北师版七年级数学有理数期末复习(经典)

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2021-2022学年北师大版七年级数学上册第二章有理数及其运算章末专题复习练习题(教师版)

2021-2022学年北师大版七年级数学上册第二章有理数及其运算章末专题复习练习题专题课1 绝对值的应用类型1 绝对值的非负性①|a |≥0.①若|a |＋|b |＝0，则a ＝b ＝0.1．若|x |＝x ，则x 的取值范围是( )A ．x ＞0B ．x ≤0C ．x ≥0D ．x ＜0 2．若|x －2|＝2－x ，则x 的取值范围是__________． 3．已知|x －3|＋|y －1|＝0，求2x ＋3y 的值．4．已知有理数|x －2|与|y －3|互为相反数，求x ＋y ＋xy 的值．类型2 绝对值的最值问题5．当a ＝2时，|2－a |＋2会有最小值，且最小值是________． 6．当b ＝12 时，5－|2b －1|会有最大值，最大值是________．7．已知x 为有理数，则|x －5|＋|x －3|的最小值是________．8．同学们都知道：|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可以理解成5和－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：(1)若|x －2|＝5，则x ＝________；(2)由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x －3|＋|x －6|有最小值，请写出当x 在什么范围时|x－3|＋|x －6|有最小值，并求出最小值；(3)当x 取何值时，|x －2|＋|x －(－3)|＋|x －4|有最小值，最小值是多少？专题课2 有理数的大小比较类型1 利用数轴比较有理数的大小1．如图，数轴上的四个点分别表示有理数a ，b ，c ，d ，则下列说法正确的是( )A ．a >bB ．c <0C ．b <cD ．－1>d2．已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则a ，－a ，－1，1的大小关系是( )A ．a ＜－1＜1＜－aB ．－a ＜－1＜a ＜1C ．a ＜－1＜－a ＜1D ．－a ＜－1＜1＜a 3．大于－2.5而小于3.5的整数共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个4．已知a ，b 两数在数轴上的位置如图所示，试在数轴上找出表示－a ，－b 的点，并用“＜”连接a ，b ，－a ，－b .5．在数轴上表示下列各数，并把这些数用“＞”连接起来： 3．5，3.5的相反数，－12 ，绝对值等于3的数，最大的负整数．类型2 利用比较大小的法则比较有理数的大小 6．下列各数中：－1，0，12，0.5，最小的数是( )A ．0.5B ．0C ．12D ．－1 7．下列比较大小结果正确的是( )A ．－3＜－4B ．－(－3)＜|－3|C ．－12 ＞－13D ．|－16 |＞－178．比较大小：1100 ________－0.009；－2 0192 020 ________－2 0202 019 .9．已知数：0，－2，1，－3，5.用“＞”把各数连接起来．类型3 利用绝对值比较大小 10．比较下列各对数的大小： (1)－0.1与－0.2；(2)－45 与－56 ；(3)－821 与－|－17 |.类型4 利用特殊值比较有理数的大小11．如图，数轴上的点表示的有理数是a ，b ，则下列式子正确的是( )A ．－a ＜bB ．a ＜bC ．|a |＜|b |D ．－a ＜－b 12．如果a >0，b <0，a <|b |，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．－b >a >－a >b B ．a >b >－a >－b C ．－b >a >b >－a D ．b >a >－b >－a专题课3 一线串起有理数类型1 数轴与有理数1．数轴上，如果表示数a 的点在原点的左边，那么a 是( )A ．正数B ．负数C ．零D ．以上皆有可能2．点M 为数轴上表示－2的点，将点M 沿数轴向右平移5个单位到点N ，则点N 表示的数是( )A ．3B ．5C ．－7D ．3或－7【变式】在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，2，若将点B 在数轴上平移3个单位长度后与点A 重合，则数a 为( )A ．5B ．－1C ．5或－1D ．5或－2 3．在数轴上，点A 表示数－4，距A 点3个单位长度的点表示的数是________．4．请在数轴上表示下列各数：－|－3|，4，－1.5，－5，212 并将它们用“＞”连接起来，并回答表示最大数与最小数两点之间相距多少个单位长度？5．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C.(1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数；(2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？(3)若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数．类型2数轴与相反数6．已知数轴上A，B两点间的距离是6，它们分别表示的两个数a、b互为相反数(a＞b)，那么a＝________，b＝________．7．在数轴上，点A表示1，点B、点C所表示的数互为相反数，且点C与点A间的距离为3，则点B所表示的数是________．8．小明做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点A，其表示的数是－3，由于粗心，把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在了－3的相反数的位置，想想，要把数轴画正确，原点要向哪个方向移动几个单位长度？( )A．向右移6个单位长度B．向右移3个单位长度C．向左移6个单位长度D．向左移3个单位长度9．如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？类型3数轴与绝对值10．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所对应的数的绝对值最大的点是( )A．点A B．点B C．点C D．点D 11．如图，已知数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是( )A．－4 B．0 C．－2 D．4 12．已知a，b是不为0的有理数，且|a|＝－a，|b|＝b，|a|>|b|，那么用数轴上的点来表示a，b时，正确的是( )13．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，则a＝________，b＝________．14．如图，奥运福娃在5×5的方格(每小格边长为1 m)上沿着网格线运动．贝贝从A处出发去寻找B，C，D处的其他福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B 记为：A→B(＋1，＋4)，从B到A记为：B→A(－1，－4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中(1)B→D(________)，C→________(－3，－4)；(2)若贝贝的行走路线为A→B→C→D，请计算贝贝走过的路程．类型4利用数轴探究问题15．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：(1)已知点A ，B ，C 表示的数分别为1，－52 ，－3，观察数轴，与点A 的距离3的点表示的数是________，A ，B 两点之间的距离为________；(2)以点A 为分界点，把数轴折叠，与点B 重合的点表示的数是________；(3)若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则与B 点重合的点表示的数是0.5；若此数轴上M ，N 两点之间的距离为11(M 在N 的左侧)，且当A 点与C 点重合时，M 点与N 点也恰好重合，则点M 表示的数是________，点N 表示的数是________． 16．(1)借助数轴，回答下列问题．①从－1到1有3个整数，分别是________； ①从－2到2有5个整数，分别是________________； ①从－3到3有7个整数，分别是________________________； ①从－100到100有________个整数；(2)根据以上规律，直接写出，从－3.9到3.9有7个整数，从－10.1到10.1有________个整数；(3)在单位长度是1 cm 的数轴上任意画一条长为1 000 cm 的线段AB ，线段AB 盖住的整点最多有多少个？专题课4 有理数的加减运算技巧有理数的加减运算的简便方法归纳方法1 相反数结合法【例1】计算：(－2)＋3＋1＋(－3)＋2＋(－4).方法2 同号结合法——把正数和负数分别结合相加【例2】计算：(＋9)－(＋10)＋(－2)－(－8)＋3.方法3 同分母结合法【例3】计算：(1)－23 －35 ＋78 －13 －25 ＋18 ；(2)－479 －(－315 )－(＋229 )＋(－615 ).方法4 凑整结合——分数相加，把相加得整数的数先结合相加【例4】计算：|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋|－18 |＋78 .方法5 分解——将一个数拆分成两个数的和或差【例5】计算：－156 ＋(－523 )＋2434 ＋312 .方法6 裂项相消法【例6】观察下列各式：12 ＝11×2 ＝1－12 ，16 ＝12×3 ＝12 －13 ，112 ＝13×4 ＝13 －14 ，…，根据规律完成下列各题． (1)19×10＝________； (2)计算12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋…＋19 900的值为________．易错点分解带分数时易弄错符号【例7】计算：634 ＋313 －514 －312 ＋123 .强化训练计算：(1)(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)；(2)－9＋6－(＋11)－(－15)；(3)3.5－4.6＋3.5－2.4；(4)12 ＋(－23 )＋45 ＋(－12 )＋(－13 )；(5)－478 －(－512 )＋(－412 )－318 ；(6)0.25＋112 ＋(－23 )－14 ＋(－512 )；(7)|－12 |－(－2.5)－(－1)－|0－212 |；(8)0＋1－[(－1)－(－37 )－(＋5)－(－47 )]＋|－4|；(9)－205＋40034 ＋(－20423 )＋(－112 )；(10)－12 －16 －112 －120 －130 －142 －156 －172 ；(11)1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋97－98－99＋100.专题课5 有理数的混合运算技巧有理数混合运算的简便方法归纳方法1 运用乘法的交换律和结合律【例1】计算：531 ×(－29 )×(－2115 )×(－412 ).方法2 运用乘法对加法的分配律【例2】计算：(1)－16×(34 －78 ＋12 )＋(－1)2020.(2)391314 ×(－14)；方法3 逆用乘法对加法的分配律【例3】计算：4×(－367 )－3×(－367 )－6×367 .方法4 除法变乘法，再利用乘法对加法的分配律【例4】计算：(113 －58 ＋712 )÷(－124 ).强化训练计算：(能用简便方法的尽量用简便方法计算) (1)－0.75×(－112 )÷(－214 )；(2)－(3－5)×32÷(－1)3；(3)(－1.5)×45 ÷(－25 )×34 ；(4)－14－(12 －23 ＋14 )×12；(5)(－5)÷(－127 )×(－214 )÷7；(6)1318 ÷(－7)；(7)(－5)－(－5)×110 ÷110 ×(－5)；(8)2×(－137 )－234 ×13＋(－137 )×5＋14 ×(－13)；(9)12.5×6.787 5×18 ＋1.25×678.75×0.125＋0.125×533.75×18 ；(10)－14－(－512 )×411 ＋(－2)3÷|－32＋1|；(11)1－(－112 )÷(12 －14 －16 )；(12)1－0.52 －|0.5－23 |÷13 ×|－2－(－3)2|；(13)[(－1)2 021－(32 －56 －19 )×18]÷|－22|.2021-2022学年北师大版七年级数学上册第二章有理数及其运算章末专题复习练习题专题课1绝对值的应用类型1绝对值的非负性①|a|≥0.①若|a|＋|b|＝0，则a＝b＝0.1．若|x|＝x，则x的取值范围是( C )A．x＞0 B．x≤0 C．x≥0 D．x＜02．若|x－2|＝2－x，则x的取值范围是x≤2．3．已知|x－3|＋|y－1|＝0，求2x＋3y的值．解：因为|x－3|和|y－1|均为非负数，即|x－3|≥0, |y－1|≥0，又因为|x－3|＋|y－1|＝0，所以|x－3|＝0，|y－1|＝0.所以x－3＝0，y－1＝0.所以x＝3，y＝1.所以2x＋3y＝2×3＋3×1＝9.4．已知有理数|x－2|与|y－3|互为相反数，求x＋y＋xy的值．解：因为|x－2|与|y－3|互为相反数，所以|x－2|＝－|y－3|.所以|x－2|＋|y－3|＝0.所以x－2＝0，y－3＝0.所以x＝2，y＝3.所以x＋y＋xy＝2＋3＋2×3＝11.类型2 绝对值的最值问题5．当a ＝2时，|2－a |＋2会有最小值，且最小值是2． 6．当b ＝12 时，5－|2b －1|会有最大值，最大值是5．7．已知x 为有理数，则|x －5|＋|x －3|的最小值是2．8．同学们都知道：|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可以理解成5和－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：(1)若|x －2|＝5，则x ＝7或－3；(2)由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x －3|＋|x －6|有最小值，请写出当x 在什么范围时|x －3|＋|x －6|有最小值，并求出最小值；(3)当x 取何值时，|x －2|＋|x －(－3)|＋|x －4|有最小值，最小值是多少？解：(2)当3≤x ≤6时，|x －3|＋|x －6|有最小值，最小值为3. (3) 当x ＝2时，|x －2|＋|x －(－3)|＋|x －4|有最小值，最小值为7.专题课2 有理数的大小比较类型1 利用数轴比较有理数的大小1．如图，数轴上的四个点分别表示有理数a ，b ，c ，d ，则下列说法正确的是( C )A ．a >bB ．c <0C ．b <cD ．－1>d2．已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则a ，－a ，－1，1的大小关系是( A )A ．a ＜－1＜1＜－aB ．－a ＜－1＜a ＜1C ．a ＜－1＜－a ＜1D ．－a ＜－1＜1＜a 3．大于－2.5而小于3.5的整数共有( A )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个4．已知a ，b 两数在数轴上的位置如图所示，试在数轴上找出表示－a ，－b 的点，并用“＜”连接a ，b ，－a ，－b .解：－a ，－b 对应的点如图所示．由数轴上点的位置可得－b ＜a ＜－a ＜b .5．在数轴上表示下列各数，并把这些数用“＞”连接起来： 3．5，3.5的相反数，－12 ，绝对值等于3的数，最大的负整数．解：各数分别为：3.5，－3.5，－12，±3，－1.在数轴上表示如图：这些数由大到小用“>”连接为：3.5＞3＞－12 ＞－1＞－3＞－3.5.类型2 利用比较大小的法则比较有理数的大小 6．下列各数中：－1，0，12，0.5，最小的数是( D )A ．0.5B ．0C ．12D ．－1 7．下列比较大小结果正确的是( D )A ．－3＜－4B ．－(－3)＜|－3|C ．－12 ＞－13D ．|－16 |＞－178．比较大小：1100 ＞－0.009；－2 0192 020 ＞－2 0202 019 .9．已知数：0，－2，1，－3，5.用“＞”把各数连接起来．解：5＞1＞0＞－2＞－3.类型3 利用绝对值比较大小 10．比较下列各对数的大小： (1)－0.1与－0.2；解：因为|－0.1|＝0.1，|－0.2|＝0.2，且0.1＜0.2，所以－0.1＞－0.2.(2)－45 与－56；解：因为|－45 |＝45 ＝2430 ，|－56 |＝56 ＝2530 ，且2430 <2530 ，所以－45 >－56 .(3)－821 与－|－17 |.解：－|－17 |＝－17.因为|－821 |＝821 ，|－17 |＝17 ＝321 ，且821 ＞321 ，所以－821 ＜－|－17 |.类型4 利用特殊值比较有理数的大小11．如图，数轴上的点表示的有理数是a ，b ，则下列式子正确的是( B )A ．－a ＜bB ．a ＜bC ．|a |＜|b |D ．－a ＜－b 12．如果a >0，b <0，a <|b |，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( A ) A ．－b >a >－a >b B ．a >b >－a >－b C ．－b >a >b >－a D ．b >a >－b >－a专题课3 一线串起有理数类型1 数轴与有理数1．数轴上，如果表示数a 的点在原点的左边，那么a 是( B )A ．正数B ．负数C ．零D ．以上皆有可能2．点M 为数轴上表示－2的点，将点M 沿数轴向右平移5个单位到点N ，则点N 表示的数是( A )A ．3B ．5C ．－7D ．3或－7【变式】在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，2，若将点B 在数轴上平移3个单位长度后与点A 重合，则数a 为( C )A ．5B ．－1C ．5或－1D ．5或－2 3．在数轴上，点A 表示数－4，距A 点3个单位长度的点表示的数是－7或－1． 4．请在数轴上表示下列各数：－|－3|，4，－1.5，－5，212 并将它们用“＞”连接起来，并回答表示最大数与最小数两点之间相距多少个单位长度？解：如图所示．4＞212＞－1.5＞－|－3|＞－5.最大数与最小数两点之间相距9个单位长度．5．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A ，再向右爬了2个单位长度到达点B ，然后又向左爬了10个单位长度到达点C .(1)画出数轴，标出A ，B ，C 三点在数轴上的位置，并写出A ，B ，C 三点表示的数； (2)根据点C 在数轴上的位置，点C 可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？(3)若蚂蚁从点D 出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D 表示的数．解：(1)如图：A ，B ，C 三点表示的数分别为4，6，－4.(2)点C 可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度得到的．(3)从原点向右爬4个单位长度，再向左爬7个单位长度，可以到D ，结合数轴可得，点D 表示的数为－3.类型2数轴与相反数6．已知数轴上A，B两点间的距离是6，它们分别表示的两个数a、b互为相反数(a＞b)，那么a＝3，b＝－3．7．在数轴上，点A表示1，点B、点C所表示的数互为相反数，且点C与点A间的距离为3，则点B所表示的数是2或－4．8．小明做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点A，其表示的数是－3，由于粗心，把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在了－3的相反数的位置，想想，要把数轴画正确，原点要向哪个方向移动几个单位长度？( A )A．向右移6个单位长度B．向右移3个单位长度C．向左移6个单位长度D．向左移3个单位长度9．如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？解：(1)点C表示的数是－1.(2)点C表示的数是0.5，D表示的数是－4.5.类型3数轴与绝对值10．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所对应的数的绝对值最大的点是( D )A．点A B．点B C．点C D．点D 11．如图，已知数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是( C )A ．－4B ．0C ．－2D ．412．已知a ，b 是不为0的有理数，且|a |＝－a ，|b |＝b ，|a |>|b |，那么用数轴上的点来表示a ，b 时，正确的是( C )13．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，则a ＝2或－2，b ＝3．14．如图，奥运福娃在5×5的方格(每小格边长为1 m)上沿着网格线运动．贝贝从A 处出发去寻找B ，C ，D 处的其他福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A 到B 记为：A →B (＋1，＋4)，从B 到A 记为：B →A (－1，－4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中(1)B →D (＋3，－2)，C →A (－3，－4)；(2)若贝贝的行走路线为A →B →C →D ，请计算贝贝走过的路程．解：|＋1|＋|＋4|＋|＋2|＋|0|＋|＋1|＋|－2|＝10(米).答：贝贝走过的路程为10米．类型4 利用数轴探究问题15．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：(1)已知点A ，B ，C 表示的数分别为1，－52，－3，观察数轴，与点A 的距离3的点表示的数是4或－2，A ，B 两点之间的距离为3.5；(2)以点A 为分界点，把数轴折叠，与点B 重合的点表示的数是4.5；(3)若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则与B 点重合的点表示的数是0.5；若此数轴上M ，N 两点之间的距离为11(M 在N 的左侧)，且当A 点与C 点重合时，M 点与N 点也恰好重合，则点M 表示的数是－6.5，点N 表示的数是4.5．16．(1)借助数轴，回答下列问题．①从－1到1有3个整数，分别是－1，0，1；①从－2到2有5个整数，分别是－2，－1，0，1，2；①从－3到3有7个整数，分别是－3，－2，－1，0，1，2，3；①从－100到100有201个整数；(2)根据以上规律，直接写出，从－3.9到3.9有7个整数，从－10.1到10.1有21个整数；(3)在单位长度是1 cm的数轴上任意画一条长为1 000 cm的线段AB，线段AB盖住的整点最多有多少个？解：依题意，得①当线段AB起点在整点时覆盖1 001个数；①当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖1 000个数．综上所述，线段AB盖住的整点最多有1 001个．专题课4有理数的加减运算技巧有理数的加减运算的简便方法归纳方法1相反数结合法【例1】计算：(－2)＋3＋1＋(－3)＋2＋(－4).解：原式＝[(－2)＋2]＋[3＋(－3)]＋1＋(－4)＝0＋0＋1＋(－4)＝－3.方法2同号结合法——把正数和负数分别结合相加【例2】计算：(＋9)－(＋10)＋(－2)－(－8)＋3.解：原式＝9－10－2＋8＋3＝(9＋8＋3)－(10＋2)＝20－12＝8.方法3同分母结合法【例3】计算：(1)－23 －35 ＋78 －13 －25 ＋18；解：原式＝(－23 －13 )＋(－35 －25 )＋(78 ＋18) ＝－1－1＋1＝－1.(2)－479 －(－315 )－(＋229 )＋(－615). 解：原式＝[－479 －(＋229 )]＋[－(－315 )＋(－615)] ＝－7－3＝－10.方法4 凑整结合——分数相加，把相加得整数的数先结合相加【例4】计算：|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋|－18 |＋78. 解：原式＝0.75－3＋0.25＋18 ＋78＝(0.75＋0.25)＋(18 ＋78)－3 ＝1＋1－3＝－1.方法5 分解——将一个数拆分成两个数的和或差【例5】计算：－156 ＋(－523 )＋2434 ＋312. 解：原式＝(－1－56 )＋(－5－23 )＋(24＋34 )＋(3＋12) ＝[(－1)＋(－5)＋24＋3]＋[(－56 )＋(－23 )＋34 ＋12] ＝21＋(－14) ＝2034.方法6 裂项相消法【例6】观察下列各式：12 ＝11×2 ＝1－12 ，16 ＝12×3 ＝12 －13 ，112 ＝13×4 ＝13 －14，…，根据规律完成下列各题．(1)19×10 ＝19 －110 ； (2)计算12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋…＋19 900 的值为99100 ．易错点分解带分数时易弄错符号【例7】计算：634 ＋313 －514 －312 ＋123. 解：原式＝6＋34 ＋3＋13 －5－14 －3－12 ＋1＋23＝(6＋3－5－3＋1)＋(34 ＋13 －14 －12 ＋23) ＝2＋1＝3.强化训练计算：(1)(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)；解：原式＝－7－5－4＋10＝－6.(2)－9＋6－(＋11)－(－15)；解：原式＝－9＋6－11＋15＝(－9－11)＋(6＋15)＝－20＋21＝1.(3)3.5－4.6＋3.5－2.4；解：原式＝(3.5＋3.5)＋(－2.4－4.6)＝7－7＝0.(4)12 ＋(－23 )＋45 ＋(－12 )＋(－13)；解：原式＝[12 ＋(－12 )]＋[(－23 )＋(－13 )]＋45＝0＋(－1)＋45＝－15.(5)－478 －(－512 )＋(－412 )－318；解：原式＝－478 ＋512 －412 －318＝(－478 －318 )＋(512 －412) ＝－8＋1＝－7.(6)0.25＋112 ＋(－23 )－14 ＋(－512)；解：原式＝14 ＋112 ＋(－23 )－14 ＋(－512) ＝(14 －14 )＋[112 ＋(－23 )＋(－512)] ＝－1.(7)|－12 |－(－2.5)－(－1)－|0－212|；解：原式＝12 ＋2.5＋1－212＝12 ＋1＋(2.5－212) ＝112.(8)0＋1－[(－1)－(－37 )－(＋5)－(－47)]＋|－4|；解：原式＝1－[(－1)＋37 －5＋47]＋4 ＝1－[(－1＋37 ＋47)－5]＋4 ＝10.(9)－205＋40034 ＋(－20423 )＋(－112)；解：原式＝(－205)＋400＋34 ＋(－204)＋(－23 )＋(－1)＋(－12) ＝(400－205－204－1)＋(34 －23 －12) ＝－10＋(－512) ＝－10512.(10)－12 －16 －112 －120 －130 －142 －156 －172；解：原式＝－(12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋130 ＋142 ＋156 ＋172) ＝－(1－12 ＋12 －13 ＋13 －14 ＋14 －15 ＋15 －16 ＋16 －17 ＋17 －18 ＋18 －19 ) ＝－(1－19) ＝－89.(11)1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋97－98－99＋100.解：原式＝(1－2)＋(－3＋4)＋(5－6)＋(－7＋8)＋…＋(97－98)＋(－99＋100)＝－1＋1－1＋1－…－1＋1＝0.专题课5 有理数的混合运算技巧有理数混合运算的简便方法归纳方法1 运用乘法的交换律和结合律【例1】计算：531 ×(－29 )×(－2115 )×(－412). 解：原式＝－531 ×29 ×3115 ×92＝－(531 ×3115 )×(29 ×92) ＝－13×1 ＝－13.方法2 运用乘法对加法的分配律【例2】计算：(1)－16×(34 －78 ＋12)＋(－1)2020. 解：原式＝－16×34 ＋16×78 －16×12＋1 ＝－12＋14－8＋1＝－5.(2)391314×(－14)；解：原式＝(40－114)×(－14) ＝40×(－14)－114×(－14) ＝－560＋1＝－559.方法3 逆用乘法对加法的分配律【例3】计算：4×(－367 )－3×(－367 )－6×367. 解：原式＝－367×(4－3＋6) ＝－27.方法4 除法变乘法，再利用乘法对加法的分配律【例4】计算：(113 －58 ＋712 )÷(－124). 解：原式＝(43 －58 ＋712)×(－24) ＝43 ×(－24)－58 ×(－24)＋712×(－24) ＝－32＋15－14＝－31.强化训练计算：(能用简便方法的尽量用简便方法计算)(1)－0.75×(－112 )÷(－214)；解：原式＝－34 ×(－32 )×(－49) ＝－12.(2)－(3－5)×32÷(－1)3；解：原式＝－(－2)×9÷(－1)＝－2×9÷1＝－18.(3)(－1.5)×45 ÷(－25 )×34；解：原式＝32 ×45 ×52 ×34＝94.(4)(2020·成都成华区期末)－14－(12 －23 ＋14)×12；解：原式＝－1－12 ×12＋23 ×12－14×12 ＝－1－6＋8－3＝－2.(5)(－5)÷(－127 )×(－214)÷7；解：原式＝－5×79 ×94 ×17＝－54.(6)1318÷(－7)；解：原式＝1318 ×(－17) ＝(14－78 )×(－17) ＝－2＋18＝－178.(7)(－5)－(－5)×110 ÷110×(－5)；解：原式＝(－5)－(－5)×110×10×(－5) ＝－5－25＝－30.(8)2×(－137 )－234 ×13＋(－137 )×5＋14×(－13)；解：原式＝－137 ×(2＋5)－13×(234 ＋14) ＝－107×7－13×3 ＝－10－39＝－49.(9)12.5×6.787 5×18 ＋1.25×678.75×0.125＋0.125×533.75×18；解：原式＝(12.5×6.787 5＋1.25×678.75＋0.125×533.75)×18＝[125×(0.678 75＋6.787 5＋0.533 75)]×18＝125×8×18＝125.(10)－14－(－512 )×411＋(－2)3÷|－32＋1|；解：原式＝－1＋112 ×411－8÷8 ＝－1＋2－1＝0.(11)1－(－112 )÷(12 －14 －16)；解：原式＝1＋112 ÷(612 －312 －212) ＝1＋112 ÷112＝1＋1＝2.(12)1－0.52－|0.5－23 |÷13 ×|－2－(－3)2|；解：原式＝－4－16×3×11 ＝－4－112＝－192.(13)[(－1)2 021－(32 －56 －19 )×18]÷|－22|.解：原式＝[(－1)－32 ×18＋56 ×18＋19×18]÷4 ＝(－1－27＋15＋2)÷4 ＝(－11)÷4＝－114.。

2024年秋新北师大七年级数学上册第二章有理数及其运算章末复习(课件)

n个a
正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
混合运算
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的.
有理数的运算律加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 (a + b ) + c = a + ( b + c ) 乘法交换律 ab = ba 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 乘法对加法的分配律 a( b + c ) = ab + ac
4.相反数如果两个数只有符号不同，那么称
其中一个数为另一个数的相反数.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
（1）数a的相反数是-a（a是任意一个有理数）；（2）0的相反数是0；（3）若a、b互为相反数，则 a+b = 0.
5.倒数如果两个有理数的乘积为1，那么称
其中的一个数是另一个数的倒数.
（1）a 的倒数是
1 a
（a
≠
0）；
（2）0没有倒数；
（3）若 a 与 b 互为倒数，则 ab = 1.
6.有理数的绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原
点的距离叫做这个数的绝对值.
3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
若 a＞0，则︱a︱= __a__；（1）若 a＜0，则︱a︱= _-_a__；
8.科学记数法一般地，一个大于 10 的数可以表示
成 a×10n 的形式，其中 1 ≤ a < 10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法.
55 000 000 = 5.5×107
二、有理数的运算
1.有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，
并把绝对值相加. 若a>0，b>0，则 a + b = |a| + |b| 若a<0，b<0，则 a + b = -( |a| + |b| )

北师大七年级数学上期末复习经典试题及答案

北师大版七年级上册数学期末复习典型试题一、填空题： 1、－0.5 的绝对值是，相反数是，倒数是。

2、一个数的绝对值是 4，则这个数是，数轴上与原点的距离为5 的数是。

3、—2x 与3x —1 互为相反数，则。

x4、（1）设、互为相反数，、互为倒数，则 2013（）－的值是_____________。

a b c d a bcd（2）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，且 m 3 ，则2a 4m 2b (cd )=_________。

2 2005 a b5、已知 0，则=___________。

ab a b 6、（1）已知a 3 (b 1)2 0，则3a b 。

a b 2012（2）如果| a 1| (b 2)2 0 则的值是______________.。

，2 （3）若 x 2 y5 0 ，则 = x y 3x yx y 2 3 7、（1）单项式－的系数是 2 ，次数是；多项式 2xy 1的2 5次数。

（2）单项式3的系数是___________，次数是___________.2 xy38、（1）如果3x 1 2kk 0 4是关于x 的一元一次方程，则k ____。

1（2）如果3y 9-2mm 0 关于 y 的一元一次方程，则 m ＝ .29、（1）已知x=3 是方程ax-6=a+10 的解，则a=_____________。

x（2）若 =2 是方程3x 4 a 的解，则 1 的值是。

x a2011 2 a 2011 10、将弯曲的河道改直，可以缩短航程，是因为：两点之间，最短11、小明将一根木条固定在墙上只用了两个钉子，他这样做的依据是____.12、如图所示, ∠AOB 是平角, ∠AOC=30 , ∠BOD=60 , OM 、ON 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分0 0 线, ∠MON 等于_________________.14. 如图，∠AOD=80°,∠AOB=30°,OB 是∠AOC 的平分线，则∠AOC 的度数为______，∠COD 的度数为________．13、如图，图中共有条线段，共有个三角形。

北师大版2020-2021学年度七年级数学上册第二章有理数及其运算期末综合复习题(含答案)

北师大版2020-2021学年度七年级数学上册第二章有理数及其运算期末综合复习题（含答案）一、选择题1．（2分）下列说法正确的是（）A．整数就是正整数和负整数B．负整数的相反数就是非负整数C．有理数中不是负数就是正数D．零是自然数，但不是正整数2．（2分）下列各对数中，数值相等的是（）A．﹣27与（﹣2）7B．﹣32与（﹣3）2C．﹣3×23与﹣32×2D．﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）33．（2分）在﹣5，﹣，﹣3.5，﹣0.01，﹣2，﹣212各数中，最大的数是（）A．﹣12B．﹣C．﹣0.01D．﹣54．（2分）如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能是（）A．0B．﹣1C．1D．0或15．（2分）绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（）A．8B．7C．6D．56．（2分）计算（﹣2）100+（﹣2）101所得的结果是（）A．﹣2100B．﹣1C．﹣2D．21007．（2分）比﹣7.1大，而比1小的整数的个数是（）A．6B．7C．8D．98．（2分）计算2000﹣（2001+|2000﹣2001|）的结果为（）A．﹣2B．﹣2001C．﹣1D．20009．（2分）下列代数式中，值一定是正数的是（）A．x2B．|﹣x+1|C．（﹣x）2+2D．﹣x2+110．（2分）已知8.62＝73.96，若x2＝0.7396，则x的值等于（）A．86B．8.6C．±0.86D．±86二、填空题11．（2分）一幢大楼地面上有12层，还有地下室2层，如果把地面上的第一层作为基准，记为0，规定向上为正，那么习惯上将2楼记为，地下第一层记作，数﹣2的实际意义为，数+9的实际意义为．12．（2分）如果数轴上的点A对应有理数为﹣2，那么与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为．13．（2分）有一张纸的厚度为0.1mm，若将它连续对折10次后，它的厚度为mm．14．（2分）（）2＝16，（﹣）3＝．15．（2分）数轴上和原点的距离等于的点表示的有理数是．16．（2分）计算（﹣1）6+（﹣1）7＝．17．（2分）如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m＝﹣1，则代数式2ab﹣（c+d）+m2＝．18．（2分）+5.7的相反数与﹣7.1的绝对值的和是．19．（2分）已知每辆汽车要装4个轮胎，则51只轮胎至多能装配辆汽车．三、计算题20．（32分）计算：（1）；（2）﹣82+72÷36；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）2（x﹣3）﹣3（﹣x+1）；（8）﹣a+2（a﹣1）﹣（3a+5）．四、解答题（本题共6小题，每题5分，共30分）21．（5分）一天小明和冬冬利用温差来测量山峰的高度．冬冬在山脚测得的温度是4℃，小明此时在山顶测得的温度是2℃，已知该地区高度每升高100米，气温下降0.8℃，问这个山峰有多高？22．（5分）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数将四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．例如对1，2，3，4，可作如下运算：（1+2+3）×4＝24（上述运算与4×（1+2+3）视为相同方法的运算）现有四个有理数3，4，﹣6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24．运算式如下：（1），（2），（3）．另有四个有理数3，﹣5，7，﹣13，可通过运算式使其结果等于24．23．（5分）下表列出了几个国外几个城市与北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京的时间早的时数）现在北京时间是上午8：00，（1）求现在纽约和东京时间是多少？（2）彬彬想给远在巴黎的舅舅打电话，你认为合适吗？说明理由．城市时差/时纽约﹣13巴黎﹣7东京+1芝加哥﹣1424．（5分）画一条数轴，并在数轴上表示：3.5和它的相反数，﹣和它的倒数，绝对值等于3的数，最大的负整数和它的平方，并把这些数由小到大用“＜”号连接起来．25．（5分）体育课上，全班男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是某小组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒．﹣0.87+1﹣1.20﹣0.7+0.6﹣0.4﹣0.1问：（1）这个小组男生的达标率为多少？（2）这个小组男生的平均成绩是多少秒？26．（5分）有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n．若a1＝，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．试计算：a2＝，a3＝，a4＝，a5＝．由你发现的规律，请计算a2004是多少？五、提高题（10分）27．（10分）如图是一个正方体纸盒的展开图，请把﹣10，7，10，﹣2，﹣7，2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数．参考答案：一、选择题：1．（2分）下列说法正确的是（）A．整数就是正整数和负整数B．负整数的相反数就是非负整数C．有理数中不是负数就是正数D．零是自然数，但不是正整数解：A、整数就是正整数和负整数，还有0，故本选项错误；B、负整数的相反数就是正整数，故本选项错误；C、有理数中不是负数就是正数，还有0，故本选项错误；D、零是自然数，但不是正整数，本选项正确；故选：D．2．（2分）下列各对数中，数值相等的是（）A．﹣27与（﹣2）7B．﹣32与（﹣3）2C．﹣3×23与﹣32×2D．﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）3解：A、根据有理数乘方的法则可知，（﹣2）7＝﹣27，故A选项符合题意；B、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故B选项不符合题意；C、﹣3×23＝﹣24，﹣32×2＝﹣18，故C选项不符合题意；D、﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣（﹣2）3＝8，故D选项不符合题意．故选：A．3．（2分）在﹣5，﹣，﹣3.5，﹣0.01，﹣2，﹣212各数中，最大的数是（）A．﹣12B．﹣C．﹣0.01D．﹣5解：﹣212＜﹣5＜﹣3.5＜﹣2＜﹣＜﹣0.01．故选：C．4．（2分）如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1解：平方等于本身的数是0和1，则这个数是0或1．故选：D．5．（2分）绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（）A．8B．7C．6D．5解：根据题意，得：符合题意的正整数为1，2，3，∴它们的和是1+2+3＝6．故选：C．6．（2分）计算（﹣2）100+（﹣2）101所得的结果是（）A．﹣2100B．﹣1C．﹣2D．2100解：（﹣2）100+（﹣2）101＝（﹣2）100+（﹣2）100×（﹣2）＝（﹣2）100×（1﹣2）＝2100×（﹣1）＝﹣2100．故选：A．7．（2分）比﹣7.1大，而比1小的整数的个数是（）A．6B．7C．8D．9解：比﹣7.1大，而比1小的整数的个数有﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，共8个，故选：C．8．（2分）计算2000﹣（2001+|2000﹣2001|）的结果为（）A．﹣2B．﹣2001C．﹣1D．2000解：原式＝2000﹣（2001+1）＝2000﹣2002＝﹣2，故选：A．9．（2分）下列代数式中，值一定是正数的是（）A．x2B．|﹣x+1|C．（﹣x）2+2D．﹣x2+1解：x2，|﹣x+1|是一个非负数，但不一定是正数，﹣x2+1只有当x＜1时才是正数，（﹣x）2+2前面的偶次方一定是非负数，再加上2一定是正数，故选C．10．（2分）已知8.62＝73.96，若x2＝0.7396，则x的值等于（）A．86B．8.6C．±0.86D．±86解：∵8.62＝73.96，x2＝0.7396，∴x＝±0.86．故选：C．二、填空题11．（2分）一幢大楼地面上有12层，还有地下室2层，如果把地面上的第一层作为基准，记为0，规定向上为正，那么习惯上将2楼记为+1，地下第一层记作﹣1，数﹣2的实际意义为地下2层，数+9的实际意义为地上10层．解：规定向上为正，则向下为负，所以2楼表示的是以地面为基准向上2层，所以记为+1，地下第一层记作﹣1，﹣2表示的实际意义是地下2层，+9的实际意义为地上10层；故答案为：+1，﹣1，地下2层，地上10层．12．（2分）如果数轴上的点A对应有理数为﹣2，那么与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为1或﹣5．解：如图所示：与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为1或﹣5．13．（2分）有一张纸的厚度为0.1mm，若将它连续对折10次后，它的厚度为102.4mm．解：对折10次后的厚度为0.1×210＝102.4mm．故答案为：102.4．14．（2分）（±4）2＝16，（﹣）3＝﹣．解：易得，±4的2次方是16，（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣．故应填：±4，﹣．15．（2分）数轴上和原点的距离等于的点表示的有理数是±．解：如图所示：数轴上和原点的距离等于的点表示的有理数是±．16．（2分）计算（﹣1）6+（﹣1）7＝0．解：（﹣1）6+（﹣1）7＝1+（﹣1）＝0．17．（2分）如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m＝﹣1，则代数式2ab﹣（c+d）+m2＝3．解：∵ab＝1，c+d＝0，m＝﹣1，∴2ab﹣（c+d）+m2＝2﹣0+1＝3．18．（2分）+5.7的相反数与﹣7.1的绝对值的和是 1.4．解：﹣（+5.7）+|﹣7.1|＝﹣5.7+7.1＝1.4．故答案是1.4．19．（2分）已知每辆汽车要装4个轮胎，则51只轮胎至多能装配12辆汽车．解：51÷4＝12…3，故至多能装配12辆汽车．故答案是12．三、计算题20．（32分）计算：（1）；（2）﹣82+72÷36；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）2（x﹣3）﹣3（﹣x+1）；（8）﹣a+2（a﹣1）﹣（3a+5）．解：（1）＝（8﹣5）+（﹣0.25+0.25）＝3+0＝3；（2）﹣82+72÷36＝﹣82+2＝﹣80；（3）＝×÷10＝；（4）＝25×（﹣﹣）＝25×0＝0；（5）＝﹣79×+×（﹣29）＝（﹣79﹣29）×＝﹣108×＝﹣48；（6）＝﹣1﹣÷3×[3﹣9]＝﹣1﹣÷3×[﹣6]＝﹣1+1＝0；（7）2（x﹣3）﹣3（﹣x+1）＝2x﹣6+3x﹣3＝5x﹣9；（8）﹣a+2（a﹣1）﹣（3a+5）＝﹣a+2a﹣2﹣3a﹣5＝﹣2a﹣7．四、解答题21．（5分）一天小明和冬冬利用温差来测量山峰的高度．冬冬在山脚测得的温度是4℃，小明此时在山顶测得的温度是2℃，已知该地区高度每升高100米，气温下降0.8℃，问这个山峰有多高？解：设这个山峰的高度是x米，根据题意得：4﹣×0.8＝2，解得：x＝250．答：这个山峰有250米．22．（5分）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数将四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．例如对1，2，3，4，可作如下运算：（1+2+3）×4＝24（上述运算与4×（1+2+3）视为相同方法的运算）现有四个有理数3，4，﹣6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24．运算式如下：（1）3×（10﹣6+4），（2）4﹣[10×（﹣6）÷3]；，（3）3×（10﹣4）﹣（﹣6）．另有四个有理数3，﹣5，7，﹣13，可通过运算式{7+[﹣5×（﹣13）]}÷3使其结果等于24．解：3×（10﹣6+4）＝24，4﹣[10×（﹣6）÷3]＝24，3×（10﹣4）﹣（﹣6）＝24，故答案为：（1）3×（10﹣6+4）；（2）4﹣[10×（﹣6）÷3]；（3）3×（10﹣4）﹣（﹣6）；另有四个有理数3，﹣5，7，﹣13，可通过运算式{7+[﹣5×（﹣13）]}÷3使其结果等于24，故答案为：{7+[﹣5×（﹣13）]}÷3．23．（5分）下表列出了几个国外几个城市与北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京的时间早的时数）现在北京时间是上午8：00，（1）求现在纽约和东京时间是多少？（2）彬彬想给远在巴黎的舅舅打电话，你认为合适吗？说明理由．城市时差/时纽约﹣13巴黎﹣7东京+1芝加哥﹣14解：（1）∵现在北京时间是上午8：00，又因为与纽约相差﹣13个小时，∴要倒回13个小时，为昨天晚上七点；又因为与东京相差+1个小时，∴8+1＝9，∴现在东京时间为：上午九点．（2）彬彬想给远在巴黎的舅舅打电话，巴黎与北京相差﹣7个小时，∴巴黎现在是夜里1点，故人都在睡觉不合适打电话．24．（5分）画一条数轴，并在数轴上表示：3.5和它的相反数，﹣和它的倒数，绝对值等于3的数，最大的负整数和它的平方，并把这些数由小到大用“＜”号连接起来．解：3.5的相反数是﹣3.5；﹣的倒数是﹣2；绝对值等于3的数为±3；最大的负整数是﹣1，它的平方是1．如图所示：﹣3.5＜﹣3＜﹣2＜﹣1＜﹣＜1＜3＜3.5．25．（5分）体育课上，全班男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是某小组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒．﹣0.87+1﹣1.20﹣0.7+0.6﹣0.4﹣0.1问：（1）这个小组男生的达标率为多少？（2）这个小组男生的平均成绩是多少秒？解：（1）根据题意可知达标人数为6人，达标率＝＝75%．答：（1）这个小组男生的达标率为75%；（2）15+＝15+＝14.79125（秒）．答：这个小组男生的平均成绩是14.79125秒．26．（5分）有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n．若a1＝，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．试计算：a2＝2，a3＝﹣1，a4＝，a5＝2．由你发现的规律，请计算a2004是多少？解：由题意得：a2＝＝2，a3＝＝﹣1，a4＝＝，a5＝＝2，…可以发现，2，﹣1这三个数反复出现．∵2004÷3＝668，其余数为0，∴a2004＝a3＝﹣1；故答案为：2，﹣1，，2．五、提高题27．（10分）如图是一个正方体纸盒的展开图，请把﹣10，7，10，﹣2，﹣7，2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数．解：如图所示：。

2024-2025学年度北师版七上数学-总复习-期末复习课(二)【课件】

5
1
互为相反数的是3.5与－3.5，0.2与－，有2对互为相反数.
5
1
故答案为3.5或－3.5，0.2和－，2.
5
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数学七年级上册 BS版
类型二相反数与绝对值
1
（1）－的相反数是
13
绝对值是
3
1
3
1
，－的倒数是
3
－3
1
，－的
3
；
⁠
（2）绝对值大于1而小于4的整数有 4 个；已知点 A 在数轴
数学七年级上册 BS版
（2）有理数的乘除法法则：两个有理数相乘（除），同号
得
正，异号得负，并把绝对值相乘（除）.
注意：①0与任何数相乘的积为0；②0除以任何非零的数都得
0；③0不能作除数.
··…·
（3）数的乘方： an ＝
n个a
，其中 a 叫作底
⁠
数， n 叫作指数 .
⁠
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其中1≤ a ＜10， n 为正整数.
5. 比较有理数的大小.
（1）利用数轴比较有理数的大小：
①在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的
数大；
② 正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；
③所有的有理数从小到大在数轴上按从左到右的顺序排列.
⁠
（2）利用绝对值比较有理数的大小：
两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
1
0.2和－
5
值最小的数为
，有 2 对互为相反数.
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（2）【解析】｜3.5｜＝3.5，｜－3.5｜＝3.5，
｜0.2｜＝0.2，｜－2｜＝2，｜－1.6｜＝1.6，

北师大版七年级数学上册第二章有理数期末复习

2.有一批水果，包装质量为每筐25千克，现抽取8框样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）：27,24,23,28,21,26,22,27，为了求得8框样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算。（1）你认为选取的这个恰当的基准为；（2）这8框水果的总质量是多少？
解：（1）25千克（2）各数据与基准数据的差值分别为2，-1，-2,3，-4,1，-3，2 2-1-2+3-4+1-3+2=-2 25×8+（-2）=198（千克）答：这8框水果的总质量是198千克
2.下列各式：①﹣（﹣2）；②﹣|﹣2|；③﹣22；④﹣（﹣2）2，计算结果为负数的个数有（B）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3.已知|2x＋1|＋（y－2）2＝0，求（xy）2 019的值。
-1
1.某出租车一天下午从某点O出发在东西方向营运，假定向东为正，向西为负，行车里程（km）依先后次序记录如下：+5，-3，+10，-8，-6， +12，-10 问：（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车是否回到原点O？ (2)出租车离开出发点O最远是多少千米？ (3)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ (4)若出租车每行驶1千米耗油a升，这一天上午共耗油多少升？
（4）若a与b互为相反数，则a+b=0
3.绝对值：
（1）在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离，叫做这个数的绝对值
(2)一个数a的绝对值可以表示为 |a|
.
(3）绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它
的相反数； 0的绝对值是 0 . （4）绝对值性质的符号表示：
（5）有理数大小的比较：

北师大版七年级数学上册期末数轴有关压轴题专题复习练习题(含答案)

北师大版七年级数学上册期末数轴有关压轴题专题复习练习题1、有理数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，若a =－2，b =－3，c =，(1)填空：A ，B 之间的距离为，之间的距离为，A ，C 之间的距离为；（2）问在数轴上是否存在一点P ，使P 与A 的距离是P 与C 的距离的3倍，若存在，请求出P 点对应的有理数；若不存在，请说明理由．2、操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示)．操作一：(1)折叠纸面，使1表示的点与－1表示的点重合，则－3表示的点与________表示的点重合；操作二：(2)折叠纸面，使－1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间距离为11(A 在B 的左侧)，且A 、B 两点经折叠后重合，求A 、B 两点表示的数是多少．3、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是 5 ；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于|m ﹣n |．如果表示数a 和﹣2的两点之间的距离是3，那么a ＝；（2）若数轴上表示数a 的点位于﹣4与2之间，求|a +4|+|a ﹣2|的值；（3）当a 取何值时，|a +5|+|a ﹣1|+|a ﹣4|的值最小，最小值是多少？请说明理由．4、数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中AB＝2017，BC＝1000，如图所示．（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算a+b+c的值．（2）若原点O在A，B两点之间，求|a|+|b|+|b﹣c|的值．（3）若O是原点，且OB＝17，求a+b﹣c的值．5、如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m．（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为，，m的值为；（2）若点B为原点，AC＝6，求m的值．（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．6、如图所示，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）若x表示一个有理数，|x﹣2019|+|x﹣2020|有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由．（2）求|x﹣1|+2|x﹣3|+3|x﹣4|的最小值．（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求x+2y+3z的最大值和最小值．7、已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；（1）求a、b、c的值；（2）动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；（3）动点P从A出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从C出发向左运动，速度为每秒2个单位的速度．设移动时间为t秒．求t为何值时，P、Q两点之间的距离为8？8、已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．（1）填空：abc0，a+b0，ab﹣ac0；（填“＞”，“＝”或“＜”）（2）若|a|＝2且点B到点A，C的距离相等，①当b2＝16时，求c的值；②P是数轴上B，C两点之间的一个动点，设点P表示的数为x，当P点在运动过程中，bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|的值保持不变，求b的值．9、如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．（1）若折叠纸条使数轴上表示﹣1的点与表示5的点重合，则折痕与数轴的交点表示的数是；（2）如果数轴上两点之间的距离为6+m2（m为常数），这两点经过（1）的折叠方式后折痕与数轴的交点与（1）中的交点相同，求左边这个点表示的数；（用含m的代数式表示）（3）如图2，若将此纸条沿A，B处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折n次后，再将其展开，求最右端的折痕与数轴的交点表示的数．（用含n的代数式表示）10、数轴上两个质点A ．B 所对应的数为﹣8、4，A ．B 两点各自以一定的速度在数轴上运动，且A 点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A ．B 两点同时出发相向而行，在4秒后相遇，求B 点的运动速度；（2）A 、B 两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A 、B 两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C 点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CA ＝2CB ，若干秒钟后，C 停留在﹣10处，求此时B 点的位置？11、如图，在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，AB 表示A 点和B 点之间的距离，C 是AB的中点，且a 、b 满足|a+3|+（b+3a ）2=0．（1）求点C 表示的数；（2）点P 从A 点以3个单位每秒向右运动，点Q 同时从B 点以2个单位每秒向左运动，若AP+BQ=2PQ ，求时间t ；（3）若点P 从A 向右运动，点M 为AP 中点，在P 点到达点B 之前：①的值不变；②2BM ﹣BP 的值不变，其中只有一个正确，请你找出正确的结论并求出其值．12、已知：a 是最大的负整数，且a 、b 、c 满足()052=++-b a c ．（1）请求出a 、b 、c 的值；（2）所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为动点，其对应的数为x ，当点P 在B 到C 之间运动时，化简：31--+x x ；（写出化简过程）（3）在（1）、（2）的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：BC-AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．13、如图，在数轴上点A 表示的数是8，若动点P 从原点O 出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q 从点A 出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t （秒）．（1）当t ＝0.5时，求点Q 到原点O 的距离；（2）当t ＝2.5时求点Q 到原点O 的距离；（3）当点Q 到原点O 的距离为4时，求点P 到原点O 的距离．14、已知，A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且．（1）数轴上点A表示的数是，点B 表示的数是（2）若点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，当C 点在数轴上且满足AC=3BC 时，求C 点对应的数．15、阅读理解：若A 、B 、C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离2倍，我们就称点C 是【A ，B 】的好点．例如，如图1，点A 表示的数为﹣1，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是【A ，B 】的好点．又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2．那么点D 就不是【A ，B 】的好点，但点D 是【B ，A 】的好点：知识运用：051-b 5a 2=++）（（1）如图1，点B是【D，C】的好点吗？是（填是或不是）；（2）如图2，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣40，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？16、如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最小的正整数，a、c满足|a+3|+（c﹣8）2＝0，AB表示点A、B之间的距离，且AB＝|a﹣b|．（1）a＝，b＝；（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（3）点A、B．、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AC＝，BC＝．（用含t的代数式表示）（4）在（3）的条件下，请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．17、已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？（3）当时间t满足t1＜t≤t2时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有55个、44个、11个整数点，请直接写出t 1，t 2的值．参考答案：1、有理数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，若a =－2，b =－3，c =， (1)填空：A ，B 之间的距离为，之间的距离为，A ，C 之间的距离为；（2）问在数轴上是否存在一点P ，使P 与A 的距离是P 与C 的距离的3倍，若存在，请求出P 点对应的有理数；若不存在，请说明理由．解：（1）1 ,311,38 （2）存在.设P 点对应的有理数为x. ①当点P 在点A 的左边时，有－2－x=3（32－x ）解之得：x=2 (不合条件，舍去) ②当点P 在点A 和点C 之间时，有x －(－2)= 3 (32－x) 解之得：x=0③当点P 在点C 的右边时，有x －(－2)= 3 (x －32) 解之得：x=2综上所述，满足条件的P 点对应的有理数为0或2.2、操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示)．操作一：(1)折叠纸面，使1表示的点与－1表示的点重合，则－3表示的点与________表示的点重合；操作二：(2)折叠纸面，使－1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间距离为11(A 在B 的左侧)，且A 、B 两点经折叠后重合，求A 、B 两点表示的数是多少．解：(1)3 (2)①－3 ②由题意可得，A 、B 两点距离对称点的距离为11÷2＝5.5.∵对称点是表示1的点，∴A 、B 两点表示的数分别是－4.5，6.5.、323、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 3 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 5 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝1或﹣5 ；（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；（3）当a取何值时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是多少？请说明理由．【解答】解：（1）3，5，1或﹣5；（2）因为|a+4|+|a﹣2|表示数轴上数a和﹣4，2之间距离的和．又因为数a位于﹣4与2之间，所以|a+4|+|a﹣2|＝6；（3）根据|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|表示一点到﹣5，1，4三点的距离的和．所以当a＝1时，式子的值最小，此时|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的最小值是9．4、数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中AB＝2017，BC＝1000，如图所示．（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算a+b+c的值．（2）若原点O在A，B两点之间，求|a|+|b|+|b﹣c|的值．（3）若O是原点，且OB＝17，求a+b﹣c的值．【答案】解：（1）∵点B为原点，AB＝2017，BC＝1000，∴点A表示的数为a＝﹣2017，点C表示的数是c＝1000，∴a+b+c＝﹣2017+0+1000＝﹣1017．（2）∵原点在A，B两点之间，∴|a|+|b|+|b﹣c|＝AB+BC＝2017+1000＝3017．答：|a|+|b|+|b﹣c|的值为3017．（3）若原点O在点B的左边，则点A，B，C所对应数分别是a＝﹣2000，b＝17，c＝1017，则a+b﹣c＝﹣2000+17﹣1017＝﹣3000；若原点O在点B的右边，则点A，B，C所对应数分别是a＝﹣2034，b＝﹣17，c＝983，则a+b﹣c＝﹣2034﹣17﹣983＝﹣3034．5、如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m．（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为﹣3 ，﹣1 ，m的值为﹣4 ；（2）若点B为原点，AC＝6，求m的值．（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．【答案】解：（1）∵点C为原点，BC＝1，∴B所对应的数为﹣1，∵AB＝2BC，∴AB＝2，∴点A所对应的数为﹣3，∴m＝﹣3﹣1+0＝﹣4；故答案为：﹣3，﹣1，﹣4；（2）∵点B为原点，AC＝6，AB＝2BC，∴点A所对应的数为﹣4，点C所对应的数为2，∴m＝﹣4+2+0＝﹣2；（3）∵原点O到点C的距离为8，∴点C所对应的数为±8，∵OC＝AB，∴AB＝8，当点C对应的数为8，∵AB＝8，AB＝2BC，∴BC＝4，∴点B所对应的数为4，点A所对应的数为﹣4，∴m＝4﹣4+8＝8；当点C所对应的数为﹣8，∵AB＝8，AB＝2BC，∴BC＝4，∴点B所对应的数为﹣12，点A所对应的数为﹣20，∴m＝﹣20﹣12﹣8＝﹣40综上所述m＝8或﹣40．6、如图所示，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）若x表示一个有理数，|x﹣2019|+|x﹣2020|有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由．（2）求|x﹣1|+2|x﹣3|+3|x﹣4|的最小值．（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求x+2y+3z的最大值和最小值．解：（1）|x﹣2019|+|x﹣2020|表示数轴上表示x的点到表示2019、2020点的距离之和，要使距离之和最小，则2019≤x≤2020，∴|x﹣2019|+|x﹣2020|的最小值为2020﹣2019＝1，答：|x﹣2019|+|x﹣2020|的最小值为1；（2）由（1）得，当x＝3时，|x﹣1|+2|x﹣3|+3|x﹣4|的值最小，最小值为5．（3）当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|的最小值为3，当﹣1≤y≤2时，|y﹣2|+|y+1|的最小值为3，当﹣1≤z≤3时，|z﹣3|+|z+1|的最小值为4，∵（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，∴各自均取最小值，当x＝﹣1、y＝﹣1、z＝﹣1时，x+2y+3z的值最小，x+2y+3z＝﹣6，当x＝2、y＝2、z＝3时，x+2y+3z的值最小，x+2y+3z＝15，答：x+2y+3z的最大值为15，最小值为﹣6．7、已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；（1）求a、b、c的值；（2）动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；（3）动点P从A出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从C出发向左运动，速度为每秒2个单位的速度．设移动时间为t秒．求t为何值时，P、Q两点之间的距离为8？解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，∴a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解得：a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10．（2）AB＝﹣10﹣（﹣24）＝14．①当点P在线段AB上时，t＝2（14﹣t），解得：t＝，∴点P的对应的数是﹣24+＝﹣；②当点P在线段AB的延长线上时，t＝2（t﹣14），解得：t＝28，∴点P的对应的数是﹣24+28＝4．综上所述，点P所对应的数是﹣或4．（3）点P、Q相遇前，t+2t+8＝34，解得：t＝；点P、Q相遇后，t+2t﹣8＝34，解得：t＝14．综上所述：当Q点开始运动后第秒或14秒时，P、Q两点之间的距离为8．8、已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．（1）填空：abc＜0，a+b＞0，ab﹣ac＞0；（填“＞”，“＝”或“＜”）（2）若|a|＝2且点B到点A，C的距离相等，①当b2＝16时，求c的值；②P是数轴上B，C两点之间的一个动点，设点P表示的数为x，当P点在运动过程中，bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|的值保持不变，求b的值．【解答】解：（1）∵a＜0＜b＜c，∴abc＜0，a+b＞0，ab﹣ac＞0，故答案为：＜，＞，＞；（2）①∵|a|＝2 且a＜0，∴a＝﹣2，∵b2＝16 且b＞0，∴b＝4，∵点B到点A，C的距离相等，∴|4﹣（﹣2）|＝|c﹣4|，∴c＝10；②依题意，得bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|＝bx+cx+c﹣x﹣10x﹣10a＝（b+c﹣11）x﹣10a+c，∴原式＝（b+c﹣11）x﹣10a+c∵当P点在运动过程中，原式的值保持不变，即原式的值与x无关，∴b+c﹣11＝0，∵b+2＝c﹣b，∴b＝3．9、如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．（1）若折叠纸条使数轴上表示﹣1的点与表示5的点重合，则折痕与数轴的交点表示的数是 2 ；（2）如果数轴上两点之间的距离为6+m2（m为常数），这两点经过（1）的折叠方式后折痕与数轴的交点与（1）中的交点相同，求左边这个点表示的数；（用含m的代数式表示）（3）如图2，若将此纸条沿A，B处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折n次后，再将其展开，求最右端的折痕与数轴的交点表示的数．（用含n的代数式表示）【解答】解：（1）由折叠时，点﹣1与5是对称的，∴﹣1和5的中点为折痕与数轴的交点，∴交点为2，故答案为2；（2）设两个点左边的为x，右边的为y，∵两点之间的距离为6+m2，∴y﹣x＝6+m2，由（1）知交点为2，∴x+y＝4，∴x＝﹣1﹣，∴左边的这个点表示的数是﹣1﹣．（3）对折n次后，每两条相邻折痕间的距离＝，∴最右端的折痕与数轴的交点表示的数为4﹣．10、数轴上两个质点A．B所对应的数为﹣8、4，A．B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A．B两点同时出发相向而行，在4秒后相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CA＝2CB，若干秒钟后，C停留在﹣10处，求此时B点的位置？解（1）设B点的运动速度为x个单位/秒，A．B两点同时出发相向而行，他们的时间均为4秒，则有：（2+x）×4＝12．解得x＝1，所以B点的运动速度为1个单位/秒；（2）设经过时间为t．则B在A的前方，B点经过的路程﹣A点经过的路程＝6，则2t﹣t＝6，解得t＝6．A在B的前方，A点经过的路程﹣B点经过的路程＝6，则2t﹣t＝12+6，解得t＝18．（3）设点C的速度为y个单位/秒，运动时间为t，始终有CA＝2CB，即：8+（2﹣y）t＝2×[4+（y﹣1）t]．解得y＝．当C停留在﹣10处，所用时间为：秒．B的位置为．11、如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，C是AB的中点，且a、b满足|a+3|+（b+3a）2=0．（1）求点C表示的数；（2）点P从A点以3个单位每秒向右运动，点Q同时从B点以2个单位每秒向左运动，若AP+BQ=2PQ，求时间t；（3）若点P从A向右运动，点M为AP中点，在P点到达点B之前：①的值不变；②2BM﹣BP的值不变，其中只有一个正确，请你找出正确的结论并求出其值．【解答】解：（1）∵|a+3|+（b+3a）2=0，∴a+3=0，b+3a=0，解得a=﹣3，b=9，∴=3，∴点C表示的数是3；（2）∵AB=9+3=12，点P从A点以3个单位每秒向右运动，点Q同时从B点以2个单位每秒向左运动，∴AP=3t，BQ=2t，PQ=12﹣5t．∵AP+BQ=2PQ，∴3t+2t=24﹣10t，解得t=；还有一种情况，当P运动到Q的左边时，PQ=5t﹣12，方程变为2t+3t=2（5t﹣12），求得t=24/5（6分）（3）∵PA+PB=AB为定值，PC先变小后变大，∴的值是变化的，∴①错误，②正确；∵BM=PB+，∴2BM=2PB+AP，∴2BM﹣BP=PB+AP=AB=12．12、已知：a 是最大的负整数，且a 、b 、c 满足()052=++-b a c ．（1）请求出a 、b 、c 的值；（2）所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为动点，其对应的数为x ，当点P 在B 到C 之间运动时，化简：31--+x x ；（写出化简过程）（3）在（1）、（2）的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：BC-AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．解答：（1）依题意得，a=-1，c-5=0，a+b=0解得a=-1，b=1，c=5（2）当点P 在B 到C 之间运动时，1<x<5因此，当1<x ≤3时,x+1>0，x-3≤0，原式＝x+1+x-3=2x-2;当3<x<5时, x+1>0，x-3>0，原式=x+1-(x-3)=4．（3）不变。

期末复习(一) 有理数及其运算-北师大版七年级数学上册作业课件

次测量数据的部分记录(用A－C表示观测点A相对观测点C的高度)：
A－C C－D E－D F－E G－F B－G
90米 80米－60米 50米－70米 40米
根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是( A )
A．210米
B．130米
C．390米
D．－210米
二、填空题(每小题3分，共15分)
重难点3 科学记数法
【例3】森林是地球之肺，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有
机物，28.3亿用科学记数法表示为( D )
A．28.3×107
B．2.83×108
C．0.283×1010
D．2.83×109
科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．请把0，－2.5，
1 3
，－
1 2
，8，0.75这六个数按从小到大，从左
到右串成糖葫芦．
依次应填：－2.5，－12，0，13，0.75，8
．
期末复习(一) 有理数及其运算期末复习(一) 有理数及其运算
期期末末复复习习((一一))15有有．理理数数根及及其其据运运算算如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值
11．王老师把数学测验成绩高于班级平均分8分的记为＋8分，则
低于平均分5分的可记为－5 分．
12．据《中国易地扶贫搬迁政策》白皮书报道：2018年我国有2
800 000人进行了扶贫搬迁，成功脱贫．其中2 800 000人用科学记数法
可表示为 2.8×106
人．
13．计算12－7×(－4)＋8÷(－2)的结果是 36 ．
期末复习(一) 有理数及其运算

新北师大版七下数学期末复习知识要点汇总

新北师大版七下数学期末复习知识要点汇总
一、有理数的四则运算
1.有理数的概念
2.有理数的加法、减法、乘法、除法运算法则
3.有理数的乘方
4.有理数的倒数和相反数
5.有理数的大小比较
二、整式的加减法
1.加减法的运算规则
2.加减同类项时的合并和提取公因式
3.加减异类项时的通分
三、整式的乘法
1.乘法的运算规则
2.乘法分配律的应用
3.乘方的计算
四、一元一次方程式
1.一元一次方程式的概念
2.一元一次方程式的解的概念
3.方程式的等价变形
4.方程式的解的判定
5.一元一次方程式的解法（列式法、移项法、等式法）
五、长方体和正方体
1.长方体和正方体的概念
2.长方体和正方体的表面积和体积的计算公式
六、测量单位换算
1.长度单位的换算
2.面积单位的换算
3.体积单位的换算
4.质量单位的换算
5.时间单位的换算
七、统计与概率
1.统计的概念
2.调查数据的整理和表示
3.统计中的问题解决
4.概率的概念
5.概率的计算方法（几何概率、相对频率概率）
八、平面图形的运动与变换
1.平面图形的对称与否
2.平面图形的平移、旋转和翻折
3.平面图形的缩放
4.平面图形的等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形等性质
九、几何推理
1.点、线、面的概念
2.共线、相交、平行和垂直的判定
3.利用线段关系和角度关系判定图形的性质
以上是新北师大版七下数学期末复习知识的主要要点，通过复习这些知识，可以帮助学生巩固数学基础，提高解题能力。

北师大版七年级上册数学期末总复习

北师大版七年级上册数学期末总复习一、重点：1. 能在数轴上表示有理数，并借助数轴理解相反数和绝对值的意义。

2. 掌握有理数的加、减、乘、除和乘方的运算法则。

能进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算和简单的混合运算。

3. 了解单项式、多项式、整式的概念，弄清它们之间的联系和区别，并会把一个多项式按某个字母升幂排列或降幂排列。

4. 能准确地进行去括号与添括号，能熟练地进行整式的加减运算。

5. 了解同位角、内错角和同旁内角的概念，并学会识别。

6. 会根据图形中的已知条件，通过简单说理，得出欲求结果。

—7. 理解频数和频率的概念，借助频率或考虑实验能够观察到的结果，区分不可能发生、可能发生、必然发生这三个概念。

二、难点：1．懂得数学的价值，形成用数学的意识。

2．绝对值概念与代数式、方程等知识的综合应用。

3．较为复杂的整式运算。

4．几何基本图形的识别，及在变式图形的应用。

5．分析所给数据表现出来的信息及可靠性。

三、例题及分析:|例1. 已知|a-2|与(b-3)2互为相反数，求a+2b的值。

分析：由|a-2|与(b-3)2互为相反数可知：|a-2|+(b-3)2=0故a-2=0且b-3=0故a=2且b=3答案：8例2. 若|x|=2，|y|=3，求xy的值。

分析：由|x|=2，应得出：x=2或者x=-2，注意是两个(同理，由|y|=3，应得出：y=3或者y=-3然后分情况讨论答案：6，或者-6例3. 计算：5-3×{-2+4×[-3×(-2)2-(-4)÷(-1)3]-7}分析：注意运算顺序和去括号时的符号问题。

5-3×{-2+4×[-3×(-2)2-(-4)÷(-1)3]-7}=5-3×{-2+4×[-3×4-4]-7}=5-3×{-2+4×[－16]-7}<=5-3×{-2-64-7}=5＋3×73=224例4. 已知a2+a=1，求：a3+2a2+2002的值。

北师大版七年级上册第二单元有理数复习

有理数复习知识点1：有理数的基本概念（有理数数轴相反数绝对值）有理数:按怎义整数勺分数统称有理数.注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数：⑷负整数和零统称为非正整数. 板块一.基本概念例题讲解1、选择下而是关于O 的一些说法，其中正确说法的个数是（）① O 既不是正数也不是负数；②O 是最小的自然数：③O 是最小的正数: ④O 是最小的非负数：⑤O 既不是奇数也不是偶数. A. O B. 1C. 2D. 32、下而关于有理数的说法正确的是（）.A. 有理数可分为正有理数和负有理数两大类•B. 正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合C. 整数和分数统称为有理数D. 正数、负数和零的统称为有理数3、下列说法正确的是（）・A.整数包括正整数、负整数B.分数包括正分数、负分数和OC.有理数中不是负数就是正数D.有理数包括整数和分数板块二、数轴、相反数、倒数、绝对值1、“和方是满足"HO 的有理数，现有四个命题，其中真命题有（）有理数（按定义分类）＜ '正整数' 整数零• 负整数咱然数「正整数正分数有理数（按符号分类”零（零既不是正数，也不是负数）分数「止分数负分数负有理数负整数负分数①铝的相反数是諾：②宀的相反数戡的相反数与方的相反数的差;③"的相反数是Q的相反数和〃的相反数的乘积④"的倒数是α的倒数和b的倒数的乘积・A、2B、3C、4D、12、一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是()A、正有理数B、负有理数C、零D、不可能3、数轴上离开原点2个单位长度的点表示的数是 _____________ :4、有理数-3, 0, 20, -1.25, 1.75, - I -12 I , - (-5)中，正整数有 ________ 个，非负数有 ____ 个：5、绝对值最小的有理数是_______ :绝对值等于3的数是_______ :绝对值等于本身的数是______ :绝对值等于相反数的数是_________ 数：一个数的绝对值一定是_________ 数。

北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》复习题含答案解析 (30)

一、选择题1.已知点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，点C为AB的中点，b<0<a且a+b>0，则下列结论中：① a−b>0；② ∣a∣>∣b∣>∣c∣；③ b−c<0；④ a+b=2c．其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2.如图，点A，B表示的数分别是a，b，点A在0和1对应的两点（不包括这两点）之间移动，点B在−3，−2对应的两点之间移动，下列四个代数式的值可能比2018大的是( )A．1a −1bB．b−a C．(a−b)2D．1b−a3.M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR= 1．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若∣a∣+∣b∣=3，则原点是( )A．M或R B．N或P C．M或N D．P或R4.设三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a的形式，也可以表示为0，ba，b的形式，则a2018+b2018的值等于( )A．0B．1C．2D．35.计算(−3)2等于( )A．−9B．−6C．6D．96.下列各对数中，数值相等的是( )A．+32与+22B．−23与(−2)3C．−32与(−3)2D．3×22与(3×2)27.比−1小2的数是( )A．3B．1C．−2D．−38.十九大报告中指出，过去五年，我国城镇新增就业年均1300万人以上．1300万用科学记数法表示为( )A．13×106B．0.13×108C．1.3×108D．1.3×1079.现有一列数a1，a2，a3，…，a98，a99，a100，其中a3=2020，a7=−2018，a98=−1，且满足任意相邻三个数的和为常数，则a1+a2+a3+⋯+a98+a99+a100的值为( )A．1985B．−1985C．2019D．−201910.实数a，b在数轴上的位置如图所示，给出如下结论：① a+b>0；② b−a>0；③ −a>b；④ a>−b，⑤ ∣a∣>∣b∣>0．其中正确的结论是( )A．①②③B．②③④C．②③⑤D．②④⑤二、填空题11.若a，b，c为有理数，且∣a∣a +∣b∣b+∣c∣c=1，求∣abc∣abc的值为．12.如果水位升高1.2米，记作+1.2米，那么水位下降0.8米，记作米．13.已知：11+12−1=12，13+14−12=112，15+16−13=130，17+18−14=156，⋯，根据上面各式的规律，等式12019+12020−▫=12019×12020中▫里应填的数是．14.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且∣a∣=∣b∣，化简∣c−a∣+∣c−b∣+∣a+b∣=．15.计算：∣−3∣−(−2)0=．16.如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为．6x15217.设一组数据：a1，a2，a3，⋯，a n，我们将前n个数之和记作S n，即S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，⋯，S n=a1+a2+a3+⋯+a n，定义S1+S2+⋯+S nn为这组数据的“嘉祥数”，若a1，a2，a3，⋯，a10这十个数据的“嘉祥数”为11，则6，a1，a2，a3，⋯，a10这11个数据的“嘉祥数”为．三、解答题18.计算下列各题：(1) 15+(−8)−(−4)−5．(2) −8×(−12)÷245．(3) (19+16−12)÷118．(4) −10+8÷(−22)−(−4)÷(−13)．(5) −14−(1−0.5)×13×[5−(−3)2]．19.计算：(1) 2+(−12)÷3×13；(2) −42−∣−9∣×[(−2)3+53]×(−1)2018．20.在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地岀发，晩上到达B地，规定向东为正，当天航行记录如下（单位：km）: 16，−8，13，−9，12，−6，10．(1) B在A的哪一侧？相距多远？(2) 一架直升机从高度为450m的位置开始，先以20m/s的速度上升60s，后以2m/s的速度下降120s，这时直升机所在的高度是多少？21.计算．(1) 7+(−28)−(−9)．(2) (−3)2×2−4÷(−2)．22.随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km 的记为“−”，刚好50km的记为“0”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程(km )−8−11−14−16+41+8(1) 请求出这七天平均每天行驶多少千米．(2) 若每行驶 100 km 需用汽油 6 升，汽油价 6.2 元 / 升，请估计小明家一个月（按 30 天计）的汽油费用是多少元？23. 已知抛物线 y =ax 2+bx +c 过点 A (−6,0)，B (2,0)，C (0,−3)．(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若点 H 是该抛物线第三象限任意一点，求四边形 OCHA 的最大面积；(3) 若点 Q 在 y 轴上，点 G 为该抛物线的顶点，且 ∠GQA =45∘，求点 Q 的坐标．24. 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在数轴上若点 A ，B 分别表示有理数 a ，b ，在数轴上 A ，B 两点之间的距离 AB =∣a −b ∣，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1) 数轴上表示 −3 和 2 的两点之间的距离是；数轴上表示 x 和 −3 两点之间的距离是．(2) 若 a 表示一个有理数，则 ∣a +4∣+∣a −2∣ 有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．(3) 当 a = 时，∣a +4∣+∣a −1∣+∣a −2∣ 的值最小，最小值是．25. 计算．(1) (−5)+(−7)−(+13)−(−19)．(2) (−28)×(−1516)÷∣∣−134∣∣×47．(3) 4−(23−214−256)×(−12)． (4) −12018−13[(−5)×(−53)2+0.8]．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】由题可知：∴a−b>0，故①正确；∣a∣>∣b∣>∣c∣，②不一定正确；b−c<0，故③正确；a+b=2c，故④正确．【知识点】绝对值的几何意义2. 【答案】A【解析】A．∵−3<b<−2，0<a<1，∴−12<1b<−13，1a>1，∴1a −1b的值可能比2018大，故本选项正确；B．由题意得：a>b，∴b−a<0，故本选项错误；C．∵−3<b<−2，0<a<1，∴2<a−b<4，∴4<(a−b)2<16，故本选项错误；D．∵−4<b−a<−2∴−12<1b−a<−14，故本选项错误．【知识点】利用数轴比较大小3. 【答案】A【解析】∵MN=NP=PR=1，∴∣MN∣+∣NP∣=∣PR∣=1，∴∣MR∣=3；①当原点在N或P点时，∣a∣+∣b∣<3，又∵∣a∣+∣b∣=3，∴原点不可能在N或P点；②当原点在M，R时且∣Ma∣=∣bR∣时，∣a∣+∣b∣=3；综上所述，此原点应是在M或R点．【知识点】绝对值的几何意义4. 【答案】C【解析】∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，ba，b的形式，∴这两个数组的数分别对应相等．∴a+b与a中有一个是0，ba 与b中有一个是1，但若a=0，会使ba无意义，∴a≠0，只能a+b=0，即a=−b，于是ba．只能是b=1，于是a=−1．∴a2018+b2018=(−1)2018+12018=1+1=2，故选：C．【知识点】有理数的乘方5. 【答案】D【解析】原式=32=9.故选：D．【知识点】有理数的乘方6. 【答案】B【解析】A、+32=9，+22=4，不相等；B、−23=(−2)3=−8，相等；C、−32=−9，(−3)2=9，不相等；D、3×22=12，(3×2)2=36，不相等，故选：B．【知识点】有理数的乘方7. 【答案】D【解析】−1−2=−3．【知识点】有理数的减法法则及计算8. 【答案】D【解析】1300万=1300×104=1.3×107．【知识点】正指数科学记数法9. 【答案】B【解析】因为任意相邻三个数的和为常数，所以a1+a2+a3=a2+a3+a4，a2+a3+a4=a3+a4+a5，a 3+a 4+a 5=a 4+a 5+a 6．所以 a 1=a 4，a 2=a 5，a 3=a 6．因为 a 7=−2018，a 98=−1，7÷3=2⋯⋯1，98÷3=32⋯⋯2，所以 a 1=−2018，a 2=−1．所以 a 1+a 2+a 3=−2018+(−1)+2020=1．因为 100÷3=33⋯⋯1，所以 a 100=a 1=−2018．所以a 1+a 2+a 3+⋯+a 98+a 99+a 100=(a 1+a 2+a 3)+⋯+(a 97+a 98+a 99)+a 100=1×33+(−2018)=−1985.【知识点】有理数的加法法则及计算10. 【答案】C【解析】根据数轴可知：a <0<b ，且 ∣a∣>∣b∣． ① a +b >0 错误； ② b −a >0 正确； ③ −a >b 正确； ④ a >−b 错误； ⑤ ∣a∣>∣b∣>0 正确．【知识点】绝对值的几何意义二、填空题 11. 【答案】 −1【解析】 ∵∣a∣a =±1，∣b∣b=±1，∣c∣c=±1，而 ∣a∣a +∣b∣b+∣c∣c=1，∴∣a∣a，∣b∣b ，∣c∣c 的值中只有一个 −1，即 a ，b ，c 中只有一个负数， ∴∣abc ∣=−abc ， ∴∣abc∣abc=−abc abc=−1．【知识点】有理数的除法、绝对值的几何意义12. 【答案】 −0.8【知识点】正数和负数13. 【答案】 11010【解析】12019+12020−11010=12019×12020．【知识点】有理数加减混合运算14. 【答案】2b【解析】由数轴得c>a，c<b，a<0，∴c−a>0，c−b<0，∵∣a∣=∣b∣，∴a+b=0，故∣c−a∣+∣c−b∣+∣a+b∣=c−a+b−c+0=b−a=2b.【知识点】绝对值的几何意义15. 【答案】2【解析】原式=3−1=2．【知识点】绝对值的几何意义16. 【答案】−1【解析】6+1+2−1−5=3，6+1+2−6−3=0，6+1+2−0−5=4．根据题意得：6+1+2=6+x+4，解得：x=−1．【知识点】有理数加减混合运算17. 【答案】16【解析】a1+a1+a2+(a1+⋯+a3)+(a1+⋯+a10)=110，则6+6+a1+6+a1+a2+⋯+6+(a1+⋯+a10) =110+6×11=176,∴嘉祥数为17611=16．【知识点】有理数的加法法则及计算三、解答题18. 【答案】(1)15+(−8)−(−4)−5 =15+(−8)+4+(−5) = 6.(2)−8×(−12)÷245 =8×12×524=20.(3)(19+16−12)÷118 =(19+16−12)×18 =2+3−9=−4.(4)−10+8÷(−22)−(−4)÷(−13) =−10+8÷(−4)−4×3=−10+(−2)+(−12)=−24.(5)−14−(1−0.5)×13×[5−(−3)2]=1−12×13×[5−9]=1−16×(−4)=−1+23=−13.【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数加减混合运算、有理数的乘法、有理数的除法19. 【答案】(1) 原式=2+(−4)×13=2−43=23.(2) 原式=−16−9×(−8+53)×1=−16−9×(−193)×1=−16+57=41.【知识点】有理数加减乘除混合运算、有理数的加减乘除乘方混合运算20. 【答案】(1) 16+(−8)+13+(−9)+12+(−6)+10=28（千米）．答：B在A的东边28千米处．(2) 上升高度：ℎ1=20×60=1200m．总高度：ℎ0+ℎ1=450+1200=1650m．下降高度：ℎ2=2×120=240m．最后高度：ℎ=1650−240=1410m．答：这时直升机所在高度是1410m．【知识点】有理数加法的应用21. 【答案】(1) 原式=7−28+9=−21+9=−12.(2) 原式=18−(−2)=18+2=20.【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数加减混合运算22. 【答案】(1) 平均每天路程为50+−8−11−14+0−16+41+87=50（千米）．答：这七天平均每天行驶50千米．(2) 平均每天所需用汽油费用为：50×6100×6.2=18.6（元）估计小明家一个月的汽油费用是：18.6×30=558（元）答：估计小明家一个月的汽油费用是558元．【知识点】有理数加法的应用23. 【答案】(1) ∵已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(−6,0)，B(2,0)，∴设抛物线解析式为y=a(x+6)(x−2)．又∵抛物线过点C(0,−3)，∴有−3=−12a，则a=14，∴y=14(x+6)(x−2)=14x2+x−3．(2) 设H(t,14t2+t−3)．∵点H在第三象限的抛物线上，∴−6<t<0，则S OCHA=S△OAH+S△OCH=12OA⋅∣y H∣+12OC⋅∣x H∣=12×6⋅(−14t2−t+3)+12×3×(−t)=−34t2−92t+9=−34(t+3)2+634.∴当t=3时，四边形OCHA的面积有最大值634．(3) ∵y=14x2+x−3=14(x+2)2−4，∴顶点G的坐标为(2,−4)．设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，则GM=4，AM=12AB=12[2−(−6)]=4，∴GM=AM，且∠AMG=90∘．以点M为圆心，MG为半径的圆过点A，B，与y轴交于点Q和点Qʹ，连接QA，QG．由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠AQG=12∠AMG=12×90∘=45∘．连接QM，在Rt△QMO中，OM=2，QM=4∴OQ=√42−22=2√3．∴Q(0,2√3)．由对称性可知，Qʹ(0,−2√3)．当点Q在线段QQʹ之间或线段QQʹ之外时，均不能保证使∠GQA=45∘．综上，满足条件的点Q的坐标为(0,2√3)或(0,−2√3)．【知识点】二次函数的顶点、二次函数的最值、圆周角定理及其推理、二次函数的解析式、坐标平面内图形的面积24. 【答案】(1) 5；∣x+3∣(2) 当−4≤a≤2时存在最小值，且最小值=(a+4)+(2−a)=6．(3) 1；6【解析】(1) −3和2的两点之间的距离是∣2−(−3)∣=5；数轴上表示x和−3两点之间的距离是∣x−(−3)∣=∣x+3∣．(3) 当a=1时，∣a+4∣+∣a−1∣+∣a−2∣=5+0+1=6．【知识点】绝对值的几何意义25. 【答案】(1) 原式=−5−7−13+19=−6．(2) 原式=28×2116×47×47=12．(3) 原式=4+8−27−34=−49．(4) 原式=−1−13×(−1259+45)=−1+12527−415=1362405．【知识点】有理数加减乘除混合运算、有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数加减混合运算。