山东省滕州市第一中学2020届高三3月线上模拟考试数学试题 Word版含解析

滕州一中高三线上模拟考试数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =（ ）A. [0,4]B. {0,2,4}C. {2,4}D. [2,4]【答案】B 【解析】 【分析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案【详解】{}{|0,1,2,3,4A x N y =∈==,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数， 故{0,2,4}AB =.故选：B .【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.2.欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】计算31cossin 3322πππ=+=+i ei ，得到答案.【详解】根据题意cos sin ixe x i x =+，故31cossin 332πππ=+=i ei ，表示的复数在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.3.已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A. α内有无数条直线与β平行 B. l α⊥ 且l β⊥C. αγ⊥ 且γβ⊥D. α内的任何直线都与β平行【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除； B. l α⊥ 且l β⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到l α⊥ 且l β⊥，满足； C. αγ⊥ 且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除. 故选：B .【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.4.已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A.12B.C. 12-D. 【答案】A 【解析】【详解】由题意可得三角函数的定义可知：22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47α==+，则：()()sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131cos 4713cos 60.2ααα-=-=-=+==本题选择A 选项.5.已知1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2xb =，ln xc e =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a >>B. b c a >>C. a b c >>D. b a c >>【答案】B 【解析】试题分析：∵1(,1)x e -∈，∴ln (1,0)x ∈-∴(1,0)a ∈-，(1,2)b ∈，1(,1)c e -∈∴b c a >>.选B .考点：利用函数图像比较大小. 6.函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A. 4x π=B. 3x π=C. 56x π=D. 1912x π=【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ，得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题. 7.函数()()()2sin xx e e x f x x eππ-+=-≤≤的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，则函数()f x 的图像关于坐标原点对称， 据此可排除B 选项，考查函数()x xg x e e -=+，则()()21'xx x xe g x e e e--=-=，当0x >时，()g x 单调递增，则344g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此有：344f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 据此可排除C 选项； 当0πx <<时，0,sin 0xxe e x -+>>，则()0f x >，据此可排除D 选项；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左､右顶点分别是12,A A ，过F 作x 轴的垂线与双曲线交于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为（ ）B.【答案】A【解析】【分析】先求出,B C的坐标，再求出12,A B A C的斜率，最后根据12A B A C⊥得到,,a b c满足的等式关系，可从该关系式求得双曲线的离心率.【详解】设双曲线的半焦距为c，令x c=，则2bya=±，不妨设22,,,b bC c B ca a⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()12222200,A B A Cb bb ba ak ka c a a c a c a a c+-==-==---+--，因为12A B A C⊥，故()()221b ba a c a a c⎡⎤-⨯-=-⎢⎥+-⎣⎦，整理得到a b=，故离心率e==故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，可根据题设条件构建,,a b c的等量关系即可求出离心率，本题属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.（多选题）下列说法中，正确命题是（）A. 已知随机变量ξ服从正态分布()22,Nδ，()40.84Pξ<=，则()240.16Pξ<<=．B. 以模型kxy ce=去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设lnz y=，将其变换后得到线性方程0.34z x=+，则c，k的值分别是4e和0.3．C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx=+，若2b=，1x=，3y=，则1a=．D. 若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16． 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布性质求()24P ξ<<即可判断A;根据方程变形即可确定c ，k 的值，再判断B; 根据回归直线方程过样本中心，即可判断C;根据数据变化与方差变化关系判断D. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=，所以()()2440.50.840.50.340.16P P ξξ<<=<-=-=≠，即A 错；ln ln()ln ln kx kx y ce y ce y kx c =∴=∴=+，0.34ln 0.34z x y x =+∴=+，从而40.3,ln 40.3,k c k c e ==∴==，即B 正确；y a bx =+过(,)x y ， 321a b b a =+=∴=，即C 正确；因为样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，所以数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为222=8⨯，即D 错误； 故选：BC【点睛】本题考查正态分布、方差性质以及线性回归方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10.甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件B. 甲的不同的选法种数为15C. 已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是16D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是949【答案】BD 【解析】 【分析】根据对立事件的概念可判断A ；直接根据组合的意义可判断B ；乙同学选技术的概率是13可判断 C ；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D .【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A 错误；由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即2615C =种选法，故B 正确；由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是2163=，故C 错误； 乙、丙两名同学各自选物理的概率均为37，故乙、丙两名同学都选物理的概率是3397749⨯=，故D 正确； 故选BD .【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.11.设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ）A.12B.C.2e D.【答案】BCD 【解析】 【分析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可． 【详解】解：令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-，∴得00()(1)T x T x -，001x x -，即012x ，()x g x e a =-；1()2x， 0x 为函数()y g x =的一个零点；当12x时，()0x g x e '=-， ∴函数()g x 在12x 时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g ee ⎛-=> ⎝，∴要使()g x 在12x时有一个零点，只需使102g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 解得ea，a ∴的取值范围为,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭， 故选：BCD ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题． 12.已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln (),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A. 数列{}n n a b -单调递增； B. 数列{}n n a b + 单调递增； C. 数{}n a 从某项以后单调递增； D. 数列{}n b 从某项以后单调递增.【答案】BCD 【解析】 【分析】计算得到2211ln 2a b a b -=--，A 错误，化简()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，B 正确，1111ln ()30n n n a a n a b -+-=++>，C 正确，1111ln(1)2ln ()3n n n b b n n a b -+-=+-++，D 正确，得到答案.【详解】因为1112,2lnn n n n n n n a a b b a b n +++=+=++，所以1131ln n n n n n a b a b n+++-=--， 当1n =时, 2211ln 2a b a b -=--,所以2211-<-a b a b ，所以A 错误；11313()lnn n n n n a b a b n++++=++，11ln(1)3(ln )n n n n a b n a b n +++-+=--， 所以{ln }n n a b n +-是等比数列，()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，所以B 正确；11112ln ()3n n n n n a a b a n a b -+=+=+++，故1111ln ()30n n n a a n a b -+-=++>，C 正确；因为131lnn n n n n b b a b n++=+++，所以1111ln(1)2ln ()3n n n b b n n a b -+-=+-++， 根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D 正确. 故选：BCD .【点睛】本题考查了数列的单调性，意在考查学生对于数列性质的综合应用.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则()2log 3f =________．【答案】34【解析】 【分析】根据分段函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，和2log 30>，利用()()2f x f x =- 转化为()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭求解. 【详解】因为2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，2log 30>，所以()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又223log log 104<=，所以()23log 42233log 3log 244f f ⎛⎫===⎪⎝⎭． 故答案为：34. 【点睛】本题主要考查分段函数的求值，还考查了转化问题求解的能力，属于基础题. 14.已知向量(1,1)a x =+，(,2)b x =，若满足a b ，且方向相同，则x =__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同． 【详解】∵a b ，∴(1)20x x +-=，解得1x =或2x =-，1x =时，(1,2),(1,2)a b ==满足题意，2x =-时，(1,1),(2,2)a b =-=-，方向相反，不合题意，舍去．∴1x =． 故答案为：1．【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错． 15.设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝__________． 【答案】12 【解析】 【分析】由于512012+a ＝（52﹣1）2012+a ，按二项式定理展开，根据题意可得 ()2012201220121C ⋅-+a 能被13整除，再由0≤a ＜13，可得 a ＝12． 【详解】由于512012+a ＝（52﹣1）2012+a()()()()()1232011201202012120112201032009201112012201220122012201220122012525215215215211C C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-+a ，除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，故由题意可得 ()2012201220121C ⋅-+a 能被13整除，再由0≤a ＜13，可得 a ＝12，故答案为12．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题． 16.已知正三棱锥P-ABC ，Q 为BC 中点，2PA =，2AB =，则正三棱锥P-ABC 的外接球的半径为________；过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积范围为________．【答案】 (1). 6 (2). 3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据正三棱锥P ABC -，2PB PC PA ===，2AC BC AB ===，有222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，则此正三棱锥P-ABC 为正方体的一角，根据球的直径为正方体的体对角线的长求解.根据当截面过球心时，截面面积最大，当球心与Q 的连线垂直截面时，截面面积最小求截面的面积范围.【详解】因为正三棱锥P ABC -，2PB PC PA ===，2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，因此正三棱锥P-ABC 可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心， 所以点O 也是正三棱锥P-ABC 外接球的球心，记外接球半径为R ，则1622222R =++=， 因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积最大为2max 32S R ππ==；又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得12OQ PA ==； 由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小1r ==，所以2min S r ππ==．因此，过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积范围为3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：(1). 2(2). 3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题主要考查组合体问题以及球的截面的性质，还考查了空间想象和理解问题的能力，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①()2223163c S b a +=-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，已知________． （1）求tan B 的值；（2）若42,S =10a =，求b 的值．【答案】（1）34；（2） 【解析】【分析】 （1）若选择条件①．()2223163c S b a +=-，由正弦定理得()2221316sin 32⨯+=-c ac B b a ，整理得：()2228sin 3ac B a c b =+-，再利用余弦定理有3cos 4sin 4sin B B B -=求解.若选择条件②．因为5cos 45b C c a +=，根据正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，即sin (45cos )0C B -=求解.（2）由（1）知3tan 4B =，再根据42,S =10a =，利用正弦定理1acsin 2S B =解得14c =，再将42,S =10,a =14c =代入()222261636c S c a =++-求解. 【详解】（1）选择条件①．()2223163c S b a+=-， 所以()2221316sin 32⨯+=-c ac B b a ， 整理得：()2228sin 3ac B a c b =+-． 即2224sin 32a c b B ac+-=⋅. 整理可得3cos 4sin B B =，又sin 0B >．所以cos 0B >，所以sin 3tan cos 4B B B ==. 选择条件②．因为5cos 45b C c a +=，由正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=， 5sin cos 4sin 5sin()B C C B C +=+，即sin (45cos )0C B -=，在ABC 中，sin 0C ≠，所以cos 45B =，3sin 5B ==，所以3tan 4B =. （2）由3tan 4B =，得3sin 5B =，又42,S =10a =， 则113acsin 1042225S B c ==⨯⨯=，解得14c =. 将42,S =10,a =14c =代入()22226163c S b c a =++-中，得()2222614164231410b ⨯=⨯++-，解得b =【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理和两角和与差三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <. 【答案】（1）21n a n =+；（2）证明见解析.【解析】【详解】分析：（1）由题意可求得等差数列{}n a 的公差123d a ==，，从而可得21n a n =+．（2）由（1）可得()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，然后根据裂项相消法得到31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，由此可得结论成立． 详解：（Ⅰ）∵数列{}n a 为等差数列，且2822a a +=，()5281112a a a ∴=+=． ∵4712,,a a a 成等比数列，∴27412a a a =⋅，即()()()211211117d d d +=-⋅+，又0,d ≠∴2d =，∴111423a =-⨯=，∴()()32121*n a n n n N =+-=+∈.（2）证明：由（1）得()()122n n n a a S n n +==+， ∴()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． ∴12111n n T S S S =+++ 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭． ∴34n T <． 点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点：（1）裂项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性．19.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，132AB BC AP AD ====，AC BD O =，过O 点作平面α平行于平面PAB ，平面α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H .(1)求GH 的长度；(2)求二面角B FH E --的余弦值.【答案】532929【解析】试题分析：（1）【法一】（Ⅰ）由面面平行的性质定理可得//EF AB ，//,//EH BP FG AP ， 则BOC ∆∽DOA ∆，由相似三角形的性质计算可得5GH =【法二】由面面平行的性质定理可得//EF AB ，//,//EH BP FG AP ，则BOC ∆∽DOA ∆，由题意结合余弦定理可得5GH =.（2）建立空间直角坐标系，由题意可得平面BFH 的法向量为31,,22n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,平面EFGH 的法向量()0,1,0m =则二面角B FH E --的余弦值329,29m n cosm n m n ⋅==. 试题解析： （1）【法一】（Ⅰ）因为//α平面PAB ，平面α⋂平面ABCD EF =，O EF ∈，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ， 因为BC ∥,6,3AD AD BC ==，所以BOC ∆∽DOA ∆，且12BC CO AD AO ==， 所以12EO OF =，11,23CE CB BE AF ====， 同理13CH EH CO PC PB CA ===， 连接HO ，则有HO ∥PA ，所以HO EO ⊥，1HO =，所以123EH PB ==，同理，223FG PA ==， 过点H 作HN ∥EF 交FG 于N ，则225GH HN GN =+=【法二】因为//α平面PAB ，平面α⋂平面ABCD EF =，O EF ∈,平面PAB ⋂平面ABCD AB =，根据面面平行的性质定理，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ，因为//,2BC AD AD BC =,所以BOC DOA ∆∆∽，且12BC CO AD OA ==, 又因为COE ∆∽AOF∆，AF BE =,所以2BE EC =，同理2AF FD =,2PG GD =，123,2,233EF AB EH PB FG AP ====== 如图：作//,,//,HN BC HN PB N GM AD GM PA M ⋂=⋂=,所以//,HN GM HN GM =，故四边形GMNH 为矩形，即GH MN =,在PMN ∆中,所以81222455MN cos ︒=+-⨯⨯=，所以5GH =.（2）建立如图所示空间直角坐标系()()()()3,0,0,0,2,0,3,2,0,2,2,1B F E H ,()()1,2,1,2,0,1BH FH =-=,设平面BFH 的法向量为(),,n x y z =,2020n BH x y z n FH x z ⎧⋅=-++=⎨⋅=+=⎩,令2z =-，得31,,22n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 因为平面//EFGH 平面PAB ，所以平面EFGH 的法向量()0,1,0m =33292,299144m n cosm n m n ⋅===++，二面角B FH E --的余弦值为32929 20.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视x 分布在各区间内的频率为相应的概率，求()120P x ≥；（Ⅱ）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如[)100,110x ∈，则取105x =的概率等于市场需求量落入[)100,110的频率），求T 的分布列及数学期望()E T ．【答案】（Ⅰ）0.7；（Ⅱ）0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（Ⅲ）59.4. 【解析】分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图和互斥事件的概率公式求解．（Ⅱ）结合题意用分段函数的形式表示T 与x 的关系．（Ⅲ）先确定T 的所有可能取值为45,53,61,65，然后分别求出相应的概率，进而可得分布列，最后求出期望． 详解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得：()()()()120120130130140140150P x P x P x P x ≥=≤<+≤<+≤≤0.030100.025100.01510=⨯+⨯+⨯0.7=．（Ⅱ）当[)100,130x ∈时，()0.50.31300.839T x x x =--=-，当[]130,150x ∈时，0.513065T =⨯=．所以0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当[)100,110x ∈时，0.81053945T =⨯-=，()450.010100.1P T ==⨯=；当[)110,120x ∈时，0.81153953T =⨯-=，()530.020100.2P T ==⨯=；当[)120,130x ∈时，0.81253961T =⨯-=，()610.030100.3P T ==⨯=；当[]130,150x ∈时，65T =，()()650.0250.015100.4P T ==+⨯=．所以T 的分布列为：∴()450.1530.2610.3650.459.4E T =⨯+⨯+⨯+⨯=万元．点睛：（1）求随机变量及其分布列的一般步骤①明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用相应的概率求出随机变量取每个可能值的概率；③按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．（2）解答此类问题的关键是读懂题意，合理选择合适的概率公式求解．21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA OB OD +=，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）见解析 【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为，可得椭圆过点)，结合离心率即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论：当直线l 的斜率不存在时，四边形OADB ； 当直线l 的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由,OA OB OD += 得2242,1212D D km m x y k k-==++ ，代入曲线C ，整理出k ，m 的等量关系式，再根据OADB S AB d = 写出面积的表达式整理即可得到定值．【详解】(Ⅰ)由222222211c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===得椭圆C 的方程为22142x y +=. （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =-或1x =， 此时四边形OADB．当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程 22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()222124240k x kmx m ⇒+++-= ()228420k m ∆=+->，2121222424,1212km m x x x x k k --+==++ ()121222212m y y k x x m k +=++=+AB = 点O 到直线AB的距离是d =由,OA OB OD +=得2242,1212D D km m x y k k-==++ 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=整理得22122k m +=由题意四边形OADB 为平行四边形，所以四边形OADB 的面积为OADB S AB d === 由22122k m +=得OADB S 故四边形OADB．【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线距离公式、面积计算公式、向量数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题． 22.已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =-. （Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '<． 【答案】（Ⅰ）极大值为5ln 36--，无极小值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）先判断函数()h x 在()0,+∞上的单调性，然后可得当13x =时，()h x 有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设120x x <<，由题意可得()()()()2212121212ln ln 02a h x h x x x x xb x x -=-----=，即()()22121212ln ln 2a x x x x b x x -=-+-，又由条件得()1201222x x h x a b x x +⎛⎫=-+ +⎝'⎪⎭，构造()()()121211*********212ln 21x x x x x x x h x x x a b x x x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫+⎝⎭-=---=-⎪+⎝⎭+'，令()1201x t t x =<<，则()()()21ln 011t r t t t t ，-=-<<+，利用导数可得()()10r t r >=，故得()()1200x x h x '->，又120x x -<，所以()00h x '<．详解：（Ⅰ）()()23ln 2,0,2h x x x x x =--∈+∞，()()()2311132132x x x x h x x x x x--+--+='∴=--=， 由()()()3110x x h x x--+'==得13x =，且当103x <<时，()0h x '>，即()h x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当13x >时，()0h x '<，即()h x 在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴当13x =时，()h x 有极大值，且()15=ln336h x h ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭极大值，无极小值．（Ⅱ）函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，不妨设120x x <<，()21111ln 02a h x x x bx ∴=--=，()222222ln 02h x x x bx =--=． ()()2212111222ln ln 22a ah x h x x x bx x x bx ∴-=-----()()22121212ln ln 02a x x x x b x x =-----=，即()()22121212ln ln 2a x x x xb x x -=-+-， 又()()()()1h x f x g x ax b x ='=-''-+，1202x x x +=， ()1201222x x h x a b x x '+⎛⎫∴=-+ ⎪+⎝⎭，()()()12120121222x xx x h x x x a b x x ⎛⎫+∴-=--- ⎪+⎝⎭'()()()1222121212212x x a x x b x x x x -⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦()()1212122ln ln x x x x x x -=--+12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+．令()1201x t t x =<<，则()()()21ln 011t r t t t t ，-=-<<+ ()()()()222141011t r t t t t t--∴=-=<++'， ()r t ∴在()0,1上单调递减，故()()10r t r >=，12112221ln 01x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴->+，即()()1200x x h x '->， 又120x x -<，()00h x ∴'<．点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明．。