拉普拉斯变换--chen
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号和系统分析中广泛应用的数学工具。
它将一个函数从时域转换到频率域，可以用于解决微分方程、计算系统的冲激响应和频率响应等问题。
拉普拉斯变换公式是拉普拉斯变换的基本公式之一，用于将函数从时域表示转换为频域表示。
F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt其中，F(s)表示拉普拉斯变换后的函数，s是一个复数，而f(t)是原始函数。
在上述公式中，∫[0,∞]表示对t从0到正无穷之间的所有值进行积分。
e^(-st)是指数函数，s是一个复数参数，t是自变量。
f(t)是原始函数，也被称为拉普拉斯变换的原函数。
通过拉普拉斯变换公式，我们可以将一个函数从时域转换到频域。
这意味着我们将原始函数用复指数函数（e^(-st)）的积分来表示。
在复平面上，s可以表示为s = a + jb，其中a和b都是实数，a是实部，b是虚部。
拉普拉斯变换公式可以用于解决许多信号和系统分析的问题。
例如，我们可以使用拉普拉斯变换来解决线性微分方程。
通过将微分方程转换为拉普拉斯域，我们可以将微分方程转换为代数方程，从而更容易地解决。
此外，利用拉普拉斯变换可以方便地计算系统的冲激响应和频率响应。
在应用拉普拉斯变换时，有几点需要注意。
首先，原始函数f(t)必须满足一定的条件，如函数在一个有界的时间段内存在或函数在正向无穷大时的极限存在。
其次，拉普拉斯变换是线性的，即对于给定的常数a和b，拉普拉斯变换遵循以下性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。
此外，拉普拉斯变换公式还有许多相关的性质和定理，如初始值定理、最终值定理、微分定理和频移定理等。
这些性质和定理为我们在实际应用中提供了方便和灵活性。
总结起来，拉普拉斯变换公式是将一个函数从时域表示转换到频域表示的基本公式之一、它在信号和系统分析中广泛应用，用于解决微分方程、计算系统的冲激响应和频率响应等问题。
第五章拉普拉斯变换
这是Laplace变换存在的充要条件. 在很多情况下，该条 件都能满足.
44
如果s存在的话，它一定不是唯一的，因为比s大的任何 正数也符合要求，s的下界称为收敛横标，记为so.
常用函数的拉氏变换:
L[1] e pt dt 1 e pt
1 ,
0
p
p
0
Re p 0
L[t]
te pt dt 1
C dt
q
t
0
i
d
q0
L di dt
1 C
t
0
i
d
q0 C
设 I p Li t
LpI p 1 I p q0 1
C p Cp
I
p
q0 LCp2
1
i t q0 sin t
LC LC
i (t)的微分方程
求解微分积分方程的问题 转化为求解代数方程
利用
L[sint]
p2 2
1111
性质4：若
9
93
其中
L1[ (
p
1 1)2
]
可利用位移定理进行反演
1 L[t] p2 ,
L[t
et
]
(
例2、函数 f (t) et 的拉氏换式为：
【解】 L[et ] et e ptdt e( p )tdt
0
0
1
p
e( p )t
|0
1,
p
Re p Re
33
这里的限制 Re p Re 也是为了保证积分收敛，即Laplace 变换存在的条件.
从例1、例2可以看出，由于Laplace变换的核是e-pt，所以对 于相当广泛的函数拉氏换式都存在；甚至当t 时，f (t)的 拉氏换式也可能存在. 这就是为什么要乘上的缘故.
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号处理和控制系统中常用的数学工具，广泛应用于电路分析、线性系统分析、图像处理等领域。
拉普拉斯变换将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而方便对信号进行分析和处理。
在数学上，拉普拉斯变换可以理解为傅里叶变换的一种推广形式。
设函数f(t)在t≥0上有定义且满足一些条件，拉普拉斯变换定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt,其中，s为复频域变量，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的主要特点是将常微分方程和时间域中的卷积运算变换为代数运算和复频域中的乘法运算，从而简化了分析和求解的过程。
1. 线性性质：对于任意常数a和b，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s)+ bG(s)；2. 平移性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则e^(-at) f(t)的拉普拉斯变换为F(s+a)；3. 倍增性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则f(at)的拉普拉斯变换为F(s/a)；4. 初值定理：若f(t)在t=0时有界且存在有限初值f(0)，则F(s)= lim(s→∞) sF(s) + f(0)；5. 终值定理：若f(t)在t→∞时有界，则lim(t→∞) f(t) =lim(s→0) sF(s)。
1.线性系统分析：通过拉普拉斯变换可以将微分方程转换成代数方程，从而便于对系统的稳定性、传递函数等进行分析；2.电路分析：拉普拉斯变换可以方便地求解电路的电压、电流等时间域特性，进一步可用于电路的设计和优化；3.信号处理：通过拉普拉斯变换，可以对信号的频域特性进行分析和滤波处理，如频率响应、系统传递函数等；4.控制系统设计：拉普拉斯变换可用于控制系统的传递函数分析、稳定性判断和控制器设计等方面；5.通信系统分析：拉普拉斯变换在调制、解调和信道等方面有广泛应用。
f(t) = L^(-1){F(s)} = (1/2πj) ∫[γ-j∞, γ+j∞] e^(st) F(s) ds,其中，γ为收敛路径，j为虚数单位。
拉普拉斯变换公式总结..
拉普拉斯变换公式总结拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 ( 1) 定义单边拉普拉斯变换：正变换[f(t)] F(s) 0 f(t)e st dt 逆变换[F(s)] f(t) 21j j F (s)e st ds 双边拉普拉斯变换：正变换 F B(s) f (t)e st dt 逆变换f(t) 21j j F B(s)e ds ( 2) 定义域若时， l tim f (t)e0则 f (t)e在 0的全部范围内收敛，积分 0f (t)estdt 存在，即 f (t)的拉普拉斯变换 存在。
就是 f (t)的单边拉普拉斯变换的收敛 域。
0与函数 f (t )的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质( 1) 线性性若 [ f 1(t)] F 1(S) , [ f 2(t)] F 2(S) , 1, 2为 常 数 时 ， 则 [ 1 f 1(t) 2 f 2(t)] 1F 1(s) 2F 2(s)( 2) 原函数微分 若 [ f (t)] F (s)则 [df(t)] sF(s) f (0 )dt式中 f (r)(0 )是 r 阶导数 dr f r(t)在 0 时刻的取值。
dt( 3) 原函数积分 若 [ f (t)] F (s) ， 则 [ tf(t)dt]F(s) f( 1)(0 )式 中 ssf ( 1) (0 )f (t)dt( 4) 延时性若 [ f (t)] F (s)，则 [ f (t t 0)u(t t 0)] est 0F (s)(5) s 域平移若 [ f (t)] F (s)，则 [ f (t)e at] F(s a)( 6) 尺度变换d n f (t)] dt n ]s nF(s) n1 nr1sr0(r)(0 )若 [ f (t)] F (s)，则 [f(at)] 1F(s)(a 0)aa(7) 初值定理 lim f (t) f (0 ) lim sF(s)t o s( 8) 终值定理 lim f(t) lim sF(s) ts( 9) 卷积定理若 [ f 1(t)] F 1(s)， [ f 2(t)] F 2(s) ，则有 [ f 1(t) f 2(t)] F 1(s)F 2(s)1 1 j[ f 1(t)f 2(t)] 2 j [F 1(s) F 2(s)]=2 j jF 1(p)F 2(s p)dp3. 拉普拉斯逆变换( 1) 部分分式展开法 首先应用 海维赛展开定理将 F (s) 展开成部分分 式，然后将各部分分式逐项进行逆变换， 最后叠 加起来即得到原函数 f (t)。
常用的拉普拉斯变换公式表
常用的拉普拉斯变换公式表常用的拉普拉斯变换公式表在数学和理论物理领域中，拉普拉斯变换是一种重要的数学工具。
它将一个函数从时间或空间域转换到复频域，这对于解决许多实际问题是很有用的。
在使用拉普拉斯变换时，人们通常需要使用一些常用的公式来简化计算。
在这篇文章中，我将列出一些常用的拉普拉斯变换公式，方便读者在实际应用中使用。
一、定义和性质拉普拉斯变换是一种线性变换，它将一个函数f(t) 映射到复平面上的函数 F(s) 。
具体而言，拉普拉斯变换可以表示为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,+∞) e^(-st) f(t) dt其中s是复变量，常常被看作是频域变量。
对于给定的函数f(t)，我们可以求出它在复平面上的拉普拉斯变换F(s)。
与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换也有一系列的性质和定理。
下面是一些重要的性质和定理：1. 线性性质：对于任意常数a、b和函数f(t)、g(t)，有L[af(t) + bg(t)] = aL[f(t)] + bL[g(t)]2. 移位定理：对于f(t)的拉普拉斯变换F(s)，有L[e^(-at) f(t)] = F(s+a)3. 初值定理：如果f(t)在t=0处有一个有限的极限，那么L[f(t)] =lim_(s->∞) sF(s)4. 终值定理：如果f(t)是一个有限长度的函数，那么L[f(t)] = lim_(s->0) sF(s)二、常用的拉普拉斯变换公式在实际应用中，常常需要用到一些标准的拉普拉斯变换公式。
下面是一些常用公式：1. 常数函数：L[1] = 1/s2. 单位阶跃函数：L[u(t)] = 1/s3. 二次函数：L[t] = 1/s^24. 指数函数：L[e^(at)] = 1/(s-a)5. 余弦函数：L[cos(at)] = s/(s^2+a^2)6. 正弦函数：L[sin(at)] = a/(s^2+a^2)7. 阻尼振荡函数：L[e^(-at) sin(bt)] = b/(s+a)^2+b^28. 阻尼振荡函数：L[e^(-at) cos(bt)] = (s+a)/(s+a)^2+b^2以上是一些常用的拉普拉斯变换公式，它们的应用非常广泛，可以用于研究电路、控制系统和信号处理等领域。
拉普拉斯变换详解
s2 s2
s
例3 求周期函数的拉氏变换
解
设f1(t)为第一周函数
[ f1(t )] F1(s)
f(t) 1
T/2 T
... t
则：
1 [ f (t )] 1 esT F1(s)
证：f (t) f1(t) f1(t T )ε(t T )
f1(t 2T )ε(t 2T )
[ f (t )] F1(s) esT F1(s) e2sT F1(s)
S
校验：
U(S)
1
S(1 SRC )
u(0
)
lim
s
S
S(1
1 SRC
)
lim
s
(1
1 SRC
)
0
u() lim 1 1 s0 (1 SRC )
小结： 积分
(t) (t)
t (t ) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
)
例3 求 : f (t) teat的象函数
解
[te αt ] d ( 1 ) 1
ds s α (s α)2
3.积分性质
设： [ f (t)] F (s)
则：
t
1
[ 0
f
(t)dt]
s
F(s)
证：令
t
[ 0
f
(t)dt]
φ( s )
[ f (t)]
d dt
t
0
f
(t )dt
(s
p
)
kn
s pn
f
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换在工程和数学中是个非常实用的工具。
它不仅能帮助我们解决微分方程，还能简化许多复杂的问题。
今天我们就来聊聊常用的拉普拉斯变换和反变换，看看它们是如何发挥作用的。
一、拉普拉斯变换的基本概念1.1 定义拉普拉斯变换是一个积分变换，它将时间域的函数转换为复频域的函数。
简单来说，它把一个函数从“时间的世界”带到了“频率的世界”。
公式上，拉普拉斯变换可以表示为：\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt \]这里的 \( s \) 是复数变量，\( f(t) \) 是我们要变换的时间域函数，\( F(s) \) 则是变换后的结果。
1.2 性质拉普拉斯变换有几个重要的性质，比如线性性、时间延迟和微分等。
这些性质使得在实际应用中，可以灵活地对待不同类型的函数。
例如，线性性让我们可以把两个函数的变换简单相加，这对于解决复杂问题很有帮助。
二、常用的拉普拉斯变换2.1 单位阶跃函数单位阶跃函数 \( u(t) \) 是拉普拉斯变换中最常用的函数之一。
它的变换结果是：\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \]这个简单的公式为很多工程应用奠定了基础，因为很多信号和系统可以用阶跃函数来描述。
2.2 指数函数另一个常见的函数是指数函数 \( e^{at} \)。
它的拉普拉斯变换结果为：\[ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a} \]这在处理自然衰减或增长的过程时特别有用，比如在电子电路中，我们经常会遇到这种情况。
2.3 正弦和余弦函数正弦和余弦函数的拉普拉斯变换也很重要。
它们分别为：\[ \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \] \[ \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \]这些变换结果在振动分析和控制系统中应用广泛，帮助我们理解系统的频率响应。
拉普拉斯变换
定义
定义
一个定义在区间的函数,它的拉普拉斯变换式定义为称为的象函数，称为的原函数。 通常用表示对方括号里的时域函数作拉氏变换，记作
定义式
ห้องสมุดไป่ตู้
定义式
式中，是复变量的函数，是把一个时间域的函数变换到复频域内的复变函数。 为收敛因子。 为一个复数形式的频率，简称复频率，其中实部恒为正，虚部可为正、负、零。
拉普拉斯变换
工程数学中常用的一种积分变换
01 定义
03 存在条件 05 实例
目录
02 定义式 04 公式概念 06 基本性质
07 发展历史
09 应用定理
目录
08 联系
基本信息
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。 拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参 数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着 广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着 重要作用。
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上， 拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化 上都有广泛的应用。
谢谢观看
存在条件
存在条件
表达式中，右边的积分为有限值。
公式概念
公式概念
拉普拉斯变换应用过程中，需要从实际出发，首先以研究对象为基础，将其规划为一个时域数学模型，然后 再借助于拉普拉斯变换数学工具转变为复域数学模型，最后如果想要结果表现的更直观，可以使用图形来表示， 而图形的表示方法是以传递函数(复域数学模型)为基础，所以拉氏变换是古典控制理论中的数学基础。利用拉氏 变换变换求解数学模型时，可以当作求解一个线性方程，换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为 复数域信号，还可以用来求解控制系统微分方程。拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是 将复数域信号变为时域信号。
第八章拉普拉斯变换
时没有意义，或者不需要知道
的情况．因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这
就限制了傅里叶变换应用的范围．
第四页，共五十二页。
(t )
为了解决上述问题而拓宽(tuò kuān)应用范围，人们发现对于任意一 个实函数(hánshù) ，可以经过适当地改造以满足(mǎnzú)傅氏变换的基本
条件．
首先将函数
变换(biànhuàn)的方便，下面给出拉氏逆变换的具体表达式．
实际上
的拉氏变换，就是
的傅氏变换.因此，当
满足傅氏
积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式，
第二十四页，共五十二页。
在连续点处
等式(děngshì)两端同乘 ，并注意到这个(zhège)因子与积分变量
无关(wú。
逆变换的积分表达式――复反演积分公式，并得出像原函数的求
法，最后介绍拉普拉斯变换的应用．
第二页，共五十二页。
8.1 拉普拉斯变换(biànhuàn)的概念
本节介绍拉普拉斯变换的定义、拉普拉斯变换的存在定理、 常用函数(hánshù)的拉普拉斯变换，以及拉普拉斯变换的性质．
8.1.1 拉普拉斯变换(biànhuàn)的定义
wéi)
第五十二页，共五十二页。
第四十四页，共五十二页。
在满足(mǎnzú)
条件(tiáojiàn)下是一致收敛的．
性质(xìngzhì)9 拉氏变换的卷积定理
(1) 定义(dìngyì) 8.3.1 拉氏变换的卷积 前一章我们学习了傅氏变换的卷积概念和性质，当
是
上绝对可积函数时，它们的卷积是
第四十五页，共五十二页。
如果(rúguǒ)当
这是由实函数(hánshù)
通过(tōngguò)一种新的变换得到的复变函数，
拉普拉斯变换公式证明
拉普拉斯变换公式证明拉普拉斯变换公式这玩意儿，听起来是不是感觉挺高大上的？其实啊，咱们一步步来，也没那么难搞懂。
咱先来说说啥是拉普拉斯变换。
简单讲，它就是一种数学工具，能把一些在时域里不太好处理的问题，转到复频域里去，变得好解决一些。
就像你有一堆乱七八糟的玩具在地上，你不好直接收拾，但是把它们装进不同的盒子里分类，就清晰多了。
那这拉普拉斯变换公式到底咋来的呢？咱一步步证明瞅瞅。
先给您列一下这个公式：$F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$ ，这里面的$f(t)$ 就是咱们原来时域里的函数，$F(s)$ 就是变换后的在复频域里的函数，$s = \sigma + j\omega$ 。
咱们从最基本的开始，假设$f(t)$ 是个简单的指数函数，比如说$f(t) = e^{at}$ ，这里的 $a$ 是个常数。
那拉普拉斯变换就变成了：$F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{at} e^{-st} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s - a)t} dt$接下来算这个积分：\[\begin{align*}F(s)&=\left[-\frac{1}{s - a}e^{-(s - a)t}\right]_{0}^{\infty}\\&=-\frac{1}{s - a}(0 - 1)\\&=\frac{1}{s - a}\end{align*}\]您瞧，这就得出了一个简单情况下的拉普拉斯变换。
再比如说，咱考虑一个阶跃函数 $f(t) = u(t)$ ，当 $t < 0$ 时，$f(t) = 0$ ；当 $t \geq 0$ 时，$f(t) = 1$ 。
那它的拉普拉斯变换就是：$F(s) = \int_{0}^{\infty} 1 \cdot e^{-st} dt = \left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s}$这又搞定了一种常见的情况。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种在信号与系统领域中广泛应用的数学工具。
它将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而可以方便地进行信号的分析和处理。
拉普拉斯变换不仅在电子工程、通信工程领域得到广泛应用，还在物理学、控制论、图像处理等领域有重要应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义如下：对于给定函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫{0,∞} f(t)e^(-st)dt其中，s是复变量，表示变换域的频率。
f(t)是定义在非负实数轴上的函数。
拉普拉斯变换有一个重要的性质是可逆的，即给定F(s)，可以通过逆变换求得原函数f(t)。
二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换有一系列的性质，这些性质可以帮助我们简化计算或者分析信号的特性。
下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及两个函数f(t)和g(t)，有线性性质成立：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
2. 积分性质：对于函数f(t)的积分，有以下性质成立：L{∫{0,t} f(τ)dτ} = 1/(s)F(s)其中，F(s)是函数f(t)的拉普拉斯变换。
3. 正比例性质：如果一个函数f(t)等于另一个函数g(t)乘以常数a，那么它们的拉普拉斯变换也有类似的关系：L{ag(t)} = aG(s)其中，G(s)是函数g(t)的拉普拉斯变换。
三、拉普拉斯变换的应用1. 信号系统分析：拉普拉斯变换广泛应用于信号与系统的分析。
通过将差分方程或微分方程转换成拉普拉斯域，可以简化对系统的分析和建模。
根据拉普拉斯变换的性质，可以求解系统的频域响应、稳定性、传输函数等重要特性。
2. 控制系统设计：在控制论中，拉普拉斯变换是设计和分析控制系统的重要工具。
通过将系统的传递函数转换成拉普拉斯域，可以方便地调整系统的稳定性、响应速度、抗干扰能力等参数，并进行频域设计和系统优化。
常见拉普拉斯变换公式
常见拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，在电路分析、信号处理、控制系统等领域中得到广泛应用。
它将时域函数转换为复频域函数，并在频域中进行运算，简化了许多复杂问题的求解过程。
拉普拉斯变换的基本思想是将被变换函数乘以一个指数函数，然后对整个式子进行求和。
常见的拉普拉斯变换公式有：1.单位激励函数的拉普拉斯变换公式：单位激励函数是指在t=0时刻取值为1，而在t≠0时刻取值为0的函数。
其拉普拉斯变换公式为：L{δ(t)}=12.常数函数的拉普拉斯变换公式：常数函数的拉普拉斯变换公式为：L{1}=1/s其中，s为复变量。
3.t的升幂函数的拉普拉斯变换公式：t的升幂函数的拉普拉斯变换公式为：L{t^n}=n!/s^(n+1)其中，n为非负整数。
4.指数函数的拉普拉斯变换公式：指数函数的拉普拉斯变换公式为：L{e^(-at)} = 1/(s+a)其中，a为正实数。
5.正弦函数的拉普拉斯变换公式：正弦函数的拉普拉斯变换公式为：L{sin(ωt)} = ω/(s^2+ω^2)6.余弦函数的拉普拉斯变换公式：余弦函数的拉普拉斯变换公式为：L{cos(ωt)} = s/(s^2+ω^2)7.指数衰减函数的拉普拉斯变换公式：指数衰减函数的拉普拉斯变换公式为：L{e^(-at) f(t)} = F(s+a)其中，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。
8.高斯函数的拉普拉斯变换公式：高斯函数的拉普拉斯变换公式为：L{e^(-a^2t^2)}=√π/ae^(s^2/(4a^2))9.单位阶跃函数的拉普拉斯变换公式：单位阶跃函数是指在t≥0时刻取值为1，而在t<0时刻取值为0的函数。
其拉普拉斯变换公式为：L{u(t)}=1/s10.单位阶跃函数的时移性质：单位阶跃函数的时移性质为：L{u(t-a)} = e^(-as)/s以上是常见的拉普拉斯变换公式，它们在实际问题的求解中发挥着重要的作用。
除了以上所列举的公式外，拉普拉斯变换还有许多其他的性质和公式，可以根据具体问题的需要进行选择和应用。
拉普拉斯变换法
3.导函数
df (t ) F (t ) dt
df (t ) df (t ) L dt e df (t ) e dt dt
st
st
0
0
df (t ) L f (0) s e f (t )dt dt
st
0
二、 简单函数L氏变换
1. 常数
f（t）=A
A L( A) e Adt S
st
0
2. 指数函数 f（t）= e-at
L(e ) e (e )dt e
at
st
at
( s a ) t
0
0
1 dt sa
A L( Ae ) sa
at
若
则 LF ' (t ) sf ( S ) F (0) sLF (t ) F (0)
一些常用函数的Laplace变换表
函数，F（t） A t Ae-at L氏变换，f（s） A/s 1/s2 A/(s+a) A/s(s+a)
A at bt (e e ) ba
Ate-at
方程终解 X k (1 e ) K
0 k t
2.
静脉注射
dX kX dt
( t=0,
X=X0)
sL[ X (t )] X (0) kL[ X (t )]
s X X (0) k X
Hale Waihona Puke X0 X sk kt X X 0e
A/(s+a)(s+b) A/(s+a)2
四、L氏变换解线性微分方程
常见拉普拉斯变换公式
常见拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是探究信号的时域与频域之间相互转换的重要数学工具之一。
在掌握拉普拉斯变换的基本原理和公式后，我们可以将其应用于各个领域，如控制系统、电路分析、信号处理等，从而实现对信号的精准分析和掌控。
常见的拉普拉斯变换公式包括：1. 常数函数的拉普拉斯变换常数函数 f(t) 的拉普拉斯变换 L[f(t)] = F(s) 可由以下公式计算得出：L[f(t)] = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt = f(s)其中，s 为复数变量，L[ ] 表示拉普拉斯变换，∫[0,∞) 表示对时间 t 从 0 到无穷大的积分。
2. 阶跃函数的拉普拉斯变换阶跃函数 u(t) 的拉普拉斯变换 L[u(t)] = U(s) 可由以下公式计算得出：L[u(t)] = ∫[0,∞) e^(-st) u(t) dt = 1/s其中，U(s) = 1/s 表示拉普拉斯变换后的函数。
3. 单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数δ(t) 的拉普拉斯变换L[δ(t)] = Δ(s) 可由以下公式计算得出：L[δ(t)] = ∫[0,∞) e^(-st) δ(t) dt = 1其中，Δ(s) = 1 表示拉普拉斯变换后的函数。
4. 指数函数的拉普拉斯变换指数函数 e^(-at) 的拉普拉斯变换 L[e^(-at)] = E(s) 可由以下公式计算得出：L[e^(-at)] = ∫[0,∞) e^(-st) e^(-at) dt = 1/(s+a)其中，a 为正实数。
通过以上公式，我们可以根据不同信号的特点，对其进行拉普拉斯变换，从而得到其在频域的表达式。
这样一来，我们就可以通过频域的分析，精确地控制或提取信号中所含的各种信息。
在应用过程中，我们还需要了解拉普拉斯反变换公式，即将频域信号还原到在时域中的表示。
这个公式的表达式与拉普拉斯变换类似，需要针对不同的函数进行计算。
总之，掌握和熟练应用拉普拉斯变换及其公式，是我国高科技领域从事信号处理、自动控制等方面的工程技术人员所必备的基本功。
拉普拉斯变换公式总结
拉普拉斯变换公式总结拉普拉斯变换是一种傅里叶变换的扩展，广泛应用于信号处理和控制系统的分析。
它将时间域中的函数转换到复平面的变换域中，可以有效地处理复杂的微分和积分方程。
拉普拉斯变换有许多重要的性质和公式，下面将对其中的一些进行总结。
1.拉普拉斯变换定义F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s为复变量，t为时间，e为自然常数。
2.拉普拉斯变换的收敛条件要使拉普拉斯变换存在，函数f(t)必须满足一定的收敛条件。
常见的收敛条件为：函数f(t)是因果（即f(t)在t<0时为零）和指数增长边界条件（即函数f(t)e^(-αt)在t趋于正无穷时有界）。
3.常见的拉普拉斯变换公式3.1常函数的拉普拉斯变换：L[1]=1/s3.2单位阶跃函数的拉普拉斯变换：L[u(t)]=1/s3.3单位冲激函数的拉普拉斯变换：L[δ(t)]=13.4指数函数的拉普拉斯变换：L[e^(at)] = 1/(s-a)，其中a为常数3.5高斯函数的拉普拉斯变换：L[e^(-at^2)] = sqrt(π/a) × e^(s^2/4a)3.6正弦和余弦函数的拉普拉斯变换：L[sin(at)] = a/(s^2+a^2)L[cos(at)] = s/(s^2+a^2)3.7常见微分和积分公式的拉普拉斯变换：L[df(t)/dt] = sF(s) - f(0)L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/s×F(s)4.拉普拉斯反变换公式f(t) = L^(-1)[F(s)] = 1/(2πj) × ∫[-j∞,j∞] e^(st)F(s) ds5.拉普拉斯变换的性质5.1线性性：L[af(t) + bg(t)] = aF(s) + bG(s)，其中a、b为常数5.2微分性：L[df(t)/dt] = sF(s) - f(0)5.3积分性：L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/s×F(s)5.4积分定理：∫[0,∞) f(t) dt = F(0+)5.5初值定理：lim(s→∞) sF(s) = f(0+)5.6终值定理：lim(t→0+) f(t) = lim(s→0) sF(s)6.拉普拉斯变换在信号处理中的应用拉普拉斯变换在信号处理领域有广泛的应用。
第三章拉普拉斯变换
则 L f (at) 1 F( s ) a 0
aa 36
5、时域微分
3.6 拉普拉斯变换的基本性质
若 L f (t) F(s)
则
L
df (t) dt
sF (s)
f
(0 )
L
d
2 f (t d t2
)
s2F (s) sf
(0 )
f (0 )
L
d
n f (t)
dtn
snF
返3回3
3.6 拉普拉斯变换的基本性质
1、线性性质
若 L f1(t) F1(s) , L f2(t) F2(s)
则 L a1 f1(t) a2 f2(t) a1F1(s) a2F2(s)
2、时间平移
若 L f (t) F(s)
则 L f (t t0)u(t t0) F(s) est0
e 4. 指数函数 t 只有当 时，才有
lim ea te t 0
t
所以其收敛域为s平面上
的部分.
返回
13
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换
| 1、单位阶跃信号u(t)
L u(t) estdt 0
est s
0
1 s
即 u(t) 1
s
L 2、指数函数et eat
同理
L
cos
t
s2
s
2
17
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
5、冲激函数(t)
L (t) (t)estdt 1 0
即 L (t) 1
同理 L (t t0) est0
返回18
3.5 拉普拉斯反变换
利用拉氏变换进行系统分析时，常常需要从象函
第十五章 拉普拉斯变换
£[1] 1 , ( p 0) p
例2 求指数函数f (t) eat , (t 0, a为常数)的拉氏变换.
解 由式(27 1)知 £[eat ] eate ptdt e dt ( pa)t
0
0
同上例,这个积分在p a时收敛于 1 ,即 pa
£[eat ] 1 , ( p a) pa
解 £[sin t] sin te ptdt.] 0 用分部积分法可得sin te pt的一个原函数为 1 e pt ( p sin t p2 2
cost),因此有
£[sin t]
p2
1
2
e
pt
(
p
sin
t
cos
t
)
0
p2 2
,(p
0)
用同样方法可求得 £[cost] p , ( p 0) p2 2
显然,对任何 0,有
(t)dt
0
(t)dt
(t)dt (t)dt
0
1 dt 1
0
于是, 按 (t)函数的定义以及广泛意义积分运算与求极限运算
的可交换次序性,得
0
(t)dt
lim
0
(t)dt
lim
0
(t)dt 1
此积分的物理意义为:在t 0时刻出现宽度无限小,幅度无限
pa
pa
故£[shat] a , ( p | a |);类似的有, £[chat] p , ( p | a |)
p2 a2
p2 a2
性质2(位移性质) 设£[ f (t)] F( p),则有 £[eat f (t)] F( p a)
证明 由式(27-1)知
£[eat f (t)] eat f (t)e ptdt
11-拉普拉斯变换
应用举例
例： 11-1:求以下函数的象函数。 解：F ( s) =
f (t )e st dt 0 (1) 单位阶跃函数 f (t ) (t )
st
+
1 st 0 e d t ℒ [ ( t )] ( t )e dt e 0 0 s (2) 单位冲激函数 f (t ) (t )
1 s2 1 (s a)2 s2 2 ( s a)2 2 s s2 2 sa ( s a)2 2
F ( s)
1.为什么拉普拉 斯变换在线性电 路分析中得到广 泛应用？
2.什么是拉普拉 斯变换？为什么 要进行拉普拉斯 变换与拉普拉斯 反变换？
3.什么是原函 数？什么是象 函数？两者之 间的关系如何 ？
例： 11-7 求 F ( s ) =
s + 7 s + 10 s
s( s + 2)( s + 5)
∴
的根分别为： D s = s( s + 2)( s + 5) = 0 p1 = 0, p2 = -2, p3 = -5
k1 = ( s - p1 )F ( s )s= p
1
2s + 1 =s = 0.1 s( s + 2)( s + 5) s =0
F ( s ) F1 ( s ) F2 ( s ) Fn ( s )
f ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) f n ( t )
二、部分分式展开法
1.象函数的一般形式： 集总参数电路中响应变换式的特点 变换式在一般情况下为S的实系数有理函数。 a0sm + a1sm–1 + • • • + am N(s) F (s)= = D(s) b0sn + b1sn–1 + • • • + bn
拉普拉斯积分变换
ekt est dt
e (sk )t dt
0
0
积分在 Re(s) k 时收敛,且有
e (sk )t dt
1
0
sk
所以 L ekt 1
(Re(s) k)
sk
5
2、 拉氏变换得存在定理
可以看出,拉氏变换存在得条件要比傅 氏变换存在得条件弱得多。对于一个函数, 满足什么条件时,她得拉氏变换一定存在呢？
F(s)称为 f (t)得拉氏变换(或称为象函数)。
2
若F(s)就是f (t) 得拉氏变换,则称 f (t) 为F(s)得拉 氏逆变换(或称为象原函数),记为
f (t) L1F (s)
可以看出, f (t) (t 0)得拉氏变换,实际上就就是 f (t)u(t)e t 得傅氏变换。
3
例1
求单位阶跃函数
2
令 j s ,有
f (t) 1
j
F (s)est ds, t 0
2 j j
这就就是从象函数F(s)求她得象原函数f(t)得一般公 式,右端得积分称为拉氏反演积分。
35
此公式就是一个复变函数得积分,通常计算起来 比较困难,但当F(s)满足一定条件时,可以用 留数学方法来计算这个反演积分,特别当F(s) 为有理函数时更为简单。
解 因为 Lt m Γ (m 1)
s m1
利用位移性质,可得
Leatt m Γ (m 1)
(s a)m1
27
例 求 L eat sin kt
解 因为
Lsin
kt
s2
k
k
2
由位移性质得
L eat sin kt
(s
k a)2
k
3. 拉普拉斯变换
§3 拉普拉斯变换[拉普拉斯变换及其反演公式] )(t f 的拉普拉斯变换⎰∞-==0d )()]([)(t e t f t f s L t s ϕ (s 是复数，s =ωσi +)拉普拉斯变换的反演公式⎰∞+∞--==i i st s e s L i s L t f σσπϕd )(21)]([)(1)0,0(≥≥σt 积分沿着任一直线Res=a >σ来取，a 是)(t f 的增长指数，同时，积分理解为在主值意义下的.[拉普拉斯变换的存在条件] 如果)(t f 满足下面三个条件，那末它的拉普拉斯变换存在.(i) 实变量的复值函数)(t f 和)('t f 在)0(≥t 上除掉有第一类间断点（在任一有限区间上至多有有限多个）外连续；(ii) 当t <0时，)(t f =0;(iii) )(t f 是有限阶的，也就是说可以找到常数0≥a 和A >0,使得t a Ae t f ≤)( )0(≥t这里数a 称为)(t f 的增长指数，)(t f 是有界函数时，可取a =0.如果满足上面三个条件，那末L ( s )是半平面Res>a 上的解析函数.而反演公式在)(t f 的连续点处成立.[拉普拉斯变换的性质])]([)](([t f a t f a ϕϕ= (a 是常数))]([)]([)]()([t g b t f a t bg t af ϕϕϕ+=+ (a ,b 是常数) )]([)]([)]()([t g t f t g t f ϕϕϕ∙=* 式中⎰⎰-=-=*ttu u g u t f u u t g u f t g t f 0d )()(d )()()()(称为函数)(t f 和g ( t )的褶积（或卷积）.[拉普拉斯变换的主要公式表］［拉普拉斯变换表］dt )()]([)(0st e t f t f s L -∞⎰==ϕ )0Re (≥=σs⎰∞+∞--==i i st e s L is L t f σσπϕds )(21)]([)(1 )0,0(≥≥σt拉普拉斯变换表I拉普拉斯变换表II[二重拉普拉斯变换及其反演公式] 函数f (x ,y)的二重拉普拉斯变换为⎰⎰∞∞--=00d d),(),(yxeyxfqsL y q x s二重拉普拉斯变换的反演公式为⎰⎰∞+∞-∞+∞-+-=i i i i y q x s s q e q s L y x f σσσσπ''2d d ),(41),( 其中ππππσσ<<-<<-==q s q s arg ,arg ;Re ',Re .。
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典型时间函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 (续4)
序号 17 原函数 f(t) (t >0) 象函数 F(s) = L[f(t)]
n -nt sin 1-2 t e n 1-2
1 -nt sin 1-2 t e n n 1-2 1 -nt sin( 1-2 t - ) e n 1-2
st
0
1 2 s
典型时间函数的拉普拉斯变换
(4) 指数函数
指数函数表达式：
f (t ) e at
式中：a是常数。 其拉普拉斯变换为：
Le
at
0
e e dt e
at st 0
( s a ) t
1 dt sa
典型时间函数的拉普拉斯变换
典型时间函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 (待续)
序号
1 2 3 4
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s)=L[f(t)]
1 (单位阶跃函数)
1 s 1 K s 1 s2
(t) (单位脉冲函数)
K (常数) t (单位斜坡函数)
典型时间函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 (续1)
设有时间函数 f(t)，当 t < 0 时，f(t)＝0；在 t≥0时定义函 数 f(t) 的拉普拉斯变换为：
F (s) L f (t ) f (t )e st dt
0
象函数
拉氏变换符号
原函数
复变量
拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变 换到复数域内与之等价的复变函数 F(s) 。
20
n2 s(s2+2ns+n2) 2 s(s2+2) 2 s(s2+2) 2s (s2+2)2
21 22 23
1-cost
t - sint
t sint
拉普拉斯变换
2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (1) 线性定理
若、是任意两个复常数，且：
L f1 (t ) F1 (s) ,
2
o
s2=2+j2
1
2
复数和复变函数
① 复数的向量表示法 复数 s= +j 可以用从原点指向点( , )的向量表示。
向量的长度称为复数的模：
s r 2 2
向量与 轴的夹角 称 为复数s的复角：
j
s1 s2
arctan( / )
o
1
2
f1 (t )e dt f 2 (t )e st dt
0 0
F1 (s) F2 (s)
拉普拉斯变换的基本性质
(2) 平移定理 若： L f (t ) F (s)
则： 证明：
L e at f (t ) F (s a)
Le
at
f (t ) f (t )e e dt
序号
9 10 11 12
原函数 f(t) (t >0)
sint cost
象函数 F(s) = L[f(t)]
s2+2
s s2+2 (s+a)2+2 s+a (s+a)2+2
e -at e -at
sint cost
典型时间函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 (续3)
序号
13 14 15 16 1
序号
5 6 7 8
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s) = L[f(t)]
n! s n+1 1 s+a n! (s+a) n+1 1 Ts + 1
t n (n=1, 2, …) e -at tn e -at (n=1, 2, …)
1 e T
t T
典型时间函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 (续2)
典型时间函数的拉普拉斯变换
(6) 余弦信号函数
余弦信号函数定义：
t 0 0 f (t ) cost , t 0
其拉普拉斯变换为：
st
两 式 相 加
e jt cost j sin t e
-jt
cost jsin t
由欧拉公式，余弦函数表达为： cos t
则：
L f 2 (t ) F2 (s)
Lf1 (t ) f 2 (t ) F1 (s) F2 (s)
st f ( t ) f ( t ) e dt 2 0 1 st
证明： Lf (t ) f (t ) 1 2
(5) 正弦信号函数
正弦信号函数定义：
其拉普拉斯变换为：
1 jt -jt 由欧拉公式，正弦函数表达为：sin t e e 2j
st
t0 0 f (t ) sin t , t 0
两 式 相 减
e jt cost j sin t e
-jt
cost jsin t
n2 s2+2ns+n2
s2+2ns+n2 1
18
19
= arctan
1-2
s2+2ns+n2
s
典型时间函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 (续5)
序号 原函数 f(t) (t >0) 1 -nt sin( 1-2 t + ) 1e n 1-2 1-2 = arctan 象函数 F(s) = L[f(t)]
拉普拉斯变换
复数和复变函数 复数的概念
复数 s= +j
j 1 称为虚数单位
（有一个实部 和一个虚部， 和 均为实数） 两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。 一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。
复数和复变函数 复数的表示法
对于复数 s= +j 复平面：以 为横坐标(实轴)、 为纵坐标(虚轴)所构成 的平面称为复平面或[s]平面。复数 s= +j 可在复平面[s]中用 点( , )表示：一个复数对应于复平面上的一个点。 j 复平面[s] 1 s1=1+j1
at st 0
f (t )e ( s a )t dt
0
F ( s a)
拉普拉斯变换的基本性质 (3) 微分定理 若： L f (t ) F (s)
则：
f(0)是 t =0 时的 f(t) 值
df (t ) L sF ( s) f (0) dt df (t ) 证明： df (t ) st st L e d t e df (t ) 0 dt 0 dt
复数和复变函数
③ 复变函数、极点与零点的概念 以复数s= +j为自变量构成的函数G(s)称为复变函数：
G(s) = u + jv
式中：u、v 分别为复变函数的实部和虚部。 通常，在线性控制系统中，复变函数 G(s) 是复数 s 的单值
函数。即：对应于 s 的一个给定值， G(s) 就有一个唯一确定的
拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变 换存在的条件： ① 当t≥0时，f(t) 分段连续，只有有限个间断点； ② 当t →∞时，f(t) 的增长速度不超过某一指数函数，即
f (t ) Meat
式中：M、a为实常数。
在复平面上，对于Res >a的所有复数s (Res表示s的实部)都 使积分式绝对收敛，故Res >a是拉普拉斯变换的定义域， a称 为收敛坐标。
拉普拉斯变换
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换 (1) 单位阶跃函数
单位阶跃函数定义：
其拉普拉斯变换为：
0, t 0 1(t ) 1, t 0
st st
1 st L1(t ) 1(t )e dt e dt e 0 0 s 1 st 1 0 1 lim e e t s s s
1 jt -jt st Lsin t sin t e dt e e e dt 0 2j 0 1 - ( s-j ) t -( s j ) t 1 1 1 e e dt 2 2j 0 2 j s-j s j s 2
解：
G(s)＝s2+1＝( +j)2 + 1 ＝ 2 + j(2 ) - 2 + 1 ＝( 2 - 2 + 1) + j(2 )
u 2 2 1
v 2
复变函数的实部 复变函数的虚部
拉普拉斯变换
2.2.2 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能 将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量 s的乘积，将时 间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。
原函数 f(t) (t >0) 1 -at ) (1 e a
-at -e -bt ) ( e b-a
象函数 F(s) = L[f(t)]
1 s(s+a) 1 (s+a) (s+b) s (s+a) (s+b)
b-a
1
(be -bt -ae –at )
sin(t + )
cos + s sin s2+2
复数和复变函数
② 复数的三角函数表示法与指数表示法 根据复平面的图示可得： = r cos ， = r sin