树与森林的遍历

第十七讲
由图6.27可知，结点n对应的路径长度为［log2n］，所以前n项
n
之和为 ∑ [log 2 k ] 。完全二叉树的路径长度 完 2 × 0 + 2 × 1 + 2 × 2 + L 2 × h = ∑ [log 2 k ] (h为树的深度)，所以完
0 1 2 h
k =1
h
全二叉树具有最小路径长度的性质，但不具有唯一性。 全二叉树具有最小路径长度的性质，但不具有唯一性。有些树 并不是完全二叉树， 但也可以具有最小路径长度，如图所示。
第十七讲
2. 森林的遍历 森林的遍历 森林的遍历方法主要有以下三种： 1） 先序遍历 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 访问森林中第一棵树的根结点。 (2) 先序遍历第一棵树的根结点的子树森林。 (3) 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 例如， 图6.24(a)中森林的先序遍历序列为ABCDEFGHIJ。
第十七讲
2 C 4 7 A 5 B 2 C 4 D D 7 A 5 B
7 A 5 B 2 C 4 D
(a) 带权路径长度为 36
(b) 带权路径长度为 46
(c) 带权路径长度为 35
WPL(a)=7×2＋5×2＋2×2＋4×2＝36 WPL(b)=4×2＋7×3＋5×3＋2×1＝46 WPL(c)=7×1＋5×2＋2×3＋4×3＝35
0
1
图6.31 左走0，右走1的二叉树
第十七讲
字符 字符出现的次数
s 3
t 8
a 7
e 5
c 2
图6.32 对字符按权排序
第十七讲
25 5 2 3 5 7 8 5 2 10 5 3 7 8 2 5 3 0 2 10 5 7 15 0 8 0 5 1 3 10 1 5 0 7 1 15 1 8
图6.33 构造哈夫曼树的过程
第十七讲
（3） 从F中删除被选中的那两棵二叉树， 同时把新构 成的二叉树加入到森林F中。 （4） 重复（2）、（3）操作， 直到森林中只含有一棵 二叉树为止， 此时得到的这棵二叉树就是哈夫曼树。
第十七讲
6.5.2 哈夫曼编码
表 6 – 1 指令的使用频率
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 使用频率(Pi） 0.40 0.30 0.15 0.05 0.04 0.03 0.03
第十七讲
(2) 将所有字符变成二进制的哈夫曼编码， 使带权路径长 度最短，相当总的通路长度最短。 若要求传送以上这些编码长度不一的数据， 且还要求传 送词间互相区分，应如何设计最优编码呢？ 为保证传送词间 互相区别，则需加入一空白字符出现频率， 空白字符^出现为 7， 再构造哈夫曼树，由此得到的哈夫曼编码一定满足最短且 又互相区分的性质。 c 2 s 3 e 5 a 7 ^ 7 t 8
按规定：0左1右， 则有 000 2 c 001 3 s 01 5 e 10 7 a 11 8 t
第Hale Waihona Puke Baidu七讲
所 以 有 state 的 编 码 为 00111101101, stat 的 编 码 为 001111011。 构造满足哈夫曼编码的最短最优性质： (1) 若di≠dj（字母不同），则对应的树叶不同。 因此前 缀码（任一字符的编码都不是另一个字符编码）不同，一 个路径不可能是其它路径的一部分， 所以字母之间可以完 全区别。
第十七讲
问题1: 什么样的二叉树的路径长度PL最小？ 路径长度为0的结点至多只有1个（根）； 路径长度为1的结点至多只有2个； 路径长度为2的结点至多只有4个； 依此类推，路径长度为k的结点至多只有2k个, 所以n个结 点二叉树其路径长度至少等于如下所示序列的前n项之和。
结点路径长度0，1， 1， 2，2，2，2， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 4，… 结点数n n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 … n=15
第十七讲
∑p ×I
i =1 i
7
i
= 0.40 × 1 + 0.30 × 2 + 0.15 × 3 + 0.05 × 5 + 0.04 × 5 + 0.03 × 5 + 0.03 × 5 = 2.20
第十七讲
举例：数据传送中的二进制编码。 要传送数据 state, seat, act, tea, cat, set, a, eat， 如何使传 送的长度最短？ 首先规定二叉树的构造为左走0，右走1 ，如图6.31所示。 为了保证长度最短， 先看字符出现的次数， 然后将出现 次数当作权， 如图6.32所示。
第十七讲
3. 树的带权路径长度 树的带权路径长度 树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度 之和，通常记为：
WPL = ∑Wi × 1i
i =1
n
其中n为叶子结点的个数，wi 为第i个叶子结点的权值，li 为第i个叶子结点的路径长度。 例如， 图 6.26中三棵二叉树的带权路径长度分别为：
第十七讲
树与森林的遍历
第十七讲
1. 树的遍历 树的遍历 树的遍历方法主要有以下两种： 1） 先根遍历 若树非空，则遍历方法为： (1) 访问根结点。 (2) 从左到右， 依次先根遍历根结点的每一棵子树。 例如， 图6.21中树的先根遍历序列为ABECFHGD。
第十七讲
2） 后根遍历 若树非空， 则遍历方法为： （1） 从左到右， 依次后根遍历根结点的每一棵子树。 （2） 访问根结点。 2 例如， 图6.21中树的后根遍历序列为EBHFGCDA。
图6.30 构造哈夫曼树示例
第十七讲
表 6 – 3 指令的哈夫曼编码
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 使用频率(Pi） 0 10 110 11100 11101 11110 11111
可以验证，该编码是前缀编码。若一段程序有1000条指令， 其中I1 大约有400条，I2 大约有300条，I3 大约有150条，I4 大约 有50条，I5大约有40条，I6大约有30条，I7大约有30条。对于定 长编码，该段程序的总位数大约为3×1000＝3000。采用哈夫 曼 编 码 后 ， 该 段 程 序 的 总 位 数 大 约 为 1×400 ＋ 2×300 ＋ 3×150＋5×（50＋40＋30＋30）＝2200。可见，哈夫曼编码 中虽然大部分编码的长度大于定长编码的长度3， 却使得程序 的总位数变小了。可以算出该哈夫曼编码的平均码长为：
第十七讲
问题2: 问题 什么样的树的带权路径长度最小？ 例如： 给定一个权值序列{2, 3, 4, 7}， 可构造如图6.29所 示的多种二叉树的形态。
第十七讲
2 3 2 3 4 7 4 7
(a) WPL＝2×2＋2×3＋2×4＋2×7＝32
(b) WPL＝1×2＋2×3＋3×4＋3×7＝41
A B D E C D B A C E (b) PL＝0＋1＋1＋2＋2＝6
k =1
(a) PL＝0＋1＋1＋2＋2＝6
第十七讲
2. 结点的权和带权路径长度 结点的权和带权路径长度 在实际的应用中，人们常常给树的每个结点赋予一个具 有某种实际意义的实数，我们称该实数为这个结点的权。在 树形结构中，我们把从树根到某一结点的路径长度与该结点 的权的乘积，叫做该结点的带权路径长度。
第十七讲
6.5.3 哈夫曼编码算法的实现
由于哈夫曼树中没有度为1的结点，则一棵有n个叶子的哈 夫曼树共有2×n-1个结点，可以用一个大小为2×n-1 的一维 数组存放哈夫曼树的各个结点。 由于每个结点同时还包含其 双亲信息和孩子结点的信息，所以构成一个静态三叉链表。 静态三叉链表描述如下：
typedef struct { unsigned int weight ; /* 用来存放各个结点的权值*/ unsigned int parent, LChild, RChild ; /*指向双亲、 孩子结点的指针*/ }HTNode, * HuffmanTree; /*动态分配数组， 存储哈夫曼树*/ typedef char * *HuffmanCode ; /*动态分配数组， 存储哈夫曼编码*/
第十七讲
HuffmanTree CrtHuffmanTree(HuffmanTree *ht , *HuffmanCode , *hc, int * w, int n) {/*w存放n个权值, 构造哈夫曼树ht, 并求出哈夫曼编码hc */ HuffmanTree ht; m=2*n-1; ht=(HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode)); /*0号单元未使用*/ for(i=1; i<=n; i++) ht［i］ ={ w［i］, 0, 0, 0}; /*叶子结点初始化*/ for(i=n+1; i<=m; i++) ht［i］ ={0, 0, 0, 0}; /*非叶子结点初始化*/
第十七讲 作业：
1.二叉树的层次遍历算法（二叉链表存储）； 2.求二叉树中最大结点值（二叉链表存储）。
第十七讲
哈夫曼树及其应用
第十七讲
1. 哈夫曼树
1. 路径和路径长度 路径和路径长度 路径是指从一个结点到另一个结点之间的分支序列， 路径 路径长度是指从一个结点到另一个结点所经过的分支数目。 路径长度 树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和。 树的路径长度
第十七讲
2） 中序遍历 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林。 (2) 访问第一棵树的根结点。 (3) 中序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 例如， 图6.24(a)中森林的中序遍历序列为 BCDAFEHJIG。
第十七讲
3） 后序遍历 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 后序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林。 (2) 后序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 (3) 访问第一棵树的根结点。
7 4 3 2
(c) WPL＝1×7＋2×4＋3×3＋3×2＝7＋8＋9＋6＝30
第十七讲
4. 哈夫曼树 构造哈夫曼算法的步骤如下： （1） 用给定的n个权值{w1, w2, …, wn}对应的n个结点构成n 棵二叉树的森林F={T1, T2, …, Tn}，其中每一棵二叉树T i(1≤i≤n)都只有一个权值为wi的根结点，其左、右子树为空。 （2） 在森林F中选择两棵根结点权值最小的二叉树，作为 一棵新二叉树的左、右子树，标记新二叉树的根结点权值为其 左右子树的根结点权值之和。
ht［i］.weight=ht［s1］.weight+ht［s2］.weight; } /*哈夫曼树建立完毕*/
第十七讲
/*从叶子结点到根， 逆向求每个叶子结点对应的哈夫曼编码*/ hcode=(HuffmanCode)malloc((n+1)*sizeof(char *)); /*分配n个编码的头指针*/ cd=(char * )malloc(n * sizeof(char )); /*分配求当前编码的工作空间*/ cd［n-1］＝′\0′； /*从右向左逐位存放编码， 首先存放编码结束符*/ for(i=1; i<=n; i++) /*求n个叶子结点对应的哈夫曼编码*/ { start=n-1; /*初始化编码起始指针*/ for(c=i, p=ht［i］.parent; p! =0; c=p, p=ht［p］.parent) if(ht［p］.LChild==c) cd［--start］=′0′; /*左分支标0*/ else cd［--start］=′1′; /*右分支标1*/ hcode［i］=(char *)malloc((n-start)*sizeof(char)); /*为第i个编码分配空间*/ strcpy(hcode［i］, &cd［start］); } free(cd); }
第十七讲
表 6 – 2 指令的变长编码
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 使用频率(Pi） 0 1 00 01 000 001 010
第十七讲
1.00 0.60 0.30
0.40 I1 0.30 I2
0.15
0.15 I3 0.09
0.06
0.03 I7
0.03 I6
0.04 I5
0.05 I4
第十七讲
for(i=n+1; i<=m; i++) /*创建非叶子结点, 建哈夫曼树*/ {/*在ht［1］~ht［i-1］的范围内选择两个parent为0且weight最小的结点，其序 号分别赋值给s1、 s2返回*/ select(ht, i-1, s1, s2); ht［s1］.parent=i; ht［i］.LChild=s1; ht［s2］.parent=i; ht［i］.RChild=s2;