重庆市大坪中学八年级数学上册 12.3 角平分线的性质教案1 (新版)新人教版
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的性质教案 (新版)新人教版
八年级数学上册12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质教案(新版)新人教版一. 教材分析《角的平分线的性质》是八年级数学上册12.3节的内容,本节课的主要内容是让学生掌握角的平分线的性质,并能够运用角的平分线解决一些简单的几何问题。
在教材中,已经给出了角的平分线的性质的定义和证明,学生在学习本节课之前,已经掌握了角的概念、角的大小比较、角的平分线定义等知识。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识,对于角的概念、角的大小比较等知识有一定的了解。
但是,对于角的平分线的性质,学生可能还没有听说过,因此,教师需要通过导入环节,激发学生的学习兴趣,引导学生主动探索角的平分线的性质。
三. 教学目标1.了解角的平分线的性质,并能够运用角的平分线解决一些简单的几何问题。
2.培养学生的观察能力、推理能力、动手能力。
3.激发学生的学习兴趣,培养学生的合作意识。
四. 教学重难点1.角的平分线的性质的证明。
2.运用角的平分线解决几何问题。
五. 教学方法1.引导探究法:教师引导学生通过观察、推理、动手操作等方法,探索角的平分线的性质。
2.案例分析法:教师通过给出一些具体的几何问题,让学生运用角的平分线进行解决。
3.小组合作法:教师学生进行小组合作,共同探讨角的平分线的性质,并解决一些几何问题。
六. 教学准备1.教学PPT:教师需要准备角的平分线的性质的教学PPT,包括角的平分线的性质的定义、证明、应用等内容。
2.几何图形:教师需要准备一些几何图形,用于引导学生观察、推理。
3.练习题:教师需要准备一些练习题,用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过提问方式引导学生回顾角的概念、角的大小比较等知识,然后引入角的平分线的概念,并提问:角的平分线有什么性质呢?2.呈现(15分钟)教师通过PPT呈现角的平分线的性质的定义和证明,让学生观察并理解角的平分线的性质。
3.操练(10分钟)教师给出一些几何图形,让学生运用角的平分线的性质进行判断和解决。
人教版数学八年级上册教学设计12.3《角的平分线的性质》
人教版数学八年级上册教学设计12.3《角的平分线的性质》一. 教材分析《角的平分线的性质》是人教版数学八年级上册的教学内容。
本节课主要让学生掌握角的平分线的性质,即角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
这一性质是几何中的基本概念,对于学生理解和掌握几何知识体系具有重要意义。
教材通过引入角的平分线,引导学生探究角的平分线的性质,从而培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了角的概念、线段的概念以及一些基本的几何性质。
但是,对于角的平分线的性质,学生可能较为陌生。
因此,在教学过程中,教师需要从学生的实际出发,通过引导、探究、实践等方式,帮助学生理解和掌握角的平分线的性质。
三. 教学目标1.知识与技能:使学生理解和掌握角的平分线的性质,能够运用角的平分线的性质解决一些简单的问题。
2.过程与方法:通过观察、操作、探究等方法,培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观:激发学生学习几何的兴趣,培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点:角的平分线的性质。
2.难点:如何运用角的平分线的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法:教师通过提问、设疑等方式,引导学生思考和探究角的平分线的性质。
2.实践操作法:学生通过实际操作,观察和总结角的平分线的性质。
3.合作交流法:学生分组讨论,共同解决问题,培养团队合作意识。
六. 教学准备1.教师准备:教材、PPT、几何模型等教学资源。
2.学生准备:笔记本、尺子、圆规等学习工具。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过一个实际问题引入本的课题,如:“在平面上有两个点A和B,如何找到一点C,使得AC=BC?”引导学生思考和探讨。
2.呈现(10分钟)教师通过PPT展示角的平分线的性质,引导学生观察和总结。
同时,教师可以通过实际操作,让学生直观地感受角的平分线的性质。
3.操练(10分钟)学生分组讨论,运用角的平分线的性质解决实际问题。
八年级数学上册12.3角平分线的性质教案1(新版)新人教版
角平分线的性质1. 教学目标1.1 知识与技能:[1]会用尺规作图画定角的角平分线,并能用全等三角形的判定解释其原理。
[2]掌握角平分线的性质,会运用性质解决相关问题,并能证明这一命题。
[3]掌握角平分线的判定定理,理解角平分线的判定定理和性质定理的关系。
1.2过程与方法:[1]在学习角平分线判定和性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力。
[2]通过证明角分线的性质定理和判定定理,让学生体验和掌握证明几何命题的方法。
1.3 情感态度与价值观:[1]在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,激发同学学探究问题的兴趣,培养动手操作的能力和探索精神。
2. 教学重点/难点2.1 教学重点[1]角的平分线的性质及判定定理。
[2]尺规画定角平分线。
2.2 教学难点[1]自主证明两个定理(学生在清楚拿出已知和求证上存在困难)。
[2]性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点.。
3. 教学用具4. 标签教学过程1 引入新课【师】同学们好。
这节课开始,我们先来看这样一个问题。
现在我手里有一张用纸做的角,怎样不利用其他工具把它平分?【生】对折一下把两边重合就可以了。
【师】同学们真聪明,那如果我现在打开,这条折痕和这个角有什么关系呢?【生】这条线是这个角的角平分线。
【师】那如果我们手里的这个角是用钢板做的,不能对折,这下该怎么平分呢?这就是我们今天要学习的内容【板书】第十二章全等三角形12.3 角的平分线的性质2 新知介绍[1] 尺规作图:画一个角的平分线【师】在探究怎样画角分线之前,我们先来这样一个例子,请大家看投影(投影给出教材上刚开始的“思考”)。
如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,则AC所在直线就是这个角的平分线。
你能说明这是为什么吗?【生】(思考,交流,引导学生自主给出答案,因为难度不大,只是证明三角形SSS全等)【师】通过刚才的启发,给我们提供了一个仅用尺规作图,就能画出角分线的思路?现在请大家拿出尺规,跟我一起画。
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质学案(新版)新人教版
12.3角的平分线的性质自学案(一)学习目标1.会用尺规作一个角的平分线,知道作法的合理性;2.探索并证明角的平分线的性质;3.能用角的平分线的性质解决简单问题。
(二)学习重点探索并证明角的平分线的性质。
(三)学习难点能用角的平分线的性质解决简单问题。
(四)课前预习1.点P 是∠BAC 内一点,PE ⊥AB 于点E ,PF ⊥AC 于点F ,由PE=PF ,PA=PA 得到△PEA ≌△PFA 的理由是( )A.HLB.ASAC.AASD.SAS2.如图,两条笔直的公路l 1,l 2相交于点O,村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B,D,已AB=BC=CD=DA=5千米,村庄C 到公路l 1的距离为4千米,则村庄C 到公路l 2的距离是( )A.3千米B.4千米C.5千米D.6千米3.如图,OP 平分AOB ∠,OA PA ⊥,OB PB ⊥,垂足分别为A,B 。
下列结论中不一定成立的是( )。
A.PA=PBB.PO 平分APB ∠C.OA=OBD.AB 垂直平分OP4.如图所示,AB ∥CD ,O 为∠BAC 、∠ACD 的平分线的交点,OE ⊥AC 于E ,且OE =5,则AB 与CD 间的距离等于____.5.如图,现有一块三角形的空地,其三条边长分别是20m,30m,40m.现要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分,分别种植不同种类的花,请你设计一种方案,并简单说明理由.(五)疑惑摘要预习之后,你还有哪些没有弄清的问题,请记下来,课堂上我们共同探讨。
探究案典型例题例1、如图,BC、AD分别垂直OA、OB,BC和AD相交于E,且OE平分∠AOB. 求证:EA=EB.例2、如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:CF=EB.训练案课后作业一、选择题1.如图,∠1=∠2,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,则下列结论错误的是( )A.PD=PEB.OD=OEC.PD=ODD.∠OPD=∠OPE2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D.若CD=3cm,则点D到AB的距离DE是( )A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm3.尺规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等4.如图,点D,P,E分别在OA,OC,OB上,且PD=PE,以下不能得出OC平分∠AOB的是( )A.OD=OEB.∠DPO=∠EPOC.∠ODP=∠OEPD.PD⊥OA,PE⊥OB二、填空题5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=10,AD平分∠BAC交BC于点D, 且BD∶CD=3∶2,则点D到线段AB的距离为.6.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是.7.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP= .8.如图,DB⊥AB,DC⊥AC,BD=DC,∠BAC=80°,则∠ADC的度数是.三、解答题9.如图,D是△ABC外角∠ACE的平分线上的一点,DF⊥AC于F,DE⊥BC交BC的延长线于E,求证:CF=CE.10.如图,∠1=∠2,AE⊥OB于E,BD⊥OA于D,AE与BD相交于点C.求证:AC=BC.11.已知:如图,BE=CF,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE交于点D,求证:AD平分∠BAC.四、拓展提高如图,四边形ABDC中,∠D=∠B=90゜,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.(1)求证:OC平分∠ACD;(2)求证:OA⊥OC;(3)求证:AB+CD=AC.。
八年级数学上册 12.3 角平分线的性质教案1 (新版)新人教版 (2)
课题:
学习水平
课
堂
教
学
目
标
教学要点
(知识、能力、思想、情感)
识
记
理
解
应用
评价
掌握
熟练掌握
知识性
思想性
1、应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理.
2.会用尺规作一个已知角的平分线.
√
√
√
√
教学重点
利用尺规作已知角的平分线.
教学难点
角的平分线的作图方法的提炼
教法
启发
学法
探究
教学准备
求证:∠MOC=∠NOC.
通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC,即可证明∠MOC=∠NOC,所以射线OC就 是∠AOB的平分线.
受这个题的启示,我们能不能这样做:
在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON,再分别过M、N作MC⊥OA,NC⊥OB,MC与NC交于C点,连接OC,那么OC就是∠AOB的平分线了.
思考:这个方案可行吗?
2 、议一议:下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
要说明AC是∠DAC的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB.
∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中,那么证明这两个三角形全等.它不是线段,也不是直线,所以第二步中的两个限制缺一不可.
(4).这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.
5、练一练:
任意画一角∠AOB,作它的平分线.
6、探索活动
按以下步骤折纸
1.在准备好的三角形的每个顶点上标好字母;A、B、C。把角A对折,使得这个角的两边重合。2、在折痕(即平分线)上任意找一点C,
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的性质教学设计 (新版)新人教版
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质教学设计(新版)新人教版一. 教材分析《新人教版八年级数学上册》第12.3节讲述了角的平分线的性质。
这部分内容是在学生已经掌握了角的概念、角的计算、线段的性质等基础知识的基础上进行讲解的。
角的平分线的性质是数学中的重要概念,对于学生理解和应用角的概念有重要意义。
本节课的内容包括角的平分线的定义、角的平分线的性质及其应用。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础,对于角的概念和线段的性质有一定的了解。
但是,对于角的平分线的性质及其应用可能还存在一定的困难。
因此,在教学过程中,需要注重引导学生通过观察、思考、探究来理解角的平分线的性质,并能够运用角的平分线解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能:使学生理解角的平分线的性质,能够运用角的平分线解决实际问题。
2.过程与方法:通过观察、思考、探究,培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观:激发学生对数学的兴趣,培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。
四. 教学重难点1.重点:角的平分线的性质。
2.难点:角的平分线的性质的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法、讲解法等教学方法。
通过问题引导学生思考,合作探究来理解角的平分线的性质,讲解法来讲解角的平分线的性质及其应用。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料,如PPT、黑板、粉笔等。
2.准备一些实际问题,用于引导学生运用角的平分线解决实际问题。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过复习角的概念、角的计算、线段的性质等基础知识,引导学生进入新的学习内容。
2.呈现(10分钟)讲解角的平分线的定义,角的平分线的性质。
通过PPT展示角的平分线的性质的图示和解释,让学生直观地理解角的平分线的性质。
3.操练(10分钟)讲解角的平分线的性质的应用。
通过一些实际问题,引导学生运用角的平分线解决实际问题。
让学生在解决问题的过程中,加深对角的平分线的性质的理解。
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质 第2课时 角的平分线的判定教学设计 (新版)新人教版
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质第2课时角的平分线的判定教学设计(新版)新人教版一. 教材分析《角的平分线的性质》是人教版八年级数学上册第12.3节的内容,这部分内容是学生在学习了角的概念、角的运算、垂线的性质等知识的基础上进行学习的。
角的平分线是数学中的一个重要概念,它在几何学习中有着广泛的应用。
本节内容主要介绍了角的平分线的性质,包括角的平分线上的点到角的两边的距离相等,角的平分线垂直于角的对边等。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何基础知识,对角的概念、角的运算、垂线的性质等有一定的了解。
但是,学生对角的平分线的性质的理解可能还不够深入,需要通过实例来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解角的平分线的性质,能够运用角的平分线解决一些几何问题。
2.培养学生的逻辑思维能力,提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.角的平分线的性质的理解和运用。
2.角的平分线与垂线的性质的联系和区别。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等教学方法,引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式来学习和理解角的平分线的性质。
六. 教学准备1.准备相关的几何图形和实例。
2.准备多媒体教学设备,如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过提问的方式引导学生回顾角的概念、角的运算、垂线的性质等知识,为新课的学习做好铺垫。
2.呈现(10分钟)利用多媒体展示角的平分线的定义和性质,引导学生观察和思考,通过实例来帮助学生理解和掌握角的平分线的性质。
3.操练(10分钟)学生分组进行练习,教师给出一些有关角的平分线的问题,学生通过合作解决问题,巩固对角的平分线的性质的理解和运用。
4.巩固(10分钟)教师给出一些有关角的平分线的问题,学生独立解答,教师进行讲解和指导,帮助学生巩固对角的平分线的性质的理解和运用。
5.拓展(10分钟)教师给出一些有关角的平分线和垂线的性质的问题,学生进行思考和讨论,通过实例来理解角的平分线和垂线的性质的联系和区别。
人教版-数学-八年级上册-12.3 角的平分线的性质(1) 教案
12.3 角的平分线的性质一、教学目标(一)核心素养(二)学习目标会用尺规作一个角的平分线,知道作法的合理性;探索并证明角平分线的性质;能用角的平分线的性质解决简单问题.(三)学习重点角的平分线的性质的证明及应用.(四)学习难点角的平分线的性质的探究.二、教学设计(一)课前设计预习任务用尺规作图作一个角的平分线的方法,其依据是SSS .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.预习检测一、填空题1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线,若BC=8cm,BD=5cm,则点D到AB的距离为.答案:3cm解析:根据题意画出图形,过点D作DE⊥AB,交AB于点E,D点到AB的距离即为DE 的长.∵∠BCA=90°∴AC⊥BC∵AC⊥BC,DE⊥AB,AD平分∠CAB∴CD=DE∵BC=8cm,BD=5cm,CD=DE,BC=CD+BD∴DE=3cm即D点到直线AB的距离是3cm.点拨:根据角平分线的性质添加辅助线作答2.∠AOB的平分线上一点P,P到OA的距离为2.5cm,则P到OB的距离为cm.答案:2.5解析:∵P是∠AOB平分线上一点,点P到OA的距离是2.5cm,∴P到OB的距离等于点P到OA的距离,为2.5cm.因此,本题正确答案是:2.5.点拨:根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.二、选择题3.如图,∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,下列结论错误的是()A.PD=PEB.OD=OEC.∠DPO=∠EPOD.PD=OD答案:D解析:A项;由角分线性质,正确B项;由角分线性质知PD=PE,由HL知Rt△OEP≌△ODP,则两三角形全等知OD=OE,正确.C项;同B项,由两三角形全等知∠DPO=∠EPOD项;错误点拨:由题设可知OP为∠AOB的角平分线,PE为P到OB的距离,PD为P到OA的距离,再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论.(二)课堂设计1.知识回顾(1)三角形的判断方法有哪些?SSS,SAS,AAS,ASA,HL(2)三角形中有哪些重要线段?三角形中有三条重要线段,它们分别是:三角形的高,三角形的中线,三角形的角的平分线.(3)从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离.2.问题探究探究一角的平分线的作法●活动①请同学们拿出准备好的角,用你自己的方法画出它的角平分线,然后与大家交流分享.【设计意图】通过学生动手实践,寻找作已知角的平分线的方法,目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.12BD●活动②如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD ,BC=DC.将点A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,画一条射线AE ,AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明它的道理吗?让同学们把推理过程写在课堂作业本上,老师巡查学生完成情况,对个别学生进行引导,最后教师把有典型错误的解答过程展示出来,让同学们去纠正错误.【设计意图】为如何用尺规作图作已知角的平分线作铺垫.●活动③老师提出问题:通过上述探究,能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.自己动手做做看.然后与同伴交流操作心得.(分小组完成这项活动,教师可参与到学生活动中,及时发现问题,给予启发和指导,使讲评更具有针对性)讨论结果展示:已知:∠MAN求作:∠MAN 的角平分线.作法:(1)以A 为圆心,适当长为半径画弧,交AM 于B ,交AN 于D.(2)分别以 B.D 为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧在∠MAN 的内部交于点C.(3)画射线AC.∴射线AC 即为所求.分组讨论: 1.在上面作法的第二步中,去掉“大于12BD的长”B这个条件行吗?2.第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗?学生讨论结果总结:1.去掉“大于12BD的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线.2.若分别以B.D为圆心,大于12BD的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠MAN的内部,也可能在∠MAN的外部,而我们要找的是∠MAN内部的交点,否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了.3.角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,所以第二步中的两个限制缺一不可.4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.练一练:任意画一角∠AOB,作它的平分线.【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解,培养数学严密性的良好学习习惯探究二角的平分线的性质●活动①如图,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕,三条折痕分别表示什么?你能得出什么结论?学生回答后师生归纳:OC表示∠AOB的角平分线,PD和PE分别表示P到OA和OB的距离,P到角两边的距离相等(PD=PE)【设计意图】让学生感知角平分线的性质.●活动②学生活动:作已知∠AOB的平分线,过平分线上一点P,作两边的垂线段.投影出下面两个图形,让学生评一评.结论:同学乙的画法是正确的.同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线,而不是过角平分线上一点作两边的垂线段,所以他的画法不符合要求.问题1:如何用文字语言叙述所画图形的性质?师生共同归纳:角平分线上的点到角的两边的距离相等.问题2:能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话?已知事项:OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,D.E为垂足.由已知事项推出的事项:PD=PE.【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.●活动③以上结论成立吗?让同学们独立进行证明,然后展示学生的证明过程:证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB (已知)∴∠PDO = ∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO = ∠PEO(已证)∠AOC = ∠BOC (已知)OP=OP (公共边)∴△PDO ≌△PEO(AAS)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)于是我们得角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.符号语言:∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D.E.(已知)∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程,培养学生严谨的推理能力.探究三用角的平分线的性质解决简单问题●活动①应用角平分线的性质,就可以省去证明三角形全等的步骤,使问题简单化.所以若遇到有关角平分线,又要证线段相等的问题,我们可以直接利用性质解决问题.例1(1) 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形( )中PD=PE.A B C D【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】利用角平分线的性质时,非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD=OE,就能得出PD=PE;选项B和C中PD不是到OA的距离;选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.【答案】D(2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D.E,则图中PD=PE吗?【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线,由此PD与PE不相等.【解答过程】PD与PE不相等,因为OC不是∠AOB的平分线.(3)如图,△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,CD=2cm,则点D到AB的距离为cm.【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作AB的垂线段DE,垂足为E,由BD平分∠ABC,可得DC=DE=2.【解答过程】解:过D作AB的垂线段DE,垂足为E,∵BD平分∠ABC,CD⊥BC,DE⊥AB,∴DC=DE∵CD=2cm,∴DE=2cm,即点D到AB的距离为2cm【答案】2练习:如图,△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB,垂足为点E,AC=7cm,则AD+DE= cm.EDCBA【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】由BD平分∠ABC,可得DC=DE,AD+DE=AD+DC=AC.【解答过程】解:∵BD平分∠ABC,CD⊥BC,DE⊥AB,∴DC=DE∴AD+DE=AD+DC=AC.∵AC=7cm,∴AD+DE=7cm.【答案】7【设计意图】通过练习,理解角平分线的性质.●活动②例2如图所示,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处500m,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:20 000)?【知识点】角平分线的性质【思路点拨】1.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上,并且要求离角的顶点500米处.2.在纸上画图时,我们经常以厘米为单位,而题中距离又是以米为单位,这就涉及一个单位换算问题了.1 m=100 cm,所以比例尺为1:20 000,其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思.作图如下:【答案】第一步:尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.第二步:在射线OP上截取OC=2.5 cm,确定C点,C点就是集贸市场所建地了.练习:在S区有一个贸易市场P,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P点建两条路,一条到公路,一条到铁路,怎样修才能使路最短?它们有怎样的数量关系呢?【知识点】角平分线的性质【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段,这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段,它们的数量关系为相等.●活动3例3如图,△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,F在BC上,AD=DF 求证:CF=EA【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质S公路铁路P初中-数学-打印版【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等【解答过程】证明:∵∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,∴DC=DE又∵AD=DF∴△DCF≌△DEA(HL)∴CF=EA练习:如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC,求证:OB=OC.【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE,证明△BOD ≌△COE可得OB=OC 【答案】证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,AO平分∠BAC,∴OD=OE,∠BDO=∠CEO=90°.∵∠BOD=∠COE,∴△BOD ≌△COE.∴OB=OC.3. 课堂总结知识梳理(以课堂内容为根据,结合教学目标的几点要求,对涉及到的知识细致梳理)(1)会用尺规作一个角的平分线,知道作法的理论依据;(2)探索并证明角平分线的性质;(3)能用角的平分线的性质解决简单问题.重难点归纳(本节课的中心知识点在此进行回顾,对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨)(1)角的平分线的性质的探究.(2)角的平分线的性质的证明及应用.(3)证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.初中-数学-打印版。
初中数学八年级上册12.3《角的平分线的性质》教学设计
BPOAC ED五、教学设计教师活动 预设学生活动设计意图 带领学生复习角平分线的定义和点到直线的距离的定义。
回忆、回答、纠错疏导已学过的知识,让学生能更顺利的在后面的探究学习中应用。
引导学生进行折纸发现活动及合理猜想将∠ AOB 对折, 将角打开,在折痕上取一点P,过 P 点作角两边的垂线,垂足分别记做D,E,测量PD,PE 并作比较,你能得出什么结论?你能猜想到角平分线有什么样的性质吗?合理猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
让每个学生都动手,体验探究数学问题的过程与方法,激发学生学习数学的兴趣和热情。
老师在巡视的过程中观察学生们的实验进度,并让学生讨论角平分线有什么样的性质.适时引导学生解决学生活动的三个问题并规范数学符号语言表达。
证明猜想步骤:① 明确命题中的题设和结论; 题设:一个点在一个角的平分线上. 结论:这个点到这个角两边的距离相等.②根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;已知:如图,∠AOC=∠BOC ,点通过对性质的证明,规范学生写几何证明题的步骤和语言,同时还让学生从证明的过程中获得成就感,激发学生学习数学的兴趣。
例题讲解(学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决,结果相当于对定理的重复证明。
通过例题讲解,引导学生学会运用角平分线的巩固应用(尝试运用角平分线的性质定理解决有关线段相等的问题)课时小结(再次理解,加强记忆)B P OA CEDP 在OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D 、E.求证: PD=PE.③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.提出问题 思考:角平分线的性质的应用必须具备哪些条件?合作交流,明确角平分线的性质定理必须具备的三个条件: (1)有角的平分线;(2)点必须在角平分线上;(3)必须有两个垂直距离。
三者缺一不可。
让学生明确角平分线的性质定理必须具备的条件,同时帮助学生强化理解定理的内容。
人教版八年级数学上册12.3.1《角的平分线的性质(1)》教学设计
人教版八年级数学上册12.3.1《角的平分线的性质(1)》教学设计一. 教材分析《角的平分线的性质(1)》是人教版八年级数学上册第12.3节的一部分,主要介绍了角平分线的性质。
本节内容是在学生已经掌握了角的概念、角的计算等基础知识的基础上进行学习的,为学生以后学习三角函数、解析几何等高级数学知识奠定了基础。
本节课的主要内容有:角平分线的定义、角平分线上的点到角的两边的距离相等、角平分线垂直于角的对边。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力,对角的概念和计算有一定的了解。
但是,对于角平分线的性质的理解和应用还需要加强。
因此,在教学过程中,要注重引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动,自主探索角平分线的性质,提高他们的数学素养。
三. 教学目标1.知识与技能:使学生掌握角平分线的定义,理解角平分线上的点到角的两边的距离相等,角平分线垂直于角的对边的性质,能运用这些性质解决一些简单的问题。
2.过程与方法:通过观察、操作、交流等活动,培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养他们勇于探索、积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点:角平分线的性质。
2.难点:角平分线上的点到角的两边的距离相等,角平分线垂直于角的对边的证明和理解。
五. 教学方法1.引导发现法:教师引导学生通过观察、操作、交流等活动,自主探索角平分线的性质。
2.讲解法:教师对角平分线的性质进行讲解,帮助学生理解和掌握。
3.练习法:学生通过做练习题,巩固所学知识。
六. 教学准备1.教具:三角板、直尺、圆规、多媒体设备。
2.学具:学生每人准备一份学习资料,包括三角板、直尺、圆规。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过提问方式引导学生回顾角的概念、角的计算等基础知识,为新课的学习做好铺垫。
2.呈现(10分钟)教师利用多媒体展示角平分线的定义,引导学生观察、思考,理解角平分线的性质。
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质教案 (新版)新人教版(1)
12.3 角的平分线的性质教学目标知识与技能1.能够利用三角形全等,证明角平分线的性质和判定.2.会用尺规作已知角的平分线.3.能利用角平分线性质进行简单的推理,解决一些实际问题.过程与方法经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.情感态度价值观在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,逐步培养学生的理性精神教学重点角平分线画法、性质和判定.教学难点角的平分线的性质的探究教学准备平分角的仪器(自制)三角尺、多媒体课件等.教学过程(师生活动)设计理念创设情境,导入新课1.在纸上任意画一个角,用剪刀剪下,用折纸的方法,如何确定角的平分线?2. 有一个简易平分角的仪器(如图),其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点,AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线,为什么?复习旧知识,回忆角的平分线的定义让学生体验利用证明三角形全等的方法来对画法做出说明.要求学生能说明所作的射线是角平分线的理由.探索新知,建立模型探究1.(1)从上面对平分角的仪器的探究中,可以得出作已知角的平分线的方法。
已知什么?求作什么?【已知:∠AOB求作:∠AOB的平分线】(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?【以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N.】从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画 【分别以点M ,N 为圆心,大于二分之一MN 长为半径画弧,两弧在角的内部交于点C. (4)OC 与简易平分角的仪器中,AE 是同一条射线吗? 【是】 (5)你能说明OC 是∠AOB 的平分线吗? 【提示:利用全等的性质】 探究2. (1)在已画好的角的平分线OC 上任意找一点P,过P 点分别作OA 、OB 的垂线交OA 、O 于M 、N, PM 、PN 的长度是∠AOB 的平分线上一点到∠AOB 两边的距离。
八年级数学上册 12.3 角平分线的性质(1)教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级上册
角的平分线的性质
题讲解,巩固提升( )
⑶∵ AD平分∠BAC,
DC⊥AC,DB⊥AB (已知)
∴BD = CD,(在角的平分线上的点到这
个角的两边的距离相等. )
( )
A
B
C
D
C
E
F
图(7)
2.如上图(7),DE⊥AB,DF⊥BC,垂足
分别是E,F, DE =DF,∠EDB= 60°,则∠
EBF= 度,BE= 。
3 如右图(8),在△ABC中,∠C=90°,
DE⊥AB,∠1=∠2,且AC=6cm,那么线段BE
是△ABC的,AE+DE= 。
4.例1、如下图(9)在△OAB中,OE是
它的角平分线,且EA=EB,EC、ED分别垂直
OA,OB,垂足为C,D.
求证:AC=BD.
A
D
C
B
图(5)
A
D
C
B
图(6)
2.独立思考,抢答.
3.独立思考,抢答.
第1题图 第2题图
3.已知(如下图)BD ⊥AM 于点D ,CE ⊥AN 于点E ,BD 、CE 交点F ,CF=BF ,求证:点F 在∠A 的平分线上.
第3题图 第4题图
4.在△ABC 中, ∠C=90 °,AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,BC =7, DE =3.求BD 的长。
教 学 反 思
E
D
C
B
A。
八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质教案 (新版)新人教版
12.3 角的平分线的性质(1)教学内容本节课首先介绍作一个角的平分线的方法,然后用三角形全等证明角平分线的性质定理.教学目标1.知识与技能通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.2.过程与方法经历探究角的平分线的性质的过程,领会其应用方法.3.情感、态度与价值观激发学生的几何思维,启迪他们的灵感,使学生体会到几何的真正魅力.重点难点1.重点:领会角的平分线的两个互逆定理.2.难点:两个互逆定理的实际应用.教具准备投影仪、制作如课本图11.3─1的教具.教学方法采用“问题解决”的教学方法,让学生在实践探究中领会定理.教学过程一、创设情境,导入新课【问题探究】(投影显示)如课本图11.3─1,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?【教师活动】首先将“问题提出”,然后运用教具(如课本图11.3─1•)直观地进行讲述,提出探究的问题.【学生活动】小组讨论后得出:根据三角形全等条件“边边边”课本图11.3─1判定法,可以说明这个仪器的制作原理.【教师活动】请同学们和老师一起完成下面的作图问题.操作观察:已知:∠AOB.求法:∠AOB的平分线.作法:(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.(2)分别以M、N为圆心,大于12MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.(3)作射线OC,射线OC•即为所求(课本图11.3─2).【学生活动】动手制图(尺规),边画图边领会,认识角平分线的定义;同时在实践操作中感知.【媒体使用】投影显示学生的“画图”.【教学形式】小组合作交流.二、随堂练习,巩固深化课本P19练习.【学生活动】动手画图,从中得到:直线CD与直线AB是互相垂直的.【探研时空】(投影显示)如课本图,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?【教师活动】操作投影仪,提出问题,提问学生.【学生活动】实践感知,互动交流,得出结论,“从实践中可以看出,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.”论证如下:已知:OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E(课本图11.3─4)求证:PD=PE.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中,,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDO ≌△PEO (AAS )∴PD=PE【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等.【教学形式】师生互动,生生互动,合作交流.三、情境合一,优化思维【问题思索】(投影显示)如课本图11.3─5,要在S 区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,•离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:20 000)?【学生活动】四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知:角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:到角的两边的距离相等的点也在角的平分线. 证明如下:已知:PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别是D 、E ,PD=PE .求证:点P 在∠AOB 的平分线上.证明:经过点P 作射线OC .∵PD ⊥OA ,PE ⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中,,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩∴Rt △PDO ≌Rt △P EO (HL ) ∴∠AOC=∠BOC ,∴OC 是∠AOB 的平分线.【教师活动】启发、引导学生;组织小组之间的交流、讨论;帮助“学困生”.【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.【教学形式】自主、合作、交流,在教师的引导下,比较上述两个结论,弄清其条件和结论,加深认识.四、范例点击,应用所学【例】如课本图11.3─6,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:点P•到三边AB,BC,CA的距离相等.【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们.所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.【教师活动】操作投影仪,显示例子,分析例子,引导学生参与.证明:过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、B C、CA,垂足为D、E、F.∴BM是△ABC的角平分线,点P在BM上.∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P到边AB、BC、CA的距离相等.【评析】在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程.【学生活动】参与教师分析,主动探究学习.五、随堂练习,巩固深化课本P50练习1、2.六、课堂总结,发展潜能1.学生自行小结角平分线性质及其逆定理,和它们的区别.2.说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题,•说明这一点是三角形的内切圆的圆心(为以后学习设伏).七、布置作业,专题突破课本P51习题12.3第1、2、3题.板书设计把黑板分成三部分,左边部分板书概念、定理等,中间部分板书探究,右边部分板书例题,重复使用时,中间部分和右边部分板书练习题.。
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7、角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.
下面用我们学过的知识证明发现:
如图, 已知AO平分∠BAC,OE⊥AB,OD⊥AC。
求证:OE=OD。
1、学生思考、讨论后,统一 思想,认为可行。
思考:这个方案可行吗?
2 、议一议:下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
要说明AC是∠DAC的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB.
∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中,那么证明这两个三角形全等就可以了.
教学过程及时间
教学内容及措施
教师活动
学生活动
Ⅳ.课时小结
本节 课中我们利用已学过的三角形全等的知识,探究得到了角平分线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规画法,并进一步探究到角平分线的性质.
师生共同总结
作业
A层次
1.已知:如图,AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.求证:△ABE≌△ACF.
求证:∠MOC=∠NOC.
通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC,即可证明∠MOC=∠NOC,所以射线OC就 是∠AOB的平分线.
受这个题的启示,我们能不能这样做:
在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON,再分别过M、N作MC⊥OA,NC⊥OB,MC与NC交于C点,连接OC,那么OC就是∠AOB的平分线了.
(3)作射线OC,射线OC即为所求.
4、议一议:
(1).在上面作法的第二步中,去掉“大于 MN 的长”这个条件行吗?
(2).第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗?
总结:
(1).去掉“ 大于 MN的长”这个条件, 所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的 平分线.
(2).若分别以M、N为圆心,大于 MN的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠AOB的内部,也可能在∠AOB的外部,而我们要找的是∠AOB内部的交点,否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.
2.已知:点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.
求证:△ABE≌△CDF.
B层次
C层次
教学反思
2、在教师引导下回答这个问题。
3、在教师引导下完成作图
4、思考、讨论、得出结论
5、画图
6、通过折纸完成探索活动
7、得出性质并证明
教学过 程及时间
教学内容及措施
教师活动
学生活动
Ⅲ.随堂练习
课本练习.
练后总结:
平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直.将OC反向延长得到直线CD,直线CD与AB也垂直.
完成练习
多媒体
教学过程及时间
教学内容及措施
教师活动
学生活动
Ⅰ.提出问题,创设情境
问题1:三角形中有哪些重要线段.
问题2:你能作出这些线段吗?
中线、高、角平分线
在练习本上作图
教学过程及时间
教学内容及措施
教师活动
学生活动
Ⅱ.导入新课
1、在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题:
在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON,MC⊥OA,NC ⊥OB.MC与NC交于C点.
12.3角平分线的性质
课题:
学习水平
课
堂
教
学
目
标
教学要点
(知识、能力、思想、情感)
识
记
理
解
应用
评价
掌握ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
熟练掌握
知识性
思想性
1、应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理.
2.会用尺规作一个已知角的平分线.
√
√
√
√
教学重点
利用尺规作已知角的平分线.
教学难点
角的平分线的作图方法的提炼
教法
启发
学法
探究
教学准备
(3).角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,所以第二步中的两个限制缺一不可.
(4).这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.
5、练一练:
任意画一角∠AOB,作它的平分线.
6、探索活动
按以下步骤折纸
1.在准备好的三角形的每个顶点上标好字母;A、B、C。把角A对折,使得这个角的两边重合。2、在折痕(即平分线)上任意找一点C,
看看条件够不够.
所以△ABC≌△ADC(SSS).
所以∠CAD=∠CAB.
即射线AC就是∠DAB的平分线.
3、作已知角的平分线的方法:
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
作法:
(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N.
(2)分 别以M、N为圆心,大于 MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.