新课标高考数学分类精编(精华文档)(2020-2021) (13)
高考数学真题专题分类汇编专题六 数列(教师版)
专题六 数列真题卷题号 考点 考向2023新课标1卷7等差数列等差数列的判定、等差数列的性质 20 等差数列 求等差数列的通项公式及基本量计算2023新课标2卷8等比数列 等比数列的性质18等差数列、数列的综合应用 求等差数列的通项公式及前n 项和、数列的综合应用（不等式证明） 2022新高考1卷 17 数列的通项公式、数列求和 由递推公式求通项公式、裂项相消法求和 2022新高考2卷17 等差数列、等比数列 等差、等比数列的通项公式2021新高考1卷16数列的实际应用 错位相减法求和17 数列的通项公式、数列求和由递推公式求通项公式、公式法求和2021新高考2卷12等比数列 数列的新定义问题17 等差数列 求等差数列的通项公式、等差数列求和 2020新高考1卷14等差数列 等差数列的性质、等差数列求和 18 等比数列、数列求和求等比数列的通项公式、数列求和 2020新高考2卷15等差数列 求等差数列的通项公式、等差数列求和 18等比数列 求等比数列的通项公式、等比数列求和【2023年真题】1. （2023·新课标I 卷 第7题） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列：乙：{}n sn 为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等差数列的判定、等差数列前n 项和、充分必要条件的判定，属于中档题． 结合等差数列的判断方法，依次证明充分性、必要性即可. 【解答】 解：方法1:为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1(1)2n n n S na d −=+，111222n S n d da d n a n −=+=+−，112n n S S d n n +−=+， 故{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件，， 反之，{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++−+−−==+++为常数，设为t 即1(1)n nna S t n n +−=+，故1(1)n n S na t n n +=−⋅+故1(1)(1)n n S n a t n n −=−−⋅−，2n … 两式相减有：11(1)22nn n n n a na n a tn a a t ++=−−−⇒−=，对1n =也成立，故{}n a 为等差数列， 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选.C 方法2:因为甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为.d 即1(1)2n n n S na d −=+， 则11(1)222n S n d da d n a n −=+=+−，故{}n S n为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，乙：{}n S n为等差数列.即11n n S SD n n +−=+，1(1).n S S n D n =+−即1(1).n S nS n n D =+−当2n …时，11(1)(1)(2).n S n S n n D −=−+−− 上两式相减得：112(1)n n n a S S S n D −=−=+−， 所以12(1).n a a n D =+−当1n =时，上式成立． 又1112(2(1))2n n a a a nD a n D D +−=+−+−=为常数.所以{}n a 为等差数列． 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选C .2. （2023·新课标II 卷 第8题） 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =−，6221S S =，则8S = ( ) A. 120 B. 85C. 85−D. 120−【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等比数列的基本性质，属于中档题.利用等比数列前n 项和之间差的关系可知2S ，42S S −，64S S −，86S S −成等比数列，列出关系式计算即可得解. 【解答】解：2S ，42S S −，64S S −，86S S −成等比数列，242224264264262(1)55(21)521S S q S q S S S q S S q S S S−= +=− −+⇒ −= = 从而计算可得24681,5,21,85S S S S =−=−=−=− 故选.C3. （2023·新课标I 卷 第20题）设等差数列{}n a 的公差为d ，且 1.d >令2n n n nb a +=，记n S ，n T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和.(1)若21333a a a =+，3321S T +=，求{}n a 的通项公式;(2)若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求.d【答案】解：因为21333a a a =+，故3132d a a d ==+， 即1a d =，故n a nd =，所以21n n n n b nd d++==，(1)2n n n d S +=，(3)2n n n T d +=，又3321S T +=，即34362122d d ××+=，即22730d d −+=，故3d =或1(2d =舍)， 故{}n a 的通项公式为：3.n a n =(2)方法一：(基本量法)若{}n b 为等差数列，则2132b b b =+，即11123123422a d a a d××××=+++，即2211320a a d d −+=，所以1a d =或12;a d =当1a d =时，n a nd =，1n n b d +=，故(1)2n n n d S +=，(3)2n n n T d+=，又999999S T −=， 即99100991029922d d ⋅⋅−=，即250510d d −−=，所以5150d =或1(d =−舍); 当12a d =时，(1)n a n d =+，n n b d =，故(3)2n n n d S +=，(1)2n n n T d+=，又999999S T −=， 即99102991009922d d ⋅⋅−=，即251500d d −−=，所以50(51d =−舍)或1(d =舍); 综上：51.50d = 方法二：因为{}n a 为等差数列且公差为d ，所以可得1n a dn a d =+−，则211(1)n n n n nb dn a d dn a d ++⋅==+−+− 解法一：因为{}n b 为等差数列，根据等差数列通项公式可知n b 与n 的关系满足一次函数，所以上式中的分母“1dn a d +−”需满足10a d −=或者11da d=−，即1a d =或者12;a d = 解法二：由211(1)n n n n nb dn a d dn a d++⋅==+−+−可得，112b a =，216b a d =+，31122b a d =+，因为{}n b 为等差数列，所以满足1322b b b +=， 即111212622a a d a d+=⋅++，两边同乘111()(2)a a d a d ++化简得2211320a a d d −+=， 解得1a d =或者12;a d =因为{}n a ，{}n b 均为等差数列，所以995099S a =，995099T b =，则999999S T −=等价于50501a b −=， ①当1a d =时，n a dn =，1(1)n b n d =+，则505051501a b d d−−，得 250510(5051)(1)0d d d d −−=⇒−+=，解得5150d =或者1d =−， 因为1d >，所以51;50d =②当12a d =时，(1)n a d n =+，1n b n d =，则505050511a b d d−=−=，化简得 251500(5150)(1)0d d d d −−=⇒+−=，解得5051d =−或者1d =，因为1d >，所以均不取; 综上所述，51.50d =【解析】本题第一问考查数列通项公式的求解，第二问考查等差数列有关性质，等差数列基本量的求解，计算量较大，为较难题.4. （2023·新课标II 卷 第18题）已知为等差数列，，记n S ，n T 分别为数列，的前n 项和，432S =，316.T =(1)求的通项公式；(2)证明：当5n >时，n S .n T >【答案】解：(1)设数列的公差为d ，由题意知：，即，解得52(1)2 3.n a n n ∴=+−=+(2)由(1)知23na n =+，，212121n n b b n −+=+，当n 为偶数时，当n 为奇数时，22113735(1)(1)4(1)652222n n n T T b n n n n n ++=−=+++−+−=+−， ∴当n 为偶数且5n >时，即6n …时，22371(4)(1)022222n n n nT S n n n n n n −=+−+=−=−>， 当n 为奇数且5n >时，即7n …时， 22351315(4)5(2)(5)0.22222n nT S n n n n n n n n −=+−−+=−−=+−>∴当5n >时，n S .n T >【解析】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式等.(1)由已知432S =，316T =，根据等差数列的前n 项和公式展开，即可得出等差数列的首项15a =，公差2d =，进而得出通项公式2 3.na n =+ (2)由(1)知23na n =+，可得(4)n S n n =+，数列的通项公式，进而212121n n b b n −+=+，分两情况讨论，当n 为偶数时，n T 中含有偶数项，相邻两项两两一组先求和，得出237.22nT n n =+当n 为奇数时，1n +为偶数，此时11.n n n T T b ++=−最后只需证明0n n T S −>即可.【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第17题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，n n S a是公差为13的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式; (2)证明：121112.na a a +++< 【答案】 解：1112(1)(1)33n n S S n n a a +=+−=，则23n n n S a +=①，1133n n n S a +++∴=②;由②-①得：111322;33n n n n n a n n n a a a a n++++++=−⇒=∴当2n …且*n N ∈时，13211221n n n n n a a a a a a a a a a −−−=⋅⋅ 1543(1)(1)1232122nn n n n n n a n n +++=⋅⋅⋅=⇒=−− ， 又11a =也符合上式，因此*(1)();2n n n a n N +=∈ 1211(2)2()(1)1n a n n n n ==−++ ，1211111111112()2(1)2122311n a a a n n n ∴+++=−+−++−=−<++ ， 即原不等式成立.【解析】本题考查了数列与不等式，涉及裂项相消法求和、等差数列的通项公式、根据数列的递推公式求通项公式等知识，属中档题.(1)利用11n n n a S S ++=−进行求解然后化简可求出{}n a 的通项公式; (2)由(1)可求出1112()1n a n n =−+，然后再利用裂项相消法求和可得. 6.（2022·新高考II 卷 第17题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为公比为2的等比数列，且223344.a b a b b a −=−=−(1)证明：11;a b =(2)求集合1{|,1500}km k b a a m =+剟中元素个数. 【答案】解：(1)设等差数列{}n a 公差为d由2233a b a b −=−，知1111224a d b a d b +−=+−，故12d b = 由2244a b b a −=−，知111128(3)a d b b a d +−−+，故11124(3);a d b d a d +−−+故1112a d b d a +−=−，整理得11a b =，得证.(2)由(1)知1122d b a ==，由1km b a a =+知：11112(1)k b a m d a −⋅=+−⋅+ 即111112(1)2k b b m b b −⋅=+−⋅+，即122k m −=，因为1500m 剟，故1221000k −剟，解得210k 剟， 故集合1{|,1500}km k b a a m =+剟中元素的个数为9个. 【解析】本题考查等差、等比数列的通项公式，解指数不等式，集合中元素的个数问题，属于中档题.【2021年真题】7.（2021·新高考II 卷 第12题）（多选）设正整数010112222k k k k n a a a a −−=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ，则( ) A.()()2n n ωω=B. ()()231n n ωω+=+C. ()()8543n n ωω+=+D. ()21nn ω−=【答案】ACD 【解析】 【分析】本题重在对新定义进行考查，合理分析所给条件是关键，属于拔高题.利用()n ω的定义可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【解答】解：对于A 选项，010112222k k k k n a a a a −−=⋅+⋅++⋅+⋅ ，， 则12101122222kk k k n a a a a +−=⋅+⋅++⋅+⋅ ，，A 选项正确；对于B 选项，取2n =，012237121212n +==⋅+⋅+⋅，，而0120212=⋅+⋅，则()21ω=，即，B 选项错误；对于C 选项，34302340101852225121222k k n a a a a a ++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+ 32k k a ++⋅， 所以，，23201230101432223121222k k n a a a a a ++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+ 22k k a ++⋅，所以，，因此，，C 选项正确；对于D 选项，01121222n n −−+++ ，故，D 选项正确.故选.ACD8.（2021·新高考I 卷 第16题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm 12dm ×的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ×，20dm 6dm ×两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ×，10dm 6dm ×，20dm 3dm ×三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为____________________；如果对折*()n n N ∈次，那么12n S S S ++= __________2dm . 【答案】5 ； 3240(3)2nn +×− 【解析】 【分析】本题考查实际生活中的数列问题，由特殊到一般的数学思想.根据题设列举，可以得到折叠4次时会有五种规格的图形.由面积的变化关系得到面积通项公式，从而由错位相减法得到面积和. 【解答】解：对折3次时，可以得到2.512dm dm ×，56dm dm ×，103dm dm ×，20 1.5dm dm ×四种规格的图形. 对折4次时，可以得到2.56dm dm ×，1.2512dm dm ×，53dm dm ×，10 1.5dm dm ×，200.75dm dm ×五种规格的图形.对折3次时面积之和23120S dm =，对折4次时面积之和2475S dm =，即12402120S ==×，2180360S ==×，3120430S ==×，475515S ==×，……得折叠次数每增加1，图形的规格数增加1，且()*12401,2nn S n n N =+×∈， 121111240[234(1)]2482n n S S S n ∴++=××+×+×++⋅+记231242n n n T +=+++ ，则112312482n n n T ++=+++ ， 11111111()224822n n n n n n T T T ++−==++++−113113322222n n n n n ++++=−−=−， 得332n n n T +=−， 123240(3)2n nn S S S +∴++=×−， 故答案为5；3240(3).2n n +×−9.（2021·新高考I 卷 第17题）已知数列{}n a 满足11a =，，记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； 求{}n a 的前20项和.【答案】解：⑴12b a =，且21+1=2a a =，则1=2b ，24b a =，且4321215a a a +++，则25b =； 1222121213n n n n n b a a a b +++++++，可得13n n b b +−=，故{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列； 故()21331n b n n =+−×=−.数列{}n a 的前20项中偶数项的和为2418201210109=102+3=1552a a a ab b b ×++++=+++×× ， 又由题中条件有211a a =+，431a a =+， ，20191a a =+， 故可得n a 的前20项的和【解析】本题考查了数列递推关系式运用，等差数列通项公式求法，数列求和，考查了分析和运算能力，属于中档题.(1)结合题干给的递推关系，可以快速的算出1b 和2b ，同时利用1222121213n n n n n b a a a b +++++++可判(1)(2)(2)断出数列n b 为等差数列，即可求出数列通项公式;(2)n a 的前20项的和可分组求和，求出其对应的偶数项的和，再结合奇数项与偶数项的关系求解即可. 10.（2021·新高考II 卷 第17题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244.a a S =(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】解：(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则3335,0a a a ∴，设等差数列的公差为d ，从而有22433()()a a a d a d d =−+=−， 412343333(2)()()2S a a a a a d a d a a d d =+++=−+−+++=−，从而22d d −=−，由于公差不为零，故：2d =，数列的通项公式为：*3(3)26().n a a n d n n N =+−=−∈ (2)由数列的通项公式可得1264a =−=−， 则2(1)(4)252n n n S n n n −=×−+×=−， 则不等式n n S a >即2526n n n −>−，整理可得(1)(6)0n n −−>，解得1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.【解析】本题考查等差数列基本量的求解，是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值.【2020年真题】11.（2020·新高考I 卷 第14题、II 卷 第15题）将数列{21}n −与{32}n −的公共项从小到大排列得到数列{n a }，则{}n a 的前n 项和为__________.【答案】232n n −【解析】【分析】本题考查数列的特定项与性质以及等差数列求和.利用公共项构成首项为1 ，公差为6的等差数列，利用求和公式即可求出答案.【解答】解：数列 的首项是1，公差为2的等差数列；数列 的首项是1，公差为3的等差数列；公共项构成首项为1 ，公差为6的等差数列;故 的前n 项和S n 为：.故答案为232.n n − 12.（2020·新高考I 卷 第18题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8.a a a +== (1)求{}n a 的通项公式；(2)记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m N ∈中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100.S【答案】解：(1)设等比数列的公比为q ，且1q >，2420a a += ，38a =，，解得舍)或，∴数列{}n a 的通项公式为2;n n a =(2)由(1)知12a =，24a =，38a =，416a =，532a =，664a =，7128a =，{21}n −{32}n −{}n a则当1m =时，10b =，当2m =时，21b =，以此类推，31b =，45672b b b b ====， 815...3b b ===，1631...4b b ===，3263...5b b ===，64100...6b b ===，10012100...S b b b ∴=+++0122438416532637480.=+×+×+×+×+×+×=【解析】本题考查了数列求和及等比数列通项公式，属中档题．(1)根据等比数列通项公式列出方程，求出首项和公比，即可求出通项公式;(2)根据等比数列通项公式，归纳数列{}m b 的规律，从而求出其前100项和．13.（2020·新高考II 卷 第18题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38.a = (1)求{}n a 的通项公式；(2)求1223a a a a −+…11(1).n n n a a −++−【答案】解：(1)设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，则32411231208a a a q a q a a q +=+= ==， 1q > ，122a q = ∴ =， 1222.n n n a −∴=⋅=1223(2)a a a a −+…11(1)n n n a a −++−35792222=−+−+…121(1)2n n −++−⋅，322322[1(2)]82(1).1(2)55n n n +−−==−−−− 【解析】本题考查等比数列的通项公式，前n 项求和公式，考查转化思想和方程思想，属于基础题．(1)根据题意，列方程组32411231208a a a q a q a a q +=+= ==，解得1a 和q ，然后求出{}n a 的通项公式； (2)根据条件，可知12a a ，23a a −，…11(1)n n n a a −+−，是以32为首项，22−为公比的等比数列，由等比数列求和公式，即可得出答案．。
2021年高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编附答案
2021年高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编附答案一、立体几何多选题1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 21-D ．AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为153015【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；对于C:在平面1111D C B A 内，1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正确； 对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：22|||sin |cos ,|||||5315n AE n AE n AE πθα⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4πθ=时，sin α2215301515=， 故D 正确故选：CD 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．2．如图，直三棱柱11,ABC A B C -，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，则（ ）A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14C ．直线11B C 与BD 所成角为2π D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB FE -55【答案】CD 【分析】A 当特殊情况M 与B 重合有FM 与BD 相交且共面；B 根据线面垂直、面面垂直判定可证面1BEFB ⊥面11ACC A ，可知EMFS、D 到面1BEFB 的距离，可求D EMF V -；C 根据线面垂直的判定及性质即可确定11B C 与BD 所成角；D 由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误. 【详解】A ：当M 与B 重合时，FM 与BD 相交且共面，错误； B ：由题意知：BE AC ⊥，AC EF ⊥且BEEF E =，则AC ⊥面1BEFB ，又AC ⊂面11ACC A ，面1BEFB ⋂面11ACC A EF =，所以面1BEFB ⊥面11ACC A ，又1121122EMFSEF BE =⋅⋅=⨯⨯=，D 到面1BEFB 的距离为1h =，所以1133D EMF EMFV h S-=⋅⋅=，错误； C ：由AB BC ⊥，1BC B B ⊥，1B BAB B =，所以BC ⊥面11ABB A ，又11//BC B C ，即11B C ⊥面11ABB A ，而BD ⊂面11ABB A ，则11BD B C ⊥，正确；D ：由B 中，面1BEFB ⊥面11ACC A ，即面DEF ⊥面1BEFB ，则D 到面1BEFB 的距离为1h =，又D 为1AA 中点，若1,BF EB 交点为O ，G 为EF 中点，连接,,OG GD OD ，则OG GD ⊥，故225OD OG GD =+=，由矩形的性质知：152OB OE OF OB ====，令四棱锥1D BB FE -的外接球半径为R ，则5R =，所以四棱锥1D BB FE -的外接球体积为354356V R π==，正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ）A ．11//A D 平面EFGHB ．1AC ⊥平面EFGHC ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否.【详解】如图，连接OA ，则2115OA AA =+=，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点. 因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点.因为正方体的棱长为2，而26<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ， 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点， 如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形，故22651AE OE OA -=-=，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ， 同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确. 因为在直角三角1BA C 中，122A B =2BC = ，190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误.由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ， 所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥， 因为EFEH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒， 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱，其体积为111212⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8， 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.4．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，a ⎡∈⎣，()Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,22R λλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,2D R λλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥，则()()12,222212440AR AC λλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=，14λ=，此时113313022224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；113AC A R =，则4234,,33R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,33D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则10n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.5．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD 'B ．存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC ．若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，||10A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ23【答案】ABC 【分析】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论. 对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：可得AM ⊥平面BCDE ，则A B '===≠，因此C 不正确；对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()313BCDE f S λλλ=⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得3λ=时，函数()f λ取得最大值()113f λ⎫=-=⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.6．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．A ．棱的高与底边长的比为2B ．侧棱与底面所成的角为4πC D ．侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB 【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a=，然后可得侧a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a⨯'=- 令()233210840f a a a⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小 此时3h =所以棱锥的高与底面边长的比为22，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误故选：AB 【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.7．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6 【答案】ABD【分析】在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D 6． 【详解】解：在A 中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1，∵A 1C 1∩DC 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ，∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1），设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n ，∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为： 11||||||C P n C P n ⋅⋅＝22(1)3a a +-⋅＝21132()22a ⋅-+， ∴当a ＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空间向量坐标公式求解.8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）A ．0MN EF ⋅=B ．ME NE =C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3【答案】ABD【分析】证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可.【详解】对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EF BB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，因此0MN EF ⋅=，故A 正确．对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小，此时MN EF ==，即面积S 的最小值为1； 当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最大，此时MN =，即面积S 的最大值为2所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2C 不正确．对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积11113346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅==△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体， 所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.9．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 有可能是梯形B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形C ．四边形1BFDE 有可能垂直于平面11BB D DD ．四边形1BFDE 面积的最小值为62【答案】BCD【分析】四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 的面积最小为62. 【详解】过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ， 如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E平面11ABB A BE =. 平面1BFD E 平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为16232⨯⨯=，因此D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.10．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2 ）A ．BF ⊥平面EABB ．该二十四等边体的体积为203C ．该二十四等边体外接球的表面积为8πD ．PN 与平面EBFN 2 【答案】BCD【分析】 A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】解：对于A ，假设A 对，即BF ⊥平面EAB ，于是BF AB ⊥，90ABF ∠=︒，但六边形ABFPQH 为正六边形，120ABF ∠=︒，矛盾，所以A 错；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体， 则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以B 对；对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ，即为该二十四等边体外接球的球心， 其半径为2R =248R ππ=，所以C 对；对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ，所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠， 其正弦值为22PS PN =，所以D 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．。
集合-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第2题
6．(2021年新高考Ⅰ卷·第1题)设集合 ， ，则 ()
A． B． C． D．
【答案】B
解析:由题设有 ，故选B．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第1题
7．(2020年新高考I卷(山东卷)·第1题)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()
【解析】 或 ， ，
故 ，故选A．
【点评】本题主要考查一元二次不等式，一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题．
本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第1题
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第1题
11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第2题)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=()
A．–4B．–2C．2D．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式 可得： ，
求解一次不等式 可得： ．
A．{−2，3}B．{−2，2，3}C．{−2，−1，0，3}D．{−2，−1，0，2，3}
【答案】A
解析：由题意可得： ，则 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第1题
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题)已知集合 ， ，则 中元素的个数为()
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编【2023年真题】1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=( ) A.79B.19C. 19-D. 79-2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题） 已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=( )A. 38B. 18-C. 34D. 14-+3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π= .【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=( ) A. 1B.32C.52D. 36.（2022·新高考II 卷 第6题）若sin()cos()4παβαβαβ+++=+，则( )A. tan()1αβ+=-B. tan()1αβ+=C. tan()1αβ-=-D. tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则( ) A. ()f x 在5(0,)12π单调递减 B. ()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点 C. 直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D. 直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷 第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是( )A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷 第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+( )A. 65-B. 25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+( )A. sin ()3x π+B. sin (2)3x π- C. cos (2)6x π+D. 5cos (2)6x π- 11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm参考答案1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+= 即2221cos(22)12sin ()12().39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题）解：22111cos 36114sin ()sin 222816424ααα+-----=====⇒=故选：.D3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<…，得2 3.ω<… 故答案为：[2,3).4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）解： 设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时 16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈ 2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-2()sin(4.32f πππ=-=- 5.（2022·新高考I 卷 第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈ 又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++= 所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin() 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷 第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos 44ππαβαβ=++，cos )sin 44ππαβαβ+=+ 故sin()cos cos(044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=， 故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=- 7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选） 解：由题意得：24(sin()033f ππϕ=+=， 所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈， 又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+ 选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减; 选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点; 选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(232x π+=-， 解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为(0)2y x -=--，即.2y x =- 8.（2021·新高考I 卷 第4题） 解：由22262k x k πππππ-+-+剟，得222,33k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故选：.A9.（2021·新高考I 卷 第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+ 22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++， 故选：.C10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选） 解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误; 解得2ω=±， 点5(,1)12π-在函数图象上， 当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈， 解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈ 解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题） 解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=， 又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得2OJ AJ x ==，52OL JK x ==-， 72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==， 5352x-=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
【高考数学考点突破】分类讨论思想(2020-2021)
难点38 分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值.［例1］已知{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，S n 为它的前n 项和. （1）用S n 表示S n +1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS cS k k 成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223. 技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由S n =4(1–n 21），得 221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *)（2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---kk S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *) 故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥23S 1–2=1. 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立. 当k ≥2时，因为c S >=-252232，由S k ＜S k +1(k ∈N *)得 23S k –2＜23S k +1–2 故当k ≥2时，23S k –2＞c ，从而①不成立.当c =3时，因为S 1=2，S 2=3， 所以当k =1，k =2时，c ＜Sk因为c S >=-4132233，又23S k –2＜23S k +1–2 所以当k ≥3时，23S k –2＞c ，从而①成立.综上所述，不存在自然数c ,k ,使21>--+cS cS k k 成立.［例2］给出定点A （a ,0)（a ＞0）和直线l ：x =–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B （–1，b )，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =–bx .设点C (x ,y )，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||bbx y ++ ①依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x aby -+-= 由x –a ≠0，得ax ya b -+-=)1( ②将②式代入①式，得y 2［(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2］=0 若y ≠0，则(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )若y =0则b =0,∠AOB =π，点C 的坐标为（0，0）满足上式. 综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(i)当a =1时，轨迹方程化为y 2=x (0≤x ＜1) ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+---④所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C (x ,y )，则0＜x ＜a ，y ≠0由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a xa y EA DA CE BD +-=⋅=.∵∠COA =∠COB =∠COD –∠BOD =π–∠COA –∠BOD∴2∠COA =π–∠BOD ∴COACOACOA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠ BOD BOD tan )tan(-=∠-π∵xy COA ||tan =)1(||||||tan a xa y OD BD BOD +-==∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式. 综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0≤x ＜a ) 以下同解法一.解法三：设C (x ,y )、B (–1,b )，则BO 的方程为y =–bx ，直线AB 的方程为)(1a x aby -+-=∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC =θ,∴直线OC 的斜率为k =tan θ,OC 的方程为y =kx 于是2212tan 1tan 22tan kk-=-=θθθ 又tan2θ=–b ∴–b =212k k- ① ∵C 点在AB 上 ∴)(1a x abkx -+-= ② 由①、②消去b ，得)(12)1(2a x kkkx a --=+ ③ 又xyk =，代入③，有 )(12)1(22a x xy x y x x y a --⋅⋅⋅+ 整理，得(a –1)x 2–(1+a )y 2+2ax =0 ④当b =0时，即B 点在x 轴上时，C (0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x 当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a =1时，④表示抛物线弧段.分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.一、选择题1.（★★★★）已知122lim =+-∞→nnnn n a a 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种 二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A ={x ｜x 2–3x +2=0},B ={x ｜x 2–ax +(a –1)=0}，C ={x ｜x 2–mx +2=0}，且A ∪B =A ，A ∩C =C ，则a 的值为 ，m 的取值范围为 .三、解答题5.（★★★★）已知集合A ={x ｜x 2+px +q =0}，B ={x ｜qx 2+px +1=0},A ,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B ={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y =f (x )的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n +1(n =0,1,2,…)时，该图象是斜率为b n 的线段（其中正常数b ≠1），设数列{x n }由f (x n )=n (n =1,2,…)定义.（1）求x 1、x 2和x n 的表达式；（2）计算∞→n lim x n ；（3）求f (x )的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f (x )=ax –bx 2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b ;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ； （3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件.参 考 答 案●难点磁场1.解析：即f (x )=(a –1)x 2+ax –41=0有解. 当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a 2–(a –1)＞0. 答案：252252+-<<--a 或a =1 2.解：(1)当a =0时，函数f (–x )=(–x )2+｜–x ｜+1=f (x )，此时f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (–a )=a 2+2｜a ｜+1.f (–a )≠f (a ),f (–a )≠–f (a ) 此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. （2）①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2–x +a +1=(x –21)2+a +43 若a ≤21，则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减. 从而函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a ＞21，则函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ，且f (21)≤f (a ). ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x –a +1=(x +21)2–a +43若a ≤–21，则函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (–21)=43–a ，且f (–21)≤f (a )；若a ＞–21，则函数f (x )在［a ,+∞)单调递增.从而函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上，当a ≤–21时，函数f (x )的最小值为43–a ； 当–21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1； 当a ＞21时，函数f (x )的最小值是a +43.●歼灭难点训练一、1.解析：分a =2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证. 答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C 46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种. 答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案：1或24.解析：A ={1,2},B ={x ｜(x –1)(x –1+a )=0}, 由A ∪B =A 可得1–a =1或1–a =2； 由A ∩C =C ，可知C ={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22） 三、5.解：设x 0∈A ，x 0是x 02+px 0+q =0的根. 若x 0=0，则A ={–2,0}，从而p =2,q =0,B ={–21}. 此时A ∩B =∅与已知矛盾，故x 0≠0. 将方程x 02+px 0+q =0两边除以x 02，得01)1()1(20=++x p x q . 即01x 满足B 中的方程，故01x ∈B . ∵A ∩B ={–2},则–2∈A ,且–2∈B .设A ={–2,x 0}，则B ={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B =∅）. 若x 0=–21，则01x –2∈B ,与–2∉B 矛盾.又由A ∩B ≠∅,∴x 0=1x ，即x 0=±1. 即A ={–2,1}或A ={–2,–1}.故方程x 2+px +q =0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1 ∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或 6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P ={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}.∵ON ⊥MN ,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1 设动点M 的坐标为(x ,y )，则2222)2(1y x y x +-=-+λ即（x 2–1)(x 2+y 2)–4λ2x +(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程. （1）当λ=1时，方程为x =45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线； （2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解：（1）依题意f (0)=0，又由f (x 1)=1，当0≤y ≤1，函数y =f (x )的图象是斜率为b 0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f∴x 1=1又由f (x 2)=2，当1≤y ≤2时，函数y =f (x )的图象是斜率为b 的线段，故由b x x x f x f =--1212)()(即x 2–x 1=b1∴x 2=1+b1 记x 0=0，由函数y =f (x )图象中第n 段线段的斜率为b n –1，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f又由f (x n )=n ,f (x n –1)=n –1 ∴x n –x n –1=(b1)n –1,n =1,2,…… 由此知数列{x n –x n –1}为等比数列，其首项为1，公比为b1. 因b ≠1，得∑==nk n x 1(x k –x k –1)=1+b 1+…+1)1(111--=--b b b bn n 即x n =1)1(1---b b b n （2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1，n →∞, x n 也趋于无穷大.∞→n lim x n 不存在.（3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y =x ，即当0≤x ≤1时，f (x )=x ;当n ≤y ≤n +1，即x n ≤x ≤x n +1由（1）可知 f (x )=n +b n (x –x n )(n =1,2,…),由（2）知 当b ＞1时，y =f (x )的定义域为［0,1-b b ); 当0＜b ＜1时，y =f (x )的定义域为［0,+∞). 8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1∵ba b a x b x f 4)2()(22+--= ∴ba b a f 4)2(2=≤1∵a ＞0,b ＞0 ∴a ≤2b .（2）证明：必要性： 对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒–1≤f (x ），据此可以推出–1≤f (1) 即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒f (x )≤1. 因为b ＞1，可以推出f (b 1)≤1即a ·b1–1≤1， ∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］. 可以推出ax –bx 2≥b (x –x 2)–x ≥–x ≥–1 即ax –bx 2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx 2≤2b x –bx 2≤1 即ax –bx 2≤1,∴–1≤f (x )≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b . (3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f (x )=ax –bx 2≥–b ≥–1 即f (x )≥–1f (x )≤1⇒f (1)≤1⇒a –b ≤1 即a ≤b +1a ≤b +1⇒f (x )≤(b +1)x –bx 2≤1 即f (x )≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是a ≤b +1.。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．4．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．535．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a .考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是 ． 2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x x y x -=+D ．||sin 4e x x xy +=2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）． A ．1-B ．0C ．12D ．16．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．538．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则=a .10．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．12．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称参考答案 考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f < D ．(20)10000f <【答案】B【答案分析】代入得到(1)1,(2)2==f f ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【答案详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2==f f ， 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键是利用(1)1,(2)2==f f ，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【答案分析】利用分段函数的形式可求()3f .【答案详解】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．【答案】1【答案分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答. 【答案详解】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：14．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a . 【答案】2【答案分析】由题意结合函数的答案解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【答案详解】()()642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =， 故答案为：2.考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是 ． 【答案】()(],00,1-∞⋃【答案分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【答案详解】解：因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠， 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃； 故答案为：()(],00,1-∞⋃2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+ B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞【答案】B【答案分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，再解不等式组即可.【答案详解】由题知：0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠. 所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选：B考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．[1,0]- C ．[1,1]- D ．[0,)+∞【答案】B【答案分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【答案详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤， 即a 的范围是[1,0]-. 故选：B.2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln f x x =- B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=【答案】C【答案分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【答案详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减， 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误； 对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减， 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,222a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】A【答案分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【答案详解】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，4112⎛-= ⎝⎭，而22491670-=+=>，41102⎛-=> ⎝⎭，即1122->-由二次函数性质知g g <，4112⎛-= ⎝⎭，而22481682)0-=+-=-=-<，112<-，所以(2g g >，综上，(2g g g <<， 又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>. 故选：A.4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【答案分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【答案详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选：D5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 【答案】D【答案分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【答案详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0∞-为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =R 上的增函数，符合题意， 故选：D.6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数【答案】C【答案分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【答案详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <. 所以函数()f x 一定是增函数. 故选：C7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【答案分析】根据函数的答案解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【答案详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3y x =在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增，而331y x x -==在()0,+?上单调递减，在(),0-?上单调递减，所以函数()331f x x x =-在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增．故选：A ．【名师点评】本题主要考查利用函数的答案解析式研究函数的性质，属于基础题．考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x xy +=【答案】B【答案分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【答案详解】对A ，设()22e 1x xf x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ， 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误； 对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141e ϕ---=， 则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误. 故选：B.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【答案分析】根据奇函数的性质可求参数a .【答案详解】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=，故0a =， 故答案为：0.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．【答案】2【答案分析】利用偶函数的性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解.【答案详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++， 所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==， 又定义域为R ，故()f x 为偶函数， 所以2a =. 故答案为：2.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数，则=a （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【答案分析】根据偶函数的定义运算求解.【答案详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---， 又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=， 则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =. 故选：D.5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）． A ．1- B ．0C ．12D ．1【答案】B【答案分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a 值，再检验即可.【答案详解】因为()f x 为偶函数，则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，，解得0a =， 当0a =时，()21ln21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得12x >或12x <-，则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-， 故此时()f x 为偶函数. 故选：B.6．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 【答案】 12-； ln 2．【答案分析】根据奇函数的定义即可求出． 【答案详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称0a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠- 1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-， 由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参 111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+--- 1()1ax a f x lnb x++-=++函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=- 1222241,22b ln b ln a b ln ln -==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意． 故答案为：12-；ln 2．7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．【答案】()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）【答案分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【答案详解】取()4f x x =，则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===，满足①， ()34f x x '=，0x >时有()0f x ¢>，满足②， ()34f x x '=的定义域为R ，又()()34f x x f x ''-=-=-，故()f x '是奇函数，满足③.故答案为：()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a .【答案】1【答案分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【答案详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x xf x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x xa --，故1a =， 故答案为：110．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【答案分析】分别求出选项的函数答案解析式，再利用奇函数的定义即可. 【答案详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B【名师点评】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【答案分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【答案详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【名师点评】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D【答案分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x \为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【名师点评】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【答案分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出． 【答案详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4， 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=， 所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=， 由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【答案】B【答案分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【答案详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-， 因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D【答案分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数答案解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【答案详解】[方法一]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． [方法二]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =． 所以91352222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．【名师点评】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【答案】AD【答案分析】A 选项，先答案分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行答案分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【答案详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增， (0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值， 由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <， 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确； B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减， ,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-， 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误； D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=， 即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 故选：AD【名师点评】结论名师点评：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【答案分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【答案详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确； 对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC.[方法三]： 因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数， 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-， 所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称， 又()()g x f x '=，且函数()f x 可导， 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【答案分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【答案详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ . 故选：D【名师点评】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x ，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称【答案】D【答案分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【答案详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x x π≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错； ()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D【名师点评】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本答案分析判断能力，属中档题.。
新课标高考数学分类精编(精华文档)(2020-2021) (11)
2018年-2020年新课标高考数学（理科）试题分类精编第10部分-不等式一. 选择题1.(2020年天津理6）设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为即2的6< 为312<-<a 3.(2019年海南理6)已知1230a a a >>>，则使得2(1)1(123)i a x i -<=，，都成立的x 取值范围是（ ）A ．110a ⎛⎫⎪⎝⎭， B ．120a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．310a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．320a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解：22222(1)120()0i i i i i a x a x a x a x x a -<⇒-<⇒-<，所以解集为2(0,)ia ，又123222a a a <<，因此选B 。
二. 填空题1.（2020年山东理14）若对任意0x ＞，xa ≤恒成立，则a 的取。
4.(2020年山东理13)不等式0212<---x x 的解集为 . 【解析】:解集为{|11}x x -<<.5.(2019年山东理16)若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值范围为 ．解：34x b-<4433b bx-+⇒<<，4013574343bbb-⎧<<⎪⎪⇒⇒<<⎨+⎪<<⎪⎩即范围为(5,7)6.(2019年江苏11)设,,x y z为正实数，满足230x y z-+=，则2yxz的最得集。
专题01 集合(原卷版)-2020-2021学年高考数学精选新题专项汇编(全国通用)
2020-2021学年高考数学精选新题专项汇编（全国通用）专题01 集合一．选择题1．（2021•六模拟）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．若B⊆A，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．[0，2]2．（2021•十模拟）已知集合A＝{x|kx﹣1＞0}，B＝{x|（x+2）（x﹣6）≤0}，若A∩B＝（2，6]，则⊆R A ＝（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，﹣2）3．（2021•十八模拟）设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{1，m}，且A∩B有4个子集，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，1）∪（1，3）C．（﹣2，3）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）4．（2020•东城区模拟）某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．55．（2020•荆门模拟）设函数f（x）＝sin（ωx+φ），A＝{（x0，f（x0））|f'（x0）＝0}，B={(B，B)|B232+B22≤1}，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（）A．[34B，54B)B．[34B，B)C．[B，54B)D．[B，32B)6．（2020•北碚区模拟）已知集合A＝{0，1}，B＝{z|z＝x+y，x⊆A，y⊆A}，则B的子集个数为（）A．3B．4C．7D．87．（2020•浦东新区二模）设集合S＝{1，2，3，…，2020}，设集合A是集合S的非空子集，A中的最大元素和最小元素之差称为集合A的直径．那么集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为（）A．71•1949B．270•1949C．270•37•1949D．270•72•19498．（2016•浙江）已知集合P＝{x⊆R|1≤x≤3}，Q＝{x⊆R|x2≥4}，则P∪（⊆R Q）＝（）A．[2，3]B．（﹣2，3]C．[1，2）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）二．填空题9．（2020•镇江三模）已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a2}，若A∩B＝{a}，则实数a＝．10．（2020•南开区二模）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}，⊆R B＝{x|x≤0或x＞3}，则A∩B ＝．11．（2020•下城区校级模拟）已知a＞0，若集合A＝{x⊆Z||2x2﹣x﹣a﹣2|+|2x2﹣x+a﹣2|＝2a}中的元素有且仅有两个，则实数a的取值范围是．12．（2020•盐城四模）若集合P＝{（x，y）|x2+y2﹣4x＝0}，Q={(B，B)||B+2|B≥√15}，则P∩Q表示的曲线的长度为．13．（2020•浙江模拟）已知函数f（x）＝x2+ax+a，A＝{x⊆R|f（x）≤x}，B＝{x⊆R|f[f（x）]≤f（x）}，A ≠⊆，A⊆B，则实数a的取值范围是．14．（2020•安丘市模拟）设集合A＝{（m1，m2，m3）|m i⊆{﹣2，0，2}，i⊆{1，2，3}}，则集合A满足条件：“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为．15．（2020•雨花区校级模拟）设集合A＝{（x，y）|y≥|x﹣1|}，B＝{（x，y）|y≤﹣|x|+a}，A∩B≠⊆．（Ⅰ）实数a的取值范围是；（Ⅱ）当a＝3时，若（x，y）⊆A∩B，则2x+y的最大值是．16．（2019•上海）已知集合A＝[t，t+1]∪[t+4，t+9]，0⊆A，存在正数λ，使得对任意a⊆A，都有BB∈B，则t的值是．17．（2019•上海）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝．三．解答题18．（2019•南通模拟）已知对给定正整数n≥2，集合P n＝{p＞0|p=B12+B222+⋯⋯+B B2B}，其中a k⊆{﹣1，1}，（1≤k≤n，n⊆N*），设Card（P n）表示集合P n中元素的个数．（1）求Card（P2），Card（P3）的值；（2）求Card（P n）．＜2B≤8}，B={B|B≤B＜1+3B}，D＝{x|x⊆A，或19．（2019•西湖区校级模拟）.已知集合B={B|12x⊆B}．（1）当m＝1时，求集合D；（2）若B⊆⊆R A，求实数m的取值范围．20．（2019•西湖区校级模拟）已知集合A＝{x|2≤x≤8}，集合B＝{x|1＜x＜6}，集合C＝{x|m≤x＜1+2m}，全集U＝R．（Ⅰ）求A∩B，（⊆U A）∪B；（Ⅱ）若A∩C＝⊆，求实数m的取值范围．21．（2020•大兴区一模）已知数列a1，a2，…，a10满足：对任意的i，j⊆{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若i≠j，则a i≠a j，且a i⊆{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{a i+a i+1+a i+2|i＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．（Ⅰ）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合A及m（A），n（A）；（Ⅱ）求证：m（A）不可能为18；（Ⅲ）求m（A）的最大值以及n（A）的最小值．22．（2019•江苏一模）设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n⊆N*的子集．记B 中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．23．（2019•西湖区校级模拟）已知集合M＝{x|1＜x＜2}，集合N＝{x|3＜x＜4}．（1）求⊆R N，M∩（⊆R N）；（2）设集合A＝{x|a＜x＜a+2}，若N⊆A，求实数a的取值范围．24．（2020•海淀区校级一模）对于非负整数集合S（非空），若对任意x，y⊆S，或者x+y⊆S，或者|x﹣y|⊆S，则称S为一个好集合，以下记|S|为S的元素个数．（1）给出所有的元素均小于3的好集合，（给出结论即可）（2）求出所有满足|S|＝4的好集合．（同时说明理由）（3）若好集合S满足|S|＝2019，求证：S中存在元素m，使得S中所有元素均为m的整数倍．25．（2019•西湖区校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣6x+8＜0}，B＝{x|（x﹣a）•（x﹣3a）＜0}．（1）若a＝1，求A∩B；（2）若A∩B＝⊆，求a的取值范围．。
新高考数学多项选择题分类精编题集（含答案解析）
新高考多项选择题分类精编题集说明：新高考山东卷、海南卷开始第1年使用，试卷结构发生改变，其中多项选择题的出现是与以往试卷的一大改变。
关于数学多项选择题的题目很少，本人收集了今年山东、海南高考卷，以及山东、海南等地今年的模拟试卷中的多项选择题，按照章节内容、具体知识点分类汇编成册.时间仓促，极少数题目详解未录入.2020年8月2日目录第一章函数与导数 (1)1.1指对数运算 (1)1.2具体函数性质判定 (1)1.3抽象函数性质判断 (3)1.4新定义问题 (4)第二章三角函数与解三角形 (6)2.1三角函数图象与性质 (6)2.2解三角形 (8)第3章立体几何 (9)3.1线面关系判定 (9)3.2正方体中静态线面关系判定 (9)3.3柱体中动态线面关系判定 (10)3.4锥体中线面关系判定 (12)第4章平面解析几何 (15)4.1直线与圆 (15)4.2圆锥曲线定义 (15)4.3椭圆性质 (15)4.4双曲线性质 (16)4.5抛物线性质 (17)第5章概率与统计 (19)5.1统计图、表的识别 (19)5.2概率运算 (22)5.3相关概念识别 (23)第6章复数、不等式、数列、二项式定理 (25)6.1复数 (25)6.2基本不等式 (25)6.3数列 (25)6.4二项式定理 (26)参考答案 (27)第一章一、指对数运算1．若10a 4，10b 25，则（A ．a b 2B ．b a 1）函数与导数C ．ab 81g 22D ．b a lg6)2．已知a x lg x ，b y lg y ，c x lg y d y lg x ，且x 1，y 1，则(A ．∃x ，y R ，使得a b c dB ． x ，y R ，都有c ＝dC ．∃x ，y 且x y ，使得a ＝b ＝c ＝dD ．a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1二、具体函数性质判断3．下列函数中，既是偶函数，又在(0, )上单调递增的是（A ．y ln(1 9x 2 3x )C ．y x 2 1B ．y e x e x D ．y cos x 3）4．已知函数f (x ) e x e x ，g (x ) e x e x ，则以下结论错误的是A ．任意的x 1，x 2 R 且x 1 x 2，都有B ．任意的x 1，x 2 R 且x 1 x 2，都有C ．f (x )有最小值，无最大值5．“已知函数f (x ) x 2 cos x ，对于[f (x 1) f (x 2) 0x 1x2g (x 1) g (x 2)0x 1x2D ．g (x )有最小值，无最大值,]上的任意x 1，x 2，若_______，则必有22f (x 1) f (x 2)恒成立．”在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是A ．|x 1| x2B ．x 1x 22C ．x 12 x 2D ．）x1 1x26．已知函数f (x )＝x +sin x -x cos x 的定义域为[-2π，2π），则（A ．f (x )为奇函数C ．f (x )恰有4个极大值点B ．f (x )在[0，π）上单调递增D ．f (x )有且仅有4个极值点）7.已知f (x ) x 3 6x 2 9x abc ,a b c 且f (a ) f (b ) f (c ) 0.如下结论正确的为（A.f (0)f (1) 0B.f (0)f (1) 0C.f (0)f (3) 0D.f (0)f (3) 08．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x 3) f (x )，当x [0,3]时，f (x ) x 2 3x ，下列等式成立的是（）A ．f (2019) f (2020) f (2021)C ．2f (2019) f (2020) f (2021)B ．f (2019) f (2021) f (2020)D ．f (2019) f (2020) f (2021)9.设函数f (x )是定义在R 上的函数，满足f ( x ) f (x ) 0，且对任意的x R ，恒有 1 f (x 2) f (2 x )，已知当x [0,2]时，f (x ) 2 2 x ，则有（）A.函数f (x )的最大值是1，最小值是14B.函数f (x )是周期函数，且周期为2 1 D.当x [2,4]时，f (x ) 22 x C.函数f (x )在[2,4]上递减，在[4,6]上递增2 x 2x ，x 010．已知函数f x ，以下结论正确的是f x 2 ，x 0A ．f 3 f 2019 3B ．f x 在区间[4，5]上是增函数11 C ．若方程f x kx 1恰有3个实根，则k 的取值范围为 ，24D ．若函数y f x b 在 ，4 上有6个零点x ii 1，2，3，4，5，6 ，则 x if x i的取值范围i 16是(0，6) ln x ,x 011．设函数f xx，若函数g x f x b 有三个零，则实数b 可取的值可e x 1 ,x 0能是(A ．0)B ．12C ．1D ．212．设定义在R 上的函数f x 满足f x f x x 2，且当x 0时，f x x .己知存在112 x 0 x f x x 2 f 1 x 1 x ，且x 0为函数g x e x ex a (a R ,e 为22自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（A ．12）D ．e)B ．e 2C ．e 213.已知函数y f (x )的导函数f (x )的图象如图所示，则下列判断正确的是(1A.函数y f (x )在区间( 3, )内单调递增2B.当x 2时，函数y f (x )取得极小值C.函数y f (x )在区间(－2,2)内单调递增D.当x 3时，函数y f (x )有极小值14．已知ln x 1x 1y 12 0，x 22y 24 2ln 2 0，记M x 1x2y1y2，则（22）A ．M 的最小值为C ．M 的最小值为25545B ．当M 最小时，x 2D ．当M 最小时，x 21256515．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定 1,x Q 义了一个“奇怪的函数”y f x 其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数0,x C Q Rf x 有如下四个命题,正确的为(A ．函数f x 是偶函数)B ． x 1,x 2RQ ,f x 1 x2f x 1f x 2恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ,f (x +T )=f (x )对任意的x R 恒成立D ．不存在三个点A x 1,f x1,B x 2,f x 2,C x 3，f x 3,使得 ABC 为等腰直角三角形三、抽象函数性质判断16.函数f (x )的定义域为R ，且f (x 1)与f (x 2)都为奇函数，则(A.f (x )为奇函数C.f (x 3)为奇函数B.f (x )为周期函数D.f (x 4)为偶函数)17．已知函数y f (x )是R 上的偶函数，对于任意x R ，都有f (x 6) f (x ) f (3)成立，当x 1,x 2 [0,3]，且x 1 x 2时，都有命题为（A ．f (3) 0B ．直线x 6是函数y f (x )的图象的一条对称轴C ．函数y f (x )在[ 9, 6]上为增函数D ．函数y f (x )在[ 9,9]上有四个零点18.已知f (x )是定义在R 上的函数，f (x )是f (x )的导函数．给出如下四个结论,正确是．A.若f (x )f (x )0，且f (0) e ，则函数xf (x )有极小值0；xf x 1 f x 2 x 1x20，给出下列命题，其中所有正确）.B.若xf (x ) 2f (x ) 0，则4f (2n 1) f (2n )，n N ；C.若f (x ) f (x ) 0，则f (2017) ef (2016)；D.若f (x ) f (x ) 0，且f (0) 1，则f (x ) e x 的解集为(0, )．19.已知定义在R上的函数f(x)，对于任意的x,y R恒有f(x y) f(x y) 2f(x)f(y)，且f(0) 0.若存在正数t，使得f(t) 0.给出下列四个结论：t1①f(0) 1；②f2() ；③f(x)为偶函数，④f(x)为周期函数.24其中正确的结论编号是A.①B.②C.③D.④四、新定义问题20．已知集合M=x,y y f x ,若对于 x1,y1M, x2,y2M,使得x1x2y1y20成立，则称集合M是“互垂点集”.给出下列四个集合:M1M2x,y y x 1；2x,y y x 1；M3x,yy e；Mx4x,yy sin x 1 .其中是“互垂点集”集合的为( A．M1)B．M2C．M3D．M4x1x21)f(x1) f(x2)则2221．函数f(x)在[a,b]上有定义，若对任意x1,x2[a,b]，有f(称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P，则下列说法错误的是：（A．f(x)在[1,3]上的图像是连续不断的；B．f(x2)在[1,3]上具有性质P；C．若f(x)在x 2处取得最大值1，则f(x) 1，x [1,3]；D．对任意x1,x2,x3,x41,3 ，有f(x1x2x3x41)f(x1) f(x2)+f(x3)+f(x4)44）22．定义：N{f(x) g(x)}表示f(x) g(x)的解集中整数的个数．若f(x) |log2x|，g(x) a(x 1)2 2，则下列说法正确的是A．当a 0时，N{f(x) g(x)}=01B．当a 0时，不等式f(x) g(x)的解集是(,4)4C．当a 0时，N{f(x) g(x)}=3D．当a 0时，若N{f(x) g(x)} 1，则实数a的取值范围是( , 1]23．定义：若函数Fx 在区间 a，b 上的值域为 a，b ，则称区间 a，b 是函数F x 的“完美区间”，另外，定义区间Fx 的“复区间长度”为2 b a ，已知函数f x x2 1，则（）A．0,1 是f x 的一个“完美区间”1 51 5B． , 是f x 的一个“完美区间”22x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3 5 C．fx 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3 25 D．f第二章一、三角函数图象与性质三角函数与解三角形1．要得到y cos 2x 的图象C 1,只要将y sin 2x 图y sin 2x 象C 2怎样变化得到3 3()A ．将y sin 2x 的图象C 2沿x 轴方向向左平移个单位12311 B ．将y sin 2x 的图象C 2沿x 轴方向向右平移个单位312C ．先作C 2关于x 轴对称图象C 3,再将图象C 3沿x 轴方向向右平移D ．先作C 2关于x 轴对称图象C 3,再将图象C 3沿x 轴方向向左平移2.右图是函数y sin( x )的部分图像，则sin( x ) A.B.C.D.sin(x sin(5个单位12个单位12 )3y 1O 62 3x2x )3)6cos(2x cos(52x )63.在下列函数中，最小正周期为 的是（A.y |cos x |B.y sin |x |）C.y cos(2x)6D.y tan(2x)44．将函数f (x ) sin 3x 3cos3x 1的图象向左平移个单位长度，得到函数g (x )的图象，65 2对称；②它的最小正周期为；93给出下列关于g (x )的结论：①它的图象关于直线x ③它的图象关于点(是（A ．①）B ．②C ．③11 5 19,1)对称；④它在[,]上单调递增．其中正确的结论的编号1839D ．④个单位长度65．已知函数f x 2sin 2x 0 ，若将函数f x 的图象向右平移后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是()A ．56B ． ,0 是f x 图象的一个对称中心12C ．f 2D ．x 是f x 图象的一条对称轴6）6．已知函数f x sin 3x 的图象关于直线x对称，则（422 A ．函数f x 为奇函数12B ．函数f x 在 , 上单调递增123 C ．若f x 1f x22，则x 1x 2的最小值为D ．函数f x 的图象向右平移3个单位长度得到函数y cos3x 的图象47．将函数f x 3cos 2x 1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长33 度，得到函数g x 的图象，则下列关于函数g x 的说法正确的是（A ．最大值为3，图象关于直线x C ．最小正周期为）对称12B ．图象关于y 轴对称D ．图象关于点 ,0 对称 48．已知函数f (x ) sin 2x 2sin 2x 1，给出下列四个结论，其中正确的结论是（A ．函数f (x )的最小正周期是2）.5 B ．函数f (x )在区间, 上是减函数 88 C ．函数f (x )的图象关于直线x对称:8个单位得到4D ．函数f (x )的图象可由函数y 2sin 2x 的图象向左平移π9．已知函数f (x ) 2cos 2x cos(2x ) 1，则2A ．f (x )的图象可由y 2sin 2x 的图象向左平移πB ．f (x )在(0,)上单调递增8π个单位长度得到4C ．f (x )在[0,π]内有2个零点πD ．f (x )在[ ,0]上的最大值为22sin x ,x 4，则下列结论正确的是（10．已知函数f (x )cos x ,x4A ．f (x )不是周期函数C ．f (x )的图象关于直线xB ．f (x )奇函数）对称4D ．f (x )在x 5处取得最大值211.已知函数f (x ) |sin x ||cos x |，则下列说法正确的是（A ．f (x )的图象关于直线x ）对称2B ．f (x )的周期为2D ．f (x )在区间 ，上单调递增 4212．已知向量m sin x ， 3,n cos x ,cos 2x ，函数f (x ) 2m n 3 1，下列命题，说C ．( ,0)是f (x )的一个对称中心法正确的选项是（）A ．f x 2f (x ) 6B ．f x 的图像关于x 对称4 6D ．若x 1,x 2,x 3, ，则f (x 1) f (x 2) f (x 3)32C ．若0 x 1 x 2 ，则f (x 1) f (x 2)2二、解三角形13．在 ABC 中，D 在线段AB 上，且AD 5,BD 3若CB 2CD ,cos CDBA ．sin CDB3105，则（5）B ． ABC 的面积为8D ． ABC 为钝角三角形C ． ABC 的周长为8 4514.给出下列四个命题，其中正确命题的为A.在 ABC 中，A B 是cos A cos B 的充分不必要条件；B.若f (x ) x cos x ，则f (x )是偶函数；C.f (x ) 2cos(2x 5 )的一个对称中心是(，0)；312c，则 ABC 是等腰三角形.bD.在 ABC 中，若cos A第三章立体几何一、线面关系判定1.已知l ,m 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，且l // ,m ，则下列命题中正确的是A.若 // ，则m C.若l m ，则l //B.若 ，则l m D.若m // ，则二、正方体中静态线面关系判定2．如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是（）A ．B ．C ．D ．3.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点.则A.直线D 1D 与直线AF 垂直B.直线A 1G 与平面AEF 平行C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为D.点C 与点G 到平面AEF 的距离相等4．已知在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，H 分别是AB ，A 1D 1，BC 1的中点，下列结论中正确的是(A ．D 1C 1∥平面CHDC ．三棱锥D ﹣BA 1C 1的体积为5698)B ．AC 1⊥平面BDA 1D ．直线EF 与BC 1所成的角为30°)5．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列四个命题正确的是(A ．直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于B ．点C 到面ABC 1D 1的距离为224C ．两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角为D ．三棱柱AA 1D 1 BB 1C 1外接球半径为4326．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，如图，M ,N 分别是正方形ABCD ，BCC 1B 1的中心.则下列结论正确的是（）A ．平面D 1MN 与B 1C 1的交点是B 1C 1的中点B ．平面D 1MN 与BC 的交点是BC 的三点分点C ．平面D 1MN 与AD 的交点是AD 的三等分点D ．平面D 1MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶17．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在线段CB 1上，且B 1P 2PC ，过点A ,P ,C 1的平面分别交BC ,A 1D 1于点E ,F ，则下列说法正确的是A ．AC 1EFC ．平面AEC 1F ⊥平面AA 1D 1D∥平面AC 1F B ．A 1BD ．过点A ,P ,C 1的截面的面积为268．如右图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．则以下命题正确的是（）B ．AH 平面CB 1D1D ．直线AH 和BB 1所成角为45A ．点H 是△A 1BD 的重心C ．AH 延长线经过点C1三、柱体中动态线面关系判定9．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF 则下列结论中正确的是（A ．AC BE B ．EF //平面ABCDC ． AEF 的面积与 BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF 的体积为定值10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，F 是棱A 1D 1上动点，下列说法正确的是（A ．对任意动点F ，在平面ADD 1A 1内存在与平面CBF 平行的直线1，2））.B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从A 1运动到D 1的过程中，FC 与平面ABCD所成的角变大D ．当点F 从A 1运动到D 1的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小11．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，已知平面 AC 1，则关于 截此正方体所得截面的判断正确的是A ．截面形状可能为正三角形C ．截面形状可能为正六边形B ．截面形状可能为正方形D ．截面面积最大值为3312．如图,正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点E 在线段A 1C 1上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点,则下列结论中正确的是A ．FM //A 1C1B ．BM 平面CC 1FC ．存在点E ，使得平面BEF //平面CC 1D 1DD ．三棱锥B CEF 的体积为定值13.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB 1，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP BD 1，则以下四个结论正确的是（A.V P AA 1DC.AP BC113）B.点P 必在线段B 1C 上D.AP //平面A 1C 1D .14．已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱AA 11，P 为上底面A 1B 1C 1D 1上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（）A ．若PD 3，则满足条件的P 点有且只有一个B ．若PD 3，则点P 的轨迹是一段圆弧C ．若PD ∥平面ACB 1，则DP 长的最小值为2D ．若PD ∥平面ACB 1，且PD 3，则平面BDP 截正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的外接球所得平面图形的面积为9415．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝2AB ＝2，AB ⊥AC ，点D ，E 分别是3EC DC线段BC ，B 1C 上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（）B 1C BCA ．ED ∥平面ACC 1B ．该三棱柱的外接球的表面积为68πC ．异面直线B 1C 与AA 1所成角的正切值为D ．二面角A ﹣EC ﹣D 的余弦值为41332四、锥体中的线面关系判定16．在空间四边形ABCD 中,E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点,当BD //平面EFGH 时,下面结论正确的是()B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点C ．AE :EB AH :HD ，且BF :FC DG :GC17．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形， DAB 60 ，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD 平面ABCD ，则下列说法正确的是（A ．在棱AD 上存在点M ，使AD 平面PMB B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90°C ．二面角P BC A 的大小为45°D ．BD 平面PAC18．在三棱锥D -ABC 中，AB BC CD DA 1，且AB BC ，CD DA ，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，下面结论正确的是（A ．AC BDC ．三棱锥A -CMN 的体积的最大值为212））B ．MN //平面ABDD ．AD 与BC 一定不垂直19．三棱锥P−ABC 的各顶点都在同一球面上，PC 底面ABC ，若PC AC 1，AB 2，且 BAC 60 ，则下列说法正确的是（A ． PAB 是钝角三角形）B ．此球的表面积等于5C ．BC 平面PACD ．三棱锥A−PBC 的体积为3220．如图，在四棱锥P ABCD 中，PC 底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB //CD ，AB AD ，AB 2AD 2CD 2，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是（）A ．若PB 2PE ，则EF //平面PACB ．若PB 2PE ，则四棱锥P ABCD 的体积是三棱锥E ACB 体积的6倍C ．三棱锥P ADC 中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP 平面ACE21．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将 ABM 沿直线AM 翻折成 ABM ，连结B 1D ，N 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）A ．存在某个位置，使得CN AB B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM ，则AM B 1DD ．若AB BM 1，当三棱锥B 1AMD 的体积最大时，三棱锥B 1AMD 的外接球的表面积是422．如图所示，在四棱锥E ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形， CDE 是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（A ．若BC DE 时，平面CDE 平面ABCDB ．若BC DE 时，直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为C ．若直线BM 和EN 异面时，点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE 平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心时，BM EN104）23．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的2（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（）A ．沙漏中的细沙体积为102481cm 3B ．沙漏的体积是128 cm 3C ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD ．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（ 3.14）第四章平面解析几何一、直线与圆1．已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，点A是直线y＝kx﹣3上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A与圆C没有公共点，则整数k的值可能为( A．﹣2B．﹣1C．0)D．12．设有一组圆Ck:(x k 1)2 (y 2k)2 1，下列说法正确的是A．这组圆的半径均为1B．直线2x y 2 0平分所有的圆CkC．存在无穷多条直线l被所有的圆Ck截得的弦长相等D．存在一个圆Ck与x轴和y轴均相切二、圆锥曲线定义3.已知曲线C:mx2 ny2 1.A. B. C. D.若m n 0，则C是椭圆，其焦点在y轴上若m n 0，则C是圆，其半径为n若mn 0，则C是双曲线，其渐近线方程为y若m 0，n 0，则C是两条直线mxn三、椭圆性质4.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴2b、2c，则（长、焦距分别为2a、A．a c m R B．a c n R ）C．2a m n D．b (m R)(n R)x2y25．设椭圆的方程为 1，斜率k为的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A,B两24点，M为线段AB的中点.下列结论正确的是（A．直线AB与OM垂直；B．若点M坐标为1,1 ，则直线方程为2x y 3 0；13C．若直线方程为y x 1，则点M坐标为 ,34）D ．若直线方程为y x 2，则AB42.3x 2y 26.已知椭圆 1的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m ( 1 m 1)与椭圆相交于43点A 、B ，则（）B ．不存在m 使 FAB 为直角三角形D ．存在m ，使 FAB 的周长最大A ．当m 0时， FAB 的面积为3C ．存在m 使四边形FBEA 面积最大四、双曲线性质x 2y 27.已知双曲线 21的右焦点与抛物线y 2 12x 的焦点F 重合，则（4b ）A.双曲线的实轴长为2C.双曲线的渐近线方程为y 5x2B.双曲线的离心率为3D.F 到渐近线的距离为58.已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y x 2A.C 的方程为 y 2 13C.曲线y e x 2 1经过C 的一个焦点3x ，则下列结论正确的是3B.C 的离心率为3D.直线x 2y 1 0与C 有两个公共点x 2y 29.已知双曲线C :2 21(a 0,b 0)的离心率e ＝2，C 上的点到其焦点的最短距离为1，a b 则（）B ．C 的渐近线方程为y 3xD ．直线mx ﹣y ﹣m ＝0（m R ）与C 恒有两个交点A ．C 的焦点坐标为（0，±2）C ．点（2，3）在C 上x 2y 210.双曲线2 21(a 0,b 0)的一条渐近线上的点M ( 1,3)关于另一条渐近线的对称a b 点恰为右焦点F ，点P 是双曲线上的动点，则|PM | |PF |的值可能为A.4B.43C.2D.23x 2y 211.已知双曲线2 21(a 0，b 0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，a b 且|PF 1| 2|PF 2|，若sin F 1PF 2 是（A ．e 3）B ．e 215，则对双曲线中a ，b ，c ，e 的有关结论正确的4C ．b 5aD ．b 3a15x 2y 212.设F 1,F 2为双曲线C :2 21(a 0,b 0)的左、右焦点，过左焦点F 1且斜率为的7a b直线l与C在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是（A．直线l倾斜角的余弦值为78）43 B．若F1P F1F2，则C的离心率eC．若PF2 F1F2，则C的离心率e 2D．△PF1F2不可能是等边三角形x2y213．已知点P在双曲线C: 1上，F1、F2是双曲线C的左、右焦点，若 PF1F2的面169积为20，则下列说法正确的有（A．点P到x轴的距离为203）B．PF1PF2D． F1PF2503C． PF1F2为钝角三角形3x2y21的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，14．已知点P是双曲线E：169PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是（）803A．点P的横坐标为C． F1PF2小于203B． PF1F2的周长为3D． PF1F2的内切圆半径为34五、抛物线性质15．设A，B是抛物线y=x2上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是（A．若OA OB，则OA OB 2B．若OA OB，直线AB过定点(1,0)C．若OA OB，O到直线AB的距离不大于1D．若直线AB过抛物线的焦点F，且AF 1，则|BF| 13）16．设抛物线C:y2 2pxp 0 的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，FA 为半径的圆交l于B,D两点，若 ABD 90o，且 ABF的面积为93，则(A．BF 3C．点F到准线的距离为3B． ABF是等边三角形D．抛物C的方程为y2 6x)17．已知抛物线x2 2py(p 0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（）A．抛物线的方程是x2 2yC．sin QMN的最小值是12B．抛物线的准线是y 1D．线段AB的最小值是6第五章概率与统计一、统计图、表的识别1．甲、乙两位体育特长生在平时训练中，5次的成绩如下面的茎叶图所示，则下列说法正确的是（）A ．甲同学成绩的极差为18C ．乙同学成绩的中位数是85B ．乙同学的平均成绩较高D ．甲同学成绩的方差较小2．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类营业收入占比净利润占比90.10%95.80%）冰箱类4.98%﹣0.48%小家电类3.82%3.82%其它类1.10%0.86%则下列判断中正确的是（A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低3．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：所需时间（分钟）线路一线路二则下列说法正确的是（）300.50.3400.20.5500.20.1600.10.1A ．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B ．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C ．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D ．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.044．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如柱形图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图2所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（A ．他们健身后，体重在区间[90，100）内的人数增加了2个B ．他们健身后，体重在区间[100，110）内的人数没有改变）C ．因为体重在[100，110）内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D ．他们健身后，原来体重在区间[110，120）内的肥胖者体重都有减少5．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数越小，表明空气质量越好，表1是空气质量指数与空气质量的对应关系，图1是经整理后的某市2019年2月与2020年2月的空气质量指数频率分布直方图表1空气质量指数（AQI ）优（AQI 50）良（50 AQI 100）轻度污染（100 AQI 150）中度污染（150 AQI 200）重度污染（200 AQI 300）严重污染（AQI>300）下列叙述正确的是A ．该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032B ．该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量C．该市2020年2月份空气质量指数的中位数小于2019年2月份空气质量指数的中位数D．该市2020年2月份空气质量指数的方差大于2019年2月份空气质量指数的方差6．我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为140的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各70人；男性60人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别有关C．调查样本中倾向选择生育二胎的群群中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的群群中，农村户籍人数多于城镇户籍人数7.下图为某地区2006年 2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该折线图可知，该地区2006年 2018年A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大8．“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007~2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论正确的有（）A．2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大B．2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小C．该企业连续12年来研发投入逐年增加D．该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加9．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）A．年接待游客量逐年增加B．各年的月接待游客量高峰期大致在8月C．2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳二、概率运算10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（A．P B 25）B．P B|A1511C．事件B与事件A1相互独立D．A1，A2，A3是两两互斥的事件11．甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（）A．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件B．甲的不同的选法种数为15C．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是D．乙、丙两名同学都选物理的概率是94916三、相关概念辩别12．下列说法中，正确的命题是（）A．已知随机变量 服从正态分布N2, 2，P4 0.84，则P 2 4 0.16．B．以模型y ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ln y，将其变换后得到线性方程z 0.3x 4，则c，k的值分别是e4和0.3．C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx，若b 2，x 1，y 3，则a 1．D．若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x11，2x21，…，2x101的方差为16．13．下列命题中是真命题的是（）A．“x 1”是“x2 1”的充分不必要条件B．命题“ x 0，都有sin x 1”的否定是“ x0 0，使得sin x1”C．数据x1,x2, ,x8的平均数为6，则数据2x15,2x25, ,2x85的平均数是63x 2y 1 0 D．当a 3时，方程组2有无穷多解a x 6y a14.下列说法正确的是（）ˆ 0.85x 2.3中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量yˆ平A.在回归直线方程y均减少2.3个单位B.两个具有线性相关关系的变量，当相关指数R2的值越接近于0，则这两个变量的相关性就越强C.若两个变量的相关指数R2 0.88，则说明预报变量的差异有88%是由解释变量引起的ˆ 0.85x 2.3中，相对于样本点(1，1.2)的残差为—0.25D.在回归直线方程y15．下列判断正确的是（）A．命题p“，则p的否定：“ x 0，都有x2 x 1 0”: x 0，使得x2 x 1 0”B． ABC中，角A,B,C成等差数列的充要条件是B 3ˆ aˆ bxˆ必经过点x1,y1, x2,y2, (x)n,yn的中心点 x,yC．线性回归直线yD．若随机变量 服从正态分布N1, 2,P 4 0.79，则P 2 0.2116信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能取值为1,2, ,n，且P(X i) pi 0(i 1,2, n)，n npi 1i1，定义X的信息熵H(X)p logi 1i2pi.A. B. C. D.若n 1，则H(X) 0若n 2，则H(X)随着p1的增大而增大若pi1(i 1,2, ,n)，则H(X)随着n的增大而增大n若n 2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2, ,m，且P(Y j) pjp2m 1 j(j 1,2, ,m)，则H(X) H(Y)17．一组数据2x1 1，2x21，2x3+1，…，2xn1的平均值为7，方差为4，记3x12，3x2 2，3x32，…，3xn2的平均值为a，方差为b，则（）D．b 9A．a 7B．a 11C．b 12。
2020-2021学年高考数学(理)考点：一元二次不等式及其解法
B．
{x
|
x
1
或
x
1 }C．{x | x Nhomakorabea1
或x
1}
D．{x |1
x
1 }
a
a
a
【解析】不等式可化为 (ax 1)(x 1) 0 ，
a 0， 原不等式等价于 (x 1 )(x 1) 0 ，
a 且不等式对应的一元二次方程的根为 1 和 1；
a
又 1 1， a
原不等式的解集为{x | 1 x 1} ． a
故选 A．
10．（2020 春•惠州期末）关于 x 的不等式 x2 mx 1 0 的解集为 R ，则实数 m 的取值范围是 (
) A． (0, 4)
B． ( ， 2) (2 ， )
C．[2 ， 2]
D． (2, 2)
【答案】D 【解析】不等式 x2 mx 1 0 的解集为 R ， 所以△ 0 ，即 m2 4 0 ， 解得 2 m 2 ． 故选 D．
1．（2019•天津）设 x R ，使不等式 3x2 x 2 0 成立的 x 的取值范围为__________．
【答案】
(1,
2 )
3
【解析】 3x2 x 2 0 ，将 3x2 x 2 分解因式即有：
(x 1)(3x 2) 0 ； (x 1)(x 2) 0 ； 3
由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”
故选 A．
5．（2020•乃东区校级一模）若不等式 x2 ax 1… 0 对一切 x (0 ， 1] 成立，则 a 的最小值为 ( 2
)
A． 5 2
B．0
C． 2
D． 3
【答案】A
【解析】不等式
2020年新高考(全国卷)数学试卷结构与评析
新高考（全国卷）地区数学试卷结构及题型变化新高考数学考试试卷及试卷结构说明:新高考数学试卷结构:第一大题, 单项选择题, 共8小题, 每小题5分, 共40分；第二大题, 多项选择题, 共4小题, 每小题5分, 部分选对得3分, 有选错得新高考选择题部分分析:①新高考与之前相比, 最大的不同就是增加了多项选择题部分, 选择题部分由原来的12道单选题, 变成了8道单选题与4道多选题。
这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距, 过去学生错一道单选题, 可能就会丢掉5分, 在新高考中, 考生部分选对就可以得3分, 在一定程度上保证了得分率。
②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力, 总体上难度不大, 只要认真复习, 一般都可以取得一个较好的成绩。
在多项选择题上, 前两道较为基础, 后两道难度较大, 能够突出高考的选拔性功能, 总体上来看, 学生比以往来讲, 更容易取得一个不错的成绩, 但对于一些数学基础比较的好的同学来说, 这些题比以往应该更有挑战性。
过去, 只需要在四个选项中选一个正确答案, 现在要在四个选项中, 选出多个答案, 比以往来说, 要想准确的把正确答案全部选出来, 确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题, 第6题和第12题都体现了创新性。
第4题, 以古代知识为背景, 考察同学们的立体几何知识, 这体现了数学考试的价值观导向。
弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。
近年来, 对于这类题目也是屡见不鲜, 平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作, 如《九章算术》, 《孙子算经》等等, 通过对这些著作的了解, 再遇到这类题目时, 在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。
第6题则体现了聚焦民生, 关注社会热点。
以新冠疫情为背景, 考察了指数与对数函数, 这也启示我们, 在未来, 数学试卷将会越来越贴近我们的现实生活, 平时我们对这些内容有所关注, 可以减少我们的焦虑感, 增强我们做题的自信心。
2020-2021年高考化学真题分类训练 专题12 有机化合物(教师版含解析)
专题12 有机化合物1．（2021·全国甲卷）下列叙述正确的是A．甲醇既可发生取代反应也可发生加成反应B．用饱和碳酸氢钠溶液可以鉴别乙酸和乙醇C．烷烃的沸点高低仅取决于碳原子数的多少D．戊二烯与环戊烷互为同分异构体【答案】B【详解】A．甲醇为一元饱和醇，不能发生加成反应，A错误；B．乙酸可与饱和碳酸氢钠反应，产生气泡，乙醇不能发生反应，与饱和碳酸氢钠互溶，两者现象不同，可用饱和碳酸氢钠溶液可以鉴别两者，B正确；C．含相同碳原子数的烷烃，其支链越多，沸点越低，所以烷烃的沸点高低不仅仅取决于碳原子数的多少，C错误；D．戊二烯分子结构中含2个不饱和度，其分子式为C5H8，环戊烷分子结构中含1个不饱和度，其分子式为C5H10，两者分子式不同，不能互为同分异构体，D错误。
故选B。
2．（2021·全国乙卷）一种活性物质的结构简式为，下列有关该物质的叙述正确的是A．能发生取代反应，不能发生加成反应B．既是乙醇的同系物也是乙酸的同系物C．与互为同分异构体44g COD．1mol该物质与碳酸钠反应得2【答案】C【详解】A．该物质含有羟基、羧基、碳碳双键，能发生取代反应和加成反应，故A错误；B．同系物是结构相似，分子式相差1个或n个CH2的有机物，该物质的分子式为C10H18O3，而且与乙醇、乙酸结构不相似，故B错误；C．该物质的分子式为C10H18O3，的分子式为C10H18O3，所以二者的分子式相同，结构式不同，互为同分异构体，故C正确；D．该物质只含有一个羧基，1mol该物质与碳酸钠反应，最多生成0.5mol二氧化碳，最大质量为22g，故D 错误；故选C。
3．（2021·浙江）制备苯甲酸甲酯的一种反应机理如图(其中Ph-代表苯基)。
下列说法不正确．．．的是A．可以用苯甲醛和甲醇为原料制备苯甲酸甲酯B．反应过程涉及氧化反应C．化合物3和4互为同分异构体D．化合物1直接催化反应的进行【答案】D【详解】A．由图中信息可知，苯甲醛和甲醇分子在化合物2的催化作用下，参与催化循环，最后得到产物苯甲酸甲酯，发生的是酯化反应，故A项正确；B ．由图中信息可知，化合物4在H 2O 2的作用下转化为化合物5，即醇转化为酮，该过程是失氢的氧化反应，故B 项正确；C ．化合物3和化合物4所含原子种类及数目均相同，结构不同，两者互为同分异构体，故C 项正确；D ．由图中信息可知，化合物1在NaH 的作用下形成化合物2，化合物2再参与催化循环，所以直接催化反应进行的是化合物2，化合物1间接催化反应的进行，故D 项错误；综上所述，说法不正确的是D 项，故答案为D 。
2020版高考数学新增分大一轮新高考第二章 2.1 函数及其表示 Word版含解析
§函数及其表示
最新考纲.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
．函数
．函数的有关概念
()函数的定义域、值域
在函数＝()，∈中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做
函数值，函数值的集合{()∈}叫做函数的值域．
()函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
()函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
概念方法微思考
请你概括一下求函数定义域的类型．
提示()分式型；()根式型；()对数式型；()指数函数、对数函数型；()三角函数型．
题组一思考辨析
．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
()对于函数：→，其值域就是集合.(×)
()若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×)
()函数()的图象与直线＝最多有一个交点．(√)
()分段函数是由两个或几个函数组成的．(×)
题组二教材改编
．函数()＝的定义域是．
答案(－∞，)∪(]
．函数＝()的图象如图所示，那么，()的定义域是；值域是；其中只有唯一的值与之对应的值的范围是．。
(Word可编辑)(23套)新课标2020年高考数学复习专题汇总
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D.2.(2017浙江,8)已知随机变量ξ满足P(ξi=1)=p i,P(ξi=0)=1-p i,i=1,2,若0<p1<p2<,则()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)3.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球(除颜色外其他完全相同),每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于()A.B.C.D.4.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),则从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈95.45%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%5.如图所示,A,B两点5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X,则P(X≥8)=.6.设离散型随机变量X的分布列为X0 1 2 3 4P0.2 0.1 0.1 0.3 m若随机变量Y=|X-2|,则P(Y=2)=.7.已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.8.A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16B组:12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)9.(2017山东,理18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).10.某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一.小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.11.若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望E(X).思维提升训练12.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A.2 386B.2 718C.3 414D.4 772附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5. 13.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于的是()A.P(X=2)B.P(X≤2)C.P(X=4)D.P(X≤4)14.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?15.某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每件的利润(单位:百元)与该产品首次出现故障的时间(单位:年)有关.某厂家生产甲、乙两种品牌,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取50件,统计数据如下:将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件,求其至少有一件首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的家电均能售出,记生产一件甲品牌家电的利润为X1,生产一件乙品牌家电的利润为X2,分别求X1,X2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌家电销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的家电.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的家电?说明理由.16.(2017江苏,23)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).1 2 3…m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)<.参考答案专题能力训练21随机变量及其分布能力突破训练1.A解析设甲命中目标为事件A,乙命中目标为事件B,丙命中目标为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.∵P()=P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=击中的概率P=1-P()=2.A解析∵E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,∴E(ξ1)<E(ξ2).∵D(ξ1)=p1(1-p1),D(ξ2)=p2(1-p2),∴D(ξ1)-D(ξ2)=(p1-p2)(1-p1-p2)<0,故选A.3.D解析由题意知第12次取到红球,前11次中恰有9次红球2次白球,因为每次取到红球的概率为,所以P(X=12)=4.B解析由正态分布N(0,32)可知,ξ落在(3,6)内的概率为=13.59%.5解析由已知得,X的可能取值为7,8,9,10,则P(X≥8)与P(X=7)是对立事件,故P(X≥8)=1-P(X=7)=1-6.0.5解析由分布列的性质,知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,则m=0.3.由Y=2,即|X-2|=2,得X=4或X=0,故P(Y=2)=P(X=4或X=0)=P(X=4)+P(X=0)=0.3+0.2=0.5.7解析根据二项分布的均值、方差公式,得解得p=8.解设事件A i为“甲是A组的第i个人”,事件B i为“乙是B组的第i个人”,i=1,2, (7)由题意可知P(A i)=P(B i)=,i=1,2, (7)(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,由题意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=(3)a=11或a=18.9.解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=(2)由题意知X可取的值为:0,1,2,3,4,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=因此X的分布列为X0 1 2 3 4PX的数学期望是E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1+2+3+4=2.10.解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=1=,所以X的分布列为X12 3P所以E(X)=1+2+311.解(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为=84,随机变量X的取值为:0,-1,1,因此P(X=0)=,P(X=-1)=,P(X=1)=1-所以X的分布列为X0 -1 1P则E(X)=0+(-1)+1思维提升训练12.C解析因为曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线,所以P(-1<X≤1)≈0.6827,由正态分布密度曲线的对称性知P(0<X≤1)=0.34135,即图中阴影部分的面积为0.34135.由几何概型知点落入阴影部分的概率P==0.34135.因此,落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.34135≈3414.故选C.13.C解析X服从超几何分布P(X=k)=,故k=4.14.解(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列为X16 17 18 19 20 21 22P0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×50 0)×0.04=4040.当n=20时,E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.可知当n=19时所需费用的均值小于n=20时所需费用的均值,故应选n=19.15.解(1)设“甲、乙品牌家电至少有一件首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=1-(2)依题意得,X1的分布列为X11 2 3PX2的分布列为X21.8 2.9P(3)由(2)得E(X1)=1+2+3=2.86(百元),E(X2)=1.8+2.9=2.79(百元).因为E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌家电.16.解(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为p=(2)随机变量X的概率分布为X……P……随机变量X的期望为E(X)=所以E(X)<=(1++…+)=+…+)=+…+)=…=)=,即E(X)<专题能力训练22 坐标系与参数方程能力突破训练1.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l 的方程为ρsin=m(m∈R).(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.2.(2017江苏,21C)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.3.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.4.已知曲线C:=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.5.在极坐标系中,曲线C:ρ=2a cos θ(a>0),l:ρcos,C与l有且只有一个公共点.(1)求a;(2)O为极点,A,B为C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.6.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.7.在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-cos θ=0,点M.以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.斜率为-1的直线l过点M,且与曲线C交于A,B两点.(1)求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)求点M到A,B两点的距离之积.思维提升训练8.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当点P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.9.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=.(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若点P是曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值,并求出点P的坐标.10.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=4.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.参考答案专题能力训练22坐标系与参数方程(选修4—4)能力突破训练1.解(1)消去参数t,得到圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由sin=m,得ρsinθ-ρcosθ-m=0.所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即=2,解得m=-3±22.解直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,设P(2s2,2s),从而点P到直线l的距离d=当s=时,d min=因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值3.解(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|==由|AB|=得cos2α=,tanα=±所以l的斜率为或-4.解(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=|4cosθ+3sinθ-6|,则|PA|=|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为5.解(1)曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆,l的直角坐标方程为x+y-3=0.由直线l与圆C相切可得=a,解得a=1.(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos=3cosθ-sinθ=2cos,当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值26.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.7.解(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρsin2θ-cosθ=0,得ρ2sin2θ=ρcosθ.所以y2=x即为曲线C的直角坐标方程.点M的直角坐标为(0,1),直线l的倾斜角为,故直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数).(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C的方程得=-t,即t2+3t+2=0,Δ=(3)2-4×2=10>0.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则又直线l经过点M,故由t的几何意义得点M到A,B两点的距离之积|MA|·|MB|=|t1||t2|=|t1·t2|=2.思维提升训练8.解(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2sinθ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|=,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,点P的直角坐标为(3,0).9.解(1)由得x-y=1,故直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=1,即=1,即cos=1.∵ρ=,∴ρ=,∴ρcos2θ=sinθ,∴(ρcosθ)2=ρsinθ,即曲线C的直角坐标方程为y=x2.(2)设P(x 0,y0),y0=,则P到直线l的距离d=∴当x0=时,d min=,此时P∴当点P的坐标为时,P到直线l的距离最小,最小值为10.解(1)由曲线C1:(α为参数),得(α为参数),两式两边平方相加,得+y2=1,即曲线C1的普通方程为+y2=1.由曲线C2:ρsin=4,得(sinθ+cosθ)=4,即ρsinθ+ρcosθ=8,所以x+y-8=0,即曲线C2的直角坐标方程为x+y-8=0.(2)由(1)知,椭圆C1与直线C2无公共点,椭圆上的点P(cosα,sinα)到直线x+y-8=0的距离d=,所以当sin=1时,d的最小值为3,此时点P的坐标为专题能力训练23 不等式选讲能力突破训练1.设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|<a.2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|,x∈R.(1)解不等式f(x)≤5;(2)若不等式t2+3t>f(x)在x∈R上有解,求实数t的取值范围.3.设函数f(x)=+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.4.已知关于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.5.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.6.设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.(1)若a=1,求A;(2)若A=R,求a的取值范围.7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x-a|,a∈R.(1)当a=3时,解不等式f(x)≤4;(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范围.思维提升训练8.已知函数f(x)=g(x)=af(x)-|x-2|,a∈R.(1)当a=0时,若g(x)≤|x-1|+b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围;(2)当a=1时,求函数y=g(x)的最小值.9.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≤-;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.10.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;(2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.参考答案专题能力训练23不等式选讲(选修4—5)能力突破训练1.证明因为|x-1|<,|y-2|<,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2=a.2.解(1)原不等式等价于得-x<-3或-3≤x≤1或1<x,因此不等式的解集为(2)∵f(x)=|x-1|+|x+3|≥|x-1-(x+3)|=4,要使t2+3t>f(x)在x∈R上有解,只需t2+3t 大于f(x)的最小值,∴t2+3t>[f(x)]min=4⇒t2+3t-4>0⇒t<-4或t>1.3.(1)证明由a>0,有f(x)=+|x-a|+a≥2.故f(x)≥2.(2)解f(3)=+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3<a<当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5,得<a≤3.综上,a的取值范围是4.解(1)不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.∵其解集为[0,4],m=3.(2)由(1)知a+b=3.(方法一:利用基本不等式)∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2,当且仅当a=b=时取等号,∴a2+b2的最小值为(方法二:消元法求二次函数的最值)∵a+b=3,∴b=3-a,∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2,∴a2+b2的最小值为5.(1)解f(x)=当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;当-<x<时,f(x)<2;当x时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)证明由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.6.解(1)当x时,2x-1+x+3≥2x+4,解得x≥2.当-3<x<时,1-2x+x+3≥2x+4,解得-3<x≤0.当x≤-3时,1-2x-x-3≥2x+4,解得x≤-3.综上,原不等式的解集A={x|x≤0或x≥2}.(2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立.当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,即|2x-a|≥x+1, 得x≥a+1或x,所以a+1≤-2或a+1,得a≤-2.综上,a的取值范围为a≤-2.7.解(1)当a=3时,函数f(x)=|2x-1|+|x-3|=如图,由于直线y=4和函数f(x)的图象交于点(0,4),(2,4),故不等式f(x)≤4的解集为(0,2).(2)由f(x)=|x-1+a|,可得|2x-1|+|x-a|=|x-1+a|.由于|2x-1|+|x-a|≥|(2x-1)-(x-a)|=|x-1+a|,当且仅当(2x-1)(x-a)≤0时取等号,故有(2x-1)(x-a)≤0.当a=时,可得x=,故x的取值范围为;当a>时,可得x≤a,故x的取值范围为;当a<时,可得a≤x,故x的取值范围为思维提升训练8.解(1)当a=0时,g(x)=-|x-2|(x>0),g(x)≤|x-1|+b⇔-b≤|x-1|+|x-2|.|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,当且仅当1≤x≤2时等号成立.故实数b的取值范围是[-1,+∞).(2)当a=1时,g(x)=当0<x<1时,g(x)=+x-2>2-2=0;当x≥1时,g(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立;故当x=1时,函数y=g(x)取得最小值0.9.解(1)∵a=2,∴f(x)=|x-3|-|x-2|=∴f(x)≤-等价于解得x<3或x≥3,∴不等式的解集为(2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,∴若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则|a-3|≥a,解得a∴实数a的取值范围是10.解(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|,f(x)=作出函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图象.由图象可知,不等式f(x)≥3的解集为(2)若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件;若a<1,则f(x)=f(x)的最小值为1-a;若a>1,则f(x)=f(x)的最小值为a-1.故对于∀x∈R,f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).专题能力训练9 三角函数的图象与性质能力突破训练1.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度2.(2017河北三调)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递减区间是()A.[6kπ,6kπ+3](k∈Z)B.[6kπ-3,6kπ](k∈Z)C.[6k,6k+3](k∈Z)D.[6k-3,6k](k∈Z)3.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=(k∈Z)B.x=(k∈Z)C.x=(k∈Z)D.x=(k∈Z)4.(2017天津,理4)设θ∈R,则“”是“sin θ<”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,若它的最小正周期为π,则函数f(x)的图象的一个对称中心是()A. B.C. D.6.(2017北京,理12)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则cos(α-β)=.7.定义一种运算:(a1,a2)⊗(a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(,2sin x)⊗(cos x,cos 2x)的图象向左平移n(n>0)个单位所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为.8.函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)=.9.已知函数f(x)=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点,则函数g(x)=λsin x cos x+sin2x的图象的一条对称轴是.(写出其中的一条即可)10.(2017浙江,18)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin x cos x(x∈R).(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.11.已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.思维提升训练12.下图是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象,其中A,B两点之间的距离为5,则f(-1)等于()A.2B.C.-D.-213.(2017天津,理7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=14.函数y=的图象与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.815.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=(sin x+cos x);③f(x)=sin x;④f(x)=sin x+.其中为“互为生成”函数的是.(填序号)16.(2017江苏,12)如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1,的夹角为α,且tan α=7,的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.17.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.①求实数m的取值范围;②证明:cos(α-β)=-1.参考答案专题能力训练9三角函数的图象与性质能力突破训练1.D解析由题意,为得到函数y=sin=sin,只需把函数y=sin2x的图象上所有点向右平行移动个单位长度,故选D.2.D解析∵函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,∴T==6,∴ω=,且当x=3时函数取得最大值,3+φ=+2nπ,n∈Z.∴φ=-+2nπ,n∈Z.∴f(x)=A sin(A>0).令2kπ+x-2kπ+,k∈Z.∴6k+3≤x≤6k+6,k∈Z,∵周期T=6,∴f(x)的单调递减区间是[6k-3,6k],k∈Z,故选D.3.B解析由题意可知,将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度得y=2sin=2sin的图象,令2x++kπ(k∈Z),得x=(k∈Z).故选B.4.A解析当时,0<θ<,∴0<sinθ<∴是“sinθ<的充分条件.当θ=-时,sinθ=-,但不满足∴不是“sinθ<的必要条件.∴是“sinθ<的充分而不必要条件.故选A.5.B解析由题意知T=π,则ω=2.由函数图象关于直线x=对称,得2+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z).∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=A sin令2x-=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z).∴函数f(x)的图象的一个对称中心为故选B.6.-解析方法1:因为角α与角β的终边关于y轴对称,根据三角函数定义可得sinβ=sinα=,cosβ=-cosα,因此,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-=-方法2:由角α与角β的终边关于y轴对称可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos2α=2sin2α-1=2-1=-7解析f(x)=cos2x-2sin x cos x=cos2x-sin2x=2cos,将f(x)的图象向左平移n个单位对应的函数解析式为f(x)=2cos=2cos,要使它为偶函数,则需要2n+=kπ(k∈Z),所以n=(k∈Z).因为n>0,所以当k=1时,n有最小值8sin解析由题意得A=,函数的周期为T=16.∵T=,∴ω=,此时f(x)=sin由f(2)=,即sin=sin=1,则+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴函数的解析式为f(x)=sin9.x=-(答案不唯一)解析将点代入f(x)=sin x+λcos x,得λ=-g (x)=-sin x cos x+sin2x=-sin2x+cos2x=-sin,令2x+=kπ+,k∈Z,得x=,k∈Z.由k=-1,得x=-10.解(1)由sin,cos=-,f-2,得f=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sin x cos x得f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x+kπ,k∈Z,所以,f(x)的单调递增区间是(k∈Z).11.解(1)由已知,有f(x)==cos2x=sin2x-cos2x=sin所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-思维提升训练12.A解析设函数f(x)的最小正周期为T,因为A,B两点之间的距离为5,所以=5,解得T=6.所以ω=又图象过点(0,1),代入得2sinφ=1,所以φ=2kπ+或φ=2kπ+(k∈Z).又0≤φ≤π,所以φ=或φ=所以f(x)=2sin或f(x)=2sin对于函数f(x)=2sin,当x略微大于0时,有f(x)>2sin=1,与图象不符,故舍去.综上,f(x)=2sin故f(-1)=2sin=2.13.A解析由题意可知,>2π,,所以<1.所以排除C,D.当ω=时,f=2sin=2sin=2,所以sin=1.所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=故选A.14.D解析函数y1=,y2=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图.当1<x≤4时,y1<0,而函数y2在(1,4)上出现1.5个周期的图象,在上是减函数;在上是增函数.所以函数y1在(1,4)上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E,F,G,H.相应地,y1在(-2,1)上函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A,B,C,D,且x A+x H=x B+x G=x C+x F=x D+x E=2,故所求的横坐标之和为8.15.①④解析首先化简题中的四个解析式可得:①f(x)=sin,②f(x)=2sin,③f(x)=sin x,④f(x)=sin x+可知③f(x)=sin x的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f(x)=sin x不能与其他函数成为“互为生成”函数;同理①f(x)=sin的图象与②f(x)=2sin的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而④f(x)=sin x+的图象可以向左平移个单位,再向下平移个单位即可得到①f(x)=sin的图象,所以①④为“互为生成”函数.16.3解析||=||=1,||=,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α<,sinα>0,cosα>0,tanα=,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=,cosα==1,=cos=-,得方程组解得所以m+n=3.17.(1)解将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos的图象,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).(2)①解f(x)+g(x)=2sin x+cos x==sin(x+φ)依题意,sin(x+φ)=在[0,2π)内有两个不同的解α,β当且仅当<1,故m的取值范围是(-).②证法一因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.当1≤m<时,α+β=2,即α-β=π-2(β+φ);当-<m<1时,α+β=2,即α-β=3π-2(β+φ),所以cos(α-β)=-cos2(β+φ)=2sin2(β+φ)-1=2-1=-1.证法二因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解, 所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.当1≤m<时,α+β=2,即α+φ=π-(β+φ);当-<m<1时,α+β=2,即α+φ=3π-(β+φ).所以cos(α+β)=-cos(β+φ).于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)]=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=--1.专题能力训练10 三角变换与解三角形能力突破训练1.在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是()A. B.C. D.2.已知=-,则sin α+cos α等于()A.-B.C.D.-3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为()A. B.C. D.4.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC等于()A. B. C. D.5.(2017湖北七市一调)已知△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,C=120°,a=2b,则tan A=.6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20a cos A,则sin A∶sin B∶sin C=.8.在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.9.(2017北京,理15)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.设f(x)=sin x cos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.思维提升训练12.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos等于()A. B.- C. D.-13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c sin A=a cos C.当sin A-cos取最大值时,角A的大小为()A. B. C. D.14.(2017湖北荆州一模)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为.15.(2017河北石家庄二检)已知sin sin,α∈,则sin 4α的值为.16.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.17.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,<C<,且.(1)判断△ABC的形状;(2)若||=2,求的取值范围.参考答案专题能力训练10三角变换与解三角形能力突破训练1.C解析由正弦定理,得a2≤b2+c2-bc,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,则cos A0<A<π,∴0<A2.D解析=-=2cos cosα+sinα=-,∴sinα+cosα=-,故选D.3.D解析由(a2+c2-b2)tan B=ac,得,即cos B=,则sin B=∵0<B<π,∴角B为故选D.4.C解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC cos∠ABC=()2+32-23cos=5.解得AC=由正弦定理,得sin∠BAC=5解析借助题设条件,先运用正弦定理将三角形中的边的关系转化化归为角的关系,再求解含角A的三角方程.由正弦定理可得sin A=2sin B,因为B=180°-A-120°=60°-A,所以sin A=2sin(60°-A),即sin A=cos A-sin A,所以2sin A=cos A,故tan A=6解析因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=又因为,所以b=7.6∶5∶4解析∵A>B>C,∴a>b>c.设a=b+1,c=b-1(b>1,且b∈N*),由3b=20a cos A得3b=20(b+1),化简,得7b2-27b-40=0.解得b=5或b=-(舍去),∴a=6,c=4, ∴sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4.8.解(1)由余弦定理及题设得cos B=又因为0<B<π,所以B=(2)由(1)知A+C=cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A。
(新教材)2020-2021高中数学人教B版选择性必修三学案：5.2.2.1等差数列的前n项和含解析
5.2.2 等差数列的前n项和新版课程标准学业水平要求1.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系2.能在具体问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题1.借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程.(数学运算)2.借助教材掌握a1,a n,d,n,S n的关系.(数学运算)3.掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用.(数学运算)4.能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题.(数学运算、数学建模)第1课时等差数列的前n项和必备知识·素养奠基等差数列前n项和公式公式一适用条件S n=知首项、末项、项数公式二适用条件S n=na1+ d 知首项、公差、项数(1)对于公式二,若将S n看成关于n的函数,试判断此函数是什么函数?其解析式具有什么特点?提示:公式二可变形为S n=n2+n,当d≠0时可以看作不含常数项的关于n的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此数列是等差数列.(2)等差数列的前n项和公式中的意义是什么?提示:=,即等差数列前n项的平均数.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)对于a n=S n-S n-1成立的条件是n∈N+. ( )(2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”.( )(3)若数列{a n}的前n项和为S n,则a3+a4+a5=S5-S2. ( )(4)1+3+5+7+9=. ( )提示:(1)×.n>1且n∈N+.(2)√.等差数列具有a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…特征,可用倒序相加法.(3)√.由数列的前n项和的定义可知此说法正确.(4)×.1+3+5+7+9=.2.在数列{a n}中,S n=2n2-3n(n∈N+),则a4等于( )A.11B.15C.17D.20【解析】选A.a4=S4-S3=2×42-3×4-(2×32-3×3)=11.3.设{a n}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{a n}的前8项和为( )A.128B.80C.64D.56【解析】选 C.设数列{a n}的前n项和为S n,则S8====64.4.平均数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2019,则该数列的首项为________.【解析】设该数列的首项为x,由题意可得:1010=,解得x=1. 答案:1关键能力·素养形成类型一有关等差数列前n项和的计算【典例】1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1=-2017,S6-2S3=18,则S2019= ( )A.-2017B.2017C.2018D.20192.在等差数列{a n}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,S n=510,a n-3=45,求n.【思维·引】1.根据等差数列前n项和公式,解方程,求出公差,即可得到相应的值.2.根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组,解方程组,可得到相应的值.【解析】1.选D.设等差数列{a n}的公差为d,因为a1=-2 017,S6-2S3=18,所以6a1+d-2=18,化为:9d=18,解得d=2.则S2 019=2 019×(-2 017)+×2=2 019.2.(1)方法一:由已知条件得解得所以S10=10a1+d=10×3+×4=210.方法二:由已知条件得所以a1+a10=42,所以S10==5×42=210.(2)S7==7a4=42,所以a4=6.所以S n====510.所以n=20.【内化·悟】解与等差数列前n项和有关的问题时,常用到哪些公式?体现了什么数学思想方法的应用?提示:常用到等差数列的通项公式和前n项和公式,体现了方程思想的运用.【类题·通】等差数列前n项和公式的运算方法与技巧类型“知三求二型”基本量a1,d,n,a n,S n方法运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组),通过解方程(组)求出未知量思想方程的思想注意①利用等差数列的性质简化计算;②注意已知与未知条件的联系;③有时运用整体代换的思想【习练·破】1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n},则{a n}的前n项和为________.【解析】由题意知数列{2n-1}为1,3,5,7,9,11,13,…,{3n-2}为1,4,7,10,13,16,19,…,所以数列为1,7,13,19,…,即a n=1+6(n-1)=6n-5,所以数列的前n项和为=3n2-2n. 答案:3n2-2n2.已知等差数列{a n}中,(1)a1=,S4=20,求S6;(2)a1=,d=-,S n=-15,求n及a n;(3)a1=1,a n=-512,S n=-1022,求d.【解析】(1)S4=4a1+d=4a1+6d=2+6d=20,所以d=3.故S6=6a1+d=6a1+15d=3+15d=48.(2)因为S n=n·+=-15,整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),所以a12=+(12-1)×=-4.(3)由S n===-1 022,解得n=4.又由a n=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解得d=-171.【加练·固】1.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和是781,则k的值为( )A.20B.21C.22D.24【解析】选A.由数列前n项和公式可得:=781,解得k=20.2.已知等差数列{a n}.(1)a1=,a15=-,S n=-5,求d和n.(2)a1=4,S8=172,求a8和d.【解析】(1)因为a15=+(15-1)d=-,所以d=-.又S n=na1+d=-5,解得n=15或n=-4(舍).(2)由已知,得S8===172,解得a8=39,又因为a8=4+(8-1)d=39,所以d=5.类型二等差数列前n项和的性质【典例】1.(2020·扬州高二检测)已知数列{a n},{b n}都是等差数列,S n,T n分别是它们的前n项和,并且=,则= ( )A. B. C. D.2.在项数为2n+1的等差数列{a n}中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于( )A.9B.10C.11D.123.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S10=100,S100=10,试求S110. 【思维·引】1.用等差数列前n项和公式(含首项、末项、项数)和等差数列的性质求解.2.综合利用等差数列的性质及其前n项和公式推出与n的关系.3.方法一:依据S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列解答; 方法二:依据数列是等差数列解答;方法三:直接分析S110,S100,S10之间的关系.【解析】1.选C.数列{a n},{b n}都是等差数列,S n,T n分别是它们的前n项和,并且=,则====.2.选B.因为等差数列有2n+1项,所以S奇=,S偶=.又a1+a2n+1=a2+a2n,所以===,所以n=10.3.方法一:因为S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设公差为d,前10项的和为:10×100+d=10,所以d=-22,所以前11项的和S110=11×100+d=11×100+×(-22)=-110.方法二:设等差数列{a n}的公差为d,则=(n-1)+a1,所以数列成等差数列.所以=,即=,所以S110=-110.方法三:设等差数列{a n}的公差为d,S110=a1+a2+…+a10+a11+a12+…+a110=(a1+a2+…+a10)+[(a1+10d)+(a2+10d)+…+(a100+10d)]=S10+S100+100×10d, 又S100-10S10=d-d=10-10×100,即100d=-22,所以S110=-110.【类题·通】等差数列前n项和的性质(1)等差数列{a n}中,S n,S2n-S n,S3n-S2n也构成等差数列.(2)若{a n}与{b n}均为等差数列,且前n项和分别为S n与S′n,则=.(3)若等差数列{a n}的前n项和为S n,则数列是等差数列,且首项为a1,公差为.(4)项的个数的“奇偶”性质.{a n}为等差数列,公差为d.①若共有2n项,则S2n=n(a n+a n+1);S偶-S奇=nd;=;②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)a n+1;S偶-S奇=-a n+1;=(5)等差数列{a n}中,若S n=m,S m=n(m≠n),则S m+n=-(m+n).(6)等差数列{a n}中,若S n=S m(m≠n),则S m+n=0.【习练·破】1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是( )A.130B.170C.210D.260【解析】选C.因为S m,S2m-S m,S3m-S2m成等差数列,所以S m+S3m-S2m=2(S2m-S m),所以30+S3m-100=2(100-30),所以S3m=210.2.在等差数列{a n}中,a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,则{a n}的前8项和为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B.由a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,则3(a2+a7)=3,解得a2+a7=1,{a n}的前8项和==4.【加练·固】1.已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若对于任意的自然数n,都有=,则+= ( )A. B. C. D.【解析】选A.因为等差数列中,若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等差数列的前n项和为:S n=.所以==,所以+=+=+======.2.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )A.63B.45C.36D.27【解析】选 B.因为a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.类型三等差数列前n项和的最值【典例】1.设{a n}是等差数列,S n是其前n项和,且S5<S6=S7>S8,则下列结论错误的是( )A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6和S7均为S n的最大值2.(2018·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.【思维·引】1.由已知条件分析a6,a7,a8的符号,求S n的最大值,作差比较S9与S5的大小.2.(1)解方程组即可求出首项、公差,进而得到{a n}的通项公式; (2)可以把S n看作关于n的二次函数从函数角度求最值;也可以分析等差数列的项从哪一项开始由负变正,推出S n的最小值.【解析】1.选C.因为S5<S6=S7>S8,所以a6>0,a7=0,a8<0,可得d<0,S6和S7均为S n的最大值,S9==9a5,S5==5a3.S9-S5=9(a1+4d)-5(a1+2d)=4a1+26d=4a7+2d<0,所以S9<S5.因此C错误.2.(1)设{a n}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.又a1=-7,所以d=2.所以{a n}的通项公式为a n=2n-9.(2)方法一:(二次函数法)由(1)得S n==n2-8n=(n-4)2-16,所以当n=4时,S n取得最小值,最小值为-16.方法二:(通项变号法)由(1)知a n=2n-9,则S n==n2-8n.由S n最小⇔即所以≤n≤,又n∈N+,所以n=4,此时S n的最小值为S4=-16.【内化·悟】等差数列的前n项和S n是关于n的二次函数(缺常数项),如何利用对应函数的图象分析等差数列正、负项的分界点?提示:利用到y=ax2+bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点.【类题·通】等差数列前n项和最值的两种求法(1)符号转折点法.①当a1>0,d<0时,由不等式组可求得S n取最大值时的n值.②当a1<0,d>0时,由不等式组可求得S n取最小值时的n值.(2)利用二次函数求S n的最值.知道公差不为0的等差数列的前n项和S n可以表示成S n=an2+bn(a≠0)的形式,我们可将其变形为S n=a-.①若a>0,则当最小时,S n有最小值;②若a<0,则当最小时,S n有最大值.【习练·破】1.记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1>0,a2+a2018=0,则S2019=________;当S n取得最大值时,n=________.【解析】因为a2+a2 018=a1+a2 019=0,所以S2 019==0.因为a1>0,a1+a2 019=2a1+2 018d=0,所以a1+1 009d=0,所以a1 010=0,所以当S n取得最大值时,n=1 009或1 010.答案:0 1 009或1 0102.在等差数列{a n}中,a1=25,S17=S9,求S n的最大值.【解析】方法一:利用前n项和公式和二次函数的性质.由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2.所以S n=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2+169.所以由二次函数的性质,得当n=13时,S n有最大值169.方法二:由方法一,得d=-2.因为a1=25>0,由得所以当n=13时,S n有最大值,最大值为S13=13×25+×(-2)=169. 方法三:由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.由方法一,得d=-2<0,a1>0,所以a13>0,a14<0.故n=13时,S n有最大值,最大值为S13=13×25+×(-2)=169.【加练·固】1.设数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N+,都有S n≤S k成立,则k的值为________.【解析】方法一:对任意n∈N+,都有S n≤S k成立,即S k为S n的最大值.因为a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,所以a4=33,a5=31,故公差d=-2,a n=a4+(n-4)d=41-2n,当S n取得最大值时,对任意n∈N+满足解得n=20.即满足对任意n∈N+,都有S n≤S k成立的k的值为20.答案:20方法二:同方法一可得公差d=-2,a n=a4+(n-4)d=41-2n,则n=1时,a1=39,所以S n=n2+n=-n2+40n=-(n-20)2+400,即当n=20时,S n 取得最大值,从而满足对任意n∈N+,都有S n≤S k成立的k的值为20. 答案:202.设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2016>0,S2017<0,则当n=________时,S n最大.【解析】由等差数列的性质知,S2 017=2 017a1 009<0,所以a1 009<0,又S2 016==1 008(a1 008+a1 009)>0,所以a1 008+a1 009>0,而a1 009<0,故a1 008>0.因此当n=1 008时,S n最大.答案:1 008课堂检测·素养达标1.(2020·南阳高二检测)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,S3=9,则S5的值是( )A.15B.30C.13D.25【解析】选D.已知等差数列{a n}中S2=4.S3=9,则a3=S3-S2=9-4=5,则S5==5a3=25.2.已知数列{a n}的前n项和公式是S n=2n2+3n,则( )A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为4的等差数列D.不是等差数列【解析】选A.因为S n=2n2+3n,所以=2n+3,当n≥2时,-=2n+3-2(n-1)-3=2,故是公差为2的等差数列.3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=-4,a7=4,则 ( )A.S4>S6B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S5【解析】选B.设等差数列{a n}的公差为d,因为a3=-4,a7=4,所以a1+2d=-4,a1+6d=4,联立解得:a1=-8,d=2,所以S4=4a1+d=-20,同理可得:S5=-20,S6=-18.所以S4=S5.4.已知等差数列{a n}中,|a5|=|a9|,公差d>0,则使得前n项和S n取得最小值的正整数n的值是________.【解析】由|a5|=|a9|且d>0得,a5<0,a9>0且a5+a9=0⇒2a1+12d=0⇒a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且最小.答案:6或7【新情境·新思维】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{a n},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n},可以推测:b2019是数列{a n}中的第________项.【解析】由前四组可以推知a n=1+2+…+n=,从而b1=a4=10,b2=a5=15,b3=a9=45,b4=a10=55,依次可知,当n=4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,…时,由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个,即每五个数分为一组,则该组的后两个数可被5整除,由于b2019是第2019个可被5整除的数,故它出现在数列{a n}按五个一段分组的第1 010组的第4个数字,由此知,b2 019是数列{a n}中的第1 009×5+4=5 049个数.答案:5 049。
河南新高考数学知识点汇总
河南新高考数学知识点汇总随着河南省实施新高考改革，数学成为高中学生必修的科目之一。
新高考数学考试的内容和形式也有了一定的变化。
为了帮助学生更好地了解和掌握新高考数学知识点，下面将对河南新高考数学知识点进行汇总和总结。
一、函数与方程知识点在新高考中，函数与方程是数学必修的重要内容之一。
涉及到的知识点有：1. 函数的概念与性质：了解函数的定义，能够判断函数是单调递增还是单调递减，以及函数的对称性等。
2. 一次函数与二次函数：掌握一次函数和二次函数的概念、性质和图像特点，包括函数的解析式、零点、顶点等。
3. 指数与对数函数：熟练掌握指数与对数函数的定义、性质，能够求解指数与对数方程。
4. 三角函数：了解常用三角函数（正弦、余弦、正切等）的定义、性质和图像特点，能够求解三角函数方程。
5. 不等式：掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法，能够求解含绝对值的不等式。
二、几何知识点几何是数学中重要的分支之一，新高考数学中的几何知识点包括：1. 平面几何：熟练掌握点、直线、线段、角的概念，能够根据给定条件判断线段相等、角相等等几何性质。
2. 三角形与四边形：了解三角形和四边形的定义、分类和性质，包括角平分线、垂直平分线等重要概念的应用。
3. 相似三角形与全等三角形：熟练掌握相似三角形和全等三角形的基本判定条件和性质，能够运用相似三角形和全等三角形解决问题。
4. 圆与圆的几何关系：了解圆与圆的位置关系，如相切、相离、相交等，能够通过给定条件求解圆的性质。
5. 空间几何：掌握直线、平面、空间几何体（如球体、圆柱体、棱柱体等）的概念和性质，以及它们之间的关系。
三、统计与概率知识点统计与概率是数学中的实用分支，在新高考数学中也占有一定的比重。
相关的知识点有：1. 统计数据的整理与分析：熟练掌握统计数据的收集、整理和展示方法，能够计算统计量（如平均数、中位数、众数等）。
2. 概率的概念与计算：了解概率的基本定义，能够计算事件的概率并运用概率解决问题。
2020年高考数学新课标3
2020年高考数学新课标3
引言：
数学是一门基础学科，对于学生而言，在高考中数学试卷占据着很大
的比重。
2020年高考数学新课标3试卷是考查学生对于数学知识和解
题能力的综合考试，以下是对这份试卷的详细解析。
一、选择题部分：
选择题是数学试卷中常见的题型，也是考查学生对基础知识掌握程度
的一种方式。
在2020年高考数学新课标3试卷中，选择题占据了较大
的篇幅，共有20道选择题。
这些题目主要考查学生对于数学概念的理
解和能够运用基本的计算方法。
二、填空题部分：
填空题是考查学生计算能力和推理能力的题型，在2020年高考数学新
课标3试卷中，填空题占据了一定的比重。
这些题目常涉及到数学运
算和应用题的解答。
三、解答题部分：
解答题是高考数学试卷中比较难度较大的部分，需要考生综合运用所
学的数学知识和解题方法来解答。
在2020年高考数学新课标3试卷中，解答题部分共有4道题目，涉及到图形的证明、函数的性质和应用题
的解答。
四、评分标准：
高考数学试卷的评分标准是根据题目的难易程度和题目的要求来确定的。
在2020年高考数学新课标3试卷中，选择题和填空题的评分标准
一般比较明确，按部分给分和答案是否正确来评分。
解答题的评分标
准则相对较灵活，根据解答的步骤、思路和答案的准确性来综合评定。
结论：
2020年高考数学新课标3试卷是一份较为综合、全面的考试，旨在考
查学生对于数学知识和解题能力的掌握程度。
希望广大考生能够认真
复习、细心答题，取得优异的成绩。
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2018年-2020年新课标高考数学（理科）试题分类精编
第12部分-三视图
一.选择题
1.(2020年陕西理7).若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
)2
（第7小题图）
【答案】C
【解析】由所给三视图知，对应的几何体为一倒放的直三棱柱
'''C B A ABC -（如下图所示）
，其高为2，底面ABC 满足：
1,2,==⊥AC AB AC AB . 故该几何体的体积为12122
1'=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=⋅=∆AA S V ABC .故选C . 2.( 2020年广东理6)如图1，△ ABC 为三角形，AA '//BB ' //CC ' , CC ' ⊥平面ABC 且3AA '=32
BB '=CC ' =AB,则多面体△ABC -A B C '''的正视图（也称主视图）是
【答案】D ．
3.( 2020年安徽理8)一个几何体的三视图如图，
该几何体的表面积为
A 、280
B 、292
C 、360
D 、372
【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面
积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
2(10810282)2(6882)360S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
4.（2020年北京理3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的
B。