2014年山东省烟台市高考数学二模试卷(文科)

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2014烟台市高三一模文科数学

绝密★启用并使用完毕前文科数学本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数12ii -（i 为虚数单位）的虚部是 A.15iB. 15-C. 15i -D.152.设{}{}2623A x x B x a x a B A =≤≤=≤≤+⊆，，若，则实数a 的取值范围是A. []13，B. [)3+∞，C. [)1+∞，D. ()13，3.已知,a b为非零向量，则“a b ⊥ ”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅- 为一次函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数()2ln x f x x=的大致图象为5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为{}913,18,52,n n S S S b =-=-为等比数列，且557715,b a b a b ==，则的值为A.64B.128C. 64-D. 128-6.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞单调递增.若实数a 满足()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是A.[]1,2B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (]0,27.若执行如右图所示的程序框图，那么输出a 的值是 A.-1 B.2 C.12-D.128.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,,a b c S 表示ABC ∆的面积，若()2221cos cos sin ,4a Bb Ac C S b c a B +==+-∠=，则 A.30B. 45C. 60D. 909.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ABCD10.设0,0,0a b c >>>，下列不等关系不恒成立的是 A. 321114c c c c ++>+-B. a b a c b c -≤-+-C.若1141 6.8a b a b+=+>，则D. ()20ax bx c x R ++≥∈二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横线上.11.已知在3,60,ABC AB A A ∆=∠=∠中的平分线AD 交边于点D ，且()13A D A C AB λλ=+∈R ，则AD 的长为____________12.设20,240240x y z kx y x y x y x y +-≥⎧⎪=+-+≥⎨⎪--≤⎩，其中实数满足若z 的最大值为12，则实数k=_______13.若函数xy e ax =+，有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是______.14.已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O是双曲线C 的中心，直线y =是双曲线C 的一条渐近线.以线段OF 为边作正三角形MOF ，若点M 在双曲线C 上，则m 的值为________. 15.设函数()(){}()211231,012n n n f x a a x a x a x f a f -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==，数列满足 ()2*n n a n N ∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 等于______________.三、解答题（本大题共6个小题，满分75分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.） 16.（本小题满分12分）已知函数()()22c o s 13c o s s i n 01fx x xx ωωωω=-+<<，直线()3x f x π=是图像的一条对称轴.（1）试求ω的值；（2）已知函数()y g x =的图象是()()y g x y f x ==由图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移23π个单位长度得到，若62,0,352g ππαα⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求sin α的值。

2014年高考数学二模试卷(文科)

2014年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）已知复数，则z的虚部为（）3．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直，若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为（）C D4．（5分）函数f（x）=﹣的零点所在区间为（）），），5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为（）6．（5分）已知，则sin2α的值为（）．C D．7．（5分）若f （x ）=2cos （ωx+φ）+m ，对任意实数t 都有f （t+）=f （﹣t ），且f （）=﹣1则实数m 的值等8．（5分）（2013•三门峡模拟）设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，．CD ．9．（5分）已知函数f （x ）=a x ﹣2，g （x ）=log a |x|（a ＞0，且a ≠1），且f （2011）•g （﹣2012）＜0，则y=f （x ），y=g．C D ．． π C π D ．11．（5分）（2012•菏泽一模）直线4kx ﹣4y ﹣k=0与抛物线y 2=x 交于A 、B 两点，若|AB|=4，则弦AB 的中点到直线x+=0的距离等于（）．D 12．（5分）已知函数f （x ）=e x+alnx 的定义域为D ，关于函数f （x ）给出下列命题： ①对于任意函数a ∈（0，+∞），函数f （x ）是D 上的减函数； ②对于任意函数a ∈（﹣∞，0），函数f （x ）存在最小值； ③存在a ∈（0，+∞），使得对于任意的x ∈D ，都有f （x ）＞0．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）利用独立性检验来判断两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定X 和Y 有关系可信度，214．（5分）已知实数x ，y 满足不等式组若目标函数z=y ﹣ax （a ∈R ）取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a 的取值范围是 _________ ．15．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为_________．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b=1，△ABC的面积为，则的值为_________．三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，有2S n=2a n2+a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求三棱锥P﹣ACE的高．19．（12分）（2013•郑州一模）某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀学生参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205），第二组[205，215），…，第八组[265，275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．（I）估计所有参加笔试的2000名学生中，参加面试的学生人数；（II）面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其它情况下获B类资格．现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为，求恰有一位同学获得该高校B类资格的概率．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且=3，求实数m的取值范围．21．（12分）已知a∈R，函数（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．四、解答题（请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分)22．（10分）（2012•泰州二模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．23．（2011•大同一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．24．（2012•长春模拟）选修4﹣5；不等式选讲已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2014年高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）已知复数，则z的虚部为（）=复数的虚部为﹣3．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直，若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为（）C DAC=PA=4．（5分）函数f（x）=﹣的零点所在区间为（）），），））的符号，结合函数零点的存在性定理和函数=（=（==，是单调递减函数，是单调减函数，故存在唯一零点5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为（）6．（5分）已知，则sin2α的值为（）．C D．）））×+1=，7．（5分）若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等t+）（t+））8．（5分）（2013•三门峡模拟）设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，．CD ．分别是双曲线离心率9．（5分）已知函数f （x ）=a x ﹣2，g （x ）=log a |x|（a ＞0，且a ≠1），且f （2011）•g （﹣2012）＜0，则y=f （x ），y=g ． C D ．．πCπD．，所以O===11．（5分）（2012•菏泽一模）直线4kx﹣4y﹣k=0与抛物线y2=x交于A、B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于（）．D，故可知直线恒过定点（的焦点坐标为（=x+=0=12．（5分）已知函数f（x）=e x+alnx的定义域为D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意函数a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；②对于任意函数a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值；③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0．=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）利用独立性检验来判断两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定X和Y有关系可信度，214．（5分）已知实数x，y满足不等式组若目标函数z=y﹣ax（a∈R）取最大值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围是（1，+∞）．15．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为．的值，由此求得|两个向量的夹角公式求得向量与+2向量，||=2||=1，则=|||×=+4|=2与+2的夹角为=，16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b=1，△ABC的面积为，则的值为2．，c=解：∵2A+=，可得的面积为S=bcsinA=，即×c=根据正弦定理，得=三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，有2S n=2a n2+a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．的通项公式代入∴为首项，∴）由为首项为．公比为的等比数列．∴18．（12分）如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求三棱锥P﹣ACE的高．ACB=，BC=PC=，，sinA=，的面积为CE=2，，等积法得．的高为19．（12分）（2013•郑州一模）某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀学生参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195，205），第二组[205，215），…，第八组[265，275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．（I）估计所有参加笔试的2000名学生中，参加面试的学生人数；（II）面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其它情况下获B类资格．现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为，求恰有一位同学获得该高校B类资格的概率．分以上的同学的概率，类资格的概率为20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且=3，求实数m的取值范围．=3构造关于（b=c==，其标准方程为，=∵=3）•时，∵=3＜﹣，或＜，﹣21．（12分）已知a∈R，函数（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．，函数）∵+=（）时，．又四、解答题（请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分)22．（10分）（2012•泰州二模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．23．（2011•大同一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．的参数方程为）因为化为普通方程为，24．（2012•长春模拟）选修4﹣5；不等式选讲已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．。

2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（） A. ∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2.131ii+=-（） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，学科网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.28.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（） A.4 B.5 C.6 D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =（）A.3B.6C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________. 16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两—部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =；（2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ．考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ．考点：复数的运算．3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=．考点：三视图． 7．C 【解析】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =．考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值． 10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C 【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++= 168312162+=，选C ．考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D 【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞．【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==．考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12．【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。

山东省烟台市2014届高三上学期期末考试文科数学Word版含答案

高三期末自主练习数学（文）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设全集{|6}U x N x *=∈<，集合{1,3},{3,5,}A B ==，则()U C A B 等于（）A ．{}1,4B ．{}1,5C ．{}2,5D ．{}2,4 2、若0.6333,log 0.6,0.6a b c ===，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >> 3、下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（）A ．sin()23x y π=+B ．sin()3y x π=-C ．sin(2)3y x π=-D ．sin(2)3y x π=+ 4、设平面向量(1,2),(2,)a b y ==-，若//a b ，则2a b -等于（）A ．4B ．5C ．D ．5、在ABC ∆中，若1lg()lg()lg lga c a cb b c+--=-+，则A =( ) A ．90 B ．60 C ．120 D ．150 6、函数()321()2x f x x -=-零点所在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,47、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，则下列四个结论： ①若//αβ，则l m ⊥ ②若αβ⊥，则//l m ③若//l m ，则αβ⊥ ④若l m ⊥，则//αβ 其中正确的结论的序号是：（）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③8、函数(01)x xa y a x=<<的大致形状是（）9、设变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =-的取值范围是（）A ．3[,1]2-- B ．[1,4]- C ．3[,4]2- D ．[2,4]- 10、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（） A．．9 C．．2711、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则此双曲线的离心率等于（）A ．2B ．3 C．912、已知函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()g x f x kx k =--有三个零点，则实数k 的取值范围是（） A ．1(0,)4 B ．1(0,]2 C ．11(,)42 D ．11[,]43第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上。

【2014烟台二模】山东省烟台市2014届高三5月适应性测试(一)文综参考答案

文科综合能力参考答案及评分标准（一）一、选择题（每小题4分，共140分）1.B2.C3.D4.A5.D6.C7.C8.D9.B 10.D 11.A 12.B13. D 14.A 15．B 16．A 17．B 18.D 19. C 20. B 21. D 22. B 23.C24.D 25.C 26.D 27.B 28.A 29.C 30.A 31.C 32.B 33.B 34.D 35.A二、非选择题36. （20分）（1）河流短小；河网密集；向四周分流；含沙量小；水量季节变化小；无结冰期（10分）（2）林地、草场面积大，耕地面积小；温带海洋性气候为主，全年温和多雨，光热不足，不利于种植业的发展；国土面积狭小。

（6分）（3）该地处于中纬西风带，风力强劲；为防风，建筑结构小，房屋深入山体。

（4分）37.（22分）（1）西藏宁夏（4分）；自然条件差，经济落后，就业机会少。

（2分）（2）正效应：增加就业机会,促进区域经济发展（2分）负效应：环境污染加剧和生态破坏（2分）（3）资源密集型与劳动密集型工业的工作机会减少；高新技术产业与第三产业的工作机会增加。

（6分）（4）实施教育科研战略，加强与科研、院所联系；积极引进人才，提升科技水平；加大投入，改善生态环境；合理规划，建设高新技术创业区，出台优惠政策，“腾笼换鸟”；加强道路建设，缓解交通拥堵状况等。

（答出3点即可，其它合理也可。

6分）38.（1）实现了从井田制向土地私有制的转变，自给自足的小农经济成为主要生产方式；完成了从分封制到中央集权的统一国家的转变，郡县制成为我国古代的基本地方行政制度；儒道法思想孕育着道德、哲学、变革思想，形成中华民族传统文化的基准。

(9分 )(2)指商品经济。

(2分 )表现：城市经济功能增强；城市经济繁荣、“市”打破时间、空间的限制；城郊和乡村间允许置市贸易；出现了最早的纸币“交子”；海外贸易发展迅速，外贸港口走向繁荣。

(答出任意四点即可得8分，其他言之成理亦可得分，但总分不得超过8分。

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(附参考答案+详细解析Word打印版)

2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

山东省烟台市2014-2015学年高二上学期期末考试数学文试题扫描版含答案

2014-2015学年度第一学期高二期末检测文科数学答案一．选择题：BBDAB CDACB二．填空题11. 20x y ±= 12. 12e-13. 280x y +-= 14. 3π- 15. 12 三．解答题16.解：若p 为真，则01a <<； ………2分若q 为真，则1012a <-<，所以1322a <<. ………5分若p 真q 假，则102a <≤； ………8分若p 假q 真，则312a ≤<， ………11分综上，102a <≤或312a ≤<. ………12分 17.解：由128x <<，得03x <<， ………2分因为p ⌝是q ⌝的必要条件，所以p 是q 的充分条件，…………5分所以不等式240x mx -+≥对()0 3x ∀∈，恒成立，所以244x m x x x+≤=+对()0 3x ∀∈，恒成立. ……………9分因为4x x +≥，当且仅当2x =时等号成立，所以4m ≤. ……12分 18.解：（1）依题意，(3)0f '=，解得6m =-， ………2分由已知可设32()69f x x x x n =-++，因为(0)0f =，所以0n =，则32()69f x x x x =-+， 2()3129f x x x '=-+． ………5分列表：由上表可知()f x 在1x =处取得极大值为(1)4f =，()f x 在3x =处取得极小值为(3)0f =． ………………8分（2）当(]0 1x ∈，时，直线OM 斜率322()69(3)f x x x x k x x x-+===-，因为01x <≤，所以332x -<-≤-，则24(3)9x ≤-<，即直线OM 斜率的最小值为4． ………12分19.解：(1)建立如图的直角坐标系，则(10 2)P ，，设椭圆方程为2222+1x y a b=. 将33b h =-=与点P 代入方程，得a =，2l a ==. ………5分(2) 要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，只需半椭圆面积最小即可.由2222+1x y a b =，得2222102+1a b=. 因为22221022102+a b ab⨯⨯≥，即40ab ≥，所以半椭圆面积202abS ππ=≥，当S 最小时，有22221021==2a b，得a =，b = ………10分此时2l a ==33h b =+=，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. ………………12分20. 解：（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c . 依题意121c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩ ，解得1c =，2a =，所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=. ……………4分（2）不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. ……………5分证明如下：把1y mx =--代入椭圆C:223412x y +=中，整理得22(34)880m x mx ++-=. ……………7分由于直线l 恒过椭圆内定点()0,1-，所以判别式0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843m x x m +=-+，122843x x m -⋅=+. ……9分依题意，若||||OA OB OA OB +=-，平方得0OA OB ⋅=.即12121212(1)(1)0x x y y x x mx mx +=+--⋅--=,整理得21212(1)()10m x x m x x ++++=，所以2(1)m +2843m -+2281043m m -+=+，整理得2512m =-，矛盾．所以不存在实数m ，使||||OA OB OA OB +=-. …………13分21.解:（1）)(x f 定义域为()0 +∞，， …………1分21ln ()x f x x -'∴=， 1()f =-e e ，21()2e ek f '==, ………3分 ∴函数)(x f y =在1x =e处的切线方程为： 21e 2e ()ey x +=-，即22e 3e y x =-. ……5分（2）令()0f x '=，得e x =，当(0 e)x ∈，时，()0f x '>，)(x f 在(0 e)，上为增函数，当(e )x ∈+∞，时，()0f x '<，在(e )+∞，上为减函数， ………7分 max 1()(e)ef x f ∴==. ……………8分（3） 0>a ，由（2）知：)(x F 在(0 e)，上单调递增，在(e )+∞，上单调递减，∴)(x F 在[] 2a a ，上的最小值min ()min{()(2)}F x F a F a =，. ……10分 1()(2)ln 22a F a F a -=， …………11分 ∴当20≤<a 时，()(2)0F a F a -≤，=)(min x f ()ln F a a =，当2a >时，()(2)0F a F a ->，min ()f x =1(2)ln 22F a a =. ………14分。

山东省烟台市2014二模数学文含答案

山东省烟台2014届高三第二次模拟考试文科数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔．要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效． 3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1.设复数+=1z i2(其中i 为虚数单位)，则3z z +的虚部为 A ．4i B ．4 C ．4i - D ．4-(02)a ≤≤的最大值为A ．0BC ．32D ．943.下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若1,12==x x 则”的否命题为：“若1,12≠=x x 则”；B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件；C ．命题“∈∃x R ,使得012<-+x x ”的否定是：“∈∀x R ,均有012>-+x x ”； D ．命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题. 4.已知()2παπ∈ , ，3sin()45πα+=，则sin α=A ．10B C ． D ．5.已知向量a )2,1(-=x ,b ),4(y =且a ⊥b ，则93x y +的最小值为A ．．6 C ．12 D ．6.若双曲线C ：224(0)x y λλ-=>与抛物线24y x =的准线交于,A B 两点，且AB =，则λ的值是A. 1B.2C. 4D. 13 7. 如果在一次试验中，测得(,x y )的四组数值分别是A ． 6.9B ． 7.1C ． 7.04D ．7.28.已知函数()g x 是R 上的奇函数，且当0x <时()ln(1)g x x =--，设函数3(0)()()(0)x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩ ,若2(2)f x ->()f x ，则实数x 的取值范围是A ． (,1)(2,)-∞+∞ B ．(,2)(1,)-∞-+∞C ．(1,2)D ．(2,1)-9.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 34B. 38C. 4D. 810.已知函数22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++，集合{}()0,S x f x x ==∈R ， {}()0,T x g x x ==∈R ，记card ,card S T 分别为集合,S T 中的元素个数，那么下列结论不正确的是A ．card 1,card 0S T ==B ．card 1,card 1S T ==C ．card 2,card 2S T ==D ．card 2,card 3S T ==二、填空题:本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 11. 执行如右图所示程序框图，若输入A 的值为2，则输出的=P12.如上左图，目标函数z ax y =-的可行域为四边形OACB (含边界) ，若点(3,2)C 是该目标函数取最小值时的最优解，则a 的取值范围是13.在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦与最短弦分别为AC 与BD ,则四边形ABCD 的面积为14.一艘海轮从A 处出发，以每小时20海里的速度沿南偏东40°方向直线航行．30分钟后到达B 处．在C处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是15.已知函数)(x f 的定义域［-1，5］，部分对应值如表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，下列关于函数)(x f 的命题: ①函数)(x f 的值域为［1，2］；②函数)(x f 在［0，2］上是减函数；③当21<<a 时，函数a x f y -=)(最多有4个零点；④如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最大值为4. 其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)三、解答题:本大题共6个小题，共75分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 16.（本小题满分12分）某数学兴趣小组有男女生各5名.以下茎叶图记录了该小组同学在一次数学测试中的成绩(单位：分).已知男生数据的中位数为125，女生数据的平均数为8.126. （1）求x ，y 的值；（2）现从成绩高于125分的同学中随机抽取两名同学，求抽取的两名同学恰好为一男一女的概率. 17.（本小题满分12分）设函数2()sin(2)2sin 6f x x x πωω=++（0ω>），其图象的两个相邻对称中心的距离为2π. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若△ABC 的内角为C B A ,,所对的边分别为c b a ,,（其中c b ＜），且()2f A =，7=a ,ABC ∆面积为323，求c b ,的值. 18.（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，o90=∠PCB ，BC PM //，1=PM ，2=BC ．又1=AC ，o 120=∠ACB ，PC AB ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60°．（1）求证：AC PC ⊥；（2）求三棱锥B MAC V -的体积.19.（本小题满分12分）在数列}{n a 中，已知411=a ,411=+n n a a ,1423log ()n n b a n *+=∈N . （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列n n n n b a c c +=满足}{，求{}n c 的前n 项和n S .20.（本小题满分13分）AP CBM已知向量()x =a ，()1 0，b =，且()()0⋅=a a ．(1)求点()Q x y ，的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M N 、，又点()0 1A -，，当AM AN =时，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分14分）已知2()ln (f x x ax x a =+-∈R ).（1）若0=a 时，求函数()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）令2()(),g x f x x =-是否存在实数a ，当(0,e](e x ∈是自然对数的底）时，函数()g x 的最小值是3.若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题： BCDBB ABDBD 二、填空题：11.4 12.223a -≤≤-13. 14. 15. ① ② ③ 三、解答题:16．解：(1) 男生成绩为119 ，122，x +120 ,134 ,137其中位数为125，故5=x .………………………… 3分女生成绩为119 ，125，y +120 ,128 ,134平均数为=8.1265134128120125119+++++y ,解之得8=y ………………………… 6分(2) 设成绩高于125的男生分别为1a 、2a ，记1341=a ,1372=a设成绩高于125的女生分别为1b 、2b 、3b ，记1281=b ,1282=b ,1343=b 从高于125分同学中取两人的所有取法：),(21a a , ),(11b a ,),(21b a ,),(31b a ,),(12b a ,),(22b a ,),(32b a ,),(21b b ),(31b b ),(32b b 共10种，……………… 8分其中恰好为一男一女的取法：),(11b a ,),(21b a ,),(31b a ,),(12b a ,),(22b a ,),(32b a 共6种，……………… 10分因为53106= 故抽取的两名同学恰好为一男一女的概率为53. …………………………… 12分17．解：（1）()sin(2)1cos 26f x x x πωω=++-12cos 212sin 23+-=x x ωω1)62sin(+-=πωx ………… 3分由题意知π=T , 所以πωπ=22，1=ω 1)62sin()(+-=πx x f …………………………… 6分（2）由()2f A =，得1)62sin(=-πA , π<<A 0,所以3π=A ,∴bc bc S ABC 433sin 21233===Λπ即6=bc , ……………… 8分又A bc c b a cos 2222-+= ,将7=a ,3π=A 代入得1322=+c b ，………………………… 10分又c b <解⎩⎨⎧=+=13622c b bc 得⎩⎨⎧==32c b ………………………… 12分18. （1）证明：∵BC PC ⊥,AB PC ⊥，又B BC AB =⋂∴ PC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴AC PC ⊥……………… 5分（2）过M 做BC MN ⊥,连接AN ，则1==PM CN ，MN ⊥平面ABC ,o60=∠AMN ……………… 7分在ACN ∆中，由余弦定理得， 3120c o s 2222=⋅-+=oCN AC CN AC AN 在AMN Rt ∆中， ∴1=MN ∴点M 到平面而13sin12022ACB S AC CB ∆=⋅=………… 10分.∴136B ACM M ACB ACB V V S MN --∆==⋅=………… 12分 19. 解：（1）∵411=+n n a a , ∴数列}{n a 是首项为41，公比为41的等比数列，∴*)()41(N n a nn ∈=.…………………………………………… 6分（2）由（1）知，23,)41(-==n b a n nn ,∴,)41()23(nn n c +-= ……………………………………………………8分∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=32417414411n S …nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛+-+-41)23(41)53(1[])23()53(741-+-+⋅⋅⋅+++=n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-nn 4141414112………………………………………………………………………………10分n n n n n n )41(313123411])41(1[412)231(2⋅-+-=--+-+=……………………12分20.解：(1)由题意得()=xa，()=xa ，∵()()0+⋅=a a，∴(0x x =，化简得2213x y +=，∴Q 点的轨迹C 的方程为2213x y +=. ………4分 (2)由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222316310k x mkx m +++-=，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴0∆>，即2231m k <+. ①……6分(i)当0k ≠时，设弦MN 的中点为()P P P x y ，，M N x x 、分别为点M N 、的横坐标，则23231M N P x x mkx k +==-+，从而2=31P P m y kx m k +=+，21313P AP P y m k k x mk+++==-， …………8分又AM AN =，∴AP MN ⊥.则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+， ②将②代入①得22m m >，解得02m <<，由②得22103m k -=>，解得12m >，故所求的m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2. …………10分 (ii)当=0k 时，AM AN =，∴AP MN ⊥，2231m k <+，解得11m -<<. …………12分综上，当0k ≠时，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2，当=0k 时，m 的取值范围是()1 1-，. ……13分 21．解：（1）当0a =时，2()ln f x x x =-……… 1分(1)1,(1)1f f '∴==,函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0x y -= … 3分（2）函数()f x 在[]2,1上是减函数在[1,2]上恒成立 …………… 4分令2()21h x x ax =+-，有(1)0(2)0h h ≤⎧⎨≤⎩得………………………………… 6分……………………………………………………………………………… 7分（3）假设存在实数a ，使()ln g x ax x =-在(0,]x e ∈上的最小值是3……………………………………………………………… 8分当0a ≤时，()0g x '<，()g x ∴在(0,]e 上单调递减，min ()()13g x g e ae ==-=10分 (0,]e 上恒成立，()g x ∴在(0,]e 上单调递减11分；()0g x '>13分综上所述，存在实数2a e =，使()ln g x ax x =-在(0,]x e ∈上的最小值是3.…… 14分。

2014-2015年山东省烟台市高三(上)期末数学试卷(文科)及参考答案

2014-2015学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）2．（5分）函数y=的定义域为（）A．（，+∞）B．[﹣∞，1）C．[，1）D．（，1] 3．（5分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于P（，y0），则cos2α=（）A．﹣B．1C．D．﹣4．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．1C．3D．05．（5分）为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变6．（5分）过点P（3，1）作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣3=0B．x﹣y﹣3=0C．2x﹣y﹣3=0D．2x+y﹣3=0 7．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．38．（5分）已知△ABC的重心为G，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a=0，则sinA：sinB：sinC=（）A．1：1：1B．3：2：2C．：2：1D．：1：2 9．（5分）函数的图象是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=，其中e是自然对数的底数，若直线y=2与函数y=f（x）的图象有三个交点，则常数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2e﹣2，+∞）D．[2e﹣2，+∞）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（3，m），若∥（+）．则m=．12．（5分）设正项等比数列{a n}，已知前n项积为T n，若T10=9T6，则a5•a12的值为．13．（5分）已知x＞0，y＞0，xy=x+2y，若xy≥m﹣2恒成立，则实数m的最大值是．14．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，则双曲线的方程为．15．（5分）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数y=f（x）（x1＜x＜x2）图象上的两端点．O为坐标原点，且点N满足=λ+（1﹣λ），点M（x，y）在函数y=f（x）的图象上，且满足x=λx1+（1﹣λ）x2（λ为实数），则称|MN|的最大值为函数y=f（x）的“高度”．函数f（x）=x2﹣2x﹣1在区间[﹣1，3]上的“高度”为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=（sinωx﹣cosωx）cosωx+（ω＞0）的周期为2π．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a=，b+c=3，f（A）=，求△ABC的面积．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，S n为其前n项和，且对任意r、t∈N*，都有．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E为PD的中点，F在AD上且∠FCD=30°．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）若PA=2AB=2，求四面体P﹣ACE的体积．19．（12分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（I）求n的值；（II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．20．（13分）已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4x的焦点，离心率是．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆E相交于A、B两点，且在x轴上存在点M，使得与k的取值无关，试求点M的坐标．21．（14分）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．2014-2015学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1≤x＜1}=[﹣1，1）．故选：C．2．（5分）函数y=的定义域为（）A．（，+∞）B．[﹣∞，1）C．[，1）D．（，1]【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（4x﹣3）≥0，即0＜4x﹣3≤1，解得＜x≤1，故函数的定义域为（，1]，故选：D．3．（5分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于P（，y0），则cos2α=（）A．﹣B．1C．D．﹣【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于P（，y0），∴y0=±，∴cosα=，sinα=±，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，故选：A．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．1C．3D．0【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z=F（1，0）=1最大值故选：B．5．（5分）为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到故选：B．6．（5分）过点P（3，1）作圆C：（x﹣2）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣3=0B．x﹣y﹣3=0C．2x﹣y﹣3=0D．2x+y﹣3=0【解答】解：圆（x﹣2）2+y2=1的圆心为C（2，0），半径为1，以（3，1）、C（2，0）为直径的圆的方程为（x﹣2.5）2+（y﹣0.5）2=0.5，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程x+y﹣3=0，故选：A．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选：D．8．（5分）已知△ABC的重心为G，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a=0，则sinA：sinB：sinC=（）A．1：1：1B．3：2：2C．：2：1D．：1：2【解答】解：设a，b，c为角A，B，C所对的边，若2a=0，则2a+b=﹣3c=﹣3c（﹣﹣），即（2a﹣3c）+（b﹣3c）=，又因∵，不共线，则2a﹣3c=0，b﹣3c=0，即2a=b=3c，由正弦定理可知：sinA：sinB：sinC=a：b：c=3：2：2，故选：B．9．（5分）函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：因为，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A、C不正确．当x∈（﹣1，0）时，是增函数，又因为y=lnx是增函数，所以函数是增函数．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=，其中e是自然对数的底数，若直线y=2与函数y=f（x）的图象有三个交点，则常数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2e﹣2，+∞）D．[2e﹣2，+∞）【解答】解：函数图象如下，要使直线y=2与函数y=f（x）的图象有三个交点，只要ae2≥2，解得a≥2e﹣2；故选：D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（3，m），若∥（+）．则m=﹣3．【解答】解：∵=（﹣1，1），=（3，m），∴，由∥（+），得（﹣1）•（m+1）﹣2=0．解得：m=﹣3．故答案为：﹣3．12．（5分）设正项等比数列{a n}，已知前n项积为T n，若T10=9T6，则a5•a12的值为3．【解答】解：∵正项等比数列{a n}，前n项积为T n，T10=9T6，∴=a7a8a9a10=（a5a12）2=9，∴=3．故答案为：3．13．（5分）已知x＞0，y＞0，xy=x+2y，若xy≥m﹣2恒成立，则实数m的最大值是10．【解答】解：要使xy≥m﹣2恒成立即使m≤xy+2恒成立∴只要m≤（xy+2）的最小值即可∵x＞0，y＞0，xy=x+2y∴xy=x+2y≥当且仅当x=2y时，取等号令则解得即xy≥8所以xy+2的最小值为10所以m≤10故答案为：1014．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，则双曲线的方程为x2﹣．【解答】解：∵双曲线的方程为：﹣=1（a＞0，b＞0）一条渐近线方程是y=x，∴=，①∵抛物线y2=8x的准线方程为：x=﹣2，该双曲线一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，∴c=2，而c=，∴a2+b2=4，②由①②得：a2=1，b2=3．∴双曲线的方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．15．（5分）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数y=f（x）（x1＜x＜x2）图象上的两端点．O为坐标原点，且点N满足=λ+（1﹣λ），点M（x，y）在函数y=f（x）的图象上，且满足x=λx1+（1﹣λ）x2（λ为实数），则称|MN|的最大值为函数y=f（x）的“高度”．函数f（x）=x2﹣2x﹣1在区间[﹣1，3]上的“高度”为4．【解答】解：根据已知条件，A（﹣1，2），B（3，2）；∴=λ（﹣1，2）+（1﹣λ）（3，2）=（3﹣4λ，2）；∴N（3﹣4λ，2）；x M=﹣λ+3（1﹣λ）=3﹣4λ；M点在f（x）图象上；∴M点的纵坐标为：16λ2﹣16λ+2，且﹣1≤3﹣4λ≤3，即0≤λ≤1；∴M（3﹣4λ，16λ2﹣16λ+2）；∴|MN|=16|λ2﹣λ|；∴时|λ2﹣λ|取到最大值，从而|MN|取最大值4；∴f（x）在[﹣1，3]上的高度为4．故答案为：4．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=（sinωx﹣cosωx）cosωx+（ω＞0）的周期为2π．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a=，b+c=3，f（A）=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），由f（x）周期为2π，得到ω=，则f（x）=sin（x﹣）；（Ⅱ）由f（A）=，得到sin（A﹣）=，∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，∴A﹣=，即A=，由余弦定理得：b2+c2﹣2bccosA=a2，即b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=3，把b+c=3代入得：bc=2，=bcsinA=．则S△ABC17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，S n为其前n项和，且对任意r、t∈N*，都有．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由，得，而a1=1=S1，∴．当n≥2时，，当n=1时该式成立，∴a n=2n﹣1；（Ⅱ）b n==，∴=．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E为PD的中点，F在AD上且∠FCD=30°．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）若PA=2AB=2，求四面体P﹣ACE的体积．【解答】（1）证明：∵ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，∴∠FDC=30°，∵∠FCD=30°，∴∠ACF=60°，∴AF=CF=DF，∴F为AD的中点，∵E为PD的中点，∴△PAD中，EF是中位线，可得EF∥PA∵EF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB；∵∠BAC=∠ACF=60°，∴CF∥AB∵CF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CF∥平面PAB∵EF、CF是平面CEF内的相交直线，∴平面CEF∥平面PAB∵CE⊂面CEF，∴CE∥平面PAB；（2）解：∵EF∥AP，∴EF∥平面APC，∵∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=60°，PA=2AB=2，∴AC=2AB=2，CD==2，=V E﹣PAC=V F﹣PAC=V P﹣ACF=×S△ACD×PA==．∴V P﹣ACE19．（12分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（I）求n的值；（II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是可得，解得n=2．（Ⅱ）①从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，则P（A）=．②记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域B={（x，y）|x2+y2＞4，（x，y）∈Ω}，所以P（B）=1﹣．20．（13分）已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4x的焦点，离心率是．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆E相交于A、B两点，且在x轴上存在点M，使得与k的取值无关，试求点M的坐标．【解答】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，…1分c=e•a=×=，故b===，…4分所以，椭圆E的方程为，即x2+3y2=5…6分（2）将y=k（x+1）代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；…7分设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则x1+x2=﹣，x1x2=；…8分∴=（x1﹣m，y1）=（x1﹣m，k（x1+1）），=（x2﹣m，y2）=（x2﹣m，k（x2+1））；∴=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2=m2+2m﹣﹣，要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；∴存在点M（﹣，0）满足题意…13分21．（14分）已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e．（Ⅱ）f′（x）=1﹣，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；②当a＞0时，令f′（x）=0，得e x=a，x=lna，x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值．（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0，又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．又k=1时，g（x）=＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，所以k的最大值为1．。

2014年山东省烟台市高考数学一模试卷(文科)

2014年山东省烟台市高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合M={x|x2-2x-3＜0}，N={x|log2x＜0}，则M∩N等于( )A.(-1，0)B.(-1，1)C.(0，1)D.(1，3)【答案】C【解析】试题分析：利用一元二次不等式和对数函数的知识分别求出集合M和集合N，由此能求出M∩N．∵集合M={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，N={x|log2x＜0}={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}=(0，1)．故选：C．2.已知复数z的实部为1，且|z|=2，则复数z的虚部是()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设复数z的虚部是为b，根据已知复数z的实部为1，且|z|=2，可得1+b2=4，由此解得b的值，即为所求．设复数z的虚部是为b，∵已知复数z的实部为1，且|z|=2，故有1+b2=4，解得b=±，故选D．3.若命题p：∃α∈R，cos(π-α)=cosα；命题q：∀x∈R，x2+1＞0．则下面结论正确的是( )A.p是假命题B.￢q是真命题C.p∧q是假命题D.p∨q是真命题【答案】D【解析】试题分析：先判定命题p、q的真假性，再判定各选项是否正确．∵α= π/2时，cos(π- π/2)=cosπ/2=cosπ/2=0；∴命题p：∃α∈R，cos(π-α)=cosα是真命题；∵∀x∈R，x2+1≥1＞0，∴命题q是真命题；∴A中p是假命题是错误的；B中￢q是真命题是错误的；C中p∧q是假命题是错误的；D中p∨q是真命题正确；故选：D．4.设函数则=()A.0B.1C.2D.ln(e2+1)【答案】C【解析】试题分析：从里到外根据自变量的范围选择解析式、逐一求解．f(e)=lne=1，所以f(f(e))=f(1)=12+1=2．故选C．5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正确答案．由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示(图中红色部分)，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．故选D．6.在等差数列{a n}中，a1=-2012，其前n项和为S n，若，则S2014的值等于( )A.2011B.-2012C.2014D.-2013【答案】C【解析】试题分析：设出等差数列的公差，写出前n项和公式，取n=n+1后作差得到{}为公差是的等差数列，由等差数列的通项公式结合求得公差，代入等差数列的前n项和公式得答案．∵数列{a n}为等差数列，设其公差为d，则其前n项和为，∴，∴，∴{}为公差是的等差数列，∴，又，∴d=2．∵数列{a n}为等差数列，a1=-2012，∴×2=2014×(-2012)+=2014．故选：C．7.如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)[90，100)，则图中x的值等于()A.0.754B.0.048C.0.018D.0.012【答案】C【解析】试题分析：根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；由图得30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，解得x=0.018故选C．8.函数y=xsinx在[-π，π]上的图象是()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：本题可采用排除法解答，先分析出函数的奇偶性，再求出和f(π)的值，排除不满足条件的答案，可得结论．∵y=x和y=sinx均为奇函数根据“奇×奇=偶”可得函数y=f(x)=xsinx为偶函数，∴图象关于y轴对称，所以排除D．又∵，排除B．又∵f(π)=πsinπ=0，排除C，故选A．9.若函数f(x)=2sin(x+)(-2＜x＜14)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(+)•=(其中O为坐标原点)()A.-32B.32C.-72D.72【答案】D【解析】试题分析：由f(x)=2sin(x+)=0，结合已知x的范围可求A，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解由f(x)=2sin(x+)=0可得x+=kπ∴x=8k-2，k∈Z∵-2＜x＜14∴x=6即A(6，0)设B(x1，y1)，C(x2，y2)∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=12，y1+y2=0则(+)•=(x1+x2，y1+y2)•(6，0)=6(x1+x2)=72故选：D．10.对任意实数x，y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a，b，c为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算、现已知1*2=4，2*3=6，且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有x*m=x，则m=()A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】试题分析：将1*2=4，2*3=6按照定义建立两个等式关系，将a和b都有c进行表示，再根据对任意实数x，都有x*m=x，建立恒等式，使x前的系数相等和常数项相等求出m即可．，x*m=-6cx+(2c+2)m+cxm=(cm-6c)x+(2c+2)m=x恒成立，．故选D二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若直线ax-by+1=0平分圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则ab的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：依题意知直线ax-by+1=0过圆C的圆心(-1，2)，故有a+2b=1，再利用基本不等式求得ab的取值范围．∵直线ax-by+1=0平分圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的周长，∴直线ax-by+1=0过圆C的圆心(-1，2)，∴有a+2b=1，由1=a+2b，可得ab≤，∴ab的取值范围是．故答案为：．12.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i值为【答案】8【解析】试题分析：根据框图流程依次计算运行的结果，直到满足条件n=1，求得此时i的值．由程序框图知：程序第一次运行n=10，i=2；第二次运行n=5，i=3；第三次运行n=3×5+1=16，i=4；第四次运行n=8，i=5；第五次运行n=4，i=6；第六次运行n=2，i=7；第七次运行n=1，i=8．满足条件n=1，程序运行终止，输出i=8．故答案为：8．13.已知变量x，y满足约束条件，且目标函数z=3x+y的最小值为-1，则实常数k= ．【答案】9【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=3x+y的最小值为-1，建立条件关系即可求出k的值．目标函数z=3x+y的最小值为-1，∴y=-3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为-1，则平面区域位于直线y=-3x+z的右上方，求3x+y=-1，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点B，由，解得，即B(-1，2)，同时B也在直线x-4y+k=0时，即-1-8+k=0，解得k=9，故答案为：9．14.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7…23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19…根据上述分解规律，若m2=1+3+5+…+11，p3分解中最小正整数是21，则m+p= ．【答案】11【解析】试题分析：根据m2=1+3+5+…+11，p3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、p，即可求得m+p的值．∵m2=1+3+5+…+11==36，∴m=6∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，∴53=21+23+25+27+29，∵p3的分解中最小的数是21，∴p3=53，p=5∴m+p=6+5=11故答案为：1115.已知抛物线y2=4x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率e为．【答案】2【解析】试题分析：求出y2=4x的准线l：x=-1，由抛物线y2=4x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且，从而得出A、B的坐标，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合a，b，c的关系式得出出a，c的关系，即可求得离心率．∵y2=4x的准线l：x=-1，∵抛物线y2=4x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且，∴A(-1，)，B(-1，-)，将A点坐标代入双曲线渐近线方程得=，∴b2=3a2，∴3a2=c2-a2，即4a2=c2，∴e==2．则双曲线的离心率e为2．故答案为：2．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京开幕．期间为了了解国企员工的工资收入状况，从108名相关人员中用分层抽样方法抽取若干人组成调研小组，有关数据见下表：(单位：人)(1)求x，y；(2)若从中层、高管抽取的人员中选2人，求这二人都来自中层的概率．【答案】(1)由分层抽样可知，，所以x=7，y=3(2)记从中层抽取的3人为b1，b2，b3，从高管抽取的2人为c1，c2，则抽取的5人中选2人的基本事件有：(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，b3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b3，c1)，(b3，c2)，(c1，c2)共10种．设选中的2人都来自中层的事件为A，则A包含的基本事件有：(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共3种因此故选中的2人都来自中层的概率为0.3【解析】本题的关键是利用分层抽样的基本理论求出一般职工、中层被抽出的人数，在根据古典概型的计算方法求出概率．17.已知函数，(1)求函数f(x)的周期及单调递增区间；(2)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)的图象经过点成等差数列，且，求a的值．【答案】=(1)最小正周期：，由可解得：，所以f(x)的单调递增区间为：；(2)由可得：或∴，又∵b，a，c成等差数列，∴2a=b+c，而，∴bc=18∴，∴．【解析】(1)利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求函数f(x)的周期，利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调递增区间；(2)通过函数f(x)的图象经过点成等差数列，求出A以及列出abc的关系，利用，求出bc的值，通过余弦定理求a的值．18.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC．把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点E、F分别为棱PC、CD的中点．(1)求证：平面OEF∥平面APD；(2)求证：CD⊥平面POF；(3)若AD=3，CD=4，AB=5，求三棱锥E-CFO的体积．【答案】(1)证明：因为点P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AC因为AB=BC，所以O是AC中点，所以OE∥PA，因为PA⊂平面PAD所以OE∥平面PAD同理OF∥平面PAD又OE∩OF=O，OE、OF⊂平面OEF所以平面OEF∥平面APD；(2)证明：因为OF∥AD，AD⊥CD所以OF⊥CD又PO⊥平面ADC，CD⊂平面ADC所以PO⊥CD又OF∩PO=O所以CD⊥平面POF；(3)因为∠ADC=90°，AD=3，CD=4，所以.而点O，E分别是AC，CD的中点，所以.由题意可知△ACP为边长为5的等边三角形，所以高.即P点到平面ACD的距离为.又E为PC的中点，所以E到平面CFO的距离为，故．【解析】(1)证明平面OEF∥平面APD，只需证明OE∥平面PAD，OF∥平面PAD；(2)证明CD⊥平面POF，只需证明OF⊥CD，PO⊥CD；(3)求出以，E到平面CFO的距离为，利用体积公式，即可求三棱锥E-CFO的体积．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2，数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+2．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设，求数列{c n}的前2n项和T2n．【答案】解：(1)当n=1，a1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1，∴a n=2a n-1．∴{a n}是等比数列，公比为2，首项a1=2，∴．由b n+1=b n+2，得{b n}是等差数列，公差为2．又首项b1=1，∴b n=2n-1．(2)∴+[3+7+…+(4n-1)]==．【解析】(1)当n=1，可求a1，n≥2时，a n=S n-S n-1可得a n与a n-1的递推关系，结合等比数列的通项公式可求a n，由b n+1=b n+2，可得{b n}是等差数列，结合等差数列的通项公式可求b n．(2)由题意可得，然后结合等差数列与等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解20.已知函数．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当时，讨论f(x)的单调性．【答案】(1)当a=1时，，此时，又，∴切线方程为：y-(ln2+2)=x-2，整理得：x-y+ln2=0；(2)，当a=0时，，此时，当x∈(0，1)时，f(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(1，+)时，f(x)＞0，f(x)单调递增；当时，，当，即时，在(0，+)恒成立，∴f(x)在(0，+)单调递减；当时，，此时在(0，1)，，f(x)＜0，f(x)单调递减，f(x)在，f(x)＞0单调递增；综上所述：当a=0时，f(x)在(0，1)单调递减，f(x)在(1，+)单调递增；当时，f(x)在单调递减，f(x)在单调递增；当时f(x)在(0，+)单调递减．【解析】(1)当a=1时，直接求出f(x)从而确定f(2)和f(2)，利用点斜式方程即可求出切线方程；(2)分情况讨论a=0，，三种情况下f(x)的正负，即可确定f(x)的单调性．21.已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB(O 为原点)面积的最大值．【答案】(1)∵椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，∴，∴，又∵椭圆经过点，代入可得b2=1，∴故所求椭圆方程为．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AB的垂直平分线通过点，显然直线AB有斜率，当直线AB的斜率为0时，则AB的垂直平分线为y轴，此时x1=-x2，y1=y2∴，∵，∴∴，当且仅当|x1|=1时，S△AOB取得最大值为，当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t∴，代入得到(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0当△=8(2k2-t2+1)＞0，即2k2+1＞t2①方程有两个不同的解又，∴，又，化简得到2k2+1=2t②代入①，得到0＜t＜2又原点到直线的距离为∴考虑到2k2+1=2t且0＜t＜2化简得到∵0＜t＜2，∴当t=1时，即时，S△AOB取得最大值．综上，△AOB面积的最大值为．【解析】(1)利用椭圆结果的点以及两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形，列出方程求出a，b即可求得椭圆C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)通过直线AB的斜率为0时，则AB的垂直平分线为y轴，求出三角形的面积，然后求出S△AOB取得最大值．当直线AB的斜率不为0时，设AB 的方程为y=kx+t，通过直线与椭圆联立方程组利用弦长公式以及点到直线的距离求出三角形的面积然后求出最大值．。

数学_2014年山东省某校高考数学二模试卷(文科)(1)_(含答案)

2014年山东省某校高考数学二模试卷（文科）（1）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.） 1. 在复平面内，复数−1+i i对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. 定义集合A ∗B ={x|x ∈A, 且x ∉B}，若A ={1, 3, 5, 7}，B ={2, 3, 5}，则A ∗B 的子集个数为（）A 1B 2C 3D 43. 等比数列{a n ]中，“a 1<a 3”是“a 4<a 6”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 4. 已知函数y =f(x)是奇函数，当x >0时，f(x)=lgx ，则f(f(1100))的值等于（）A 1lg2 B −1lg2C lg2D −lg25. 给出的图象中可能为函数f(x)=x 4+ax 3+cx 2+bx +d(a, b, c, d ∈R)的图象是（）A ①③B ①②C ③④D ②④6. 如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A27√32+64π B27√32+128π C 12+64π D 36+128π7. 如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为e 1、e 2、e 3、e 4，其大小关系为（）A e 1<e 2<e 4<e 3B e 1<e 2<e 3<e 4C e 2<e 1<e 3<e 4D e 2<e 1<e 4<e 38. 已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为（）A f(x)=2cos(x 2−π3) B f(x)=√2cos(4x +π4) C f(x)=2sin(x 2−π6) D f(x)=2sin(4x +π4)9. 已知z =2x +y ，x ，y 满足{y ≥xx +y ≤2x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（）A 14B 15C 16D 1710. 若函数f(x)在给定区间M 上，存在正数t ，使得对于任意x ∈M ，有x +t ∈M ，且f(x +t)≥f(x)，则称f(x)为M 上的t 级类增函数，则以下命题正确的是（）A 函数f(x)=4x +x 是(1,+∞)上的1级类增函数 B 函数f(x)=|log 2(x −1)|是(1, +∞)上的1级类增函数 C 若函数f(x)=sinx +ax 为[π2,+∞)上的π3级类增函数，则实数a 的最小值为2 D 若函数f(x)=x 2−3x 为[1, +∞)上的t 级类增函数，则实数t 的取值范围为[1, +∞)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 阅读程序框图，则输出的数据S 为________．12. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/ℎ的汽车数量为________辆．13. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的准线与圆x 2+y 2−6x −7=0相切，则p 的值为________． 14. 设0<m <12，若1m+21−2m≥k 恒成立，则k 的最大值为________．15. 在四边形ABCD 中，AB →=DC →=(1, 1)，1|BA →|BA →+1|BC →|BC →=√3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知f(x)=cos(2x+π3)+1−2cos2x．（1）求函数f(x)的单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，f(A)=−12，求△ABC的面积．17. 袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，已知从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12．(I)求n的值；(II)从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记“a+b=2”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0, 2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2>(a−b)2恒成立”的概率．18. 已知矩形ABCD所在的平面和梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB // FE，G, H分别为AB, CF的中点，AB=2，AD=EF=1，∠AFB=π2．(1)求证：GH // 平面DAF；（2）AF⊥平面BFC；(3)求平面CBF将几何体EFABCD分成两个锥体F−ABCD与F−BCE的体积之比．19. 已知数列{a n}(n∈N⋅)的前n项和为S n，数列{S nn }是首项为0，公差为12的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=415⋅(−2)a n(n∈N⋅)，对任意的正整数k，将集合{b2k−1, b2k, b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d x，求数列{d k}的通项公式．（3）对（2）中的{d k}的前n项和T n．20. 设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，短轴的一个端点与两焦点构成的三角形的面积为√3，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．21. 已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−3．（1）求函数f(x)的最小值；（2）对一切x∈(0, +∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈(0, +∞)，都有lnx>1e x −2ex成立．2014年山东省某校高考数学二模试卷（文科）（1）答案1. A2. D3. D4. D5. A6. D7. A8. A9. A10. D11. 412. 7613. 214. 815. √316. 解：（1）f(x)=cos(2x+π3)+1−2cos2x=12cos2x−√32sin2x−cos2x=−12cos2x−√3 2sin2x=−sin(2x+π6)．由要求函数f(x)的单调递减区间，即求y=sin(2x+π6)的递增区间，由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，即kπ−π3≤x≤π6+kπ．即函数的单调递减区间为[kπ−π3, π6+kπ]，k∈Z．（2）∵ f(A)=−12，∴ sin(2A+π6)=12，∵ 0<A<π，则π6<2A+π6<13π6，即2A+π6=5π6，解得A=π3，在△ABC中，a=1，b+c=2，A=π3，则由余弦定理得1=b2+c2−2bccosA，即1=(b+c)2−3bc=4−3bc，故bc=1，则△ABC的面积S=12bcsinA=12×1×√32=√34．17. 解：(1)由题意，根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12，可得n1+1+n =12∴ n=2(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个∴ P(A)=412=13②记“x2+y2>(a−b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2>4恒成立，(x, y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω={(x, y)|0≤x≤2, 0≤y≤2, x, y∈R}，而事件B构成的区域B={(x, y)|x2+y2>4, (x, y)∈Ω}∴ P(B)=1−π418. (1)证明：设DF的中点为M，连接AM，MH则MH // CD，MH=12CD，又矩形ABCD中，G是中点，∴ MH // AG，MH=AG，∴ 四边形MHGA为平行四边形，∴ AM // GH，又AM⊂平面DAF，GH⊄平面DAF，∴ GH // 平面DAF；(2)证明：∵ 平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴ CB⊥平面ABEF，而AF⊂平面ABEF，∴ AF⊥CB.∵ AB为圆O的直径，∴ AF⊥BF.又BF∩CB=B，∴ AF⊥平面CBF；(3)解：过点F作FO⊥AB于O，∵ 平面ABCD⊥平面ABEF，∴ FO⊥平面ABCD，∴ V F−ABCD=2V F−ACD=2V D−AFB=23FO.∵ CB⊥平面ABEF，∴ V F−CBE=V C−FBE=13⋅12⋅EF⋅FO⋅CB=16FO,∴ V F−ABCD :V F−CBE=4:1．19. 解：（1）由已知得S nn =0+(n−1)⋅12=n2(n−1)，∴ a n=n−1（2）由（1）可知，b n=415⋅(−2)n−1，∴ b2k−1=415(−2)2k−2=415⋅22k−2，b2k=415(−2)2k−1b2k=−415⋅22k−1，b2k+1=415(−2)2k=415⋅22k由2b2k−1=b k+b k+1及b2k<b2k−1<b2k+1得b2k，b2k−1，b2k+1依次成递增的等差数列，∴ d k=b2k+1−b2k−1=4k5，（3）由（2）得d k+1d k =4k+154k5=4，∴ 数列{d k}为等比数列，∴ T n=45−4n5 1−4=415(4n−1)20. （1）解：∵ 椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，短轴的一个端点与两焦点构成的三角形的面积为√3，∴ {ca=121 2⋅2c⋅b=√3，解得a=2，b=√3，∴ 椭圆C的方程为x24+y23=1，（2）证明：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，当直线AB的斜率不存在时，AB的方程为x=±2√217，∴ 原点O到直线AB的距离为2√217，当直线AB斜率存在时，设直线的方程为y=kx+m，联立{x24+y23=1y=kx+m，得(4k2+3)x2+8kmx+(4m2−12)=0，∴ x1+x2=−8km4k2+3，x1x2=4m2−124k2+3，∵ OA ⊥OB ，∴ x 1x 2+y 1y 2=0， ∴ x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=0， ∴ (k 2+1)4m 2−123+4k 2−8k 2m 23+4k 2+m 2=0，整理，得7m 2=12(k 2+1)， ∴ 原点O 到直线AB 的距离d =√1+k 2=2√217为定值，综上所述O 到直线AB 的距离d =2√217为定值， ∵ OA ⊥OB ，d ⋅AB =OA ⋅OB ≤OA 2+OB 22=AB 22，∴ AB ≥2d =4√217， ∴ 当OA =OB 时，弦AB 长的最小值为4√217． 21. 解：（1）f(x)的定义域为(0, +∞)，f(x)的导数f ′(x)=1+lnx ．令f ′(x)>0，解得x >1e ；令f ′(x)<0，解得0<x <1e ．从而f(x)在(0, 1e )单调递减，在(1e , +∞)单调递增．所以，当x =1e 时，f(x)取得最小值−1e ．（2）若2f(x)≥g(x)，则a ≤2lnx +x +3x ，设ℎ(x)=2lnx +x +3x，则ℎ′(x)=2x +1−3x 2=x 2+2x−3x 2=(x+3)(x−1)x 2∵ x ∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， x ∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， ∴ ℎ(x)min =ℎ(1)=4 故a ≤4即实数a 的取值范围为(−∞, 4] 证明：（3）若lnx >1e x−2ex则lnx ⋅x >xe x −2e ，由（1）得：lnx ⋅x ≥−1e ，当且仅当x =1e 时，取最小值；设m(x)=xe x −2e ，则m′(x)=1−x e x，∵ x∈(0, 1)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，x∈(1, +∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减，故当x=1时，m(x)取最大值−1e故对一切x∈(0, +∞)，都有lnx>1e x −2ex成立．。

数学_2014年山东省烟台市育星教育高考数学模拟试卷(五)(文科)_(含答案)

2014年山东省烟台市育星教育高考数学模拟试卷（五）（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题正确的是（）A 若a ⊥b ，a ⊥α，则b // αB 若a // α，α⊥β，则a ⊥βC 若a ⊥β，α⊥β，则a // αD 若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β2. 若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（）A 12cm 3B 23cm 3C 56cm 3D 78cm 3 3. 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为√2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（）A √32B 1C √2+12D √2 4. 如图所示，在斜三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90∘，BC 1⊥AC ，则C 1在面ABC 上的射影H 必在（）A 直线AB 上 B 直线BC 上 C 直线CA 上D △ABC 内部5. 如图，四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =√2，BD ⊥CD ，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A′−BCD ，使平面A′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（）A A′C ⊥BDB ∠BA′C =90∘ C △A′DC 是正三角形D 四面体A′−BCD 的体积为13 6. 过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若PA =AB ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是（）A 30∘B 45∘C 60∘D 90∘7. 已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使m // α成立的一个充分条件是（）A m // β，α // βB m ⊥β，α⊥βC m ⊥n ，n ⊥α，m ⊄αD m 上有不同的两个点到α的距离相等8. 在正四面体P−ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A BC // 平面PDFB DF⊥平面PAEC 平面PDF⊥平面ABCD 平面PAE⊥平面ABC9. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A α // β且l // αB α⊥β且l⊥βC α与β相交，且交线与l垂直D α与β相交，且交线与l平行10. 已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么（）A a // b且c // dB d中任意两条可能都不平行C a // b或c // dD d中至多有一对直线互相平行11. 如图，在棱长为5的正方体ABCD−A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=2，Q是A1D1中点，点P是棱C1D1上动点，则四面体PQEF的体积( )A 是变量且有最大值B 是变量且有最小值C 是变量且有最大值和最小值D 是常量12. 已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α // β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（）A 0个 B 1个 C 2个 D 3个二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．）13. 已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是棱PC，PD的中点，下列结论：（1）棱AB与PD所在的直线垂直；（2）平面PBC与平面PCD垂直；（3）△PCD的面积大于△PAB的面积；（4）直线AE与BF是异面直线．以上结论正确的是________．14. 如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=√3BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：（1）AB与DE所成角的正切值是√2；a2；（2）V B−ACE的体积是16（3）AB // CD；（4）平面EAB⊥平面ADE；（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为√3．3其中正确的叙述有________（写出所有正确结论的编号）．15. 如图，在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱体积的最大值是________．16. 三棱锥S−ABC中，∠SBA=∠SCA=90∘，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中：①SB⊥AC；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是1a．2其中正确结论的序号是________．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC= 90∘，AB=AC=AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．（1）证明：A1M⊥平面MAC；（2）求三棱锥A−CMA1的体积；（3）证明：MN // 平面A1ACC1．18. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点．（1）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1；（2）判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论．19.如图1，⊙O 的直径AB =4，点C 、D 为⊙O 上两点，且∠CAB =45∘，F 为BC →的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．（1）求证：OF // 平面ACD ；（2）在AD 上是否存在点E ，使得平面OCE ⊥平面ACD ？若存在，试指出点E 的位置；若不存在，请说明理由．20. 如图，直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD =∠ADC =90∘，AB =2AD =2CD =2．（1）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．21. 如图，已知矩形ABCD 中，AB =10，BC =6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．（1）求证：BC ⊥A 1D ；（2）求证：平面A 1BC ⊥平面A 1BD ；（3）求三棱锥A 1−BCD 的体积．22. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB // DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠PAD ＝60∘．(Ⅰ)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P −ABCD 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；(Ⅱ)若M 为PA 的中点，求证：DM // 平面PBC ；(Ⅲ)求三棱锥D −PBC 的体积．2014年山东省烟台市育星教育高考数学模拟试卷（五）（文科）答案1. D2. C3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. D10. C11. D12. C13. 棱AB⊥面PAD，PD⊂面PAD，∴ 棱AB棱AB与PD所在的直线垂直，故正确；对于平面PBC与平面PCD所成角为钝角，故不正确；对于S△PAB＝S△PCDcosxθ，△PCD的面积大于△PAB的面积，故正确对于（1），（3）14. （1）（2）（4）（5）πR315. 2√3916. ①②③④17. 解：（1）证法一：由题设知，AC⊥AA1，又∵ ∠BAC=90∘∴ AC⊥ABB1A1，AB⊂平面AA1B1B，AA1∩AB=A，∴ AC⊥平面AA1B1B，…A1M⊂平面AA1B1B∴ A1M⊥AC．…又∵ 四边形AA1B1B为正方形，M为A1B的中点，∴ A1M⊥MA…AC∩MA=A，AC⊂平面MAC，MA⊂平面MAC…∴ A1M⊥平面MAC…证法二：在Rt△BAC中，BC=√AB2+AC2=√22+22=2√2在Rt△A1AC中，A1C=√A1A2+AC2=√22+22=2√2．∴ BC=A1C，即△A1CB为等腰三角形．…又点M为A1B的中点，∴ A1M⊥MC．…又∵ 四边形AA1BB1为正方形，M为A1B的中点，∴ A1M⊥MA...AC∩MA=A，AC⊂平面MAC，MA⊂平面MAC…∴ A1M⊥平面MAC…（2）由（1）的证明可得：三棱锥A−CMA1的体积V A−CMA1=V C−AMA1=13×S△AMA1×CA...=13×12×2×1×2…=23．…（3）证法一：连接AB1，AC1，…由题意知，点M，N分别为AB1和B1C1的中点，∴ MN // AC1．…又MN⊄平面A1ACC1，AC1⊂平面A1ACC1，…∴ MN // 平面A1ACC1．…证法二：取A1B1中点P，连MP，NP，…而M，P分别为AB1与A1B1的中点，∴ MP // AA1，MP⊄平面A1ACC1，AA1⊂平面A1ACC1，∴ MP // 平面A1ACC1，同理可证NP // 平面A1ACC1…又MP∩NP=P∴ 平面MNP // 平面A1ACC1．…∵ MN⊂平面MNP，…∴ MN // 平面A1ACC1．…18. 证明：（1）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥面ABC，∴ AA1⊥BC，在等边△ABC中，D是BC中点，∴ AD⊥BC∵ 在平面A1AD中，A1A∩AD=A，∴ BC⊥面A1AD又∵ A1D⊂面A1AD，∴ A1D⊥BC在直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，∴ B1C1 // BC ∴ A1D⊥B1C1（2）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，在平行四边形ACC1A1中联结A1C，交于AC1点O，连接DO．故O为A1C中点．在三角形A1CB中，D为BC中点，O为A1C中点，∴ DO // A1B．因为DO⊂平面DAC1，A1B⊄平面DAC1，∴ A1B // 面ADC1∴ A1B与面ADC1平行．19. （1）证明：∵ ∠CAB =45∘，∴ ∠COB =90∘，又∵ F 为BC →的中点，∴ ∠FOB =45∘，∴ OF // AC ，又AC ⊂平面ACD ，OF ⊄平面ACD ，∴ OF // 平面ACD ．（2）解：存在，E 为AD 中点，∵ OA =OD ，∴ OE ⊥AD ，又OC ⊥AB 且两半圆所在平面互相垂直，∴ OC ⊥平面OAD ，又AD ⊂平面OAD ，∴ AD ⊥OC ，∴ AD ⊥平面OCE ，又AD ⊂平面ACD ，∴ 平面OCE ⊥平面ACD ．∴ 在AD 上是存在点E ，E 为AD 中点，使得平面OCE ⊥平面ACD ．20. 证明：（1）直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，∴ BB 1⊥AC ．又∵ ∠BAD =∠ADC =90∘，AB =2AD =2CD =2，∴ AC =√2，∠CAB =45∘，∴ BC =√2，∴ BC ⊥AC ．又BB 1∩BC =B ，BB 1，BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ．（2）存在点P ，P 为A 1B 1的中点．证明：由P 为A 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1=12AB ．又∵ DC‖AB ，DC =12AB ，∴ DC // PB 1，且DC =PB 1， ∴ DCB 1P 为平行四边形，从而CB 1 // DP ．又CB 1⊂面ACB 1，DP ⊄面ACB 1，∴ DP‖面ACB 1．同理，DP‖面BCB 1． 21. 证明：（1）连接A 1O ， ∵ A 1在平面BCD 上的射影O 在CD 上，∴ A 1O ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD∴ BC ⊥A 1O又BC ⊥CO ，A 1O ∩CO =O ，∴ BC ⊥平面A 1CD ，又A 1D ⊂平面A 1CD ，∴ BC ⊥A 1D（2）∵ ABCD 为矩形，∴ A 1D ⊥A 1B 由(I)知A 1D ⊥BC ，A 1B ∩BC =B ∴ A 1D ⊥平面A 1BC ，又A 1D ⊂平面A 1BD∴ 平面A 1BC ⊥平面A 1BD（3）∵ A 1D ⊥平面A 1BC ，∴ A 1D ⊥A 1C ．∵ A 1D =6，CD =10，∴ A 1C =8，∴ V A1−BCD =V B−A1CD=13⋅(12⋅6⋅8)⋅6=48．故所求三棱锥A1−BCD的体积为：48．22. （2）∵ M为PA的中点，取PB得中点为N，则MN平行且等于12AB，再由(Ⅰ)可得CD平行且等于12AB，可得MN和CD平行且相等，故MNCD为平行四边形，故DM // CN．由于DM不在平面PBC内，而CN在平面PBC内，故DM // 平面PBC．(Ⅲ)三棱锥D−PBC的体积V D−PBC＝V P−BCD=13S△BCD⋅PD=13(S梯形ABCD−S△ABD)⋅PD=13[4(3+6)2−12×6×4]×4√3=8√3．。

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2014年山东省高考数学试卷（文科）一.选择题每小题5分，共50分1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=（）A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i2．（5分）设集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2） C．[1，2） D．（1，4）3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，2） B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）4．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根5．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞6．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1 7．（5分）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2 B．C．0 D．﹣8．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．189．（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1）10．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．2二.填空题每小题5分，共25分11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为．12．（5分）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为．13．（5分）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为．14．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．15．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为．三.解答题共6小题，共75分16．（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区A B C数量50150100（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．19．（12分）在等差数列{a n}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a，记T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n，求T n．20．（13分）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D 在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．2014年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题每小题5分，共50分1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=（）A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i【分析】利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值，再利用两个复数代数形式的乘法法则求得（a+bi）2的值．【解答】解：∵a+i=2﹣bi，∴a=2、b=﹣1，则（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i，故选：A．2．（5分）（2014•山东）设集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2） C．[1，2） D．（1，4）【分析】分别解出集合A和B，再根据交集的定义计算即可．【解答】解：A={x|0＜x＜2}，B={x|1≤x≤4}，∴A∩B={x|1≤x＜2}．故选：C．3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，2） B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】分析可知，，解出x即可．【解答】解：由题意可得，，解得，即x＞2．∴所求定义域为（2，+∞）．故选：C．4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y，但x2＞y2不成立．D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．6．（5分）（2014•山东）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．7．（5分）（2014•山东）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2 B．C．0 D．﹣【分析】由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：由题意可得cos===，解得m=，故选：B．8．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：C．9．（5分）（2014•山东）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1）【分析】由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可．【解答】解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0，选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴．函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确．故选：D．10．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．2【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．二.填空题每小题5分，共25分11．（5分）（2014•山东）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3．【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3．故答案为：3．12．（5分）（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．13．（5分）（2014•山东）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12．【分析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．【解答】解：∵一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则，∴h=1，棱锥的斜高为：==2，该六棱锥的侧面积为：=12．故答案为：12．14．（5分）（2014•山东）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．【分析】由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．15．（5分）（2014•山东）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【分析】求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x2=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出及，求出a=b，得双曲线的渐近线方程为：y=±x．【解答】解：∵右顶点为A，∴A（a，0），∵F为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，F，∵|FA|=c，∴抛物线的准线方程为由得，，由①②，得=2c，即c2=2a2，∵c2=a2+b2，∴a=b，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，故答案为：y=±x．三.解答题共6小题，共75分16．（12分）（2014•山东）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区A B C数量50150100（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．【分析】（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A地区抽取的商品的数量为：×50=1；B地区抽取的商品的数量为：×150=3；C地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为．17．（12分）（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．18．（12分）（2014•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．【分析】（Ⅰ）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF；（Ⅱ）证明BE⊥AP、BE⊥AC，即可证明BE⊥平面PAC．【解答】证明：（Ⅰ）连接CE，则∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，∵F为线段PC的中点，∴PA∥OF，∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，∴AP∥平面BEF；（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，∴BE⊥AP，∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，∴四边形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，∵AP∩AC=A，∴BE⊥平面PAC．19．（12分）（2014•山东）在等差数列{a n}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a，记T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n，求T n．【分析】（Ⅰ）由于a2是a1与a4的等比中项，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得b n=a=n（n+1），因此T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）n n•（n+1）．对n分奇偶讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵a2是a1与a4的等比中项，∴，∵在等差数列{a n}中，公差d=2，∴，即，化为，解得a1=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×2=2n．（Ⅱ）∵b n=a=n（n+1），∴T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）n n•（n+1）．当n=2k（k∈N*）时，b2k﹣b2k﹣1=2k（2k+1）﹣（2k﹣1）（2k﹣1+1）=4kT n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2k﹣b2k﹣1）=4（1+2+…+k）=4×=2k（k+1）=．当n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2k﹣2﹣b2k﹣3）﹣b2k﹣1=n（n+1）=﹣．故T n=．20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y﹣f （1）=f′（1）（x﹣1），代入计算即可．（Ⅱ）先对其进行求导，即，考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，分成a≥0，﹣＜a＜0，a≤﹣三种情况分别讨论即可．【解答】解：，（Ⅰ）当a=0时，，f′（1）=，f（1）=0∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（x﹣1）．（Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则＞0，整理得，ax2+（2a+2）x+a ＞0，令f′（x）＜0，则＜0，整理得，ax2+（2a+2）x+a＜0．以下考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.，对称轴方程．①当a≤﹣时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）②当﹣＜a＜0时，此时，对称轴方程＞0，∴g（x）=0的两根一正一负，计算得当0＜x＜时，g（x）＞0；当x＞时，g（x）＜0．综合（1）（2）可知，当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当﹣＜a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．21．（14分）（2014•山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b ＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D 在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值；（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，则a2=4b2．∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2．将y=x代入可得，因此，解得a=2．则b=1．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）．∵直线AB的斜率，又AB⊥AD，∴直线AD的斜率．设AD方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0．联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴．因此．由题意可得．∴直线BD的方程为．令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）．可得．∴，即．因此存在常数使得结论成立．（ii）直线BD方程为，令x=0，得，即N（）．由（i）知M（3x1，0），可得△OMN的面积为S==．当且仅当时等号成立．∴△OMN面积的最大值为．。

2014-2015年山东省烟台市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析

2014-2015学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知抛物线x2=2y，则它的焦点坐标是（）A．（，0）B．（0，）C．（0，）D．（，0）2．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则￢p为（）A．∃x∈R，x2+x﹣1＞0B．∀x∈R，x2+x﹣1≥0C．∃x∉R，x2+x﹣1≥0D．∀x∉R，x2+x﹣1＞03．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的左焦点，则p=（）A．1B．C．D．24．（5分）已知条件，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q 的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件5．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）=x2+bx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=x B．y=2x﹣1C．y=3x﹣2D．y=﹣2x+3 6．（5分）已知命题p：无穷数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}是等差数列，则点（n，S n）在同一条抛物线上；命题q：若实数m＞1，则mx2+2（m﹣2）x+1＞0的解集为R，对于命题p的逆否命题s与命题q的逆命题r，下列判断正确的是（）A．s是假命题，r是真命题B．s是真命题，r假命题C．s是假命题，r是假命题D．s是真命题，r是真命题7．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1B．C．D．8．（5分）已知A，B，C是直线l上的三点，向量，，满足=[f（x）+2f′（1）x]﹣lnx，则函数y=f（x）的表达式是（）A．f（x）=lnx﹣x+1B．f（x）=lnx﹣xC．f（x）=lnx+2x+1D．f（x）=lnx+2x9．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．10．（5分）定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x）且f（0）=1，则不等式＜1的解为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程为．12．（5分）已知直线ax﹣by﹣3=0与f（x）=xe x在点P（1，e）处的切线相互垂直，则=．13．（5分）已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l 的方程是．14．（5分）已知函数f（x）=cosx，则f（π）+f′（）=．15．（5分）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别是它的左、右焦点，A是椭圆上一点，且=0，||=||，则椭圆的离心率为．三、解答题16．（12分）已知实数a＞0，命题p：∃x∈R，|sinx|＞a有解；命题q：指数函数y=（a﹣）x为减函数，若p，q中有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围．17．（12分）已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q 的必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）的导函数是f′（x）=3x2+2mx+9，f（x）在x=3处取得极值，且f（0）=0（1）求f（x）的极大值和极小值（2）设M（x，y）是曲线y=f（x）上的任意一点，当x∈（0，1]时，求直线OM 斜率的最小值．19．（12分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通过车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道两侧是与底面垂直的墙，高度为3m，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？（椭圆+=1的面积公式为S=πab，隧道土方工程量=横截面积×隧道长）20．（13分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：mx+y+1=0与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使|+|=|﹣||成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）已知函数y=f（x）=．（1）求函数y=f（x）的图象在x=处的切线方程；（2）求y=f（x）的最大值；（3）设实数a＞0，求函数F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．2014-2015学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知抛物线x2=2y，则它的焦点坐标是（）A．（，0）B．（0，）C．（0，）D．（，0）【解答】解：∵抛物线方程为x2=2y，∴2p=2，p=1，∵焦点在y轴上，∴抛物线焦点为（0，），故选：B．2．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则￢p为（）A．∃x∈R，x2+x﹣1＞0B．∀x∈R，x2+x﹣1≥0C．∃x∉R，x2+x﹣1≥0D．∀x∉R，x2+x﹣1＞0【解答】解：命题为特称命题，则￢p为：∀x∈R，x2+x﹣1≥0，故选：B．3．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的左焦点，则p=（）A．1B．C．D．2【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），则由题意可得=，可得p=2．故选：D．4．（5分）已知条件，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q 的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，∴1+k2=4，∴k=±，显然p⇒q；q得不出p故选：A．5．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）=x2+bx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=x B．y=2x﹣1C．y=3x﹣2D．y=﹣2x+3【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）=x2+bx，则：f（﹣x）=f（x）解得：b=0所以：f（x）=x2所以：f（1）=1由于f′（x）=2x进一步解得：f′（1）=2即切线的斜率k=f′（1）=2所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：y﹣1=2（x﹣1），整理得：y=2x﹣1故选：B．6．（5分）已知命题p：无穷数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}是等差数列，则点（n，S n）在同一条抛物线上；命题q：若实数m＞1，则mx2+2（m﹣2）x+1＞0的解集为R，对于命题p的逆否命题s与命题q的逆命题r，下列判断正确的是（）A．s是假命题，r是真命题B．s是真命题，r假命题C．s是假命题，r是假命题D．s是真命题，r是真命题【解答】解：∵命题p：无穷数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}是等差数列，则点（n，S n）在同一条抛物线上，当d=0时，Sn=na1，此时点列（n，Sn）在一条直线上，所以命题P为假，∴p的逆否命题s也为假命题，∵命题q的逆命题r：若mx2+2（m﹣2）x+1＞0的解集为R则实数m＞1，∵mx2+2（m﹣2）x+1＞0的解集为R，则m≠0，且（2m﹣2）2+4m＜0，无解，∴命题r为假故选：C．7．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1B．C．D．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选：D．8．（5分）已知A，B，C是直线l上的三点，向量，，满足=[f（x）+2f′（1）x]﹣lnx，则函数y=f（x）的表达式是（）A．f（x）=lnx﹣x+1B．f（x）=lnx﹣xC．f（x）=lnx+2x+1D．f（x）=lnx+2x【解答】解：∵A，B，C是直线l上的三点，=[f（x）+2f′（1）x]﹣lnx，∴f（x）+2f′（1）x﹣lnx=1，∴=0，取x=1，则f′（1）+2f′（1）﹣1=0，解得．∴f（x）+x﹣lnx=1，解得f（x）=lnx﹣+1．故选：A．9．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．【解答】解：由于F是抛物线y2=x的焦点，则F（，0），准线方程x=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1++x2+=3，解得x1+x2=，∴线段AB的中点横坐标为．∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选：C．10．（5分）定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x）且f（0）=1，则不等式＜1的解为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【解答】解：设F（x）=，则F′（x）=，∵f（x）＞f′（x），∴F′（x）＜0，即函数F（x）在定义域上单调递减．∵f（0）=1，∴不等式＜1等价为F（x）＜F（0），解得x＞0，故不等式的解集为（0，+∞）故选：B．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x．【解答】解：双曲线﹣=1的a=6，b=3，由于渐近线方程为y=x，即为y=±x．故答案为：y=±x．12．（5分）已知直线ax﹣by﹣3=0与f（x）=xe x在点P（1，e）处的切线相互垂直，则=．【解答】解：设曲线f（x）=xe x在点P（1，e）处的切线斜率为k，由f（x）=xe x，得f′（x）=e x+xe x，则k=f′（1）=2e，∵直线ax﹣by﹣2=0与曲线f（x）=xe x在点P（1，e）处的切线互相垂直．∴=﹣．故答案为：．13．（5分）已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l 的方程是x+2y﹣8=0．【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==﹣=﹣=﹣=﹣．由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8=0．14．（5分）已知函数f（x）=cosx，则f（π）+f′（）=．【解答】解：∵f（x）=cosx，∴f'（x）=，∴=．又f（π）=，∴f（π）+f′（）=．故答案为：．15．（5分）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别是它的左、右焦点，A是椭圆上一点，且=0，||=||，则椭圆的离心率为．【解答】解：由题意，=0，可得⊥，∴||=，∵||=||，∴2c=×，∴3ac=2（a2﹣c2），∴2e2+3e﹣2=0，∴e=．故答案为：三、解答题16．（12分）已知实数a＞0，命题p：∃x∈R，|sinx|＞a有解；命题q：指数函数y=（a﹣）x为减函数，若p，q中有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若p为真，由于|sinx|≤1，则0＜a＜1；若q为真，由指数函数的单调性可得0＜a﹣＜1，解得＜a＜．若p，q中有且仅有一个是真命题，则若p真q假，即有，则0＜a≤；若p假q真，即有，则1≤a＜，综上，0＜a≤或1≤a＜．17．（12分）已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q 的必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：∵1＜2x＜8∴p：0＜x＜3∵￢p是￢q的必要条件∴p是q的充分条件即p⇒q∵x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，∴m=对于任意的x∈（0，3）恒成立，∵=4，当且仅当x=即x=2时等号成立∴m≤418．（12分）已知函数f（x）的导函数是f′（x）=3x2+2mx+9，f（x）在x=3处取得极值，且f（0）=0（1）求f（x）的极大值和极小值（2）设M（x，y）是曲线y=f（x）上的任意一点，当x∈（0，1]时，求直线OM 斜率的最小值．【解答】解：（1）依题意，f′（3）=0，解得m=﹣6，…（1分）由已知可设f（x）=x3﹣6x2+9x+p，因为f（0）=0，所以p=0，则f（x）=x3﹣6x2+9x，导函数f′（x）=3x2﹣12x+9．…（3分）列表：由上表可知f（x）在x=1处取得极大值为f（1）=4，f（x）在x=3处取得极小值为f（3）=0．…（8分）（2）当x∈（0，1]时，直线OM斜率k==（x﹣3）2，因为0＜x≤1，所以﹣3＜x﹣3≤﹣2，则4≤（x﹣3）2＜9，即直线OM斜率的最小值为4．…（12分）19．（12分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通过车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道两侧是与底面垂直的墙，高度为3m，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？（椭圆+=1的面积公式为S=πab，隧道土方工程量=横截面积×隧道长）【解答】解：（1）如图建立直角坐标系，则点P（10，2），椭圆方程为=1．将b=h﹣3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=6，此时l=2a=12，因此隧道的拱宽约为12m．（5分）（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭圆的面积最小即可．由椭圆方程=1，得=1．因为≥，即ab≥40，（8分）所以半椭圆面积S=≥20π．（10分）当S取最小值时，a=10，b=2．此时l=2a=20，h=b+3=2+3，（12分）故当拱高为（2+3）m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，（13分）20．（13分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：mx+y+1=0与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使|+|=|﹣||成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意解得c=1，a=2，所以b2=a2﹣c2=3．所以椭圆C的标准方程是．（Ⅱ）不存在实数m，使，证明如下：把y=﹣mx﹣1代入椭圆C：3x2+4y2=12中，整理得（3+4m2）x2+8mx﹣8=0．由于直线l恒过椭圆内定点（0，﹣1），所以判别式△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．依题意，若，平方得．即x1x2+y1y2=x1x2+（﹣mx1﹣1）•（﹣mx2﹣1）=0，整理得（m2+1）x1x2+m（x1+x2）+1=0，所以（m2+1），整理得，矛盾．所以不存在实数m，使．21．（14分）已知函数y=f（x）=．（1）求函数y=f（x）的图象在x=处的切线方程；（2）求y=f（x）的最大值；（3）设实数a＞0，求函数F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞），∴f′（x）=∵f（）=﹣e，又∵k=f′（）=2e2，∴函数y=f（x）的在x=处的切线方程为：y+e=2e2（x﹣），即y=2e2x﹣3e．（2）令f′（x）=0得x=e．∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，则在（e，+∞）上为减函数，∴f max（x）=f（e）=．（3）∵a＞0，由（2）知：F （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减． ∴F （x ）在[a ，2a ]上的最小值f （x ）min =min {F （a ），F （2a ）}， ∵F （a ）﹣F （2a ）=ln ，∴当0＜a ≤2时，F （a ）﹣F （2a ）≤0，f min （x ）=F （a ）=lna ．当a ＞2时，F （a ）﹣F （2a ）＞0，f （x ）min =f （2a ）=ln2a ．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在yxo[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。