2-3逆矩阵-1
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n n n
Q a 0 E a 1 Q a 2 Q
1 a0 1 1 a1 1
2
a nQ
2
n
n
2
1n an n
P76-20
A的几个多项式可以像数x的多项式一样相乘或分解因式为n阶矩阵
E E
A 2 E A 2 E A A ,
2
A E 3A 3A A
3 3 2
3
(ⅰ)
如果 A PQP
1
, 则 A PQ P
k k
1
A a 0 E a1 A a 2 A a n A
23 33
2, 4,
则
A
1
A1 1 1 * * A A A1 2 |A| A 13 M 11 M 12 M 13 M M
21
A21 A22 A23
A31 A32 A33
4 3 2 9 7 4
A 21 A 22 A 23
A 31 A 12 5 A 32 0 3 A 33 A 12
A 22 0 A 22
A 32 0 A 32
A 12
1 1
2 1
3 , A 22
1 1
1 1
0 , A 32
1 1
求 ( A) A 2 A 3 A.
1 解： P 1 1
1 0 1
1 2 1
1
r1 r3
0
2 0 1
0 2 6 , 知 P 可逆 1
1
1 1
A PQP
, A P Q P
1 0 , 2 10 , 3 0 Q d iag ( 0 ,10 , 0 )
b a
2 例：求3阶方阵 A 3 3
2 1 2
1 5 的逆矩阵. 3
解：| A | = 1， M 1 1 7 , M 1 2 6 , M 1 3 3 ,
M M
21 31
4, M 9, M
22 32
3, M 7, M
n n
(1 )
( 2 )
( n )
例：
1 已知 P 1 1
3
1 0 1
2
1 1 2 , Q 1
2
, AP PQ , 3
2
n
称为x的n次多项式
设A为n阶矩阵
A a 0 E a 1 A a 2 A a n A 称为矩阵A的n次多项式
2 n
矩阵 A ， A 和 E 都是可交换的，矩阵
k
l
A 的两个多项式
A 和 f A 总是可以交换的即总有
A f A f A A
22
M 23
M 31 7 M 32 6 M 33 3
| A | 0
方阵A可逆
1 |A|
此时，称矩阵A 为非奇异矩阵
A
1
A
*
定理：若方阵A可逆，则 | A | 0 ．
容易看出：对于n 阶方阵A、B，如果
AB E ,
那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.
1 2
3
1 A 5 0 1
0 0 0
1 0 1
y1 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n , y 2 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 线性变换 y a x a x a x n1 1 n2 2 nn n n
7 6 3
4 3 2
9 7 4
于是 X A 1Y ，即
x1 7 y1 4 y 2 9 y 3 , x 2 6 y1 3 y 2 7 y 3 , x 3y 2y 4y . 1 2 3 3
0 n , AP PQ , 求 A . 2
解： AP PQ , APP
A PQP
1 2
PQP
1
1
, AE PQP
PQ P
2 1
1
A
n n 1
, A PQP
PQP
1
, , A PQ P
1 Q 0
- 2 1 4 P 2， P 2 -1 1 0 0 1 0 1 1 2 , Q 2 0 2 0 2 0
逆矩阵的唯一性
设B,C都是A的逆矩阵
则：AB=E , AC=E
B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C
下面要解决的问题是： •在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ •如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？
* * 结论：A A A A | A | E ，其中
a 11 a 21 A a n1
A
1
1 |A|
A .
*
元素 a ij 的代数 余子式 A ij 位于 第 j 行第 i 列
推论：若| A | 0 ，则 | A
1
|
1 |A|
* . A 1
a 例：求二阶矩阵 A c
b 的逆矩阵. d
A
1
1 |A|
A .
*
A
1
d ad bc c 1
a 12 a 22 an2
a1n a2n a nn
* A
A1 1 A1 2 A1 n
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
定理：若| A | 0 ，则方阵A可逆，而且
2
n
Pa 0 EP
1
Pa 1 QP
1
1
Pa 2 Q P
2
1
Pa n Q P
n
1
P Q P
(ⅱ )
如 果 Q diag ( 1 , 2 n ) 为 角 ， 对 阵 PQP
1
,则 Q
n
diag ( 1 , 2 n )
T 1 A 推论： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 A 、 、 A ( 0 ) 与AB也可逆，且
(A
1
)
1
A, (A
1
1
(A )
T
1
) ,
1
T
( A )
1
A
1
,
( AB )
1
B
A
1
.
例：
1 已知 P 1
1
2 1 , Q 4 0
的系数矩阵是一个n 阶方阵 A ，若记
X x1 y1 x2 y , Y 2 xn yn
则上述线性变换可记作 Y = AX .
2 例：设线性变换的系数矩阵是一个 3 阶方阵 A 3 3
-1
0 1 2 , , Q 2 2 0
4 n 2 2 - 1 2
n1
0 n 2
- 2 1
1 n A 1
2 1 4 0 2 2
0 1 n 2 2
n1 n 2
A P Q P
1
1 1 1
1 0 1
1 0 2 1
10
1 * P P 0
0 10 0 6 0
1 0 1
0 A 11 0 A 12 0 A 13
4 -1
- 2 1 1 1 2 1
n1 14 2 2 4 2 n 2
n 2 2 2 n1 2 2 2
n 2 1 n1 2 1
x a 0 a1 x a 2 x a n x
2 1 2
百度文库
1 5 3
记
x1 y1 X x2 , Y y2 , x y 3 3
则上述线性变换可记作 Y = AX ． 求变量 y1, y2, y3 到变量 x1, x2, x3的线性变换.
1 根据已知得 A
§3
逆矩阵
定义： 如果有 n 阶方阵 B，使得
AB BA E
这里 E 是 n 阶单位矩阵. 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵， 记作 A－1 . 根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）.
Q a 0 E a 1 Q a 2 Q
1 a0 1 1 a1 1
2
a nQ
2
n
n
2
1n an n
P76-20
A的几个多项式可以像数x的多项式一样相乘或分解因式为n阶矩阵
E E
A 2 E A 2 E A A ,
2
A E 3A 3A A
3 3 2
3
(ⅰ)
如果 A PQP
1
, 则 A PQ P
k k
1
A a 0 E a1 A a 2 A a n A
23 33
2, 4,
则
A
1
A1 1 1 * * A A A1 2 |A| A 13 M 11 M 12 M 13 M M
21
A21 A22 A23
A31 A32 A33
4 3 2 9 7 4
A 21 A 22 A 23
A 31 A 12 5 A 32 0 3 A 33 A 12
A 22 0 A 22
A 32 0 A 32
A 12
1 1
2 1
3 , A 22
1 1
1 1
0 , A 32
1 1
求 ( A) A 2 A 3 A.
1 解： P 1 1
1 0 1
1 2 1
1
r1 r3
0
2 0 1
0 2 6 , 知 P 可逆 1
1
1 1
A PQP
, A P Q P
1 0 , 2 10 , 3 0 Q d iag ( 0 ,10 , 0 )
b a
2 例：求3阶方阵 A 3 3
2 1 2
1 5 的逆矩阵. 3
解：| A | = 1， M 1 1 7 , M 1 2 6 , M 1 3 3 ,
M M
21 31
4, M 9, M
22 32
3, M 7, M
n n
(1 )
( 2 )
( n )
例：
1 已知 P 1 1
3
1 0 1
2
1 1 2 , Q 1
2
, AP PQ , 3
2
n
称为x的n次多项式
设A为n阶矩阵
A a 0 E a 1 A a 2 A a n A 称为矩阵A的n次多项式
2 n
矩阵 A ， A 和 E 都是可交换的，矩阵
k
l
A 的两个多项式
A 和 f A 总是可以交换的即总有
A f A f A A
22
M 23
M 31 7 M 32 6 M 33 3
| A | 0
方阵A可逆
1 |A|
此时，称矩阵A 为非奇异矩阵
A
1
A
*
定理：若方阵A可逆，则 | A | 0 ．
容易看出：对于n 阶方阵A、B，如果
AB E ,
那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.
1 2
3
1 A 5 0 1
0 0 0
1 0 1
y1 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n , y 2 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 线性变换 y a x a x a x n1 1 n2 2 nn n n
7 6 3
4 3 2
9 7 4
于是 X A 1Y ，即
x1 7 y1 4 y 2 9 y 3 , x 2 6 y1 3 y 2 7 y 3 , x 3y 2y 4y . 1 2 3 3
0 n , AP PQ , 求 A . 2
解： AP PQ , APP
A PQP
1 2
PQP
1
1
, AE PQP
PQ P
2 1
1
A
n n 1
, A PQP
PQP
1
, , A PQ P
1 Q 0
- 2 1 4 P 2， P 2 -1 1 0 0 1 0 1 1 2 , Q 2 0 2 0 2 0
逆矩阵的唯一性
设B,C都是A的逆矩阵
则：AB=E , AC=E
B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C
下面要解决的问题是： •在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ •如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？
* * 结论：A A A A | A | E ，其中
a 11 a 21 A a n1
A
1
1 |A|
A .
*
元素 a ij 的代数 余子式 A ij 位于 第 j 行第 i 列
推论：若| A | 0 ，则 | A
1
|
1 |A|
* . A 1
a 例：求二阶矩阵 A c
b 的逆矩阵. d
A
1
1 |A|
A .
*
A
1
d ad bc c 1
a 12 a 22 an2
a1n a2n a nn
* A
A1 1 A1 2 A1 n
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
定理：若| A | 0 ，则方阵A可逆，而且
2
n
Pa 0 EP
1
Pa 1 QP
1
1
Pa 2 Q P
2
1
Pa n Q P
n
1
P Q P
(ⅱ )
如 果 Q diag ( 1 , 2 n ) 为 角 ， 对 阵 PQP
1
,则 Q
n
diag ( 1 , 2 n )
T 1 A 推论： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 A 、 、 A ( 0 ) 与AB也可逆，且
(A
1
)
1
A, (A
1
1
(A )
T
1
) ,
1
T
( A )
1
A
1
,
( AB )
1
B
A
1
.
例：
1 已知 P 1
1
2 1 , Q 4 0
的系数矩阵是一个n 阶方阵 A ，若记
X x1 y1 x2 y , Y 2 xn yn
则上述线性变换可记作 Y = AX .
2 例：设线性变换的系数矩阵是一个 3 阶方阵 A 3 3
-1
0 1 2 , , Q 2 2 0
4 n 2 2 - 1 2
n1
0 n 2
- 2 1
1 n A 1
2 1 4 0 2 2
0 1 n 2 2
n1 n 2
A P Q P
1
1 1 1
1 0 1
1 0 2 1
10
1 * P P 0
0 10 0 6 0
1 0 1
0 A 11 0 A 12 0 A 13
4 -1
- 2 1 1 1 2 1
n1 14 2 2 4 2 n 2
n 2 2 2 n1 2 2 2
n 2 1 n1 2 1
x a 0 a1 x a 2 x a n x
2 1 2
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1 5 3
记
x1 y1 X x2 , Y y2 , x y 3 3
则上述线性变换可记作 Y = AX ． 求变量 y1, y2, y3 到变量 x1, x2, x3的线性变换.
1 根据已知得 A
§3
逆矩阵
定义： 如果有 n 阶方阵 B，使得
AB BA E
这里 E 是 n 阶单位矩阵. 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵， 记作 A－1 . 根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）.