等差数列与等比数列知识点类比表
等差数列与等比数列知识点类比表
an1 q(常数) an
an1 an1 an2 (n 2)
n
3.通项公式法： a n A q (A,q 为不为 0 的常数) 4.前 n 项和公式法：s n B q n B ( q 0, q 1 B0 )
设元 技巧
三数等差： a d , a, a d 四数等差： a 3d , a d , a d , a 3d
一、等差数列与等比数列知识点类比表 等差数列 定 义 式 通项 公式 中项 前 n 项 和 等比数列
an1 an d ( d 为常数, n 2 )
an a1 (n 1)d 或 an am (n m)d
a, b, c 成等差数列的充要条件： 2b a c
Hale Waihona Puke an1 q(q 0, 且为常数,n ≥ 2) an
① an am qnm
重 要 性 质
②等和性： 若 m n p q（ m 、n 、 p 、q * ） ， ②等积性： 若mn p q （m、 ， q * ） n 、p 、 则 am an ap aq 则 a a a a
m n p q
2 ③若 2n p q （ n 、p 、 ， 则 2an ap aq ． ③若 2n p q q * ） （ n 、p 、 ， 则 an q * ） ap aq
an a1qn1 （ a1 , q 0 ）或 an amqnm
a, b, c 成等比数列的充要条件： b2 ac
n a1 an ； 2 n n 1 d ② Sn na1 2 ① an am (n m)d
① Sn
na 1 (q 1) S n a 1 q n a a q 1 1 n (q 1) 1 q 1 q
等差求和以及等比数列基础知识点
等差求和以及等比数列基础知识点（一）知识归纳： 1．概念与公式：等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列； 2°.通项公式：;11m n m n n q a q a a --==2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A += 2°等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 若}{n a 是等差数列，则;s r q pa a a a +=+(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n m s t a a a a ⋅=⋅.特别的,当n+m=2k 时,得2n m k a a a ⋅=注：④若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++ 组成公比这2n q 的等比数列. ⑤若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶 (4) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列 (5) ①当1q >时， ②当1q <0<时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列，则为递减数列,110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列.（二）学习要点：1、学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2、巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a qa aq aq aq a ±±或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. 二、等差等比数列练习题1举例说明：1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( )A ．360B ．370C ．380D ．390 2．已知a 1＝1，a 8＝6，则S 8等于( ) A ．25 B ．26 C ．27 D ．283．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________. 4．在等差数列{a n }中，已知a 5＝14，a 7＝20，求S 5.一、选择题1、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝1，a 3＝3，则S 4＝( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．62．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．24 B ．27 C ．29 D ．48 3．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9＝( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．484．已知等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 96＋a 99＝( ) A ．99 B ．66 C ．33 D ．05．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( ) A ．13项 B ．12项 C ．11项 D ．10项6．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12二、填空题7．设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝________.8．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝__________.9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.三、解答题10．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2－23n －2(n ∈N *)． (1)写出该数列的第3项；(2)判断74是否在该数列中．11、设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．二、等差等比数列练习题1（参考答案）举例说明：1、C2、D3、2n 4、 40.一、选择题：1、C.2、C.3、B4、B.5、A.6、B. 二、填空题：7、153 8、12 9、－72三、解答题：10．解：(1)a 3＝S 3－S 2＝－18.(2)n ＝1时，a 1＝S 1＝－24，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －24，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－24，n ＝1，2n －24，n ≥2，由题设得2n －24＝74(n ≥2)，解得n ＝49.∴74在该数列中．11、解：(1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．12、解：(1)由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝67，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝88.所以a 1＋a n ＝884＝22.因为S n ＝n (a 1＋a n )2＝286，所以n ＝26.(2)因为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，所以S 3n ＝3(S 2n －S n )＝54.等比数列练习题2一、选择题1.等比数列{}n a的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++ ＝A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 52.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则=1020a a （ ）A.32B.23C. 32或23D. －32或－233.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．1284.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a1=2，a5=8，则a3的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 55、在正项等比数列{}n a 中，991,a a 是方程016102=+-x x 的两个根，则605040a a a 的值为（ ）A. 32 B. 256 C. 64± D. 646、公差不为0的等差数列{an}中，a a a 632,,依次成等比数列，则公比等于（ ）A.21B.31C.2D.37、已知两数的等差中项是10，等比中项是8，则以这两数为根的一元二次方程是（ ）A.08102=++x xB. 064102=+-x xC. 064202=++x xD. 064202=+-x x8、等比数列为a ，2a ＋2，3a ＋3，…，第四项为（ ）A ．－227B ．227C ．－27D ．279、如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（ ）（A ）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C) b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9 10、等比数列{an}中，已知29-=a，则此数列前17项之积为 （ ）A ．216B ．－216C ．217D ．－21711、各项都是正数的等比数列｛an ｝的公比q ≠1，且132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++的值是（ ） A.215+ B.215- C.251- D.215+或215-12、在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（ ） A ．33 B ．72 C ．84 D ．18913、已知数列{an}为等比数列，且an ＞0, 253426452=++a a a a a a ,那么53a a +的值等于（ ）A.5 B.10 C.15 D.20 二、填空题1.在两数a,b(ab ＞０)之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间一个数 . 2、.已知1, a1, a2, 4成等差数列，1, b1, b2, b3, 4成等比数列，则=+221b a a ______．3.已知等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6= .4．若a ，b ，c 成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为__________5、若数列{}n a 满足：1,2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a 21 .6、已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通n a = . 7.在递减等比数列{an}中,a4+a5=12,a2〃a7=27,则a10=________.8.已知等差数列{an}的公差d ≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则1042931a a a a a a ++++值 .9、若各项均为正数的等比数列{}n a 满足23123a a a =-，则公比q = 10、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =11、已知数列{}n a 满足n n a S 411+=,则n a =三、解答题1、已知{}n a为等比数列，324202,3a a a =+=，求{}n a 的通项式。
等差、等比数列知识点总结
一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn二、等差数列1、等差数列及等差中项定义d a a n n =--1、211-++=n n n a a a 。
2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+=当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。
3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=d n n na S n 2)1(1-+= 4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等差数列。
6、B A a A d Bn An S n +==+=122，，7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题利用n S （0≠d 时，n S 是关于n 的二次函数）进行配方（注意n 应取正整数） 三、等比数列1、等比数列及等比中项定义：q a a n n=-1、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式： 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n =当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 qqa a S n n --=114、等比数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅5、等比数列}{n a 的公比为q ，且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等比数列6、0=++=B A B Aq S n n ，则四、求数列}{n a 的最大的方法：1-1n n n n a a a a ≥≥+五、求数列}{n a 的最小项的方法：1-1n n n n a a a a ≤≤+例：已知数列}{n a 的通项公式为：32922-+-=n n a n ，求数列}{n a 的最大项。
(完整版)等差等比数列知识点总结
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；.2.等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a3.等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：()d n a a n 11-+=推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.(2) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（3）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时，()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶2、当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结：
等差数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个数列被称为等差数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
3. 求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]$，其中 $S_n$ 是前$n$ 项的和。
4. 等差中项：任意两项的算术平均值等于第三项。
5. 等差数列的性质：如果两个数列都是等差数列，那么它们的和也是一个等差数列。
等比数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数，这个数列被称为等比数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。
3. 求和公式：对于 $q \neq 1$，有 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；对于 $q = 1$，有 $S_n = na_1$。
4. 等比中项：任意两项的几何平均值等于第三项。
5. 等比数列的性质：如果两个数列都是等比数列，那么它们的乘积是一个等比数列。
以上是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结。
在学习这些内容时，可以通过做练习题来加深理解和巩固知识。
等差 等比知识点总结
等差等比知识点总结一、等差数列1. 定义等差数列又叫等差数列，是一种特殊的数列，它的相邻两项之间的差都是相同的，这个差值称为公差。
比如一个等差数列通常的形式是a，a+d，a+2d，a+3d，…其中a是首项，d 是公差。
2. 通项公式设等差数列的首项为a，公差为d，那么它的通项公式为：an = a + (n - 1)d，其中n为数列的项数。
3. 性质① 等差数列的任意一项可以表示成它的首项和公差的线性组合；② 等差数列的前n项和为Sn = n(a + l)/2，其中l为数列的最后一项；③ 若等差数列的前n项和为Sn，则Sn+k = Sn + kn(k为常数)；④ 若Tn为等差数列的前n项和，那么Sn = Tn - (n-1)d；⑤ 若Tn为等差数列的前n项和，那么T1、T2、…、Tn为等差数列；⑥ 等差数列的和与项数成正比例。
4. 应用等差数列的应用非常广泛，它可以用在数学、物理、工程学等各个领域。
在数学中，利用等差数列可以解决关于求和、求通项公式、求公差、求项数等各种问题。
在物理中，等差数列可以用来描述各种运动的位移、速度、加速度等之间的关系。
在工程学中，等差数列也可以用来描述一些周期性变化的规律。
二、等比数列1. 定义等比数列又叫等比数列，是一种特殊的数列，它的相邻两项之间的比值都是相同的，这个比值称为公比。
比如一个等比数列通常的形式是a，ar，ar²，ar³，…其中a是首项，r是公比。
2. 通项公式设等比数列的首项为a，公比为r，那么它的通项公式为：an = a * r⁽ⁿ⁻¹⁾，其中n为数列的项数。
3. 性质① 等比数列的任意一项可以表示成它的首项和公比的乘积；② 对于等比数列，前n项和的公式为Sn = a(1-rⁿ)/(1-r)；③ 若Tn为等比数列的前n项和，那么Sn = Tn - a；④ 若Tn为等比数列的前n项和，那么T1、T2、…、Tn为等比数列；⑤ 等比数列的和与项数成正比例。
等差数列与等比数列性质总结
a1 q
qn
cqn
{an}为常数数列⇔q＝1； {an}为摆动数列⇔q<0．
{an}递增⇔
a1>0或 q>1
a1<0 {an}递减⇔ 0<q<1
a0<1>q0<点1击进或入aq相1><应10模块
知识梳理
（3）.等比数列前n项和公式
Sn a1 a2 a3 a4 ....... an2 an1 an ① 错位相 qSn a1q a2q a3q a4q ....... an2q an1q anq qSn a2 a3 a4 a5 ....... an1 an anq ② 减法 ①-② (1- q)Sn a1 anq
则Sm , S2m Sm , S3m S2m ,...... 成等差数列。
(3)中项比性质:等差数列anbn 中，Sn Tn 是其前n项和，
an S 2n1
bn
T2 n 1
点击进入相应模块
知识梳理
3.等差数列的性质
(4)奇数项和与偶数项和性质:等差数列an 中，奇数项有n+1项，
点击进入相应模块
上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。
知识梳理
（2）.等差数列通项公式常用结论
结论1.等差数列{an}中,首项为a1，公差d an=am+(n-m)d (其中，m，n N*,n m)
结论2：等差数列通项公式 an － a1= (n－1)d函数性：
直线的一般形式： y kx b
a3 － a2=d， a4 …－…a3=d， an－1－an－2=d, an －an－1=d. 这（n－1）个式子迭加
关于等差数列与等比数列的类比
＋ｎ ＝ ０
由上 表 可 见， 两种 数 列 的本 质 区别 在 于数
列 中相 邻 两项 间的运 算 不 同， 因此 从 它 们 的定 义 和 通项 公 式 出发 归纳 出两 种 数 列 与 运 算相 关 的互 变规 律， 是进 行类 比发 现 的基 础 ．
－ ・ ｎ ＝ ｂ ・ｂ ｌ
在上 述发 现过 程 中， 等 差数 列不妨设 ｎ 对 ＞ １ 一ｎ 对等 比数 列 不妨设 ｎ＞ １ －ｎ 等差数 ９ ， ７ ． 列 与 等 比数 列 在它 们关 于 运算 的互变 规律 中， 蕴 藏 辣刻 的数 学 本 质， 创新 教 育不可 多得 的 是
在平 时教 学 中， 只孤 立地 看待 等 差数 列 和等 比
３１前 述 高考 题 的类 比 ．
数 列， 么考 生 只能 望 题 兴 叹． 因此 等 差 那 在 数 列 和 等 比数 列 间 架 设一 座 联 想类 比的桥 梁 ， 不仅是 课堂教 学 的追求 ， 也是 素质教 育 的渴求 ． 那 么在两 种 数 列 的教 学 中， 如何 进行 类 比呢？
２ ．互 变规 律 若 将 等 差 数 列 定 义 和 通 项 公 式 中 的公 差 ｄ换 成公 比 ｑ ，并 将 “ 加、 减 、 ’ 算 依次 变 运 成‘ ‘ 除、乘方” 算 可 相应 地 产 生等 比 乘、 运 则 数 列 的定义 和通 项公 式 的数 学形式； 因为 一 又 ０ ， ：１ ．据 此， 大 胆 猜 想两 种数 列 可 在 运算 方 面存 在如 下 演变 规律 ： １ 疆蠢厨 厂－ １羁玎臣 三
学 生 学 习 立体 几 何 ， 空 间想 象 力差 ， 因 往 入 门的首 要 问题． 纸使 原 有形 成 的平 面 定势 折 顺 利过 渡到 空间 的概 念． 且 实践 性 强 学 生 而
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②等和性： m n p q （ m 、n 、 p 、q ） ②等积性： m n p q（ m 、 、p 、 * ） 若 ， n q 若 ， 则 am an a p aq 则 am an a p aq
2 q ③若 2 n p q（ n 、p 、 ）则 2 a n a p a q ． ③若 2 n p q（ n 、p 、 * ） 则 a n a p a q ， q ，
证明一个数列为等比数列的方法： 证 明 方 法 证明一个数列为等差数列的方法： 1.定义法 a n 1 a n d ( 常 数 ) 2.中项法
a n 1 a n 1 2 a n ( n 2 )
1.定义法 2.中项法
a n 1 an
q (常 数 )
2
3. 通项公式法： a n pn q （ p , q 为常数） 4. 前 n 项和公式法： s n A n 2 Bn （A,B 为常数）
一、等差数列与等比数列知识点类比表 等差数列 定义 递推 公式 通项 公式 中项 前
n
等比数列
a n 1 an q ( q 0, 且 为 常 数 , n ≥ 2 )
a n 1 a n d ( d 为常数, n 2 )
a n a n 1 d a n a1 ( n 1) d 或 a n a m ( n m ) d
*
④ s k , s 2 k s k , s 3 k s 2 k ,... 构成的数列是等差数列. 设 d 为等差数列 a n 的公差，则 d>0 a n 是递增数列； d<0 a n 是递减数列； d=0 a n 是常数数列.
④ S k , S 2 k S k , S 3 k S 2 k ,... 构成的数列是等比数列.
a , b , c 成等差数列的充要条件： 2b a c
a n a n 1 q
a n a1 q
n 1
（ a1 , q 0 ）或 a n a m q
nm
a , b , c 成等比数列的充要条件： b ac
2
① Sn
n a1 a n 2
；
d d 2 d n a 1 n 2 2
a n 1 a n 1 a n ( n 2 )
n
3. 通项公式法： a n A q (A,q 为不为 0 的常数) 4. 前 n 项和公式法： n s 三数等比：
a q
B qn
2
( q 0, q 1
B0
)
设元 技巧
三数等差： a d , a , a d 四数等差： a 3 d , a d , a d , a 3 d
a1 0 a1 0 ,或 q 1 0 q 1
a n 递增数列；
单 调 性：
q=1 a n 是常数数列； q<0 a n 是摆动数列
a1 0 a1 0 0 q 1, 或 q 1 a n 递减数列；
s1 s n s n 1
, a , a q或 a , a q , a q
2 3
四数等比： a , a q , a q , a q
( n 1) (n 2)
二、数列的项 a n 与前 n 项和 S n 的关系： a n
注意：一定不要忘记对 n 取值的讨论！最后，还应检验当 n=1 的情况是否符合当 n 2 的关系式，从而决定 能否将其合并。
项 和
② S n n a1
n n 1 2
n a 1 ( q 1) S n a 1 q n a a q 1 1 n ( q 1) 1 q 1 q
① an am (n m )d 重 要 性 质
*
① an am q
nm