2018年高考数学总复习第六章不等式第1讲不等式的性质与一元二次不等式学案!
2018高考数学一轮复习第6章不等式及其证明第1节不等式的性质与一元二次不等式课件
3
b24ac
>0
0
<0
yax2bxc(a>0)
ax2bxc0 (a>0)
(a>0) ax2bxc<0 (a>0)
x1x2(x1<x2)
_{x_|_x_<_x_1 ___x_>_x_2_} _{_x_|x_1_<_x_<_x_2}_
a>1 1a<1x1a(x1)<0 1a<x<1
0<a<1 1a>1
x1a(x1)<0
1 1<x<a.12
a<0 xx<1ax>1
a0 {x|x>1} 0<a<1 x1<x<1a
a1
a>1 x1a<x<(3) 2 (1) 0 0 0 (2) 0 (3)
x1x22ba _{_x_|x___x_1}_
ax2bxc>0
R ___
1()("""�") (1)a>bac2>bc2.( )
(2)a>b>0c>d>0ad>bc.( ) (3) ax2bxc<0 (x1x2) a>0.( ) (4) ax2bxc0(a0) ax2bxc>0 R.( ) [] (1)� (2) (3) (4)�
f(x)mx2mx1. x[1,3]f(x)<m5 m
[] f(x)<m5 x[1,3] mx12234m6<0 x [1,3].4
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第1节 不等式的性质与一元二次不等式课
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课时分层训练（三十二)不等式的性质与一元二次不等式A组基础达标（建议用时:30分钟）一、选择题1．已知a>b，c〉d，且c,d不为0，那么下列不等式成立的是( ）A．ad〉bc B．ac>bdC．a－c〉b－d D．a＋c>b＋dD［由不等式的同向可加性得a＋c〉b＋d。
]2．已知函数f（x)＝错误!则不等式f（x）≥x2的解集为（)【导学号：31222197】A．［－1，1］B．［－2,2］C．[－2，1] D．［－1，2]A［法一：当x≤0时,x＋2≥x2，∴－1≤x≤0；①当x〉0时,－x＋2≥x2，∴0<x≤1.②由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．法二：作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图象，如图，由图知f(x)≥x2的解集为［－1，1]．]3．设a，b是实数，则“a>b〉1”是“a＋错误!>b＋错误!”的( )【导学号：31222198】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件A[因为a＋错误!－错误!＝错误!，若a〉b〉1，显然a＋错误!－错误!＝错误!>0，则充分性成立，当a＝错误!，b＝错误!时，显然不等式a＋错误!〉b＋错误!成立，但a〉b〉1不成立，所以必要性不成立．］4．（2016·吉林一模)已知一元二次不等式f（x）<0的解集为错误!，则f（e x）〉0的解集为( )A．{x|x〈－1或x〉－ln 3｝B．｛x|－1〈x〈－ln 3｝C．{x|x>－ln 3} D．｛x|x<－ln 3}D[设－1和错误!是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，∴a＝－错误!＝错误!,b＝－1×错误!＝－错误!，∵一元二次不等式f（x)〈0的解集为错误!，∴f(x)＝－错误!＝－x2－错误!x＋错误!，∴f（x）>0的解集为x∈错误!。
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式课件文北师大版
(x-2)2+1,所以f(x)min=f(2)=1,
由题意可知a≤1,且f(a)=f(b)=b,a<b,b>2,
由f(b)=b得到 3 b2-3b+4=b,
4
解得b= 4 (舍去)或b=4,
3
由抛物线的对称轴为x=2得到a=0,所以a-b=-4.
【思想方法指导】 三个“二次”关系的应用 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间具有内在的、紧密的联 系,解题时往往需要把不等式、方程问题转化为函数问题.
5.(必修5 P82例9改编)已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则
实数a的取值范围是
()
A.(4,+∞)
B.(-∞,4)
C.(-∞,2)
D.(2,+∞)
【解析】选A.设f(x)=x2-ax+3,
若方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,
则只需要f(1)<0,即f(1)=1-a+3<0,得a>4,
复习课件
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式课件文北师大版
2021/4/17
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次
1
不等式课件文北师大版
第六章 不 等 式 第一节 不等式的性质 及一元二次不等式
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评
(1) a>b⇔ac2>bc2.( ) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2),则必有a<0. ( ) (3)不等式ax2+bx+c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ=b2-4ac≤0. ( )
高考数学一轮复习第6章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案含解析理
高考数学一轮复习第6章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案含解析理[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a－b＞0⇔a＞b a，b∈R，a－b＝0⇔a＝b a，b∈R，a－b＜0⇔a＜b a，b∈R；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a＞b a∈R，b＞0，ab＝1⇔a＝b a∈R，b＞0，ab＜1⇔a＜b a∈R，b＞0.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性)(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性)a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性)(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)(7)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n≥2，n∈N)；(单向性)(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb n≥2，n∈N)；(单向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx＋c >0ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠x 1}R (a >0)的解集 {x |x 1<x <x 2}∅∅[常用结论] 1．有关分数的性质若a ＞b ＞0，m ＞0，则 (1)b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －ma －m(b －m ＞0)；(2)a b ＞a ＋mb ＋m ；a b ＜a －mb －m(b －m ＞0)．2．有关倒数的性质a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b.3．a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd. 4．简单的分式不等式(1)f xg x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0，g x ≠0；(2)f xg x ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ＞0，g x ≠0.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a>b ⇔ac 2>bc 2. ( )(2)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0. ( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )①a >b，c<d⇒a－c>b－d；②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒3a>3b；④a>b>0⇒1a2>1b2.A．①② B．②③ C．①④ D．①③D[利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac<bd，故②不正确；因为函数y＝x13是单调递增的，所以③正确；对于④，由a>b>0可知a2>b2>0，所以1a2<1b2，所以④不正确．]3．(教材改编)设a，b，c∈R，且a＞b，则( )A．ac＞bc B.1a＜1bC．a2＞b2D．a3＞b3D[取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D.]4．(教材改编)不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为( )A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜2}C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞2}A[方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A.]5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．(－∞，－4]∪[4，＋∞)[由题意知Δ＝a2－42≥0，解得a≥4或a≤－4.]不等式的性质及应用1．若a＞b＞0A.ad＞bcB.ad＜bcC.ac＞bdD.ac＜bdB[由c＜d＜0得1d＜1c＜0，则－1d＞－1c＞0，∴－ad＞－bc，∴ad＜bc，故选B.]2．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．]3．若a ＝20.6，b ＝log π3，c ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π5，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [因为a ＝20.6＞20＝1，又log π1＜log π3＜log ππ，所以0＜b ＜1，c ＝log 2sin 2π5＜log 21＝0，于是a ＞b ＞c .故选A.]4．已知角α，β满足－π2＜α－β＜π2，0＜α＋β＜π，则3α－β的范围是________．(－π，2π) [设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，从而3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)， 又－π＜2(α－β)＜π，0＜α＋β＜π， ∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.][规律方法] 利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法1利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法：,一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.2比较大小常用的方法 ①作差商法：作差商⇒变形⇒判断，②构造函数法：利用函数的单调性比较大小，,③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取0或1作为中间量.3由a <f x ，y<b ，c <gx ，y <d 求F x ，y 的取值范围，要利用待定系数法性质求得F x ，y 的取值范围.一元二次不等式的解法【例1】 (1)不等式2x 2－x －3＞0的解集为________． (2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－1(2)(－4,1) [(1)方程2x 2－x －3＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝32，则不等式2x 2－x －3＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－1. (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]►考法2 含参数的一元二次不等式【例2】 (1)解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0. [解] 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0， 当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a,1)． (2)解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. [解] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0， 解得x ＞1.若a ＜0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0，解得x ＜1a或x ＞1.若a ＞0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0无解；②当a ＞1时，1a＜1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，得1a＜x ＜1；③当0＜a ＜1时，1a＞1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，得1＜x ＜1a.综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜1. [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： 1使一端为0且把二次项系数化为正数；2先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； 3写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式的步骤：1二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；2判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.(1)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎭⎬x | －2<x <－3，则不等式x 2－bx－a ≥0的解集是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12B [∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.] (2)解不等式x 2＋ax ＋1＜0(a ∈R )． [解] Δ＝a 2－4.①当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，原不等式无解．②当Δ＝a 2－4＞0，即a ＞2或a ＜－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1＝－a ＋a 2－42，x 2＝－a －a 2－42，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－a －a 2－42 ＜x ＜－a +a 2－42. 综上所述，当－2≤a ≤2时，原不等式无解．当a ＞2或a ＜－2时，原不等式的解集为x ⎪⎪⎪－a -a 2－42＜x ＜－a +a 2+42一元二次不等式恒成立问题【例3】 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)当m ＝0时，f (x )＝－1＜0恒成立． 当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，即－4＜m ＜0.综上，－4＜m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]． (2)不等式f (x )＜5－m ，即(x 2－x ＋1)m ＜6， ∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数，则g (x )在[1,3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.[规律方法] 与二次函数有关的不等式恒成立的条件,1ax 2＋bx ＋c ＞0a ≠0恒成立的条件是2ax 2＋bx ＋c ＜0a ≠0恒成立的条件是(1)若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0](2)若不等式x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．(1) D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)当k ＝0时，显然成立； 当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立．则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．(2)由题意得，函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝m 2＋m 2－1＜0，f m ＋1＝m ＋12＋m m ＋1－1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1＜0，2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.] 一元二次不等式的应用【例4】 1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[解] (1)根据题意， 得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y m ax ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．[规律方法] 求解不等式应用题的四个步骤：1阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；2引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型；3解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义； 4回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2，问：甲、乙两车有无超速现象？[解] 由题意知，对于甲车， 有0.1x ＋0.01x 2＞12， 即x 2＋10x －1 200＞0，解得x ＞30或x ＜－40(不合实际意义，舍去)， 这表明甲车的车速超过30 km/h. 但根据题意刹车距离略超过12 m ， 由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车，有0.05x ＋0.005x 2＞10， 即x 2＋10x －2 000＞0，解得x ＞40或x ＜－50(不合实际意义，舍去)， 这表明乙车的车速超过40 km/h ，超过规定限速．自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
高三数学高考一轮数学(理)教案：第6章 第1节 不等式的性质与一元二次不等式 含解析
第六章不等式、推理与证明[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情]考点不等关系与不等式全国卷Ⅰ·T8————不等式的证明全国卷Ⅰ·T21全国卷Ⅱ·T21全国卷Ⅲ·T21—全国卷Ⅰ·T21全国卷Ⅱ·T17——基本不等式——全国卷Ⅰ·T24全国卷Ⅱ·T24全国卷Ⅱ·T17—一元二次不等式及其解法全国卷Ⅰ·T1全国卷Ⅲ·T1—全国卷Ⅰ·T1全国卷Ⅱ·T1全国卷Ⅰ·T1全国卷Ⅱ·T1—简单线性规划全国卷Ⅰ·T16全国卷Ⅲ·T13全国卷Ⅰ·T15全国卷Ⅱ·T14全国卷Ⅰ·T9全国卷Ⅱ·T9全国卷Ⅱ·T9全国卷·T14合情推理与演绎推理——全国卷Ⅰ·T14全国卷Ⅰ·T12—直接证明与间接证明全国卷Ⅰ·T18全国卷Ⅰ·T20全国卷Ⅱ·T19全国卷Ⅱ·T21全国卷Ⅰ·T18全国卷Ⅱ·T20全国卷Ⅱ·T18全国卷Ⅰ·T18全国卷Ⅱ·T18全全国卷·T191．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证明．2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明，主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明．3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查．[导学心语]1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等式问题．2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．第一节不等式的性质与一元二次不等式[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图．1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性)(2)传递性：a >b ，b>c⇒a>c；(单向性)(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>b d；(单向性)(5)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n≥2，n∈N)；(单向性)(6)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n≥2，n∈N)；(单向性)(7)倒数性质：设ab>0，则a<b⇔1a>1b.(双向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)有两相异实根x1，有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根的根x2(x1<x2)ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅21．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a>b⇔ac2>bc2.()(2)a>b>0，c>d>0⇒ad>bc.()(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)下列四个结论，正确的是()①a>b，c<d⇒a－c>b－d；②a>b>0，c<d<0⇒ac>b d；③a>b>0⇒3a>3b；④a >b >0⇒1a 2>1b 2. A ．①② B ．②③ C ．①④D ．①③D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac <b d ，故②不正确；因为函数y ＝x 13是递增的，所以③正确；对于④，由a >b >0可知a 2>b 2>0，所以1a 2<1b 2，所以④不正确．]3．(·吉林长春二模)若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式恒成立的是( )【导学号：57962268】A ．a 2>b 2B ．ab >1 C ．2a >2bD ．lg(a －b )>0C [取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，D.故选C.]4．(·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________________．(用区间表示)(－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]5．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________.【导学号：57962269】[0,1) [①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎨⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1，由①②知0≤m <1.]不等式的性质及应用A.1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >0(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．(1)C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y <0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0⇒/ ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．](2)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， f (－2)＝4a －2b .3分设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ， 则⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3，8分 ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1). 10分 ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围为[5,10].12分 [规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明． 3．由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．[变式训练1] (1)(·河南六市2月模拟)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab<b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |(2)已知“－1<x ＋y <4,2<x －y <3”，求3x ＋2y 的取值范围．(1)D [由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.](2)设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )， 则⎩⎨⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12，3分即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )， 又－1<x ＋y <4,2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， 8分∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232.故3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232.12分一元二次不等式的解法(1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}. 6分 (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1). 12分[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． [解] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a 或x >1.3分若a >0，原不等式等价于a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，a 解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a .10分综上所述：当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 12分[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[变式训练2] (·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( ) A ．{x |2<x <3} B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <13或x >12 B [∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.]一元二次不等式恒成立问题(·甘肃白银会宁一中月考)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【导学号：57962270】(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立， 当a ≠2时，则有⎩⎨⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎨⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2.综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．] ☞角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立.3分有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )ma x ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67； 7分当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )ma x ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 12分法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.7分因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 12分☞角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3} [x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎨⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.][规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．[思想与方法]1．倒数性质，若ab >0，则a >b ⇔1a <1b .2．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．3．比较法是不等式证明或判定两个实数(或代数式)大小的主要方法之一，其主要步骤为作差——变形——判断正负．4．不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎨⎧a >0，Δ<0. 不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎨⎧a <0，Δ<0. 5．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．6．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[易错与防范]1．运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件．2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围．3．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．4．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别．5．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．6．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．。
2018届高三理科数学一轮复习 不等式的性质及一元二次不等式
2．不等式的基本性质
性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b⇔ b<a
a>c a>b，b>c⇒_____
特别提醒 ⇔b⇔__________
a>b ac>bc ⇒______ c>0 a>b ac<bc ⇒______ c<0
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]设 a，b∈[0，＋∞)，A＝ a＋ b，B＝ a＋b，则 A，B 的大小关系是 A． A≤ B C． A< B B． A≥ B D．A>B ( )
解析：由题意得，B2－A2＝－2 ab≤0，且 A≥0，B≥0， 可得 A≥B. 答案：B
2.[考点二]若 m＜0，n＞0 且 m＋n＜0，则下列不等式中成立的 是 A．－n＜m＜n＜－m C．m＜－n＜－m＜n B．－n＜m＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m ( )
[方法技巧]
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略 (1)不等式成立问题． 熟记不等式性质的条件和结论是基 础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件． (2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别 判断 p⇒q 和 q⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合问题． 解决此类问题除根据不 等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
a，b 同为正 数
3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 1 1 1 1 a b ①a>b，ab>0⇒a<b.②a<0<b⇒a<b.③a>b>0,0<c<d⇒c>d. 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒b<x<a. (2)有关分数的性质 b b＋m b b－m a a＋m 若 a>b>0， m>0， 则： ①a< ；> (b－m>0)． ②b> ； a＋m a a－m b＋m a a－m b<b－m(b－m>0).
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
2018年高考数学总复习教师用书第六章 不等式 第1讲 不等式的性质与一元二次不等式 Word版含答案
第讲不等式的性质与一元二次不等式最新考纲.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知识梳理.两个实数比较大小的方法()作差法()作商法.不等式的性质()对称性：＞⇔＜；()传递性：＞，＞⇒＞；＋⇔＞()可加性：＞＋；＋；＞，＞＋≥⇒⇒＞可乘性：＞，＞()⇒；；＞＞，＞＞＞⇒可乘方：＞＞()＞(∈；≥)，可开方：＞＞()⇒≥).，(∈＞.三个“二次”间的关系.判断正误(在括号内打“√”或“×”)()＞⇔＞.( )()若不等式＋＋＜的解集为(，)，则必有＞.( )()若方程＋＋＝(＜)没有实数根，则不等式＋＋＞的解集为.( )()不等式＋＋≤在上恒成立的条件是＜且Δ＝－≤.()解析()由不等式的性质，＞⇒＞；反之，＝时，＞⇒＞.()若方程＋＋＝(<)没有实根.则不等式＋＋>的解集为∅.()当＝＝，≤时，不等式＋＋≤也在上恒成立.答案()×()√()×()×.若＞＞，＜＜，则一定有( )＞＜＞＜解析因为＜＜，所以＞＞，两边同乘－，得－＞－＞，又＞＞，故由不等式的性质可知－＞－＞.两边同乘－，得＜.故选.答案.设集合＝{－－<}，＝{≤≤}，则∩等于( ).(，] .[，) .[－，) .(－，]解析∵＝{－－<}＝{－<<}，∴∩＝[，).答案.(·金华模拟)若不等式＋＋>的解集为，则＝，＝.解析由题意知，方程＋＋＝的两根为＝－，＝，又即解得答案－－.当＞时，若不等式＋＋≥恒成立，则的最小值为( ).－ .－.－ .－解析当Δ＝－≤，即－≤≤时，不等式＋＋≥对任意＞恒成立，当Δ＝－＞，则需解得＞，所以使不等式＋＋≥对任意＞恒成立的实数的最小值是－.答案.(必修改编)若关于的一元二次方程－(＋)－＝有两个不相等的实数根，则的取值范围是.解析由题意知Δ＝[(＋)]＋＞.即＋＋＞，解得＞－＋或＜－－.答案(－∞，－－)∪(－＋，＋∞)考点一比较大小及不等式的性质的应用【例】 ()已知实数，，满足＋＝－＋，－＝－＋，则，，的大小关系是( )≥>>≥>>>>。
第6章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案含解析理20190627338_最新修正版
第一节不等式的性质与一元二次不等式［考纲传真］1. 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式 实际背景2会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型 次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 .4.会解一元二次不等式，对给定的一兀次不等式，会设计求解的程序框图.知识全通关两个实数比较大小的方法2 .不等式的性质加法法则：a >b , c >d ? a + c >b + d ；（单向性） 可乘性：a >b, c >0? ac >bc ;（单向性）a >b ,c <0? ac <bc ；（单向性）b >1? a > b a € R, b > 0ab = 1? a = b a € R, b > 0av 1? a v b a € R, b > 0a作商法乘法法则: a >b >0, 乘方法则: a >b >0? c >d >0? ac >bd ；（单向性） a n>b n（ n A2, n € ";（单向性）（8） n A2, n € N）；（单向性） 元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系开方法则: a >b >0?A >0 A <0.3.通过函数图象了解一兀（1）a —b > 0?作差法a — b = 0? a = b a, a , b€ Rb € R a — b v 0? a v b a , b € R对称性: a >b ? b <a ；（双向性） 传递性: a >b, b >c ? a >c ；（单向性） 可加性: a >b ? a +c >b + c ;（双向性）有关倒数的性质a> b, ab>0? 1-< b.a ba>b> 0,0 <c< d?简单的分式不等式f x------ >0?g xf xg x >0? g x > 0, 丰0.1.有关分数的性质若a> b> 0, rm> 0,则b b+ m —< ---- a a+ m b b- ma> a-m b- m>0)；a a+ mb> b T ma< 冷b- m> 0).(思考辨析)判断下列结论的正误.(1)a> b? ac2>bc2.⑵ a>b>0, c>d>0? a>b.d c［基础自测］(正确的打“2”(x i , X2)，则必有，错误的打“ X”)⑶若不等式ax2+ bx+ c<0的解集为2⑷ 若方程ax + bx + c= 0( a* 0)没有实数根，则不等式a>0.()2ax + bx+ c>0的解集为R.［答案］(1) X (2) V (3) V (4) X2.（教材改编）下列四个结论，正确的是（） ①a >b , c <d ? a — c >b — d ;③ a >b >0? ④ a >b >0?D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知1 3②不正确；因为函数 y = x 是单调递增的，所以③正确；对于④，由a >b >0可知a 2>b 2>0,所所以④不正确.] （教材改编）设a , b , c € R 且a >b ,则（）f 3 I 3 D. a > b［取 a = 1, b = — 2, c =— 1，排除 A, B, C,故选 D.］ （教材改编）不等式（x + 1）（ x + 2） < 0的解集为（）1.若 a > b > 0, c < d < 0，则一定有（）a b A.d > ca b D.c < d1 1 1 1B ［由 c <d <0 得 1< 1<0，则—1> —c > o 」②a >b >0， c <d <0? ac >bd ；A.①② B .②③ C ①④ D.①③ac <bd ,故A. ac > bc1 1 B.a < bC.A. {x | — 2 < x <— 1} B .{x | — 1< x < 2}C. {x | x <— 2 或 x > 1}D. {x | x <— 1 或 x > 2}［方程(x + 1)( x + 2) = 0的两根为x =— 2或x =— 1，则不等式(x + 1)( x + 2) < 0的解集为｛x |—2< x <— 1｝，故选 A.] 不等式x 2+ax + 4W0的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是 _____________ .2 2）[由题意知 A = a — 4 >0,解得 a 》4 或 a < — 4.]考点全面'方法简沽I 题型1|不等式的性质及应用-d >-£••• a < b 故选 B.］ d c d c2. (2016 •北京高考)已知X , y € R,且x >y >0,则() 1 A. x — •->0(—n, 2 n)[设 3a — 3 = a — 3 ) + n ( a + 3 )，则从而3 a —卩=2( a —卩)+ ( a +卩), 又一n< 2( a — 3 ) <n,0< a +3<n,—n< 2( a — 3 ) + ( a + 3 ) < 2 n .]［规律方法］利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法验证；二是利用特殊值法排除错误答案2比较大小常用的方法①作差商法：作差商？变形？判断,②构造函数法：禾U 用函数的单调性比较大小，，③中间量法：利用中间量法比较两式大小, 般选取0或1作为中间量.3由a <f X , y <b , c <g x , y <d 求F x , y 的取值范围，要利用待定系数法B. sin X — sin y >01 C. 2<0D. In x + In y >0C ［函数X1y = 2在(0,+s)上为减函数，.••当 x >y >0 时,1 <2X1，即2 — 1 2 V0, 故C 正确；函数 y = -在 (0,+s)上为减函数，由x >y >0? X1 1_V_? X y■X -严，故A 错误；函数y =sin X 在(0,+s)上不单调，当 x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误;x >y >0? xy >^^ln( xy )>0 ? / lnx +In y >0，故 D 错误.]3 .若 a = 20.6, b = log n 3, c = log 2 sin A. a >b > cB. b >a > cC. c >a > bD. b >c >aA [因为 a = 20.6> 20= 1,又 log 1 < log 2 nn 3< log n n,所以 0< b < 1 ,c = log 2sin < log 215=0,于是a >b >c .故选A.]4.已知角a 7t,卩满足一二-< a —卩< —,0< a + 3 <n ，贝U 3 a —卩的范围是m + n = 3,rn= 2, n — m =— 1,解得 n = 1,1利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法:是直接使用不等式的性质逐个当a = 0时，解集为{X |X> 1};解决，即设 F X , y = mf X , y + ng x , y ，用恒等变形求得 m n ,再利用不等式的 性质求得F x ,y 的取值范围.I 麵型2|?考法1不含参数的一元二次不等式【例1】(1)不等式2x 2— X — 3>0的解集为⑵ 不等式—X 2— 3X + 4>0的解集为 _________ 3亠(1) X x >2或X <— 1元二次不等式的解法.(用区间表示) ⑵(一4,1) [(1)方程 2x 2— X — 3 = 0 的两根为 X 1=— 1, X 2 =3 3、2，则不等式2X 2— X — 3>0的解集为X x >2或X <— 1⑵ 由一X 2— 3x + 4>0得X 2+ 3X — 4<0,解得一4<X <1,所以不等式一X 2— 3x + 4>0的解集为(-4,1).]?考法2含参数的一元二次不等式 一 一 2【例2】(1)解关于X 的不等式：X — (a + 1)x + a <0. ［解］ 原不等式可化为(X — a )( X — 1) < 0, 当a > 1时，原不等式的解集为(1 , a )； 当a = 1时，原不等式的解集为 ？ 当a < 1时，原不等式的解集为(a, 1). ⑵解关于X 的不等式：ax —(a + 1)x + 1 <0. ［解］ 若a = 0，原不等式等价于—X + 1< 0, 解得X > 1.若a < 0,原不等式等价于 1X — -(X —1) >0, a解得X < a 或x > 1.a若a > 0,原不等式等价于1X — a (X —1) < 0.①当 a = 1 时,X — 1 (X — 1) < 0 无解;②当 a > 1 时, 1 1X — - (X — 1) < 0，得-< X <1； a a ③当 0 < a < 1 1时，a >1,1 解X —-a1 (X — 1) < 0,得 1 <X <-.a 综上所述，当 a <0时，解集为x < 一或 x >1[规律方法]1.解一元二次不等式的步骤: 1使一端为0且把二次项系数化为正数;2先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法; 3写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式的步骤:一次不等式或二次项系数为正的形式;3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.a >0的解集是()0< a v 1 时，解集为1x 1< X < aa = 1 时, 解集为？;a > 1 时, 解集为x 1-< x < 1a1二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为2判断方程的根的个数，讨论判别式A 与0的关系;[®KES 习：(1)已知不等式ax 2— bx — 1>0的解集是x | - 1<x <-3，则不等式X 2— bx —A. {x |2<x <3}B. {x | x <2 或 x >3}C. x | 1<x <1'32D.1 X x <3或x >2[•••不等式ax 2— bx — 1>0的解集是x |1 1一一 <x < —••• ax 2— bx — 1 = 0 的解是 X 1 = — 2和 X 2= — 3,且a <0,2 3a 1 1 ——X 23aa = 一6, 解得b = 5.则不等式x 2— bx — a >0即为 2X — 5x + 6>0,解得 X <2 或 X >3.］ (2)解不等式 X + ax + 1< 0(a € F).A = a 2— 4.①当 A = a 2—4w0,即一2w a w2时，原不等式无解.②当 2 2 A = a — 4 > 0，即a > 2或a <— 2时，方程x + ax + 1 = 0的两X 1 =—a +寸 a 2— 4—a —J a 2— 4 x2= —2 —则原不等式的解集为—a+^a 2— 42综上所述，当—2W a<2时，原不等式无解.成立的条件是2 ax 2 + bx + c <0 aK 恒成立的条件是[:①1 b -4ac <0,当a >2或 a <— 2时，原不等式的解集为L—a -寸a 2—4—a r/ a 2+4 < x < 2【例3】 I 題型3|已知函数 f (x ) = mx — mx- 1.(1)若对于 x € R, f (x ) < 0恒成立，求实数 m 的取值范围;(2)若对于 x € ［1,3］ , f (x ) < 5 — m 恒成立，求实数 m 的取值范围.当m= 0时，f (x ) =— 1 < 0恒成立.m< 0,当 m#0 时，贝U 2 即一4< m< 0.A = m + 4m< 0,综上，—4< me 0,故m 的取值范围是(—4,0].⑵ 不等式 f (x ) <5— m 即(x 2— x + 1)m< 6,26 6x —x +1>0, •贰x —石对于x € ［1,3］恒成立，只需求x —石的最小值,6记 g (x ) = x 2—x1,x € [1,3],21 23记 h (x ) = x — x + 1 = x — 2 +h (x )在x € ［1,3］上为增函数，则 g (x )在［1,3］上为减函数,6 6•••[g(x)] min = g(3) = 7，.・.m<7.所以m 的取值范围是 一8, 7 .［规律方法］与二次函数有关的不等式恒成立的条件 21 ax + bx + c > 0 a M0 恒即一元二次不等式 2kx 2+ kx — -< 0对一切实数X 都成立. 8k < 0,则2A = k — 4X2 k x解得—3< k < 0.3综上，满足不等式 2kX 2+ kX —< 0对一切实数X 都成立的k 的取值范围是(—3,0］.8 (2)由题意得，函数f (X ) = X 2+ mx-1在［m 耐1］上的最大值小于 0，又抛物线f (X )=X 2 + mX- 1开口向上，所以只需f m = m + m — 1 < 0,2f m^ 1 = m+1+ m n u 1— 1< 0,2m —心‘解得-吳m K 0.] 2m + 3^^ 0,2【例4】 甲厂以X 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 K X < 10)，每小时可获得的利润是 100 •5X + 1 — X 元.X⑵要使生产900千克该产品获得的利润最大, 问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.［解］(1)根据题意, 得 200 5x + 1 — 3>3 000 ,—3整理得 5X — 14 — ->0,1 卩 5X 2—(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围;3习i (1)若不等式2kX 2+ kX —-<0对一切实数X 都成立，则k 的取值范围为()8A. ( — 3,0)B. [ — 3,0)C. [ — 3,0] (2)若不等式D. ( — 3,0］X 2+ mx- 1< 0对于任意 X C ［m m + 1］都成立，则实数 m 的取值范围是(1) D (2)—乎，0［(1)当k = 0时，显然成立;当k M0时,I 麵型又 K X W 10,可解得 3< x < 10.14X — 3>0,X即要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，X的取值范围是［3,10］.(2)设利润为y元，则900 y r -100 5X+ 1 —-X4 =9X 10 1 3 ------- 2 X X4 =9X 10 —31 —12 + 61 3X 6 十 12 ,故当x = 6 时，y max= 457 500 元.即甲厂以6千克/小时的生产速度生产 900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500 元.［规律方法］求解不等式应用题的四个步骤:阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系;引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型;解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义;回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果［sain嫁习］汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车,12 m,乙车的刹车距离略超过 10 m 又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲=0.1 x + 0.01 x2, s乙=0.05 X + 0.005 X2，问：甲、乙两车有无超速现象？但还是相碰了•事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过［解］由题意知，对于甲车,2有 0.1 X+ 0.01 X > 12, 即X2+ 10X— 1 200 >0,解得x > 30或X V — 40(不合实际意义，舍去),这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m ,由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.2对于乙车，有 0.05X + 0.005X > 10,2即X + 10x— 2 000 >0,解得X > 40或X V — 50(不合实际意义，舍去),这表明乙车的车速超过 40 km/h，超过规定限速.自我感悟:最新修正版。
最新-2018届高考数学一轮复习 第6章第一节 不等关系与一元二次不等式课件 文 精品
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(a>0)的解集
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思考感悟 一元二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交 点为(x1,0)，(x2,0)，(x1<x2)，则ax2＋bx＋c>0的 解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)是否正确？ 提示：不正确，ax2＋bx＋c>0的形式不一定是标 准的，即a不一定为正的，因而解集的形式不能 确定．
【思路分析】 本题(1)可讨论m的取值，利用 判别式来解决，对于(2)含参数的一元二次不等 式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法： 方法一是利用二次函数区间上的最值来处理； 方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来 处理，一般情况下方法二比较简单．
【解】 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立， 若 m＝0，显然－1<0； 若 m≠0，
(2)原不等式等价于xx22－ －xx－ －22≤ >04 ⇔xx22－ －xx－ －26≤ >00 ⇔((xx－ －23))((xx＋ ＋12))≤ >00 ⇔x－>22≤ 或xx≤ <－3.1，
结合数轴知，原不等式的解集为 {x|－2≤x<－1 或 2<x≤3}．
(3)因 a>0，则原不等式等价于(x－1a)(x－1)<0.(*) ①当 a＝1 时，1a＝1，所以不等式(*)解集为∅； ②当 a>1 时，1a<1，所以不等式(*)的解集为{x|1a <x<1}；
(1)2x2＋4x＋3>0； (2)－3x2－2x＋8≥0；
(3)12x2－ax>a2(a∈R)． 【思路分析】 首先将二次项系数转化为正数， 再看二次三项式能否因式分解，若能，则可得 方程的两根，若不能，则再看“Δ”，利用求根 公式求解方程的根，而后写出解集，(3)小题中 对a要分类讨论．
高三数学高考一轮复习系列教案第六章 不等式 大纲版
第六章不等式知识结构高考能力要求1．理解不等式的性质及其证明．2．掌握两个（注意不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用．3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．4．掌握简单不等式的解法．5．理解不等式| a |－| b| ≤| a＋b |≤| a |＋| b |．高考热点分析不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用．高考试题中有以下几个明显的特点：1．不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题．2．选择题，填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和综合题几乎都与不等式有关．3．不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视．高考复习建议1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据．2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、放缩法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度．3．解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来．4．注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用．5．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”.6．对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义．7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系．6．1 不等式的概念和性质知识要点1、实数的大小比较法则：设a，b∈R，则a>b⇔；a＝b⇔；a<b⇔ .实数的大小比较法则，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察它们的就可以了.实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础.2、不等式的5个性质定理及其3条推论定理1（对称性）a>b ⇔定理2（同向传递性）a>b，b>c定理3 a>b⇔a＋c > b＋c推论a>b，c>d⇒定理4 a>b，c>0⇒a>b，c<0⇒推论1 (非负数同向相乘法)a>b≥0，c>d≥0⇒推论2 a>b＞0⇒nn ba>(n∈N且n>1)定理5 a>b＞0⇒>n a n b(n∈N且n>1)例题讲练【例1】(1) 若x＜y＜0. 试比较(x2－y2)(x＋y)与(x2＋y2)(x－y)的大小.(2) 设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较a a b b与a b b a的大小.【例2】 设f (x )＝1＋log x 3，g(x )＝2log x 2，其中x ＞0，x ≠1．比较f (x )与g(x )的大小. ．【例3】 函数)(x f ＝ax 2＋bx 满足：1≤)1(-f ≤2，2≤)1(f ≤4，求)2(-f 的取值范围．【例4】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，当p 、q 满足p ＋q ＝1时，试证明：pf (x )＋qf (y )≥f (px ＋qy )对于任意实数x 、y 都成立的充要条件是o ≤p ≤1.小结归纳 1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系．2．使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号．3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A ≥B(或B ≤A)”．基础训练题 一、选择题1． 设a 、b ∈+R 且a ≠b ，x ＝a 3＋b 3，y ＝a 2b ＋ab 2；则x与y 的大小关系为 （ ） A ．x >y B ．x ＝y C ．x < y D ．不能确定 2． 如果－1<a <b <0，则有 （ ）A ．a b 11<<b 2<a 2B ．a b 11<<a 2<b 2 C ．ba 11<<b 2<a 2D ．ba 11<<a 2<b 23． 下列判断：① a 1＞b ，a 2＞b ，则a 1＞a 2；② 若ac ＞bc ，则c ＞0；③ 由lg 41＞lg 51，2＞1；有2lg 41＞lg 51；④ a ＞b ，则a 1＜b1，其中不能成立的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4． 若p ＝a ＋21-a （a ＞2），q ＝2242-+-a a ，则 （ ）A ．p ＞qB ．p ＜qC ．p ≥qD ．p ≤q5． 已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，a c－bd ＞0（其中a 、b 、c 、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36． 若a ，b ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是 （ ）A ．a 1＜b 1B ．a 2＞b 2C ．12+c a ＞12+c bD ．a | c |＞b | c |二、填空题7． 若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 .8. a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则a b ，ba ，m a mb ++，n b na ++的由大到小的顺序是 .9．使不等式a 2＞b 2，ba ＞1，lg(a －b )＞0，2a ＞2b －1都成立的a 与b 的关系式是 .10．若不等式(－1)na ＜2＋nn 1)1(+-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题11．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小. ．12．设a 1≈2，令a 2＝1+111a +. (1) 证明2介于a 1、a 2之间； (2) 求a 1、a 2中哪一个更接近于2；(3) 你能设计一个比a 2更接近于2的一个a 3吗？并说明理由．13．某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠．如果甲、乙两家旅行社的原价(一张票)相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？提高训练题14．已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根为x 1、x 2．(1)证明：－21＜a b＜1；(2)若x 21＋x 1x 2＋x 22＝1，求x 21－x 1x 2＋x 22； (3)求| x 21－x 22|．15．函数f （x ）＝x 2＋（b －1）x ＋c 的图象与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），且x 2－x 1＞1. 当t ＜x 1时，比较t 2＋bt ＋c 与x 1的大小.6．2 算术平均数与几何平均数知识要点1．a >0，b >0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当 时 取“＝”号）3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么2ba +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题： (1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ．例题讲练【例1】 设a 、b ∈R +，试比较2ba +，ab ，222b a +，ba 112+的大小．【例2】 已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），1=+y b x a ，求x ＋y 的最小值.【例3】 在某两个正数x 、y 之间，若插入一个正数a ，使x ，a ，y 成等比数列，若插入两个正数b 、c ，使x 、b 、c 、y 成等差数列，求证：(a ＋1)2≤(b ＋1)(c ＋1).【例4】 甲、乙两地相距S （千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c （千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b ；固定部分为a 元．(1) 试将全程运输成本Y (元)表示成速度V(千米/小时)的函数.(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？小结归纳1．在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件．2．在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”——变量为正数，“二定”——和或积为定值，“三相等”——等号应能取到，简记为“一正二定三相等”．基础训练题一、选择题1．设,b ,a 00>>则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （ ） A ．4)11)((≥++ba b aB ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++D ．b a |b a |-≥- 2． 若x 2log＋y 2log≥4，则x ＋y 的最小值为（ ）A ．8B ．42C ．2D ．43． 设a 、b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：(2b a +)2≤222b a +（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 给出四个命题：(1)1222++x x 的最小值为2；(2)xx 432--的最大值为342- (3) x x lg 10log +的最小值为2；(4) xx 22sin 4sin +的最小值为4. 其中正确命题的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．设x ，y ∈R +，且xy －(x ＋y )＝1，则 （ ）A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1) 6． 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 等于（ ）A ．20吨B ．15吨C ．25吨D ．40吨二、填空题7． 设0<x <2，则x (8－3x )的最大值为____________，相应的x 为____________. 8． 要使不等式x ＋y ≤k y x +对所有正数x ，y 都成立，试问k 的最小值是 ．9． 若a ＞b ＞0，则a 2＋)(16b a b -的最小值是________．10．已知0,0>>b a 且1222=+b a ，则21b a +的最大值________.三、解答题11．设实数x ，y ，m ，n 满足条件122=+n m ，922=+y x ，求ny mx +的最大值．12．若a ，b ，c 是互不相等的正数，求证：a 4＋b 4＋c 4)(222222c b a abc a c c b b a ++>++>13．已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10，1=+y bx a ，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．提高训练题 14．已知a 、b 、c ∈R ，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++15． 某单位决定投资3200元建一长方体状仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁珊，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，计算：（1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为了使仓库面积S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面用铁珊应设计为多长？6．3 不等式证明（一）知识要点 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．(1)作差比较法，它的依据是： ⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a b a b a b a b a 000它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．(2) 作商比较法，它的依据是：若a >0，b >0，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⇔<=⇔=>⇔>b a b ab a b ab a b a111 它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立． 例题讲练【例1】 已知0,0>>b a ，求证：b a ab b a +≥+【例2】 已知a 、b ∈R +，求证：)(22)1)((a b b a b a b a +≥+++【例3】 已知△ABC 的外接圆半径R ＝1，41=∆ABC S ，a 、b 、c 是三角形的三边，令c b a s ++=，cb a t 111++=．求证：s t >【例4】 设二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，方程0)(=-x x f 的两个根1x 、2x 满足ax x 1021<<<． (1) 当x ∈(0，x 1)时，证明：x <f (x )<x 1(2) 设函数f (x )的图象关于直线x ＝x 0对称，证明：x 0<21x ．小结归纳 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见．作差比较的关键在于作差后如何变形来达到判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方．2．综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口．3．分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简．常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等．但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范．4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想．基础训练题 一、选择题1． 已知∈b a 、+R 则下列各式中不成立的是（ ）A ．221≥++ab b aB ．4)11)((≥++ba b aC ．ab ab b a 222≥+ D ．ab ba ab≥+2 2． 设0＜2a ＜1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝a-11，Q ＝a+11，那么 （ ） A ．Q ＜P ＜M ＜N B ．M ＜N ＜Q ＜P C ．Q ＜M ＜N ＜P D ．M ＜Q ＜P ＜N3． 设a ＞0，且 a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是 （ ） A ．P ＞Q B ．P ＝Q C ．P ＜Q D ．P 与Q 的大小与a 有关4． 设a 、b 、c 是△ABC 的三边，且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ca bc ab ++，则（ ） A ．S ≥2P B ．P ＜S ＜2P C ．S ＞P D ．P ≤S ＜2P 5． 已知∈b a 、+R ，那么“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的 （ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知p 、q 是两个正数，且关于x 的方程022=++q px x 和022=++p qx x 都有实根，则q p +的最小可能值是（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．16二、填空题7． 若1>a ，10<<b ，则abb a l o g l o g +的范围是 ．8． 若1=++c b a ，则222c b a ++的最小值为 ．9． 已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0有_______个实根．10．若x 、y 满足2x y =，则代数式87)22(log 2-+y x 的符号是 ．三、解答题11．已知a 、b 、x 、y ∈R +且a 1＞b1，x ＞y .求证：a x x +＞by y+．12．已知a 、b 、c ∈R ，求证：c b ab c b a 234222++≥+++13．已知a ＋b ＋c ＝0，求证：ab ＋bc ＋ca ≤0提高训练题14．已知正数a 、b 、c 满足c b a 2<+，求证：(1) ab c >2 (2) ab c c a ab c c -+<<--2215．是否存在常数C ，使得不等式y x x +2+yx y2+≤C ≤y x x 2++y x y+2对任意正数x 、y 恒成立?试证明你的结论.6．4 不等式证明（二）知识要点证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等．反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法．换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法．放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法．判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立．例题讲练【例1】 已知f (x )＝x 2＋px ＋q ， (1) 求证：f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2) 求证：｜f (1)｜、｜f (2)｜、｜f (3)｜中至少有一个不小于21．【例2】 （1） 已知x 2＋y 2＝1，求证:2211a ax y a +≤-≤+-. （2） 已知a 、b ∈R ，且a 2＋b 2≤1， 求证:2222≤-+b ab a .【例3】 若2≥∈n N n ，且，求证：1131211121222<+⋅⋅⋅++<+-n n【例4】 证明：23112122≤+++≤x x x ．小结归纳 1．凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法．2．在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性．3．放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等．4．含有字母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制．基础训练题 一、选择题1． 设∈c b a 、、+R ，那么三个数b a 1+、c b 1+、ac 1+ （ ）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 2． 已知∈d c b a 、、、+R ，S ＝c b a a ++＋db a b++＋a d c c ++＋b dc d++，则有（ ）A ．20<<sB ．21<<sC ．32<<sD ．43<<s3． 若122=++y xy x 且R y x ∈、，则22y x n +=的取值范围是 （ ） A.10≤<n B.32≤≤nC.2≥nD.232≤≤n4． 已知函数f (x )＝(21)x ，a 、b +∈R ，A ＝f (2b a +)，B＝f (ab )，C ＝f (ba ab+2)，则A 、B 、C 的大小关系是（ ）A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A 5． 设x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，则a y x ≤+恒成立的a的最小值是（ ）A ．22B ．2C ．2D ．226． 设实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，当x ＋y ＋c ≥0时，c 的取值范围是（ ）A .)12[∞+-，，B . ]12(--∞，，C .)12[∞++，， D .]12(+-∞，，二、填空题 7． 设00>>y x 、，y x y x A +++=1，yyx x B +++=11，则A 、B 大小关系为 ．8． 实数y x yx-=，则x 的取值范围是 ． 9． 若f (n )＝12+n －n ，g (n )＝n －12-n ，ϕ(n )＝n21，则f (n )，g (n )，ϕ(n )的大小顺序为____________． 10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1； ②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④ a 2＋b 2 >2；⑤ab >1，其中能推出：“a 、b 中至少有一个实数大于1”的条件是____．三、解答题11．设二次函数)0()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f 且、、，若函数)(x f y =的图象与直线x y =和x y -=均无公共点．(1) 求证：142>-b ac(2) 求证：对于一切实数x 恒有||41||2a c bx ax >++12．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(且0)1(=-f ，问是否存在实数c b a 、、使不等式)1(21)(2x x f x +≤≤对一切实数都成立，并证明你的结论．13．已知f (x ) ＝12+x ， 且a ≠b 求证： | f (a )－f (b ) | <| a －b |．提高训练题14．设f (x )＝| x 3－1|，实数a 、b 满足f (a )＝f (b )且a <b ，① 求证:a ＋b <2② 若3f (a )＝4f (2ba +)，求a 、b 的值15．已知a 、b 为正数，求证：(1) 若a ＋1＞b ，则对于任何大于1的正数x ，恒有ax ＋1-x x＞b 成立；(2) 若对于任何大于1的正数x ，恒有ax ＋1-x x＞b成立，则a ＋1＞b ．6．5 绝对值不等式的应用知识要点1、有关绝对值不等式的主要性质：① | x |＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(x x x x x② | x |≥0③ | |a |－|b ||≤|a ±b |≤| a |＋| b |④| ab |＝ ，ba＝ (b ≠0)特别：ab ≥0，|a ＋b |＝ ，|a －b |＝ ． ab ≤0，|a －b |＝ ，|a ＋b |＝ ． 2、最简绝对值不等式的解法．① | f (x ) |≥a ⇔ ； ② | f (x ) |≤a ⇔ ； ③ a ≤| f (x ) |≤b ． ④ 对于类似a | f (x ) |＋b | g (x ) | > c 的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解． 例题讲练【例1】 解不等式：| x 2－3x －4|> x ＋1【例2】设f(x)＝x2－x＋b，| x－a |<1，求证：| f(x) －f(a) |<2(| a |＋1).【例3】已知f(x)＝x，g(x)＝x＋a(a>0)，⑴当a＝4时，求)() ()(xfx gaxf-的最小值；⑵若不等式) () ()(xfx gaxf->1对x∈[1, 4]恒成立，求a的取值范围．【例4】设a、b∈R，已知二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c，g(x)＝cx2＋bx＋a，当｜x｜≤1时，｜f(x)｜≤２⑴求证：｜g(1)｜≤２；⑵求证：当｜x｜≤1时，| g(x)|≤4.小结归纳1．利用性质｜|a|－|b|｜≤｜a＋b｜≤|a|＋|b|时，应注意等号成立的条件．2．解含绝对值的不等式的总体思想是：将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解．3．绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新，教学中，应注意绝对值与函数问题的结合．基础训练题一、选择题1．方程132+-xxx＝132+-xxx的解集是（）A．(][)∞+⋃-,30,1B．)3,0()1,(⋃--∞C．),3()1,1(∞+⋃-D．),3()1,(∞+⋃--∞2．x∈R，则(1＋x)(1－|x|)>0的解集为（）A．{x|－1<x<1} B．{x|x<1}C．{x| x<－1或x>1} D．{x| x<1且x≠－1} 3．f(x)为R上的增函数，y＝f(x)的图象过点A(0,－1)和下面哪一点时，能确定不等式｜f(x－1)｜<1的解集为{x｜1<x<4} （）A．(3, 1) B．(4, 1)C．(3, 0) D．(4, 0)4．若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1C．a≤1 D．a≥15．下面四个式子中：⑴ |b－a|＝| a－b |，⑵| a＋b |＋| a －b|≥2|a|，⑶aa=-2)(，⑷|)||(|21ba+≥||ab成立的有几个（）A．1 B．2C．3 D．46．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，| f(x1)－f(x2)|＜| x1－x2|恒成立”的只有（）A．f(x)＝x1B．f(x)＝| x |C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2二、填空题7．已知| a |≠| b |，m＝||||||baba--，n＝||||||baba++，则m，n的大小关系是．8．不等式x2－4| x |＋3＜0的解集为．9．设|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是．10．已知方程| x |＝ax＋1有一个负根且无正根，则实数a 的取值范围是．三、解答题11．解不等式：|2x＋1|＋| x－2 |＋| x－1 |＞4．12．若a、b∈R，α, β是方程x2＋a x＋b＝0的两根，且|a|＋| b |＜1，求证：| α |＜1且|β|＜1．13．已知适合不等式| x 2－4x ＋p |＋| x －3 |≤5的x 的最大值是3，求p 的值．提高训练题14．(1) 已知：| a |＜1，| b |＜1，求证：|b a ab--1|＞1； (2) 求实数λ的取值范围，使不等式|ba ab --λλ1|＞1对满足| a |＜1，| b |＜1的一切实数a 、b 恒成立；(3) 已知| a |＜1，若|abba ++1|＜1，求b 的取值范围.15．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 定义在区间[－1，1]上，且f (0)＝f (1)，又P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是其图象上任意两点(x 1≠x 2)．(1)设直线PQ 的斜率为k ，求证：| k |＜2； (2)若0≤x 1<x 2≤1，求证：| y 1－y 2 |＜1．6．6 含参数的不等式知识要点含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式．而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点．解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键．在分类讨论过程中要做到不重，不漏．例题讲练【例1】 已知A ＝{x | 2ax 2＋(2－ab )x －b >０}，B ＝{x | x <－2或x >３}，其中b >0，若A ⊇B ，求a 、b 的取值范围．【例2】 已知关于x 的不等式ax ax --25<0的解集为M ，(1) 当a ＝4时，求集合M ；(2) 若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围．【例3】 若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围．【例4】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R)．小结归纳解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解．能避免讨论的应设法避免讨论．基础训练题 一、选择题1． 如果 a >0，b >0，则不等式－b <x1<a 的解集是（ ） A ．{x |－b 1<x <0或0<x <b1} B ．{x | x <－b1或x >a 1}C ．{x |－a 1<x <0或0<x <b 1} D ．{x |－a 1<x <b1}2． 已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则（ ）A ．f (1)>c > f (－1)B ．f (1)< c < f (－1)C ．f (1)<f (－1) < cD ．f (1)> f (－1)> c3．设关于x 的不等式ax >b 的解集中有一个元素是3，则（ ）A ．a >0且3a >bB ．a <0且3a <bC ．a >0且b <0D ．以上都不对4． 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，21)成立，则a 的取值范围是 （ ） A ．[0，＋∞) B ．[－2，2]C ．[－25，＋∞) D ．[－25，－2] 5． 设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为集合M和N ，那么“212121c cb b a a ==”是“M ＝N ”的（ ）A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分也非必要条件6． 已知a ＞0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜21，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．]21,0(∪[)∞+,2 B ．)1,21[∪(]2,1C ．)1,41[∪(]4,1 D ．]41,0(∪[)∞+,4二、填空题7． 不等式11<-x ax的解集是{x | x <1或x >2}，则a ＝ ． 8． 设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1，1)，使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是 ．9． 若不等式122)31(3+->x ax x 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．10．若关于x 的不等式组 ⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题11．对于任意的x ∈R ，均有x 2－4ax ＋2a ＋30≥0(a ∈R)，求关于x 的方程3+a x＝| a －1|＋1的根的范围．12．解关于x 的不等式01224222>+--a a ax x ．13．已知函数f (x )＝bax x +2(a 、b 为常数)，且方程f (x )－x＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜xkx k --+2)1(．提高训练题14．设函数f (x )＝| x －a |，g (x )＝ax (a ＞0)．(1)解关于x 的不等式| x －a |＜ax ；(2)设F(x )＝f (x ) －g (x )，若F(x )在(0，＋∞)上有最小值，求出这个最小值．15．已知f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝2lg(2x ＋t )( t ∈R ，t 是参数) (1) 当t ＝－1时，解不等式：f (x ) ≤ g (x )(2) 如果当x ∈[0，1]时，f (x ) ≤ g (x )恒成立，求参数t 的取值范围.6．7 不等式的应用知识要点 1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用例题讲练【例1】 若关于x 的方程4x ＋a ·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围. ．【例2】 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．【例3】已知二次函数y＝ax2＋2bx＋c，其中a＞b ＞c且a＋b＋c＝0.（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：3＜l＜23.【例4】一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距S(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)(q＞p)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k．⑴把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v的函数，并求出这个函数的定义域．⑵为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？小结归纳不等式的应用主要有两类：⑴一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通．⑵一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决．基础训练题一、选择题1．设M＝(a1－1)(b1－1)(c1－1)，若a＋b＋c＝1，(a，b，c∈R+)则M的取值范围是（）A．[)8,0B．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,81C．[)8,1D．[)∞+,82．已知方程sin2x－4sin x＋1－a＝0有解，则实数a的取值范围是（）A．[－3，6] B．[－2，6]C．[－3，2] D．[－2，2]3．点P(x，y)在椭圆92x＋42y＝1上移动，则x＋y的最大值等于（）A．5 B．3C．6 D．134．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是（）A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1)C．(－1，22－1) D．(－22－1，22－1) 5．一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/小时，两车的距离不能小于(10v)2千米，运完这批物资至少需要（）A．10小时B．11小时C．12小时D．13小时6．设函数是定义在R上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3,且f (1)>1，f (2)＝132+-mm，则m的取值范围是（）A．m<32B．m<32且m≠－1C．－1< m<32D．m>32且m<－1二、填空题7．如果对任意实数x，不等式| x+1 |≥kx恒成立，则实数k的范围是 .8．已知f (x)＝⎩⎨⎧<-≥11xx，则不等式x＋(x＋2)f (x＋2)≤5的解集是．9．一个盒中装有红球、白球和黑球，黑球的个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的31，白球与黑球的个数之和至少是55，则红球个数的最小值为 . 10．船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度V 1和在静水中的速度V 2的大小关系是 ．三、解答题11．已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程Z 2－2Z ＋5－p 2＝0有无实根，并给出证明．12．已知二次函数f （x ）＝x 2＋bx ＋c （b 、c ∈R ），不论α、β为何实数，恒有f (sin α)≥0，f (2＋cos β)≤0. (1) 求证：b +c ＝－1； (2) 求证：c ≥3；(3) 若函数f (sin α)的最大值为8，求b 、c 的值.13．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？提高训练题14．设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c ＜b ＜1)，f (1)＝0，且方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3＜c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负，并加以证明．15．已知定义域为[0，1]的函数f (x )同时满足：① 对于任意x ∈[0，1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③ 若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)． ⑴ 求f (0)的值．⑵ 求函数f (x )的最大值．⑶ 证明：① 当x ∈(21，1]时，有f (x )＜2x 成立．② 当x ∈[0，21]时，有f (x )≤21f (2x )成立．单 元 测 试一、选择题1. 关于x 的不等式|x －1|>m 的解集为R 的充要条件是（ ）A ．m ＜0B ．m ≤－1C ．m ≤0D ．m ≤1 2. 若a 、b 是任意实数，且b a >，则（ ）A ．22b a >B ．1<abC ．0)lg(>-b aD ．b a )21()21(<3． 若,,h a y h a x <-<-则下列不等式一定成立的是（ ）A ．h y x <-B ．h y x 2<-C ．h y x >-D ．h y x 2>-4． 欲证7632-<-，只需证（ ）A ．22)76()32(-<-B ．22)73()62(-<-C ．22)63()72(+<+D ．22)7()632(-<--5. 设x 1，x 2是方程x 2＋px ＋4＝0的两个不相等的实根，则 （ ） A ．| x 1 |＞2且| x 1 |＝2 B ．| x 1＋x 2|＞4 C ．| x 1＋x 2|＜4 D ．| x 1 |＝４且| x 2 |＝16. 对一切正整数n ，不等式211++<-n n b b 恒成立，则b 的范围是 （ ）A ．(0, 32) B ．(32,0]C ．(52,∞-)),1(∞+⋃D ．(52, 1)7. 已知函数f (x )＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-)0()0(22x x x x x x ，则不等式f (x )＋2>0的解区间是 （ ） A ．(－2，2) B ．(－∞, －2)∪(2, ＋∞) C ．(－1，1) D ．(－∞, －1)∪(1, ＋∞) 8. 在R 上定义运算⊗．(1)x y x y ⊗=-若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则 （ ） A ．11a -<< B ．02a <<C ．3122a -<< D ．1322a -<< 9． 某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771） （ ） A ．5 B ．10 C ．14 D ．1510.（理）集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a b x x B <-=，若"1"a =是""Φ≠⋂B A 的充分条件，则b 的取值范围可以是（ ）A ．20b -≤<B ．02b <≤C ．31b -<<-D ．12b -≤< （文）集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a x x B <-=1，则"1"a =是""Φ≠⋂B A 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件二、填空题11．若y x y x 2,2416,4230-<<<<则的取值范围是 . 12．若不等式02<--b ax x 的解集为{32<<x x }，则=+b a .13．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则91-+-x x 的值为 .14．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ．15．对a ，b ∈R ，记max| a ，b |＝ ⎩⎨⎧<≥ba b ba a ，函数f (x )＝max| | x ＋1 |，| x －2 | | (x ∈R )的最小值是 ．三、解答题16. 若a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ．17．已知函数f (x )＝xax x ++22，x ∈[)∞+,1．(1) 当a ＝21时，求函数f (x )的最小值；(2) 若对任意x ∈[)∞+,1，f (x )＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．（理）解关于x 的不等式222(1)21x a x x ax+--≥+（文）解关于x 的不等式：2(1)10,(0)ax a x a -++<>19．设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对任意x 、y∈R ＋，f (xy )＝f (x )＋f (y )恒成立，已知f (8)＝3，且当x ＞1时，f (x )＞0．(Ⅰ)证明：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(Ⅱ)对一个各项均正的数列{a n }满足f (S n )＝f (a n )＋f (a n＋1)－1 (n ∈N *)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数p 、q ，使不等式)1(211121-+>+++q pn a a a n对n ∈N *恒成立，求p 、q 的值．20．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1－)(含污物物体质量污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a (1≤a ≤3)．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x (x ＞a －1)，用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是ay acy ++，其中c (0.8＜c ＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度．(Ⅰ) 分别求出方案甲以及c ＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；(Ⅱ) 若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a 取不同数值对最少总用水量多少的影响．21. 已知条件p ：|5x －1|>a 和条件01321:2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.。
2018高考数学一轮复习第6章不等式及其证明第1节不等式的性质与一元二次不等式教师用书
第六章不等式及其证明[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情]从近五年浙江卷高考题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，解答题重点考查绝对值不等式与二次函数相交汇问题，不等式的证明问题．第一节不等式的性质与一元二次不等式1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a >b ⇔a －b >0； (2)a ＝b ⇔a －b ＝0； (3)a <b ⇔a －b <0. 2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性) (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性)(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性)(5)乘方法则：a >b >0⇒a n>b n(n ≥2，n ∈N )；(单向性) (6)开方法则：a >b >0⇒n ≥2，n ∈N )；(单向性)(7)倒数性质：设ab >0，则a <b ⇔1a >1b.(双向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( ) (2)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )。
高中数学第六章不等式教案
高中数学第六章不等式教案教学目标：学习并掌握不等式的基本概念，学会解决一元一次不等式和一元二次不等式；通过练习和应用，提高学生解题的能力和思维逻辑。
教学内容：1. 不等式的基本概念2. 一元一次不等式的解法3. 一元二次不等式的解法4. 不等式的综合运用教学重点和难点：一元一次不等式和一元二次不等式的解法，以及不等式的综合运用。
教学方法：讲授相结合，引导学生主动思考和解题练习。
教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾上节课所学的不等式相关知识，激发学生对不等式的兴趣和好奇心。
二、讲解不等式的基本概念（10分钟）1. 引导学生理解不等式的定义和符号表示。
2. 介绍不等式的性质和基本性质。
三、讲解一元一次不等式的解法（15分钟）1. 讲解一元一次不等式的基本求解方法。
2. 通过例题解析，让学生掌握解题技巧和步骤。
四、讲解一元二次不等式的解法（15分钟）1. 引导学生理解一元二次不等式的定义和性质。
2. 通过例题讲解，让学生掌握一元二次不等式的解法方法。
五、综合训练（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，让他们通过练习加深对不等式的理解。
2. 引导学生探讨不等式在生活和实际问题中的应用。
六、作业布置（5分钟）布置相应的作业，加强学生对不等式知识的巩固和提高。
七、课堂小结（5分钟）教师对今天的教学内容进行总结，并鼓励学生多多练习，提高解题的能力和思维逻辑。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念和解法方法，培养其解题思维和逻辑推理能力，进一步提高数学学习的兴趣和能力。
2018年高考数学理一轮复习课件 第六章 不等式 第1讲 课件 精品
∈[0，1]．证明：f(x)≥1－x＋x2. ln 3 ln 2 (2)若 a＝ ，b＝ ，比较 a 与 b 的大小． 3 2
4 4 1 －（－ x ） 1 － x 【解】 (1)证明：因为 1－x＋x2－x3＝ ＝ ， 1－（－x） 1＋x
1－x4 1 由于 x∈[0，1]，有 ≤ ， 1＋x x＋1 1 即 1－x＋x －x ≤ ， x＋ 1
第六章
不等式
知识点
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不等关系与 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了 不等式 解不等式(组)的实际背景． 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 二元一次不 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平 等式(组)与 面区域表示二元一次不等式组． 简单的线性 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线 规划问题 性规划问题，并能加以解决． 基本不等式 1.了解基本不等式的证明过程． a＋b ≥ ab 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 2 题． (a≥0， b≥0)
第六章
不等式
第1讲 不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a>b a＝b a － b>0 ⇔ _________ ； a － b ＝ 0 ⇔ _________ ； a － b<0 ⇔ a<b ． ________
2．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a；
a＞c (2)传递性：a＞b，b＞c⇒____________ ； ＞ ＞ b (3)可加性： a＞b⇒a＋c______b＋c； a＞b， c＞d⇒a＋c_____
[解析] A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，所以 A＞ B．故选 B．
2． 已知 a， b 是实数， 则“a>0 且 b>0”是“a＋b>0 且 ab>0” 的( C ) A．充分而不必要条件 C．充要条件
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式创新教学案(含解析)
第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2．能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2021年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1.两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔a□01＞b.(2)a－b＝0⇔a□02＝b.(3)a－b＜0⇔a□03＜b.2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔□01b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒□02a＞c.(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒□03ac＞bc；a＞b，c＜0⇒□04ac＜bc.(5)加法法那么：a＞b，c＞d⇒□05a＋c＞b＋d.(6)乘法法那么：a＞b＞0，c＞d＞0⇒□06ac＞bd.(7)乘方法那么：a＞b＞0⇒□07a n＞b n(n∈N，n≥1)．(8)开方法那么：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．3．必记结论(1)a>b，ab>0⇒1a<1 b.(2)a<0<b⇒1a<1b.(3)a>b>0,0<c<d⇒ac>b d.(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)假设a >b >0，m >0，那么b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)．(3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系 判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集□01(－∞，x 1) ∪(x 2，＋∞) □02x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2a□03R ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集□04(x 1，x 2) □05∅ □06∅1．概念辨析(1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)假设不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，那么方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)假设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，那么不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．小题热身(1)设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，那么M ∩N 等于( ) A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[－1,0) D ．(－1,0]答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么以下选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0，b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，D 不成立，C 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，那么有() A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)函数f (x )＝ax 2＋ax －1，假设对任意实数x ，恒有f (x )≤0，那么实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，假设对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．(2020·某某省某某一中高三上学期期末)条件甲：a >0，条件乙：a >b 且1a >1b，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a >0不能推出a >b 且1a >1b ，故甲不是乙的充分条件．假设a >b 且1a >1b，即a >b 且b －a ab >0，那么ab <0，所以a >0，b <0.所以由a >b 且1a >1b能推出a >0.故甲是乙的必要条件．所以甲是乙的必要不充分条件．2．等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，那么S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0， 所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，那么f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数m ，n ，使得4a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(m －n )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6， 所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性〞不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．假设1a <1b <0，给出以下不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．假设a >0，且a ≠7，那么( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．假设1<α<3，－4<β<2，那么α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．(2019·黄冈模拟)关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，那么关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 C解析 因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，所以a >0，且－b a＝1，所以关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b a (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}．2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 此题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即－2<a <0，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a >0时，不等式的解集为；当－2<a <0时，不等式的解集为；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为.1．解一元二次不等式的四个步骤 一化 把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 二判 计算对应方程的判别式三求 求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根 四写利用“大于取两边，小于取中间〞写出不等式的解集 求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.3．解含参数的一元二次不等式的一般步骤1．(2019·某某省重点中学协作体联考)命题p ：A ＝，命题q ：B ＝{x |x －a <0}．假设命题p 是命题q的必要不充分条件，那么实数a 的取值X 围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]答案 D解析 由x －21－x ≤0，得x －2x －1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2x －1≥0，x －1≠0，解得x <1或x ≥2，∴A ＝{x |x <1或x ≥2}．又B ＝{x |x －a <0}＝{x |x <a }，命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴B A ，利用数轴(如图)可得a ≤1.2．函数f (x )＝ax 2＋bx －a ＋2.(1)假设关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，某某数a ，b 的值； (2)假设b ＝2，a >0，解关于x 的不等式f (x )>0.解 (1)由题意，知x ＝－1，x ＝3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两个根，代入方程有⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋2＝0，8a ＋3b ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.(2)当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x －a ＋2＝(ax －a ＋2)(x ＋1)，∵a >0， ∴f (x )>0可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a (x ＋1)>0， ①当a －2a≥－1，即a ≥1时， 解集为x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >a －2a ； ②当a －2a<－1，即0<a <1时， 解集为x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <a －2a 或x >－1.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性 1．函数f (x )＝x 2－a2x ＋1.(1)假设f (x )≥0，在R 上恒成立，某某数a 的取值X 围； (2)假设∃x ∈[1,2]，f (x )≥2成立，某某数a 的取值X 围． 解 (1)由题意得f (x )＝x 2－a2x ＋1≥0在R 上恒成立，∴Δ＝a 24－4≤0，解得－4≤a ≤4，∴实数a 的取值X 围为[－4,4]．(2)由题意得∃x ∈[1,2]，x 2－a2x ＋1≥2成立，∴∃x ∈[1,2]，a 2≤x －1x成立．令g (x )＝x －1x，x ∈[1,2]，那么g (x )在区间[1,2]上单调递增， ∴g (x )max ＝g (2)＝32，∴a 2≤32，解得a ≤3，∴实数a 的取值X 围为(－∞，3]． 角度2 给定区间上的任意性问题2．函数f (x )＝x 2＋mx －1，假设对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，那么实数m 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧f m ＜0，fm ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1＜0，m ＋12＋mm ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0. 3．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.假设对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围．解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题4．a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，那么x 的取值X 围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．(1,3) 答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数， 记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，要使f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立， 只需f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.应选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．如举例说明1(1)．(2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2,3.(3)参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X 围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明4.1．假设不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，那么a 的取值X 围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－235，＋∞解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如下图)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点， 但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a2≥2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．组 基础关1．(2019·潍坊模拟)集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，那么A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2] C ．[－1,1] D ．[1,2]答案 A解析 A ＝{x |x 2－2x －3≥0}＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥3}，又B ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．2．假设正实数a ，b 满足a >b ，且ln a ·ln b >0，那么( )A.1a >1bB ．a 2<b 2C ．ab ＋1>a ＋bD ．lg a ＋lg b >0答案 C解析 由得a >b >1或0<b <a <1，因此必有1a <1b，a 2>b 2，所以A ，B 错误；又ab >1或0<ab <1，因此lg a ＋lg b ＝lg (ab )>0或lg (ab )<0，所以D 错误；而ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0，即ab ＋1>a ＋b ，所以C 正确．3．假设角α，β满足－π2<α<β<π，那么α－β的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C.⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 答案 B解析 ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0.4．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，那么A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B D ．A >B答案 B解析 因为a ，b ∈[0，＋∞)，所以A ＝a ＋b >0，B ＝a ＋b >0，所以A 2－B 2＝a ＋b ＋2ab －(a ＋b )＝2ab ≥0，所以A 2≥B 2，所以A ≥B .5．(2020·某某某某一中月考)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，那么关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 答案 C解析 关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b ＜0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，∴所求解集是(－1,3)．应选C.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，那么不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，应选A.7．函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32答案 A解析 由f (x )＝(ax －1)(x ＋b )>0的解集是(－1,3)，那么a <0，故有1a＝－1，－b ＝3，即a ＝－1，b ＝－3，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，解得x >12或x <－32，故不等式f (－2x )<0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 8．函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，假设对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，那么实数a 的取值X 围是________．答案 (－3，＋∞)解析 对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立．等价于x 2＋2x ＋a >0，即a >－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝－(x ＋1)2＋1，那么g (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，所以a >－3.9．假设存在x ∈[－2,3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，那么实数a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，1]解析 设f (x )＝2x －x 2，那么当x ∈[－2,3]时，f (x )＝－(x －1)2＋1∈[－8,1]，因为存在x ∈[－2,3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，所以a ≤f (x )max ，所以a ≤1.10．设不等式mx 2－2x －m ＋1<0对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，那么x 的取值X 围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32解析 记f (m )＝mx 2－2x －m ＋1＝(x 2－1)m ＋1－2x (|m |≤2)，那么f (m )<0恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧f－2＝－2x 2－2x ＋3<0，f2＝2x 2－2x －1<0，解得－1＋72<x <1＋32.组 能力关1．(2019·某某市新华中学模拟)命题p ：1a >14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，那么p成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 求解不等式1a >14可得0<a <4，对于命题q ，当a ＝0时，命题明显成立；当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4，即命题q 为真时0≤a <4，故p 成立是q 成立的充分不必要条件．2．假设不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，那么a 的取值X 围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.3．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，那么t 的取值X 围是( )A ．[1,3]B ．[3,5]C ．[5,7]D ．[7,9]答案 B解析 由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为⎝⎛⎭⎪⎫20－52t 万亩，那么税收收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×24000×t %万元，由题意有⎝⎛⎭⎪⎫20－52t ×24000×t %≥9000，整理得t 2－8t ＋15≤0，解得3≤t ≤5，∴当耕地占用税税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证此项税收一年不少于9000万元．∴t 的取值X 围是3≤t ≤5，应选B.4．(2019·某某某某一中高考模拟)函数f (x )＝x ln (3－x )，那么不等式f (lg x )>0的解集为________．答案 (1,100)解析 因为f (x )＝x ln (3－x )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3－x >0，解得0≤x <3，所以定义域为[0,3)，因为f (x )＝x ln (3－x )>0等价于⎩⎨⎧x >0，ln 3－x >0，解得0<x <2，因为f (lg x )>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤lg x <3，0<lg x <2，x >0，解得1<x <100，所以解集为(1,100)．5．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，那么实数λ的取值X 围为________．答案 [－8,4]解析因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.。
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第1讲 不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知 识 梳 理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b （a ∈R ，b ＞0），ab ＝1⇔a ＝b （a ∈R ，b ＞0），a b ＜1⇔a ＜b （a ∈R ，b ＞0）.2.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ≥b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n(n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n ∈N ，n ≥2).3.三个“二次”间的关系1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R .( ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) 解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ⇒ac 2＞bc 2.(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根.则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为∅. (4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞bc B.ad ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b d解析 因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d ，两边同乘－1，得－1d ＞－1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－b c ＞0.两边同乘－1，得a d ＜b c.故选B. 答案 B3.设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N 等于( ) A.(0，4]B.[0，4)C.[－1，0)D.(－1，0]解析 ∵M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}， ∴M ∩N ＝[0，4). 答案 B4.(2017·金华模拟)若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＝________，b ＝________.解析 由题意知，方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为x 1＝－12，x 2＝13，又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.答案 －12 －25.当x ＞0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a 的最小值为( ) A.－2 B.－3 C.－1D.－32解析 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立，当Δ＝a 2－4＞0，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2＜0，解得a ＞2，所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2. 答案 A6.(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________.解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2.答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)考点一 比较大小及不等式的性质的应用【例1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)法一 因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)A (2)C规律方法 (1)比较大小常用的方法： ①作差法；②作商法；③函数的单调性法.(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.【训练1】 (1)(2017·金华四校联考)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，其中a >2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( )A.p ≥qB.p >qC.p <qD.p ≤q(2)设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞c b；②a c＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c ).其中所有的正确结论的序号是( ) A.①B.①②C.②③D.①②③解析 (1)由于a >2，故p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号.因为x 2－2≥－2，所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号，所以p ≥q .(2)由不等式性质及a ＞b ＞1知1a ＜1b ，又c ＜0，所以c a ＞c b，①正确；构造函数y ＝x c，∵c ＜0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a ＞b ＞1，∴a c＜b c，知②正确； ∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴a －c ＞b －c ＞1，∴log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c )，知③正确. 答案 (1)A (2)D考点二 一元二次不等式的解法(多维探究) 命题角度一 不含参的不等式【例2－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集. 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.命题角度二 含参不等式【例2－2】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R ). 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0， 解得x ≥2a或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a＜－1，即－2<a <0，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a，或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练2】 (1)已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A.－3B.1C.－1D.3(2)不等式2x 2－x ＜4的解集为________.解析 (1)由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由题意知，－1，2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.(2)因为4＝22且y ＝2x 在R 上单调递增，所以2x 2－x ＜4可化为x 2－x ＜2，解得－1＜x ＜2，所以2x 2－x ＜4的解集是{x |－1＜x ＜2}. 答案 (1)A (2){x |－1＜x ＜2}考点三 一元二次不等式的恒成立问题(多维探究) 命题角度一 在R 上恒成立【例3－1】 若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A.(－3，0]B.[－3，0)C.[－3，0]D.(－3，0)解析 2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0， 解之得－3＜k ＜0. 答案 D命题角度二 在给定区间上恒成立【例3－2】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.有以下两种方法：法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3].当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可. 因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |0＜m ＜67或m ＜0.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |0＜m ＜67或m ＜0命题角度三 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( )A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立， 所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3. 答案 C规律方法 恒成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解. (2)一元二次不等式在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围.(3)一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，4]B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)D.[－2，5](2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是______.解析 (1)由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. (2)二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]， 都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0， 解得－22＜m ＜0. 答案 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0[思想方法]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.4.(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.[易错防范]1.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形.2.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.。