2019高三数学知识点：常用公式(13)精品教育.doc

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高三必背数学知识点公式

高三必背数学知识点公式一、代数运算1. 加法公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^22. 幂的性质：a^m * a^n = a^(m + n)(a^m)^n = a^(mn)a^(-m) = 1 / a^m3. 根式的性质：√(a * b) = √a * √b√(a / b) = √a / √b(√a)^2 = a4. 二次根式的展开和收集：√(a + b) ≠ √a + √b(√a + √b)(√a - √b) = a - b5. 平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)6. 二次方程求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a7. 余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC8. 正弦定理：a / sinA =b / sinB =c / sinC二、几何图形相关公式1. 长方形的面积和周长：面积 S = 长 a * 宽 b周长 P = 2a + 2b2. 正方形的面积和周长：面积 S = a^2周长 P = 4a3. 圆的面积和周长：面积S = πr^2周长C = 2πr4. 圆柱体的体积和表面积：体积V = πr^2h表面积A = 2πrh + 2πr^25. 直角三角形特殊关系：勾股定理：a^2 + b^2 = c^26. 同位角与内错角关系：同位角相等，内错角互补：∠A = ∠B ⇒∠C = ∠D, ∠E = 180° - ∠B7. 圆锥的体积和表面积：体积V = (1/3)πr^2h表面积A = πrl + πr^2三、三角函数和三角恒等式1. 三角函数的基本关系：sinθ = 对边 / 斜边cosθ = 临边 / 斜边tanθ = 对边 / 临边2. 三角函数的正负：第一象限：sinθ > 0, cosθ > 0, tanθ > 0第二象限：sinθ > 0, cosθ < 0, tanθ < 0第三象限：sinθ < 0, cosθ < 0, tanθ > 0第四象限：sinθ < 0, cosθ > 0, tanθ < 03. 三角函数的周期性：sin(θ + 2πn) = sinθcos(θ + 2πn) = cosθtan(θ + πn) = tanθ4. 三角函数的和差化积：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)5. 三角函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos^2θ - sin^2θtan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)四、概率和统计相关公式1. 排列公式：A(n, m) = n! / (n - m)!2. 组合公式：C(n, m) = n! / (m!(n - m)!)3. 互斥事件的概率公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)4. 独立事件的概率公式：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)5. 条件概率公式：P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)总结：以上是高三数学知识点公式的概要，掌握这些公式对于成功备战高考至关重要。

高三知识点归纳数学公式大全

高三知识点归纳数学公式大全在高三学习数学时，掌握数学公式是非常重要的。

数学公式是我们解题过程中的工具，可以帮助我们更好地理解问题、推导出解题方法并得到准确的答案。

为了方便大家学习和温习，以下是一些高三数学中常见的公式归纳。

一、函数与方程1. 二次函数的顶点坐标公式：对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点的横坐标为x=-\frac{b}{2a}，纵坐标为y=-\frac{D}{4a}，其中D=b^2-4ac为判别式。

2. 一次函数的斜率公式：对于一般形式的一次函数y=kx+b，其斜率为k，表示函数的倾斜程度。

两点之间的斜率公式为k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}。

3. 二次方程的求根公式：对于一般形式的二次方程ax^2+bx+c=0，其解为x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}。

根的个数与判别式D=b^2-4ac的大小有关。

4. 指数函数的性质：a^0=1，a^n=a^{n-1}\cdot a，\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}。

二、几何与三角1. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

如果两个三角形的对应角相等且对应边成比例，那么它们是相似的。

2. 三角函数的基本关系：正弦定理：\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}。

余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bc\cos A。

正切定理：\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}。

3. 圆的性质：圆心角的弧度表示为S=r\theta，其中r为半径，\theta为角度；圆的弧长与半径和圆心角的关系为C=2\pi r。

4. 角的平分线定理：一个角的平分线把这个角分成两个大小相等的角。

三、概率与统计1. 事件的概率公式：对于随机试验的某个事件A，其概率表示为P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}，其中n(A)为事件A的样本点数目，n(S)为样本空间中的样本点总数目。

高三数学必背公式大全

高三数学必背公式大全1. 二次函数的顶点公式：二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为 (-b/2a, -Δ/4a) （其中Δ=b²-4ac）2. 二次方程的根公式：若ax²+bx+c=0（a≠0），则x=[-b±√(b²-4ac)]/2a3. 平面直角坐标系中两点之间的距离：设两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则AB的距离为√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]4. 两点之间的中点坐标：设两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则AB的中点坐标为[(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2]5. 二次函数的判别式：对于二次函数y=ax²+bx+c，判别式Δ=b²-4ac可以判断二次函数的图象与x轴的交点情况- 当Δ>0时，函数有两个不相等的实根- 当Δ=0时，函数有两个相等的实根- 当Δ<0时，函数没有实根6. 直线的斜率公式：设直线L过点A(x₁, y₁)且斜率为k，设点B(x, y)在直线L上，则直线L的斜率为k=(y-y₁)/(x-x₁)7. 直线的点斜式：设直线L过点A(x₁, y₁)且斜率为k，直线L的点斜式方程为y-y₁=k(x-x₁)8. 平行线斜率性质：若直线L₁与直线L₂平行，则它们的斜率相等9. 垂直线斜率性质：若直线L₁与直线L₂垂直，则它们的斜率乘积为-110. 三角函数和三角恒等式：- sin²θ+cos²θ=1- tan²θ+1=sec²θ- 1+cot²θ=csc²θ11. 三角函数和三角和差公式：- sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB- cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB- tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)12. 三角函数和二倍角公式：- sin2θ=2sinθcosθ- cos2θ=cos²θ-sin²θ=2cos²θ-1=1-2sin²θ - tan2θ=(2tanθ)/(1-tan²θ)13. 任意角的三角函数公式：- sin(-θ)=-sinθ- cos(-θ)=cosθ- tan(-θ)=-tanθ- sin(π/2±θ)=cosθ- cos(π/2±θ)=-sinθ- tan(π/2±θ)=-cotθ14. 三角函数和平方和差公式：- sin²θ+cos²θ=1- cos²θ-cos²θ=cos2θ- sin²θ-cos²θ=-cos2θ- 1+tan²θ=sec²θ- 1+cot²θ=csc²θ15. 相似三角形的性质：- 相似三角形对应角相等，对应边成比例- 相似三角形的两条边之比等于对应边之比- 相似三角形的周长之比等于对应边之比- 相似三角形的面积之比等于对应边平方之比 - 相似三角形的高线之比等于对应边之比16. 直角三角形的性质：- 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和- 边角关系：直角的两个锐角的正弦值、余弦值、正切值互为倒数- 特殊角函数值：30°∶45°∶60°三角函数值为√3/2∶1/√2∶1/2 - 倍角、半角、和差公式在直角三角形中的特殊性质。

高三数学必背公式知识点

高三数学必背公式知识点在高三数学学习中，公式是必不可少的一部分。

掌握并理解这些公式不仅能够帮助我们解决各种数学问题，还能提高我们的数学思维和解题能力。

本文将为大家整理并介绍高三数学中必须要背诵的公式知识点，以便帮助大家高效备考。

一、代数知识1. 二次方程的解法公式：对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，其解可以通过以下公式求得：x1,2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中±表示可以取正负号。

2. 三角函数公式：正弦函数公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB余弦函数公式：cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB正切函数公式：tan(A±B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB) 3. 平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)二、几何知识1. 相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。

2. 重要的勾股定理：在右三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

c^2 = a^2 + b^23. 圆的周长和面积公式：圆周长公式：C = 2πr圆面积公式：S = πr^2三、概率与统计知识1. 排列组合公式：从n个不同元素中，取出m个元素按照一定的顺序排列时，排列数为：A(n,m) = n! / (n-m)!从n个不同元素中，取出m个元素按照任意顺序排列时，组合数为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)2. 二项式定理：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n)b^n其中C(n,m)表示从n个元素中选出m个元素的组合数。

3. 正态分布的标准差公式：正态分布的标准差公式为：σ = √(1/n ∑(xᵢ-µ)²)其中xᵢ表示第 i 个观测值，µ表示平均值，n表示总观测数。

高三数学知识点公式总结大全

高三数学知识点公式总结大全高三是每个学生都经历过的一个重要的阶段，而数学则是其中最为关键和复杂的科目之一。

为了帮助高三学生们更好地复习数学知识，我将在本文中总结一些重要的数学知识点公式，希望对学生们有所帮助。

一、代数与函数1. 一元二次方程的求解公式：对于一元二次方程ax²+bx+c=0，它的解可以通过以下公式求得：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)2. 因式分解公式：(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²a²-b²=(a+b)(a-b)3. 二次函数的顶点坐标公式：对于一般式的二次函数y=ax²+bx+c，它的顶点坐标可以通过以下公式计算：x=-b/(2a)y=f(x)=-∆/(4a)，其中∆表示抛物线的判别式。

二、三角学1. 三角函数的定义：sinθ=opposite/hypotenusecosθ=adjacent/hypotenusetanθ=opposite/adjacent2. 三角函数的基本关系：sin²θ+cos²θ=1tanθ=sinθ/cosθ3. 三角函数的和差公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ三、数列与数列极限1. 等差数列通项公式：对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差，an表示第n项。

2. 等比数列通项公式：对于等比数列an=a1×r^(n-1)，其中a1表示首项，r表示公比，an表示第n项。

3. 常用数列求和公式：等差数列前n项和：Sn=(a1+an)n/2等差数列前n项和：Sn=a1(r^n-1)/(r-1)四、微积分1. 导数的定义：导数是函数在某一点上的变化率，记作f'(x)或dy/dx。

高三数学公式知识点大全

高三数学公式知识点大全一、函数与方程1. 一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 02. 一元二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3. 求两个数的和与积：若a和b是两个数，其和为a + b，积为ab。

4. 二次函数的标准形式：y = ax^2 + bx + c5. 二次函数的顶点坐标：若二次函数的标准形式为y = ax^2 + bx + c，则顶点的横坐标为x = -b / (2a)，纵坐标为y = -(b^2 - 4ac) / (4a)二、立体几何1. 圆的面积公式：S = πr^2 （其中，S表示圆的面积，r表示圆的半径）2. 圆的周长公式：C = 2πr （其中，C表示圆的周长，r表示圆的半径）3. 球的表面积公式：S = 4πr^2 （其中，S表示球的表面积，r表示球的半径）4. 球的体积公式：V = (4/3)πr^3 （其中，V表示球的体积，r表示球的半径）5. 直角三角形的勾股定理：a^2 + b^2 = c^2 （其中，a、b表示直角三角形的两个直角边，c表示直角三角形的斜边）三、导数与微分1. 函数求导法则：(a) 常数函数的导数为0；(b) 幂函数y = xn的导数为ny^{(n-1)}；(c) 指数函数y = a^x的导数为a^x * ln(a)；(d) 对数函数y = log_a(x)的导数为1 / (xln(a))；(e) 三角函数的导数根据具体函数不同而不同。

2. 链式法则：若y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)3. 微分与导数的关系：当函数y = f(x)在点x处可导时，其微分dy满足dy = f'(x) * dx4. 泰勒公式：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + (1/2!)f''(a)(x - a)^2 + ... + (1/n!)f^n(a)(x - a)^n四、概率与统计1. 概率的计算公式：P(A) = N(A) / N(S) （其中，P(A)表示事件A发生的概率，N(A)表示事件A包含的有利结果数目，N(S)表示样本空间中可能的结果数目）2. 排列计算公式：A(n, m) = n! / (n - m)! （其中，A(n, m)表示从n个元素中取出m个元素的排列数）3. 组合计算公式：C(n, m) = n! / (m!(n - m)!) （其中，C(n, m)表示从n个元素中取出m个元素的组合数）4. 期望值的计算公式：E(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xn * pn （其中，E(X)表示随机变量X的期望值，xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取xi 的概率）五、数列与级数1. 等差数列通项公式：an = a1 + (n - 1)d2. 等差数列前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(a1 + a1 + (n - 1)d)3. 等比数列通项公式：an = a1 * r^(n - 1)4. 等比数列前n项和公式：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)5. 等差数列的求和公式：S = (n/2)(a + l) （其中，S表示等差数列的和，n表示项数，a 表示首项，l表示末项）以上是高三数学中常用的公式知识点大全，掌握了这些公式，相信可以更好地应对高中数学的考试和解题。

高三知识点总结数学公式

高三知识点总结数学公式数学在高三阶段是一个非常重要的学科，而掌握数学公式是解决问题的关键。

下面是高三数学知识点总结的数学公式：一、代数公式1. 平方差公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$2. 二次方程求根公式：对于二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，它的解为$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$3. 因式分解公式：已知 $a,b,c$ 为实数，且 $ac > 0$，则$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$其中，$\alpha$ 和 $\beta$ 是二次方程的两个根4. 比例公式：若 $a : b = c : d$，则有$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$5. 三角函数正弦定理：在任意三角形 $ABC$ 中，设 $a,b,c$ 分别为三角形的三边，$\alpha,\beta,\gamma$ 分别为对应的内角，则$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} =\frac{c}{\sin(\gamma)}$6. 三角函数余弦定理：在任意三角形 $ABC$ 中，设 $a,b,c$ 分别为三角形的三边，$\alpha,\beta,\gamma$ 分别为对应的内角，则$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$二、几何公式1. 面积公式：长方形的面积公式为 $A = l \times w$，其中 $l$ 和 $w$ 分别代表矩形的长度和宽度2. 直角三角形斜边公式：在一个直角三角形中，斜边的长度可以通过勾股定理计算，即$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，其中 $a$ 和 $b$ 分别代表直角三角形的两个直角边的长度3. 圆的面积公式：圆的面积可以通过半径计算，公式为 $A = \pi r^2$，其中$r$ 代表圆的半径4. 角度和公式：一个多边形的内角和可以通过公式计算，公式为 $180° \times (n-2)$，其中 $n$ 代表多边形的边数5. 正多边形内角公式：一个正 $n$ 边形的内角可以通过公式计算，公式为 $(n-2)\times 180° / n$，其中 $n$ 代表正多边形的边数三、微积分公式1. 导数规则：* 常数导数：$d/dx (c) = 0$，其中 $c$ 为常数* 幂函数导数：$d/dx (x^n) = n \cdot x^{n-1}$，其中 $n$ 为常数* 和差法则：$d/dx (f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$，其中$f(x)$ 和 $g(x)$ 为函数* 乘法法则：$d/dx (f(x) \cdot g(x)) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$，其中 $f(x)$ 和 $g(x)$ 为函数* 除法法则：$d/dx (\frac{f(x)}{g(x)}) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$，其中 $f(x)$ 和 $g(x)$ 为函数2. 积分规则：* 定积分：$\int_{a}^{b} f(x) dx$，表示从 $a$ 到 $b$ 的函数$f(x)$ 的面积* 不定积分：$\int f(x) dx$，表示函数 $f(x)$ 的原函数通过掌握这些数学公式，高三的学生们可以更加熟练地解题，提高数学能力。

高三数学必背公式和知识点

高三数学必背公式和知识点数学是高中阶段学习中重要的一门学科，对于高三学生来说，熟悉并掌握数学的基本公式和知识点是提高学习效率和成绩的关键。

下面将介绍高三数学必背的一些公式和知识点。

一、导数与微分1. 基本导数公式- 若$f(x)=k$，则$f'(x)=0$；- 若$f(x)=x^n$，则$f'(x)=nx^{n-1}$；- 若$f(x)=e^x$，则$f'(x)=e^x$；- 若$f(x)=\ln{x}$，则$f'(x)=\frac{1}{x}$；- 若$f(x)=\sin{x}$，则$f'(x)=\cos{x}$。

2. 常用导数公式- $(a^x)'=a^x\ln{a}$；- $(\log_a{x})'=\frac{1}{x\ln{a}}$；- $(\sin{x})'=\cos{x}$；- $(\cos{x})'=-\sin{x}$；- $(\tan{x})'=\sec^2{x}$。

3. 高阶导数公式- $(x^n)'=nx^{n-1}$；- $(\sin{x})^{(n)}=\sin{(x+n\pi/2)}$；- $(\cos{x})^{(n)}=\cos{(x+n\pi/2)}$。

4. 微分- 若$y=f(x)$，则$dy=f'(x)dx$；- 微分的四则运算法则：$(u\pm v)'=u'+v'$，$(uv)'=u'v+uv'$。

二、积分与定积分1. 基本积分公式- $\int kdx=kx$；- $\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C, (n\neq -1)$；- $\int \frac{1}{x}dx=\ln{|x|}+C$。

2. 常用积分公式- $\int e^xdx=e^x+C$；- $\int \sin{xdx}=-\cos{x}+C$；- $\int \cos{xdx}=\sin{x}+C$；- $\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan{x}+C$；- $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin{x}+C$。

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高中数学公式大全（最全面，最详细）高中数学公式大全抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x+h）* + k就是y等于a乘以（x+h）的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆：体积=4/3(pi）(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA ^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tan A^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tan A^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA ^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-2 0*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA ^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+ 45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^21*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S＝ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝√[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S＝√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶）| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形 a—边长 C＝4aS＝a2长方形 a和b－边长 C＝2(a+b)S＝ab三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2?sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a+b）÷2 s=l×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

高三数学知识点及公式

高三数学知识点及公式在高三学习阶段，数学知识点和公式是必须掌握的重要内容。

本文将介绍一些高三数学的核心知识点和常用公式，帮助同学们系统地学习和应用数学知识。

一、函数与方程1. 一次函数：一次函数是形如y = kx + b的函数，其中k为斜率，b为截距。

一次函数的图像是一条直线。

- 斜率公式：k = （y₂ - y₁）/（x₂ - x₁）- 截距公式：b = y - kx （已知点和斜率）2. 二次函数：二次函数是形如y = ax²+ bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像是一条抛物线。

- 零点公式：x = （-b ± √(b² - 4ac)）/ 2a （求方程ax² + bx + c= 0的根）- 顶点公式：h = -b / (2a)，k = c - b² / (4a) （二次函数的顶点坐标为(h, k)）3. 指数函数：指数函数是以某个常数为底的幂函数，形如y = a^x，其中a > 0 且a ≠ 1。

指数函数的图像是递增或递减的曲线。

- 对数定义：logₐM = x 意味着 a^x = M- 对数性质：logₐ(MN) = logₐM + logₐN，logₐ(M/N) = logₐM - logₐN，logₐ(M^p) = plogₐM二、三角函数1. 正弦函数：正弦函数是一个周期函数，表示为y = Asin(Bx -C) + D，其中A为振幅，B为周期，C为横向平移量，D为纵向平移量。

- 正弦函数的周期：T = 2π / B- 正弦函数的相位：ϕ = C / B2. 余弦函数：余弦函数也是一个周期函数，表示为y = Acos(Bx - C) + D。

余弦函数与正弦函数的图像具有相似的形状。

- 余弦函数的周期、相位与正弦函数相似。

3. 切线函数：切线函数是正弦函数或余弦函数的导函数，表示为y = A(±cos(Bx - C)) + D，其中A和B为常数，C为相位差，D为垂直方向平移量。

高三数学知识点总结公式

高三数学知识点总结公式在高三数学学习中，掌握各个知识点的公式是非常重要的。

下面将为您总结一些高三数学知识点的重要公式。

一、代数与函数1. 二次函数的顶点坐标公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

2. 两点间距离公式：对于两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其距离公式为d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]。

3. 二项式展开公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³4. 指数函数与对数函数的关系：a^m * a^n = a^(m + n)log_a(mn) = log_a(m) + log_a(n)log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)log_a(m^n) = n * log_a(m)二、几何与三角函数1. 直角三角形中的三角函数公式：sinθ = 对边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 对边/邻边2. 正弦定理：在三角形ABC中，a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长。

3. 余弦定理：在三角形ABC中，c² = a² + b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角的余弦值。

4. 正切定理：在三角形ABC中，a/(b+c) = tan(A/2) / tan(B/2)，其中a、b、c 为三角形的边长。

三、微积分1. 导数公式：(a * f(x))' = a * f'(x)(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)2. 不定积分公式：∫kdx = kx + C∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n不等于-1)∫e^x dx = e^x + C∫sin(ax) dx = -1/a * cos(ax) + C∫cos(ax) dx = 1/a * sin(ax) + C此外，高三数学还涉及到概率与统计、复数、向量等知识点，涉及的公式较多，上述公式仅为常用的一部分。

高三必备数学知识点公式

高三必备数学知识点公式在高三数学学习中，掌握并熟练运用各类数学知识点和公式是至关重要的。

下面将列举一些高三必备的数学知识点和公式，希望对同学们的学习有所帮助。

1. 代数知识点和公式- 二项式定理：$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n$- 因式分解：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$- 一元二次方程的求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$- 二次函数的顶点公式：顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$2. 几何知识点和公式- 直角三角形勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，其中$A$、$B$、$C$为对应的内角，$a$、$b$、$c$为对应的边长。

- 余弦定理：$c^2 = a^2 +b^2 - 2ab\cos C$- 面积公式：三角形的面积$A=\frac{1}{2}ab\sin C$，平行四边形的面积$A = bh$，圆的面积$A=\pi r^2$3. 概率与统计的知识点和公式- 事件的概率：事件$A$发生的概率$P(A) =\frac{N(A)}{N(S)}$，其中$N(A)$表示事件$A$发生的次数，$N(S)$表示样本空间的大小。

- 随机变量：随机变量$X$的期望值$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p(x_i)$，其中$x_i$为随机变量$X$的取值，$p(x_i)$为随机变量$X$取$x_i$值的概率。

- 正态分布：正态分布的概率密度函数为$f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$4. 导数与微分的知识点和公式- 函数求导法则：常数函数求导为0，幂函数求导为$nx^{n-1}$，指数函数求导为$e^x$，对数函数求导为$\frac{1}{x}$，三角函数求导为$\cos x = -\sin x$，$\sin x = \cos x$，$\tan x = \sec^2 x$ - 高阶导数：函数$f(x)$的$n$阶导数记作$f^{(n)}(x)$- 微分中值定理：函数$f(x)$在区间$(a,b)$连续，在$(a,b)$内可导，那么至少存在一点$c\in(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$5. 极限的知识点和公式- 极限的定义：$\lim_{x \to a} f(x) = L$表示当$x$无限靠近$a$时，函数$f(x)$的极限等于$L$- 常用极限公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$- 极限的四则运算：若$\lim_{x \to a} f(x) = A$，$\lim_{x \to a} g(x) = B$，则$\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = A \pm B$，$\lim_{x\to a} (f(x)g(x)) = AB$，$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\frac{A}{B}$以上是一些高三数学学习中必备的数学知识点和公式，希望同学们能够加强对这些知识的理解和掌握，提高数学解题的能力。

高考数学必考必背公式全集

一、对数运算公式。
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7.
8. 9. 10.
二、三角函数运算公式。
1. 同角关系:
2.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
3.两角和差公式:
二倍角公式:
4.辅助角公式：，其中，
5. 降幂公式（二倍角余弦变形）:
6.角函数定义：角中边上任意一点为，设则：
三、三角函数图像与性质。
19.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种
若，则
点在圆外; 点在圆上; 点在圆内.
函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是 .
十一.圆锥曲线方程
1.椭圆：①方程 (a>b>0);②定义: |PF1|+|PF2|=2a>2c； ③e= ④长轴长为2a，短轴长为2b；⑤a2=b2+c2；
两点间距离公式 2.斜率公式（、）.
16.直线方程
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为 )．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）一般式 (其中A、B不同时为0).
1.两点间距离公式
3.点到直线距离公式 4.平行线间距离公式
圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 ( ＞0).
4.弦长公式：；
5过两点椭圆、双曲线标准方程可设为：（同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；
十二求导公式及运算法则。
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
六、向量公式。
设则
· = =
∥ ⊥
两个向量、的夹角公式：
七、均值不等式。

高三数学公式知识点总结

高三数学公式知识点总结数学是一门需要掌握大量公式的学科，而在高三阶段，数学公式的掌握尤为重要。

下面是对高三数学公式知识点的总结。

一、代数运算公式1. 二项式定理(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,r)a^(n-r)b^r + ... + C(n,n)b^n2. 平方差公式(a + b)(a - b) = a^2 - b^23. 公式a^n - b^n的因式分解公式a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + a^(n-3)b^2 + ... + a^(n-r)b^r + ... + b^n)4. 一元二次方程求解公式对于方程ax^2 + bx + c = 0，其根的公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a5. 数列求和公式(1) 等差数列求和公式：若数列首项为a1，公差为d，项数为n，则等差数列的和为：Sn = n/2(a1 + an)，其中an为最后一项。

(2) 等比数列求和公式：若数列首项为a1，公比为q，项数为n，则等比数列的和为：Sn = a1(q^n - 1)/(q - 1)二、几何公式1. 直角三角形的勾股定理在直角三角形ABC中，设a、b、c分别为BC、AC、AB的边长，其中C为直角：c^2 = a^2 + b^22. 正弦定理在三角形ABC中，a、b、c分别为BC、AC、AB的边长，A、B、C分别为对应的角度：a/sinA = b/sinB = c/sinC3. 余弦定理在三角形ABC中，a、b、c分别为BC、AC、AB的边长，A、B、C分别为对应的角度：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC4. 面积公式(1) 三角形面积公式：设三角形ABC的底边为a，高为h，则三角形的面积为： S = 1/2ah(2) 圆的面积公式：设圆的半径为r，则圆的面积为：S = πr^2(3) 椭圆的面积公式：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则椭圆的面积为：S = πab三、微积分公式1. 导数公式(1) 基本导数公式：(a) (k)' = 0，其中k为常数；(b) (x^n)' = nx^(n-1)，其中n为正整数；(c) (sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2x，(cotx)' = -csc^2x。

2019年高考数学常用公式汇总

2019年高考数学常用公式汇总1.减少了一些明显有问题的段落，将剩余段落进行了小幅度的改写。

2019年高考数学常用公式汇总一、函数1.集合A中有n（n∈N）个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2^n，所有非空真子集的个数是2^n-2.注：减一个真子集，减一个空集。

2.二次函数y=ax^2+bx+c的图像的对称轴方程是x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)。

二、三角函数3.诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。

（正负看原来的三角比）函数y=Asin(ωx+φ)+B（其中A>0，ω>0）的最大值是A+B，最小值是B-A，周期是T=2π/ω，频率是f=1/T，相位是ωx+φ，初相是φ。

4.在三角形ABC中，sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC，tan(A+B)=-tanC。

三、数列1.等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，Sn=n[2a1+(n-1)d]/2.2.等比数列的通项公式是an=a1q^(n-1)，前n项和公式是Sn=a1(q^n-1)/(q-1)（q≠1），Sn=na1（q=1）。

3.若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，那么：当数列{an}是等差数列时，有am+an=ap+aq；当数列{an}是等比数列时，有am*an=ap*aq。

四、排列组合1.加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？加法分类，类类加；乘法分步，步步乘。

2.排列数公式是：An^m=n(n-1)…(n-m+1)=n!/（n-m)。

组合数公式是：Cn^m=An^m/m!=n!/[m!(n-m)!]。

3.组合数性质：Cn^m=Cn^(n-m)，Cn^m+Cn^(m-1)=Cn^(m+1)，Cn^m=Cn^(m-1)+Cn-1^m-1.五、解析几何1.AB=|x2-x1|是数轴上两点间距离公式。

2.P1P2=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]是直角坐标平面内的两点间距离公式。

高三数学常用公式及知识点

高三数学常用公式及知识点在高三数学学习过程中，我们会遇到许多重要的公式和知识点，掌握它们对于我们的考试备考和日常学习都非常重要。

以下是一些常用的高三数学公式和知识点的整理，希望对同学们的学习有所帮助。

1. 二次函数的顶点坐标公式：对于一般形式的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其顶点的坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))。

2. 三角函数的基本关系：(1) 正弦定理：在任意三角形 ABC 中，边长和对应的正弦之间满足 a/sinA = b/sinB = c/sinC。

(2) 余弦定理：在任意三角形 ABC 中，边长和对应的余弦之间满足 c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。

(3) 正切定理：在任意三角形 ABC 中，边长和对应的正切之间满足 (a+b)/(a-b) = tan[(A+B)/2] / tan[(A-B)/2]。

3. 向量的点积：对于向量 A = (a1, a2) 和向量 B = (b1, b2)，其点积公式为 A·B = a1b1 + a2b2。

4. 空间几何的直线方程：对于直线 L，设其通过点 P0(x0, y0, z0)，且与向量 v(a, b, c) 平行，则直线 L 的方程可表示为(x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c。

5. 对数与指数函数的性质：(1) a^x = b 可以转化为x = logₐ(b)。

(2) 对数函数的性质：- logₐ(1) = 0；- logₐ(a) = 1；- logₐ(a⋅b) = logₐ(a) + logₐ(b)；- logₐ(a/b) = logₐ(a) - logₐ(b)；- logₐ(a^b) = b⋅logₐ(a)。

6. 导数与微分的基本公式：(1) 求导法则：- (c)' = 0，其中 c 为常数；- (a⋅x^n)' = a⋅n⋅x^(n-1)，其中 a 为常数；- (sinx)' = cosx；- (cosx)' = -sinx；- (e^x)' = e^x；- (lnx)' = 1/x。

高考数学常用知识点公式

高考数学常用知识点公式数学作为高考的一门重要科目，对于很多学生而言都是一座大山。

要想在高考中取得好的成绩，熟练掌握数学的基本知识点和公式是必不可少的。

本文将介绍一些高考数学中常用的知识点和公式，希望对广大考生有所帮助。

1. 复数运算复数在高考中出现的频率相对较高，因此对于复数的运算要熟练掌握。

其中，复数的加减乘除运算公式为：（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a+bi）×（c+di）=(ac-bd)+(ad+bc)i（a+bi）÷（c+di）=（ac+bd）/（c²+d²）+（bc-ad）/（c²+d²）i2. 指数和对数指数和对数是数学中的基本运算法则。

在高考中常见的指数与对数公式有：a^m × a^n = a^(m+n)a^（m-n）= a^m ÷ a^n（a^m）^n = a^(m×n)a^0 = 1loga (mn) = loga m + loga nloga (m/n) = loga m - loga nloga (m^n) = n × loga mloga 1 = 03. 三角函数三角函数是高考中经常涉及到的内容，特别是求解三角函数的基本关系式和导数是重点。

常用的三角函数公式包括：sin（α ± β）= sinα cosβ ± cosα sinβcos（α ± β）= cosα cosβ ∓ sinα sinβtan（α ± β）=（tanα ± tanβ）/（1 ∓ tanα tanβ）sin^2α + cos^2α = 1cot^2α + 1 = csc^2α1 + tan^2α = sec^2α4. 几何相关公式在解几何题时，不同几何图形的面积和体积公式是得出结论的关键。

2019年高考必备高中数学常用公式及常用结论

高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔= 4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N >--.8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k a bk k <-<+.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a bx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}m i n m a x m a x ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=；[]q p a bx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}mi n ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a b x ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是00a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.14.四种命题的相互关系原命题逆命题若ｑ则ｐ互否逆逆若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b a x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m +=对称.(3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f k y -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f k y -=的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()loga f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，0()(0)1,lim 1x g x f x →==.29.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)mn a =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1mnm naa -=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）n a =. （2）当n为奇数时，a =；当n为偶数时，,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. 32．有理指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r sa a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rsa a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈.注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>. 34.对数的换底公式log log log m a m NN a =(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠,0N >).推论 log log m n a a nb bm =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()loglog a a a MN M N =+;(2)log log log aa a MM N N =-;(3)log log ()na a M n M n R =∈. 36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx =(1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则（1）log ()log m p m n p n ++<.（2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d-=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n n n aa a q q n N q -==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s qna q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq qs na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q dq q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩.43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1n nab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan ba ϕ=). 48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+. 3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Zππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理（1）111222a b cS ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈.cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Zπππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Zπππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b= a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.53. a 与b 的数量积(或内积)a ·b=|a ||b|cos θ． 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a=(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b=22(,)x y ). 64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB=⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则 A||b ⇔b=λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)Px y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.68.点的平移公式 ''''x x h x x hy y k y y k ⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ .注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）ba b a b a +≤+≤-.72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s.推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或. 74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a<⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1）()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ .（2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （3）2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)Px y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)Px y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B Cl l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k kk k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k kk k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)Px y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0a x b y c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数． 88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22B A C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，dO O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d . 91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()22D x x E y y x x y y F ++++++=.当00(,)x y 圆外时, 0000()()22D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=; ②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x c a e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b +=.（3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=. 96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c =-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a b y ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y ya b -=.（3）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02pCF x =+.过焦点弦长px x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y p y 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a --=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. （2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k +=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By CB Ax ByC F x y A B A B ++++--=++.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB t CD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA y MB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔ (1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e 122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---. 124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩； a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=. 125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉=.推论2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BD θ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r （其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+. 特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+. 特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ; 1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=.135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ). 136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.138.异面直线上两点距离公式d .',d EA AF =d ='E AAF ϕ=--）. (两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅ 2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a=+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF=；（2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV=.146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=． 147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.148．柱体、锥体的体积 13V Sh=柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh=锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++. 150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.151.排列数公式m nA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1m mn n n A A n m -=-;（3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式m n C =m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11mm n nn m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-; （3）11mm n n n C C m --=;（4）∑=nr rnC=n2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 156.排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n n nm C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n n m C +.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- .（2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有m n nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、...个相等，则其分配方法数有!...!!! (2)11c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n+n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =. （7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =1+++）个物体分给甲、乙、丙，......等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，...时，则无论1n ，2n ，...，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 !!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m=⋅=-.159．“错位问题”及其推广。