直线与平面平行的性质

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线面平行面面平行的性质与判定定理

直线与平面平行的性质平面与平面平行的性质
提问
一、直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a
a
精面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线//面
面//面
由a //, 通过构造过直线 a 的平面与平面
相交于直线b，只要证得a // b即可。
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二、两个平面平行具有如下的一些性质：
⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行
⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行.
⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交
⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等
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证明：∵α∩γ＝a,β∩γ=b ∴aα，bβ ∵α∥β ∴a，b没有公共点，又因为a，b同在平面γ内，所以，a∥b
这个结论可做定理用
定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
用符号语言表示性质定理：
//=a,=ba//b
想一想：这个定理的作用是什么?
答:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
小结：一、直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直
线的任意平面和这个平面相交,那么这条直线和
交线平行。
a// ,
a
a ,
a // b
b
= b
注意：
1、定理三个条件缺一不可。

直线平行于平面的判定与性质定理

直线平行于平面的判定与性质定理在几何中，直线平行于平面是一个重要且常用的概念，在几何学习中，它提供了基础概念和关键性质定理，此外，直线与平面的关系也给几何解决问题提供了重要的参考。

本文将介绍直线平行于平面的判定与性质定理，以及如何使用这些知识来解决几何问题。

一、直线平行于平面的判定首先，当我们讨论直线平行于平面的问题时，需要弄清楚什么是平行和什么是平面。

（1）两条直线平行，如果他们在同一个平面上，则它们之间永远也不会有任何交点；（2）平面，即平面图形，是一个固定的平面，可以用两个平行的直线定义，无论构成此平面的直线多少，两个平行的直线必定能够决定其平面位置。

因此，我们可以根据以上性质判定直线是否平行于平面：如果两条直线分别位于两个平面上，那么它们之间的交点必定不存在；如果两条直线同时位于同一平面上，并且它们有共同的端点，则它们必定平行。

二、直线平行于平面的性质定理直线平行于平面的性质定理有以下几种：（1）两个直线位于同一平面上，并且相互平行，则它们之间的距离永远不变。

（2）如果两条直线分别位于两个平面上，并且它们相互平行，则它们之间也永远不变。

（3）如果一条直线平行于一个平面，并且与平面有一个共同的端点，则它们之间的距离永远不变。

（4）如果一条直线的一个端点处于平面内部，那么它永远都不可能平行于该平面。

三、如何使用直线平行于平面的性质来求解几何问题1、角平分线的求解：角的平分线是一条直线，使得那个角的两条射线之间的夹角等于角本身。

如果知道角ABC的射线AD和AC，那么对于角ABC的平分线BD，我们可以用两条直线平行于平面的性质来求解，即将AD和AC看成两条直线，利用它们所属的平面，以及它们的端点B，画出BD的平面，从而求解BD的位置。

2、角的大小的求解：根据直线平行于平面的性质，我们可以比较两个角的大小。

例如，如果给定两个角A和B，它们分别位于两个平面A1和B1之间，并且它们的两条射线分别是AD和BE，两个角的大小可以通过比较它们所在的平面A1和B1之间的距离来确定。

直线、平面平行的判定和性质

又∵平面 ABEF∩平面 BCE＝BE，
∴PM∥BE，∴APEP＝MAMB，
又 AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ， ∴APEP＝DBQQ，∴MAMB＝DQQB，
∴MQ∥AD，又 AD∥BC，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面 BCE，又 PM∩MQ＝M， ∴平面 PMQ∥平面 BCE，又 PQ⊂平面的直线 a，b 和平面 α， ①若 a∥α，b⊂α，则 a∥b； ②若 a∥α，b∥α，则 a∥b； ③若 a∥b，b⊂α，则 a∥α； ④若 a∥b，a⊂α，则 b∥α 或 b⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)．答案 ④
解析 ①若 a∥α，b⊂α，则 a，b 平行或异面；②若 a∥α，b∥α，则 a，b 平行、相交、异面都有可能；③若 a∥b，b⊂α，a∥α 或 a⊂α.
作 PM∥AB 交 BE 于 M，作 QN∥AB 交 BC 于 N，
连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，∴AE ＝BD. 又 AP＝DQ，∴PE＝QB，
又 PM∥AB∥QN，∴PAMB ＝PAEE＝QBDB，QDNC＝BBQD，
∴PAMB ＝QDNC， ∴PM // QN，即四边形 PMNQ 为平行四边形， ∴PQ∥MN.又 MN⊂平面 BCE，PQ⊄平面 BCE， ∴PQ∥平面 BCE.
直线、平面平行的判定及性质
2012·考纲
1．以立体几何的定义、公理、定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
课本导读
1．直线和平面平行的判定： (1)定义：直线与平面没有公共点，则称直线平行平面； (2)判定定理： a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α ； (3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒a∥β. 2．直线和平面平行的性质： a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.

直线、平面平行的判定与性质

[解析]
选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行
直线；选项 B ，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这
条直线平行于这两个平面；选项 C，两个相交平面可以同时垂
直于同一个平面；选项D，正确． [答案] D
2．(2009·福建，10)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，
l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件
∵AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AF∥平面PDC.
∵AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面PCD.
∵AE⊂平面AEF，AE∥平面PCD.
∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．
1．证明直线和平面平行的方法有：
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥线 ⇒线∥面) ，即想方设法在平面内找出一条与已知直线平行的直线． (3)面面平行性质定理(面∥面⇒线∥面) 2．证明平面与平面平行的方法有：
(1)[证明] ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
(2)[解]
解法一：取线段 PB 的中点 E，PC 的中点 F，连
接 AE，EF，DF，则 EF 是△PBC 的中位线． 1 1 ∴EF∥BC，EF＝ BC，∵AD∥BC，AD＝ BC， 2 2 ∴AD∥EF，AD＝EF. ∴四边形 EFDA 是平行四边形，∴AE∥DF. ∵AE⊄平面 PCD，DF⊂平面 PCD， ∴AE∥平面 PCD. ∴线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点．
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥面 ⇒面∥面) ．即证一平面内两条相交直
线与另一平面垂直．

直线平面平行的判定及其性质

解析几何中的应用
在解析几何中，直线与平面的平行关系也是非常重要的。例如，在求解一些涉及平面解析几何的问题时，需要使用直线与平面平行的判定定理和性质来解决
。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直线与平面平行的判定定理的应用：在解析几何中，利用直线与平面平行的判定定理，可以用来判断一个点是否在一条直线上，或者判断两个平面是否平行
直线与平面平行的判定定理
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线都没有交点。
直线与平面平行的判定定理的应用
在几何学中，这个定理经常被用来判断两条直线是否平行，或者一个平面是否平行于另一个平面。
02
直线与平面平行的性质
直线平行于平面的性质
直线平行于平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行。
直线平行于平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行或异面。
直线平行于平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点。
平面平行于直线的性质
平面平行于直线，则平面与直线的任意一条平行线都平行。
平面平行于直线，则平面与直线的任意一条垂线都垂直。
平面平行于直线，则平面与直线的任意一条垂线都垂直或平行。
直线与平面平行的判定定理的应用：在空间几何中，利用直线与平面平行的判定定理，即“如果直线与平面内的一条直线平行，则直线与该平
面平行”，可以用来判断建筑物的结构是否符合设计要求。
直线与平面平行的性质的应用：直线与平面平行的性质定理的应用，即 “如果直线与平面平行，则直线与平面的垂线互相垂直”，可以用来判断建筑物的高度和角度是否符合设计要求。
直线平行于平面的判定定理
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线都平行。

直线、平面平行的判定与性质

⇒a∥b
线面平行⇒线线平行 ).
例1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，在四棱锥P-ABCD中，M是PC的中点，证明：PA//平面BDM
P M D
O
证明：连接 AC, 交BD于点O, 连接OM , 在PAC中, C M , O分别为PC, AC的中点,
A
OM // PA 又OM 平面BDM, PA 平面BDM
∴AP∥GH.
二、平面与平面平行
1．判定定理
文字语言
图形
语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一
个平面，那么这两个平面
平行(简记为 “线面平行⇒面面平行 ”)
⇒α∥β
2．两平面平行的性质定理
文字语言图形语言符号语言
如果两平行平面
性质同时和第三个平
定理面相交，那么它们的交线平行
直线、平面平行的判定与性质
一、直线与平面平行 1．判定定理
文字语言图形语言符号语言
判
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(简记为 ⇒l∥α
定
定理
线线平行⇒线面平行 ).
2．性质定理
文字语言图形语言符号语言
如果一条直线和一个平
性面平行，经过这条直线质的平面和这个平面相交，定那么这条直线就和交线理平行(简记
O
D
B
A
练习3.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°，E 为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面 A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.

直线与平面平行的性质定理

直线与平面平行的性质定理
一、什么是直线与平面的平行性
直线与平面的平行性是一种平行性形式。

它表明，在同一平面中，存在两条异构的直线，使得这两条直线不发生相交和重合，且两条直
线的法向量方向相同。

二、直线与平面的平行性定理
直线与平面的平行性定理是关于直线与平面的平行性的定理，要
求如下：在同一平面中，任何两条平行直线都将垂直于该平面，同时
它们的法向量也将在该平面中共线。

三、定理的证明
证明：假设这两条直线分别是l1和l2，他们的法向量分别是N1
和N2，平面P的法向量是N。

根据已证l1与l2的平行，有
$$\overrightarrow{N_1}=\lambda \overrightarrow{N_2}$$
其中$\lambda$为不为0的常数。

因此，
$$\overrightarrow{N_1}\cdot \overrightarrow{N}=\lambda \overrightarrow{N_2}\cdot \overrightarrow{N}=0$$ 可得l1、l2垂直于P，同时它们的法向量N1、N2共线。

四、定理的应用
直线与平面的平行性定理在几何中有很多应用，如：
1、关于三角形斜边、垂直边、斜角、切点等。

2、求解不定线性规划问题。

3、空间向量运算，平面立体几何。

4、各种物理运算，如电场、重力场、热传导等。

五、结论
如前所述，在意义上，直线与平面的平行性定理指出，任何两条平行直线都将垂直于同一平面，同时它们的法向量也将在该平面中共线，在几何世界中，它具有广泛的应用价值，值得我们深入的研究。

直线与平面平行性质定理

9
长方体ABCD－A1 B1C1D1中，点P BB （异于 B、B1）例 3： 1 PA BA1 M , PC BC1 N , 求证： (1)AC // 平面A1C1B （2）MN // 平面ABCD
D1 C1 A1
分析证法1
B1 P M D N C
A
B
10
例3：证法1 (1) 连结AC、AC ，在长方体中A1 A//C1C 1 1
又 a与b都在平面内且没有公共点
b

a // b
5
直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
a , a , b
注意：
a // b

a b
1、定理三个条件缺一不可。
2、简记:线面平行线线平行。

MN // 面ABCD
11
AC // MN
MN 平面ABCD AC 平面ABCD
证法1的思路是
(1) (2)
线//线
线//面
线//线
D1
线//面
线//面
C1
A1
B1 P M D N C
A
B
12
长方体ABCD－A1 B1C1D1中，点P BB （异于 B、B1）例 3： 1 PA BA1 M , PC BC1 N , 求证： (1)AC // 平面A1C1B （2）MN // 平面ABCD
推理形式: b a // a // b
简记：线线平行线面平行。

b
2
思考：如果一条直线与平面平行，那么由直线与平面平行可知，这条直线与这个平面内

直线、平面平行垂直的判定及其性质

定理：如果两个平行平面 // , a, 同时和第三个平面相交， b a // b 那么它们的交线平行。
推论 1：如果两平面平行，则一平面内任何一条直线与另一个平面平行。推论 2：两条直线被三个平面所截，截得的对应线段成比例。
, a, b 且b a b
// , a , a //
直线、平面间的平行、垂直的判定及其性质
平
定理内容定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另外一个平面，那么这两个平面平行。推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。
推论：已知平面外的两条平行直线中的一条平行与这个平面，则另一条也平行于这个平面
行
符号表示
a ,b , 且a // b a //
垂
图形表示定理内容定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。推论 1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面。定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直。定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直。推论 2：如果两条直线垂直于同一个平面内，那么这两条直线平行。定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直与另一个平面。
直
符号表示

直线与平面平行的性质

a∥α • B.若直线a在平面α外，则a∥α • C.若直线a∥b，直线bα，则a∥α • D.若直线a∥b，直线bα，则直线a平行于平
面α内的无数条直线 • 答案：D
*
• 5.下列命题中，正确的是( ) • A.如果直线l与平面α内无数条直线成异面直线，
则l∥α • B.如果直线l与平面α内无数条直线平行，则l∥α • C.如果直线l与平面α内无数条直线成异面直线，
棱DD1的中点，则BD1与过A、C、E的平面的位置关系是_________. 答案：平行 • 3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，和平面 A1DB平行的侧面对角线有_________. • 答案：D1C、B1C、D1B1
*
1.成为世界上经济增长速度最快的国家，创造了世界经济增长史上的新奇迹。 1.否定商品经济的存在，否定市场及价值规律对经济的调节作用。 35、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命;浪费自己的时间，等于慢性自杀。—— 鲁迅 36、社会上崇敬名人,于是以为名人的话就是名言, 却忘记了他之所以得名是那一种学问或事业--鲁迅 38、推销员接近顾客的方式，往往决定自己在他们心目中的地位是“接单者” 还是“ 建议者 ”。 39、事先写出自己所要提出的每点意见，以合乎逻辑的顺序表达出来：言简意骇，抓住重点。 2、人生的成功，不在于拿到一幅好牌，而是怎样将坏牌打好。 3、人生的路每一个人都要走一趟，同样是一条路每一个人走起来却有着不同的感受，是好是坏那就要靠几分的机缘与自己的抉择。 38、推销员接近顾客的方式，往往决定自己在他们心目中的地位是“接单者” 还是“ 建议者 ”。

直线与平面平行的性质

直线与平面平行的性质&平面与平面平行的性质一、知识点1．直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么．此定理可用符号表示为： .2．若a ∥α，b ⊂α，则a 、b 的位置关系为． 3．两个平面平行的性质．(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必于另一平面．用符号表示为 .(2)如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么它们的．用符号表示为， . 二、问题讲解、1．直线和平面平行的性质定理的证明要抓住以下两点：其一是由于已知直线与已知平面平行，则这条已知直线和已知平面内的所有直线都没有公共点，其二是过已知直线的平面与已知平面的交线与已知直线在同一平面内．根据以上两点，就可以判定已知直线和交线互相平行了．这个定理可以简记为“若线面平行，则线线平行”．2．过平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内．用符号表示为：l ∥α，点P ∈α，P ∈m ，m ∥l ⇒m ⊂α，如图： 3．如果平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条也平行于这个平面． 4．平行平面的性质(1)若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面．(2)两个平行平面均和第三个平面相交，则交线平行． 5．平行转化要理清：线线、线面、面面平行的相互转化关系：三、典型例题例1、过正方体AC 1的棱BB 1作一平面交平面CDD 1C 1于EE 1.求证：BB 1∥EE 1练习1、已知：α∩β＝l ，a ∥α，a ∥β.求证：a ∥l .例2、如图所示，四面体A －BCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形． (1)求证：CD ∥平面EFGH ；(2)求异面直线AB 、CD 所成的角．练习2、三个平面α、β、γ两两相交，有三条交线l 1、l 2、l 3，如果l 1∥l 2. 求证：l 3与l 1、l 2都平行．例3、证明：平行于同一平面的两个平面平行．即//////αβαγβγ⎫⇒⎬⎭。

高中数学必修2 直线、平面平行的判定与性质

两个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．答案 A5．(2012·衡阳质检)在正方体________．解析如图．连接AC、BD交于ACE.答案平行在四棱锥PABCD中，底面求证：PB∥平面ACM.[审题视点] 连接MO，证明证明连接BD，MO.中点，所以PB∥MO.利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．在正方体ABCDA1B1C1D1求证：平面MNP∥平面[审题视点] 证明MNMP∥C1B.(1)面面平行的定义；下面给出证明：如图，取BB1的中点则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接结论成立的充分条件，规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题【问题研究】高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几在四棱台ABCDA1B1C1D1BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)如图，连结AC，A1C1设AC∩BD＝E，连结EA1因为四边形ABCD为平行四边形，明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理．如图，在多面体ABCDEF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；β=b）平行的直线②④β=则,bm不平行于平面又∵AE∥CD且∴FM綉AE，即四边形证明如下：如图，取。

高中数学直线、平面平行的判定与性质

例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1 的中点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形; (2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
1 (1)在△B1D1C1中得EF∥B1D1且EF= 2 B1D1 在正方体中得 1 BD�� B1D1 EF∥BD且EF= BD 四边形BDFE为梯形 2
证明证法一:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接 MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD. 又AP=DQ,∴PE=QB, 又PM∥AB∥QN, ∴ = = = ,∴ = , 又AB=DC, ∴PM�� QN,∴四边形PMNQ为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE, ∴PQ∥平面BCE.§8Leabharlann 4直线、平面平行的判定与性质
知识清单
考点直线、平面平行的判定与性质
1.判定直线与直线平行的方法
(1)平行公理:a∥b,b∥c⇒① a∥c ; (2)线面平行的性质定理:a∥β,a⊂α,α∩β=b⇒② a∥b ;
(3)面面平行的性质定理:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒③ a∥b ;
(4)垂直于同一个平面的两条直线④ 平行 ; (5)如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交线平行.
∴ = ,
∴MQ∥AD,又AD∥BC, ∴MQ∥BC,∴MQ∥平面BCE,又PM∩MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
又PQ⊂平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.
方法 2 判定或证明面面平行的方法
1.利用面面平行的定义(此法一般伴随反证法证明). 2.利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 3.证明两个平面都垂直于同一条直线. 4.证明两个平面同时平行于第三个平面.

高中数学知识点：直线和平面平行的性质

第 1 页共 1 页高中数学知识点：直线和平面平行的性质
文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.
符号语言：若//a α，a β⊂，b αβ=，则//a b .
图形语言：
要点诠释：
直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a ∥α，αβ⊂，b αβ=，则a ∥b ．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a 与b 平行时，必须具备三个条件：（1）直线a 和平面α平行，即a ∥α；
（2）平面α和β相交，即b αβ=；
（3）直线a 在平面β内，即a β⊂．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．。

直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质考点梳理1．直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)．即：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.其他判定方法；α∥β，a⊂α⇒a∥β.(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)．即：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.2．平面与平面平行(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)．即：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β.(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.一个转化关系平行问题的转化关系两点提醒(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．考点自测1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析借助长方体模型易得．答案 D2．在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D，正确．答案 D3．(2013·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )．A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α解析可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b 与α相交或b ⊂α或b ∥α时，均满足直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α的情况，故选D.答案 D4．在空间中，下列命题正确的是( )．A ．若a ∥α，b ∥a ，则b ∥αB ．若a ∥α，b ∥α，a ⊂β，b ⊂β，则β∥αC ．若α∥β，b ∥α，则b ∥βD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β解析若a ∥α，b ∥a ，则b ∥α或b ⊂α，故A 错误；由面面平行的判定定理知，B 错误；若α∥β，b ∥α，则b ∥β或b ⊂β，故C 错误．答案 D5．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析如图．连接AC 、BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .答案平行考向一线面平行的判定及性质【例1】►(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABCA ′B ′C ′，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥A ′MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[审题视点] (1)连接AB ′，AC ′，在△AC ′B ′中由中位线定理可证MN ∥AC ′，则线面平行可证；此问也可以应用面面平行证明．(2)证A ′N ⊥平面NBC ，故V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ，体积可求．(1)证明法一连接AB ′，AC ′，如图由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′.法二取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′，如图，而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)解法一连接BN ，如图由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′MNC ＝V NA ′MC ＝12V NA ′BC ＝12V A ′NBC ＝16.法二 V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝12V A ′NBC ＝16.(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．(2)证明直线与平面平行的方法：①利用定义结合反证；②利用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质．【训练1】如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)求三棱锥EABC 的体积．(1)证明在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点， ∴EF ∥BC .又BC ∥AD ，∴EF ∥AD . 又∵AD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .(2)解连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12P A .在△P AB 中，AP ＝AB ，∠P AB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝ 2.∴V EABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.考向二面面平行的判定和性质【例2】►(2013·济南调研) 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B .[审题视点] 利用面面平行判定定理的证明即可．证明如图，连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线，∴MN ∥D 1C . ∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B . 同理可证，MP ∥C 1B .而MN 与MP 相交，MN ，MP 在平面MNP 内，A 1B ，C 1B 在平面A 1C 1B 内， ∴平面MNP ∥平面A 1C 1B .要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题来解决．【训练2】如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索性问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．解存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【训练3】如图，在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ，因为N ，E 分别为P A ，PD 的中点，所以NE 綉12AD .又在平行四边形ABCD 中，CM 綉12AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ，即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .规范解答13——如何作答平行关系证明题【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对线面平行、面面平行的证明一直受到命题人的青睐，多以多面体为载体，证明线面平行和面面平行，题型为解答题，题目难度不大．【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·山东)如图，几何体EABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . [教你审题] 一审取BD 的中点O ，证明BD ⊥EO ；二审取AB 中点N ，证明平面DMN ∥平面BEC ；找到平面BCE 和平面ADE 的交线EF ，证明DM ∥EF .[规范解答] 证明 (1)图(a)如图(a)，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，(2分)又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，(4分)因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(6分)(2)法一如图(b)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，图(b)因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.(8分)又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.(10分)又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分)法二如图(c)，延长AD，BC交于点F，连接EF.图(c)因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形，所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，因此∠AFB ＝30°，所以AB ＝12AF .(8分)又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF .(10分)又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ，所以DM ∥平面BEC .(12分)[阅卷老师手记] (1)对题目已知条件分析不深入，不能将已知条件与所证问题联系起来； (2)识图能力差，不能观察出线、面之间的隐含关系，不能作出恰当的辅助线或辅助面； (3)答题不规范，跳步、漏步等．证明线面平行问题的答题模板(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行；第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范．证明线面平行问题的答题模板(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行；第四步：转化为线面平行；第五步：反思回顾．检查答题规范．【试一试】如图，在几何体ABCDEFG 中，下底面ABCD 为正方形，上底面EFG 为等腰直角三角形，其中EF ⊥FG ，且EF ∥AD ，FG ∥AB ，AF ⊥面ABCD ，AB ＝2FG ＝2，BE ＝BD ，M 是DE 的中点．(1)求证：FM ∥平面CEG ； (2)求几何体GEFC 的体积． (1)证明取CE 的中点N ，连接MN ，GN ，则MN 綉FG 綉12AB .故四边形MNGF 为平行四边形． ∴MF ∥GN .又MF ⊄平面CEG ，GN ⊂平面CEG ， ∴FM ∥平面CEG .(2)解在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝2，BD ＝22， ∴BE ＝2 2.∵AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AF ⊥AB .在正方形ABCD 中，AB ⊥AD . 又AD ∩AF ＝A ，∴AB ⊥平面ADEF .又AE ⊂平面ADEF ，∴AB ⊥AE . ∴在Rt △ABE 中，AE ＝8－4＝2.又在Rt △AEF 中，EF ＝1，∴AF ＝4－1＝ 3. 又EF ∥AD ，EF ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD .同理由FG ∥AB ，可得FG ∥平面ABCD .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . ∴平面EFG ∥平面ABCD . 又AF ⊥平面ABCD ，AF ＝3， ∴点C 到平面EFG 的距离等于3， ∴V GEFC ＝V CEFG ＝13×S △EFG ·d＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×3＝36A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()．A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．答案 D3．(2012·北京模拟)以下命题中真命题的个数是()．①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．A．1 B．2 C．3 D．4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③直线a可以在平面α内，不正确；命题④正确．答案 A4．(2013·汕头质检)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()．A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥βD．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行解析A中，m、n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m、n也可能异面．故正确的命题是B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案 66．α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析 ①中，a ∥γ，a ⊂β，b ⊂β，β∩γ＝b ⇒a ∥b (线面平行的性质)．③中，b ∥β，b ⊂γ，a ⊂γ，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)．答案 ①③三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在四面体ABCD 中，F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线HG ∥平面CEF .证明法一如图，连接BH ，BH 与CF 交于K ，连接EK .∵F 、H 分别是AB 、AC 的中点，∴K 是△ABC 的重心，∴BK BH ＝23.又据题设条件知，BE BG ＝23，∴BK BH ＝BE BG ，∴EK ∥GH .∵EK ⊂平面CEF ，GH ⊄平面CEF ，∴直线HG ∥平面CEF .法二如图，取CD 的中点N ，连接GN 、HN .∵G 为DE 的中点，∴GN ∥CE .∵CE ⊂平面CEF ，GN ⊄平面CEF ，∴GN ∥平面CEF .连接FH ，EN∵F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点， ∴FH 綉12BC ，EN 綉12BC ，∴FH 綉EN ，∴四边形FHNE 为平行四边形，∴HN ∥EF . ∵EF ⊂平面CEF ，HN ⊄平面CEF ，∴HN ∥平面CEF .HN ∩GN ＝N ，∴平面GHN ∥平面CEF .∵GH ⊂平面GHN ，∴直线HG ∥平面CEF .8．(13分)如图，已知ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，∴BG =A 1E ，∴A 1G =BE .又同理，C 1F 綉B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形， ∴FG 綉C 1B 1綉D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綉D 1F ，∴D 1F 綉EB ，故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ， ∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ， FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .。