(完整版)高考等差等比数列知识点总结
(完整版)高考数列公式总结
第四份：数学必修五第二章《初等数列》公式总结一、基本知识点总结aregoodfor 2、常用结论归纳ooso 1.{}{}1-21-2=nnnnnnnn TSbanbaTS项和，那么有的前、分别为等差数列、设2.常见的数列前n项和公式3.)8()6()5()4()2(=1+2•11an）（则4.构造法求数列通项公式（数量众多，此处仅为举例）(1)构造等比数列：形如的数列，可设，其中，那么qpaann+=1+)+(=+1+kapkann1-=pqk是公比为q的等比数列；举例，，则，则{}kan+1+2=1+nnaa1=,1=,2=kqp)1+(2=1+1+nnaa为公比为2的等比数列.{}1+na(2)构造等差数列：形如的数列，可以等式左右两边同时除以得，nnnpqpaa•+=1+np qpapannnn+=1-1+故，故数列是公差为q的等差数列.qpapannnn=-1-1+nnpad A l {}表示数列S n 1+2 5.累加法与累乘法举例：（1）累加法：左边加左边，右边加右边，最后把左右相同部分消除.举例：已知数列满足，求数列的通项公式。
{}n a 11211n n a a n a +=++=，{}n a （2）举例：。
数列的等差与等比性质知识点总结
数列的等差与等比性质知识点总结数列是由一系列数字按照一定规律排列组成的序列，而等差与等比性质是数列中常见的两种规律。
在数学中，掌握数列的等差与等比性质对于解题和推导数学公式都具有重要意义。
本文将对数列的等差与等比性质进行详细总结。
一、等差数列1. 定义：若数列中相邻两项之差保持不变，则称该数列为等差数列。
2. 通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的差等于公差，即an - an-1 = d。
b) 等差数列的前n项和为Sn = (a1 + an) * n / 2。
c) 等差数列的任意一项可以表示为前一项与公差之和，即an = an-1 + d。
d) 若等差数列的前两项之和等于第三项，即a1 + a2 = a3，则该等差数列为等差数列。
二、等比数列1. 定义：若数列中相邻两项之比保持不变，则称该数列为等比数列。
2. 通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为r，则第n项的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的比等于公比，即an / an-1 = r。
b) 等比数列的前n项和为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
c) 等比数列的任意一项可以表示为前一项与公比之积，即an = an-1 * r。
d) 若等比数列的前两项之积等于第三项，即a1 * a2 = a3，则该等比数列为等比数列。
三、等差与等比的联系与区别1. 联系：等差与等比数列都是按照一定规律排列的数列，且都有其通项公式和前n项和的公式。
2. 区别：a) 等差数列的相邻项之差相等，等比数列的相邻项之比相等。
b) 等差数列的公差为常数d，等比数列的公比为常数r。
c) 等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
（完整版）高考等差等比数列知识点总结
1高考数列知识点等差数列1.等差数列的定义：d aa n n=--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项首项首项::1a ，公差，公差:d :d :d，末项，末项，末项::n a推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d m n --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22dn a d n =+-2An Bn =+（其中（其中A A 、B 是常数，所以当是常数，所以当d d ≠0时，时，S S n 是关于是关于n n 的二次式且常数项为的二次式且常数项为00） 特别地()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n=--1或d a an n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．是等差数列． （2） 等差中项：数列{}na 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
是常数）。
（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中（其中A A 、B 是常数）6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n=--1或d a an n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列7.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函的一次函 数，数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
等差和等比数列公式大总结
等差和等比数列公式大总结
等差数列是指每一项与前一项之差相等的数列，而等比数列是指每一项与前一项之比相等的数列。
在数学中，我们经常遇到各种各样的数列问题，因此了解等差和等比数列的公式是非常重要的。
等差数列的公式：
1.通项公式：an=a1+(n-1)d
其中，a1为首项，d为公差，an为第n项。
2.前n项和公式：Sn=[n(2a1+(n-1)d)]/2
其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为前n项和。
等比数列的公式：
1.通项公式：an=a1*r^(n-1)
其中，a1为首项，r为公比，an为第n项。
2.前n项和公式：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)
其中，a1为首项，r为公比，n为项数，Sn为前n项和。
以上是等差和等比数列的公式大总结。
通过掌握这些公式，我们可以更加轻松地解决各种数列问题。
同时，也可以通过这些公式发现数列的规律，进一步深入了解数学知识。
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(完整版)等差等比数列知识点总结
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；.2.等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a3.等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：()d n a a n 11-+=推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.(2) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（3）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时，()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶2、当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
(完整版)等差等比数列知识点总结
等差等比数列知识点总结1. 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，即a n a n 1 d (d 为常数)(n 2)；2. 等差中项:(1)如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即:或2A a b3. 等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列a n的首项是a1，公差是d，可以得到等差数列的通项公式为：a n 4 n 1 d推广：a n a m(n m)d.a n a m 从而dn m4. 等差数列的前n项和公式：n(a1 a n) n(n 1) , d 2 , 1 2S n na1 d n 佝d)n An Bn2 2 2 2(其中A、B是常数，所以当d M 0时，S是关于n的二次式且常数项为0) 5. 等差数列的判定方法(1)定义法：若a n a n 1 d或a n 1 a n d (常数n N ) a n是等差数列.(2)等差中项：数列a n是等差数列2a n a n-1 a n 1 (n 2)2a n 1a n a n 2 .(3)数列a n是等差数列a n kn b (其屮k, b是常数)。
(4)数列a n是等差数列S n An2Bn,(其中A、B是常数)。
6.等差数列的证明方法定义法：若a n a n 1d或a n1 a n d(常数n N) a n是等差数列.(2 ) 等差中项数列a n 2a n a n-1 a n i(n 2) 2a n 1 a n a n 27.等差数列的性质:（1）当m n p q 时,则有a m a n a p a q ，特别地，当m n 2p 时，则有⑵ 若｛a n ｝是等差数列，则S n ,S 2n 5,务 S ?n ，…也成等差数列和，S n 是前n 项的和 1.当项数为偶数2n 时,a na n 12、当项数为奇数2n 1时，则（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项） 1、 等比数列的定义：旦q q 0 n 2,且*n N ，q 称为公比a n 12、通项公式：n 1a n aga 〔 n n1q A B a-i q 0,A B0，首项:a 1 ；公比：qq推广：a nn mn ma m qqa nq n ma mV am3、 等比中项：（1）如果a,A,b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2 ab 或A ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个（两个等比中项互为相反数）a m a n2a p .（3）设数列a n 是等差数列,d 为公差，S 奇是奇数项的和, S 偶是偶数项项的n a ia 2n 1a2n 1— nana 2nn a 2a 2n2na n 1na n 1 na nn a n 1 a n =ndS 2n 1S 奇S 偶（2n1） a n+1S 奇 S 偶 a n+1S 奇 （n 1応+1S 偶n a n+1a i a 3a 5a 2 a 4 a 6 na n na n 1S奇为等比数列6等比数列的证明方法:7、等比数列的性质:(3)若｛a n ｝为等比数列，则数列S n ，S 2n S n ，务 dn,，成等比数列 (4)在等比数列｛a n ｝中，当项数为2n(n N *)时，§奇-S 禺q(2)数列a n 是等比数列 2 ana n 1 a n 14、等比数列的前n 项和S n 公式:(1)当 q 1 时，S nna i(2)当 q 1 时，S.a, 1a 〔 a 〔A AB n A'B n A' ( A,B,A',B'为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义：对任意的n,都有amqa n 或 也 q(q 为常数，a n 0){a n }a n(2)等比中项:2 ana n 1a n 1 ( a n 1 a n 1 0) ｛a n ｝为等比数列(3)通项公式：a nA B n A B 0｛a n ｝为等比数列依据定义：若-a ^ qa n 1q 0 n 2,且 nN 或a n 1 qa n ｛a n ｝为等比数列(1) 若 m n s t(m,n,s,t N )，贝U a n a m a s a t 。
等差数列和等比数列的特点知识点总结
等差数列和等比数列的特点知识点总结等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列，而等比数列则是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
在数学中，等差数列和等比数列是非常重要且常见的数列类型。
下面将分别介绍等差数列和等比数列的特点与相关知识点。
一、等差数列的特点与知识点等差数列的特点：1. 公差：等差数列中相邻两项之差称为公差，用d表示。
公差可以是正数、负数或零。
2. 通项公式：等差数列的通项公式是指通过已知的首项和公差，求出数列中任意一项的公式。
对于等差数列a1, a2, a3, ..., an，通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 求和公式：等差数列的求和公式用于计算数列中前n项和的值。
对于等差数列a1, a2, a3, ..., an，求和公式为Sn = (n/2)(a1 + an) =(n/2)(2a1 + (n-1)d)。
等差数列的知识点：1. 判定一组数字是否为等差数列：通过计算任意相邻两项的差是否相等，若相等则为等差数列。
2. 求等差数列的第n项：已知首项和公差，利用通项公式即可计算出第n项的值。
3. 求等差数列的前n项和：已知首项、公差和项数，利用求和公式即可计算出前n项和的值。
4. 求等差数列中项的个数：已知首项、公差和末项，利用末项与首项之间的关系，即(末项-首项)/公差+1，即可计算出项的个数。
5. 应用：等差数列在日常生活中的应用很广泛，例如计算年龄、身高、价格等各类增量或减量的规律。
二、等比数列的特点与知识点等比数列的特点：1. 公比：等比数列中相邻两项之比称为公比，用r表示。
公比可以是正数、负数或零，但不能为1。
2. 通项公式：等比数列的通项公式是指通过已知的首项和公比，求出数列中任意一项的公式。
对于等比数列a1, a2, a3, ..., an，通项公式为an = a1 * r^(n-1)。
3. 求和公式：等比数列的求和公式用于计算数列中前n项和的值。
数列高考知识点归纳(非常全!)
数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()na f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。
2、通项公式1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又11(1),(1)nm a a n d a a m d =+-=+-,相减得()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-.若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ；若n<m ，则m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ，相加得12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。
特别的，由1212n n a a a -+= 可得 21(21)n n S n a -=-。
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高考数列知识点
等差数列
1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；
2．等差数列通项公式：*
11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a
推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m
n a a d m
n --=
；
3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
b
a A +=
或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：
1()2n n n a a S +=
1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地()()()12121121212
n n n n a a S n a +++++=
=
+
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*
∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．
（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2
n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）
6．等差数列的证明方法
定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*
∈N n )⇔ {}n a 是等差数列
7.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函 数，且斜率为公差d ；
前n 和211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+
=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列
(5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 (6)求n S 的最值
法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要 注意数列的特殊性
*n N ∈。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当，，001<>d a 由⎩⎨
⎧≤≥+0
1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．
（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
即 当，，001><d a 由⎩⎨
⎧≥≤+0
1n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。
若S p = S q 则其对称轴为2
p q
n +=
（二）等比数列1. 等比数列的定义：()()*1
2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比
n q =2. 通项公式：()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q
-==
=⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m
n m a a q -= 3. 等比中项（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
A ab =
或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列{}n a 是等比数列⇔2
11n n n a a a -+=⋅
4. 等比数列的前n 项和n S 公式：(1) 当1q =时， 1n S na =(2) 当1q ≠时，()11111n
n n a q a a q
S q q
--==
-- 5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有1
1(0)n n n n n
a a qa q q a a ++==≠或
为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：2
11n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列
（3） 通项公式：()0n n a A B A B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列
（4） 前n 项和公式：()
'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为 等比数列 6. 等比数列的证明方法依据定义：若
()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 等比数列的性质(1) 当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n n
n n a a a q q A B A B q
-==
=⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q
②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q
q q q
--=
=-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数. (2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n m s t a a a a ⋅=⋅.特别的,当n+m=2k 时,得2n m k a a a ⋅=
(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n
k
a ,{}n k a ⋅,{}k n a ,{}n n k a
b ⋅⋅{}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数列.
(5) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列 (6) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列 (7) ①当1q >时， ②当1q <0<时，
110{}0{}{
n n a a a a ><，则为递增数列
，则为递减数列, 110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列
n m n m a q a -=。