高中数学新人教版必修5全套教案
人教版高中数学必修五教案(全册)
人教版高中数学必修五教案(全册)
本教案共包括必修五全部章节，共计 xx 课时，主要涵盖以下
内容：
第一章函数的概念
本章主要介绍函数的概念、性质、分类以及函数图像的绘制等
方面的知识点。
通过本章的研究，学生将能够掌握函数的基本概念，理解函数的重要性以及掌握函数图像的绘制方法。
第二章三角函数
本章主要介绍正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的定义、图像及其性质等方面的知识点，并针对不同类型的三角函数进
行了详细的讲解。
通过本章的研究，学生将能够深入理解三角函数
的概念，掌握三角函数的性质，运用三角函数解决实际问题。
第三章数学归纳法与递推数列
本章主要介绍数学归纳法的基本原理及其在数学证明中的运用，同时通过递推数列的研究，进一步巩固对数学归纳法的理解和应用。
通过本章的研究，学生将能够掌握数学归纳法的基本原理及其在数
学证明中的应用，同时掌握递推数列的推导与实际应用技巧。
第四章极坐标系与参数方程
本章主要介绍极坐标系的定义、性质，以及参数方程的基本概
念与运用等方面的知识点。
通过本章的研究，学生将能够理解极坐
标系的概念与性质，掌握参数方程的推导与实际应用技巧。
第五章一元函数微积分学初步
本章主要介绍导数与微分、不定积分、定积分等知识点。
通过
本章的学习，学生将能够掌握导数与微分的基本概念与计算方法，
掌握不定积分与定积分的计算方法，以及这些知识在实际问题中的
应用。
【重磅】新课标高中数学必修5全套教案
课题:§1．1．1正弦定理授课类型：新授课●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？CB Ⅱ.讲授新课[探索研究](图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==,A则sin sin sin a b c c A B C===bc 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==Ca (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=，C同理可得sin sin cbCB=，ba从而sin sin abAB=sin cC=AcB(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
普通高中数学必修5教案
普通高中数学必修5教案
教学内容：函数的概念和性质
教学目标：学生能够理解函数的概念，掌握函数的性质，能够应用函数解决问题。
教学重点：函数的定义、函数的性质、函数的图像。
教学难点：函数的性质的应用。
教学方法：讲解结合示例，引导学生思考。
教学过程：
一、引入（5分钟）
教师通过提问引入函数的概念，让学生思考函数在日常生活中的应用。
二、讲解函数的定义（10分钟）
教师讲解函数的定义及符号表示，帮助学生理解函数的概念。
三、讲解函数的性质（15分钟）
教师讲解函数的奇偶性、增减性、最值等性质，引导学生思考函数的特点。
四、演示函数的图像（10分钟）
教师通过示例展示函数的图像，让学生理解函数与图像之间的关系。
五、练习与讨论（10分钟）
教师布置练习题让学生巩固所学知识，并讨论解题过程。
六、作业布置（5分钟）
教师布置作业，要求学生完成相关练习。
七、课堂总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，激励学生继续学习。
评价与展望：本节课通过讲解、示例、练习等方式，帮助学生理解函数的概念和性质，为后续学习奠定基础。
未来将继续引导学生深入理解函数的应用，提高数学解题能力。
高中数学 第一章 解三角形全套教案 新人教A版必修5
高中数学：新人教A 版必修5全套教案第一章 解三角形课题: 1．1．1正弦定理●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin a b A B=sin cC=A cB (图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
高中数学必修5整套教案
高中数学必修5整套教案教学目标：学生能够区分和应用直线和平面的基本概念，理解直线和平面之间的关系。
教学重点：直线与平面的定义、性质和关系。
教学难点：平面的方程和直线与平面的交点问题。
教学过程：一、导入讨论：通过展示一些实际生活中的直线和平面的例子，引出直线和平面的概念。
二、概念讲解：介绍直线和平面的定义、特点和性质，并让学生做一些相关的练习。
三、直线与平面的关系：讲解直线和平面之间的关系，并通过实际例子辅助理解。
四、实例分析：解决一些直线与平面的交点问题，让学生能够灵活应用所学知识。
五、练习训练：设计一些练习题让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六、总结反思：总结本课内容，让学生自主总结所学知识，并提出问题和思考。
第二课：圆的基本概念教学目标：学生能够掌握圆的相关概念和性质，理解圆的作图和计算方法。
教学重点：圆的定义、圆周率及相关概念。
教学难点：圆的作图及相关计算题目。
教学过程：一、导入讨论：通过展示圆的相关图片，引入圆的概念。
二、概念讲解：介绍圆的定义、性质和相关概念，并让学生做一些相关的练习。
三、圆的作图：讲解圆的作图方法和相关计算技巧，让学生能够灵活运用。
四、圆周率的应用：介绍圆周率的概念和计算方法，通过实例计算巩固所学知识。
五、练习训练：设计一些练习题让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六、总结反思：总结本课内容，让学生自主总结所学知识，并提出问题和思考。
第三课：三角形的基本概念教学目标：学生能够掌握三角形的相关概念和性质，理解三角形的分类和计算方法。
教学重点：三角形的定义、分类及性质。
教学难点：三角形的作图及相关计算题目。
教学过程：一、导入讨论：通过展示三角形的相关图片，引入三角形的概念。
二、概念讲解：介绍三角形的定义、性质和分类，并让学生做一些相关的练习。
三、三角形的作图：讲解三角形的作图方法和相关计算技巧，让学生能够灵活运用。
四、三角形的应用：介绍三角形的应用知识和计算方法，通过实例计算巩固所学知识。
高中数学必修5教案pdf
高中数学必修5教案pdf
1. 熟练掌握多元函数的概念及相关性质；
2. 理解平面曲线的参数方程表示；
3. 能够解决与平面曲线相关的问题；
4. 能够应用多元函数和平面曲线解决实际问题。
教学重点：
1. 多元函数的概念及性质；
2. 平面曲线的参数方程表示；
3. 多元函数和平面曲线在实际问题中的应用。
教学难点：
1. 多元函数的性质的理解与应用；
2. 解决实际问题时多元函数和平面曲线的联合应用。
教学准备：
1. 教师准备多元函数和平面曲线的相关知识点；
2. 教师准备多元函数和平面曲线的相关例题。
教学过程：
一、引入
通过举例引入多元函数的概念，并解释多元函数在实际问题中的应用。
二、理论学习
1. 多元函数的定义与性质；
2. 平面曲线的参数方程表示；
3. 多元函数和平面曲线的关系。
三、实例讲解
通过具体的例题讲解多元函数和平面曲线的相关知识点，并解决相关问题。
四、练习与作业
布置相关练习题，巩固学生对多元函数和平面曲线的理解，并要求完成相关作业。
五、总结与展望
总结本节课的内容，并展望下节课的内容，引导学生继续学习和提高。
教学反思：
本节课主要介绍了多元函数和平面曲线的相关知识点，通过理论学习和实例讲解，帮助学生掌握了相关概念和方法。
在以后的教学中，应注重实际问题的应用，引导学生将所学知识运用到实际生活中。
高中数学必修五教案Word
高中数学必修五教案Word
第一课：二次函数的基本概念和性质
1. 教学目标：
- 了解二次函数的概念和性质
- 掌握二次函数的图像特点
- 能够通过公式确定二次函数的图像
2. 教学内容：
- 二次函数的定义
- 二次函数的一般式和标准式
- 二次函数的图像特点
3. 教学过程：
- 导入：通过实际生活中的例子引入二次函数的概念
- 讲解：介绍二次函数的定义和一般式、标准式的转换方法
- 实例演练：通过例题让学生掌握二次函数的图像特点和变化规律
- 拓展：让学生通过练习巩固所学知识
4. 课堂练习：
1. 求解二次函数f(x)=2x²-4x+3的顶点坐标和对称轴方程
2. 根据二次函数的图像特点，判断下列函数的开口方向：
- a) f(x)=x²+3x-2
- b) f(x)=-2x²+4x-1
5. 课后作业：
- 完成练习册中关于二次函数的练习题
- 总结本课中所学知识，写出二次函数的定义和性质
注意：教案仅供参考，具体内容和教学方式可根据教学情况进行调整。
高中数学必修五备课教案
高中数学必修五备课教案
教学内容：
1. 函数的概念
2. 函数的定义域和值域
3. 函数的图象
4. 函数的性质：奇偶性、周期性、单调性
教学目标：
1. 理解函数的概念及其基本性质。
2. 掌握函数的定义域和值域的求法。
3. 能够画出函数的图象。
4. 熟练判断函数的奇偶性、周期性和单调性。
教学重点和难点：
1. 函数的概念及性质的理解和掌握。
2. 函数的图象的绘制和性质的判断。
教学准备：
1. 教师准备：教案、教辅资料、教学工具。
2. 学生准备：课前预习相关知识。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引入函数概念，让学生回顾前几年关于函数的基本知识。
二、讲解（20分钟）
1. 函数的定义：介绍函数的定义及相关概念。
2. 函数的定义域和值域：讲解函数的定义域和值域的概念及求法。
3. 函数的图象：介绍如何画出函数的图象。
三、练习与讨论（15分钟）
1. 学生根据所学知识进行练习，画出给定函数的图象。
2. 学生讨论函数的奇偶性、周期性和单调性。
四、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强化学生的理解和记忆。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固所学内容。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对函数的概念及性质有了更深入的了解和掌握。
希望学生能够对函数有更加深入的理解，为将来的学习打下良好的基础。
高中数学必修五教案全集(48份) 人教课标版(实用教案)
高中数学必修五教案全集（48份）人教课标版（实用教案）第一章解三角形本章规划《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学必修五的第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁．教学中应加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固．要重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导．.教学内容全章有三大节内容：第一大节：正弦定理和余弦定理，这一节通过初中已学过的三角中的边角关系，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”重点是正弦定理的概念和推导方法，体现了从特殊到一般的思想，并可以向学生提出用向量来证明正弦定理，这一点可以让学生探究．在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角形的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．第二大节：应用举例，在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够．针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题．第三大节：实习作业，适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力．教师要注意对学生实习作业的指导，包括对实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．.作用与地位本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．学习数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱．为解决此问题，教学中要用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．.学习目标本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．.重点和难点通过对三角形中边角关系的探索，证明正弦定理、余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形．.课时安排正弦定理和余弦定理（课时）应用举例（课时）实习作业（课时）本章复习（课时）人生最大的幸福，莫过于连一分钟都无法休息零碎的时间实在可以成就大事业珍惜时间可以使生命变的更有价值时间象奔腾澎湃的急湍，它一去无返，毫不流连一个人越知道时间的价值，就越感到失时的痛苦得到时间，就是得到一切用经济学的眼光来看，时间就是一种财富时间一点一滴凋谢，犹如蜡烛漫漫燃尽我总是感觉到时间的巨轮在我背后奔驰，日益迫近夜晚给老人带来平静，给年轻人带来希望不浪费时间，每时每刻都做些有用的事，戒掉一切不必要的行为时间乃是万物中最宝贵的东西，但如果浪费了，那就是最大的浪费我的产业多么美，多么广，多么宽，时间是我的财产，我的田地是时间时间就是性命，无端的空耗别人的时间，知识是取之不尽，用之不竭的。
新课标高中数学必修5全套教案
课题: §1．1．1正弦定理授课类型：新授课●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
人教版高中数学必修五教学设计 [整书][全套]
![人教版高中数学必修五教学设计 [整书][全套]](https://img.taocdn.com/s3/m/3aeb358bf78a6529647d5395.png)
1.1.1正弦定理教学目标：1．让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题.2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力.3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣.4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用. 教学难点：正弦定理的猜想提出过程.教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器. 教学过程：（一）结合实例，激发动机 师生活动：每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉吗？那大家知道科技楼有多高吗？给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？ 学生思考片刻，教师引导.生1：在楼的旁边取一个观测点C ，再用一个标杆，利用三角形相似. 师：方法可行吗？生2：B 点位置在楼内不确定，故BC 长度无法测量，一次测量不行. 师：你有什么想法？生2：可以再取一个观测点D .师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D 点取在什么位置？ 生2：向前或向后师：好，模型如图（2）：我们设60∠=︒ACB ，45∠=︒ADB ,CD =10m,那么我们能计算出AB 吗？生3：由tan45tan3010AB AB οο-=求出AB .师：很好，我们可否换个角度，在Rt ABD ∆中，能求出AD ,也就求出了AB .在∆ACD 中，已知两角，也就相当于知道了三个角，和其中一个角的对边，要求出AD ，就需要我们来研究三角形中的边角关系.师：探究一般三角形中的边角关系，我们应从我们最熟悉的特殊三角形入手！ 生4：直角三角形.师：直角三角形的边与角之间存在怎样的关系？生5：思考交流得出，如图4，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ,AC =b ,AB =c ,则有sin a a A c =，sin b b B c =，又1sin c cC c==, 则sin sin sin a b c c A B C=== 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==（二）证明猜想，得出定理 师生活动：教师：那么，在斜三角形中也成立吗？用几何画板演示，用多媒体的手段对结论加以验证！但特殊不能代替一般，具体不能代替抽象，这个结果还需要严格的证明才能成立，如何证明哪？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结.（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述） 学生6：思考得出①在ABC ∆中，成立，如前面检验.②在锐角三角形中，如图5设BC a =，CA b =，AB c =作：AD BC ⊥，垂足为D 在Rt ABD ∆中，sin ADB AB=sin sin AD AB B c B ∴=•=•在Rt ADC ∆中，sin ADC AC=sin sin AD AC C b C ∴=•=• sin sin c B b C ∴=sin sin c bC B∴= 同理，在ABC ∆中，sin sin a cA C= sin sin sin a b cA B C∴== ③在钝角三角形中，如图6设C ∠为钝角，BC a =，CA b =，AB c =，作AD BC ⊥交BC 的延长线于D .在Rt ADB ∆中，sin ADB AB=sin sin AD AB B c B ∴=•=•在Rt ADC ∆中，sin ADACD AC∠=sin sin AD AC ACD b ACB ∴=•∠=•∠sin sin c B b ACB ∴•=•∠sin sin c bACB B∴=∠同锐角三角形证明可知sin sin a cA C= sin sin sin a b cA B ACB∴==∠ 教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b cA B C==师：我们在前面学习了平面向量，向量是解决数学问题的有力工具，而且和向量的联系紧密，那么同学们能否用向量的知识证明正弦定理？ 学生要思考一下.师：观察式子结构，里面有边及其边的夹角，与向量的哪一部分知识有关？ 生7：向量的数量积师：那向量的数量积的表达式是什么？生8：cos ,a b a b a b •=<>r r r r r r师：表达式里是角的余弦，我们要证明的式子里是角的正弦. 生：利用诱导公式.师：式子变形为：cos()cos()22ππ-=-u u u r u u u r CB A CA B ,师：很好，那我们就用向量来证明正弦定理，同学们请试一试！学生讨论合作，就可以解决这个问题教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学下去再探索.设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程. （三）利用定理，解决引例 师生活动：教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题. 学生：马上得出在ABC ∆中，18060,sin sin c bB AC C B∠=-∠-∠==oosin 600sin 45sin sin 60b C c B ••︒∴===︒（四）了解解三角形概念设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性教师：一般地，把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望. （五）运用定理，解决例题 师生活动：教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题. 学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如sin sin b Aa B =； ②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如sin sin aA B b=.师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤.例1：在ABC ∆中，已知∠30A =︒，∠45B =︒，6a =cm ，解三角形.【解析】“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为︒180求出第三个角∠C ，再由正弦定理求其他两边.解：由题意得，∠C =180°-30°-45°=105°由正弦定理得，6sin 21sin 2a Bb A⨯===6sin 41sin 2a C c A===+例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）.解：根据正弦定理，0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B （1）当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin7630sin sin40a C c A ==≈cm（2）当0116≈B 时，00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ， （六）尝试小结：教师：提示引导学生总结本节课的主要内容. 学生：思考交流，归纳总结.师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现： （1）正弦定理的内容（2sin sin sin a b cR A B C===）及其证明思想方法. （2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素. （3）分类讨论的数学思想.1.2 应用举例第1课时解三角形的实际应用教学目标1．能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)教学过程教材整理1基线的概念阅读教材，完成下列问题．1．定义在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．2．性质在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．教学检测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低．()(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边．()(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得．()【解析】(1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高．(2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边．(3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2测量中有关角的概念阅读教材，完成下列问题．1．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1-2-1(1)所示)．图1-2-1(1)2．方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图1-2-1(2)所示)图1-2-1(2)教学检测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东偏北45°的方向就是东北方向．()(2)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．()(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北44°方向．()【解析】(1)√，由方向角的定义可知．(2)√，由仰角与俯角的定义可知．(3)×，点Q 在点P 的南偏西44°. 【答案】 (1)√例1 要测量对岸A ，两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离．【精彩点拨】 将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．【解】 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°， ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝5(km)，∴A ，B 之间的距离为 5 km.名师指津三角形中与距离有关的问题的求解策略：(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．[再练一题]1．如图1-2-2，在河岸边有一点A ，河对岸有一点B ，要测量A ，B 两点的距离，先在岸边取基线AC ，测得AC ＝120 m ，∠BAC ＝45°，∠BCA ＝75°，求A ，B 两点间的距离.图1-2-2【解】 在△ABC 中，AC ＝120，A ＝45°，C ＝75°， 则B ＝180°－(A ＋C )＝60°，由正弦定理，得AB ＝AC sin C sin B ＝120sin 75°sin 60°＝20(32＋6)．即A ，B 两点间的距离为20(32＋6)m.例2 (1)如图1-2-345°和30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．100米B ．503米C ．502米D ．50(3＋1)米图1-2-3(2)在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33 m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m【精彩点拨】 (1)解决本题关键是求AB 时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解．(2)解决本题关键是画出示意图．【解析】 (1)设山高为h ，则由题意知CB ＝h ，DB ＝3h ，所以3h －h ＝100，即h ＝50(3＋1)．(2)如图，由条件知四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝CD ＝20 m ，BC ＝AD ＝20 m. 在△DCE 中，∠EDC ＝60°，∠DCE ＝90°，CD ＝20 m ，∴EC ＝CD ·tan 60°＝20 3 m ，∴BE ＝BC ＋CE ＝(20＋203)m.选B.【答案】(1)D(2)B名师指津解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图．(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．[再练一题]2．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图1-2-4所示，竖直放置的标杆BC 的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值.图1-2-4【解】 由AB ＝H tan α，BD ＝htan β，AD ＝Htan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H tan β， 解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此电视塔的高度H 是124 m.探究1 45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足．试画出符合题意的示意图．【提示】 用线段CD 表示山，用△DAB 表示海平面．结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示．探究2在探究1中若要求山高CD怎样求解？【提示】由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在Rt△ACD中求出CD.图1-2-5例3如图1-2-5，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.【精彩点拨】利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝htan 30°＝3h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．【解】在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB ＝30°，则BD＝3h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(3h)2－2·h·3h·32，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米．名师指津测量高度问题的两个关注点(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．[再练一题]3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是() A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m【解析】由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋500h，解得h＝500(m)．【答案】 D当堂检测1．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有() A．d1>d2B．d1<d2C．d1>20 m D．d2<20 m【解析】如图，设旗杆高为h，则d1＝htan 50°，d2＝htan 40°.因为tan 50°>tan 40°，所以d1<d2.【答案】 B2．如图1-2-6，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于()图1-2-6A．503米B．1003米C．50米D．100米【解析】因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，所以△ADC为等腰三角形，所以AC＝DC＝100米，在Rt△ABC中，AB＝AC sin 60°＝503米．【答案】 A3．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么x的值为()A. 3 B．2 3C．23或 3 D．3【解析】如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6x cos 30°，即x2－33x＋6＝0，解之得x＝23或 3.【答案】 C4．在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.【解析】过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 3 m.故两船距离BC＝BH＋CH＝200(3＋1)m.【答案】200(3＋1)5．如图1-2-7所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.图1-2-7请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．【解】第一步：在△AEF中，利用正弦定理，得AEsin β＝EFsin(180°－α－β)，解得AE＝a sin βsin(α＋β).第二步：在△CEF中，同理可得CE＝a sin φsin(θ＋φ).第三步：在△ACE中，利用余弦定理，得AC＝AE2＋CE2－2AE·CE·cos γ＝a2sin2βsin2(α＋β)＋a2sin2φsin2(θ＋φ)－2a2sin βsin φcos γsin(α＋β)sin(θ＋φ).§2.1 数列的概念与简单表示法教学目标：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式写出数列的前n项；提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.教学重点：1.数列的递推公式.2.根据数列的递推公式写出数列的前n项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.教学过程：Ⅰ.讲授新课我们为什么要学习有关数列的知识呢？那是因为在现实生活中，我们经常会遇到有关数列的问题，学习它，研究它，主要是想利用它来解决一些实际问题，让其为我们的生活更好地服务.也就是说，我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活.下面，我们继续探讨有关数列的问题.首先，请同学们来看一幅钢管堆放示意图.模型一：自上而下：第一层钢管数为4；即：1↔4＝1＋3,第二层钢管数为5；即：2↔5＝2＋3第三层钢管数为6；即：3↔6＝3＋3,第四层钢管数为7；即：4↔7＝4＋3第五层钢管数为8；即：5↔8＝5＋3,第六层钢管数为9；即：6↔9＝6＋3第七层钢管数为10；即：7↔10＝7＋3若用a n表示自上而下每一层的钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数可构成一数列，即：4，5，6，7，8，，9，10，且a n＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.模型二：自上而下 第一层钢管数为4； 第二层钢管数为5＝4＋1； 第三层钢管数为6＝5＋1； 第四层钢管数为7＝6＋1； 第五层钢管数为8＝7＋1； 第六层钢管数为9＝8＋1； 第七层钢管数为10＝9＋1.即：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1. 若用a n 表示每一层的钢管数，则a 1＝4； a 2＝5＝4＋1＝a 1＋1；a 3＝6＝5＋1＝a 2＋1； a 4＝7＝6＋1＝a 3＋1；a 5＝8＝7＋1＝a 4＋1； a 6＝9＝8＋1＝a 5＋1；a 7＝10＝9＋1＝a 6＋1； 即：a n ＝a n －1＋1(2≤n ≤7，n ∈N *)对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他各项.看来，这一关系也较为重要.这一关系，咱们把它称为递推关系，表示这一关系的式子，咱们把之称为递推公式1.定义递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前n 项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.说明：数列的递推公式揭示了数列的任一项a n 与它的前一项a n －1（或前n 项）的关系，也是给出数列的一种重要方法.下面，我们结合例子来体会一下数列的递推公式. 2.例题讲解例1 已知数列{a n }的第1项是1，以后的各项由公式a n ＝1＋1a n －1 给出，写出这个数列的前5项.解：据题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1 ＝2，a 3＝1＋1a 2 ＝32 ，a 4＝1＋1a 3 ＝53 ，a 5＝85 .例2 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝3a n －1＋a n －2(n ≥3)，试写出数列的前4项.解：由已知得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3a 2＋a 1＝7，a 4＝3a 3＋a 2＝23 Ⅱ.课堂练习写出下面数列{a n }的前5项.1.a 1＝5，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)解法一：a 1＝5；a 2＝a 1＋3＝8；a 3＝a 2＋3＝11；a 4＝a 3＋3＝14；a 5＝a 4＋3＝17.评析：由已知中的a 1与递推公式a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，依次递推出该数列的前5项，这是递推公式的最基本的应用.是否可利用该数列的递推公式而求得其通项公式呢？请同学们再仔细观察此递推公式.解法二：由a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，得a n －a n －1＝3则a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，……，a n －1－a n －2＝3，a n －a n －1＝3 将上述n －1个式子左右两边分别相加，便可得a n －a 1＝3(n －1)，即a n ＝3n ＋2(n ≥2) 又由a 1＝5满足上式，∴a n ＝3n ＋2(n ≥1)为此数列的通项公式.2.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解法一：由a 1＝2与a n ＝2a n －1(n ≥2)得：a 1＝2，a 2＝2a 1＝4，a 3＝2a 2＝8，a 4＝2a 3＝16，a 5＝2a 4＝32.解法二：由a n ＝2a n －1(n ≥2)，得a n a n －1＝2(n ≥2)，且a 1＝2 则：a 2a 1 ＝2，a 3a 2 ＝2，a 4a 3 ＝2，……a n －1a n －2 ＝2， a n a n －1＝2 若将上述n －1个式子左右两边分别相乘，便可得a n a 1＝2n －1 即：a n ＝2n (n ≥2)，又由a 1＝2满足上式∴a n ＝2n (n ≥1)为此数列的通项公式.∴a 2＝22＝4，a 3＝23＝8，a 4＝24＝16，a 5＝25＝32.3.a 1＝1，a n ＝a n －1＋1a n －1(n ≥2) 解：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋1a n －1(n ≥2), 得a 1＝1，a 2＝a 1＋1a 1＝2, a 3＝a 2＋1a 2 ＝52 ,a 4＝a 3＋1a 3 ＝52 ＋25 ＝2910, a 5＝a 4＋1a 4 ＝2910 ＋1029 ＝941290Ⅲ.课时小结这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：1.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.2.对于通项公式，只要将公式中的n 依次取1，2，3…即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n 项)，才可依次求出其他的项.2.2 等差数列教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系.2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究.3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系.难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.学法与教学用具学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导.教学用具：投影仪教学设想创设情景上节课我们学习了数列.在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习一类特殊的数列.探索研究由学生观察分析并得出答案：（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼.如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%.那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216，10 288，10 360. 思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①48，53，58，63 ②18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③10 072，10 144，10 216，10 288，10 360 ④看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-2.5；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72；由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）.等差数列的概念对于以上几组数列我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72.提问：如果在与中间插入一个数A ，使，A ，成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？由学生回答：因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A -a =b -A所以就有 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项.9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.看来，从而可得在一等差数列中，若m +n =p +q则等差数列的通项公式对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容.⑴我们是通过研究数列的第n 项与序号n 之间的关系去写出数列的通项公式的.下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式.由学生经过分析写出通项公式：① 这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20 a b a b 2b a A +=73645142,a a a a a a a a +=++=+q p n m a a a a +=+}{n a（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是.⑵那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d ，它的通项公式是什么呢？ 引导学生根据等差数列的定义进行归纳：所以……思考：那么通项公式到底如何表达呢？……n a n 5=)1(548-+=n a n )1(5.218--=n a n )1(7210072-+=n a n 1a ,12d a a +=,23d a a +=,34d a a +=,12d a a +=,2)(123d a d d a d a a +=++=+=,3)2(134d a d d a d a a +=++=+=得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以为首项，d 为公差的等差数列的通项公式为：也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d ，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了.选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）： 是等差数列，所以……两边分别相加得所以（迭代法）：是等差数列，则有……所以例题分析例1：⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来.首项知道了，还需要知道的是该等1a }{n a d n a a n )1(1-+=1a n a }{n a ,1d a a n n =--,21d a a n n =---,32d a a n n =---,12d a a =-,)1(1d n a a n -=-d n a a n )1(1-+=}{n a d a a n n +=-1d d a n ++=-2d a n 22+=-d d a n 23++=-d a n 33+=-d n a )1(1-+=d n a a n )1(1-+=差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题.要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义. 解：⑴由=8，d =5-8=-3，n =20，得⑵由=-5，d =-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ,使得-401=-4n -1成立.解这个关于n 的方程，得n =100，即-401是这个数列的第100项.例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d 、n （独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项.例2：某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km 时，每增加1km ，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.令=11.2，表示4km 处的车费，公差d =1.2.那么当出租车行至14km 处时，n =11， 此时需要支付车费答：需要支付车费23.2元.例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题.例3：已知数列的通项公式为其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？【解析】判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n ＞1）是不是一个与n 无关的常数.解：取数列中的任意相邻两项（n ＞1），1a 49)3()121(820-=-⨯-+=a 1a ,14)1(45--=---=n n a n n a 1a }{n a 1a )(2.232.1)111(2.1111元=⨯-+=a }{n a ,q pn a n +=}{n a 1--n n a a }{n a 1-n n a a 与。
人教版高中必修五数学教案
人教版高中必修五数学教案
课时：第一课时
教学内容：数学基础概念
教学目标：
1.了解数学的起源和发展历史。
2.理解数学基本概念和术语。
3.掌握数学基础知识。
教学重点、难点：
1.数学的起源和发展历史。
2.数学基本概念和术语的理解。
教学方法：讲授、示范演练、讨论
教具准备：教科书、黑板、彩色粉笔
教学过程：
一、导入：用一个问题引导学生思考数学的起源和意义。
二、讲解：介绍数学的起源和发展历史，引导学生了解数学的重要性。
三、讲解：介绍数学的基本概念和术语，引导学生掌握数学基础知识。
四、示范演练：通过例题演练，让学生掌握数学基础知识。
五、讨论：让学生讨论数学在日常生活中的应用，并分享自己的观点。
六、总结：对本节课的内容进行总结，并布置作业。
教学反思：本节课主要介绍了数学的基础概念和发展历史，通过讲解、示范演练和讨论，让学生深入理解数学的重要性和应用价值。
在未来的教学中，应该注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
高中数学必修五教案【最新4篇】
高中数学必修五教案【最新4篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如总结报告、演讲发言、规章制度、员工手册、创业计划、企划方案、心得体会、法律文书、教学资料、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample texts, such as summary reports, speeches, rules and regulations, employee manuals, entrepreneurial plans, planning plans, insights, legal documents, teaching materials, other sample texts, etc. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!高中数学必修五教案【最新4篇】作为一名教师，时常需要用到教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。
新课标人教A版高中数学必修5教案完整版
新课标人教A版高中数学必修5教案完整版一、教学目标1.了解函数的基本概念，能够将现实中的问题转化为函数的形式。
2.理解函数的性质，掌握常用函数的性质及图像特征。
3.能够利用函数的性质，解决实际问题。
二、教学重点1.函数的基本概念；2.常用函数的性质；3.利用函数解决实际问题。
三、预备知识1.初中数学基本概念；2.函数概念的初步了解。
四、教学内容第一节函数基本概念1.函数的定义；2.定义域、值域和对应关系；3.奇偶性、周期性、单调性等基本性质。
第二节常用函数及其性质1.幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；2.函数的图像特征及性质。
第三节函数的应用1.函数与方程的联系；2.应用题解法：建立函数模型，求解实际问题。
五、教学方法本节课采用“导入-讲解-演示-练习-总结”等教学方法，其中：1.导入：通过举例子，引导学生了解相关概念。
2.讲解：深入浅出，分析函数性质及应用。
3.演示：通过实例，引导学生理解函数的应用。
4.练习：课后布置作业，帮助学生掌握相关知识。
5.总结：概括本节课所学知识，为下一步教学打下基础。
六、教学过程导入教师通过一个实际问题，引导学生思考如何把问题转化为函数的形式，如：某人5年前的年龄是现在年龄的2倍减3年，建立相关函数模型。
讲解1.函数的定义：函数是一种对应关系，它将定义域内的每一个元素都对应唯一的一个值。
2.函数的基本概念：定义域、值域及对应关系等。
3.常用函数的性质及图像：函数的奇偶性、周期性和单调性等。
其中幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等为常用函数。
4.函数的应用：函数与方程的联系以及实际问题的应用，通过建立函数模型，解决实际问题。
演示老师通过现实中的例子，引导学生理解函数的应用，如：电费问题、最小二乘法问题等。
练习1.要求学生掌握函数的基本概念及性质；2.要求学生了解常用函数及其图像特征，掌握函数的基本变换和应用；3.练习题包括基础练习题和应用题，要求学生灵活掌握函数的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必修五全套教案 1．1．1正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 一.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二.讲授新课[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b cc A B C ===从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C == 思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB =， C同理可得sin sin cbCB =， b a 从而sin sin ab A B =sin cC =A cB （2）当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（由学生课后自己推导） 思考2：还有其方法吗？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。
C A BB C A（证法二）：过点A 作单位向量j AC ⊥， 由向量的加法可得 A B A CC B=+则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅()()00cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a c A C同理，过点C 作⊥ j BC ，可得 s i ns i n =b c B C 从而sin sin a b A B =sin c C = 从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abA B =sin cC =[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数， 即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；（2）sin sin abA B =sin c C =等价于sin sin ab A B =，sin sin cb CB =，sin aA=sin cC思考：正弦定理的基本作用是什么？①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A Bb=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理， 00sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理， 00s i n 42.9s i n 66.274.1().s i n s i n 32.0==≈a C c cm A评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
练习：在∆ABC 中，已知下列条件解三角形。
（1） 45=A ， 30=C ，cm c 10=， （2） 60=A ，45=B ，cm c 20=例2． 在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：根据正弦定理，sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B⑴ 当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin7630().sin40==≈a C c cm⑵ 当0116≈B 时，00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
课堂练习第4页练习第2题。
思考题：在∆ABC 中，sin sin abAB=(>o)sin ck k C==，这个k 与∆ABC 有什么关系？三.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：sin sin abAB=sin cC==()0sin sin sin a b ck k A B C ++=>++；或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
四.课后作业：P10面1、2题。
1.2解三角形应用举例 第一课时 一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 二、教学重点、难点教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图 三、教学设想 1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
新课讲授（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解(2)例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC=︒51，∠ACB=︒75。
求A 、B 两点的距离(精确到0.1m)提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边。
解：根据正弦定理，得 ACB AB∠sin = ABC AC ∠sinAB = ABC ACB AC ∠∠sin sin = ABC ACB ∠∠sin sin 55= )7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒ = ︒︒54sin 75sin 55 ≈ 65.7(m)答:A 、B 两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：2a km例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。
首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点。
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α，∠ ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得AC = )](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a = )sin()sin(δγβδγ+++aBC = )](180sin[sin γβαγ++-︒a = )sin(sin γβαγ++a计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离 AB =αcos 222BC AC BC AC ⨯-+分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA=60︒，∠ACD=30︒，∠CDB=45︒，∠BDA =60︒略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
课堂练习：课本第14页练习第1、2题 归纳总结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 四、课后作业课本第22页第1、2、3题思考题：某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。