2018-2019学年高中数学北师大版必修五课件：第二章 解三角形 章末分层突破
合集下载
高中数学第二章解三角形本章整合课件北师大版必修5
应用 2 在△ABC 中,角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b,c ,设 S 为△ABC 的面积,且满足 S=
3 4
(������2 + ������2 − ������2).
(1)求角C的大小; (2)求sin A+sin B的最大值.
解 :(1)由题意知 ������������sin C= 所以 tan C= 3. π 因为 0<C<π,所以 C= .
专题一
专题二
专题三
专题四
应用 1 在△ABC 中,角 A,B ,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a = 2, ������ = 2, sin ������ + cos ������ = 2, 则角������的大小为 .
解析:∵sin B+cos B= 2sin
π 4
+ ������ = 2,
第二章 解三角形
本章整合
文字语言:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 符号语言:
������ ������ ������ = = = 2������(������为△������������������外接圆的半径) sin������ sin������ sin������
������ = 2������sin������,������ = 2������sin������,������ = 2������sin������ sin������ =
π 4
2 2
∴sin
π 4
+ ������ = 1. ∵ 0 < ������ < π, ∴ ������ = .
������ sin ������ ������
由正弦定理,得 sin A=
北师大版高中数学必修五第二章解三角形课件
＝42521× 23＋1275×12＝17＋5102
7 .
专题二 三角形形状的判断问题 思维突破：判断三角形的形状问题，通常将角转化为 边，或将边转化为角，通过三角或代数变形运算，转化为 反映三角形类型特征的数量关系(如边的相等关系、勾股关 系、角的相等关系、角的三角函数值的大小等)，然后作出 判定，这样要特别注意不要随便约掉等式两边的共同因式， 这样很容易丢解．
4．应用解三角形知识解实际问题的步骤： (1)准确理解题意，分清已知和所求，尤其理解应用中 的有关名词和术语，如仰角、俯角、视角、方位角等； (2)根据题意，画出示意图，将已知条件在图形中标出； (3)将已知问题化归到一个或几个三角形中，并弄清该 三角形的已知量和未知量； (4)合理选用正、余弦定理并作答；
(2)DE的最值即是y＝f(x)的最值，常借助y＝f(x)的单调 性求解．
解析：(1)△ABC 的边长为 2a，D 在 AB 上，
则 a≤x≤2a，
∵S△ADE＝12S△ABC＝12·43·(2a)2
＝12x·AE·sin60°，
∴AE＝2xa2.
在△ADE 中，由余弦定理得
y2＝x2＋4xa24－2x·2xa2·cos60°， ∴y2＝x2＋4xa24－2a2.
由正弦定理求出角B；由A ＋B＋C＝180°，求出角C ；再利用正弦定理或余弦 定理求c. 可有两解，一解或 无解
2.三角形中解的个数的确定． 已知两边和其中一边的对角不能惟一确定三角形的形 状，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况， 这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解， 此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
分析：已知三角形两边及一边对角的余弦值，也就是知 道一边的对角，首先应考虑到用正弦定理．至于求 sin(2B＋6π)， 由公式可知只要知道 cosB 即可．
2018-2019学年北师大版必修五第二章解三角形章末小结与测评课件(41张)
高中同步新课标·数 学
[对点训练] π 1． 在△ABC 中， 若 b＝5， ∠B＝ ， tan A＝2， 则 sin A＝________； 4 a＝________.
sin A 解析：因为△ABC 中，tan A＝2，所以 A 是锐角，且 ＝ cos A 2 5 2，sin A＋cos A＝1，联立解得 sin A＝ ，再由正弦定理 5
[借题发挥]
1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合
三角形内角和定理及正弦定理解此三角形； 2．已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解 的情况是不确定的．如已知△ABC 的边长 a、b 和角 A， 根据正弦定理求角 B 时，可能出现一解、两解、无解的 情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、 不多解．
高中同步新课标·数 学
b2＋c2－a2 3 由余弦定理得，cos A＝ ＝ ，代入数据化简得， 2bc 4 b2－9b＋20＝0， ∴b＝4 或 b＝5. 若 b＝4，而在△ABC 中，a＝4，∴△ABC 为等腰三角形， 且 A＝B， 又 C＝2A， 且 A＋B＋C＝180°， ∴ A＝B＝45°， C＝90°，△ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得 c＝ 4 2，这与已求出的 c＝6 相矛盾，故要舍去．经检验 b＝5 满足题意．
①北偏东 α 即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向； ②北偏西 α 即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向； ③其他方向角类似． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角 θ 为 坡角 )坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比 (如图④， i 为坡比)．
高中同步新课标·数 学
[典例 1]
高中同步新课标·数 学
三、解三角形的实际应用举例 1． 实际应用题的本质就是解三角形， 无论是什么类型的题目， 都要首先抽象概括为解三角形模型，再通过正弦定理或余 弦定理进行求解． 2．注意常用的名词与术语 (1)仰角和俯角： 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰 角，在水平线下方的叫俯角(如图①)
[对点训练] π 1． 在△ABC 中， 若 b＝5， ∠B＝ ， tan A＝2， 则 sin A＝________； 4 a＝________.
sin A 解析：因为△ABC 中，tan A＝2，所以 A 是锐角，且 ＝ cos A 2 5 2，sin A＋cos A＝1，联立解得 sin A＝ ，再由正弦定理 5
[借题发挥]
1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合
三角形内角和定理及正弦定理解此三角形； 2．已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解 的情况是不确定的．如已知△ABC 的边长 a、b 和角 A， 根据正弦定理求角 B 时，可能出现一解、两解、无解的 情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、 不多解．
高中同步新课标·数 学
b2＋c2－a2 3 由余弦定理得，cos A＝ ＝ ，代入数据化简得， 2bc 4 b2－9b＋20＝0， ∴b＝4 或 b＝5. 若 b＝4，而在△ABC 中，a＝4，∴△ABC 为等腰三角形， 且 A＝B， 又 C＝2A， 且 A＋B＋C＝180°， ∴ A＝B＝45°， C＝90°，△ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得 c＝ 4 2，这与已求出的 c＝6 相矛盾，故要舍去．经检验 b＝5 满足题意．
①北偏东 α 即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向； ②北偏西 α 即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向； ③其他方向角类似． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角 θ 为 坡角 )坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比 (如图④， i 为坡比)．
高中同步新课标·数 学
[典例 1]
高中同步新课标·数 学
三、解三角形的实际应用举例 1． 实际应用题的本质就是解三角形， 无论是什么类型的题目， 都要首先抽象概括为解三角形模型，再通过正弦定理或余 弦定理进行求解． 2．注意常用的名词与术语 (1)仰角和俯角： 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰 角，在水平线下方的叫俯角(如图①)
2018-2019学年高中数学(北师大版)必修5课件：第二章 §1 1.2 余弦定理
[活学活用] 1．已知在△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求角 A
的大小．
解：∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)， 由余弦定理得，cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ 22， ∵0°<A<180°，∴A＝45°.
2．若△ABC的内角A，B，C满足6sin A＝4sin B＝3sin C， 求cos B的值． 解：由正弦定理及6sin A＝4sin B＝3sin C， 可知6a＝4b＝3c，令6a＝4b＝3c＝12k，k>0， 则a＝2k，b＝3k，c＝4k. 由余弦定理得cos B＝a2＋2ca2c－b2＝4k22＋×126kk×2－4k9k2＝1116.
cos
C＝
a2＋b2－c2 _____2_a_b_____
实现三角形边与角的互化
[点睛] 对余弦定理的理解 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”． (3)揭示规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一 个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的 一种数量关系．
2．在△ABC中，符合余弦定理的是
()
A．c2＝a2＋b2－2abcos C
B．c2＝a2－b2－2bccos A
C．b2＝a2－c2－2bccos A
D．cos C＝a2＋2ba2b＋c2 解析：选A 注意余弦定理形式，特别是正负号问题．
3．在△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，则c＝________. 解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝12＋12－2×1×1×－12＝3，∴c＝ 3. 答案： 3
[小试身手]
高中高中数学北师大版必修5课件第二章解三角形 2.2精选ppt课件
.
分析:先求出AB的长,再在Rt△ADB中求出AD的长.
解:在△ABC 中,由已知设 AB=7x,AC=8x,x>0.
由正弦定理,得 7������ = 8������ ,
sin ������ sin ������
∴sin
C=
7������sin ������ 8������
=
7 8
×
43 7
=
3.
§2 三角形中的几何计算
-1-
目标导航
Z知识梳 H理ISHISHULI
D典例透析 IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
1.能正确地选择正弦定理或余弦定理解决三角形中的计算问题. 2.体会正弦定理、余弦定理在平面几何的计算与推理中的工具 作用.
目标导航
Z知识梳 H理ISHISHULI
sin������
=cos 2A+2cos2A=4cos2A-1.
∵0≤cos2A≤1,∴-1≤4cos2A-1≤3.
∵
������ ������
>
0,
∴
0
<
������ ������
≤3.
错因分析:忽略了三角形内角和为 180°及角 A,B 的范围,
从而导致
������ ������
取值范围求解错误.
【做一做 1】 在△ABC 中,a= 2,A=45°,则△ABC 外接圆的半 径 R 等于( )
A.1 B.2
C.4 D.无法确定
解析:2R=
������ sin
������
=
2,
则R=1.
答案:A
目标导航
Z知识梳 H理ISHISHULI
2018-2019学年高中数学北师大版必修五课件：第二章 解三角形 第1节 1-1
a· sin C 2· sin 60° 2 (2)由正弦定理得 sin A＝ c ＝ ＝2. 6 ∵c＝ 6＞2＝a， ∴C＝60° ＞A. ∴A＝45° ，B＝180° －(A＋C)＝75° ， c· sin B 6· sin 75° ∴b＝ sin C ＝ sin 60° ＝ 3＋1.
ห้องสมุดไป่ตู้
1．已知两角与任一边解三角形，可先利用三角形内角和定理求第三个角， 再利用正弦定理求出两未知边． 2．已知△ABC 的两边 a，b 和角 A，判断三角形解的个数，有以下三种方 法： 法一：作图判断． 作出已知角 A，边长 b，以点 C 为圆心，以边长 a 为半径画弧，与射线 AB 的公共点(除去顶点 A)的个数即为三角形解的个数．
【解析】 sin C＝
4 (1)由 cos C＝5得，
4 3 2 1－5 ＝5，
1 3 12 所以 S△ABC＝2×2×4×5＝ 5 . 1 (2)由 cos C＝3得 sin C＝
1 2 2 2 1－ 3 ＝ 3 ，
1 1 2 2 S△ABC＝2absin C＝2×3 2×b× 3 ＝4 2， 所以 b＝2 2.
b a c (2)sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R ；
(3)a∶b∶c＝ s in A∶sin B∶sin C
作用
揭示了三角形边、角之间的数量关系
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，asin B＝bsin A 一定成立．( ) )
(2)在△ABC 中， 若 a＝2bcos C， 则这个三角形一定是等腰直角三角形． ( (3)在△ABC 中，a≥bsin A 一定成立．( )
法二：根据三角函数的性质来判断． bsin A bsin A bsin A 由正弦定理，得 sin B＝ a ，当 a >1 时，无解；当 a ＝1 时，有一 bsin A 解；当 a <1 时，如果 a≥b，即 A≥B，则 B 一定为锐角，有一解；如果 a<b， 即 A<B，有两解． 法三：应用三角形中“大边对大角”的性质及正弦函数的值域判断解的个 数．
高中数学北师大版必修五课件：第二章 解三角形 章末分层突破
巩 固 层
拓 展 层
章末分层突破
提 升 层 章 末 综 合 测 评
[自我校对] a ①sin A b ②sin B c ③sin C ④b2＋c2－2bccos A ⑤c2＋a2－2cacos B ⑥a2＋b2－2abcos C
_________________ _________________
法二：(利用余弦定理角化边) a2＋b2－c2· 2ac b 由余弦定理得 2 2 2 ＝c， a ＋c －b · 2ab 即 a2(b2－c2)＝(b2＋c2)(b2－c2)， 解得 a2＝b2＋c2 或 b2＝c2(即 b＝c)， ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
[再练一题] 3． 在△ABC 中， 若 b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos B· cos C， 试判断三角形的形状. 【导学号：67940046】
图 2－2
【解】
在△ACD 中，∠DAC＝30° ，
∠ADC＝60° －∠DAC＝30° ， ∴CD＝AC＝0.1 km. 又∠BCD＝180° －60° －60° ＝60° ， 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线． ∴BD＝BA. 又∠ABC＝75° －∠BCA＝ ， sin∠BCA sin∠ABC ACsin 60° 3 2＋ 6 即 AB＝ sin 15° ＝ 20 ， 3 2＋ 6 因此，BD＝AB＝ 20 ≈0.33 km. 故 BD 的距离约为 0.33 km.
∴AB＝7 3. OB OB 在 Rt△OBQ 中，OQ＝ ＝ . sin ∠OQB sin ∠OAB OB AB 又在△AOB 中， ＝ ， sin ∠OAB sin 60° AB ∴OQ＝sin 60° ＝14.
判断三角形的形状 判断三角形的形状，一般有以下两种途径：
拓 展 层
章末分层突破
提 升 层 章 末 综 合 测 评
[自我校对] a ①sin A b ②sin B c ③sin C ④b2＋c2－2bccos A ⑤c2＋a2－2cacos B ⑥a2＋b2－2abcos C
_________________ _________________
法二：(利用余弦定理角化边) a2＋b2－c2· 2ac b 由余弦定理得 2 2 2 ＝c， a ＋c －b · 2ab 即 a2(b2－c2)＝(b2＋c2)(b2－c2)， 解得 a2＝b2＋c2 或 b2＝c2(即 b＝c)， ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
[再练一题] 3． 在△ABC 中， 若 b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos B· cos C， 试判断三角形的形状. 【导学号：67940046】
图 2－2
【解】
在△ACD 中，∠DAC＝30° ，
∠ADC＝60° －∠DAC＝30° ， ∴CD＝AC＝0.1 km. 又∠BCD＝180° －60° －60° ＝60° ， 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线． ∴BD＝BA. 又∠ABC＝75° －∠BCA＝ ， sin∠BCA sin∠ABC ACsin 60° 3 2＋ 6 即 AB＝ sin 15° ＝ 20 ， 3 2＋ 6 因此，BD＝AB＝ 20 ≈0.33 km. 故 BD 的距离约为 0.33 km.
∴AB＝7 3. OB OB 在 Rt△OBQ 中，OQ＝ ＝ . sin ∠OQB sin ∠OAB OB AB 又在△AOB 中， ＝ ， sin ∠OAB sin 60° AB ∴OQ＝sin 60° ＝14.
判断三角形的形状 判断三角形的形状，一般有以下两种途径：
2018-2019学年高二数学北师大版必修5实用课件：第2章 三角形中的几何计算
[基础自测] 1．判断正误 (1)若△ABC的外接圆半径为R，其三边长为a，b，c，则△ABC的面积S＝ abc 4R .( ) ) )
(2)存在△ABC，使sin A＋sin B＜sin C．( (3)在△ABC中，cos C＝2sin
2A＋B
2 －1.(
[解析] (1)，(3)正确，(2)错误．因为a＋b＞c，由正弦定理可得sin A＋sin B＞sin C.
第二章
解三角形
§2 三角形中的几何计算
学习目标：1.进一步理解正、余弦定理中所蕴含的边角之间的关系．(易混 点)2.掌握通过正、余弦定理进行边角转化的方法，以及解决有关三角形中的几 何度量问题．(重点)3.深刻体会数形结合思想、方程思想以及转化与化归思想在 三角形度量问题中的应用．(难点)4.了解正弦定理与余弦定理在三角形中的重要 作用，法
(1)求线段的长度往往归结为求三角形的边长，解决此类问题要恰当地选择 或构造三角形，利用正、余弦定理求解； (2)求角度时，把所求的角看作某个三角形的内角，利用正、余弦定理求 解，或利用A＋B＋C＝π求解.
[跟踪训练] 1．如图222所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14， ∠BDA＝60° ，∠BCD＝135° ，求BC的长．
图222
[解] 在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－ 2AD· BD· cos∠ADB， 设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos 60° ， ∴x2－10x－96＝0， BC ∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16.在△BCD中，由正弦定理知 sin∠CDB BD ＝ ， sin∠BCD 16 ∴BC＝sin 135° · sin 30° ＝8 2.
图 221
高中高中数学北师大版必修5课件第二章解三角形 2.3.2精选ppt课件
反思设计方案测量有关长度或高度,方法一般不唯一.一般以简 便为原则,构建在同一个三角形中解决问题,对于较复杂的问题,也 可以考虑构建几个三角形.
目标导航
Z知识梳 H理ISHISHULI
D典例透析 IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如果要测量某个底部不能到达的铁塔的高度,在 只能使用简单测量工具的前提下,可以设计出哪些测量方案?并提 供出每种方案的计算公式.
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一
题型二
题型三
题型四
解:设甲船沿方位角45°+θ方向航行,需t h才能与乙船在B处相遇. ∵在△ABC中,由余弦定理,
得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,
即(20 3������)2 = 102 + (20������)2 − 2 × 10 × 20������cos120°,
分析:如图所示,若设甲、乙两船在 B 处相遇,所需时间为 t h,这样 由题设知,AC=10 n mile,AB=20 3������ n mile,BC=20t n mile,∠ ACB=45°+75°=120°,解△ABC 即可.
目标导航
Z知识梳 H理ISHISHULI
D典例透析 IANLITOUXI
sin (������-������)
在
Rt△PAO
中,PO=PAsin
α,则
PO=
������������sin ������sin ������.
sin (������-������)
题型一
题型二
∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°+70°=130°.
北师大版高中数学必修五第二章解三角形2.1.1正弦定理课件
-4-
1.1 正弦定理
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在△ABC中
������ ������ ������ , = = . sin������ sin������ sin������
2 1
(2)S△ABC= ������������sin ������ = ������������sin ������ = ������������sin ������.
2 2 2
1
1
1
【做一做2】 在△ABC中,若a=10,b=8,C=30°,则△ABC的面积 S= .
解析:S= ������������sin C= × 10 × 8 × sin 30°=20.
-7-
1.1 正弦定理
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做 1-2】 在锐角三角形 ABC 中,若 a=3,△ABC 的外接圆半 径为 3, 则������ = . ������ 解析: ∵ = 2������ , sin������ ������ 3 3 ∴sin A = = = .
2������
-6-
1.1 正弦定理
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做1-1】有下列有关正弦定理的叙述: ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于钝角三角形; ③在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的比是定值; ④在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c. 其中正确的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 解析:正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;由正弦定理 可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故 ③正确;由比例性质和正弦定理可推知④正确.故选B. 答案:B
高中数学北师大版必修5第2章《解三角形》ppt章末归纳总结课件
4．解读判断三角形形状的两种方法 判断三角形的形状，应围绕三角形的边、角关系进行思 考，此类题目一般采用以下两种方法求解： (1)利用正弦定理化边为角，通过三角运算判断三角形的形 状． (2)利用余弦定理化角为边，通过代数运算判断三角形的形 状． 注意：根据余弦定理判断三角形的形状时，当a2＋b2<c2， b2＋c2<a2，c2＋a2<b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角 三角形，而当a2＋b2>c2，b2＋c2>a2，c2＋a2>b2中有一个关系式 成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论．
[例 1] 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c， 且 A＝23π，a＝2bcosC，求：
(1)B 的值； (2)函数 f(x)＝sin2x＋cos(2x－B)在区间[0，π2]上的最大值及 对应的 x 值．
[分析] (1)由 a＝2bcosC 考虑利用正弦定理可得 sinA＝ 2sinBcosC，而 A＝π－(B＋C)，代入整理可求得 B.
[解析] (1)证明：∵A→B·A→C＝B→A·B→C， ∴bccosA＝accosB，即 bcosA＝acosB. 由正弦定理，得 sinBcosA＝sinAcosB， ∴sin(A－B)＝0. ∵－π<A－B<π， ∴A－B＝0，即 A＝B.
(2)解：∵A→B·A→C＝1，∴bccosA＝1. 由余弦定理，得 bc×b2＋2cb2c－a2＝1， 即 b2＋c2－a2＝2. ∵由(1)，得 a＝b，∴c2＝2，∴c＝ 2.
(3)解：∵|A→B＋A→C|＝ 6， ∴|A→B|2＋|A→C|2＋2A→B·A→C＝6， 即 c2＋b2＋2＝6，∴c2＋b2＝4. ∵c2＝2，∴b2＝2，b＝ 2. ∴△ABC 为正三角形．
2018学年高中数学北师大版必修五课件：第二章 解三角形 第1节 1-2 精品
(2)由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由正弦定理，得 sin A＝asibn B＝63×12＝1， 所以 A＝90°，C＝60°，当 a＝3 时，A＝30°，C＝120°.
【解析】 (1)cos A＝b2＋2cb2c－a2＜0，所以 A 为钝角，即△ABC 为钝角三角 形．
(2)cos A＝b2＋2cb2c－a2＞0，所以 A 为锐角，三角形的形状无法确定． (3)由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋62－2×4×6×－12，所以 c＝ 2 19.
阶
阶
段
段
一
三
1.2 余弦定理
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三 角形度量问题时的作用．(难点)
2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点)
教材整理 余弦定理
[基础·初探]
阅读教材 P49～P50 例 4 以上部分，完成下列问题.
∴A＝30°.
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
32
＝24＋3264＋264＋234＋122－48＝
2 2.
所以 C＝45°.
因为 A＋B＋C＝180°，
所以 B＝180°－45°－30°＝105°.
1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解， 在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．
余弦定理—
—
2018版高中数学北师大版必修五课件：第二章 解三角形
b2⇔C为 锐角 .
答案
知识点三 思考
正弦、余弦定理解决的问题
(2) 以下问题不能用余弦定理求解的是________.
(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的 边和角； (2)已知两角和一边，求其他角和边； (3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角； (4)已知一个三角形的三条边，解三角形.
所以sin Asin B＝sin C.
反思与感悟
解析答案
6 (2)若 b ＋c －a ＝5bc，求 tan B. 2 2 2 b ＋ c － a 6 3 2 2 2 解 由已知，b ＋c －a ＝5bc，根据余弦定理，有 cos A＝ 2bc ＝5.
2 2 2
4 所以 sin A＝ 1－cos A＝5.
2C 2
解
由题a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b，
a2＋b2－c2 b2＋c2－a2 即 a＋a· 2ab ＋c＋c· 2bc ＝3b，
∴2ab＋a2＋b2－c2＋2bc＋b2＋c2－a2＝6b2， 整理得ab＋bc＝2b2，同除b得a＋c＝2b， 故等式成立.
解析答案
易错点
忽略三角形中任意两边之和大于第三边 已知钝角三角形的三边BC＝a＝k，AC＝b＝k＋2，AB＝c＝k＋4，
在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则三角形一定是( B ) D.钝角三角形
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形
a2＋c2－b2 解析 由余弦定理 cos B＝ 2ac ，
2 2 a ＋ c －ac 1 代入得2＝ ， 2ac
∴a2＋c2－2ac＝0， 即(a－c)2＝0，∴a＝c. 又∵B＝60°，∴△ABC是等边三角形.
2018秋新版高中数学北师大版必修5：第二章解三角形 本章整合
43·2abcos C,
所以 tan C= 3.
因为
0<C<π,所以
C=
π.
3
(2)由(1)知 sin A+sin B=sin A+sin(π-C-A)
=sin A+sin 2π -������ = sin A+ 3 cos A+ 1 sin A
3π
2
2
= 3sin ������ + 6 ≤ 3.
当△ABC 为等边三角形时,等号成立.
所以 sin A+sin B 的最大值是 3.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 判断三角形的形状
1.判断三角形的形状常用的方法:(1)化边为角;(2)化角为边.要根
据条件,正确选择公式、定理.例如,在△ABC
中,已知
������ ������
=
cos cos
������ ������
,
判断三角形的形状, 可利用余弦定理将 cos ������ , cos ������转化为边的
������ + ������
������ + ������ + ������
sin������ = sin������ = sin������ = sin������ + sin������ = sin������ + sin������ + sin������
三角形面积公式:������
=
1 2 ������ℎ������
关系来解,
也可利用正弦定理将
������ ��������
来解.
2.常见的思考方向:(1)是否两边(或两角)相等;(2)是否三边(或三
高中数学北师大版必修5课件：第二章 解三角形 本章整合
a������������������B sin A= b 2 13 14
=
∵a<c,∴A 为锐角,可得 A=60° , ∴C=180° -(A+B)=75° . (2)由余弦定理得
2 3× 2 2 2
2
= 2.
3
c2=a2+b2-2abcos C=72+82-2× 7× 8× =9, 14 ∴c=3.∵b>a>c,∴在△ABC 中,B 最大,
c������������������A 3 3������������������30° 3
3 3
应用 2 (1)在△ABC 中,a=2 3,c= 6 + 2,B=45° ,求 b,A,C; (2)在△ABC 中,a=7,b=8,cos C= ,求 c 及最大角的余弦值. 解:(1)由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=12+8+4 3-4 3× ( 6 + 2)×2 =8,∴b=2 2. 由正弦定理得
(2)在△ABC 中,A+B+C=π,A+B=π-C,
应用 在△ABC 中,若 B=60° ,2b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:解法一:由正弦定理,得 2sin B=sin A+sin C. ∵B=60° ,∴A+C=120° . A=120° -C,代入上式,得 2sin 60° =sin(120° -C)+sin C, 整理得 sin C+ cos C=1. ∴sin(C+30° )=1,∴C+30° =90° , ∴C=60° ,故 A=60° .∴△ABC 为等边三角形. 解法二:由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B.
=
∵a<c,∴A 为锐角,可得 A=60° , ∴C=180° -(A+B)=75° . (2)由余弦定理得
2 3× 2 2 2
2
= 2.
3
c2=a2+b2-2abcos C=72+82-2× 7× 8× =9, 14 ∴c=3.∵b>a>c,∴在△ABC 中,B 最大,
c������������������A 3 3������������������30° 3
3 3
应用 2 (1)在△ABC 中,a=2 3,c= 6 + 2,B=45° ,求 b,A,C; (2)在△ABC 中,a=7,b=8,cos C= ,求 c 及最大角的余弦值. 解:(1)由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=12+8+4 3-4 3× ( 6 + 2)×2 =8,∴b=2 2. 由正弦定理得
(2)在△ABC 中,A+B+C=π,A+B=π-C,
应用 在△ABC 中,若 B=60° ,2b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:解法一:由正弦定理,得 2sin B=sin A+sin C. ∵B=60° ,∴A+C=120° . A=120° -C,代入上式,得 2sin 60° =sin(120° -C)+sin C, 整理得 sin C+ cos C=1. ∴sin(C+30° )=1,∴C+30° =90° , ∴C=60° ,故 A=60° .∴△ABC 为等边三角形. 解法二:由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B.
2018年高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.2 余弦定理 北师大版必修5
C.π6或56π
D．π3或23π
解析：选 A.因为 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝ 23aacc＝ 23，所以 B＝π6.
2．在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC 的形状是
() A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
解析：选 C.设在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，
3a，可得
c＝b＝
3 2 a.
所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝234×a2＋2334aa×2－2a32a＝13.
已知三角形的三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再 利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个 角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． (2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．
(2)由余弦定理的推论得： cos A＝AB22·＋AABC·2－ABCC2＝922＋×892×－872 ＝23， 设中线长为 x，由余弦定理知： x2＝A2C2＋AB2－2·A2C·ABcos A＝42＋92－2×4×9×23＝49， 则 x＝7. 所以，所求中线长为 7.
利用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC 中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A， 判断△ABC 的形状． 【解】 结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为 a－c·a2＋2ca2c－b2·b＝ b－c·b2＋2cb2c－a2·a， 整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， 所以 a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2， 故三角形为等腰三角形或直角三角形．
(2)由余弦定理， 得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以 49＝64－2bc1－12， 即 bc＝15，由bb＋ c＝c＝ 15，8， 解得bc＝＝53，或bc＝＝35.，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A＋C B 得 sin 2 ＝cos 2 . 又由 4sin
2A＋C
7 2 －cos 2B＝2，
2
7 得 4cos 2 －2cos B＋1＝2，
2B
即 4cos2B－4cos B＋1＝0， 1 ∴cos B＝2，∴B＝60° .
上一页 返回首页 下一页
(2)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B， 又 b＝ 3，a＋c＝3， ∴3＝(a＋c)2－2ac－2accos B， ∴ac＝2. a＋c＝3， 由ac＝2， a＞c， 解得 a＝2，c＝1.
上一页 返回首页 下一页
∵BD2＋BC2＝CD2， ∴∠CBD＝90° ， ∴∠ABD＝15° ， ∴∠BDA＝120° . BD· sin ∠BDA 3asin 120° 3 2 AB BD 在△ABD 中，由 ＝ ，得 AB＝ ＝ sin 45° ＝ 2 a. sin A sin ∠BDA sin A
巩 固 层
拓 展 层
章末分层突破
提 升 层 章 末 综 合 测 评
ห้องสมุดไป่ตู้
上一页
返回首页
下一页
[自我校对] a ①sin A b ②sin B c ③sin C ④b2＋c2－2bccos A ⑤c2＋a2－2cacos B ⑥a2＋b2－2abcos C
_________________ _________________
上一页
返回首页
下一页
∴AB＝7 3. OB OB 在 Rt△OBQ 中，OQ＝ ＝ . sin ∠OQB sin ∠OAB OB AB 又在△AOB 中， ＝ ， sin ∠OAB sin 60° AB ∴OQ＝sin 60° ＝14.
上一页
返回首页
下一页
判断三角形的形状 判断三角形的形状，一般有以下两种途径：
上一页 返回首页 下一页
bcos C 1＋cos 2C 在△ABC 中，若 ccos B ＝ ，试判断△ABC 的形状． 1＋cos 2B
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 4sin 7 ＝2. (1)求角 B 的度数； 【导学号：67940045】 (2)若 b＝ 3，a＋c＝3，且 a＞c，求 a，c 的值．
2A＋C
2 －cos 2B
上一页
返回首页
下一页
【解】
(1)在△ABC 中，由 A＋B＋C＝180° ，
上一页
返回首页
下一页
在四边形 ABCD 中，BC＝a，DC＝2a，且 A∶∠ABC∶C∶∠ADC ＝3∶7∶4∶10，求 AB 的长．
【精彩点拨】
由各角的比值及四边形内角和公式可求出各角的值，再根
据余弦定理求 BD，进而求出 AB.
上一页
返回首页
下一页
【规范解答】 连结 BD.
如图所示，
∵A＋∠ABC＋C＋∠ADC＝360° ， ∴A＝45° ，∠ABC＝105° ，C＝60° ，∠ADC＝150° ， 在△BCD 中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BC· CDcos C ＝a2＋4a2－2a· 2a· cos 60° ＝3a2， ∴BD＝ 3a.
(1)将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解； (2)将已知条件统一化成角的关系，用三角方法求解． 判断三角形的形状时，要注意以下两点： (1)在对等式变形时，要注意等式两端的公因式不要约掉，应移项提取公因 式，否则有可能会漏掉一种形状． (2)在△ABC 中，如果 sin A＝sin B，那么一定有 A＝B；如果 sin 2A＝sin 2B， π 那么 A＝B 或 A＋B＝2.
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 2．如图 21 所示，已知∠MON＝60° ，Q 是∠MON 内一点，它到两边的距 离分别为 2 和 11，求 OQ 的长．
图 21
上一页 返回首页 下一页
【解】
作 QA⊥OM 于 A，QB⊥ON 于 B，连结 AB，则 QA＝2，QB＝11，
且 O，A，Q，B 都在以 OQ 为直径的圆上． ∠AOB 和∠AQB 为同一弦 AB 所对的圆周角，且两角互补． ∵∠AOB＝60° ，∴∠AQB＝120° . 在△AQB 中，由余弦定理 得 AB2＝AQ2＋BQ2－2· AQ· BQ· cos∠AQB ＝22＋112－2×2×11×cos 120° ＝147，
上一页 返回首页 下一页
解三角形的一般方法
(1)已知两角和一边，如已知 A、B 和 c，由 A＋B＋C＝π 求 C，由正弦定理 求 a、b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知 a、b 和 C，应先用余弦定理求 c，再 应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A＋B＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知 a、b 和 A，应先用正弦定理求 B， 由 A＋B＋C＝π 求 C， 再由正弦定理或余弦定理求 c， 要注意解可能有多种情况． (4)已知三边 a、b、c，可应用余弦定理求 A、B、C.
上一页 返回首页 下一页
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，设 a，b，c c 1 满足条件 b ＋c －bc＝a 和b＝2＋ 3，求 A 和 tan B 的值．
2 2 2
【精彩点拨】 结合已知条件由余弦定理求 A，结合正弦定理及差角公式求 tan B.
上一页
返回首页
下一页
上一页
返回首页
下一页
三角形中的几何计算
解决三角形中的几何计算问题要注意把握三点：一是几何图形中几何性质 的挖掘，它往往是解题的切入点；二是根据条件或图形，找出已知、未知及求 解中需要的三角形，合理利用正、余弦定理和三角恒等变换公式；三是要有应 用方程思想解题的意识，同时还要有引入参数，突出主元，简化问题的解题意 识．
【规范解答】
b2＋c2－a2 1 由余弦定理 cos A＝ 2bc ＝2，因此 A＝60° .
在△ABC 中，C＝180° －A－B＝120° －B， sin120° －B 1 sin C c 由 已 知 条 件 ， 应 用 正 弦 定 理 2 ＋ 3 ＝ b ＝ sin B ＝ ＝ sin B sin 120° · cos B－cos 120° sin B sin B 3 1 1 ＝2tan B＋2，从而 tan B＝2.