三自由度永磁球形电极磁场分析!!!

r2
d2 R dR +2r -l（l+1）R 0 ，通解为： dr dr 2
R （r） =Ar l +D
1 r l+1
(16)
其中，A 和 D 的值由磁场边界条件确定。而对于右端，其形式为球谐函数方程，解其可得： 120
m Yl （ ，） =
2l+1 （l-m）！ m Pl （cos） eim (17) 4 （l+m）！
r2 乘各项，可得： RY
1 d 2 dR 1 Y 1 2Y (15) （r ） =（sin ）2 R dr dr Y sin Ysin 2
115
令式(15)左右两端均等于 l（l+1），要使勒让德方程在 -1,1 上有有限级数解，则 l 为 整数，取自集合（0，1，2，„，∞）。对于左端，其形式为标准欧拉方程
3 磁场分析（Magnetic filed analysis）
3.1 磁场分区 65 本文分析了一种转子上安装有双层永磁体的直流永磁球型电机的空间磁场分布， 双层永 磁体拥有类似于贝壳的形状，这样，就可以和转子壳一起形成一个类似于球的形状。 本文将转子空间分为三个区域，第一区域为转子外部的空气区域，第二区域为转子永磁 体的区域，第三区域为永磁体内部的由软铁物质构成的转子球壳。 对于线性并且各向同性的介质，当介质中场强不是很大时，其磁感应强度方程为： 70
B= H
软铁中： =0 r ，其中 r 为软铁物质的相对磁导率。
(1)
=0 ； 其中， B 为磁感应强度， H 为磁场强度， 根据电磁场理论， 空气中： 为物质的磁导率。
75
与线性磁介质相比，铁磁性物质存在磁滞回线。简单的说，就是当撤去外磁场后，铁 磁性物质仍然会存在磁感应强度，这个现象成为剩磁现象，这也是制作永磁体的原理。 对于稀土永磁体，磁感应强度方程应修改为：
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三自由度永磁球形电机磁场分析#
陈伟海，刘岩，张良*
5 （北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院） 摘要： 提出了一种直流永磁球形电机整体结构的设计理念。 为了减小球形电机运动环节产生 的摩擦力，针对球形电机结构特点，设计了采用基于十字轴结构的运动装置。并结合编码器 以及倾角传感器， 提出了在球形电机内部可实现三位置检测的设计思路。 为了得到球形电机 的力矩输出与线圈激励的关系， 对球形电机进行了磁场分析， 利用麦克斯韦定律建立标量磁 位的拉普拉斯方程， 求解方程并利用边界条件得到空间磁场分布表达式。 其结果可为进一步 的研究和实验方案设计提供借鉴和参考。 关键词：球形电机；机构设计；磁场分析 中图分类号：TM 359.9
H=0
根据标量磁位 的定义，
H=-
85 其中 为哈密顿算子。
由于所分析的磁场空间为球形，故需对式(5)进行变形，将其转化为球坐标系下的表达 =x e x +ye y +ze z ，对于笛卡尔坐标系中的一小段曲线进行平方 式。设一矢量 K=（x，y，z） 可表示为：
d 2s=d 2 x+d 2 y+d 2 z
B=0 m H +0 M0
(2)
其中， m 为稀土物质的相对磁导率； Brem =0 M 0 为剩磁磁通密度，它代表了永磁体的
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磁感应强度大小。

根据麦克斯韦方程（MaxWell），在这三个区域中，均不存在电流源，即： 80 磁场强度为无旋量，即： J=0 (3) (4) (5)
50
如图 1 所示，转子上均匀安装有 8 个圆柱型永磁体，定子壳内部安装有双层线圈，对线 圈通以直流电， 导线中通电， 那么导体中就有无数的运动电荷， 运动的电荷产生变化的电场， 变化的电场会产生磁场，磁场方向用右手螺旋定则可以判断得出。根据这一原理，可以将通 电线圈视为圆柱型磁体，极性由直流电的方向决定。同性的磁极会产生相互排斥的作用力， 相反，异性的磁极会产生相互吸引的作用力，利用这一原理，通过对球面上经度相同的上下 层相对的两个定子线圈通以方向相反的电流， 就可以使一个线圈吸引转子球赤道面上的永磁 体，而另一个线圈排斥此永磁体，这样就可以在球型电机的转子上产生倾斜力矩，推动转子 实现倾斜运动。
K K K 2 d s=dK dK=（ dr+ d + d） r
2
(8)
95
又可知，r 、φ 、θ 为正交坐标系，故式(8)分解后， drd 、 drd 、 d d 项的系数均为 “0”。可将式(8)简化为：
d 2s=d 2 r+r 2 d 2 +r 2 sin d 2
20
25
1 引言（Introduction）
30 随着机器人及各种工业技术的发展， 多自由度的关节运动装置已经被广泛应用于各种机 械结构中，但这种装置需要由多个传统单自由度驱动器及复杂的机械传动机构组成。对此国 内外许多学者提出了球形电机的概念，传统上，球电机的支撑机构有采用面接触的，也有采 用球轴承支撑的[1-6]。但是，摩擦力过大，使得球电机的实用性大打折扣。本文采用基于十 字轴结构的运动装置，解决了以上机械设计中存在的种种不足。 35 对直流永磁球形电机进行运动控制，就需要得到空间磁场的分布情况，对球形电机空间 磁场的分析就成为了必须要研究的问题。 综合而言，球形电机的研究离不开检测装置和磁场和的研究工作，因此，这部分工作内 容对后续的研究工作有着很大的帮助。
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Tilting motion 1 PM Rotor Coil Rotor shaft Tilting motion 2 Stator Spinning motion

45
Fig.1
图 1 球形电机模型 model for spherical actuator
对于磁场第一、三区域，将其代入式(3.1)中，可得： 105 其中， 2 为拉普拉斯算子。 对于第二区域，将式(11)代入式(2)中，可得：
2 = M 0
2 =0
(11) (12)
m
(13)Biblioteka -3-中国科技论文在线
110 式(12)的形式。 标量磁位的拉普拉斯方程在球坐标系下的表达式为：
(6)
90
对于矢量 K，根据球坐标与笛卡尔坐标的转换关系，求其在球坐标系三个坐标 r 、φ 、 θ 求偏导数，可求出参数曲线对应的切向量： K =（sin cos ， sin sin ， cos ） r K =（r cos cos ，r cos sin ， -r sin ） (7) K =（rsin sin ，r cos cos ，） 0 而：
Coil 9/21 8/20 7/19 6/18 Stator N 5/17
S
S
10/22
N
Rotor
N
y
4/16
11/23 12/24
N
S
3/15 2/14 Label of coils
S
1/13
x
55
Fig.2
图 2 连续旋转运动示意图 The chart of the continuous spinning motion
综合式(16)和式(17)可得标量磁位的表达式：
=
l=0

m=-l
m l m -(l+1) m Yl （ ，） Al r +Dl r
l
(18)
其中， Alm 和 Dlm 分别为 Klm A 和 K lm D ， K lm 为球谐函数通解中的待定常数，同样由磁 场边界条件确定。 125 根据数学物理方法中的相关内容可知[10]， 永磁体剩磁矢量 M or 满足球谐函数边界条件， 故 M or 可展开为本征值问题。故：
2 永磁球形电机结构设计（Mechanical Structure）
40 借鉴各国学者们在之前提出的电机模形， 本文提出了一种具有双层定子线圈和单层永磁 体结构的直流永磁球形电机。 这种球形电机是利用通电导线与磁场的相互作的电磁原理工作 的。
基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金(20101102110006). 作者简介：陈伟海(1955-)，男，教授，博士生导师，主要研究方向为机器人技术、电机设计. E-mail: whchenbuaa@
(5)转化为球坐标系下的表达式： 100 3.2 拉普拉斯方程的求解 由于静磁场属于无散场，因此：
H=- =-
(9)
这样，就得到了曲线在球坐标系下的表达式，将其与笛卡尔坐标系进行比较，可以将式
1 1 er +e +e (10) r r r sin
B=0
60
如图 2 所示， 在任意时刻， 对球型电机转子上某一永磁体同一纬线上相邻的两个定子线 圈通以方向相反的直流电， 就可以使其中一个线圈吸引转子球赤道面上的永磁体， 而另一个 线圈排斥此永磁体， 可以在球型电机的转子上产生旋转力矩， 当对所有的线圈通以激励电流 后，即可实现球型电机的的转子产生绕输出轴的旋转运动。根据每一不同的位置，使电流控 制器对各个线圈输出不同的电流大小和方向，球型电机即可以实现连续的旋转运动。
10
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The Magnetic Field Analysis of a Spherical motor
Chen Weihai, Liu Yan, Zhang Liang
(School of Automation Science and Electrical Engineering, Beihang University) Abstract: This paper has presented a design concept of a direct-current permanent magnetic spherical actuator. In order to reduce the friction of the spherical actuator, we design a locomotion mechanical device which is based on the omni-directional axis. Combined with the encoder and rotation sensor, the device we proposed is able to measure the three dimensional orientation of the rotor. In order to obtain the relationship between the torque output and current input, we first analyze the magnetic field distribution of the spherical actuator. Magnetic scalar potential is obtained according to the magnetic properties of rotor materials. With appropriate boundary conditions, the magnetic scalar potential is solved analytically. The result can be a reference for the future research and experimental design. Key words: spherical actuator; mechanical design;magnetic filed analysis