高三数学等差数列与等比数列单元练习

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数列等差等比数列问题综合章节综合检测专题练习(六)含答案新教材高中数学

高中数学专题复习《数列等差等比数列综合》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=（）A ．2-B ．0C ．1D ．2(汇编江西文)2．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =( )A ．2744n n + B ．2533n n+ C ．2324n n+ D ．2n n +（汇编重庆文）解析设数列{}n a 的公差为d ，则根据题意得(22)22(25)d d +=⋅+，解得12d =或0d =（舍去），所以数列{}n a 的前n 项和2(1)1722244n n n n nS n -=+⨯=+ 3．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（）A ．1322a a a +≥B ．2221322a a a +≥C ．若13a a =,则12a a =D ．若31a a >,则42a a >（汇编北京文）4．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2+a 5＝4，a n ＝33，则n 为（） A ．50B ．49C ．48D ．47（汇编）5．如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（） A ．14 B ．21 C ．28 D ．35(汇编全国2理)6．若n 项等比数列的首项为a 1=1,公比为q ,这n 项和为S (S ≠0),则此数列各项的倒数组成的新数列的和是A.S 1B.qS 1C.S qD.1-n q S7．一个小球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下,设它第n 次着地时,共经过了a n 米,则当n ≥2时,有312100.A --+=n n n a a 212100.B --+=n n n a an n n a a 2100.C 1+=- 21210021.D --+=n n n a a8．在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对9．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113是此数列的第（）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．810．已知等差数列{a n }中的前三项依次为a-1，a ＋1，2a ＋3，则此数列的通项公式为 [ ]． A ．a n =2n-5 B ．a n =2n-3 C ．a n ＝2n-1 D ．a n =2n ＋111．下列各命题中,真命题是A.若{an}成等差数列,则{|an|}也成等差数列B.若{|an|}成等差数列,则{an}也成等差数列C.若存在自然数n 使2an+1=an+an+2,则{an}是等差数列D.若{an}是等差数列,则对任意正整数n 都有2an+1=an+an+212．设命题甲:△ABC 的一个内角为60°,命题乙:△ABC 的三个内角的度数成等差数列.那么A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．设函数()2c o f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，若125()()()5f a f a f a π+++=，则[]2315()f a a a -＝＿＿＿＿＿14．如图是由所输入的x 值计算y 值得一个算法程序，若x 依次取数列()24,2011n n N n n *⎧⎫+∈≤⎨⎬⎩⎭的项，则所得y 值中的最小值为 15．数列{a n }的前n 项和为n S ，若对于n ∈N*，总有n S ＝2n －1，则数列2{}n n a a +的前n 项和为 ▲ ．16．设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ．17．已知}{n a 是等差数列，且,13,77,57146541074==++++=++k a a a a a a a a 若则k = .18．在等差数列{n a }中，22,16610a a x x --=是方程的两根，则5691213a a a a a ++++= .19．已知数列{a n }、{b n }都是等差数列，a 1=0、b 1= -4，用S k 、k S '分别表示数列{a n }、{b n }的前k 项和（k 是正整数），若S k +kS '=0，则a k +b k 的值为20．数列{}n a 是公差不为零的等差数列，并且5813,,a a a 是等比数列{}n b 的相邻三项，若25b =，则n b =___________；评卷人得分三、解答题21．已知数列16n a n =-,(1)15nn b n =--,其中*n N ∈(1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合 (2)n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值(3)记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =(m<n)的有序整数对(m,n)22．定义：若数列{}n A 满足21n n A A =+，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，21=a ，点),(1+n n a a 在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数．(1）证明：数列{}12+n a 是“平方递推数列”，且数列{})12lg(+n a 为等比数列． (2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即n T )12()12)(12(21+++=n a a a ，求数列{}n a 的通项及n T 关于n 的表达式．(3）记n a n T b n 12log +=，求数列{}n b 的前n 项之和n S ，并求使n S 2008>的n 的最小值．23．等比数列{}a n 的前n 项和为S S S S n ，3692+=，求公比q 。

(完整版)等差、等比数列》专项练习题

《等差、等比数列》专项练习题、选择题：1已知等差数列｛a n ｝中，a i =l, d=1，则该数列前9项和S ）等于（）A.55B.45C.35D.252.已知等差数列｛an ｝的公差为正数，且 a 3 • a ?=— 12, a 4+a 6=— 4，贝U S 20为（）A. 180 B .— 180 C. 90D.— 903. 已知等差数列｛a n ｝中,a 2+a s =8,则该数列前9项和S 等于（）A.18B.27C.36D.451，则数列b n 的前n 项和T na *a n 134. ______________________________________________ 在等比数歹U ｛ a n ｝中，已知 a 1= — , a 4=12，贝U q= ___________________________________________________ ____ , a n = _______ _______ .25. ________________________________________________________________________ 在等比数列｛ a n ｝中，a n > 0,且a n + 2=a n + a n +1,则该数列的公比 q= ___________________________________________ __ .三、解答题：S 、1.设｛ a n ｝为等差数列，S 为｛ a n ｝的前n 项和，7, 3=75,已知F 为数列｛ - ｝的前n 项数，求T n .2.已知数列 a n 是等差数列，其前n 项和为S n , a 3 6$ 12 .1 .1 或—1 亠1 A .1 B . —C D . — 1 或—225. 在等比数列｛a n ｝中，如果 a 6=6, a 9=9，那么a 3等于( )316A .4B 一C —D . 2296. 若两数的等差中项为 6, 等比中项为5, 则以这两数为两根的兀一次方程为（）若两数的等差中项为A . .x 2— 6x + 25=0B .x 2+ 12x + 25=0C. x 2+ 6x — 25=0D.x 2— 12x + 25=04.等比数列｛ a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21,则公比q 的值为（）7.已知等比数列 a n 中，公比 q 2，且 a 1 a ? a 3 L a 3°&等比数列的前 n 项和 S n =k 3n + 1,则 k 的值为()A .全体实数B . — 1C . 1D . 3、填空题：1 .等差数列 a n 2的前n 项和S n n3n .则此数列的公差 d2.数列{ a n } , { b n }满足 a n b n = 1, a n = n 2 + 3n + 2，则｛ b n ｝的前10次之和为____________ 30 2 ，那么a 3 a 6 a 9 L a 3°等于 A . 210 B . 220 C . 216D . 215 3•若a n 是首项为1，公差为2的等差数列，b n23. 已知数列满足 a 1=1, a n + 1=2a n + 1(n € N*)(1) （2）求｛a n ｝的通项公式.4. 在等比数列｛ a n ｝中，a 1 + a n =66, a 2 a n -1=128,且前n 项和S n =126，求n 及公比q .（l ）求数列 a n 的通项公式；（2）求.S 1 S 2求证数列｛a n + 1｝是等比数列；参考答案9 8 、选择题：1.B提示：s9 9 1 ---------------- 12a4+a6=a3+a7=—4 与452.A提示：由等差数列性质，--37>33 37=2 , 33=—6 ,从而得a1=—10, d=2, $0=180.2 ______________________a3 • a7=—12联立，即a3, a?是方程x +4x —12=0的两根，又公差d>0,3.C提示：在等差数列｛a n｝中, 则该数列前9项和S=9（ai知=36CAD B B二、填空题: 1 •答案：2提示: a1 S1 4, a1 a2 S2 22 3 210 ,32提示:1bn= a n = (n+ 1) ( n+ 2)1•- S o= b1+ b+…b n=—23•答案:6n 9提示: an2n 1,b nT n 4.2,6n 9 3 2n—215.2三、解答题:1•解：设数列｛a n｝1n+ 11n+ 2(2n 1)(2n 3)1 12(2n 1 2n 3），用裂项求和法求得的公差为d,贝y S= n◎+ 2 n (n —1) d.78+ 21d= 7T S= 7, S5= 75,「. ,15a1 + 105d= 751 1=a1+ (n—1) d=—2+ a1 = —2d= 1S n• n-(n—1)S n+1n+ 1 •数列是等差数列，其首项为-2,公差为1,--T n= nn (n—1)-(—2)+ 2—2 9n —n.42.解：（1）设数列a n的公差为d,由题意得方程组a12d 63 23a1 d 12，解得a1 2d 2，•数列弘的通项公式为a n a1 (n 1)d 2n，即a n 2n .2/ 、n(a 〔 a n ) (2)v a n 2n S n- - n(n 1) • 21 1 1 1S n 1 22 3 n(n 1)a n 1 13.(1)证明由 a n +1 =2a n +1 得 a n +1 + 仁2(a n + 1)又 a n + 1 工 0 ••• =2 即｛ a n + 1｝为等比数列.a n 1⑵解析：由(1)知 a n + 1=(a 1 + 1)q nr 即 a n =( a +1) q n 「1— 1=2 玄一1 -仁2n - 14•解析：T a 1a n =a 2a n -1=128，又 a 1 + a n =66,•- a 1、a n 是方程 x 2— 66x + 128=0 的两根，解方程得 X 1=2 , x 2=64, •- a 1=2, a n =64 或 a 1=64 , a n =2，显然1.a 1 a n q右 a 1=2, a n =64，由一 -=126 得 2 — 64q=126 — 126q ,1 q•- q=2，由 a n =a 1q n 1 得 2n 1=32 ,•• n=6.1 若a 1=64 , a n =2，同理可求得 q= , n=6.21 综上所述，n 的值为6，公比q=2或一.21S 1。

数列等差数列与等比数列练习题

数列等差数列与等比数列练习题数列是数学中基础而重要的概念之一，同时也是数学的应用领域中常见的数学模型之一。

其中，等差数列和等比数列是数列中最基础的两种常见类型。

本文将为大家提供一些关于等差数列和等比数列的练习题，以巩固和提高大家对数列的理解和运用能力。

【练习题一】1. 若等差数列的首项是3，公差是4，求第n项的表达式。

解析：由题意，首项是3，公差是4。

所以等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

代入已知条件，可得an = 3 + (n-1)4。

2. 若等差数列的第7项是18，公差是2，求首项和第n项的和。

解析：由题意，第7项是18，公差是2。

所以等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

代入已知条件，可得18 = a1 + (7-1)2。

解方程得a1 = 5。

首项和第n项的和可以表示为Sn = (n/2) * (a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。

代入已知条件，得Sn = (n/2) * (5 + 5 + (n-1)*2)。

【练习题二】1. 若等比数列的首项是2，公比是3，求第n项的表达式。

解析：由题意，首项是2，公比是3。

所以等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

代入已知条件，可得an = 2 * 3^(n-1)。

2. 若等比数列的第4项是16，公比是2，求首项和第n项的和。

解析：由题意，第4项是16，公比是2。

所以等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

代入已知条件，可得16 = a1 * 2^(4-1)。

解方程得a1 = 2。

首项和第n项的和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，a1为首项，r为公比。

代入已知条件，得Sn = 2 * (1 - 2^n) / (1 - 2)。

高中数学《等差数列、等比数列》专题练习题(含答案解析)

高中数学《等差数列、等比数列》专题练习题（含答案解析）一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 C [设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d a 1＋4d24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C ．]2．设公比为q (q >0)的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1C ．12D ．23B [S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3a 4－3a 2 ，即3a 2＋a 3－2a 4＝0，即3a 2＋a 2q －2a 2q 2＝0 ，即2q 2－q －3＝0，解得q ＝－1 (舍)或q ＝32，当q ＝32时，代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，解得a 1＝－1，故选B ．]3．(2018·莆田市3月质量检测)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝a 1＋2a 3，a 4＝1，则S 4＝( )A ．78B ．158C ．14D ．15D [由S 2＝a 1＋2a 3，得a 1＋a 2＝a 1＋2a 3，即a 2＝2a 3，又{a n }为等比数列，所以公比q ＝a 3a 2＝12，又a 4＝a 1q 3＝a 18＝1，所以a 1＝8.S 4＝a 11－q 41－q＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1161－12＝15.故选D ．]4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13C [∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0,a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.]5．(2018·衡水模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m＋1＝21，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [在等比数列中，因为S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，所以a m ＝S m －S m －1＝－11－5＝－16，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝32.则公比q ＝a m ＋1a m＝32－16＝－2，因为S m ＝－11，所以a 1[12m ]1＋2＝－11，①又a m ＋1＝a 1(－2)m ＝32，② 两式联立解得m ＝5，a 1＝－1.] 6．等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1B [a na 2n ＝a 1n －1da 12n －1d ＝a 1－d ＋nda 1－d ＋2nd，若a 1＝d ，则a na 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.∵a 1＝d ≠0，∴a na 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.] 7．已知等比数列{a n }中，a 2a 10＝6a 6，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 6，则数列{b n }的前9项和为( )A ．9B ．27C ．54D ．72B [根据等比数列的基本性质有a 2a 10＝a 26＝6a 6，a 6＝6，所以b 4＋b 6＝a 6＝6，所以S 9＝9b 1＋b 92＝9b 4＋b 62＝27.]8．(2018·安阳模拟)正项等比数列{a n }中，a 2＝8,16a 24＝a 1a 5，则数列{a n }的前n 项积T n 中的最大值为( )A ．T 3B ．T 4C ．T 5D ．T 6A [设正项等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则16a 24＝a 1a 5＝a 2a 4＝8a 4，a 4＝12，q 2＝a 4a 2＝116，又q ＞0，则q ＝14，a n ＝a 2q n －2＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －2＝27－2n ，则T n ＝a 1a 2…a n ＝25＋3＋…＋(7－2n )＝2n (6－n )，当n ＝3时，n (6－n )取得最大值9，此时T n 最大，即(T n )max ＝T 3，故选A ．]二、填空题9．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为________．2 [根据等比中项有a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，化简得a 1＝－4d ，S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝a 1＋2d 2a 1＋7d ＝－2d －d＝2.] 10．已知数列{a n }满足a 1＝－40，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，则a n 取最小值时n 的值为________．10或11 [由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ＝2n (n ＋1)，两边同时除以n (n ＋1)，得a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为－40、公差为2的等差数列，所以a nn ＝－40＋(n －1)×2＝2n －42，所以a n＝2n 2－42n ，对于二次函数f (x )＝2x 2－42x ，在x ＝－b2a＝－－424＝10.5时，f (x )取得最小值，因为n 取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n 取10或11时，a n 取最小值．]11．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________． 16 [S 10＝10a 1＋a 102＝40⇒a 1＋a 10＝a 3＋a 8＝8，a 3·a 8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋a 822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16，当且仅当a 3＝a 8＝4时“＝”成立．]12．已知函数{a n }满足a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3，且a 1＝1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1的前20项和为________．780 [由a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3得2a n ＋3a n ＋1＝1a n ＋1＋1，即1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是以12为首项，2为公差的等差数列，则1a n ＋1＝2n －32，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1是以1为首项，4为公差的等差数列，其前20项的和为20＋10×19×4＝780.]三、解答题13．(2018·德阳二诊)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1 . (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和T n . [解] (1)∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．又a 1＝1，∴a 1＋1＝2≠0，a n ＋1≠0.∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＝2n －1， ∴2na n a n ＋1＝2n2n －12n ＋1－1＝12n －1－12n ＋1－1，∴T n ＝12－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1.14．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．[解] (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3；当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9；当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21. (2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3.由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)，所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列，所以a n＋3＝(a1＋3)×2n－1，a n＝3(2n－1)(n∈N*)．。

等差数列与等比数列练习题

等差数列与等比数列练习题一、等差数列1. 求等差数列2, 5, 8, 11, 14的公差d和第n项的通项公式an。

解：首先，根据等差数列的性质，可知第2项减去第1项等于公差d，即5-2=d，解得d=3。

由此可得等差数列的公差d为3。

其次，我们可以观察到等差数列的公式。

第n项的通项公式可表示为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

将已知数据代入，我们有a1=2，d=3，n为第几项（此处为5），代入公式计算，可得a5=2+(5-1)×3=14。

因此，该等差数列的第5项的通项为14。

2. 如果等差数列的第a项是5，公差是7，求第n项的值an。

解：根据等差数列的通项公式可知，an=a1+(n-1)d。

已知a1=5，d=7，n为第几项（此处为n），代入公式计算，得到an=5+(n-1)×7。

因此，等差数列的第n项的值为an=5+(n-1)×7。

二、等比数列1. 求等比数列3，6，12，24的公比r和第n项的通项公式an。

解：首先，根据等比数列的性质，可知第2项除以第1项等于公比r，即6/3=r，解得r=2。

由此可得等比数列的公比r为2。

其次，观察等比数列的公式。

第n项的通项公式可表示为an=a1×r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

将已知数据代入，我们有a1=3，r=2，n为第几项（此处为4），代入公式计算，可得a4=3×2^(4-1)=3×2^3=24。

因此，该等比数列的第4项的通项为24。

2. 如果等比数列的第a项是4，公比是0.5，求第n项的值an。

解：根据等比数列的通项公式可知，an=a1×r^(n-1)。

已知a1=4，r=0.5，n为第几项（此处为n），代入公式计算，得到an=4×0.5^(n-1)。

因此，等比数列的第n项的值为an=4×0.5^(n-1)。

综上所述，等差数列与等比数列的练习题可以通过给定的已知条件，运用相应的公式来求解。

等差数列和等比数列习题及答案

等差数列和等比数列习题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( )A ．18B ．12C ．9D ．62．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．643．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．94．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2B ．1－2C ．3＋2 2D ．3－225．正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m ·a n ＝16a 21，m ，n ∈N *，则1m ＋9n的最小值为( ) A ．2B ．16C ．114D ．326．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝23，d ＝________. 7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N ，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝___________8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为_______.9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －p (n ∈N *)，其中p 是不为零的常数．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)当p ＝3时，若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．10．(文)(2017·蚌埠质检)已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 23a 2n ＋3，且{b n }为递增数列，若c n ＝4b n ·b n ＋1，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <1.【参考答案】1． D[解析] 本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式．由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D ．2． C[解析] 解法一：由条件知：a n >0，且⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝3，a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝15， ∴q ＝2.∴a 1＝1，∴S 6＝1－261－2＝63. 解法二：由题意知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即122＝3(S 6－15)，∴S 6＝63.3． D[解析] 由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，所以a >0，b >0，不妨设a >b ，所以等比数列为a ，－2，b 或b ，－2，a 从而得到ab ＝4＝q ，等差数列为a ，b ，－2或－2，b ，a 从而得到2b ＝a －2，两式联立解出a ＝4，b ＝1，所以p ＝a ＋b ＝5，所以p ＋q ＝4＋5＝9.4． C[解析] 本题主要考查等差数列、等比数列．∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴12a 3×2＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍)，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 1q 8(1＋q )a 1q 6(1＋q )＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 5． C[解析] 设数列{a n }的公比为q ，a 3＝a 2＋2a 1⇒q 2＝q ＋2⇒q ＝－1(舍)或q ＝2，∴a n ＝a 1·2n －1，a m ·a n ＝16a 21⇒a 21·2m ＋n －2＝16a 21⇒m ＋n ＝6，∵m ，n ∈N *，∴(m ，n )可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m ＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取最小值114. 6．－1[解析] 由题可得(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，故有3a 1＋2d ＝0，又因为2a 1＋a 2＝1，即3a 1＋d ＝1，联立可得d ＝－1，a 1＝23.7．91.[解析] 因为任意的n >1，n ∈N ，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，所以a n ＋1＝a n ＋2，因为a 3＝a 2＋2＝4，所以a n ＝a 2＋(n －2)×2＝2＋(n －2)×2＝2n －2，n ≥2，所以S 10＝a 1＋a 2＋a 3…＋a 10＝1＋2＋4＋…＋18＝1＋2×9＋9×82×2＝91. 8．2.[解析] ∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q a 1q ＋a 1q 4＝4，解得a 1q ＝8，q 3＝－12， ∴a 8＝a 1q 7＝(a 1q )(q 3)2＝8×14＝2. 9．[解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －p (n ∈N *)，则S n －1＝4a n －1－p (n ∈N *，n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1. 由S n ＝4a n －p ，令n ＝1，得a 1＝4a 1－p ，解得a 1＝p 3. 所以{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列． (2)因为a 1＝1，则a n ＝(43)n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ＝1,2，…)，得b n ＋1－b n ＝(43)n －1，当n ≥2时，由累加法得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－(43)n －11－43＝3·(43)n －1－1，当n ＝1时，上式也成立．∴b n ＝3·(43)n －1－1. 10．[解析] (1)设该等比数列的公比为q ，则根据题意有3·(1＋1q ＋1q 2)＝9，从而2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，a n ＝3；当q ＝－12时，a n ＝3·(－12)n －3. (2)证明：若a n ＝3，则b n ＝0，与题意不符，故a n ＝3(－12)n －3，此时a 2n ＋3＝3·(－12)2n ， ∴b n ＝2n ，符合题意．∴c n ＝42n ·(2n ＋2)＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1，从而c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝1－1n ＋1<1.。

等差数列等比数列练习题

等差数列等比数列练习题等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列。

它们在数学和实际生活中都有着广泛的应用。

通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握这两种数列的性质和运算方法。

一、等差数列练习题1. 求等差数列1，4，7，10，...的第n项。

解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

根据题目中的数列，首项a1=1，公差d=3。

代入公式得到an = 1 + (n-1)3。

2. 已知等差数列的首项为5，公差为2，若数列的第n项为23，求n。

解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入已知条件得到23 = 5 + (n-1)2。

解方程得到n = 10。

3. 若等差数列的前n项和为Sn = 3n^2 + 2n，求数列的首项和公差。

解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2(a1 + an)，代入已知条件得到3n^2 + 2n = n/2(a1 + a1 + (n-1)d)。

化简得到3n^2 + 2n = n/2(2a1 + (n-1)d)。

由此可得2a1 + (n-1)d = 6n + 4。

由于a1和d都是整数，所以2a1 + (n-1)d必须是偶数。

因此，6n + 4必须是偶数，即n必须是奇数。

又因为Sn = 3n^2 + 2n，所以n必须是奇数时Sn才是整数。

根据这个条件，我们可以列举n的值，找到满足条件的n。

当n = 1时，Sn = 5；当n = 3时，Sn = 35；当n = 5时，Sn = 105。

由此可得首项a1 = 5，公差d = 6。

二、等比数列练习题1. 求等比数列2，6，18，54，...的第n项。

解析：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

根据题目中的数列，首项a1=2，公比r=3。

代入公式得到an = 2 * 3^(n-1)。

2. 已知等比数列的首项为4，公比为0.5，若数列的第n项为1/128，求n。

(完整版)等差等比数列练习题含答案

一、选择题1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列，则此数列 ( ）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列 (C ）存在且唯一（D)不存在 2。

、在等差数列{}n a 中，41=a ，且1a ,5a ，13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（ )（A ）13+=n a n (B ）3+=n a n (C ）13+=n a n 或4=n a （D)3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项,则ycx a +的值为（） (A ）21（B ）2- （C ）2 （D) 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，那么2x ,2b ,2y 三个数（）（A ）成等差数列不成等比数列 (B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列（D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 ( ）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C)12-=n n a(D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（）（A ）z y x ,,成等差数列（B ）z y x ,,成等比数列（C ）z y x 1,1,1成等差数列（D ）zy x 1,1,1成等比数列 7、数列{}n a 的前n 项和1-=nn a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（）①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A)4 (B ）3 （C ）2 (D ）18、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为（）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为（ ) (A)97 （B)78 (C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}na 的前10项和为 ( ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D)6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3,9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（ )（A ）2)133(+n n (B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是( ）A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p ）B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列，那么此数列也是等比数列C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n abaD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S nn +=)1,0,0(≠≠≠b b a ，则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ，成等差数列，则公比q = 14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n na S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为三、解答题17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}n b a 是公比为q 的等比数列,46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。

等差数列与等比数列单元练习卷

等差数列与等比数列1. 已知等比数列{}n a 的公比0q >，前n 项和为n S ．若3542,,3a a a 成等差数列，24664a a a =，则q =_______，n S =_______．2. 已知等差数列{}n a 的公差3755(0,1),cos(2)cos(2)2sin 2a a d a d a d +∈--+=，且满足5sin 0a ≠,当且仅当n=10时，数列{}n a 的前n 项和S n 取得最小值，则首项a 1的取值范围是____________.3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若454,15S S ≤≥，则4a 的最小值为_________．4. 已知数列n a 为等差数列，前九项和9S =18，则5a = ．5. 已知{}n a 为等差数列，公差为1，且5a 是3a 与11a 的等比中项，n S 是{}n a 的前n 项和，则12S 的值为 .6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，，1612T T 成等比数列.7. 若n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S 则5a 与7a 的等比中项为 .8. 两个等差数列{}n a ，{}n b ，1212723n n a a a n b b b n ++++=++++，则55a b =________.9. 等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于．10. 在等比数列{}n a 中，若119a =，43a =，则该数列前六项的积为． 11. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若126:1:2S S =，则186:S S =___________.12. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为．13. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，则cos B = ．14. 已知数列{}n a 为等比数列，前n 项的和为n S ，且5443a S =+，6543a S =+，则此数列公比q = ．15. 已知函数3()31xx f x =+，正项等比数列{}n a 满足501a =，则12399(ln )(ln )(ln )(ln )f a f a f a f a ++++= .。

高三数学专题8 等差数列、等比数列练习

专题8：等差数列、等比数列(两课时)一、课前测试1．(1)已知数列{an}满足a1＝4，an ＝4－4an －1(n ∈N*且n ≥2)，令bn ＝1an －2，求证：数列{bn}是等差数列．提示：用等差数列的定义来证，即证bn －bn －1＝12(常数) (2)数列{an}前n 项和为Sn ，若an ＋Sn ＝n ，令bn ＝an －1，求证：数列{bn}是等比数列.提示：先利用数列的前n 项和与通项an 之间的关系,找到数列的递推关系；再用等比数列的定义来证．即由an ＋Sn ＝n ，得an －1＋Sn －1＝n －1，两式相减得2an －an －1＝1即2bn ＝bn －1．从而有bn bn －1＝12(常数) 2．已知数列{an}满足an ＝2an －1＋2n ＋1(n ∈N*且n ≥2)，a1＝2，令bn ＝12n(an ＋t) (n ∈N*)，否存在一个实数t ，使得数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由．答案：存在实数t ＝1，使得数列{bn}为等差数列．3．(1)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且13S3与14S4的等差中项为1，而13S3与14S4的等比中项是15S5，则an ＝．(2)已知在等比数列{an}中，a3＝2，a2＋a4＝203，则an ＝．答案：(1)an ＝1或an ＝－125n ＋325； (2) an ＝2×3n －3或an ＝2×(13)n －3． 4． (1)设在等比数列{an}中，a1＋an ＝66，a2an －1＝128，Sn ＝126，求n ＝；q ＝．(2)若两个等差数列{an}和{bn}的前n 项之和分别是Sn 、Tn ，已知Sn Tn ＝7n n ＋3，则a5b5＝． (3)已知一个等比数列的前10项和为10，前20项和为30，则前50项的和为．答案：(1)n ＝6， q ＝2或12；(2)214；(3)310． 5． (1)已知{an}是等差数列，若a1＝20，公差d ＝－2，求数列前n 项和Sn 的最大值．(2)已知{an}是等差数列，Sn 是其前n 项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是． ①d ＜0 ；②a7＝0；③S9＞S5；④S6和S7均为Sn 的最大值.答案：(1)当且仅当n ＝10或11时，Sn 取得最大值110．(2)①②④二、方法联想1．等差、等比数列的证明方法证明数列是等差数列：方法1 定义法，即当n ∈N*时，an ＋1－an 为同一常数．方法2 中项公式法，即当n ∈N*时，2an ＋1＝an ＋an ＋2均成立，其推广形式为：2an ＝an －m ＋an ＋m ．方法证明数列是等比数列：方法1 定义法，即当n ∈N*时，an ＋1an为同一常数．方法2 中项公式法，即当n ∈N*时，an ＋12＝anan ＋2均成立，其推广形式为： an2＝an －m ＋an ＋m ．2．等差、等比数列的判断判断数列是等差数列方法1 定义法，即当n ≥1且n ∈N*时，an ＋1－an 为同一常数．方法2 中项公式法，即当n ≥1且n ∈N*时，2an ＋1＝an ＋an ＋2均成立．方法3 特殊值法，如前3项成等差，再证明其对任意n ∈N*成等差数列．方法4 通项为一次形式，即an ＝an ＋b ．方法5 前n 项和为不含常数项的二次形式，即Sn ＝an2＋bn ．方法6 若数列{an}为等比数列，则{logaan}为等差数列．注意方法4、5、6只能做为判断，作为解答题需要证明．判断数列不是等差数列方法通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等差数列．判断数列是等比数列方法1 定义法，即当n ∈N*时，an ＋1an 为同一常数．方法2 中项公式法，即当n ∈N*时， an ＋12＝anan ＋2均成立．方法3 特殊值法，如前3项成等比，再证明其对任意n ∈N*成等比数列．方法4 通项公式为指数幂形式，即an ＝aqn ．方法5 若数列{an}为等差数列，则{aan}为等比数列．注意方法4、5只能做为判断，作为解答题需要证明．判断数列不是等比数列方法通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等比数列．3．基本量运算基本量法：等差、等比数列中，五个元素a ，q ，n ，an ，Sn 中四个量可以建立关系式，如知三求二．4．性质的应用方法 (1)在等差数列{an}中，若m ＋n ＝p ＋q 则am ＋an ＝ap ＋aq ．特别若m ＋n ＝2p ，则am ＋an ＝2ap ．在等比数列{an}中，若m ＋n ＝p ＋q 则aman ＝apaq ．特别若m ＋n ＝2p ，则am ＋an ＝ap2．(2) 在等差数列{an}中，由Sn ＝n(a1＋an)2得，若n 为奇数，则Sn ＝na n ＋12．方法在等差数列{an}中，Sn ，S2n －Sn ，S3n －S2n 成等差数列．在等比数列{an}中，Sn ，S2n －Sn ，S3n －S2n 成等差数列．5．等差数列Sn 的最值问题方法在等差数列{ an }中Sn 的最值问题：方法1：(1)当a1＞0，d ＜0时，满足⎩⎨⎧am ≥0，am ＋1≤0的项数m 使得Sm 取最大值.(2)当a1＜0，d ＞0时，满足⎩⎨⎧am ≤0，am ＋1≥0的项数m 使得Sm 取最小值，方法2：由Sn 的解析式，结合二次函数图象分析．三、例题分析【第一层次】例1 已知等差数列{an}中，公差d ＞0，其前n 项和为Sn ，且满足a2a3＝45，S4＝28．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设由bn ＝Sn n ＋c(c ≠0)构成的新数列{bn}，求证：当且仅当c ＝－12时，数列{bn}是等差数列； (3)对于(2)中的等差数列{bn}，设cn ＝8(an ＋7)⋅bn（n ∈N*），数列{cn}的前n 项和为Tn ，现有数列 {f(n)}，f(n)＝2bn an －2－Tn （n ∈N*），求证：存在整数M ，使f(n)≤M 对一切n ∈N*都成立，并求出M 的最小值．解：(1) an ＝4n －3．(3)整数M ≥2，所以M 的最小值为2．〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．求数列的通项：方法:①利用数列的通项an 与前n 和Sn 的关系，在已知Sn 条件下求通项an ．②利用等差(比)数列的通项公式，求通项；③构造等差(比)数列求通项；④用累加(乘)法求通项．2．证明数列是等差数列：方法：①利用定义：an ＋1－an ＝d(常数)；②等差中项：2an ＝an －1＋an ＋1 (n ≥2，n ∈N*)．3．数列求和问题：方法：①利用等差(比)数列前n 和公式求和；②分部求和；③错位相减法；④裂项求和．4．求数列的最大项问题：方法①变量分离求数列的最大项与最小项；②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列单调性转化为函数的单调性，利用函数的单调性，求最大项，但要注意通项中n 的取值范围．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法②，因为本题的数列是等差数列，所以选择方法②．对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题可以求出数列{bn}的通项，所以选择方法①．对于问题3，学生一般会选择④，因为数列的通项是分式形式，所以选择方法④．对于问题4，学生一般会选择②，因为f(n)所对应的函数是基本函数，比较容易得到函数的单调性，所以选择方法④．例2 已知Sn 是数列{an}的前n 项和，且an ＝Sn －1＋1(n ≥2)，a1＝2．(1)求数列{an}的通项公式；(2)对于给定的k (k ＝1，2，…，n)．设T(k)表示首项为ak ，公差为2ak －1的等差数列，求数列T(2)的前10项之和；(3)设bi 为数列T(i)的第i 项，Mn ＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ，求Mn ．解：(1) an ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3×2n －2，n ≥2． (2) T(2)的前10项之和＝10×3＋10×92×5＝255． (3) Mn ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3(2n －3) ⋅2n －1＋5－n(n －1)2，n ≥2 〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．求数列的通项：方法: ①利用数列的通项an 与前n 和Sn 的关系，在已知Sn 条件下求通项an ．②利用等差(比)数列的通项公式，求通项；③构造等差(比)数列求通项；④用累加(乘)法求通项．2．数列求和问题：方法：①利用等差(比)数列前n 和公式求和；②分部求和；③错位相减法；④裂项求和．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择②，因为本题中给出数列通项an 与Sn 之间的关系，可以通过公式转化为数列的递推关系，由于递推关系可以很容易判定数列是否为等差数列，本题中的数列从第2项起是等差数列，所以选择方法②．对于问题2，学生一般会选择①③，因为数列T(i)是等差数列，所以选择方法①，数列{Mn}的通项是由一个等差数列与一个等比数列相应项相乘所成的，所以选择方法③．例3 已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am 是首项为10，公差为－2的等差数列；am ＋1，am ＋2，…，a2m 是首项为12，公比为12的等比数列（其中 m≥3，m ∈N*），并对任意的n ∈N*，均有an ＋2m ＝an 成立．（1）当m ＝12时，求a2010；（2）若a52＝1128，试求m 的值；（3）判断是否存在m （m≥3，m ∈N*），使得S128m ＋3≥2014成立？若存在，试求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）a2010＝a18＝a12＋6＝(12)6＝164．（2）m ＝45，或15，或9．（3）当m ＝6时，S2m 取得最大值，则S128m ＋3取得最大值为64×306364＋24＝2007．由此可知，不存在m （m≥3，m ∈N*），使得S128m ＋3≥2014成立．〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．求周期数列的项：方法: ①找出数列在一个周期内的通项公式，根据数列的周期，求数列中任意一项．②找出数列的项在第几个周期内，根据数列在一个周期内特征来归纳通项．2．求周期数列的前n 项和问题：方法: ① 先求出数列在一个周期内的和，根据数列的周期确定前n 项中，共含有几个周期，还剩下多项，再考虑求和．3．条件探索性问题：方法: ①利用分析法，从结论和已知条件入手，执果索因，导出所需条件；②从特例出发，探求结论成立的条件，再进行证明．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，由于数列在一个周期性的各项是由一个等差数列和一个等比数列构成，数列的周期已知，所以很容易找出a2010＝a18，而a18是等比数列的第6项，由等比数列的通项公式可求．主要是搞清楚数列在一个周期内的和，以及所求的和包含多少个周期，还剩多少项．对于问题2，学生一般会选择方法①，本题中S128m ＋3能求出，所以用方法①．[第二层次]例1 已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝2Sn ＋48n，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．解：(1) an ＝3n －2.(2)数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23.〖教学建议〗(1) 主要问题归类与方法：1．求数列的通项：方法①利用等差(比)数列的通项公式；②构造等差(比)数列；③由Sn 与an 的关系求通项；④用不完全归纳法，猜想数列的通项，再证明．2．求数列的最大项问题：①将数列的通项看作是n 的函数，通过讨论相应函数的单调性来求最值；②考察数列的单调性，求最大项；③利用基本不等式求最值．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题已知数列是等差数列，所以选择方法①．对于问题2，学生一般会选择③，因为本题中bn ＝3n ＋48n－1便于用基本不等式求最值，但要注意这里n 必须取正整数，所以选择方法③．例2 已知公差大于零的等差数列{an}的前n 项和Sn ，且满足：a2a4＝65，a1＋a5＝18．(1)求数列{an}的通项公式an ；(2)若1＜i ＜21，a1，ai ，a21是某等比数列的连续三项，求i 值；(3)是否存在常数k ，使得数列{ Sn ＋kn}为等差数列，若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．解: (1) an ＝4n －3.(2) i ＝3．(3)由(1)知，Sn ＝2n2－n ．假设存在常数k ，使数列{ Sn ＋kn}为等差数列，【法一】由 S1＋k ＋ S3＋3k ＝2 S2＋2k ，得k ＝1,当k ＝1时， Sn ＋kn ＝ 2n ，易知数列{ Sn ＋kn}为等差数列．【法二】假设存在常数k ，使数列{ Sn ＋kn}为等差数列，由等差数列通项公式可知设 Sn ＋kn ＝an ＋b ，得2n2＋(k －1)n ＝(an)2＋2abn ＋b2恒成立，可得a2＝2，2ab ＝k －1，b2＝0，∴a2＝2，b ＝0，k ＝1∴ Sn ＋kn ＝ 2n ，易知数列{ Sn ＋kn}为等差数列．〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．等差(比)数列基本量的计算：方法: ①利用等差(比)数列的通项公式与前n 项和公式，求基本量a1与d(q)，再用上述公式求数列中某项，某项数与某些项的和．②利用等差(比)数列的性质，把条件简化后再用通项公式各前n 项和公式求基本量；2．条件探索性问题：方法: ①利用分析法，从结论和已知条件入手，执果索因，导出所需条件；②从特例出发，探求结论成立的条件，再进行证明．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，一般优先考虑方法②，如没性质可用，就用方法①，本题先用性质简化后，先求出a2和a4，再求d ，然后用an ＝a2＋(n －2)d ，求通项，当然本题用方法①也很简单．对于问题2，学生一般会选择方法②，由特例求k 的值比较方便，所以用方法②．例3 已知Sn 是数列{an}的前n 项和，且an ＝Sn －1＋2 (n ≥2)，a1＝2．(1)求数列{an}的通项公式；(2)对于给定的k (k ＝1，2，…，n)．设T(k)表示首项为ak ，公差为2ak －1的等差数列，求数列T(2)的前10项之和；(3)设bi 为数列T(i)的第i 项，Mn ＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ，求Mn ．解：(1) an ＝2n ．(2) T(2)的前10项之和为355．(3) Mn ＝(2n －3) 2n ＋1＋6－n(n －1)2．〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．求数列的通项：方法: ①利用数列的通项an 与前n 和Sn 的关系，在已知Sn 条件下求通项an ．②利用等差(比)数列的通项公式，求通项；③构造等差(比)数列求通项；④用累加(乘)法求通项．2．数列求和问题：方法：①利用等差(比)数列前n 和公式求和；②分部求和；③错位相减法；④裂项求和．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择②，因为本题中给出数列通项an 与Sn 之间的关系，可以通过公式转化为数列的递推关系，由于递推关系可以很容易判定数列为等差数列，所以选择方法②．对于问题2，学生一般会选择①③，因为数列T(i)是等差数列，所以选择方法①，数列{Mn}的通项是由一个等差数列与一个等比数列相应项相乘所成的，所以选择方法③．[第三层次]例1 已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝2Sn ＋48n，数列{bn}的最小项是第几项，并求出该项的值．解 (1) an ＝3n －2.(2)数列{bn}的最小项是第4项，该项的值为23.〖教学建议〗(1) 主要问题归类与方法：1．求数列的通项：方法①利用等差(比)数列的通项公式；②构造等差(比)数列；③由Sn 与an 的关系求通项；④用不完全归纳法，猜想数列的通项，再证明．2．求数列的最大项问题：①将数列的通项看作是n 的函数，通过讨论相应函数的单调性来求最值；②考察数列的单调性，求最大项；③利用基本不等式求最值．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题已知数列是等差数列，所以选择方法①．对于问题2，学生一般会选择③，因为本题中bn ＝3n ＋48n－1便于用基本不等式求最值，但要注意这里n 必须取正整数，所以选择方法③．例2 已知公差大于零的等差数列{an}的前n 项和Sn ，且满足：a2a4＝65，a1＋a5＝18．(1)求数列{an}的通项公式an ；(2)若1＜i ＜21，a1，ai ，a21是某等比数列的连续三项，求i 值；(3)是否存在常数k ，使得数列{ Sn ＋kn}为等差数列，若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．解 (1) an ＝4n －3. (2) i ＝3．(3)由(1)知，Sn ＝2n2－n ．假设存在常数k ，使数列{ Sn ＋kn}为等差数列，【法一】由 S1＋k ＋ S3＋3k ＝2 S2＋2k ，得k ＝1,当k ＝1时， Sn ＋kn ＝ 2n ，易知数列{ Sn ＋kn}为等差数列．【法二】假设存在常数k ，使数列{ Sn ＋kn}为等差数列，由等差数列通项公式可知设 Sn ＋kn ＝an ＋b ，得2n2＋(k －1)n ＝(an)2＋2abn ＋b2恒成立，可得a2＝2，2ab ＝k －1，b2＝0，∴a2＝2，b ＝0，k ＝1∴ Sn ＋kn ＝ 2n ，易知数列{ Sn ＋kn}为等差数列．〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．等差(比)数列基本量的计算：方法: ①利用等差(比)数列的通项公式与前n 项和公式，求基本量a1与d(q)，再用上述公式求数列中某项，某项数与某些项的和．②利用等差(比)数列的性质，把条件简化后再用通项公式各前n 项和公式求基本量；2．条件探索性问题：方法: ①利用分析法，从结论和已知条件入手，执果索因，导出所需条件；②从特例出发，探求结论成立的条件，再进行证明．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，一般优先考虑方法②，如没性质可用，就用方法①，本题先用性质简化后，先求出a2和a4，再求d ，然后用an ＝a2＋(n －2)d ，求通项，当然本题用方法①也很简单．对于问题2，学生一般会选择方法②，由特例求k 的值比较方便，所以用方法②．例3：等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且a2＝5，S7＝63，数列{bn}的前n 项为Tn ，满足bn ＝Tn －1＋2(n ≥2，n ∈N)，b1＝2，（1）求an 与bn ；（2）求数列{anbn}的前n 项和Fn ．（3）若1S1＋1S2＋…＋1Sn≤x2＋ax＋1对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．解(1)an＝2n＋1；bn＝2n．(2) Fn＝(2n－1)·2n＋1＋2．(3)－1≤a≤1．〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．等差(比)数列基本量的计算：方法: ①利用等差(比)数列的通项公式与前n项和公式，求基本量a1与d(q)，再用上述公式求数列中某项，某项数与某些项的和．②利用等差(比)数列的性质，把条件简化后再用通项公式各前n项和公式求基本量；2．判断一个数列是等差(比)数列：方法：①利用定义：an＋1－an＝d(常数)；②等差中项：2an＝an－1＋an＋1 (n≥2，n∈N*)．3．数列求和问题：方法：①利用等差(比)数列前n和公式求和；②分部求和；③错位相减法；④裂项求和．4．不等式恒成立，求参数的范围问题：方法：①转化为求函数的最值；②变量分离后转化为求函数的最值；③利用几何意义求参数的范围(2)方法选择与优化建议：对于问题1，一般优先考虑方法②，如没性质可用，就用方法①，本题先用性质S7＝7a4简化后，先求出a4，再由a2的值，再求d，然后用an＝a2＋(n－2)d，求通项，当然本题用方法①也很简单．对于问题2，学生一般会选择方法①，本题将通项bn与前n项Tn关系代入，可得递推关系bn＋1＝2bn．由等比数列的定义，可推得{bn}为等比数列，．对于问题3，学生一般会选择方法③和④，本题中数列{anbn}是由等差数列与等比数列相应项之积所构成的数列，所以用方法③求和，数列{1Sn}的通项是分式形式，所以用方法④求和．对于问题4，本题中不等式对于任意n恒成立，用方法②，对于任意实数x恒成立，用方法①，当然对于任意实数x恒成立，由于是一元二次不等式，所以也可用方法③．四、反馈练习。

高考数学复习专题训练—等差数列、等比数列(含解析)

高考数学复习专题训练—等差数列、等比数列一、单项选择题1.(2021·江西景德镇模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1+a2=7,a m-1+a m=73(m≥3),S m=2 020,则m的值为()A.100B.101C.200D.2022.(2021·山东临沂检测)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.72B.81C.90D.993.(2021·广东汕头一模)在正项等比数列{a n}中,a2a4=16,a4+a5=24,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=2n-1B.a n=2nC.a n=3nD.a n=3n-14.(2021·山东济宁一模)随着新冠疫情防控形势的逐渐好转,某企业开始复工复产.经统计,该企业2020年7月到12月的月产量(单位:吨)逐月增加,且各月的产量成等差数列,其中7月的产量为10吨,12月的产量为20吨,则8月到11月的产量之和为()A.48吨B.54吨C.60吨D.66吨5.(2021·广东深圳一模)在数列{a n}中,a1=3,a m+n=a m+a n(m,n∈N*),若a1+a2+a3+…+a k=135,则k=()A.10B.9C.8D.76.(2021·山东淄博一模)若等差数列{a n}的前n项和为S n,则“S2 020>0,S2 021<0”是“a1 010a1 011<0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件二、多项选择题7.(2021·山东烟台模拟)已知等差数列{a n}是递增数列,其前n项和为S n,a7=3a5,则下列选项正确的是()A.公差d>0B.a1<0C.当n=5时,S n最小D.当S n>0时,n的最小值为88.(2021·山东临沂一模)已知数列{a n}的前n项和为S n,则下列说法正确的是()A.若S n=n2-1,则{a n}是等差数列B.若S n=2n-1,则{a n}是等比数列C.若{a n}是等差数列,则S99=99a50D.若{a n}是等比数列,且a1>0,q>0,则S2n-1·S2n+1>S2n2三、填空题9.(2021·辽宁沈阳一模)在正项等比数列{a n }中,a 52+2a 6a 8+a 92=100,则a 5+a 9= . 10.(2021·山东胜利一中月考)在等差数列{a n }中,a 1+a 7=12,当a 32+a 42+a 52取得最小值时,a 2020=.11.(2021·江苏南通金沙中学月考)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,且Sn T n=3n+39n+3,则使得a nb n为整数的正整数n 的值为 .四、解答题12.(2021·福建龙岩模拟)已知数列{a n }是等差数列,且a 3=-6,a 6=0. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若等比数列{b n }满足b 1=a 2,b 2=a 1+a 2+a 3,求数列{b n }的前n 项和S n .13.(2021·全国甲,文18)记S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a n >0,a 2=3a 1,且数列{√S n }是等差数列.证明:{a n }是等差数列.14.(2021·河北张家口一模)已知公比小于1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=14,S 3=78. (1)求a n ; (2)求证:12≤S n <1.15.(2021·山东潍坊一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=6,S n =12a n+1+1. (1)证明:数列{S n -1}为等比数列,并求出S n . (2)求数列{1a n}的前n 项和T n .16.(2021·山东烟台一模)在①a 3+a 5=14,②S 4=28,③a 8是a 5与a 13的等比中项这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答.问题:已知{a n }为公差不为零的等差数列,其前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,其前n 项和T n =2n +λ,λ为常数,a 1=b 1, . (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)令c n =[lg a n ],其中[x ]表示不超过x 的最大整数,求c 1+c 2+c 3+…+c 100的值.答案及解析1.B 解析由已知得a 1+a 2+a m-1+a m =80.因为{a n }为等差数列,所以a 1+a m =a 2+a m-1,所以a 1+a m =40,所以S m =m (a 1+a m )2=20m=2 020,解得m=101.2.B 解析由题意及等比数列的性质,可得S 3,S 6-S 3,S 9-S 6成等比数列,则(S 6-S 3)2=S 3(S 9-S 6),即(36-9)2=9(S 9-S 6),解得S 9-S 6=81,即a 7+a 8+a 9=81.3.A 解析设等比数列{a n }的公比为q ,由题意,可知a n >0,q>0.因为{a n }为等比数列,所以a 2a 4=a 32=16,解得a 3=4. 所以a 4+a 5=a 3(q+q 2)=4(q+q 2)=24, 整理得q 2+q-6=0,解得q=2.所以a n =a 3q n-3=4×2n-3=2n-1.4.C 解析设2020年7月到12月的月产量(单位:吨)分别为a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,由题意,可知a 1=10,a 6=20,a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6成等差数列,则a 1+a 6=a 2+a 5=a 3+a 4=30,故a 2+a 3+a 4+a 5=60.故8月到11月的产量之和为60吨.5.B 解析令m=1,由a m+n =a m +a n ,得a n+1=a 1+a n ,即a n+1-a n =a 1=3,所以{a n }是首项为3,公差为3的等差数列,所以a n =3+3(n-1)=3n.所以a 1+a 2+a 3+…+a k =k (a 1+a k )2=k (3+3k )2=135, 整理得k 2+k-90=0,解得k=9或k=-10(舍去). 6.B 解析依题意,若S 2 020>0,S 2 021<0,则2 020(a 1+a 2 020)2=1 010(a 1 010+a 1 011)>0,即a 1 010+a 1 011>0,2 021(a 1+a 2 021)2=2 021a 1 011<0,即a 1 011<0,所以a 1 010>0,所以a 1 010a 1 011<0,充分性成立.当a 1 010<0,a 1 011>0时,满足a 1 010a 1 011<0,不能推出S 2 020>0,S 2 021<0,必要性不成立. 故“S 2 020>0,S 2 021<0”是“a 1 010a 1 011<0”的充分不必要条件.7.ABD 解析因为a 7=3a 5,所以a 1+6d=3(a 1+4d ),解得a 1=-3d ,又等差数列{a n }是递增数列,所以d>0,所以a 1<0,故A,B 正确.因为S n =d 2n 2+(a 1-d 2)n=d 2n 2-7d 2n=d 2(n -72)2−49d8,所以当n=3或n=4时,S n 最小,故C错误.令S n =d2n 2-7d2n>0,解得n<0或n>7,又n ∈N *,所以当S n >0时,n 的最小值为8,故D 正确.8.BC 解析对于A 选项,因为S n =n 2-1,所以当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-1,当n=1时,a 1=S 1=0,而a 1=0不满足a n =2n-1,故A 错误.对于B 选项,因为S n =2n -1,所以当n=1时,a 1=S 1=1,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-1,又a 1=1满足a n =2n-1,所以a n =2n-1,所以an+1a n=2,所以{a n }是等比数列,故B 正确.对于C 选项,因为{a n }是等差数列,所以S 99=99(a 1+a 99)2=99a 50,故C 正确. 对于D 选项,由已知得当n=1时,S 1·S 3-S 22=a 12(1+q+q 2)-a 12(1+q )2=-a 12q<0,所以当n=1时,S 2n-1·S 2n+1<S 2n 2,故D 错误.9.10 解析因为{a n }是正项等比数列,所以a 5a 9=a 6a 8,a 5+a 9>0.又a 52+2a 6a 8+a 92=100,所以a 52+2a 5a 9+a 92=100,即(a 5+a 9)2=100,所以a 5+a 9=10. 10.6 解析设等差数列{a n }的公差为d.由等差中项的性质,得a 1+a 7=2a 4=12,解得a 4=6.所以a 32+a 42+a 52=(6-d )2+62+(6+d )2=2d 2+108.当d=0时,a 32+a 42+a 52取得最小值,此时a 2 020=a 4=6.11.2,4,14 解析由已知得a n b n =S 2n -1T 2n -1=3(2n -1)+39(2n -1)+3=3n+18n+1=3+15n+1.因为an b n为整数,n ∈N *,所以n+1=3,5,15,即n=2,4,14.所以正整数n 的值为2,4,14.12.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a 3=-6,a 6=0,所以a 1+2d=-6,a 1+5d=0,解得a 1=-10,d=2.所以a n =-10+(n-1)·2=2n-12.(2)设等比数列{b n }的公比为q.因为b 2=a 1+a 2+a 3=3a 2,b 1=a 2=2×2-12=-8, 所以q=b 2b 1=3a 2a 2=3,所以S n =-8×(1-3n )1-3=4(1-3n). 13.证明 ∵{√S n }是等差数列,a 2=3a 1,∴√S 2−√S 1=√4a 1−√a 1=√a 1, 即数列{√S n }的公差为√a 1. ∴√S n =√S 1+(n-1)√a 1=n √a 1, 即S n =n 2a 1.当n ≥2时,S n-1=(n-1)2a 1, 则a n =S n -S n-1=n 2a 1-(n-1)2a 1=(2n-1)a 1. 当n=1时,a 1=(2×1-1)a 1,符合上式, ∴a n =(2n-1)a 1,n ∈N *.∴a n+1-a n =2a 1,∴{a n }是等差数列. 14.(1)解设等比数列{a n }的公比为q (q<1).因为a 2=14,S 3=78,所以14q +14+14q=78,即2q 2-5q+2=0,解得q=12或q=2(舍去).所以a n =14×(12)n -2=12n. (2)证明由(1)知a 1=12,q=12,所以S n =12[1-(12)n ]1-12=1-12n . 因为y=(12)x 在R 上为减函数,且y=(12)x>0恒成立,所以当n ∈N *时,0<12n≤12,所以12≤1-12n <1,即12≤S n <1. 15.解 (1)由已知得S n =12(S n+1-S n )+1,整理得S n+1=3S n -2,所以S n+1-1=3(S n -1). 令n=1,得S 1=12a 2+1=4,所以S 1-1=3,所以{S n -1}是以3为首项,3为公比的等比数列, 所以S n -1=3×3n-1=3n ,所以S n =3n +1. (2)由(1)知S n =3n +1.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=3n +1-(3n-1+1)=2×3n-1, 当n=1时,a 1=S 1=4,所以a n ={4,n =1,2×3n -1,n ≥2,所以1a n={14,n =1,12×13n -1,n ≥2,所以当n=1时,T 1=1a 1=14,当n ≥2时,T n =1a 1+1a 2+…+1a n =14+16(1-13n -1)1-13=12−14×3n -1.又T 1=14符合上式,所以T n =12−14×3n -1.16.解若选①.(1)设{b n }的公比为q.由已知得b 2=T 2-T 1=2,b 3=T 3-T 2=4,所以q=b3b 2=2,所以b n =2×2n-2=2n-1.所以a 1=b 1=1.设{a n }的公差为d ,由a 3+a 5=14,得1+2d+1+4d=14, 解得d=2,所以a n =2n-1.(2)由c n =[lg a n ],得c 1=c 2=c 3=c 4=c 5=0,c 6=c 7=…=c 50=1,c 51=c 52=…=c 100=2,所以c1+c2+c3+…+c100=1×45+2×50=145.若选②.=2,所以b n=2×2n-(1)设{b n}的公比为q.由已知得b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,所以q=b3b22=2n-1.所以a1=b1=1.d=28,设{a n}的公差为d,由S4=28,得4×1+4×32解得d=4,所以a n=4n-3.(2)由c n=[lg a n],得c1=c2=c3=0,c4=c5=…=c25=1,c26=c27=…=c100=2,所以c1+c2+c3+…+c100=1×22+2×75=172.若选③.=2,所以b n=2×2n-(1)设{b n}的公比为q.由已知得b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,所以q=b3b22=2n-1.所以a1=b1=1.设{a n}的公差为d,由a8是a5与a13的等比中项,得(1+7d)2=(1+4d)(1+12d),解得d=0或d=2.又d≠0,所以d=2,所以a n=2n-1.(2)由c n=[lg a n],得c1=c2=c3=c4=c5=0,c6=c7=…=c50=1,c51=c52=…=c100=2,所以c1+c2+c3+…+c100=1×45+2×50=145.。

等差数列与等比数列专题训练

等差数列、等比数列1.如果数列{a n }是等差数列,则 ( ) A 5481a a a a +<+ B 5481a a a a +=+ C 5481a a a a +>+ D 5481a a a a =2.在等差数列{a n }中，已知=++=+=654321132a a a a a a ，则， ( )A 40B 42C 43D 453.等差数列{a n }的前n 项和为Sn,若S 19 = 95,则10a = ( )A 5B 10C 15D 不能确定4.若b a ≠,数列b x x a ,,21，，和数列都是等差数列，则1212y y xx --的值为 ( )A 34B 43C 4D 35.数列{a n }是首项1a =1，公差d=3的等差数列，如果n a =2005,则n 等于（） A 667 B 668 C 669 D 6706.在等差数列{a n }中，4213=+a a ，则前23项的和S 23 = () A 8 B 23 C 46 D 927.在等差数列{a n }中，1212871=+++a a a a ,则此数列的前13项的和为 () A 39 B 52 C 78 D 1048.等差数列{a n }的前n 项和S n ,若3,132==a a 则S 4等于 () A 12 B 10 C 8 D 69.在等差数列{a n }中，14,1531=+=a a a ,则前n 项和S n =100，则n 等于（） A 9 B 10 C 11 D 1210.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，186,104,4277===-n n S S S ,则n 的值为（） A 28 B 23 C 21 D 1911.设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为（） A 41 B 21 C 81D 112.在等比数列{a n }中，已知8,,2753===a m a a ,则m= () A ±4 B 5 C －4 D 413.在等比数列{a n }中，73=a ，前3项之和S 3 = 21,则公比q 的值为 ()A 1B - 21C 1或-21D -1或21 14.若互不相等的实数a,b,c 成等差数列，c,a,b 成等比数列，且a+3b+c=10，则a 等于（）A 4B 2C -2D -415.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若62,622006200720052006+=+=S a S a ,则数列{a n }的公比q 为( )A 2B 3C 4D 516.在等比数列{a n }中，45106431=+=+a a a a ，，则数列{a n }的通项公式为（） A n n a -=42 B 42-=n n a C 32-=n n a D n n a -=3217.在等比数列{a n }中，公比q=2，且==118521313212a a a a a a a ，则 ( )A 2B 4C 8D 1618.在等比数列{a n }中，10208462816a a a a a a ，则，=+== ( ) A 1 B -3 C 1或-3 D -1或319．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13 = .20．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 3＋a 7＝3，a 2a 8＝2，则a 13a 11＝________. 21．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 7＝________. 22．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝1，则a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝________.23．数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝1，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N *，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________.24．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________.25．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝20，且a 3，a 7，a 9成等比数列，则S 10的值为________．26．在等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为前_ ____项的和．27．各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 7＝4，a 6＝8，若函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10的导数为f ′(x )，则⎪⎭⎫ ⎝⎛'21f ＝________.28．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知751154==S a ，,T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n的前n 项和，求T n .29.已知数列{a n }中,()+-∈≥-==N n n a a a n n ,212,5311,数列{b n }满足()+∈-=N n a b n n 11. （1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }中的最大项与最小项，并说明理由.30. 数列{a n }的前n 项和为S n , 且S n = ()131-n a . (1)求21a a ，; （2）证明数列{a n }是等比数列；（3）求n a 及S n 。

数列等差等比数列问题综合章节综合检测提升试卷(四)含答案人教版高中数学

高中数学专题复习《数列等差等比数列综合》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（）（陕西卷4） A ．64B ．100C ．110D ．1202．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（） A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-(汇编北京理)3．已知数列{n a }的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11 =+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得（） A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列 B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列C ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{n y }都为等比数列D ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{n y }都为等比数列(汇编湖北理)4．已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。

若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S =( ) A ．35 B.33 C.31 D.29（汇编广东理4）设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =。

由4a 与27a 的等差中项为54知，475224a a +=⨯，即7415151(2)(22)24244a a =⨯-=⨯-=．∴37418a q a ==，即12q =．3411128a a q a ==⨯=，即116a =． 5．等差数列｛n a ｝和｛nb ｝的前n 项的和分别为n S 和T n ，对一切自然数n 都有132+=n n T S n n ，则=55b a （） A ．32B ．149 C ．3120 D ．1711（汇编）6．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（） A ．13项 B ．12项C ．11项D ．10项（汇编京皖春11）7．等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。

2022年高考数学等差数列与等比数列知识点专项练习含答案

专题22 等差数列与等比数列一、单选题（本大题共10小题，共50分）1.在各项均为正数的等比数列{a n}中，公比q∈(0,1)，若a3+a5=5,a2⋅a6=4，数列{log2a n}的前n项和为S n，则当数列{S nn}的前n项和取最大值时，n的值为()A. 8B. 9C. 8或9D. 172.已知数列{a n}的前n项和为S n，若1，a n，S n成等差数列，则数列{a n+1(a n+2−1)(a n+1−1)}的前n项和T n=()A. 1−12n−1B. 12(1−12n−1) C. 12−12n+1−1D. 1−12n+1−13.已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=−2a2=6，a n，a n+2，a n+1为等差数列，则S2020=()A. 4+122020B. 4+122018C. 4−122020D. 4−1220184.若数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1+a2020=27，b1⋅b2020=2，函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)且f(x)=e x，x∈[0,2]，则f(a1010+a10111+b1010b1011)=()A. eB. e2C. e−1D. e95.在各项均为正数的等比数列{a n}中，公比q∈(0,1)，若a3+a5=5，a2a6=4，b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，则S11+S22+⋯+S nn取最大值时，n的值为()A. 8B. 8或9C. 9D. 176.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S1，2S2，3S3成等差数列，且a1a2=a3，若{(log3a n)2−λlog3a n}是递增数列，则实数λ的取值范围是()A. (−∞,−3)B. (−3,+∞)C. (−1,+∞)D. (−∞,−1)7.若数列{a n}满足：n增大时，a na n+1无限接近√5−12，则称数列{a n}是黄金数列．满足下列条件的数列{a n}是黄金数列的是()A. a1=1，a n+1=a na n+1B. a1=1，a2=3，a n+2a n=a n+12C. a1=1，a n+1=a n+2D. a1=a2=1，a n+2=a n+a n+18. 已知数列{a n }满足对1≤n ≤3时，a n =n ，且对∀n ∈N ∗，有a n+3+a n+1=a n+2+a n ，则数列{n ⋅a n }的前50项的和为( )A. 2448B. 2525C. 2533D. 26529. 在数列{a n }中且a 2020=23,a 2022=25,则a 2023=( )A. 72B. 27C. 13D. 310. 已知数列{a n }满足a 1a 2a 3⋯a n =2n 2，且对任意n ∈N ∗都有1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a n <t ，则实数t 的取值范围是( )A. (13,+∞)B. [13,+∞)C. (23,+∞)D. [23,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20分）11. 若数列{a n }的首项a 1=2，且a n+1=3a n +2(n ∈N ∗)；令b n =log 3(a n +1)，则b 1+b 2+b 3+⋯+b 100=_____________．12. 已知数列{a n }满足a n >0，前n 项和为S n ，若a 3=3，且对任意的k ∈N ∗，均有a 2k 2=2a 2k−1+1，a 2k+1=2log 2a 2k +1，则a 1=_______；S 20=_______．13. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0,1).若a 3+a 5=5，a 2a 6=4，b n =log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S11+S 22+⋯+S n n取最大值时n 的值为________．14. 正项等比数列{a n }满足a 1+a 3=54，且2a 2，12a 4，a 3成等差数列，设b n =a n a n+1(n ∈N ∗)，则b 1b 2⋅⋯⋅b n 取得最小值时的n 值为_________．三、解答题（本大题共4小题，共30分）15. 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，a n+2=3a n+1−2a n (n ∈N ∗).(Ⅰ)证明：数列{a n+1−a n }是等比数列； (Ⅱ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅲ)若数列{b n }满足4b 1−14b 2−1…4b n −1=(a n +1)b n (n ∈N ∗)，证明{b n }是等差数列．16. 已知等差数列{a n }的公差不为零，a 4=1，且a 4，a 5，a 7成等比数列，数列{b n }的前n项和为S n ，满足S n =2b n −4(n ∈N ∗). (Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{c n }满足：c 1=−12，c n+1=c n −anb n(n ∈N ∗)，求使得c n ≥n−216成立的所有n值．17. 已知正项数列{a n }满足a 1=1，a n−1−a n =a n−1a n ，n ≥2，等比数列{b n }满足：a 2=b 1，b 2−b 3=a 8． (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)设T n =b1a n+b 2an−1+b 3a n−2+⋯+b n a 1，求T n ．18. 已知数列{a n }，S n 是a n 的前n 项的和，且满足S n =2a n −1(n ∈N ∗)，数列{b n }是等差数列，b 2+b 6=a 4，a 5−b 4=2b 6． (1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n ，设c n =(−1)n (T n +b n+2)b 3n+4b n+1b n+2，求c n 的前n 项的和D n ．专题22 等差数列与等比数列一、单选题（本大题共10小题，共50分）19. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0,1)，若a 3+a 5=5,a 2⋅a 6=4，数列{log 2a n }的前n 项和为S n ，则当数列{Sn n}的前n 项和取最大值时，n 的值为( )A. 8B. 9C. 8或9D. 17【答案】C【解析】解：∵{a n }是等比数列且a 3+a 5=5，a 2a 6=4，公比q ∈(0,1)∴{a 3+a 5=5a 3a 5=4解得：a 3=4，a 5=1 ∴q =12，∴a 1=16 则a n =16⋅(12)n−1∴b n =log 2a n =log 2(16⋅12n−1)=log 225−n =5−n则b 1=4，由b n+1−b n =5−(n +1)−(5−n)=−1． ∴数列{b n }是以4为首项，以−1为公差的等差数列．则数列{b n }的前n 项和S n =n(4+5−n)2=n(9−n)2令c n =S n n=n(9−n)2n=9−n 2∵c n ≥0时，n ≤9 ∴当n =8或9时，S 11+S 22+⋯+S2n取最大值．故选C ．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若1，a n ，S n 成等差数列，则数列{a n+1(a n+2−1)(a n+1−1)}的前n 项和T n =( )A. 1−12n −1B. 12(1−12n −1)C. 12−12n+1−1D. 1−12n+1−1【答案】D【解析】解：因为1，a n ，S n 成等差数列，所以2a n =S n +1．当n =1时，2a 1=a 1+1，所以a 1=1；当n ≥2时，2a n−1=S n−1+1，所以2a n −2a n−1=a n ，即a n =2a n−1，所以{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列．所以a n =2n−1．所以a n+1(an+2−1)(a n+1−1)=2n(2n+1−1)(2n −1)=12n −1−12n+1−1．则T n =1−13+13−17+⋯+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1．故选D ．21. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=−2a 2=6，a n ，a n+2，a n+1为等差数列，则S 2020=( )A. 4+122020B. 4+122018C. 4−122020D. 4−122018【答案】D【解析】解：由题意，2a n+2=a n +a n+1，故a n+2−a n+1a n+1−a n=a n+1+a n2−a n+1a n+1−a n=−12，且a 2−a 1=−9，所以{a n+1−a n }是公比为−12，首项为−9的等比数列，故a n+1−a n =−9×(−12)n−1，则当n ≥2时，a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+...+(a 2−a 1)+a 1=−9×[(−12)n−2+(−12)n−3+...+(−12)0]+6 =−9×1−(−12)n−11−(−12)+6=6×(−12)n−1，又a 1=6也符合上式，所以{a n }是首项为6，公比为−12的等比数列，故S n =6×1−(−12)n 1−(−12)=4[1−(−12)n]，故S 2020=4−122018．故选D ．22. 若数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且满足：a 1+a 2020=27，b 1⋅b 2020=2，函数f (x )满足f (x +2)=−f (x )且f (x )=e x ，x ∈[0, 2]，则f (a1010+a 10111+b1010b 1011)=( )A. eB. e 2C. e −1D. e 9【答案】A【解析】解：数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且满足：a 1+a 2020=27，b 1⋅b 2020=2，所以f(a1010+a 10111+b1010b 1011)=f(a 1+a 20201+b 1b 2020)=f(271+2)=f(9)，函数f(x)满足f(x +2)=−f(x)且f(x)=e x ，x ∈[0,2]， ∴f(9)=−f(7)=f(5)=−f(3)=f(1)=e ．故选：A ．23. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0,1)，若a 3+a 5=5，a 2a 6=4，b n =log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S11+S 22+⋯+S n n取最大值时，n 的值为( )A. 8B. 8或9C. 9D. 17【答案】B【解析】解：∵{a n }是等比数列且a 3+a 5=5，a 2a 6=4，公比q ∈(0,1)， ∴{a 3+a 5=5a 3a 5=a 2a 6=4，解得：a 3=4，a 5=1，q =12， ∴a 1=16，因此a n =16×(12)n−1， ∴b n =log 2a n =log 2(16×12n−1)=log 225−n =5−n ，则b 1=4，由b n+1−b n =5−(n +1)−(5−n)=−1， ∴数列{b n }是以4为首项，以−1为公差的等差数列，则数列{b n }的前n 项和S n =n(4+5−n)2=n(9−n)2，令C n =S n n=n(9−n)2n=9−n 2，∵C n ≥0时，n ≤9，∴当n =8或9时，S11+S 22+⋯+S n n取最大值．故选：B ．24. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 1，2S 2，3S 3成等差数列，且a 1a 2=a 3，若{(log 3a n )2−λlog 3a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( )A. (−∞,−3)B. (−3,+∞)C. (−1,+∞)D. (−∞,−1)【答案】B【解析】由题意，得4S 2=S 1+3S 3，化简得a 2=3a 3，所以公比q =13，又a 1a 2=a 3，得a 1=13，所以a n =(13)n ，(log 3a n )2−λlog 3a n =n 2+λn.因为{n 2+λn}是递增数列，所以(n 2+λn)−[(n −1)2+λ(n −1)]=2n +λ−1>0，n ≥2，所以λ>−2n +1，得λ>(−2n +1)max =−3，故选B ．25. 若数列{a n }满足：n 增大时，a na n+1无限接近√5−12，则称数列{a n }是黄金数列．满足下列条件的数列{a n }是黄金数列的是( )A. a 1=1，a n+1=a na n +1 B. a 1=1，a 2=3，a n+2a n =a n+12 C. a 1=1，a n+1=a n +2D. a 1=a 2=1，a n+2=a n +a n+1【答案】D 【解析】对于A ：1an+1=a n +1a n=1a n+1⇒{1a n}是等差数列，故1a n=1a 1+n −1=n ，所以a n =1n ，所以a nan+1=n+1n>1，故{a n }不是黄金数列；对于B ：因为a 1=1，a 2=3，a n+2a n =a n+12，所以{a n }为等比数列，所以a nan+1=13，故{a n }不是黄金数列；对于C ：因为a 1=1，a n+1=a n +2，所以{a n }为等差数列，所以a n =2n −1，a n a n+1=2n−12n+1=1−22n+1，n 无限最大时，an a n+1无限接近1，故{a n }不是黄金数列；对于D：a n+2=a n+a n+1两边同除以a n+1可得，a n+2a n+1=a na n+1+1，当n无限增大时，a na n+1无限接近于t，则a n+2a n+1无限接近于1t，所以1t =t+1⇒t=√5−12，故{a n}是黄金数列．故选D．26.已知数列{a n}满足对1≤n≤3时，a n=n，且对∀n∈N∗，有a n+3+a n+1=a n+2+a n，则数列{n⋅a n}的前50项的和为()A. 2448B. 2525C. 2533D. 2652【答案】B【解析】解：由题得a n+3+a n+1=a n+2+a n=⋯=a3+a1=4，所以a n=4−a n+2=4−(4−a n+4)=a n+4，所以{a n}是周期为4的数列，且a1=1，a2=2，a3=3，a4=2，所以a1+2a2+3a3+4a4+5a5+⋯+50a50=a1+2a2+3a3+4a4+5a1+⋯+50a2 =1×(1+5+9+⋯+49)+2(2+6+⋯+50)+3(3+7+⋯+47)+2(4+8+⋯+ 48)=13×502+2×13×522+3×12×502+2×12×522=2525．故选B．27.在数列{a n}中且a2020=23,a2022=25,则a2023=()A. 72B. 27C. 13D. 3【答案】C【解析】解：由2a n =1a n−1+1a n+1(n∈N∗,n⩾2)，可知数列{1a n}是等差数列，则其公差d=12(1a2022−1a2020)=12，因此1a2023=1a 2022+d =52+12=3，所以a 2023=13．故选C ．28. 已知数列{a n }满足a 1a 2a 3⋯a n =2n 2，且对任意n ∈N ∗都有1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a n <t ，则实数t 的取值范围是( )A. (13,+∞)B. [13,+∞)C. (23,+∞)D. [23,+∞)【答案】D【解析】解：因为数列{a n }满足a 1a 2a 3⋯a n =2n 2①，所以当n ≥2时，a 1a 2a 3⋯a n−1=2(n−1)2②， ①÷②得a n =2n 2÷2(n−1)2=22n−1=12×4n ．又因为a 1=2适合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n =12×4n ，因此1a n=(12)2n−1，所以数列{1a n}是以12为首项，14为公比的等比数列，因此1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a n=12[1−(14)n ]1−14=23[1−(14)n ]<23．又因为对任意n ∈N ∗都有1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a n<t ，所以t ⩾23，因此实数t 的取值范围是[23,+∞). 故选D ．二、单空题（本大题共4小题，共20分）29. 若数列{a n }的首项a 1=2，且a n+1=3a n +2(n ∈N ∗)；令b n =log 3(a n +1)，则b 1+b 2+b 3+⋯+b 100=_____________．【答案】5050【解析】解：∵数列{a n }的首项a 1=2，且a n+1=3a n +2(n ∈N ∗)， ∴a n+1+1=3(a n +1)，a 1+1=3， ∴{a n +1}是首项为3，公比为3的等比数列， ∴a n +1=3n ，，∴b 1+b 2+b 3+⋯+b 100=1+2+3+⋯+100=100×(100+1)2=5050．故答案为5050．30. 已知数列{a n }满足a n >0，前n 项和为S n ，若a 3=3，且对任意的k ∈N ∗，均有a 2k 2=2a 2k−1+1，a 2k+1=2log 2a 2k +1，则a 1=_______；S 20=_______．【答案】1，2146．【解析】解：因为a 2k 2=2a 2k−1+1，两边取对数得2log 2a 2k =2a 2k−1+1，又a 2k+1=2log 2a 2k +1，所以a 2k+1−1=a 2k−1+1，即a 2k+1−a 2k−1=2，k ∈N ∗，数列{a 2k−1}为等差数列，公差为2， k =1时， a 3−a 1=2，得a 1=1，根据a 2k+1−a 2k−1=2，a 1=1，数列{a 2k−1}为等差数列，公差为2，，首项是1，a 2k−1=2k −1，a 2k 2=22k ，所以a 2k =2k所以S 20=(a 1+a 3+⋯+a 19)+(a 2+a 4+⋯+a 20)=(1+3+⋯+19)+(2+22+⋯+210)=100+2046=2146，故答案为1，2146．31. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0,1).若a 3+a 5=5，a 2a 6=4，b n =log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S11+S 22+⋯+S n n取最大值时n 的值为________．【答案】8或9【解析】解：各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 3+a 5=5，a 2a 6=4，所以{a 3+a 5=5a 3a 5=a 2a 6=6，由于公比q ∈(0,1)，解得{a 3=4a 5=1，所以a 5=a 3q 2，解得q =12．所以a n =a 5⋅q n−5=(12)n−5．由于b n =log 2a n =log 2(12)n−5=5−n ．所以数列{b n }是以4为首项，以−1为公差的等差数列，所以S n =n(4+5−n)2=n(9−n)2，则c n =S n n=n(9−n)2n=9−n 2，当n <9，n ∈N +时，c n =9−n 2>0；当n =9时，c n =0；当n >9，n ∈N +时，c n <0，故当n =9或8时，数列S11+S 22+⋯+S n n取得最大值．故答案为：8或9．32. 正项等比数列{a n }满足a 1+a 3=54，且2a 2，12a 4，a 3成等差数列，设b n =a n a n+1(n ∈N ∗)，则b 1b 2⋅⋯⋅b n 取得最小值时的n 值为_________．【答案】2【解析】解：正项等比数列{a n }的公比设为q(q >0)，a 1+a 3=54，可得a 1+a 1q 2=54，2a 2，12a 4，a 3成等差数列，可得a 4=2a 2+a 3，即q 2−q −2=0，解得q =2(−1舍去)，a 1=14，则a n =14⋅2n−1=2n−3， b n =a n a n+1=2n−3⋅2n−2=132⋅4n ，则b 1b 2⋅…⋅b n =125n (41⋅42…⋅4n )=2−5n ⋅41+2+⋯+n =2n2−4n，由n 2−4n =(n −2)2−4，当n =2时，b 1b 2⋅…⋅b n 取得最小值．故答案为：2．三、解答题（本大题共4小题，共30分）33. 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，a n+2=3a n+1−2a n (n ∈N ∗).(Ⅰ)证明：数列{a n+1−a n }是等比数列； (Ⅱ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅲ)若数列{b n }满足4b 1−14b 2−1…4b n −1=(a n +1)b n (n ∈N ∗)，证明{b n }是等差数列．【答案】解：(Ⅰ)证明：∵a n+2=3a n+1−2a n ， ∴a n+2−a n+1=2(a n+1−a n )， ∵a 1=1，a 2=3，∴a n+2−a n+1a n+1−a n=2(n ∈N ∗)．∴{a n+1−a n }是以a 2−a 1=2为首项，2为公比的等比数列．(Ⅱ)解：由(Ⅰ){a n+1−a n }是以a 2−a 1=2为首项，2为公比的等比数列得a n+1−a n =2n (n ∈N ∗)，∴a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)++(a 2−a 1)+a 1=2n−1+2n−2++2+1=2n −1(n ∈N ∗).(Ⅲ)证明：∵4b 1−14b 2−14b n −1=(a n +1)b n ，∴4b 1+b 2+⋯+b n −n =2nb n ∴2[(b 1+b 2+⋯+b n )−n]=nb n ，①2[(b 1+b 2+⋯+b n +b n+1)−(n +1)]=(n +1)b n+1.② ②−①，得2(b n+1−1)=(n +1)b n+1−nb n ，即(n −1)b n+1−nb n +2=0.③ nb n+2−(n +1)b n+1+2=0.④ ④−③，得nb n+2−2nb n+1+nb n =0，即b n+2−2b n+1+b n =0，∴b n+2−b n+1=b n+1−b n (n ∈N ∗)， ∴{b n }是等差数列．34. 已知等差数列{a n }的公差不为零，a 4=1，且a 4，a 5，a 7成等比数列，数列{b n }的前n项和为S n ，满足S n =2b n −4(n ∈N ∗). (Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{c n }满足：c 1=−12，c n+1=c n −anb n(n ∈N ∗)，求使得c n ≥n−216成立的所有n值．【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，由题得a 52=a 4a 7，即(1+d)2=1+3d ，整理得d 2=d ，解得d =1，所以a n =a 4+(n −4)d =n −3. 因为b 1=2b 1−4，所以b 1=4，当n ≥2时，由b n =S n −S n−1得b n =2b n −2b n−1，即b n =2b n−1，所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列，所以b n =2n+1．(Ⅱ)由c n+1=c n−a nb n 得c n+1−c n=−n−32n+1，所以c n=(c n−c n−1)+(c n−1−c n−2)+⋯+(c2−c1)+c1=−12−(−222+−123+⋯+n−42n).设T n=−222+−123+⋯+n−42n，则12T n=−223+−124+⋯+n−42n+1，作差得12T n=−222+123+124+⋯+12n−n−42n+1=−12+123−12n×121−12−n−42n+1=−14−n−22n+1，所以T n=−12−n−22n，所以c n=−12−T n=n−22n.因为c n=n−22n ≥n−216，所以(n−2)(24−n−1)≥0.当n=1时，不满足题意；当n=2时，满足题意；当n≥3时，24−n−1≥0，解得3≤n≤4.所以，满足题意的所有n值为2，3，4．35.已知正项数列{a n}满足a1=1，a n−1−a n=a n−1a n，n≥2，等比数列{b n}满足：a2=b1，b2−b3=a8．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)设T n=b1a n +b2a n−1+b3a n−2+⋯+b na1，求T n．【答案】解：(1)∵{a n}各项为正，且a n−1−a n=a n a n−1,(n≥2)，∴1a n −1a n−1=1,(n≥2)．∴{1a n }是公差d=1，首项1a1=1的等差数列，∴1a n =n，则a n=1n.设等比数列{b n}的公比为q，则b1=12,b2−b3=b1(q−q2)=18．故q−q2=14，解得q=12.故b n=b1q n−1=12n.(2)T n=b1a n+b2a n−1+⋯+b na1=n2+n−122+n−223+⋯+12n.①2T n =n +n−12+n−222+⋯+12n−1. ②②−①：T n =n −(12+122+123+...+12n−1+12n ).=n −12(1−12n )1−12=n −1+12n.36. 已知数列{a n }，S n 是a n 的前n 项的和，且满足S n =2a n −1(n ∈N ∗)，数列{b n }是等差数列，b 2+b 6=a 4，a 5−b 4=2b 6． (1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n ，设c n =(−1)n(T n +b n+2)b 3n+4b n+1b n+2，求c n 的前n 项的和D n ．【答案】解：(1)由S n =2a n −1 ①，当n =1时S 1=2a 1−1，解得a 1=1，当n ≥2时，S n−1=2a n−1−1 ②， ①−②得a n =2a n−1，所以a n 是等比数列， ∴a n =2n−1，∵由{b n }是等差数列，b 2+b 6=a 4，a 5−b 4=2b 6． ∴{b 1+d +b 1+5d =816−b 1−3d =2(b 1+5d )，解得b 1=1，d =1， ∴b n =n ． (2)S n =1(1−2n )1−2=2n −1，∴T n =(2+22+⋯+2n )−n =2(1−2n )1−2−n ∴T n =2n+1−n −2， c n =(−1)n (T n +b n+2)b3n+4b n+1b n+2=(−1)n(3n+4)2n+1(n+1)(n+2)=(−1)n (2n+1n+1+2n+2n+2)，∴D n =(−2−233)+(233+244)+(−244−255)+⋯+(−1)n (2n+1n+1+2n+2n+2)∴D n =−2+(−1)n 2n+2n+2．。