九年级上数学定理知识点汇总-最新教育文档

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九年级数学上册考点归纳

九年级数学上册考点归纳德国数学家康托尔首创集合论，大胆地向“无穷大”进军，为的是给数学各分支提供一个坚实的基础，提出了实无穷的思想，为以后的数学发展作出了不可估计的奉献。

今天作者在这给大家整理了一些九年级数学上册考点归纳，我们一起来看看吧!九年级数学上册考点归纳定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半判定定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形九年级数学考点归纳1.单项式：由数字和字母乘积组成的式子。

系数，单项式的次数。

单项式指的是数或字母的积的代数式。

单唯一个数或一个字母也是单项式。

因此，判定代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系，即分母中不含有字母，若式子中含有加、减运算关系，其也不是单项式。

数学初三上册知识点归纳

数学初三上册知识点归纳【第一章实数】一、重要概念1.数的分类及概念数系表：说明："分类"的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。

(表为：x≥0)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。

3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1时，1/a<1;D.积为1。

4.相反数：①定义及表示法②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5.数轴：①定义("三要素")②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6.奇数、偶数、质数、合数(正整数-自然数)定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n(n为自然数)7.绝对值：①定义(两种)：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号"││"是"非负数"的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有"││"出现，其关键一步是去掉"││"符号。

二、实数的运算1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)2.运算定律(五个-加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律)3.运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从"左"到"右"(如5÷×5);C.(有括号时)由"小"到"中"到"大"。

三、应用举例(略)附：典型例题1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。

九年级上册数学知识点归纳

九年级上册数学知识点归纳一、代数基础1.1 代数式与多项式•代数式的概念和基本性质•多项式的定义、次数、最高次项、最高次系数和降次1.2 整式运算•基本运算法则（加、减、乘、除）•多项式的因式分解1.3 方程与不等式•一元一次方程的定义、解法及应用一元二次方程的定义、解法及应用•一元一次不等式和一元二次不等式的定义、解法及应用二、平面几何2.1 点、直线、角、三角形•点、直线、射线、线段的定义•角的概念、性质和分类•三角形的定义、分类、性质（三角形角度定理、三角形边长关系定理）2.2 四边形和多边形•四边形的定义、性质（平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形）•多边形的定义和性质（对称性、全等性、相似性）2.3 圆的基本性质•圆的定义、圆心、半径、直径、弦、弧、圆周角•圆的切线和切点的概念和性质三、立体几何3.1 空间图形的概念和性质•空间图形的分类（点、线、面、体）•空间图形的基本性质（包括线段长度、角度大小、面积和体积）3.2 空间坐标系的建立和应用•空间坐标系的建立（右手法则）•空间坐标系中点、距离、中点公式、斜率公式3.3 空间几何体的计算•立体图形的表面积和体积的计算方法（包括长方体、正方体、棱锥、棱台、球）四、数与函数4.1 实数的概念和性质•实数的分类、基本性质（包括代数性质、有序性、完备性）4.2 一次函数的概念和性质•一次函数的定义、函数图像、图像特征、斜率、截距、变化规律和应用4.3 二次函数的概念和性质•二次函数的定义、函数图像、图像特征、参数的关系及其应用•二次函数解析式的确定方法五、统计与概率5.1 数据的收集和整理•数据的收集方法及其优缺点•数据的整理方法（频率分布表、直方图、折线图、饼图）5.2 概率的概念和基本性质•随机性和概率、概率的基本性质•事件及其概率的计算方法、频率和概率5.3 统计量•数值型数据的统计量（包括极差、平均数、中位数、众数、标准差）•统计推断的基本思想和应用（区间估计、假设检验）以上是九年级上学期数学知识点的归纳，希望对大家有所帮助。

九年级上册数学知识点总结归纳

九年级上册数学知识点总结归纳一、一元二次方程。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。

一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 一元二次方程的解法。

- 直接开平方法。

- 对于方程x^2=p(p≥0)，解得x=±√(p)。

例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。

- 配方法。

- 步骤：先将方程化为ax^2+bx = - c的形式，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方((b)/(2a))^2，将左边配成完全平方式(x+(b)/(2a))^2，再用直接开平方法求解。

例如对于方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x+9 = 7 + 9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。

- 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

其中b^2-4ac叫做判别式，记作Δ。

当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。

例如方程2x^2-3x - 2 = 0，其中a = 2，b=-3，c = - 2，Δ=(-3)^2-4×2×(-2)=9 + 16 = 25>0，则x=(3±√(25))/(4)=(3±5)/(4)，解得x = 2或x=-(1)/(2)。

- 因式分解法。

- 把方程化为一边是零，另一边是两个一次因式积的形式，然后使每个因式分别为零，从而求出方程的解。

例如方程x^2-3x+2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，则x - 1 = 0或x - 2 = 0，解得x = 1或x = 2。

九年级上册数学各章节知识点总结(最新最全)

九年级上册数学各章节知识点总结(最新
最全)
1. 有理数与整式有理数与整式
- 有理数的概念及表示方法
- 有理数的大小比较
- 有理数的加法、减法、乘法、除法运算法则
- 整式的定义和基本运算
2. 方程与不等式方程与不等式
- 一元一次方程的概念、解法及应用
- 恒等方程和条件方程
- 一元一次不等式的概念及解法
- 一元一次方程与不等式的综合应用
3. 函数与图像函数与图像
- 函数的概念及表示
- 函数的增减性和奇偶性
- 函数的概率和函数的平移、翻折、对称变换
- 函数图像的特点和简单的函数图像绘制
4. 图形的性质图形的性质
- 平行线与相交线
- 三角形的定义及分类
- 三角形的性质与判定
- 常见四边形的性质及判定
5. 相似与全等相似与全等
- 相似的概念及相似三角形的判定
- 相似比的计算
- 全等的概念及全等三角形的判定
- 全等三角形的性质和应用
6. 三角函数三角函数
- 角的概念及角的度量
- 反义函数、同角三角函数特殊值
- 三角函数的图像
- 三角函数的性质及简单的计算与应用7. 圆圆
- 圆的定义和性质
- 圆上的弧和弦
- 切线与圆的位置关系
- 圆的周长和面积的计算
以上是九年级上册数学各章节知识点的总结，请根据具体情况进行查阅和复习。

初三数学上册全部知识点归纳总结

初三数学上册全部知识点归纳总结初中数学是学生学习数学的重要阶段，为了帮助同学们更好地复习和总结初三数学上册的知识点，本文将对初三数学上册的各个知识点进行归纳总结，以便同学们能够更加系统地了解和掌握这些知识，为下学期的学习奠定稳固的基础。

一、代数与方程1. 代数基础知识1.1. 正负数的认识与运算法则1.2. 数轴与数线段1.3. 绝对值的概念与性质1.4. 有理数的概念与性质1.5. 分数的基本概念与运算法则2. 方程与不等式2.1. 一元一次方程的解析解与图解法2.2. 一元一次方程组的解法及其应用2.3. 一元二次方程的解法与应用2.4. 一元二次不等式的解法与应用3. 函数与图像3.1. 函数的概念与性质3.2. 一次函数与二次函数的图像与性质3.3. 指数函数与对数函数的概念与性质二、几何1. 平面几何1.1. 二维坐标系与图形的坐标表示1.2. 基本图形的性质与判定1.3. 相似图形的判定与性质1.4. 弧长、扇形面积与圆心角2. 空间几何2.1. 三维坐标系与图形的坐标表示2.2. 平行与垂直关系的性质与判定2.3. 视角与投影的概念与应用2.4. 空间图形的体积与表面积计算三、概率与统计1. 数据的整理与统计1.1. 数据的分类与整理方法1.2. 数据的图表示与分析1.3. 平均数与中位数的计算与应用2. 概率的概念与计算2.1. 随机事件与样本空间2.2. 事件的概率计算与性质2.3. 互斥事件与相互独立事件本文列举了初三数学上册的各个知识点，包括代数与方程、几何以及概率与统计三个方面的内容。

这些知识点是初中数学学习的基础，掌握好这些知识对于同学们能够在数学学习中更好地理解与应用具有重要意义。

希望同学们能够认真阅读、复习与总结这些知识，夯实基础，为进一步的学习打下坚实的基础。

祝愿同学们学业进步，取得优异的成绩！。

初三上册最新数学知识点归纳总结

初三上册最新数学知识点归纳总结初三上册数学知识点归纳(一)不等式的概念1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴表示不等式的方法。

不等式基本性质1、不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：1去分母2去括号3移项4合并同类项5将x项的系数化为1.一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法1分别求出不等式组中各个不等式的解集。

2利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

初三数学上册基本知识点、定理归纳

第一章证明1、关于三角形的公理1）、三角形全等 SSS、SAS、ASA、AAS2）、其他定理A、全等三角形的对应边相等、对应角相等B、等腰三角形的两个底角相等C、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合有两个角相等的三角形是等腰三角形有一个角等于60°的等腰三角形性是等边三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等2、命题和逆命题3、尺规作图线段的垂直平分线、角平分线第二章一元二次方程（元是未知数，次是未知数的次数）能化成ax²+ bx + c = 0（a、b、c为常数，a≠0）的形式的整数方程叫做一元二次方程。

二次项、一次项、常数项二次项系数、一次项系数解一元二次方程方程的方法1、直接开方法2、配方法（将方程转化为一边事完全平方式，一边是常数的方法）3、公式法4、分解因式法第三章证明平行四边形的对边相等、对角相等等腰梯形在同一底上的两个角相等同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等对角线相等的平行四边形是矩形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边都相等端点四边形是菱形第四章视图与投影主视图、左视图、俯视图在画视图时，看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象平行投影（阳光）、中心投影（灯）视点、视线、盲区第五章反比例函数一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=k/x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。

九年级数学定理、公式汇总(背记版)

重点公式汇总（背记版）：一元二次方程一般形式：ax ²+bx+c =0 (a ≠0) 求根公式：a ac b b x 242-±-=（Δ=b 2-4a c ≥0）判别法则：当Δ＞0时，方程总有两个不相等的实数根当Δ= 0时，方程总有两个相等的实数根当Δ＜0时，方程没有实数根韦达定理：若方程有两个实数根x 1和x 2,则x 1+x 2=a b -, x 1x 2=ac （需Δ≥0）增长（降低）率公式b x 1a n =±）（二次函数：一般形式y=ax 2+bx+c (a ≠0) 对称轴：a b x 2-=顶点坐标是)4-4,2-2a b ac a b （顶点式y=a(x －h)2+k(a ≠0) 对称轴：x=h ，顶点坐标（h,k ）交点式y=a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) 对称轴：221x x x += 函数平移规律：左加右减对称轴变，上加下减最值变。

抛物线与x 轴的位置关系:对于抛物线y=ax 2+bx+cΔ<0时,它与x 没有交点.Δ=0时,它与x 轴只有一个交点(与x 轴相切).Δ>0时,它与x 轴有两个交点(x 1,0)和(x 2,0),其中x 1和x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个根.两点之间的距离公式：22-12222)()-(),,(),,(111y y x x AB y x B y x A +=则有：中点坐标公式：(221x x +，2y y 21+)圆①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

（“知二推三”）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

③圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

九年级上册知识点大全数学

九年级上册知识点大全数学一、有理数1. 整数的概念和性质2. 正负数的比较和大小3. 有理数的加减法运算4. 有理数的乘法运算5. 有理数的除法运算6. 有理数的混合运算7. 有理数的运算定律二、代数式与方程式1. 代数式的定义和性质2. 代数式的加减法运算3. 代数式的乘法运算4. 一元一次方程的概念和解法5. 一元一次方程的应用6. 一元一次方程组的概念和解法7. 一元一次方程组的应用三、几何图形1. 点、线、面的概念2. 平行线和垂直线的性质3. 三角形的分类和性质4. 四边形的分类和性质5. 五线图形的分类和性质6. 直角三角形和勾股定理7. 圆的概念和性质四、图形的相似与等腰三角形1. 图形的相似性判定2. 相似三角形的性质和判定3. 图形的放缩与相似比例4. 等腰三角形的概念和性质5. 等腰三角形的判定和性质应用五、数列与函数1. 数列的概念和性质2. 数列的通项公式和前n项和公式3. 等差数列与等差数列的求和公式4. 等比数列与等比数列的求和公式5. 函数的概念和性质6. 一次函数和一次函数图像7. 一次函数的斜率和截距六、数据统计与概率1. 统计调查和数据收集2. 数据的整理、分析和展示3. 平均数和中位数的计算4. 概率的基本概念和计算5. 事件的概率与互斥事件6. 概率分布和频率分布7. 抽样和抽样调查在九年级上册数学学习中，这些知识点的掌握对于解决数学问题和应用数学知识具有重要意义。

通过对整数、代数式和方程式、几何图形、相似与等腰三角形、数列与函数、数据统计与概率等知识的学习，可以锻炼学生的逻辑思维能力、问题解决能力和数学运算技巧。

同时，在学习的过程中，要注意理论与实践的结合，通过大量的练习和实际问题的应用，培养学生的数学思维和实际解决问题的能力。

此外，在学习数学的过程中，要注重培养学生的数学思维方法和逻辑推理能力，提高解决问题的能力和创新意识。

九年级上册数学知识点的掌握将为学生在中学和高中的数学学习打下坚实的基础，为今后对数学的深入研究和应用打下良好的基础。

初三九年级上册数学知识点

初三九年级上册数学知识点如何学好学校数学?如何保持学校数学领先呢?学校数学怎么学?学校数学学习方法是什么?怎么才能提高数学成果，其实无论科目离不开的都是基础学问，我在这里整理了相关资料，盼望能关心到您。

第一章证明(二)重点三角形相关性质及其证明; 垂直平分线定理的证明和应用，尺规作图;能够角平分线的性质定理、判定定理及相关结论的证明，利用尺规作已知角的平分线难点三角形相关性质及其证明; 垂直平分线定理的证明和应用，尺规作图;能够角平分线的性质定理、判定定理及相关结论的证明学问点1、三角形相关定理推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.(AAS)定理等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角)推论等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.(三线合一)定理有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边)定理有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.2、直角三角形定理在直角三角形中，假如一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.(等边三角形是特别的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30，这它所对的直角边必定等于斜边的一半.)定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.(勾股定理) 定理假如三角形两边的平方和等于第三方的平方,那么这个三角形是直角三角形.互逆命题逆命题互逆定理逆定理定理斜边和一条直角边对应的两个直角三角形全等.(HL)3、线段的垂直平分线直线与射线有垂线，但无垂直平分线定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

定理到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

(线段垂直平分线逆定理)定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

(如图1所示，AO=BO=CO)C CE 图1 图24、角平分线定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

(角平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合。

九年级上册数学考试常用定理

九年级上册数学考试常用定理数学是一门需要理解和掌握一定规则和定理的学科。

在九年级上册的数学考试中，一些常用的定理经常被考察。

本文将介绍九年级上册数学考试中常用的定理，并详细解释它们的应用。

一、平行线定理平行线定理是几何学中最基本的定理之一。

在几何图形中，如果两条直线在同一平面内，且没有交点，那么这两条直线被称为平行线。

下面是与平行线相关的常用定理：1. 同位角定理：当一条直线被一对平行线切割时，同侧的对应角相等。

2. 内错角定理：当一条直线被两条平行线切割时，内错角互补（即和为180度）。

3. 外错角定理：当一条直线被两条平行线切割时，外错角相等。

二、相似三角形定理相似三角形定理是解决三角形相似性问题的重要定理。

相似三角形定理有以下几种形式：1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角相等，那么它们是相似的。

2. SSS相似定理：如果两个三角形的三个边成比例，那么它们是相似的。

3. SAS相似定理：如果两个三角形一对对应的边成比例，并且夹角也相等，那么它们是相似的。

三、直角三角形定理直角三角形是一个角为90度的三角形。

直角三角形定理是解决直角三角形问题的重要定理。

下面是直角三角形定理的常见形式：1. 勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。

2. 正弦定理：在任意三角形中，三角形的边长和其对应的角的正弦值成比例。

3. 余弦定理：在任意三角形中，三角形的边长和其对应的角的余弦值成比例。

四、圆的定理圆是平面上一组等距离的点的集合，圆的定理主要涉及到圆的弧、弦和角的关系。

下面是与圆相关的一些常用定理：1. 圆心角定理：圆心角等于它所对应的弧的中心角。

2. 弧长定理：圆心角等于它所对应的弧的长度与圆的半径的比值。

3. 弦切线定理：当一条切线和一条弦相交时，切线与弦的交点两侧的弦段乘积相等。

以上介绍了九年级上册数学考试中常用的定理。

掌握这些定理对于解答几何题和三角函数题非常重要。

希望同学们在备考过程中能够理解并熟练应用这些定理，取得优异的成绩。

九年级数学上册定理知识点汇总北师大版

知识点汇总范围
01 代数部分
包括一元二次方程、不等式与不等式组、函数的初步认识等定理知识点。
02 几何部分
包括平行线、三角形、四边形、圆等定理知识点。
03 概率与统计部分
包括概率的初步认识、统计图等定理知识点。
02 代数部分
整式与分式
整式的定义与性质
整式是由常数、变量、加法、乘法和自然数次幂运算构成的代数式。
04
概率与统计初步
概率初步知识与事件概率计算
概率的定义
概率是描述某一事件发生的可能性的数值，其值在0到1之间。
事件的分类
根据事件的性质，可以将其分为必然事件、不可能事件和随机事
件。
概率的计算方法
对于等可能事件，可以使用古典概型进行计算；对于非等可能事件，可以使用几何概型或频率近
似计算。
数据收集与整理方法论述
整式的加减法
同类项可以合并，不同类项直接写在一起构成新的整式。
分式的定义与性质
分式是两个整式相除得到的代数式，其中分母不为零。
分式的加减法
需要先通分，然后按照整式的加减法进行计算。
分式的乘除法
分子乘分子作为新的分子，分母乘分母作为新的分母。
一次方程与不等式
01 一次方程的定义与解法
一次方程是未知数的最高次数为1的方程，可以通过移项和合并同类项来求解。
对函数及其图像有深入理解，能够准确绘制一次 03 函数、二次函数的图像。
学生自我评价报告呈现
• 在不等式与不等式组方面，能够准确判断不等式的性质并求解不等式组。
学生自我评价报告呈现
01
学习困难点
02
03
04
在相似三角形的应用中，对于复杂图形的分析和处理存在一

初中数学九年级上册知识点

初中数学九年级上册知识点
一、代数
1.一元一次方程
–解一元一次方程的基本方法
–用一元一次方程解决实际问题
2.二元一次方程组
–解二元一次方程组的基本方法
–用二元一次方程组解决实际问题
3.因式分解
–提取公因式
–分解因式
–使用因式分解求解问题
二、几何
1.平面直角坐标系
–点、直线的坐标
–距离、中点的公式
2.平行线与垂直线
–平行线的性质
–垂直线的性质
3.圆
–圆的基本概念
–圆内角、弦长、弧长关系
三、概率
1.随机事件与概率
–随机事件的概念
–概率的基本概念
–事件的互斥和对立
–概率的计算方法
2.排列组合
–排列的概念与计算
–组合的概念与计算
四、统计
1.描述统计
–数据的集中趋势
–数据的离散程度
–分布图形与定量特征
2.抽样调查
–抽样的方法与原则
–样本的构成与调查的方法
五、综合应用
1.选择应用题
–解决实际问题过程的方法
–能力的培养和提高
2.综合性问题
–综合应用数学知识的题目
–解决综合问题的思路和方法
以上内容为初中数学九年级上册的主要知识点汇总，希望对你的学习有所帮助。

初三数学上册全部知识点

初三数学上册全部知识点初中数学上册共有八个单元，涵盖了各种数学知识和技能。

下面是每个单元的知识点的概述，以帮助你进行详细的学习和复习。

1.有理数-有理数的概念、表达和性质-有理数的加减乘除运算-有理数的大小比较和绝对值-有理数的混合运算和分数形式-有理数的倒数和数轴的表示2.整式与方程-整式的概念和运算法则-整式的最简、相等与合并-一元一次方程式的概念和解法-一元一次方程式的列式和应用-一元一次方程组的解法3.比与比例-比的概念和比的大小-有理数的比例和比例的性质-比例与百分数的关系-比例线段在图形中的应用-比例方程式和比例的解法4.几何定理-平行线及其性质-三角形内角和定理-直角三角形及其性质-勾股定理和三角形的判定-平行四边形及其性质5.数据图表与统计-数据和统计的概念-数据的收集、整理和表示-数据图表的绘制和分析-数据的平均数、中位数和众数-数据的可变性和相关性6.两步一元一次方程-一元一次方程的概念和解法-两步一元一次方程的解法-几何问题中的一元一次方程-一元一次方程与比例的关系-一元一次方程组的解法和应用7.几何变换-平移、旋转、翻转和对称的概念-平移、旋转、翻转和对称的性质-几何图形的等价判定和构造-几何变换在图形中的应用-几何变换对坐标的影响8.分式-分式的概念和性质-分式的加减乘除运算-分式的最简化和合并-分式的化简和乘法公式-分式在实际问题中的应用希望这些知识点的概述能够帮助你进行复习和学习，但建议你查阅相关的教材和参考书籍来获取更详细和准确的知识。

九年级(上册)初中数学定理知识点汇总

九年级(上册)初中数学定理知识点汇总第一章证明(二)一两个三角形有关公理与定理：1。

.公理：三边对应相等的两个三个形全等（SSS ）2。

.公理：两边及其夹角对应相等的两个三个形全等（SAS ）3。

.公理：两角及其夹边对应相等的两个三个形全等（ASA ）4。

公理：全等三个形的对应角相等及对应边相等5。

推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三个形全等（AAS ）。

二一个三角形有关公理与定理：1。

定理：等腰三角形的两个底角相等（简述：等边对等角）2。

推论：等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

3。

等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。

4。

有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。

5。

等腰三角形的两个底角的平分线相等；等腰三角形的两腰上的中线相等；等腰三角形的两腰上的高相等。

6。

如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：222c b a =+（注意区分斜边与直角边）②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）7。

垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。

（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线>8。

线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

9。

线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

10。

三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。

（如图1所示，AO=BO=CO ，点o 叫外心）11。

角平分线上的点到角两边的距离相等。

12。

角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

九年级上册数学教学知识点

九年级上册数学教学知识点一、代数1. 实数和实数运算- 实数的基本概念- 实数的分类与性质- 实数的四则运算2. 一元一次方程与不等式- 一元一次方程的定义与性质- 解一元一次方程的方法- 一元一次不等式的定义与性质- 解一元一次不等式的方法3. 函数与图像- 函数的定义与性质- 一次函数、二次函数的图像与性质- 绝对值函数的图像与性质- 笛卡尔坐标系的应用二、几何1. 平面几何- 二维几何基本概念- 平面图形的性质与分类- 二维几何定理的应用2. 空间几何- 三维几何基本概念- 空间图形的性质与分类- 三维几何定理的应用3. 相似与全等- 相似图形的性质与判定条件- 相似三角形的性质与证明- 全等图形的性质与判定条件- 全等三角形的性质与证明三、概率与统计1. 概率- 随机事件的基本概念与性质- 概率的定义与性质- 概率计算方法与应用2. 统计- 统计调查的方法与步骤- 统计图表的制作与分析- 数据的平均数与中位数的计算四、解析几何1. 直线与圆的方程- 直线的一般式方程与一般点斜式方程- 圆的标准方程与一般方程2. 直线与圆的位置关系- 直线与圆的相交关系与判定- 直线与圆的切线与切点3. 向量与坐标表示- 向量的定义与性质- 向量的坐标表示与运算- 向量的数量积与几何应用以上为九年级上册数学教学的主要知识点概览。

在教学过程中，老师应根据学生的理解能力和学习进度，在适当的时间和方式引导学生进行练习和巩固，以确保他们对这些知识点的掌握和应用能力。

通过系统学习和训练，学生将能够更好地理解和应用数学知识，为将来的学习和生活做好准备。

九级上册数学知识点总结

九级上册数学知识点总结Let's learn positive psychology to make our life happier.九年级上册数学知识点总结归纳2第二十一章一元二次方程第二十二章二次函数第二十三章旋转第二十四章圆第二十五章概率初步第二十一章一元二次方程知识点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0a≠0.注意：判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式.知识点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如x+a2=b b≥0的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法.X+a=±b∴1x=-a+b2x=-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0k≠0的一般步骤是：①化为一般形式；②移项,将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；④配方,即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为x+a2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0,则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a acbbx24 2-±-=b2－4ac≥0.步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a,b,c的值；③求出b2－4ac的值,当b2－4ac≥0时代入求根公式.4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0,则a=0或b=0.步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程乘积的形式,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法.5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a≠0．因当a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a,b,c的值；②若b2－4ac＜0,则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2x＋42 =3x＋4中,不能随便约去x＋4.⑷注意：解一元二次方程时一般不使用配方法除特别要求外但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．6．一元二次方程解的情况⑴b2－4ac≥0⇔方程有两个不相等的实数根；⑵b2－4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；⑶b2－4ac≤0⇔方程没有实数根.解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时,往往首先考虑用b2－4ac解题.主要用于求方程中未知系数的值或取值范围.知识点3：根与系数的关系:韦达定理对于方程ax 2＋bx+c=0a ≠0来说,x1 +x2 =—a b ,x1●x2= a c.利用韦达定理可以求一些代数式的值式子变形,如2122122212)(x x x x x x-+=+21212111x x x x x x +=+.解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理. 知识点4：一元二次方程的应用一、考点讲解：1．构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下：⑴ 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； ⑵ 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长降低两次得到新数据,常见的等量关系是a1±x2=b,其中a 表示增长降低前的数据,x 表示增长率降低率,b 表示后来的数据.注意：所得解中,增长率不为负,降低率不超过1.⑶ 经济利润问题：总利润=单件销售额－单件成本×销售数量；或者,总利润=总销售额－总成本.⑷ 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程.2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性．一元二次方程与实际问题1、病毒传播问题2、树干问题3、握手问题单循环问题4、贺卡问题双循环问题5、围栏问题6、几何图形道路、做水箱7、增长率、降价率问题8、利润问题注意减少库存、让顾客受惠等字样9、数字问题10、折扣问题第二十二章二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地,形如2=++a b cy ax bx ca≠的函数,，，是常数,0叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a≠,而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数,右边是自变量x的二次式,x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大,抛物线的开口越小.2.2y ax c=+的性质：上加下减.3.()2y a x h =-的性质：左加右减.4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+,确定其顶点坐标；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”．概括成八个字“左右 ,上下 ”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左右平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y axbx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，若与x 轴没有交点,则取两组对称轴对称的点. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y axbx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a=-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a=-,顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时,y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++a ,b ,c 为常数,0a ≠； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+a ,h ,k 为常数,0a ≠；3. 两根式两点式：12()()y a x x x x =--0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y axbx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠．⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大；⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大．总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02b a -<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即当0b >时,02b a ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之,只要a b c ，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1. x 轴对称 2y axbx c =++x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---；2. y 轴对称 2y axbx c =++y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 原点对称 2y axbx c =++原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k=-+原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180°2y ax bx c =++顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 点()m n ，对称()2y a x h k=-+点()m n ，对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x 轴交点情况：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数： ① 当240bac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >； 2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <．2. 抛物线2y axbx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y axbx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合；⑷ 二次函数的图象对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)++≠本身就是所含ax bx c a字母x的二次函数；下面以0a>时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)2(x-2)2y=3x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点, 则m 的值是2-322．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如：如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内,那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线经过0,3,4,6两点,对称轴为35=x ,求这条抛物线的解析式.4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如：已知抛物线2y axbx c =++a ≠0与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3,与y轴交点的纵坐标是－错误!1确定抛物线的解析式；2用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题. 例题经典由抛物线的位置确定系数的符号例1 1二次函数2y axbx c =++的图像如图1,则点),(ac b M 在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2已知二次函数y=ax 2+bx+ca ≠0的图象如图2所示,•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时,函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时,x 的值只能取0.其中正确的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个1 2点评弄清抛物线的位置与系数a,b,c 之间的关系,是解决问题的关键．例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点-2,O 、x 1,0,且1<x 1<2,与y 轴的正半轴的交点在点O,2的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a -b+1>O,其中正确结论的个数为 A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为A2,-3 B.2,1 C2,3 D ．3,2例4、如图单位：m,等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动,直到AB 与CD 重合．设x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2．1写出y 与x 的关系式； 2当x=2,时,y 分别是多少 3当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=12x 2+x-52．1用配方法求它的顶点坐标和对称轴．2若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,求线段AB 的长．点评本题1是对二次函数的“基本方法”的考查,第2问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．例6.已知：二次函数y=ax 2-b+1x-3a 的图象经过点P4,10,交x 轴于)0,(1x A ,)0,(2x B 两点)(21x x ,交y 轴负半轴于C 点,且满足3AO=OB ．1求二次函数的解析式；2在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠MCO>∠A CO 若存在,请你求出M 点的横坐标的取值范围；若不存在,请你说明理由．1的图象经过点Ac,－2,例7、“已知函数c+=2y+xbx求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3.”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.1根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象；若不能,请说明理由.2请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整.点评：对于第1小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点Ac,－2”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式.对于第2小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第1小题中的解析式就可以了.而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等.用二次函数解决最值问题例1 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x元•与产品的日销售量y 件之间的关系如下表：x元1523…y件2521…若日销售量y是销售价x的一次函数．1求出日销售量y件与销售价x元的函数关系式；2要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元•此时每日销售利润是多少元点评解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点：1设未知数在“当某某为何值时,什么最大或最小、最省”的设问中,•“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数；2•问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程．例2.你知道吗平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m,则学生丁的身高为建立的平面直角坐标系如右图所示A．1．5 m B．1．625 mC．1．66 m D．1．67 m分析：本题考查二次函数的应用第二十三章旋转一、旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.2、性质1对应点到旋转中心的距离相等.2对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2、性质1中心对称的两个图形是全等形.2中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.3中心对称的两个图形,对应线段平行或在同一直线上且相等.3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形这一点对称.4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心.考点五、坐标系中对称点的特征 3分1、原点对称的点的特征两个点原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点Px,y原点的对称点为P’-x,-y2、x轴对称的点的特征两个点x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点Px,yx轴的对称点为P’x,-y3、y轴对称的点的特征两个点y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点Px,yy轴的对称点为P’-x,y第二十四章圆一、知识回顾圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr2圆环面积计算方法：S=πR2-πr2或S=πR2-r2R 是大圆半径,r 是小圆半径二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；固定的端点O 为圆心.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧.2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线. 二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C在圆内；A2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离图1⇒无交点⇒d R r>+；外切图2⇒有一个交点⇒d R r=+；相交图3⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切图4⇒有一个交点⇒d R r=-；内含图5⇒无交点⇒d R r<-；图4图5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； 3平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在⊙O 中,∵AB ∥CD∴弧AC =弧BD六、圆心角定理顶点到圆心的角,叫圆心角.圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等. 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,BD只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD七、圆周角定理顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角. 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半.即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径.即：在⊙O 中,∵AB 是直径或∵90C ∠=︒∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径BA推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角.即：在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒DAE C ∠=∠九、切线的性质与判定定理1切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA外端∴MN 是⊙O 的切线 2性质定理：切线垂直于过切点的半径如上图推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点.BAO推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠十一、圆幂定理1相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等.即：在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅2推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅DBA3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅4割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如上图. 即：在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦. 如图：12O O 垂直平分AB .即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：1公切线长：12Rt O O C ∆中,221ABCO ==2外公切线长：2CO 是半径之差；内公切线长：2CO 是半径之和 .十四、圆内正多边形的计算。