2021版高中数学人教A版必修2课件：2.2.3 直线与平面平行的性质
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解:已知:a∥α,a∥β,且α∩β=b. 求证:a∥b.
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题型一 题型二
证明:如图,在平面α上任取一点A,且使A∉b.因为a∥α,所以A∉a. 故点A和直线a确定一个平面γ, 设γ∩α=m. 同理,在平面β上任取一点B,且使B∉b, 则B和a确定平面δ,设δ∩β=n. 因为a∥α,a⊂γ,γ∩α=m,所以a∥m. 同理a∥n,则m∥n. 又m⊄β,n⊂β,所以m∥β. 又m⊂α,α∩β=b, 所以m∥b.又a∥m,所以a∥b.
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题型一 题型二
反思利用线面平行的性质定理解题的步骤:(1)确定(或寻找)一条直 线平行于一个平面;(2)确定(或寻找)过这条直线且与已知平面相交 的平面;(3)确定交线;(4)由定理得出结论.
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【做一做】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1 和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,求证 :AB∥GH.
证明:因为E,F分别是AA1和BB1的中点,所以EF∥AB. 又AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH, 所以AB∥平面EFGH. 又AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH, 所以AB∥GH.
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【例1】 如图,已知AB∥平面α,AC∥BD,且AC,BD与α分别相交于 点C,D.求证:AC=BD.
证明:如图,连接CD, 因为AC∥BD, 所以AC与BD确定一个平面β. 又AB∥α,AB⊂β,α∩β=CD, 所以AB∥CD. 所以四边形ABDC是平行四边形. 所以AC=BD.
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1.理解直线与平面平行的性质定理 剖析:(1)如果直线a∥平面α,在平面α内,除了与直线a平行的直线
外,其余的任一直线都与a是异面直线.
(2)条件:①直线a与平面α平行,即a∥α;②直线a 在平面β内,即 a⊂β;③平面α,β相交于一条直线,即α∩β=b,三个条件缺一不可.
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题型一 题型二
【变式训练1】 如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上
的点,且MN∥平面PAD.若CM∶MA=1∶4,则CN∶NP= .
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【例2】 求证:如果一条直线和两个相交平面平行,那么该直线与 相交平面的交线平行.
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归纳总结1.性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法. 2.若a∥α,在平面α内找到一条直线b,使b∥a的作法是:经过已知
直线作一个平面和已知平面相交,则交线和已知直线a平行,此交线 就是要找的直线b.
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(3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想,即线面平行转化 为线线平行.
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2.解决线面平行问题的策略 剖析:解决证明问题的策略是由求证想判定,由已知想性质,总是 对“判定”和“性质”进行转化,最终就能统一起来,即找到了证明思路 . 如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行,那么在解决过程 中,一定会用到线面平行的性质定理.在应用性质定理时,关键是过 已知直线作辅助平面与已知平面相交,所得交线不仅起到与已知直 线平行的作用,而且起到已知平面内任一条直线与已知直线位置关 系的判定作用,即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直 线平行,所有与交线相交的直线都与已知直线异面.直线与平面平 行的性质定理与判定定理经常交替使用,这反映了线面平行、线线 平行间的相互转化,也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁.
2.2.3 直线与平面平行的性质
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1.理解并能证明直线与平面平行的性质定理,明确定理的条件. 2.能利用性质定理解决有关的平行问题.
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直线与平面平行的性质定理
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题型一 题型二
证明:如图,连接AC交BD于点O,连接MO.
因为ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点.又M是PC的中点,所 以PA∥MO.
而AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,所以PA∥平面BMD. 又PA⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH,所以PA∥GH.
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【变式训练2】
如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是 PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求 证:GH∥PA.
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证明:如图,在平面α上任取一点A,且使A∉b.因为a∥α,所以A∉a. 故点A和直线a确定一个平面γ, 设γ∩α=m. 同理,在平面β上任取一点B,且使B∉b, 则B和a确定平面δ,设δ∩β=n. 因为a∥α,a⊂γ,γ∩α=m,所以a∥m. 同理a∥n,则m∥n. 又m⊄β,n⊂β,所以m∥β. 又m⊂α,α∩β=b, 所以m∥b.又a∥m,所以a∥b.
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反思利用线面平行的性质定理解题的步骤:(1)确定(或寻找)一条直 线平行于一个平面;(2)确定(或寻找)过这条直线且与已知平面相交 的平面;(3)确定交线;(4)由定理得出结论.
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【做一做】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1 和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,求证 :AB∥GH.
证明:因为E,F分别是AA1和BB1的中点,所以EF∥AB. 又AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH, 所以AB∥平面EFGH. 又AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH, 所以AB∥GH.
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【例1】 如图,已知AB∥平面α,AC∥BD,且AC,BD与α分别相交于 点C,D.求证:AC=BD.
证明:如图,连接CD, 因为AC∥BD, 所以AC与BD确定一个平面β. 又AB∥α,AB⊂β,α∩β=CD, 所以AB∥CD. 所以四边形ABDC是平行四边形. 所以AC=BD.
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1.理解直线与平面平行的性质定理 剖析:(1)如果直线a∥平面α,在平面α内,除了与直线a平行的直线
外,其余的任一直线都与a是异面直线.
(2)条件:①直线a与平面α平行,即a∥α;②直线a 在平面β内,即 a⊂β;③平面α,β相交于一条直线,即α∩β=b,三个条件缺一不可.
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【变式训练1】 如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上
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【例2】 求证:如果一条直线和两个相交平面平行,那么该直线与 相交平面的交线平行.
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归纳总结1.性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法. 2.若a∥α,在平面α内找到一条直线b,使b∥a的作法是:经过已知
直线作一个平面和已知平面相交,则交线和已知直线a平行,此交线 就是要找的直线b.
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2.解决线面平行问题的策略 剖析:解决证明问题的策略是由求证想判定,由已知想性质,总是 对“判定”和“性质”进行转化,最终就能统一起来,即找到了证明思路 . 如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行,那么在解决过程 中,一定会用到线面平行的性质定理.在应用性质定理时,关键是过 已知直线作辅助平面与已知平面相交,所得交线不仅起到与已知直 线平行的作用,而且起到已知平面内任一条直线与已知直线位置关 系的判定作用,即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直 线平行,所有与交线相交的直线都与已知直线异面.直线与平面平 行的性质定理与判定定理经常交替使用,这反映了线面平行、线线 平行间的相互转化,也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁.
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1.理解并能证明直线与平面平行的性质定理,明确定理的条件. 2.能利用性质定理解决有关的平行问题.
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证明:如图,连接AC交BD于点O,连接MO.
因为ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点.又M是PC的中点,所 以PA∥MO.
而AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,所以PA∥平面BMD. 又PA⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH,所以PA∥GH.
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【变式训练2】
如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是 PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求 证:GH∥PA.