初二四边形复习教案【重点】

第四章四边形综合复习一、知识要点回顾：1.知识归纳：2.在线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形、圆、正五边形、正六边形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是。

3.平行四边形的性质：与边有关的_________________________。

与角有关____ _，对角线________________________。

4.矩形(1) 矩形具有平形四边形的所有性质, 还具有自己的性质:①矩形的每个角都是; ②矩形的对角线且.5.菱形菱形具有平行四边形的一切性质, 还具有自己的性质:(1) 菱形的四条边都;(2) 菱形的对角线6.正方形正方形具有矩形和菱形的一切性质.二、几种特殊四边形的性质平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四条边都相等对边平行，四条边都相等两底平行，两腰相等角对角相等,邻角互补四个角都是直角对角相等,邻角互补四个角都是直角同一底上的两个角相等对角线两条对角线互相平分两条对角线互相平分且相等两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角两条对角线相等边长×边长或对角线乘积的一半中心对称轴对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心对称轴对称对称性周长面积邻边之和的2倍邻边之和的2倍边长的4倍边长的4倍腰长的2倍＋两底底×高长×宽对角线乘积的一半（上+下）×高÷2注意：对角线与特殊四边形的关系1.对角线互相平分的四边形是平行四边形2.对角线相等的平行四边形是矩形3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形4.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形四、例题解析例1：如图，在ABCD 的纸片中，AC ⊥AB ，AC 与BD 交于O ，将△ABC 沿对角线AC 翻折得到'AB C ∆. （1）求证：以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是矩形； （2）若212ABCDScm =， 求翻折后纸片重叠部分的面积，即ACE S ∆.意图：1、平行四边形的性质、矩形的判定定理的综合应用；2、实现一题多解，有选择的运用矩形的判定定理，评析证明方法的优劣。

3、等积变换，以及对三角形底的选择直接影响到求面积的难易程度。

例2：我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.意图：如何实现构造两条线段之和及将夹角进行有效转移三、特殊四边形的常用判定方法平行四边形（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等。

（4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。

矩形（1）有三个角是直角；（2）是平行四边形，并且有一个角是直角；（3）是平行四边形，并且两条对角线相等。

菱形（1）四条边都相等；（2）是平行四边形，并且有一组邻边相等；（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直。

正方形（1）是矩形，并且有一组邻边相等；（2）是菱形，并且有一个角是直角。

等腰梯形（1）是梯形，并且同一底上的两个角相等；（2）是梯形，并且两条对角线相等。

（4）是菱形，并且对角线相等。

（3）是矩形，并且对角线垂直；例3：如图，已知ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交DC 于E ，DF BC ⊥于F ，交AE 于G ，且DF AD =。

（1）试说明DE BC =；（2）试问AB 与DG FC +之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由。

解法1：（见图1）延长GD 到H ，使得DH FC =，连结AH ，实现将DG FC +转化为线段HG ；解法2：（见图2）延长CB 到H ，使得FH DG =，连结DH ，实现将DG FC +转化为线段CH ； 解法3：（见图3）延长CF 到H ，使得BH CF =，将ADG ∆绕点A 顺时针旋转90，得到AHG '∆，实现将DG FC +转化为线段BG '；图1 图2 图3解法4：（见图4）如图建立平面直角坐标系，设,AB a CF b ==， 则(0,)A a ，(,0)Bb ，(,0)F a ，(,0)C b a +，(,)D a a ， AB=DF a =可证得BH AB =，则,0)H b， 可求得:DF l x a =，:AHl y x a =+即y x a =+x ay x a =⎧⎪⎨=+⎪⎩则(,)G b a a DG DF GF b AB FC =-=-解法5：见图5：如图建立直角坐标系，解法同解法4EOHGC FDABy xEHOGC F(A)DxBy图4 图5将此题还原对比：在AHFD 中，AG 平分DAB ∠交DF 于点G ，证明：AB DG HB =+GHFDABEGCFA DB还原图 例题图意图：1、解法1、2、3均强调如何构造两条线段的和，运用了平移、旋转变换构造； 2、解法4、5均强调将几何问题代数化，初步渗透高中解析几何的思想。

体会（1）建立平面直角坐标系的可能。

即存在直角。

或有特殊的基本图形存在，如等腰直角三角形、正方形；（2）坐标原点和x 轴的选择直接影响到写出点的坐标的难易程度。

3、关注题目中的重要条件，抓注基本特征，将图形有效还原。

例4：如图①，小明在研究正方形ABCD 的有关问题时，得出：正方形ABCD 中，如果点E 是CD 的中点，点F 是BC 边上的一点，且∠FAE ＝∠EAD ，那么EF ⊥AE .又将正方形改为矩形、菱形和任意平行四边形(如图②、图③、图④)，其它条件不变，发现仍然有“EF ⊥AE ”的结论.你同意小明的观点吗？若同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由.例5：请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 对于例4、例5意图：1、培养良好的审题习惯； 2、注意中点的作用； 3、注意在动中求静； 4、性质的熟练应用 例6、1、已知：ABC ∆中，D 是BC 边的中点，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E 。

若5AB =，7AC =。

求EDEFEA2、点A 为函数1y x=的图象上的点，点B C 、的坐标分别为(2,2)B ， (2,2)C 。

试用性质：函数1y x=的图象上任一点都满足22AB AC -=做BAC ∠的平分线AE ，过B 作AE 的垂线交AE 于F ，已知点A 在函数1y x=的图象上运动时，点F 总在一条曲线上运动，则此曲线为（ ） A 、直线B 、抛物线C 、圆 D 、反比例函数曲线意图：比较两题，2题比1题从字数上就多很多，但若认真审题会发现题干中有相同的条件，蕴涵着相同的基本图形。

FEAA B D C N M例7、已知：分别以ABC ∆的各边为边，在BC 边的同侧作等边三角形ABE 、等边三角形CBD 和等边三角形ACF ，连结DE DF 、。

（1）试说明四边形DEAF 为平行四边形；（2）当ABC ∆满足什么条件时，四边形DEAF 为菱形、矩形、正方形； （3）四边形DEAF 一定存在吗？试说明理由。

意图：1、关注旋转全等形；2、检验平行四边形、特殊的平行四边形的判定定理的熟练程度；3、逆向巩固练习：Ex1：在正方形ABCD 中，E 为AD 中点，点F 在CD 上，且CD DF 41=， 连接BF EF BE 、、，试问BE 与EF 的位置关系如何？并说明理由。

（此题至少3种做法，其中倍长和建系做法尤佳）Ex2: 正方形ABCD 边长为8,M 在DC 上,且DM=2,N 是AC 上的一动点, 则DM+MN 的最小值为 (注意正方形的对称性)Ex3:我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设CD 、 BE 相交于点O ，若060=∠A ，∠DCB=∠EBC=A ∠21，请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； （3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且 ∠DCB=∠EBC=A ∠21.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.(针对例4、例5)CD A CEX4:如图，ABC ∆中，过点A 分别作ACB ABC ∠∠、的外角平分线的垂线AE AD 、,E D 、 为垂足。

求证：（1）BC DE //;（2）)(21BC AC AB ED ++=; （3）若过A 分别作ACB ABC ∠∠、的平分线的垂线AE AD 、，垂足分别为E D 、。

结论有无变化？请加以说明。

（针对例6）EDAB CF GEX5：ABC ∆中，5,4,3===BC AC AB ，BFC ACE ABD ∆∆∆、、都是等边三角形。

求四边形ADFE 的面积。

（针对例7）五、动点问题1.如图，△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E ． （1）试说明EO=FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形并证明你的结论；（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论．2.如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？AQDB ABC3.如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．参考答案1.分析： （1）根据CE 平分∠ACB ，MN ∥BC ，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB ，再根据等边对等角得OE=OC ，同理OC=OF ，可得EO=FO ．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形． （3）利用已知条件及正方形的性质解答． 解答：解：（1）∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE=∠BCE ，∵MN ∥BC ，∴∠OEC=∠ECB ，∴∠OEC=∠OCE ，∴OE=OC ，同理，OC=OF ， ∴OE=OF ． （2）当点O 运动到AC 中点处时，四边形AECF 是矩形．如图AO=CO ，EO=FO ， ∴四边形AECF 为平行四边形， ∵CE 平分∠ACB ， ∴∠ACE= ∠ACB ， 同理，∠ACF= ∠ACG ， ∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG ）= ×180°=90°， ∴四边形AECF 是矩形． （3）△ABC 是直角三角形 ∵四边形AECF 是正方形， ∴AC ⊥EN ，故∠AOM=90°， ∵MN ∥BC ， ∴∠BCA=∠AOM ，∴∠BCA=90°，∴△ABC 是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用． 2.解：（1）①∵1t =秒，∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点，∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米，∴835PC =-=厘米，∴PC BD =． 又∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△．O E CDα lOC（备用图）②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒，∴515443Q CQ v t===厘米/秒．（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯，解得803x =秒． ∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇。