备考高考数学基础知识训练(13)

备考高考数学基础知识训练（13）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分） 1、化简复数=+-ii 13 .2、集合{}{}40,21≤≤=≤≤-=y y B x x A ，则=B A .3、等差数列{}n a 中，23=a ，则该数列的前5项的和为 .4、已知正方形的边长为2，c AC b BC a AB ===,,=++b .5、已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+094352x y x y x ，则y x u 45+=的最小值是 .6、要得到函数)23sin(x y -=π图像，只需将函数x y 2cos =的图像向 平移 个单位.7、命题“若b a >，则122->ba ”的否命题是 .8、如果实数+∈R b a ,,且b a >，那么)(21,,b a ab b +由大到小的顺序是 .9、函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期为_ .10、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3213,2,S S S 成等差数列，则{}n a 的公比为_ .11、过曲线x x y 23+=上一点()3,1的切线方程为 .12、在AB C ∆中，ABC b A ∆==∠,1,600的面积为23，则=++++CB A c b a si n si n si n .13、ABC ∆中，O 为中线AM 上的一个动点，若2＝AM ，则)(OC OB OA +⋅的最小值是14、关于函数)0(1lg)2≠+=x xx x f （，有下列命题：①其图像关于y 轴对称；②当0>x 时，)(x f 是增函数；当0<x 时，)(x f 是减函数； ③)(x f 的最小值是2lg ；④当201><<-x x 或时，)(x f 是增函数； ⑤)(x f 无最大值，也无最小值； 其中所有正确结论的序号是_ .二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤）15、（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项11=a ，公差1=d ，前n 项和为n S ，nn S b 1=，（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求证：221<+++n b b b .16、（本小题满分14分）已知向量,a b 满足||1a b == ,且|||(0)k a b a k b k +=->,令()f k a b =⋅，（1）求()f k a b =⋅ （用k 表示）；（2）当0k >时，21()22f k x tx ≥--对任意的[1,1]t ∈-恒成立，求实数x 取值范围.17、（本小题满分14分）已知tan2α=2，求；（1）tan()4πα+的值；（2） 6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值；（3）αααα22cos 5cos sin 4sin 3++的值.18、（本小题满分16分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本为()C x ,当年产量不足80千件时,()21103C x x x =+(万元)；当年产量不小于80千件时,()10000511450C x x x=+-(万元).通过市场分析,若每件售价为500元时,该厂年内生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式. (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?19、（本小题满分16分）已知函数x a x x f ln )(2+=.(1) 当2-=a 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；(2) 若xx f x g 2)()(+=在),1[∞+上是单调函数，求实数a 的取值范围.20、（本小题满分16分）设12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的左右焦点(1)设椭圆C 上的点2到12,F F 两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1K F 的中点B 的轨迹方程；(3)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为,P M P N k K 试探究P M P N k K ⋅的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论.参考答案： 1、i -2 2、[]2,0； 3、10； 4、4 5、9； 6、向左平移12π个单位7、若b a ≤，则122-≤b a ； 8、b ab b a >>+2；9、π； 10、31；11、072025=-+=--y x y x 和； 12、2； 13、2-； 14、4,3,115、解：（1） 等差数列{}n a 中11=a ，公差1=d ()22121n n d n n na S n +=-+=∴nn b n +=∴22 …………………………………………4分（2） ()1222+=+=n n nn b n …………………………………………6分()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯+⨯=++++∴114313212112321n n b b b b n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=111413*********n n ……8分⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=1112n …………………11分0>n 1110<+<∴n 211120<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<∴n221<+++∴n b b b ． ………………………………14分16、解：（Ⅰ）由题设得22||1ab ==，对|||k a b a k b +=-两边平方得22222223(2)k a k a b b a k a b k b +⋅+=-⋅+ ………………………………………………2分展开整理易得21()(0)4k f k a b k k+=⋅=> …………………………………………4分（Ⅱ）2111()4442k k f k kk+==+≥，当且仅当k ＝1时取得等号. ………………6分欲使21()22f k x tx ≥--对任意的[1,1]t ∈-恒成立，等价于211222x tx ≥--…7分即2()210g t xt x =-+≥在[1,1]-上恒成立，而()g t 在[1,1]-上为单调函数或常函数，所以22(1)210(1)210g x x g x x ⎧=-+≥⎪⎨-=--+≥⎪⎩ ……………………………………………………11分解得11x -≤≤………………………………………………………………13分故实数x的取值范围为[11]- ……………………………………………14分17、解：（1）∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan2ααα⨯===--- ………………… （4分）所以tan tan tan 14tan()41tan 1tan tan4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+…………………（7分）（2）由(1)知, tan α=－34,所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--……………………………（10分）(3)αααααααααα222222cos sincos 5cos sin 4sin 3cos 5cos sin 4sin3+++=++=591tan 5tan 4tan 322=+++ααα …………………………………… (14分)18、解：⑴当080,*x x N <<∈时，()2250010001110250402501000033x L x x x x x ⨯=---=-+- …………（2分）当*80,x x N ≥∈时，()50010001000010000511450250120010000x L x x x xx ⨯⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭……（4分）()()()2**140250,080,3100001200,80,x x x x N L x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪⎪∴=⎨⎛⎫⎪-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩………………………（7分）⑵当080,*x x N <<∈时，()()21609503L x x =--+，∴ 当60x =时，()L x 取得最大值()60950L =（万元）………………（10分）当*80,x x N ≥∈时，()100001200120012002001000L x x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭………（14分） 10000,100x x x∴==当即时，()L x 取得最大值1000万元，即生产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大 ……………………………………………（16分） 19、解：(1)易知，函数)(x f 的定义域为),0(∞+. ……………………………………………1分当2-=a 时，xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-='. ……………………………………………2分当x 变化时，)(x f '和)(x f 的值的变化情况如下表： ……………………………………4分由上表可知，函数)(x f 的单调递减区间是（0,1）、单调递增区间是（1，+∞）、极小值是1)1(=f . ……………………………………………………………………………………………………8分(2) 由x x a x x g 2ln )(2++=，得222)(xxa x x g -+='. ………………………………9分又函数xx a x x g 2ln )(2++=为[1,)+∞上单调函数，① 若函数)(x g 为[1,)+∞上的单调增函数，则0)(≥'x g 在[1,)+∞上恒成立，即不等式2220a x xx-+≥在[1,)+∞上恒成立.也即222x xa -≥在[1,)+∞上恒成立. ………12分又222)(x xx -=ϕ在[1,)+∞上为减函数，0)1()(m ax ==ϕϕx . (13)分所以0a ≥.② 若函数)(x g 为[1,)+∞上的单调减函数，则0)(≤'x g 在[1,)+∞上恒成立，这是不可能的. ……………………………………………………………………………………………………………………15分综上，a的取值范围为[0+∞. ………………………………………………………………………16分20、解：（1）由于点2在椭圆上，222221ab += ------1分2a =4, ------2分椭圆C 的方程为22143xy+=--------3分焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）-----------4分 （2）设1K F 的中点为B （x, y ）则点(21,2)K x y +--------6分把K 的坐标代入椭圆22143xy+=中得22(21)(2)143x y ++=-----8分线段1K F 的中点B 的轨迹方程为221()1324yx ++=----------10分（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称 设0000(,)(,),(,)M x y N x y p x y -- ----11分,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得222200222211x y x yaba b+=+=，------12分000P M P N y y y y k K x x x x -+==-+-------------------13分P M P N k K ⋅=2200022y y y y y y x x x x x x -+-⋅=-+-=22b a------------15分故P M P N k K ⋅的值与点P 的位置无关，同时与直线L 无关，-----16分。