曲线的曲率

曲率的定义
在光滑弧上自点M 开始取弧段 M M, 其长为
s , 对应切线转角为 , 定义弧段s上的平均曲率
K ,
s
点 M 处的曲率:
K lim K
M M
lim
s0 s
d .
ds
显然, 直线上任意点处的曲率为 0.
(三) 曲率的计算公式
设曲线 y f ( x) 二阶可导, 设为切线的倾角 , 则有tan y, 故 arctan y, 从而
s( x) lim s lim x0 x0
(x)2 (y)2 ( x )2
x lim
1 ( y )2
1 ( y)2,
x0
x
, lim M M 1 x0 M M
ds 1 ( y)2dx
或
ds (dx)2 (dy)2 .
几何意义:
y
ds MT
dx cos ;
ds
O
dy sin .
O C(x0,0) x
证 如图, x的负半轴表示直道，
y
B
OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
R
实际要求 l x0. 在缓冲段上,
l A( x0, y0)
x [0,l ] ,
O C (x0,0) x
Q
y
2
1 Rl
x2
l 2
R
0,
y 1 x, Rl
T
M(x, y)
x
下面求曲线上点M 处的曲率中心D( , )
的坐标公式 .
y
设点M 处的曲率圆方程为
D( , )
( )2 ( )2 R2,
CR
T
其中 , 满足方程组
M(x, y)
O
x
(x )2 ( y )2 R2
y
x y
(M ( x , y)在曲率圆上) ( DM MT )
显然,
当x b 时, 2a
K最大.
又
Q
(
b 2a
,
b2
4ac 4a
)为抛物线的顶点,
抛物线在顶点处的曲率最大.
例3 求 y ax 3上任一点的曲率半径 .
解 y 3ax2, y 6ax,
R 1 (1 y2)32
K
y
(1 9a2x4 )32 ( x 0) 6ax
y y ax3 Ox
解 如图所示 ,
s R K lim 1 .
s0 s R
M
s
R M
可见: 圆的弯曲程度处处相同; 圆的半径越小, 圆弯曲得愈厉害 .
例2 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
y
K
3
2a
3.
(1 y2 )2 [1 (2ax b)2]2
第七节
曲线的曲率
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
第三章
一、主要内容
(一) 弧微分 1. 弧的概念
设 y f ( x) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
设曲线的正向为x增大的方向. 若M0为选定的基点, M是有向 弧段上任意一点，则可定义
y
y f (x) B
在该曲线的拐点 (0,0)处， lim R .
x0
例4 问：火车轨道由直轨转入弯道时，为什么 不立即接上圆弧轨道？
答：直轨AB的曲率：k直 0, 曲率半径：R直 .
而圆弧的曲率半径：R圆 R0(常数).
由于向心力：F向心力
mv 2 R
,
所以若在拐弯点B
接上圆弧，则向心力 F向心力在B点不连续，从而
d (arctan y)dx y dx.
1 y2
又 ds 1 y2 dx,
故曲率计算公式为
K d
ds
y 3.
(1 y2 )2
注 1o当 y 1 时, 有曲率近似计算公式 K y .
2
若曲线由参数方程
x y
x(t) y(t )
给出,
则通过
计算可得
K x y x y .
3
K
y
3
A
M
M0
有向弧段M0M的值 s .
O a x0 x b x
弧的定义
y
y f (x) B
有向弧段M0M的值 s (简称弧 s)
A
M
M0
规定为：
s 的大小等于弧M0M的长度, O a x0 x b x
当弧M0M的方向与曲线的正方向一致时, s > 0, 相反时, s < 0.
显然, s 是个代数量, 且是x的单调增函数 s(x).
( x2 y2)2
(1 y2)2
3 若曲线方程为x ( y), 则
x
K
3.
(1 x2)2
(四) 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , y
D( , )
在点M 处作曲线的切线和法线,
在曲线的凹向一侧法线上取点 C
D使
DM R 1 ,
O
K
R
T
M(x, Hale Waihona Puke Baidu)
x
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆(密切圆), R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
设曲线方程为 y f ( x), 且 y y 0, 曲线上点M 处的曲
率半径为
C
3
R 1 (1 y2)2 . O
K
y
D( , )
R
2. 弧 s(x)的微分
设弧 s =M0M = s(x),
y y f (x) B
( s x
)2
M M2 ( x )2
M M2 MM 2
MM2 (x) 2 .
A
M
M M0 x
y
又 s( x)单增,
s x
M M2 MM 2
MM 2 (x)2
O ax0 x x x b x
M M 2 (x)2 (y)2
ds
M T
M dy
dx
x x dx x
注 1 若曲线由参数方程表示: x x(t ), y y(t),
则弧微分公式为 ds [ x(t )]2 [ y(t )]2 d t .
2 若曲线由极坐标方程表示:
( ),
则通过计算可得
ds [ ( )]2 [ ( )]2 d .
(二) 平面曲线曲率的概念
由此可得曲率中心公式
y
D( , )
x y(1 y2) ,
y
y 1 y2 .
CR
T
M(x, y)
y
O
x
当点 M (x, y) 沿曲线C : y f ( x) 移动时, 相应
的曲率中心的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线, 曲线 C
称为曲线G 的渐伸线 .
二、典型例题
例1 求半径为R 的圆上任意点处的曲率.
产生剧烈震动. 为了行驶平稳，往往在直道和弯道 之间接入一段缓冲段,使曲率连续地由零过渡到 1 .
R0
通常用三次抛物线
y
1 6Rl
x3，x
[0,
x0 ]作为
缓冲段OA，其中l为OA的长度.
验证缓冲段 OA在始端O的曲率为零,
y
并且当 l 很小( l 1)时
R
R
R
在终端A的曲率近似为 1 .
R
l A( x0, y0)