解决平面解析几何问题的思维策略研究

解决平面解析几何问题的思维策略研究成都市武侯区四川大学附属中学数学组简洪权摘要本研究把解决平面解析几何问题的思维过程划分为理解问题、转化问题、解答问题、反思问题四个阶段，运用“专家”与“新手”对比分析的方法，探讨了解决平面解析几何问题的思维过程各阶段的思维策略：运用恰当的语句表述问题的条件、运用正确的方法指导解题的思路、运用基本的知识和技能简化运算过程、运用恰当的思维方法提炼解答过程中的一般规律。

关键词：问题解决，平面解析几何问题，思维过程，思维策略1．问题的提出学数学离不开解题。

解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出问题的解的活动。

小至一个学生算出作业的答案、一个教师讲完定理的证明，大至一个数学课题得出肯定或否定的结论、一个数学技术应用于实际构建出适当的模型等，都叫做解题。

美国数学家保罗•哈尔莫斯(Paul Halmos)认为：“数学家存在的主要理由就是解问题”，“数学的真正的组成部分是问题和解” [1]。

数学家的解题是一个创造和发现的过程，教学中的解题则是一个再创造或再发现的过程。

美籍匈牙利数学教育家乔治•波利亚(George Polya) 在《数学的发现》序言中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”，“掌握数学就是意味着善于解题” [1]。

他认为中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。

在数学教学中，“解题”是一种最基本的活动形式，无论是数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法与技能的获得，还是学生能力的发展与提高，都要通过解题活动来完成。

同时，“解题”也是评价学生认知水平的重要手段。

为此，研究者把解决平面解析几何问题的思维过程划分为几个阶段，运用“专家”与“新手”对比分析的方法，探讨解决平面解析几何问题的思维过程各阶段的思维策略，旨在用以指导具体解题的方法。

2．解决平面解析几何问题的思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。

对于数学解题思维过程，乔治•波利亚提出了四个阶段：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾[2]。

平面解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科。

坐标法是平面解析几何最基本的方法，它是利用“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个重要概念，借助于平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等)，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质。

根据平面解析几何这一学科的特点，解决平面解析几何问题，需要把平面几何问题转化为代数问题(或代数问题转化为平面几何问题)，从而利用代数知识(或平面几何知识)解决问题。

因此，可以把解决平面解析几何问题的思维过程划分为四个阶段：理解问题、转化问题、解答问题和反思问题。

2.1理解问题理解问题是解题思维活动的开始，包括认清问题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素及其关系，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立问题的条件、结论与知识和经验之间的联系。

数对（坐标）与点、数式与几何量、方程与曲线、不等式与区域、两方程的公共解与两曲线的交点等这些数与形的对应关系是解决平面解析几何问题的基础。

理解问题，即是根据记忆系统中已有的形与数的对应关系，将问题中的语句进行适时转换，为合理地转化问题奠定基础。

比如，在解决问题1：已知实数x y、满足,1,1,y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩求2x y+的最大值时，应根据形与数的对应关系将语句“实数x y、满足,1,1y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩”转换为“点(,)P x y在不等式组,1,1y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的区域内”，将代数式“2x y+”转换为“直线:2l x y T+=在y轴上的截距”或“直线2x y T+=在x轴上的截距的两倍”，才能将问题转化为“当直线:2l x y T+=与不等式组,1,1y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的区域有公共点时，求直线:2l x y T+=在y轴上的截距的最大值”，促使问题的解决。

2.2转化问题转化问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极尝试的过程，是有目的地进行各种组合的试验、可能地将问题化归为熟悉类型的过程，是比较各种类型问题的解题方案、选择最优解法的过程。

平面解析几何问题的解题途径多种多样，合理的解题途径常要经过尝试和比较才能寻得。

比如，在解答问题2：已知实数x y 、满足22414450x y x y +--+=，求33y x -+的最大值时，可将问题转化为“已知点(,)P x y 在圆22:(2)(7)8C x y -+-=上运动，求两点(,)P x y 与(3,3)A -连线的斜率的最大值”，也可将问题转化为“已知2,7x y θθ=+=+，求函数T =试和比较才能发现前一种转化途径更利于问题的解决。

同样，在解决问题3：已知实数x y 、满足22414450x y x y +--+=，求2x y -的最大值时，可将问题转化为“已知点(,)P x y 在圆22:(2)(7)8C x y -+-=上运动，且直线:2l x y T -=与圆22:(2)(7)8C x y -+-=有公共点时，求直线:2l x y T -=在y 轴上的截距的最小值”，也可将问题转化为“已知2,7x y θθ=+=+，求函数3T θθ=--的最大值”，经过尝试和比较才能发现后一种转化途径更利于问题的解决。

2.3 解答问题解答问题是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。

在解决平面解析几何问题的过程中，将问题进行合理转化后，基础知识和基本技能的灵活运用是成功地解答问题的关键。

比如，在解答问题4：已知过椭圆22:162xyC +=的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，且0O A O B A O B --→--→⋅=∠≠，求直线l 的方程时，优生的解答如下：因直线l 过(2,0)F -且与x 轴不重合，故设直线l 的方程为2my x =+，从方程组222,36my x x y =+⎧⎨+=⎩中消去x 并整理得22(3)420m y m y +--=。

设1122(,)(,)A x y B x y 、，则12||3y y m -=+。

因为0O A O B A O B --→--→⋅=∠≠，所以A OB S ∆=，即121||||2O F y y ⋅⋅-=3m =+，解得0m =，或m =l 的方程为2x =+或2x =-。

上述成功解答的因素有两方面，一是灵活地运用两向量的数量积、三角形的面积公式、同角三角函数间的基本关系式等基础知识，将条件“0O A O B A O B --→--→⋅=∠≠”转化为“A O B ∆线l 的方程表示为2my x =+、将A O B ∆的面积表示为1||||2A B O F y y ⋅⋅-。

这些基础知识和基本技能的灵活运用，不仅简化了繁琐的运算，同时省去了讨论直线l 的斜率存在与否的麻烦。

2.4反思问题反思问题是发展数学思维的一个重要方面。

通过反思问题、检验思路与结论的正确性，可以不断调整思维结构，深化思维层次，优化思维品质；通过反思问题可以为学生提供再发现、再创造的机会[3]。

学生的创造性思维就存在和表现于这种探索活动之中，并在这种探索活动之中不断发展提高。

缺乏具体实例支撑的方法常常让学生感到抽象而空洞，在反思问题的过程中，结合具体的解答过程，学生能更深刻地理解方法的实质。

比如，通过反思问题4的解答过程，学生能深入理解“待定系数法”及处理直线与曲线相交问题的一般方法，还能从中 感悟“过点00(,)P x y 且倾斜角不为0︒的直线l 的方程可表示为00()m y y x x -=-”、“若90B A C ∠≠︒，则A B C∆的面积1()tan ,2S A B A C A B A C --→--→--→--→=⋅⋅⋅<>”等新知识，为习得简化繁琐运算的技能奠定基础。

3．解决平面解析几何问题的思维策略思维策略是指一般性的较普遍适用的思维方法，不同于解题思路，但它是指导解决问题的方法，也是运用解题方法、寻找解题方法、创造解题方法的方法[2] 。

良好的思维策略可以促成问题的解决，也是提高思维水平的重要因素。

对比“专家”与“新手”解决平面解析几何问题的思维过程发现，“专家”在理解问题、转化问题和解答问题阶段使用了不同的思维策略。

3.1运用恰当的语句表述问题的条件理解问题时，将问题中的文字、符号语言用图形语言表示出来，能对整个问题情境有清晰的、具体的了解，也能从整体上理解问题的已知、未知条件，找出问题的特点，促成问题的合理转化。

平面解析几何的基础是形与数之间的对应关系，文字、符号、图形语言间的恰当转化是理解问题的关键。

比如，在解决问题5：已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的右焦点，P 为双曲线C右支上位于x 轴上方的一点，M 为左准线上一点，四边形O F P M 为平行四边形（O 为坐标原点），且||||PF OF λ=，求双曲线C的离心率e 与λ的关系式时，优生用图形语言（问题5 图）表示整个问题情境后，找到双曲线C 的左焦点1F ，根据离心率1||222||PF a c a ae e PM caeeλλλ--====-，顺利地求出双曲线C 的离心率e 与λ的关系式为2eeλ=-。

中差生虽能用图形语言表示整个问题情境，却不能找出双曲线C 的离心率e 与λ的关系式。

究其原因，优生能将条件“P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>右支上一点，1F F 、分别是双曲线C的左、右焦点，M 为左准线上一点”恰当地表述为“1||||2PF PF a -=，1||||PF e PM =”。

而中差生往往只能将语句“P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>右支上一点”表述为“22221P P x y ab-=”，试图通过坐标的运算找到双曲线C 的离心率e 与λ的关系，由于运算过程繁琐，不能算出正确结果。

3.2运用正确的方法指导解题的思路面临一个条件繁多、结构复杂的问题，学生往往感到措手无策，灵活的语言表述也显得苍白无力。

重新审视问题的目标，有助于语言的恰当表述、问题的合理转化。

平面解析几何研究的主要问题，一是根据已知条件求出表示平面曲线的方程，二是通过方程研究平面曲线的性质。

求平面曲线（或轨迹）的方(问题5)程，归结起来有“定义法”和“待定系数法”两类，“定义法”的宗旨是设出曲线（或轨迹）上任意一点P 的坐标(,)x y ，然后找出横坐标x 和纵坐标y 之间的关系式；“待定系数法”的宗旨是设出曲线（或轨迹）的方程（含待定系数），然后求出待定系数。