等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理

第一节：等差数列的公式和相关性质

1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：

1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差

推广公式：()n m a a n m d =+-

变形推广：m

n a a d m

n --= 3、等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，

那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

b

a A +=

或b a A +=2

（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列

)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a

4、等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a S +=

1(1)

2

n n na d -=+ 211()2

2

d n a d n =+-2An Bn =+

（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项

()()()12121121212

n n n n a a S n a +++++=

=

+（项数为奇数的等差数列的各项

和等于项数乘以中间项）

5、等差数列的判定方法

（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．

（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列

)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a

（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法

定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．

7、等差数列相关技巧：

（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、

d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中

的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项1(1)n a a n d =+-

②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；

③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ）

8、等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和

211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系

数之和相等。

（4）{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列

(6) 数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列

（7）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，则

21

21

n n n n a A b B --=

（8）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m+n 项和()m n S m n +=-+，当然也有,n m a m a n ==，则0m n a +=

(9)求n S 的最值

法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和

即当，，001<>d a 由⎩⎨

⎧≤≥+0

1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．

（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

即 当，，001>

⎧≥≤+00

1

n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值． 或求{}n a 中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若S p = S q 则其对称轴为2

p q

n +=

注意：1(2)n n n S S a n --=≥，对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当1n =的情况。