树与森林的遍历
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（1） 用给定的n个权值{w1, w2, …, wn}对应的n个结点构成n 棵二叉树的森林F={T1, T2, …, Tn}，其中每一棵二叉树T i(1≤i≤n)都只有一个权值为wi的根结点，其左、右子树为空。
（2） 在森林F中选择两棵根结点权值最小的二叉树，作为 一棵新二叉树的左、右子树，标记新二叉树的根结点权值为其 左右子树的根结点权值之和。
（2） 访问根结点。 例如， 图6.21中树的后根遍历序列为EBHFGCDA。
第十七讲
2. 森林的遍历 森林的遍历方法主要有以下三种： 1） 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 访问森林中第一棵树的根结点。 (2) 先序遍历第一棵树的根结点的子树森林。 (3) 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 例如， 图6.24(a)中森林的先序遍历序列为ABCDEFGHIJ。
第十七讲
问题1: 什么样的二叉树的路径长度PL最小？ 路径长度为0的结点至多只有1个（根）； 路径长度为1的结点至多只有2个； 路径长度为2的结点至多只有4个； 依此类推，路径长度为k的结点至多只有2k个, 所以n个结 点二叉树其路径长度至少等于如下所示序列的前n项之和。
结点路径长度0，1， 1， 2，2，2，2， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 4，… 结点数n n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 … n=15
第十七讲
3. 树的带权路径长度
树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度 之和，通常记为：
n
WPL Wi 1i
i 1
其中n为叶子结点的个数，wi为第i个叶子结点的权值，li 为第i个叶子结点的路径长度。
例如， 图 6.26中三棵二叉树的带权路径长度分别为：
第十七讲
7
5
2
4
A
B
C
第十七讲
2 34 7 (a) W P L＝ 2×2＋ 2×3＋ 2×4＋ 2×7＝ 32
2
3
4
7
(b) W P L＝ 1×2＋ 2×3＋ 3×4＋ 3×7＝ 41
7
4
3
2
(c) W P L＝ 1×7＋ 2×4＋ 3×3＋ 3×2＝ 7＋ 8＋ 9＋ 6＝ 30
第十七讲
4. 哈夫曼树 构造哈夫曼算法的步骤如下：
0.1 5
I3
0.0 6
0.0 9
0.0 3
0.0 3 0.0 4
0.0 5
I7
I6
I5
I4
图6.30 构造哈夫曼树示例
第十七讲
表 6 – 3 指令的哈夫曼编码
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7
使用频率(Pi） 0 10
110 11100 11101 11110 11111
第十七讲
可以验证，该编码是前缀编码。若一段程序有1000条指令， 其中I1大约有400条，I2大约有300条，I3大约有150条，I4大约 有50条，I5大约有40条，I6大约有30条，I7大约有30条。对于定 长编码，该段程序的总位数大约为3×1000＝3000。采用哈夫 曼 编 码 后 ， 该 段 程 序 的 总 位 数 大 约 为 1×400 ＋ 2×300 ＋ 3×150＋5×（50＋40＋30＋30）＝2200。可见，哈夫曼编码 中虽然大部分编码的长度大于定长编码的长度3， 却使得程序 的总位数变小了。可以算出该哈夫曼编码的平均码长为：
并不是完全二叉树， 但也可以具有最小路径长度，如图所示。
A
A
B
C
B
C
D
E
D
E
(a) P L＝ 0＋ 1＋ 1＋ 2＋ 2＝ 6
(b) P L＝ 0＋ 1＋ 1＋ 2＋ 2＝ 6
第十七讲
2. 在实际的应用中，人们常常给树的每个结点赋予一个具 有某种实际意义的实数，我们称该实数为这个结点的权。在 树形结构中，我们把从树根到某一结点的路径长度与该结点 的权的乘积，叫做该结点的带权路径长度。
D
(a) 带权路径长度为36
2
C 4
D
75
A
B
(b) 带权路径长度为46
7
A 5
B 2
4
C
D
(c) 带权路径长度为35
WPL(a)=7×2＋5×2＋2×2＋4×2＝36 WPL(b)=4×2＋7×3＋5×3＋2×1＝46 WPL(c)=7×1＋5×2＋2×3＋4×3＝35
第十七讲
问题2: 什么样的树的带权路径长度最小？ 例如： 给定一个权值序列{2, 3, 4, 7}， 可构造如图6.29所 示的多种二叉树的形态。
第十七讲
（3） 从F中删除被选中的那两棵二叉树， 同时把新构 成的二叉树加入到森林F中。
（4） 重复（2）、（3）操作， 直到森林中只含有一棵 二叉树为止， 此时得到的这棵二叉树就是哈夫曼树。
第十七讲
6.5.2 哈夫曼编码
表 6 – 1 指令的使用频率
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7
第十七讲
2） 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林。 (2) 访问第一棵树的根结点。 (3) 中序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。
例如， 图6.24(a)中森林的中序遍历序列为 BCDAFEHJIG。
第十七讲
3） 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 后序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林。 (2) 后序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 (3) 访问第一棵树的根结点。
第十七讲
树与森林的遍历
第十七讲
1. 树的遍历方法主要有以下两种： 1） 若树非空，则遍历方法为： (1) 访问根结点。 (2) 从左到右， 依次先根遍历根结点的每一棵子树。 例如， 图6.21中树的先根遍历序列为ABECFHGD。
第十七讲
2） 若树非空， 则遍历方法为： （1） 从左到右， 依次后根遍历根结点的每一棵子树。
第十七讲
由图6.27可知，结点n对应的路径长度为［log2n］，所以前n项 n
之和为 [log 2 k ] 。
k 1
20 0 21 1 22 2 2h h
h
[log 2 k] (h为树的深度)，所以完
k 1
全二叉树具有最小路径长度的性质，但不具有唯一性。有些树
第十七讲
作业：
1.二叉树的层次遍历算法（二叉链表存储）； 2.求二叉树中最大结点值（二叉链表存储）。
第十七讲 哈夫曼树及其应用
第十七讲
1. 哈夫曼树
1. 路径是指从一个结点到另一个结点之间的分支序列， 路径长度是指从一个结点到另一个结点所经过的分支数目。 树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和。
使用频率(Pi） 0.40 0.30 0.15 0.05 0.04 0.03 0.03
第十七讲
表 6 – 2 指令的变长编码
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7
使用频率(Pi） 0 1 00 01
000 001 010
第十七讲
1.0 0
0.6 0
0.4 0
0.3 0
I1
0.3 0
I2
0.1ห้องสมุดไป่ตู้5
（2） 在森林F中选择两棵根结点权值最小的二叉树，作为 一棵新二叉树的左、右子树，标记新二叉树的根结点权值为其 左右子树的根结点权值之和。
（2） 访问根结点。 例如， 图6.21中树的后根遍历序列为EBHFGCDA。
第十七讲
2. 森林的遍历 森林的遍历方法主要有以下三种： 1） 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 访问森林中第一棵树的根结点。 (2) 先序遍历第一棵树的根结点的子树森林。 (3) 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 例如， 图6.24(a)中森林的先序遍历序列为ABCDEFGHIJ。
第十七讲
问题1: 什么样的二叉树的路径长度PL最小？ 路径长度为0的结点至多只有1个（根）； 路径长度为1的结点至多只有2个； 路径长度为2的结点至多只有4个； 依此类推，路径长度为k的结点至多只有2k个, 所以n个结 点二叉树其路径长度至少等于如下所示序列的前n项之和。
结点路径长度0，1， 1， 2，2，2，2， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 4，… 结点数n n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 … n=15
第十七讲
3. 树的带权路径长度
树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度 之和，通常记为：
n
WPL Wi 1i
i 1
其中n为叶子结点的个数，wi为第i个叶子结点的权值，li 为第i个叶子结点的路径长度。
例如， 图 6.26中三棵二叉树的带权路径长度分别为：
第十七讲
7
5
2
4
A
B
C
第十七讲
2 34 7 (a) W P L＝ 2×2＋ 2×3＋ 2×4＋ 2×7＝ 32
2
3
4
7
(b) W P L＝ 1×2＋ 2×3＋ 3×4＋ 3×7＝ 41
7
4
3
2
(c) W P L＝ 1×7＋ 2×4＋ 3×3＋ 3×2＝ 7＋ 8＋ 9＋ 6＝ 30
第十七讲
4. 哈夫曼树 构造哈夫曼算法的步骤如下：
0.1 5
I3
0.0 6
0.0 9
0.0 3
0.0 3 0.0 4
0.0 5
I7
I6
I5
I4
图6.30 构造哈夫曼树示例
第十七讲
表 6 – 3 指令的哈夫曼编码
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7
使用频率(Pi） 0 10
110 11100 11101 11110 11111
第十七讲
可以验证，该编码是前缀编码。若一段程序有1000条指令， 其中I1大约有400条，I2大约有300条，I3大约有150条，I4大约 有50条，I5大约有40条，I6大约有30条，I7大约有30条。对于定 长编码，该段程序的总位数大约为3×1000＝3000。采用哈夫 曼 编 码 后 ， 该 段 程 序 的 总 位 数 大 约 为 1×400 ＋ 2×300 ＋ 3×150＋5×（50＋40＋30＋30）＝2200。可见，哈夫曼编码 中虽然大部分编码的长度大于定长编码的长度3， 却使得程序 的总位数变小了。可以算出该哈夫曼编码的平均码长为：
并不是完全二叉树， 但也可以具有最小路径长度，如图所示。
A
A
B
C
B
C
D
E
D
E
(a) P L＝ 0＋ 1＋ 1＋ 2＋ 2＝ 6
(b) P L＝ 0＋ 1＋ 1＋ 2＋ 2＝ 6
第十七讲
2. 在实际的应用中，人们常常给树的每个结点赋予一个具 有某种实际意义的实数，我们称该实数为这个结点的权。在 树形结构中，我们把从树根到某一结点的路径长度与该结点 的权的乘积，叫做该结点的带权路径长度。
D
(a) 带权路径长度为36
2
C 4
D
75
A
B
(b) 带权路径长度为46
7
A 5
B 2
4
C
D
(c) 带权路径长度为35
WPL(a)=7×2＋5×2＋2×2＋4×2＝36 WPL(b)=4×2＋7×3＋5×3＋2×1＝46 WPL(c)=7×1＋5×2＋2×3＋4×3＝35
第十七讲
问题2: 什么样的树的带权路径长度最小？ 例如： 给定一个权值序列{2, 3, 4, 7}， 可构造如图6.29所 示的多种二叉树的形态。
第十七讲
（3） 从F中删除被选中的那两棵二叉树， 同时把新构 成的二叉树加入到森林F中。
（4） 重复（2）、（3）操作， 直到森林中只含有一棵 二叉树为止， 此时得到的这棵二叉树就是哈夫曼树。
第十七讲
6.5.2 哈夫曼编码
表 6 – 1 指令的使用频率
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7
第十七讲
2） 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林。 (2) 访问第一棵树的根结点。 (3) 中序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。
例如， 图6.24(a)中森林的中序遍历序列为 BCDAFEHJIG。
第十七讲
3） 若森林非空， 则遍历方法为： (1) 后序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林。 (2) 后序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。 (3) 访问第一棵树的根结点。
第十七讲
树与森林的遍历
第十七讲
1. 树的遍历方法主要有以下两种： 1） 若树非空，则遍历方法为： (1) 访问根结点。 (2) 从左到右， 依次先根遍历根结点的每一棵子树。 例如， 图6.21中树的先根遍历序列为ABECFHGD。
第十七讲
2） 若树非空， 则遍历方法为： （1） 从左到右， 依次后根遍历根结点的每一棵子树。
第十七讲
由图6.27可知，结点n对应的路径长度为［log2n］，所以前n项 n
之和为 [log 2 k ] 。
k 1
20 0 21 1 22 2 2h h
h
[log 2 k] (h为树的深度)，所以完
k 1
全二叉树具有最小路径长度的性质，但不具有唯一性。有些树
第十七讲
作业：
1.二叉树的层次遍历算法（二叉链表存储）； 2.求二叉树中最大结点值（二叉链表存储）。
第十七讲 哈夫曼树及其应用
第十七讲
1. 哈夫曼树
1. 路径是指从一个结点到另一个结点之间的分支序列， 路径长度是指从一个结点到另一个结点所经过的分支数目。 树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和。
使用频率(Pi） 0.40 0.30 0.15 0.05 0.04 0.03 0.03
第十七讲
表 6 – 2 指令的变长编码
指令 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7
使用频率(Pi） 0 1 00 01
000 001 010
第十七讲
1.0 0
0.6 0
0.4 0
0.3 0
I1
0.3 0
I2
0.1ห้องสมุดไป่ตู้5