖析：(1)如果直线a∥平面α，在平面α内，除了与直线a平行的直线外，其余的任一直线都与a是异面直线．(2)条件：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a β.三个条件缺一不可．(3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想，即线面平行转化为线线平行．2．解决线面平行问题的策略剖析：解决证明问题的策略是由求证想判定，由已知想性质，总是对“判定”和“性质”进行转化，最终就能统一起来，即找到了证明思路．如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行，那么在解决过程中，一定会用到线面平行的性质定理．在应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线不仅起到与已知直线平行的作用，而且起到已知平面内任一条直线与已知直线位置关系的判定作用，即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面．直线与平面平行的性质定理与判定定理经常交替使用，这反映了线面平行、线线平行间的相互转化，也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁．典型例题题型一：线面平行性质定理的简单应用例1 如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.求证：AC＝BD.反思：利用线面平行的性质定理解题的步骤：①确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；②确定(或寻找)过这条直线且与已知平面相交的平面；③确定交线；④由定理得出结论．题型二：线面平行性质定理与判定定理的综合应用例2 求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么该直线与相交平面的交线平行．随堂练习1．如图所示，过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面CDD 1C 1于EE 1，则BB 1与EE 1的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定2．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，EH ∥FG ，则EH 与BD 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定3．如图所示，AB ∥α，CD ∥α，AC ，BD 分别交α于M ，N 两点，AM MC ＝2，则BNND＝__________.4．如图所示，四边形ABCD 是矩形，P 平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F .求证：四边形BCFE 是梯形．5．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G.求证：EFHG是一个平行四边形．参考答案基础知识平行α∩β＝b平行做一做证明：∵E，F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.典型例题例1 证明：如图所示，连接CD，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β.又∵AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，∴AB∥CD.∴四边形ABDC是平行四边形．∴AC＝BD.例2 解：已知：a∥α，a∥β，且α∩β＝b.求证：a∥b.证明：如图，在平面α上任取一点A，且使A∉b.∵a∥α，∴A∉a.故点A和直线a确定一个平面γ，设γ∩α＝m.同理，在平面β上任取一点B，且使B∉b，则B和a确定平面δ，设δ∩β＝n.∵a∥α，a⊂γ，γ∩α＝m，∴a∥m.同理a∥n，则m∥n.又m⊄β，n⊂β，∴m∥β.又∵m⊂α，α∩β＝b，∴m∥b.又a∥m，∴a∥b.随堂练习1．A2．A3．24．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又∵平面BCFE∩平面APD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∴AD∥EF.又∵E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD.∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．5．证明：∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，AB⊂平面ABC，∴EG∥AB.同理，FH∥AB，∴EG∥FH.同理，EF∥GH.∴四边形EFHG是一个平行四边形．。

学案5：2.2.3 直线与平面平行的性质

2.2.3直线与平面平行的性质【自主预习】[新知初探]直线与平面平行的性质定理思考：若a∥α，b⊂α，则直线a一定与直线b平行吗？[初试身手]1．如图，过正方体ABCDA′B′C′D′的棱BB′作一平面交平面CDD′C′于EE′，则BB′与EE′的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定2．设m、n是平面α外的两条直线，给出以下三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)【题型探究】[探究问题]1．直线与平面平行性质定理的条件有哪些？2．直线与平面平行的性质定理有什么作用？3．直线与平面平行的判定定理和性质定理有什么联系？【例1】如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．[母题探究] 将本例变为：如图所示，四边形ABCD 是矩形，P 平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F .求证：四边形BCFE 是梯形．[规律方法]1．利用线面平行性质定理解题的步骤：2．证明线线平行的方法：(1)定义：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行．(2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．(3)线面平行的性质定理： ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ，应用时题目条件中需有线面平行．【例2】如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且P A ＝3，点F 在棱P A 上，且AF＝1，点E 在棱PD 上，若CE ∥平面BDF ，求PE ∶ED 的值．[规律方法]利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点：(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系．(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．(3)利用所得关系计算求值．[跟踪训练]如图所示，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．【课堂小结】1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．【当堂达标】1．如图，在三棱锥SABC中，E，F分别是SB, SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有() A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条3．过正方体ABCDA1B1C1D1的三顶点A1, C1, B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．4．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1∥平面BDA1，求证：CD＝C1D.【参考答案】【自主预习】[新知初探]平行交线平行a⊂β，α∩β＝b思考：[提示]不一定．由a∥α，，可知直线a与平面α无公共点，又b⊂α，，所以a与b无公共点，所以直线a与直线b平行或异面．[初试身手]1．A[因为BB′∥平面CDD′C′，BB′⊂平面BB′E′E，平面BB′E′E∩平面CDD′C′＝EE′，所以BB′∥EE′.]2．①②⇒③(或①③⇒②)[设过m的平面β与α交于l.因为m∥α，所以m∥l，因为m∥n，所以n∥l，因为n⊄α，l⊂α，所以n∥α.]【题型探究】[探究问题]1．[提示]线面平行的性质定理的条件有三个：(1)直线a与平面α平行，即a∥α；(2)平面α、β相交于一条直线，即α∩β＝b；(3)直线a在平面β内，即a⊂β. 三个条件缺一不可．2．[提示]定理的作用：(1)线面平行⇒线线平行；(2)画一条直线与已知直线平行．3．[提示]经常利用判定定理证明线面平行，再利用性质定理证明线线平行．【例1】[证明]因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN，同理，AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ为平行四边形．[母题探究][证明]因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD，因为AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，所以BC∥平面P AD.因为平面BCFE∩平面P AD＝EF，所以BC∥EF.因为AD＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF，所以四边形BCFE是梯形．【例2】[解]过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面P AC＝FO，CG⊂平面P AC，所以FO∥CG，又O为AC的中点，所以F为AG的中点，所以FG＝GP＝1，所以E为PD的中点，PE∶ED＝1∶1.[跟踪训练]613＋32[如图所示，延长EF，A1B1相交于点M，连接AM，交BB1于点H，连接FH，延长FE，A1D1相交于点N，连接AN交DD1于点G，连接EG，可得截面五边形AHFEG，因为几何体ABCD A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，且E 、F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，所以EF ＝32，易知B 1M ＝C 1E ＝12C 1D 1＝12A 1B 1，又B 1H ∥AA 1，所以B 1H ＝13AA 1＝2，则BH ＝4，易知AG ＝AH ＝62＋42＝213，EG ＝FH ＝32＋22＝13，所以截面的周长为613＋3 2.]【当堂达标】1．B [因为平面SBC ∩平面ABC ＝BC ，又因为EF ∥平面ABC ，所以EF ∥BC .]2．C [过直线a 与交点作平面β，设平面β与α交于直线b ，则a ∥b ，若所给n 条直线中有1条是与b 重合的，则此直线与直线a 平行，若没有与b 重合的，则与直线a 平行的直线有0条．]3．平行 [因为A 1C 1∥平面ABCD ，A 1C 1⊂平面A 1C 1B ，平面ABCD ∩平面A 1C 1B ＝l ，由线面平行的性质定理，所以A 1C 1∥l .]4．[证明] 如图，连接AB 1与BA 1交于点O ，连接OD ，因为PB 1∥平面BDA 1，PB 1⊂平面AB 1P ，平面AB 1P ∩平面BDA 1＝OD ，所以OD ∥PB 1，又AO ＝B 1O ，所以AD ＝PD ，又AC ∥C 1P ，所以CD ＝C 1D .。