人教A版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》教案-18页文档资料

合集下载

高中数学选修1-1教学设计-椭圆的简单几何性质

§2.1.2椭圆的简单几何性质3
【学情分析】：
学生已经掌握了椭圆的概念、标准方程的概念，也能够运用标准方程中的a,b,c的关系解决题目，但还不够熟练。

另外对于求轨迹方程、解决直线与椭圆关系的题目，还不能很好地分析、解决。

【三维目标】：
1、知识与技能：
①进一步强化学生对于椭圆标准方程中a,b,c关系理解，并能运用到解题当中去。

②强化求轨迹方程的方法、步骤。

③解决直线与椭圆的题目，强化数形结合的运用。

2、过程与方法：
通过习题、例题的练讲结合，达到学生熟练解决椭圆有关问题的能力。

3、情感态度与价值观：
通过一部分有难度的题目，培养学生克服困难的毅力。

【教学重点】：
知识与技能②③
【教学难点】：
知识与技能②③
【课前准备】：
学案
【教学过程设计】：。

高中数学 2.2.2椭圆的简单几何性质教案新人教A版选修1-1最新修正版

甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 2．2．2椭圆的简单几何性质教案新人教A 版选修1-1◆ 过程与方法目标（1）复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P 48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．（2）新课讲授过程（i ）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（ii ）椭圆的简单几何性质①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；④离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ac e =叫做椭圆的离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a ，b ，c e 00 ．（iii ）例题讲解与引申、扩展例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =m 的值．解法剖析：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ====，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===2553m =⇒=．例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221x y a b+=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面200km ，远地点B 距地面350km ，已知地球的半径6371R km =．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．例6如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则MF =直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．引申：（用《几何画板》探究）若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c =的距离比是常数c e a =()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c=相应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-． ◆ 情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆能力目标（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．。

人教A版高中数学选修1-1 第二章2.1.2椭圆的简单几何性质(一)数学教案

2.1.2椭圆的简单几何性质（一）数学教案教师科目数学上课时间课题椭圆的简单几何性质（一）教学目标知识与能力1．掌握椭圆的简单几何性质,能根据性质正确地作出椭圆的简图； 2．掌握椭圆标准方程中a 、b 、c 、e 的相互关系及其几何意义；3.培养学生观察、分析、概括的逻辑思维能力和数形结合思想的运用能力.过程与方法以自主探究为主，学生独立思考.、合作交流、师生共同探究相结合. 情感态度与价值观通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴含的数学思想和数学方法，从中体味探索中的成功与快乐，由此激发学生更加积极主动的学习精神和探索勇气；教学重难点重点：椭圆的简单几何性质及其性质的初步运用.难点：椭圆几何性质的探究过程、方法及离心率的理解. 教学程序教师指导与学生活动一、.新课导入：请同学们看大屏幕（课件展示“神舟飞船”在变轨前绕地球飞行的模拟图）我们知道飞船在绕地球飞行的过程中，是沿着以地球的中心为一个焦点的椭圆轨道运行的，如果告诉你飞船飞离地球表面的最近和最远距离（即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离），如何确定飞船运行的轨道方程呢？引入课题：要解决这一实际问题就有必要对椭圆做深入地研究，这节课我们就一起来先研究椭圆的一些简单几何性质．复习：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的定义和标准方程是？1.椭圆的定义；2. 椭圆的标准方程（注意椭圆中a,b,c 的关系）.二、新课探究：【自主探究问题1】：观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？能否根据方程得出结论？辨析与研讨:结论：由椭圆方程知b y a x ≤≤,，由y x ,的范围可得椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里(课件展示图形) 。

22221(0)x y a b a b+=>>B 2A 1F 1F 2xB 1A 2y【自主探究问题2】：继续观察椭圆的特点，椭圆的图形给人以视觉上的美感，如果我们沿着焦点所在直线上下对折，或沿着焦点连线的垂直平分线左右对折大家猜想椭圆可能有什么性质？能否用方程来证明你的结论？辨析与研讨:结论：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

高中数学新课标人教A版选修1-1《2.1.2椭圆的简单几何性质》教案

二、讲授新课：
1.例1设点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程.
求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式.
（教师引导——示范书写）
2.练习：1.点的坐标是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是，点的轨迹是什么？
（教师分析——学生演板——教师点评）
2.求到定点与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程.
（教师分析——学生演板——教师点评）
3.例2在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
相关点法：寻求点的坐标与中间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程.（教师引导——示范书写）
4.练习：
1. 第7题.
2.已知三角形的一边长为，周长为，求顶点的轨迹方程.
5.知识小结：
①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式.
②相关点法：寻求点的坐标与中间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程.
三
学
过
程
上课时间
第周星期第节
课型
课题
2.1.2椭圆及其标准方程
教学目的
掌握点的轨迹的求法，坐标法的基本思想和应用.
教学设想
教学重点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用.
教学难点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用.
教
学
过
程
一、复习：
1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.
2.关于椭圆的两个基本等式.

人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第2课时)》教学设计

2.1.2椭圆的简单几何性质（第2课时）一、教学目标 1.核心素养发展直观想象、逻辑推理、数学建模、等价转化的素养 2.学习目标（1）会判断直线与椭圆的位置关系.（2）能够解决直线与椭圆相交产生的相关弦长、定值、取值范围等问题，初步理解方程思想和“设而不解”思想在解题过程中的应用.（3）理解解析法解决问题的基本思想，掌握用方程研究曲线问题的基本方法. 3.学习重点直线与椭圆的位置关系, 初步理解方程思想和“设而不解”思想在解题过程中的应用. 4.学习难点解决直线与椭圆相交产生的相关弦长、定值、取值范围等问题. 二、教学设计（一）课前设计 1.预习任务任务140P 例4，思考椭圆在生活中还有那些应用?思考直线与椭圆有那些位置关系?任务2回忆椭圆的有那些几何性质? 2.预习自测1. 两个正数,a b 的等差中项是52，，则椭圆22221(0)x ya b a b+=>> 的离心率e 等于( )A.B.C.答案：C解析：椭圆的几何性质2. 已知椭圆2211625x y += 的焦点分别是12,,F F P 是椭圆上一点，若连接12,,F F P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( ) A. 165B ．3 C. 163D. 253答案：A解析：()()120,3,0,3,34F F -<，∴12219090F F P F F P ∠=︒∠=︒或. 设 (),3P x ，代入椭圆方程得165x =±.即点P 到y 轴的距离是165.（二）课堂设计 1.知识回顾（1）一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式为ac b 42-=∆；求根公式为aacb b x 242-±-=．（2）一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根，则a b x x -=+21，acx x =21．（3）平面内两点()()1122,,A x y B x y 之间的距离公式为()()221221y y x x AB -+-=2.问题探究问题探究一椭圆几何性质在生活中的应用例1.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点A 距地面()m km ，远地点B 距离地面()n km ，地球半径为()k km ，则飞船运行轨道的短轴长为( ) A ．B.C ． m n ⋅D ．2mn【知识点：椭圆的几何性质】详解：由题意可得,a c m k a c n k -=++=+()()()()a c a c m k n k ∴-+=++．即()()222a c b m k n k -==++，b ∴=，故选A.★▲问题探究二直线与椭圆的位置关系1.设直线方程为y kx m =+，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，联立方程得22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩根据方程解得情况，便可确定直线与椭圆的位置关系．通常消去方程组的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，一般地：0∆>⇔直线与椭圆相交⇔直线与椭圆有两个公共点；0∆=⇔直线与椭圆相切⇔直线与椭圆有且只有一个公共点 0∆<⇔直线与椭圆相离⇔直线与椭圆无公共点2.弦长问题设直线方程为y kx m =+交椭圆22221(0)x y a b a b +=>>于点()()111222,,P x y P x y 两点，则12PP =12x =-=同理可得)12120PP y k =-=≠例2 (1) 当m 为何值时，直线y x m =+与椭圆2214x y +=相交、相切、相离?(2)若=1m ，求直线y x m =+与椭圆2214x y +=相交的弦AB 的长.【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，弦长公式；数学思想：分类的思想】详解：(1)由 2244y x mx y =+⎧⎨+=⎩消去y 化简得2258440x mx m ++-=()()()222=84544165m m m ∆-⨯-=-()201650,m m ∆>-><当时，则即直线与椭圆相交 ()2=0165=0,=m m ∆-当时，则即直线与椭圆相切()201650,m m ∆<-<<当时，则即直线与椭圆相交(2) 当m =1，则0∆>，直线与椭圆相交，则22144y x x y =+⎧⎨+=⎩得2580x x += 设()()1122,,,A x y B x y ,则：12128,05x x x x +=-=，5AB ∴== 例3. 过点()0,1的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线x y 21=过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程．【知识点：直线与椭圆的位置关系，对称问题，直线的方程】详解1：由22==a c e ，得22==a c e ，从而222,a b c b ==. 设椭圆C 的方程为22222b y x =+，()()1122,,,A x y B x y 在椭圆上．则222222112222,22x y b x y b +=+=，两式相减得，()()0222212221=-+-y y x x，即()212121212y y x x x xy y++-=--.设线段AB 的中点为()00,y x ，则02y x k AB-=.又()00,y x 在直线x y 21=上，所以0021x y =，于是120-=-y x ，故1-=AB k ，所以直线l 的方程为1+-=x y .设右焦点()0,b 关于直线l 的对称点为()y x '',，则⎪⎩⎪⎨⎧++'-='=-''1221b x y b x y ，解得⎩⎨⎧-='='b y x 11.由点()b -1,1在椭圆上，得()222121b b =-+，则1692=b ，故892=a . 所以所求椭圆C 的方程为19169822=+y x ，直线l 的方程为1+-=x y . 详解2：由22==a c e ，得21222=-ab a ，从而222b a =，bc =.设椭圆C 的方程为22222b y x =+，直线l 的方程为()1-=x k y ．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，得()02242122222=-+-+b k x k x k ，则2221214k k x x +=+，故()()()2212121212211kkk x x k x k x k y y +-=-+=-+-=+. 又直线x y 21=过线段AB 的中点⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x ，则2222122121k k kk +⨯=+-，解得0=k 或1-=k . 若0=k ，则直线l 的方程为0=y ，焦点()0,c F 关于直线l 的对称点就是F 点本身，不可能在椭圆C 上，所以0=k 舍去，从而1-=k ，故直线l 的方程为()1--=x y ，即1+-=x y ，以下同方法1. 点拔：由题设情境中点在直线x y 21=上，联想“点差法”，从而应用点差法及点在直线x y 21=上而求得直线l 的方程，进一步应用对称的几何性质求得“对称点”，利用“对称点”在椭圆上求得椭圆方程，同时应注意，涉及弦的中点与弦的斜率问题常常可应用“点差法”求解．例4 设直线()1l y k x =+：与椭圆()03222>=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点．(1)证明：222313kk a +>； (2)若2AC CB =，求OAB 的面积的最大值．【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，三角形的面积，基本不等式】【分析】 (1)联立方程、消元、利用0>∆易证． (2)结合条件分析出2121y y OC S OAB -=∆易求．详解：(1)证明：依题意，当0=k 时，由0>a 知，02>a ，显然成立．当0≠k 时，()1+=x k y 可化为11-=y kx . 将11-=y k x 代入2223a y x =+，消去x ，得01231222=-+-⎪⎭⎫⎝⎛+a y k y k .①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得()013142222>-⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆a k k ，化简整理得222313k k a +>.原命题得证(2)设()()1122,,,A x y B x y ，由题意知()0,1-C ．由①得221312kky y +=+，② 因为()()11221,,1,AC x y CB x y =---=+ 由2AC CB =，得212y y -=.③ 由②③联立，解得22312k ky +-=，△OAB的面积12223132213OAB k S OCy y y k Δ=-===+上式取等号的条件是132=k ，所以OAB S ∆的最大值为23例5. 已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为12,且椭圆E 上一点到两个焦点距离之和为124l l ,,是过点P (0,2)且互相垂直的两条直线1l ,交E 于A,B 两点2l ,交E 于C,D 两点,AB ,CD 的中点分别为M ,N . (1)求椭圆E 的方程; (2)求1l 的斜率k 的取值范围; (3)求OM ON ⋅的取值范围.【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，平面向量的数量积，直线的斜率】解：(1)设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>> 由 2221224c a a a b c ⎧=,⎪⎪=,⎨⎪=+,⎪⎩得2a b =,⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为22143y x +=. (2)由题意知,直线1l 的斜率存在且不为零. ∵1l :y =kx +2,∴2l :12y x k=-+.由 221432y x y kx ⎧+=,⎪⎨⎪=+,⎩ 消去y 并化简整理, 得22(34)1640k x kx +++=. 根据题意22(16)16(34)0k k ,∆=-+>,解得214k >.同理得2211()44k k ->,<, ∴21114(2)(2)422k k <<,∈-,-⋃,.(3)设112200()()()A x y B x y M x y ,,,,,,那么1221634k x x k+=-,+∴12028234x xk x k +==-,+0026234y kx k =+=,+∴2286()3434k M k k-,,++同理得2218()6()1134()34()k N k k --,,+-+- 即2286()4433k N k k,++. ∴OM ON ⋅2222228866284413434332512()k k k k k k k k=-⋅+⋅=-++++++. ∵2144k <<,∴2217124k k≤+<.∴22287471192512()k k-≤-<-,++ 即OM ON ⋅的取值范围是74[)719-,-.3.课堂总结【知识梳理】（1）直线:l y kx b =+，与圆锥曲线C ：(,)0F x y =交于1122(,),(,)A x y B x y 两点.则12AB x =-=或12AB y =-=（2）椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为22b a（3）已知弦的中点，研究的斜率和方程AB 是椭圆的一条弦，00(,)M x y 是AB 的中点，则2020AB b x k a y =-，22AB OM b k k a ⋅=-点差法求弦的斜率步骤是：（1）将端点坐标代入方程：2222112222221,1;x y x y a b a b +=+=（2）两等式对应相减：2222121222220;x x y y a a b b-+-=（3）分解因式整理：22012122212120.AB b x y y b x x k x x a y y a y -(+)==-=--(+) 【重难点突破】1.涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达定理的运用，特别是函数与方程思想在解题中的应用．2.注意数形结合思想的运用要注意数形结合思想的运用.在做题时候，最好先画出草图，注意观察、分析图象的特征，将形与数结合起来. 3.中点弦问题若问题涉及弦的中点及直线斜率问题，可考虑“点差法”，即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差，同时常与根与系数的关系综合应用. 4.随堂检测1.直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案： A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】2.直线2y kx =-与椭圆22480x y +=相交于不同的两点P 、Q ，若PQ 的中点的横坐标为2，则弦长|PQ |等于 ____________.答案：解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，弦长】由于222+4y 80y kx x =-⎧⎨=⎩，消去y 整得()221416640k x kx +--=. ()()1122,,,P x y Q x y 设，122162214kx x k+==⨯+则，得12k =，从而12122644,3214x x x x k -+===-+，因此PQ =（三）课后作业基础型自主突破1. 直线y =与椭圆22221(0)x ya b a b +=>> 的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e 等于（）A.B.C.D.12解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质】答案：B2. 直线2y kx =+与椭圆22236x y +=有两个交点时，k 的取值范围是 ( )A. k k <>B. k <<C. k k ≤≥D. k ≤≤答案：A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】 3. 过椭圆2224x y +=的左焦点F 作倾斜角3π为的弦AB ，则弦AB 的长为（） A. 67 B. 167C. 716D.12答案：B解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】4．若过椭圆141622=+y x 内一点()1,2的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．答案：042=-+y x解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设直线方程为()21-=-x k y ，与双曲线方程联立得()()0121616816412222=--++-++k k x k k x k ，设交点()11,y x A ，()22,y x B ，则4418162221=+-=+kk k x x ，解得21-=k ，所以直线方程为042=-+y x .5. 设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率23=e .已知点⎪⎭⎫⎝⎛23,0P 到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质】设椭圆方程为()012222>>=+b a by a x ，()y x M ,为椭圆上的点，由23=a c 得b a 2=.()b y b b y y x PM ≤≤-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=342132322222，若21<b ，则当b y -=时，2PM 最大，即7232=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b ，则21237>-=b ，故舍去．若21≥b 时，则当21-=y 时，2PM 最大，即7342=+b ，解得12=b .∴所求方程为1422=+y x . 能力型师生共研6.已知直线l 与椭圆2222x y +=交于1P 、2P 两点,线段12PP 的中点为P ,设直线l 的斜率为11(0)k k ≠,直线OP 的斜率为2k ,则12k k 的值等于（）A.B.C.D.12-答案：D解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设111222()()P x y P x y ,,,,则1212()22x x y y P ++,,2k =2212212111222122121y y y y y y k k k x x x x x x +--,=,=+--. 由 221122222222x y x y ⎧+=,⎨+=,⎩ 相减得222221211()2y y x x -=--. 故1212k k =-.7. 已知椭圆22143yx+=,若在此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是( )A.(B.(C.(D.(答案：B解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设1122()()A x yB x y AB,,,,的中点为M(x,y),由题意知211212211224ABy yk x x x y y yx x-==-,+=,+=,-213x+21412y=①22223412x y+=②①②两式相减得223(x-222121)4()0x y y+-=,即12123()y y x x+=+,即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,则229143m m+<,即m<<. 8.若直线4=+nymx和圆4:22=+yxO没有公共点，则过点()nm,的直线与椭圆14522=+yx的交点个数为_______.答案：2解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】由2422>+-+nm，得422<+nm.而120120445222222<-<-+=+mmnmnm，即点()nm,在椭圆内，所以过点()nm,的直线与椭圆相交，即有2个交点.探究型多维突破9.已知焦点为12(20)(20)F F-,,,的椭圆与直线l:x+y-9=0有公共点,则椭圆长轴长的最小值是( )A.170B.170C.70D.852答案：A解析：【知识点：椭圆的标准方程，几何性质，直线与椭圆的位置关系】方法一:依题意,设椭圆方程为22221(yx a ba b+=>>0),且c=2,则224b a=-.将椭圆方程与直线方程联立,得22221490yxa ax y⎧+=,⎪-⎨⎪+-=,⎩消去参数y,整理得：22224(24)18850a x a x a a--+-=. 因为直线l与椭圆有公共点,所以0∆≥,即22224(18)4(24)(85)0a a a a---≥,整理得422933400a a-+≥. 解得2852a≥,或24(a≤舍去),∴2170a≥,即椭圆长轴长的最小值为170.方法二:如图,可设P为椭圆与直线l的公共点,则|1PF|+|2PF|=2a所以问题转化为当P在l上运动时,求|1PF|+|2PF|的最小值.作2F关于l的对称点2F′00()x y,,则000(1)1229022y x x y ⎧-=-,⎪-⎪⎨+⎪+-=,⎪⎩ 解得 0097x y =,⎧⎨=,⎩ 即2F ′(9,7). 所以|1PF |+|2PF |=|1PF |+|2PF ′|≥|12F F′|==10. 已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的一个焦点在直线l :x =1上,其离心率12e =.设P 、Q 为椭圆上不同的两点,且弦PQ 的中点T 在直线l 上,点1(0)4R ,.(1)求椭圆的方程;(2)试证:对于所有满足条件的P 、Q ,恒有|RP |=|RQ |. 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，数学思想：等价转化】 (1)椭圆的一个焦点在直线l :x =1上,所以c =1. 又因为离心率12e =,即12c a =,所以a =2,从而23b =.所以椭圆的方程为22143y x +=. (2)证明:设01122(1)()()T y P x y Q x y ,,,,,, 则021213()()4RT y PQ x x y y =,,=-,-,210213()()4RT PQ x x y y y ⋅=-+-.又因为P 、Q 都在椭圆22143y x +=上, 所以22221122114343x y x y +=,+=,两式相减得1212121211()()()()043x x x x y y y y -++-+=, 因为点T 是PQ 的中点,所以1212022x x y y y +=,+=, 于是1201212()()023x x y y y -+-=,所以120123()()04x x y y y -+-=,即0RT PQ ⋅=,所以RT PQ ⊥,即R T 是线段PQ 的垂直平分线,所以恒有|RP |=|RQ |.四、自助餐1.直线1y x =+被椭圆22142y x +=所截得的弦的中点坐标为（） A. 25,33⎛⎫⎪⎝⎭B. 47,33⎛⎫⎪⎝⎭C. 21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：C解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】2.已知直线():310l ax y a a R +-+=∈，椭圆22:12536y x C +=，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为（） A. 1 B. 12或 C. 2D.0 答案：C解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】3.过椭圆22154y x +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆相交于,A B O 两点，为坐标原点，则OAB ∆的面积为（） A. 53B.34C. 2D.76 答案：A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】4.已知椭圆2288x y +=，在椭圆上求一点P ，使点P 到直线:40l x y -+=的距离最小，并求出这个最小值. 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设与直线:40l x y -+=平行且与椭圆相切的直线方程为0x y m -+=由22088x y m x y -+=⎧⎨+=⎩消去x 得229280x my m -+-=则()2243680m m ∆=--= 得3m =±，当3m =-时，由图不符合题意，舍去.则所求切线方程为30x y -+=则两平行线之间的距离P l 到距离的最小值，即d 又由223081,3388x y P x y -+=⎧⎛⎫⇒-⎨ ⎪+=⎝⎭⎩5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 到两点((120,,F F 的距离之和等于4，设P 的轨迹为C . （1）写出C 的方程.（2）设直线1y kx =+与C 交于,A B 两点，则k 为何值时，?OA OB ⊥此时AB 的值时多少? 答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，标准方程，直线与椭圆的位置关系】（1）由椭圆的定义知C 的轨迹方程为221.4y x += （2）设()()1122,,,A x y B x y 由()22221423044y kx k x kx x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩则()22122122412402434k k k x x k x x k ⎧∆=++>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩又OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=而()()()2121212121+1=1y y kx kx k x x k x x =++++2221212222233241104444k k k x x y y k k k k ---+∴+=+-+==++++12121412,,21717k x x x x ∴=±+=±=-此时，117AB ∴=+== 6．已知点P 是⊙O ：922=+y x 上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足23DQ DP =. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)若点()1,1G ，则在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M 、N ，使()12OG OM ON =+ (O 是坐标原点)．若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由．答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，向量及运算,轨迹问题】 (1)设()00,y x P ，()y x Q ,，依题意，则点D 的坐标为()0,0x ， ∴()0,DQ x x y =-， ()00,DP y =．又23DQ DP =，∴⎪⎩⎪⎨⎧==-00320y y x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 2300. ∵点P 在⊙O 上，∴9220=+y x ，∴14922=+y x ， ∴点Q 的轨迹方程为14922=+y x .(2)假设14922=+y x 上存在不重合的两点()11,y x M ，()22,y x N ，使()12OG OM ON =+，则()1,1G 是线段MN 的中点，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+12122121y y x x ，即⎩⎨⎧=+=+222121y y x x .(3)又()11,y x M ，()22,y x N 在椭圆14922=+y x 上， ∴22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得()()()()04921212121=+-++-y y y y x x x x ，∴942121-=--=x x y y k AB ，∴直线MN 的方程为01394=-+y x ， ∴椭圆上存在不重合的两点M 、N ，使()12OG OM ON =+，此时直线MN 的方程为01394=-+y x .7.已知椭圆中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆交于P 和Q ，若OP OQ ⊥，且PQ =，求椭圆方程．【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，】解法一：设椭圆方程为22221x y a b+=，依题意知，点,P Q 的坐标满足方程组：2222 1 1x y ab y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222222()2(1)0a b x a x a b +++-= ③设方程③的两根为12,x x 那么直线1y x =+与椭圆交点为1122(,1)(,1)P x x Q x x ++、．由OP OQ ⊥得：1212(1)(1)0x x x x +++=即12122()10x x x x +++=．由2PQ =得：21252(),2x x -= 即212125()44x x x x +-=． ∴121221212()21204()1650x x x x x x x x +++=⎧⎨+--=⎩．解得12121432x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩或12121412x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩．由③式结合韦达定理得：2222222232(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或2222222212(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩．解得22223a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或22232a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴221223x y +=或223122x y +=．解法二：设椭圆方程为221mx ny +=依题意知，点P Q 、的坐标满足方程组2211mx ny y x ⎧+=⎨=+⎩，整理得：2()210m n x nx n +++-=．则121221n x x m n n x x m n -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩设直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1)(,1)P x x Q x x ++、由OP OQ ⊥得：1212(1)(1)0x x x x +++=即12122()10x x x x +++=∴2m n +=，∴121212x x n n x x +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩由2PQ =得：21252(),2x x -=即212125()44x x x x +-= ∴248(1)50n n ---=．解得32n =或12n =代入得： 3212n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1232n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴223122x y +=或223122x y +=． 8．(本小题满分15分)已知椭圆C ：22221(y x a b a b+=>>的离心率 22=e ，原点到过点()b A -,0和()0,a B 的直线的距离为36. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知定点()0,2M ，若过点M 的直线l (斜率不等于零)与椭圆C 交于不同的两点E 、F (E 在M 与F 之间)，记OMFOME S S ∆∆=λ，求λ的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，】(1)由题知直线AB 的方程为1=-+by a x ，即0=--ab ay bx . 依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==362222222ba ab b ac a c ，解得2=a ，1=b ，∴椭圆C 的方程为1222=+y x .(2)由题意知直线l 的斜率存在且不为零，故可设l 的方程为()2y k x =-，将l 的方程代入椭圆方程1222=+y x ，整理得 ()028*******=-+-+k x k x k . 由0>∆，得()()()028********>-+--k k k ，即0122<-k ，∴2102<<k . 设()11,y x E ，()22,y x F ，则21x x >，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+122812822212221k k x x k k x x ，(*) 由OMF OME S S ∆∆=λ，得ME MF λ=，由此可得：ME MF λ= 则2221--=x x λ，且10<<λ. 由(*)知，()()12422221+-=-+-k x x ， ()()()12242222212121+=++-=-⋅-k x x x x x x ，∴()()()()81242212221212+=-+-⋅-=+k x x x x λλ，即()21211422<-+=λλk ， ∵2102<<k ，∴()21211402<-+<λλ，又∵10<<λ，解得1223<<-λ.即λ的取值范围是()1,223-．法二.由题意知直线l 的斜率存在且不为零，故可设l 的方程为2my x =- 代2x my =+到椭圆方程中，运算量会大大减少．【知识点：直线与椭圆的位置关系】五、数学视野我们将上一节中椭圆的标准方程的推导过程作如下改变：2a =，经过化简，得到2a cx -= 将①式平方并整理得()2222222()a c x a y a a c -+=-②2a e x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，表示点P 到定点2F 的距离，而式子2a x c ⎛⎫- ⎪⎝⎭表示点P 到定直线2a x c =（即与2F 相应准线的距离）.考虑到椭圆的对称性,2()a e x c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.于是动点P 的集合又可以描述为/,01PF P e e d ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，即平面内到一定点F 的距离和到定直线l (F 不在l 上)的距离d 的比是一定值()01e e <<(e 为椭圆离心率)的点P 的轨迹是椭圆．其中定点F 为椭圆的焦点，定直线l 为准线．这就是椭圆的第二定义，在教材第41页【例6】有所体现．②即()2222222()a c x a y a a c -+=-，移项整理得，()222222()a y a x a c =--，当 22a x ≠时，我们有222222y c a x a a -=-，也即21y y e x a x a ⋅=--+，从几何的角度来说，便是平面内与两个定点连线的斜率之积为定值的点P 的轨迹是椭圆．其中的定点为椭圆长轴的顶点，定值为21e -．这就是椭圆的第三定义，这个定义也恰是教材第35页【例3】的一般背景．。

高中数学第2章第1课时椭圆的简单几何性质教师用书教案新人教A版选修1

2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学习目标核心素养1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)1．通过学习椭圆的几何性质，培养学生直观想象的数学素养.2．借助椭圆的几何性质，培养数学运算及逻辑推理的数学素养.1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：(1)离心率e 能否用ba 表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？ [提示](1)e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，所以e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2.(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0) D ．(0，－6)，(0，6)D [椭圆方程可化为x 2＋y 26＝1，则长轴的端点坐标为(0，±6)．] 2．椭圆x 225＋y 216＝1的离心率是( )A ．34B ．541C ．45D ．35D [∵a ＝5，b ＝4，c ＝a 2－b 2＝3，∴e ＝35.]3．若点P (m ，n )是椭圆x 24＋y 23＝1上任意一点，则m 的取值范围是________，n 的取值范围是________．[－2,2] [－3，3] [由题意可知m 24＋n 23＝1，由m 24≤1可知－2≤m ≤2；同理，由n 23≤1可知－3≤n ≤ 3.]根据椭圆的方程研究其几何性质【例1】设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 24＋y 2m ＝1.(1)当0＜m ＜4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，∴e ＝ca＝4－m 2＝12，∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,23，焦点坐标为F 1()－1，0，F 2()1，0，顶点坐标为A 1()－2，0，A 2()2，0，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m ＞4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4，∴e ＝ca＝m －4m＝12，解得m ＝163，∴a ＝433，c ＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝⎛⎭⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a ，b ，c .,(4)写出椭圆的几何性质.提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍.[跟进训练] 1．(1)椭圆x 2＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A ．14B ．12C ．2D ．4(2)对椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的几何性质的表述正确的是( )A ．范围相同B ．顶点坐标相同C ．焦点坐标相同D ．离心率相同(1)A (2)D [(1)由题意可知a 2＝1，b 2＝m ，由a ＝2b 可知1＝4m ，∴m ＝14.故选A ．(2)结合椭圆的几何性质可知，C 1与C 2的离心率相同，均为1－b 2a2，故选D ．]利用几何性质求椭圆的标准方程(1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M (1,2)，且与椭圆x 212＋y 26＝1有相同的离心率．[思路点拨] (1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a 与b 的关系，再用待定系数法求解．法二：设与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率的椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)．[解] (1)若焦点在x 轴上，则a ＝3，∵e ＝c a ＝63，∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3， ∵e ＝c a＝1－b 2a2＝1－9a 2＝63，解得a 2＝27.∴椭圆的方程为y 227＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形， OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， ∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32，故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1.(3)法一：由题意知e 2＝1－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2. 设所求椭圆的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1或y 22b 2＋x 2b 2＝1.将点M (1,2)代入椭圆方程得12b 2＋4b 2＝1或42b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝92或b 2＝3. 故所求椭圆方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.法二：设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12，即所求椭圆的标准方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b 2＝a 2－c 2，e ＝ca等.[跟进训练]2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A ．x 281＋y 272＝1B ．x 281＋y 29＝1C ．x 281＋y 245＝1D ．x 281＋y 236＝1A [由2a ＝18得a ＝9，又a －c ＝2c ，则c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72， ∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.]求椭圆的离心率1．已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上的一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，怎样求椭圆的离心率？提示：由OP ∥AB 可知，k OP ＝k AB ，又A (a,0)，B (0，b )，P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 故－b a ＝－b 2ac ，即b ＝c ，∴a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.2．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若P 是曲线C 上的动点，当P 在何处时∠APB 最大？若C 上存在点P 满足∠APB ＝120°，如何求椭圆的离心率？图1提示：当P 位于短轴的端点处时，∠APB 最大．如图1，要使存在P 使得∠APB ＝120°，只需∠APB ≥120°，即∠APO ≥60°， ∴tan ∠APO ≥3，即3m≥3， ∴0<m ≤1. 此时由e ＝1－b 2a2＝1－m 3可知e ∈⎣⎡⎭⎫63，1．图2如图2，由题意可知m3≥3，∴m ≥9，又m >3，∴m ≥9.由e ＝1－b 2a 2＝1－3m可知e ∈⎣⎡⎭⎫63，1.综上可知离心率e ∈⎣⎡⎭⎫63，1.【例3】设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A ．36B ．13C ．12D ．33[思路点拨] 设|PF 2|＝m ，在Rt △PF 1F 2中，依题意可求得|PF 1|，|F 1F 2|，进而求得离心率． D [设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m2m ＋m ＝33.]1．(变条件)若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率．[解] 在△PF 1F 2中，∵∠PF 1F 2＝45°， ∠PF 2F 1＝75°，∴∠F 1PF 2＝60°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，椭圆的长轴长为2a ，则在△PF 1F 2中，有m sin 75°＝n sin 45°＝2csin 60°， ∴m ＋nsin 75°＋sin 45°＝2c sin 60°， ∴e ＝c a ＝2c 2a ＝sin 60°sin 75°＋sin 45°＝6－22.2．(变条件，变设问)若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．[解] 由题意，知c >b ，∴c 2>b 2.又b 2＝a 2－c 2， ∴c 2>a 2－c 2，即2c 2>a 2. ∴e 2＝c 2a 2>12，∴e >22. 故C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.求椭圆离心率的值或范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 的值，可直接利用公式e ＝ca 求解；若已知a ，b 或b ，c 的值，可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c ，a 的值，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于c ，a 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．1．判断正误(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b )的长轴长为a ，短轴长为b .( ) (2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．( )(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称． [答案] (1)× (2)× (3)√2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)D [由题意可知a ＝13，b ＝10，∴c ＝69，又焦点在y 轴上，故选D ．]3．如图，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A ．15B ．25C ．55D ．255D [由题意可知F 1(－2,0)，B (0,1)，即c ＝2，b ＝1， ∴a 2＝b 2＋c 2＝5，∴e ＝c a ＝25＝255，故选D ．]4．椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )(c >0)，离心率e ＝32，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，求椭圆的方程．[解] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a －c ＝2－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以所求椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.。

人教A版高中数学高二选修1-1教案 2.1.2椭圆的简单几何性质(1)

2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系．2．过程与方法能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题．3．情感、态度与价值观从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美．●重点、难点重点：由标准方程分析出椭圆几何性质．难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解．对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好①让学生自主探索新知，②重难点之处进行反复分析，③及时巩固(教师用书独具)●教学建议根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价．●教学流程创设问题情境，引出问题：椭圆有哪些简单几何性质？⇒引导学生结合椭圆的图形，观察、比较、分析，导出焦点在x轴上的椭圆的简单几何性质.⇒引导学生类比导出焦点在y轴上椭圆的简单几何性质.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握已知椭圆方程求几何性质的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其标准方程的方法.⇒(对应学生用书第22页)课标解读1.掌握椭圆的简单几何性质及应用．(难点)2．掌握椭圆离心率的求法及a，b，c的几何意义．(难点)3．理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念．(易混点)椭圆的简单几何性质已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x225＋y216＝1，C2：y225＋x216＝1.1．椭圆C1的焦点在哪个坐标轴上，a、b、c分别是多少？椭圆C2呢？【提示】C1：焦点在x轴上，a＝5，b＝4，c＝3，C2：焦点在y轴上，a＝5，b＝4，c＝3.2．怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？【提示】对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y＝0得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C2与y轴的交点(0,5)，(0，－5)，与x轴的交点(4,0)(－4,0).焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上续表焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上顶点A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)离心率e＝ca椭圆的离心率【问题导思】观察不同的椭圆，其扁平程度各不一样，如何刻画椭圆的扁平程度呢？【提示】利用椭圆的离心率．1．定义椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca，叫做椭圆的离心率．2．性质离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1，椭圆越扁，当e越接近于0，椭圆就越接近于圆．(对应学生用书第23页)由椭圆方程研究几何性质已知椭圆16x2＋9y2＝1，求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距和离心率．【思路探究】(1)所给椭圆方程是标准形式吗？(2)怎样由椭圆的标准方程求得a、b、c的值进而写出其几何性质中的基本量？【自主解答】将椭圆方程化为x2116＋y219＝1，则a2＝19，b2＝116，椭圆焦点在y轴上，c2＝a2－b2＝19－116＝7144，所以顶点坐标为(0，±13)，(±14，0)，焦点坐标为(0，±712)，长轴长为23，短轴长为12，焦距为76，离心率为74.1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长，焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．本例中，若把椭圆方程改为“25x 2＋16y 2＝400”，试求其长轴长、短轴长、离心率、焦点与顶点坐标．【解】将方程变形为y 225＋x 216＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝10和2b ＝8，离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，顶点坐标为A 1(0，－5)，A 2(0,5)，B 1(－4,0)，B 2(4,0).由椭圆的几何性质求其标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)； (2)过(3,0)点，离心率e ＝63. 【思路探究】 (1)椭圆的焦点位置确定了吗？(2)你将怎样求得a 2、b 2并写出标准方程？【自主解答】 (1)由题意知2a ＝4b ，∴a ＝2b . 设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1，代入点(2，－6)得，4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b2＝1，将a ＝2b 代入得，a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13，故所求的椭圆标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.(2)当椭圆焦点在x 轴上时，有a ＝3，c a ＝63，∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1；当椭圆焦点在y 轴上时，b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63， ∴a 2＝27，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1. 故所求椭圆标准方程为x 29＋y 227＝1或x 29＋y 23＝1.求标准方程的常用方法是待定系数法，基本思路是“先定位、再定量”． 1．定位即确定椭圆焦点的位置，若不能确定，应分类讨论．2．定量即通过已知条件构建关系式，用解方程(组)的方法求a 2、b 2.其中a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca是重要关系式，应牢记．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是6，离心率是23；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解】 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得2a ＝6，a ＝3.e ＝c a ＝23，∴c ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴ 椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△B 1FB 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|B 1B 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.求椭圆的离心率(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求其离心率．(2)若一个椭圆长轴长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．【思路探究】 (1)由焦距与短轴长相等，你能得出a 、b 、c 的关系吗？可以用离心率公式求离心率吗？(2)由题意得2b ＝a ＋c ，如何使用这一关系式求e? 【自主解答】 (1)由题意得：b ＝c ， ∴e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝c 22c 2＝12. ∴e ＝22. (2)∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2，即3a 2－2ac －5c 2＝0，∴(a ＋c )(3a －5c )＝0.∵a ＋c ≠0，∴3a －5c ＝0，∴3a ＝5c ， ∴e ＝c a ＝35.求椭圆离心率的常用方法：1．直接法：求出a 、c 后用公式e ＝ca求解；或求出a 、b 后，用公式e ＝1－b 2a2求解．2．转化法：将条件转化为关于a 、b 、c 的关系式，用b 2＝a 2－c 2消去b ，构造关于ca 的方程来求解．(1)求椭圆x 216＋y 28＝1的离心率．(2)已知椭圆的两个焦点F 1、F 2，点A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，求椭圆的离心率．【解】 (1)e ＝1－b 2a2＝ 1－816＝12＝22. (2)设F 1F 2＝2c ，由题意知，△AF 1F 2中，∠A ＝90°，∠AF 2F 1＝60°，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .∵|AF 1|＋|AF 2|＝3c ＋c ＝2a ，即(3＋1)c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1.(对应学生用书第25页)混淆长轴长与长半轴长、短轴长与短半轴长的概念致误求椭圆25x 2＋y 2＝25的长轴长和短轴长．【错解】将方程化为标准方程得：x2＋y225＝1，∴a＝5，b＝1，∴长轴长是5，短轴长是1.【错因分析】错解中将长半轴长、短半轴长与长轴长、短轴长混淆了，从而导致错误．【防范措施】根据定义，长轴长为2a，短轴长为2b，往往与长半轴长a、短半轴长b 混淆，解题时要特别注意．【正解】将已知方程化成标准方程为x2＋y225＝1.∴a＝5，b＝1，∴2a＝10,2b＝2.故长轴长为10，短轴长为2.1．通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程．2．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率可以从关于a、b、c的一个方程求得，也可以用公式求得．(对应学生用书第25页)1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的顶点坐标是()A．(－1,0)、(1,0)B．(－6,0)、(6,0)C．(－6，0)、(6，0)D．(0，－6)、(0，6)【解析】椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1，焦点在y 轴上，其长轴的端点坐标为(0，±6)．【答案】 D2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23【解析】椭圆方程可化为x 2＋y 214＝1，∴a 2＝1，b 2＝14，∴c 2＝34，∴e 2＝c 2a 2＝34，∴e ＝32. 【答案】 A3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32 C.83D.23【解析】 ∵椭圆焦点在x 轴上， ∴0＜m ＜2，a ＝2，c ＝2－m ，e ＝c a＝2－m 2＝12. 故2－m 2＝14，∴m ＝32.【答案】 B4．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为45，一个焦点是(0,4)，求此椭圆的标准方程．【解】由题意：c ＝4，e ＝45，∴a ＝5，∴b 2＝a 2－c 2＝9.又椭圆的焦点在y 轴上，∴其标准方程为y 225＋x 29＝1.一、选择题1．(2013·济南高二检测)若椭圆的长轴长为10，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )A.x 2100＋y 236＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1 D.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 【解析】由题意2a ＝10,2c ＝6，∴a ＝5，b 2＝16，且焦点位置不确定，故应选D. 【答案】 D2．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( )A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】由于椭圆x 2a 2＋y 29＝1中，焦点的位置不确定，故无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系．【答案】 D3．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对【解析】曲线x 225＋y 29＝1焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k (10＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】 B4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22 B.33C.12D.13【解析】 Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝60°， ∴|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3，∴|PF 1|＋|PF 2|＝6c3＝2a ，a ＝3c .∴e ＝c a ＝13＝33. 【答案】 B5．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A ．98aB ．99aC ．100aD ．101a【解析】由椭圆的定义及其对称性可知，|F 1P 1|＋|F 1P 99|＝|F 1P 2|＋|F 1P 99|＝…＝|F 1F 49|＋|F 1P 51|＝|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，F 1P 50＝a ，故结果应为50×2a ＋|F 1P 50|＝101a .【答案】 D二、填空题6．(2013·兰州高二检测)若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为23，则k 的值为________．【解析】若焦点在x 轴上，则9k ＋8＝1－(23)2＝59，k ＝415；若焦点在y 轴上，则k ＋89＝59，∴k ＝－3. 【答案】 415或－3 7．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为________．【解析】如图所示，△AF 1F 2为等腰直角三角形．∴OA ＝OF 1，即c ＝b ，又∵a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴c a ＝22. 【答案】 228．一个顶点为(0,2)，离心率e ＝12，坐标轴为对称轴的椭圆方程为________．【解析】 (1)当椭圆焦点在x 轴上时，由已知得b ＝2，e ＝c a ＝12， ∴a 2＝163，b 2＝4，∴方程为3x 216＋y 24＝1. (2)当椭圆焦点在y 轴上时，由已知得a ＝2，e ＝c a ＝12， ∴a 2＝4，b 2＝3，∴方程为y 24＋x 23＝1. 【答案】 3x 216＋y 24＝1或y 24＋x 23＝1 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． ∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20. ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1. (2)因椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． ∵2c ＝8，∴c ＝4，又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20.∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1. 10．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．【解】如图，不妨设椭圆的焦点在x 轴上，∵AB ⊥F 1F 2，且△ABF 2为正三角形，∴在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°.令|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝2x .∴|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝3x ＝2c .由椭圆定义，可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a .∴e ＝2c 2a ＝3x 3x ＝33.图2－1－211．如图2－1－2所示，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|PA |＋|PB |的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)试判断该方程是否为椭圆方程，若是，请写出其长轴长、焦距、离心率．【解】 (1)以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，由题设可得|PA |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋(22)2＝2 2.由椭圆定义知动点P 的轨迹为椭圆．不妨设动点P 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1， ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由(1)的求解过程知曲线E 的方程是椭圆方程，其长轴长为22，焦距为2，离心率为22.(教师用书独具)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在一点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，求该椭圆的离心率的取值范围．【解】在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，则结合已知，得a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1|＝c a |PF 2|.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则c a |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，即|PF 2|＝2a 2c ＋a，由椭圆的几何性质和已知条件知|PF 2|＜a ＋c ，则2a 2c ＋a＜a ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0，解得e ＜－2－1或e ＞2－1.又e ∈(0,1)，故椭圆的离心率e ∈(2－1,1)．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF 1→·PF 2→的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[14，12] B ．[12，22] C ．(22，1) D ．[12，1) 【解析】设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2.又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，∴12≤e ≤22. 【答案】 B。

人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第1课时)》教案-新版

2.1.2椭圆的简单几何性质（第1课时）一、教学目标核心素养发展直观想象、逻辑推理、数据分析素养学习目标（1）掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质. （2）明确椭圆中,,,a b c e 的几何意义，以及,,,a b c e 之间的相互关系. （3）能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题. 学习重点利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质学习难点椭圆离心率的概念的理解及椭圆的几何性质的综合应用二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1预习教材3739P P - ，思考椭圆上的点,x y 的的取值范围？椭圆具有怎样的对称性？与数轴的交点是什么？任务2完成41P 的练习5，思考椭圆的扁平程度与那些量有关？ 2．预习自测1. 椭圆22259225x y +=的长轴长、短轴长、离心率依次是（） A ．5，3，0.8 B ．10，6，0.8 C ．5，3，0.6D ．10，6，0.6．答案：B解析：椭圆的几何性质2. 椭圆2266x y +=的长轴的端点坐标是（） A ．（－1，0）、（1，0）B ．（－6，0）、（6，0）C ．(6,0)-、(6,0)D ．(0,6)-、(0,6)．答案：D解析：椭圆的几何性质（二）课堂设计 1.知识回顾（1）椭圆的定义：平面内点M 到两定点12,F F 的距离和为常数，即122MF MF a +=,当122a F F >时，点M 的轨迹是椭圆（2）椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆标准方程为__()222210x y a b a b +=>>__焦点在y 轴上的椭圆标准方程为__()222210y x a b a b+=>>__其中a ，b ，c 的关系为____ 222a b c =+_____.（3）(),P x y 关于原点对称的点()1,P x y --，(),P x y 关于x 轴对称的点()2,P x y -，(),P x y 关于y 轴对称的点()3,P x y - 2．问题探究问题探究一椭圆的几何性质●活动一设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围．（1）从形的角度看：椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框里．（2）从数的角度看：利用方程研究，易知222210y x b a =-≥，故221x a ≤，即a x a -≤≤；222210x y a b=-≥故221y b ≤，即b y b -≤≤． ●活动二（1）从形的角度看：观察椭圆的图形可以发现，椭圆是中心对称图形，也是轴对称图形．（2）从数的角度看：在椭圆方程22221(0)x y a b a b +=>>中以,x y --分别代替,x y ，方程不变，∴椭圆22221(0)x y a b a b +=>>既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，从而关于坐标原点对称，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． ●活动三如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与它的对称轴共有四个交点，即12,A A 和12,B B ，这四个点叫做椭圆的顶点，线段12,A A 叫做椭圆的长轴，它的长等于2a ；线段12,B B 叫做椭圆的短轴，它的长等于2b.显然，椭圆的两个焦点在它的长轴_上． ●活动四椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的长轴．用e 表示，即c e a =.(1)离心率的范围：01e <<(2)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度．当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而22b a c =-越小，因此椭圆越扁当e 越接近于0时，c 越接近于0，从而22b a c =-越接近于a,因此椭圆越接近于圆；当且仅当a b =时，0c =，这时两个焦点重合，图象变为圆222x y a +=． ★▲问题探究二椭圆中,,,a b c e 的几何意义，以及,,,a b c e 之间的相互关系例1.求椭圆222525x y +=的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标．【知识点：椭圆的几何性质】详解：把原方程化成标准方程：22125y x +=．这里5,1a b ==，所以25126c =-=．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是210a =和22b =，两个焦点分别是12(0,26),(0,26)F F -，椭圆的四个顶点是1212(0,5),(0,5),(1,0),(1,0)A A B B --．点拔：解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系求椭圆的几何性质．例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过点 ()3,0，离心率63e =； (2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的标准方程】详解： (1)若焦点在x 轴上，则3a =， ∵63c e a ==，2226,963c b a c ∴=∴=-=-=， ∴椭圆的方程为22193x y += 若焦点在y 轴上，则3b =，∵22296113c b e a a a ==-=-=解得 227a =.∴椭圆的方程为221279y x +=综上可知椭圆方程为22193x y +=或221279y x +=. (2)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．如图所示，12A FA ∆为等腰直角三角形，OF 为斜边12A A 的中线(高)，且12,2OF c A A b ==2224,32c b a b c ∴==∴=+=，故所求椭圆的方程为2213216x y +=. 点拔：利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，需要解决定位问题和定量问题.定位问题是由顶点、焦点可确定焦点在哪个坐标轴上，不能确定的要分情况讨论.定量问题可由长轴长、离心率、顶点坐标、焦点坐标来确定.利用离心率确定a ，b ，c 时，常用22=1c b e a a=-.例3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 是坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程．【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的标准方程】详解：∵椭圆的长轴长是6、且2c os 3O FA ∠=，∴点A 不是长轴的端点（是短轴的端点）．∴2, 3.33c OF c AF a ===∴=2222,325c b ∴==-=．∴椭圆的方程是：22195x y +=或22159x y +=．点拔：△OFA 是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b 、c ，斜边的长为a ，∠OFA 的余弦值是椭圆的离心率．问题探究三利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题 ●活动一求椭圆的离心率例4.12,F F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，11PF PQ PF PQ ⊥=且，求椭圆的离心率．【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的定义】解析由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆上两点与焦点连线的几何关系．②求椭圆的离心率．解答本题的关键是把已知条件化为,,a b c 之间的关系．详解：如图所示，设m PF =1，则1,2PQ m FQm ==.由椭圆定义得a QF QF PF PF 22121=+=+. 所以a Q F PQ PF 411=++.即()a m 422=+.所以()a m 224-=.又()a m a PF 22222-=-=.在12Rt PF F ∆中， 2212221F F PF PF =+.即()()222224224222c aa =-+-.所以()222962321,62c e a=-=-=-.点拔：求椭圆的离心率e 的值，即求ca的值，解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为,,a b c 之间的关系．如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、222c a b =-等关系都与离心率有直接联系，同时，,,a b c 之间是平方关系，所以，在求e 值时，也常先考查它的平方值． ●活动二椭圆中的最值问题例5.设P 为椭圆22221x y a b+=上任意一点，1F 为它的一个焦点，求1PF 的最大值和最小值．【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的定义】详解：设2F 为椭圆的另一焦点，则由椭圆定义得：a PF PF 221=+，122PF PF c -≤Q ，1222c PF PF c ∴-≤-≤，122222a c PF a c ∴-≤≤+，即c a PF c a +≤≤-1，1PF ∴的最大值为c a +，最小值为c a -.点拔：椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点，应掌握这一性质．例6.若AB 为过椭圆22221x y a b+=中心的弦，Fc （，0)为椭圆的右焦点，则AFB ∆ 的面积最大值是多少？【知识点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系】详解：设A 、B 两点的坐标分别为0000(,),(,)x y x y --，则：AFB OFB OFA S S S ∆∆∆=+001122c y c y =⋅⋅+⋅⋅-00122c y c y =⋅⋅=⋅．因为点A 、B 在椭圆22221x y a b+=上，所以点A 00(,)x y 的纵坐标0y 的最大值是0y b =．所以AFB S ∆的最大值为bc ．点拔：此题关键的地方是写出过椭圆中心的弦与椭圆交点的坐标，然后表示出相应面积． 3.课堂总结【知识梳理】依据椭圆的几何性质填写下表：标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)y x a b a b +=>> 图形性质焦点 12(,0),(,0)F c F c - 12(0,),(0,)F c F c -焦距 ()2212||2F F c c a b ==-()2212||2F F c c a b ==-范围 ,x a y b ≤≤,x b y a ≤≤对称性关于x 轴 ,y 轴 ,坐标原点对称顶点 (,0),(0,)a b ±±(0,),(,0)a b ±±轴长轴长2a ，短轴长2b【重难点突破】(1)根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．(2)通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中心)、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，通过数形结合的方式探究掌握椭圆的几何性质．(3)根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的思想方法．（4）如图所示在2Rt BF O V 中，a c O BF =∠2cos ，记ace =则10<<e ，e 越大，O BF 2∠越小，椭圆越扁；e 越小，O BF 2∠越大，椭圆越圆． 4.随堂检测1．已知点(,)m n 在椭圆228324x y +=，则24m +的取值范围是（）A ．423,423⎡⎤-+⎣⎦B ．43,43⎡⎤-+⎣⎦C ．422,422⎡⎤-+⎣⎦D ．42,42⎡⎤-+⎣⎦答案：A离心率()22101c b e e a a==-<<解析：【知识点：椭圆的几何性质】2．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（）A ．221169x y +=或221916x y += B ．221259x y +=或221259y x += C ．2212516x y +=或2212516y x +=D ．无法确定答案：C解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】3.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22B.212- C ．22- D.12- 答案：D解析：【知识点：椭圆的几何性质】设椭圆方程为()012222>>=+b a by a x 如图，∵)0,(1c F -，∴()P y c P ,-代入椭圆方程得12222=+b y a c P ，∴222a b y P =，∴2121F F a b PF ==，即c ab 22=，又∵222c a b -=，∴c ac a 222=-，∴0122=-+e e ，又10<<e ，∴12-=e . （三）课后作业基础型自在突破1．已知点(,1)A a 在椭圆22142x y +=的内部，则a 的取值范围是（） A. 22a -<< B. 22a a <->或 C ．22a -<< D ．11a -<< 答案： A解析：【知识点：椭圆的几何性质】2.若焦点在轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m =（） A. 3B.32C ．83D ．23答案：B解析：【知识点：椭圆的几何性质】3．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A. 14B.12C ．2D ．4 答案： A解析：【知识点：椭圆的几何性质】4. 已知椭圆的长轴长8，离心率为32，则椭圆的标准方程为（）Ａ．221 43x y+=B．221163x y+=或221163y x+=C．221 164x y+=D．221164x y+=或221164y x+=答案：D解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】5．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是______．答案：1 2解析：【知识点：椭圆的几何性质】6．椭圆的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，与离它较近的长轴端点的距离为105-，则此椭圆的方程为________________________.答案：222211 105510x y x y+=+=或解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】能力型师生共研7．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为()A. 22B.3 2C.5 3D.63答案：A解析：【知识点：椭圆的几何性质】8.已知22221(0)x y a b a b +=>>的两个定点为()(),0,0,A a B b ，且左焦点为,F FAB ∆是以B 为直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. 312- B. 512- C. 1+54D.3+14答案：B解析：【知识点：椭圆的几何性质】9. 以椭圆两焦点F 1、F 2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e 等于__________ 答案：22解析：【知识点：椭圆的几何性质】 10. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）与椭圆369422=+y x 有相同的焦距，且离心率为55．（2）长轴长是短轴长的2倍，且经过点()4,2-P ．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】（1）∵椭圆369422=+y x 的标准方程为：14922=+y x ， ∴5492=-=c ，∴该椭圆的焦距522=c ，5=c ．又∵55==a c e ，∴5=a ，252=a ．∴20525222=-=-=c ab ． ∴所求椭圆的方程为：1202522=+y x 或1202522=+x y ．（2）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或()012222>>=+b a bx a y ，由已知得b a 2=，且椭圆过点()4,2-， ∴1164422=+b b 或1441622=+bb ，解得172=b ，682=a 或82=b ，322=a ，∴所求的椭圆方程为1176822=+y x 或183222=+x y ．探究型多维突破11.已知A 、B 为椭圆C:2211y x m m+=+的长轴的两个端点,P 是椭圆C 上的动点,且APB ∠的最大值是23π,则实数m 的值等于( )A.312+B.312-C.12D.32-答案： C解析：【知识点：椭圆的几何性质】由椭圆性质知,当点P 位于短轴的端点时APB ,∠取得最大值, 则tan 1132m m m+π=⇒=.12. 设P 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，求椭圆的离心率的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的几何性质】解法一：如下图点P 是椭圆上的点，F 1，F 2是椭圆的焦点，由椭圆定义得a PF PF 221=+，① 在△F 1PF 2中，由余弦定理得21260cos 212212221=-+=︒PF PF F F PF PF . 即21222214PF PF c PF PF =-+. 由①得221222142a PF PF PF PF =++，所以22134b PF PF =⋅②. 由①和②根据基本不等式，得221212⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤⋅PF PF PF PF . 即2234a b ≤，又222c a b -=，故()22234a c a ≤-，解得21≥=a c e . 又1<e ，所以该椭圆的离心率e 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21.解法二：由解法一得出a PF PF 221=+①，22134b PF PF =⋅②. 由①②可知1PF ，2PF 是方程034222=+-b ax x 的两根．则有0344422≥⨯-=∆b a ，即()2222443c a b a -=≥，所以224a c ≥.所以21≥=a c e ，又1<e ，所以该椭圆离心率e 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21.解法三：设点()y x P ,，则ex a PF +=1，ex a PF -=2. 在△F 1PF 2中由余弦定理，得21260cos 212212221=-+=︒PF PF F F PF PF . 化简得222234ea c x -=，又因为a x a <<-. 2222340a e a c <-≤，即1314022<-≤ee ，解得121<≤e ，所以离心率的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21. 解法四：设椭圆交y 轴于B 1，B 2两点，则当点P 位于B 1或B 2处时，点P 对两焦点的张角最大，故︒≥∠60211F B F ，则︒≥∠3021F OB . 在Rt △OB 1F 2中2130sin sin 21=︒≥=∠a c F OB ，所以离心率e 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21. [点评] 本题根据椭圆定义及性质从不同角度应用了四种方法求椭圆离心率的范围，法一应用了基本不等式，法二构造一元二次方程，应用了方程思路，可谓奇思妙解，法三通过焦半径公式搭建起应用x 范围的桥梁，法四应用了极端思想使问题迅速得解，由此可见，在椭圆中建立不等关系的途径或方法还是比较多的，平时解题时需要根据已知条件灵活选择方法，达到快速而又准确地解答题目的目的．四、自助餐1. 已知点（3，2）在椭圆22221x y a b+=上，则（）．A ．点（－3，－2）不在椭圆上B ．点（3，－2）不在椭圆上C ．点（－3，2）在椭圆上D ．无法判断点（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在椭圆上答案：C解析：【知识点：椭圆的几何性质】2.椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程A.221 3616x y+=B.221 1636x y+=C.221 64x y+=D.221 64y x+=答案：A解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】3．椭圆221259x y+=上点P到右焦点的距离（）．A．最大值为5，最小值为4B．最大值为10，最小值为8C．最大值为10，最小值为6D．最大值为9，最小值为1答案：D解析：【知识点：椭圆的几何性质】点评：若椭圆上的点P到焦点的距离最小，则P点是椭圆的长轴离焦点近的端点，若椭圆上的点P到焦点的距离最大，则P点是椭圆的长轴离焦点远的端点4.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（）．A．221 8172x y+=B．221 819x y+=C．221 8145x y+=D．221 8136x y+=解析：【知识点：椭圆的标准方程，几何性质】5．椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 答案：C解析：【知识点：椭圆的几何性质】6.P 点在椭圆22143x y +=上运动，点Q 、R 分别在圆22(1)1x y ++=与22(1)1x y -+=上运动，则PQ PR +的最大值是（） A ．4 B ．6C ．27D ．523+ 答案：B解析：【知识点：椭圆的几何性质，圆的性质】7. 已知P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，若121210,tan 2PF PF PF F ⋅=∠=u u u r u u u u r ，则此椭圆的离心率为________．解析：【知识点：椭圆的几何性质】答案：538.已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_____________．答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0 解析：【知识点：椭圆的几何性质】9．椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率为512e -=，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个端点，则ABF ∠等于_____________．答案：90︒解析：【知识点：椭圆的几何性质】10．如图所示，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的几何性质】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c ，可得焦点为()0,1c F -、()0,2c F ，点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛b c 32,，∵Rt △MF 1F 2中，221MF F F ⊥， ∴2122221MF MF F F =+，即2122944MF b c =+，根据椭圆的定义得a MF MF 221=+，可得()222213222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=b a MF a MF ，∴222944322b c b a +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，整理得ab a c 384422-=，可得()ab c a 2322=-，所以ab b 232=，解得a b 32=， ∴a b a c 3522=-=，因此可得35==a c e ，即该椭圆的离心率等于35． 11. 动点M 到一个定点()0,c F 的距离和它到一条定直线c a x l 2:=的距离比是常数()10<<=e ace ，求动点M 的轨迹方程．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义】设()y x M ,，由题意得()ac ca x y c x =-+-222， ()()22222222c a a y a x c a-=+-，令222b c a =-，方程化为22221(0)x y a b a b +=>>∴所求动点的轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>> .12. P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 上异于长轴端点的任一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，求证：椭圆的离心率sin()sin sin e αβαβ+=+．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，标准方程，椭圆的几何性质】证明：在△12PF F 中，由正弦定理，得：1212sin sin sin[180()]PF PF F F βααβ==-+．由等比定理得1212sin sin sin()PF PF F F βααβ+=++，即：22sin sin sin()a cβααβ=++．∴sin()sin sin c e a αβαβ+==+．。

人教A版高中数学选修11椭圆的简单几何性质教案

课题：椭圆的简单几何性质（第一课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）探究椭圆的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法；（2）掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合思想方法解决实际问题。

2、过程与方法（1）通过椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理，理性思维的能力。

（2）通过掌握椭圆的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。

3、情感、态度与价值观通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。

二、教学重难点：1、教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程2、教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。

三、教学方法：本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。

先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在椭圆简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。

四、教学过程：（一）创设情景,揭示课题多媒体展示：模拟“嫦娥一号”升空,进入轨道运行的动画.解说：2007年10月24日，随着中国自主研制的第一个月球探测器——嫦娥一号卫星飞向太空，自强不息的中国航天人，又将把中华民族的崭新高度镌刻在太空中。

绕月探测，中国航天的第三个里程碑。

它标志着，在实现人造地球卫星飞行和载人航天之后，中国航天又向深空探测迈出了第一步。

“嫦娥一号”卫星发射后首先将被送入一个椭圆形地球同步轨道，这一轨道离地面最近距离为200公里，最远为5.1万公里，,而我们地球的半径R=6371km.根据这些条件,我们能否求出其轨迹方程呢?要想解决这个问题,我们就一起来学习“椭圆的简单几何性质”。

（教师结合多媒体动画展示，生动解说，提出问题。

高中数学人教A版选修1-1教案-2.1 椭圆_教学设计_教案

教学准备1. 教学目标教学目标：1.使学生了解并掌握椭圆的范围；2.使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心；3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、以及a、b、c的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距；4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义。

2. 教学重点/难点教学重点：掌握椭圆的几何性质教学难点：理解坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法3. 教学用具4. 标签教学过程一、知识回顾：复习：椭圆的标准方程下面我们将利用椭圆的标准方程（1）来研究椭圆的几何性质。

一、椭圆的几何性质：1. 范围：椭圆上点的坐标（x，y）满足于是知椭圆落在直线所围成的矩形中。

（如图所示）1. 对称性：⑴复习：如何判断曲线的对称性？⑵指明：标准方程表示的椭圆关于x轴、y轴及原点都对称；原点是椭圆的对称中心简称中心；x轴、y轴叫椭圆的对称轴。

非标准方程表示的椭圆的对称轴不是坐标轴，椭圆的对称轴不是坐标轴时，椭圆的方程不是标准方程，但无论椭圆在什么位置，它都有互相垂直的两条坐标轴, 都有中心.1. 顶点：观察：上图中，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即|B1F1|= |B2F1|= |B1F2|= |B2F2|=a在Rt△O B2F2中|OF2|2=| B2F2|2- |OB2|2 ,即c2= a2 -b24.离心率：（1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率; （2）范围：因为a>c>0,所以0<e<1;（3）说明：e的变化对椭圆的影响。

(课本P98)三、例题讲解：四、随堂练习：课本P102第1、2题。

五、课堂小结：椭圆的标准形式下的简单几何性质。

六、课后作业：P103习题8.2 第1，2，3题。

高中数学选修1-1教案-2.1.2 椭圆的简单几何性质(9)-人教A版

椭圆的简单几何性质第二课时（一）教学目标进一步掌握椭圆的几何性质，掌握椭圆的第二定义，能应用椭圆的第二定义解决椭圆的有关问题，明确椭圆的第一定义与椭圆的第二定义是等价的，可以互相推出．（二）教学过程【复习引入】前一节学习了椭圆的几何性质，哪一位同学回答：问题1．椭圆有哪些几何性质？问题2．什么叫做椭圆的离心率？以上两个问题学生的回答应该不会有大的问题．教师可进一步提出问题：离心率的几何意义是什么呢？让我们先来看一个问题．点()y x M ，与定点()0，c F 的距离和它到定直线c a x l 2=：的距离的比是常数ac（0>>c a ），求点M 的轨迹．【探索研究】椭圆的第二定义．（按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师板演．）解：设d 是点M 直线l 的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合a c d MF M P =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=由此得()ac x ca y c x =-+-222．将上式两边平方，并化简得()()22222222c a a y a x c a -=+-设222b c a =-，就可化成12222=+by a x ()c b a >>这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为a 2，短轴长为b 2的椭圆．由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()10<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．对于椭圆12222=+b y a x ()c b a >>，相应于焦点()0，c F 的准线方程是c a x 2=．根据椭圆的对称性，相应于焦点()0，c F -'的准线方程是ca x 2-=，所以椭圆有两条准线．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．至此教师可列出下表，由学生归纳．图形相同点长轴长a 2= 短轴长b 2=222b a c -= 离心率()10<<=e ace 不同点方程12222=+by a x ()c b a >> 12222=+bx a y ()c b a >> 焦点 ()01，c F -、()02，c F ()c F ，01、()c F ，02 顶点()01，a A -、()02，a A()b B -，01、()b B ，02()a A -，01、()a A ，02 ()01，b B -、()02，b B准线ca x 2±=ca y 2±=例1 求椭圆1422=+y x 的长轴与短轴的长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程．可请一位学生演板，教师纠正，答案为22=a ，12=b ，焦点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±230，F ，顶点()10±，，⎪⎭⎫ ⎝⎛±021，，23=e ，准线方程332±=y ．例2 已知椭圆13610022=+y x 上一点P 到其左、右焦点距离的比为1：3，求P 点到两条准线的距离．可在学生练习后请一位学生回答．解答如下：由椭圆标准方程可知10=a ，6=b ，∴ 8=c ，54=e ．由于2021=+PF PF ，123PF PF =． ∴51=PF ，152=PF ．设P 到左准线与右准线的距离分别为1d 与2d ，根据椭圆的第二定义，有542211==d PF d PF ∴4251=d ，4752=d ．即P 到左准线的距离为425，到右准线的距离为475．例3 已知椭圆13422=+y x 内有一点()11-，P ，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+的值最小，求M 的坐标．（如图）分析：若设()y x M ，，求出MF MP 2+，再计算最小值是很繁的．由于MF 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关．故有如下解法．解：设M 在右准线l 上的射影为1M ．由椭圆方程可知2=a ，3=b 1=c ，21=e ．根据椭圆的第二定义，有211=MM MF 即121MM MF =． ∴12MM MP MF MP +=+．显然，当P 、M 、1M 三点共线时，1MM MP +有最小值．过P 作准线的垂线1-=y ．由方程组⎩⎨⎧-==+1124322y y x 解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1362，M ．即M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1362，．（三）随堂练习1．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率是（） A ．41 B ．22 C ．42 D ．212．已知椭圆方程19422=++y m x 的一条准线方程是29=y ，则m 的值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．73．如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线l 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，l PD ⊥于D ，AO QF ⊥于F ．设椭圆的离心率为e ，则①PD PF e =； ②BF QF e =；③BO AO e =； ④BAAF e =；⑤AOFO e =．其中正确的个数是（）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：1．D 2．A 3．D （四）总结提炼1．列出椭圆的几何意义．（投影展示上表）．2．通过椭圆的第二定义，可进一步了解椭圆的离心率的几何意义，它反映椭圆的圆扁程度，决定着椭圆的形状．两准线间的距离为ca 22是不变量．（五）布置作业1．椭圆125922=+y x 的准线方程是（） A ．425±=x B ．516±=yC ．516±=x D ．425±=y 2．椭圆两焦点和中心将两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴两端点连线的夹角是（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°3．椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么P 到它右焦点的距离是（）A ．15B ．12C ．10D ．84．中心在原点，离心率为36，且一条准线方程是3=y 的椭圆方程是_____________． 5．求两对称轴都与坐标轴重合，离心率54=e ，焦点与相应准线的距离等于49的椭圆方程．6．点P 与定点()02，F 的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．答案：1．D 2．C 3．B 4．16222=+y x 5．192522=+y x 或192522=+x y 6．1121622=+y x ，轨迹为椭圆．（六）板书设计。

高中数学选修1-1教案-2.1.2 椭圆的简单几何性质(4)-人教A版

椭圆的简单几何性质第五课时（一）教学目标理解直线与椭圆的位置关系，能判定直线与椭圆的位置关系，会求直线截椭圆所得的弦长，处理与弦长、弦的中点有关的问题．（二）教学过程【情境设置】问题一：直线与圆的位置关系有几种？（相交、相切、相离），那么直线与椭圆的位置关系有几种？（仍是相交、相切、相离）问题二：如何判断直线与圆的位置关系？又怎样判定直线与椭圆的位置关系呢？（直线与圆位置关系有两种判定方法：一是根据圆心到直线的距离与圆的半径比较当r d <时相交，当r d =时相切，当r d >时相离，另一种判别方法是直线与圆联立方程组，转化为一元二次方程根的判别式来解决，当0>∆时，直线与圆相离直线与椭圆的位置关系应用一元二次方程根的判别式来解决．）【探索研究】1．练习：已知直线和椭圆的方程如下，求它们的交点坐标并说明位置关系．（1）025103=-+y x ，142522=+y x （2）023=+-y x ，141622=+y x 答案：（1）⎪⎭⎫⎝⎛583，相切（2）()20，，⎪⎭⎫⎝⎛--37703748，，相交． 2．例题分析例1 中心在原点，一个焦点为()5001，F 的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中点横坐标为21，求椭圆的方程．由于学生接触类似的问题不多，可教师讲解．解：设所求的椭圆方程为12222=+by a x ，()0>>b a由()5001，F 得5022=-b a ①把直线方程23-=x y 代入椭圆方程，整理得()()0412*******=-+-+a b x b x b a设弦的两个端点为()11y x A ，，()22y x B ，，则由根与系数关系得22221912b a b x x +=+．又AB 中点的横坐标为21． ∴2196222221=+=+b a b x x ．得223b a = ② 解①，②得752=a ，252=b ．故所求椭圆的方程为1257522=+x y ．例 2 过椭圆141622=+y x 内一点()12，M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程．分析：本例与例1有相似之征，可让一位学生板演，再提问学生是否有不同的解法，然后教师归纳出以下三种解法：解法一：设所求直线的方程为()21-=-x k y ，代入椭圆方程并整理，得()()()0161242142222=--+--+k x k k x k．设直线与椭圆的交点为()11y x A ，、()22y x B ，，则2x ，2y 是上述方程的两根，于是()14282222+-=+k kk y x ．又M 为AB 的中点∴()2142422221=+-=+k k k x x ．解得21-=k ．故所求直线的方程为042=-+y x ．解法二：设直线与椭圆的交点为()11y x A ，、()22y x B ，．∵()12，M 为AB 的中点 ∴421=+x x ，221=+y y ．又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x两式相减得()()0422212221=-++y y x x于是()()()()0421212121=-++-+y y y y x x x x ．∴()()21244421212121-=⨯-=-+-=--y y x x x x y y 即21-=AB k 故所求直线的方程为042=-+y x ．解法三设所求直线与椭圆的一个交点为()y x A ，，由于中点为()12，M ，则另一个交点为()y x B --24，． ∵A 、B 两点都在椭圆上． ∴16422=+y x ． ①()()1624422=-+-y x ②①－②得042=-+y x ．由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线的方程为042=-+y x ．例3 椭圆122=+ny mx ，与直线1=+y x 相交于A 、B 两点，C 是AB 的中点．若22=AB ，斜率为22（O 为原点），试确定椭圆的方程．（如图）分析：注意利用弦长公式2121x x k AB -+=，因为计算比较复杂，可由教师讲解．解法一：由方程组⎩⎨⎧=+=+1122y x ny mx 得()0122=-+-+n nx x n m 设()11y x A ，、()22y x B ，、()00y x C ，，则n m n x x +=+221 nm n x x +-=121 ()nm nn m n x x y y +=+-=+-=+22222121． ∴n m n x x x +=+=2210，n m ny y y +=+=2210 由题设得22=n m ① 又()2122121422x x x x x x AB -+=-=()n m n n m n +--⎪⎭⎫⎝⎛+=142222222=+-+⋅=nm mnn m ②解①、②得31=m ，32=n ．∴椭圆方程为132322=+y x ．解法二：由22=OC k 得OC 的方程为x y 22=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=122y x x y 解得()1222--，C ．又由⎩⎨⎧=+=+1122ny mx y x 得()()0122=-+-+n nx x n m ．所以22221-=+=+nm nx x 即m n 2= ①．又因为()[]()22112212=--+=x x AB 得()12=+-+n m mnn m ②，由①、②求出31=m ，32=n故所求椭圆方程为1323122=+y x ．解法三：由⎪⎩⎪⎨⎧=+=122y x x y 得()1222--，C ．因为1-=AB k ，所以直线的l 的倾斜角为135°．又知C 是AB 的中点，22=AB ，所以2==BC AC ．即()221，-A 同理求出点()2223--，B ．将A 、B 坐标代入椭圆方程122=+ny mx ，得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-1222312212222n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3231n m ．所以所求椭圆方程为1323122=+y x ．点拨：椭圆的两种形式的标准方程可统一写成()b a b a by ax ≠>>=+，，00122，强以避免对焦点位置的讨论，且使运算过程简化，而弦中点问题常使用韦达定理来解决．（三）随堂练习1．如果椭圆193622=+y x 的弦被点()24，平分，那么这条弦所在的直线的方程是（） A ．02=-y x B ．042=-+y x C ．01232=-+y x D ．082=-+y x2．已知直线m x y l +=2：，椭圆1422=+y x C ：（1）当m 为何值时，l 与C 有两个不同的交点？没有交点？（2）当m 为何值时，直线l 被椭圆C 所截的弦长为1720？答案：1．D 2．（1）1717<<-m ，17>m 或17-<m （2）32±m （四）总结提炼1．直线与椭圆的位置关系，一般是通过方程组转化为一元二次方程，运用一元二次方程的知识（如求根、判别式、根与系数关系）求得．2．要注意二次曲线与二次方程，二次函数三个二次之间的关系．（五）布置作业1．过点()02，-M 的直线l 与椭圆1222=+y x 交于1P 、2P 两点，线段1P 2P 的中点为P ，设直线l 的斜率为()011≠k k ，直线OP 的斜率为2k ，则21k k 的值等于（）A ．2B ．－2C ．21 D ．21- 2．直线1+=kx y 与椭圆1522=+m y x 恒有公共点，则m 的取值范围是（） A ．()10，B ．()50，C ．[)()∞+，，551D ．()∞+，1 3．已知椭圆C 的方程为()0116222>=+m my x ，如果直线x y 22=与椭圆的一个交点P 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为（）A ．2B ．22C ．32D ．84．求与椭圆14922=+y x 相交于A 、B 两点，并且线段AB 的中点为()11，M 的直线方程．5．已知椭圆204522y x +的焦点分别是1F 、2F ，过中心O 作直线与椭圆相交于A 、B 两点，若要使2ABF ∆的面积是20，求该直线方程．答案：1．D 2．C 3．B4．设A 、B 的坐标分别为()11y x ，，()22y x ， ∵点A 、B 都在椭圆上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+②149①14922222121y x y x①－②得()()04921212121=-++++y y y y x x x x ∵AB 的中点为()11，M ∴221=+x x ，221=+y y∴942121-=--x x y y ，即直线AB 的斜率为94-．∴所求直线方程为()1194+--=x y 即01394=-+y x 5．易求得()052，F ，设直线AB 方程为my x =，代入椭圆方程得： ()900452022=+y my 即()0900452022=-+y m∴452060221+=-m y y ．∴45201502122122+=-⋅=∆m y y OF S ABF ．由2045201502=+m 得43±=m ，∴直线AB 的方程为y x 43±=即034=±y x ．（六）板书设计。