第21章.一元二次方程复习与小结(2课时)
一元二次方程小结与复习
一元二次方程小结与复习教学目标：1、了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的公式解法和其他解法；能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的解法求方程的根2、理解一元二次方程的根的判别式，会运用它解决一些简单问题3、进一步培养学生快速准确的计算能力4、进一步培养学生严密的逻辑推理与论证能力，进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力 教学重点：一元二次方程的解法及判别式难点配方法⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≠=++<∆=∆>∆-=∆≥--±-=≥=+=，方程无实数根当个相等的实数根，方程有当个不相等的实数根方程有当判别式称为一元二次方程根的根的判别式降次、转化因式分解法）（公式法的形式配方法：配成完全平方）型方程或直接开平方法，适用于换元法解法常数项一次项系数二次项系数一般式：方程的整式方程为一元二次高次数为数，且含有未知数的最定义：只含有一个未知0202,0,42b 042242x 0()2(2c b )0(0ax 22ac ac b a ac b b p p n mx p x a a c bx 一元二次方程 课堂练习（检查学生知识学习程度）练习1 指出下列哪些是一元二次方程，并写出二次项系数，一次项系数以及常数项）（）（1(03)1)(6(12)3)(12)(5(022)4(021)3(0)2)(3x )2(32122222≠=-+-+=+-=+-=-+=-+=-m m mx x m x x x y x x x x x x结论：判断一个方程是否是一元二次方程，先看它是不是一元整式方程，然后再通过去括号，移项，合并同类项等步骤化简整理后，再看未知数的最高次数是不是2一元二次方程的四种解法1. 直接开平方法2.配方法3.公式法4.因式分解法 延伸 配方法例 解方程86)-3)(x x 5-x 8-x 202-4x 371x 3222=+==-=+（因式分解法公式法配方法）（直接开平方法x练习2 选择适当方法解下列方程1256)(4015x 430175229)132122222222=---=+++=+-=+-=-x x x x x x x x x x x x 、、、、（、4. 解：设x +=2x t ,则原方程可化简为 6t t 2=+即 (t+3)(t-2)=0解之得 2,321=-=t t1,2,0(322122=-=∴<∆-=+=+x x x x x x 原方程的解为无解）或练习31、求m 为什么实数时，方程036)12=+--x x m （，根①有实数根②没有实数。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结
一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。
第二十一章 一元二次方程单元小结
第21章一元二次方程小结与复习
教学目标：
知识与技能：
灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，运用一元二次方程解决简单的实际问题．
过程与方法：
经历运用知识、技能解决问题的过程，发展学生的独立思考能力和创新精神．
情感态度与价值观：
培养学生对数学的好奇心与求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯．
教学重难点：
重点：运用知识、技能解决问题
难点：解题分析能力的提高．
教学过程
一、知识回顾
1．方程中只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______，这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________；（2）________；（3）_________；（4）求根公
式法，求根公式是______________．
3．一元二次方程的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，它没有实数根．
二、习题演练
点拨：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法．
三、随堂巩固
课本P25复习题21第1、3、5、11题
四、小结作业
1.问题：谈一谈本节课自己的收获和感受？
2.作业：课本P25复习题21第2、4题。
九年级数学上册第21章一元二次方程21.2一元二次方程解法复习
第十九页，共二十二页。
课外作业
如OC图=，55AcmO，=5蚂0c蚁m，甲以2cm/sA P O
B
的速度(sùdù)从A爬到0，蚂蚁
乙以3的面积为
Q
300cm2?
12/11/2021
第二十页，共二十二页。
C
2021/12/11
第二十一页，共二十二页。
直接(zhíjiē)开平方法： 典型例题讲解
例1 (2x-1)2=1
左边是完全(wánquán)平方式，右边是非负
数
解: (2x-1)=±1
两边(liǎngbiān)直接开平 方
2x-1=1 或 2x-1= -1 降次－ 转化为一元一次方程
x1=1, x2=0
解一元一次方程
12/11/2021
第八页，共二十二页。
算出b 2-4ac的值，并 判断根的情况。
y=
(2)
121
3 代入求根公式x1•2 b
b2 4ac 2a
22
2
y = 1 2 3, 1 12/11/2021
y2= 1 3 2 第十三页，共二十二页。
四、因式分解 法 (yīn shìfēn jiě)
1.因式分解的方法有：
(1) 用提公因式法;(2)应用公式法；（3）十字相乘法。
（3）得到形如： x = a . 的一元一次方程。
x x （4）写出方程的解
=1 ?
=?
2
12/11/2021
第九页，共二十二页。
典型例题(lìtí)讲解
例 用配方法解下列(xiàliè)方程
x2+6x=7
解 ：x26x7
x26x979
x32 16
x34
第21章 一元二次方程 师大版九年级数学上册小结与复习教案
第21章一元二次方程小结与复习一、教学目标(一)知识与技能：1.灵活运用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元-二次方程；2.运用一元二次方程解决简单的实际问题.(二)过程与方法：1.经历运用知识，技能解决问题的过程，发展学生的独立思考能力和创新精神；2.了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想.(三)情感态度与价值观：培养学生对数学的求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯. 二、教学重点、难点 重点：根据一元二次方程的特征，灵活选用解法，以及应用一元二次方程知识解决实际问题. 难点：灵活选用恰当方法解一元二次方程以及列方程. 三、教学过程 知识梳理一、一元二次方程的基本概念 1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.2.一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)3.项数和系数：二次项：ax 2 二次项系数：a 一次项：bx 一次项系数：b 常数项：c4.注意事项：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程.二、一元二次方程的根与系数的关系已知x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的两根. 则有：abx x -=+21，acx x =21.注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条件下应用，即b 2-4ac ≥0；(3)在使用abx x -=+21时，注意“-”不要漏写. 三、解一元二次方程的方法各种一元二次方程的解法及使用类型四、一元二次方程的应用 列方程解应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量. 设：设未知数，设其中某个未知量为x . 列：根据题意寻找等量关系列方程. 解：解方程.验：检验方程的解是否符合题意. 答：写出答案(包括单位).考点讲练考点一 一元二次方程的定义例1 若关于x 的方程(m －1)x 2＋mx －1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是( ) A.m ≠1 B.m ＝1 C.m ≥1 D.m ≠0 针对训练1.方程5x 2－x －3＝x 2－3＋x 的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____.2.当k _____时，关于x 的方程()04231||=++--x x k k 是一元二次方程.考点二 一元二次方程的根的应用例2 若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m 2－1＝0有一个根为0，则m ＝____. 针对训练3.一元二次方程x 2＋px －3＝0的一个根为3，则p 的值为_____. 考点三 一元二次方程的解法例3 (1)用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，应变为( )A.(x －1)2＝6B.(x ＋2)2＝9C.(x ＋1)2＝6D.(x －2)2＝9(2)某三角形两边长分别为3和6，它第三边的长是方程x 2－13x ＋36＝0的根，则该三角形的周长为( )A.13B.15C.18D.13或18 针对训练4.菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为( )A.12B.16C.16或12D.24 5.用公式法和配方法分别解方程：x 2－4x －1＝0 解：公式法：a =1，b =-4，c =-1. Δ=b 2-4ac =(-4)2-4×1×(-1)=20＞0 方程有两个不等的实数根521220)4(242±=⨯±--=-±-=a ac b b x即 x 1=2+5，x 2=2-5. 解：配方法：移项，得 x 2-4x =1配方，得 x 2-4x +22=1+22(x -2)2=5 由此可得 x -2=5± ∴ x 1=2+5，x 2=2-5.考点四 一元二次方程的根的判别式的应用例4 已知关于x 的一元二次方程x 2－3m ＝4x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A.m ＜0B.m ＜2C.m ≥0D.34->m针对训练6.下列所给方程中，没有实数根的是( )A.x 2＋x ＝0B.5x 2－4x －1＝0C.3x 2－4x ＋1＝0D.4x 2－5x ＋2＝07.若关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2－6x ＋3＝0有实数根，则k 的取值范围是__________. 考点五 一元二次方程的根与系数的关系例5 已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m 、n ，不解方程求m 2－mn ＋n 2的值. 解：∵ m 、n 是方程x 2-4x -3=0的两根 ∴ m +n =4，mn =-3∴ m 2-mn +n 2=m 2+2mn +n 2-3mn =(m +n )2-3mn =42-3×(-3)=25 针对训练8.已知方程2x 2＋4x －3＝0的两根分别为x 1和x 2,则2221x x +的值等于( )A. 7B.－2C.23D.23- 重要变形2122122212)(x x x x x x -+=+，212212214)()(x x x x x x -+=-，2121211x x x x x x +=+ 考点六 一元二次方程的应用 例6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.(1)若公司每天的销售价为x 元，则每天的销售量为多少？(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 解：(1)每天的销售量为：32-2(x -24)=(80-2x )件； (2)由题意可得(x -20)(80-2x )=150 解得 x 1=25，x 2=35由题意x ≤28，∴ x =25，即销售价应当为25元. 针对训练9.菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？ 解：设平均每次下调的百分率是x ，根据题意得 5(1-x )2=3.2解得 x 1=1.8(舍去)，x 2=0.2=20% 答：平均每次下调的百分率是20%.10.为了响应市委市政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为30m ，宽为20m 的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和三条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m 2，那么小道的宽度应为多少米？解：设小道的宽度应为x 米.根据题意得 (30-2x )(20-x )=532 整理得 x 2-35x +34=0 解得 x 1=1，x 2=34(舍去) 答：小道的宽度应为1米.。
人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》知识点小结与复习
当 a 0 时,它不是一元二次方程.
方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？
解： 原方程转化为(2a-4)x2 -2bx+a=0 当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
m=
。
3、当m
时，关于x的方程3x2－
2(3m+1)x+3m2－1=0有两个不相等的实数
根。
4、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－
2=0的根的判别式的值等于4，则m=
。
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= -
2(a－2)x+a２－5=0有实数根，且两 根之积等于两根之和的2倍，求a的值。
【例4】已知x1,x2是关于x的方程 x2+px+q=0的两根，x1+1,x2+1是关 于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常 数p、q的值。
拓展练习：
１、当a,c异号时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的
情况是
一元二次方程的解法：（公式法）
例：（3） 2x2 3x 4 0
解： a 2,b 3,c 4
b2 4ac 32 4 24
9 32 41
3 41
x 22
3 41 3 41 x1 4 , x2 4
注：当一元二次方程二次项系数不为1且
难以用因式分解时常用公式法比较简便。
b2 4ac 0,
一元二次方程小结
第二十一章小结与复习一、内容和内容解析1.内容对本章内容进行梳理总结,建立知识体系，综合应用本章知识解决问题.2.内容解析在学习全章有关知识的基础上，分两课时对本章内容进行梳理总结，建立知识体系，并综合应用本章知识解决问题。
第一课时着重对本章内容进行梳理总结，建立知识体系；第二课时综合应用本章知识解决问题。
本节课设计的是第一节内容.从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。
选择适当的方法将“二次”降为“一次”是本章学习的另一条主线。
一元二次方程是本套初中数学教科书所学习的最后一种方程，对本章学习的小结也有对方程的学习进行总结的作用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：从两条主线上对本章内容进行梳理总结，建立知识体系.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握一元二次方程的解法，体会一般到特殊的思想方法。
提高数学的应用意识，培养以一元二次方程为模型解决实际问题的能力。
（2）复习本章的重点内容，整理本章知识，形成有关方程的知识体系，体会化归思想。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：明确一元二次方程的降次思想，能根据一元二次方程的特点选择恰当方法解方程。
能说出方程化归过程中各步骤的依据。
能够在具体的问题情境中建立一元二次方程数学模型，运用一元二次方程解决问题。
达成目标（2）的标志是：知道方程的主要学习内容是方程的概念、解法和应用，形成有关方程的知识体系。
以一元二次方程为重点，回顾比较前面已经学习过的其他整式方程、分式方程的解题思想和化归过程，进一步体会解方程的过程是将高次化低次、分式化整式、多元化归为一元，最终使方程变形为x=a的形式，这是解方程的基本指导思想。
结合具体问题，能够通过列方程将实际问题转化为数学问题，通过解方程得到数学问题的解，通过检验得到实际问题的解，从而加深对本章知识结构图的理解。
三、教学问题诊断分析学生在本章之前学习过一元一次方程、二元一次方程组和可化为一元一次方程的分式方程，解一元二次方程提出了新的解题思想——降次。
人教版九年级数学上第21章一元二次方程复习与小结课件
广东省怀集县观塘初级中学
韩文丽
二、强化训练
1、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组 共送贺卡72张，则这个小组共 9 人。
2、一个两位数等于它的个位数的平方，且各 位数字比十位数字大3，则这个两位数为
25或36
3、若关于x的一元二次方程ax²-2x+6=0有两
个实数根，求a的取值范围。
解：依题意得a≠0,
即3x= 6 ∴
5
∴
3
-
2 5
m 5
x 2 5
即 m=-13
广东省怀集县观塘初级中学
韩文丽
知识点二 降次——解一元二次方程
1、配方法 配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为 两个 一元二次方程来解。
步骤：
①方程化为一般情势; ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边 为常数项；
③化二次项系数为1；
x2
-
b a
0
即k+1=0
∴k=-1
（2） x1
x2
c a
1
即 k-2=1
∴K=3
（3）x1 x2 k 2 0
∴K=2
广东省怀集县观塘初级中学
韩文丽
我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
广东省怀集县观塘初级中学
韩文丽
2、已知2和-1是关于x的方程2x²+mx+n=0 的两个根，则m的值为 -2 ，n的值为 -4
3、已知方程3x²+2x-3=0的两根为 x1, x2 ，
则 x1 x2
2 3
x1 x2 -1
=
22 9
。
广东省怀集县观塘初级中学
第二十一章 一元二次方程 章末复习小结(2)基本技能、基本思想方法和基本活动经验
整理，得x2+x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝2．
选用合适的方法求解一元二次方程
变式1：解方程：
(1) − 1
2
=4
(2) 2 − 6 − 18 = 0
(3)3 − 2
2
= −2
（1）解： − 1
2
= 4，
解得：1 = 3, 2 = −1；
∴∆≥0，即32-4（k-2）≥0， 解得k≤
17
4
变式训练2．已知关于x的一元二次方
（2）∵方程的两个实数根分别为1 , 2 ，
程 − − + = 有两个实数根
∴1 + 2 = −3, 1 2 = − 2，
, ．
∵ 1 + 1 2 + 1 = −1，
（2） 2 − 6 − 18 = 0
∴ 2 − 6 = 18，
∴ 2 − 6 + 9 = 27，
∴ − 3 = ±3 3，
解得：1 = 3 + 3 3, 2 = 3 − 3 3；
（3）3 − 2
∴3 − 2
2
2
= −2
− − 2 = 0，
∴ − 2 2 − 6 = 0，
意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识
和能力。
选用合适的方法求解一元二次方程
1 用适当的方法解下列方程：
1) − 2
2
= 4 − 2 2
2) − 1 + 2 = 4
【详解】
（1）解：（1）（x﹣2）2＝4x﹣2x2，
整理，得（x﹣2+2x）（x﹣2）＝0，
第二十一章 一元二次方程 小结与复习
针对训练
2. 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值 为 -1 .
考点三 一元二次方程的解法
例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ A ）
A. (x-1)2=6
B.(x+2)2=9
C. (x+1)2=6
D.(x-2)2=9
(2) (易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方
解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
针对训练
1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4 ，一次
项系数是 -2 ，常数项是 0
.
考点二 一元二次方程的根的应用 例2 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一 个根为0,则m= -1 .
解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定
会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为 未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的 解题方法我们称之为“有根必代”. 【易错提示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方 程，所以1不符合，应引起注意.
根的判别式： Δ=b2-4ac
b
根与系数的关系
x1
x2
a
c
x1 x2 a
第二十一章小结与复习
第二十一章小结与复习【学习目标】1．记住一元二次方程的概念．2．能根据不同的一元二次方程的特点，选择恰当的方法求解，使解题过程简单合理．3．能用判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况．4．记住：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.并对这一性质进行运用．5．能根据数量之间的关系，列出一元二次方程解决应用题．【学习重点】一元二次方程的解法．一元二次方程的应用题．【学习难点】列一元二次方程解决实际问题．教学建议：建议本课时分两个课时，第一课时情景导入、自学自研并交流展示知识模块一、二，第二课时复习知识结构并交流展示知识模块三、四、五．一、情景导入生成问题知识结构我能建：一元二次方程⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1.概念：只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）Ｗ.2.解法⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧（1）直接开平方法，适用于能化为（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的一元二次方程；（2）配方法；（3）公式法，其中求根公式是x ＝2a （4）因式分解法，即把方程变形为ab ＝0的形式，（a ，b 为 两个因式），则a ＝0或b ＝0Ｗ.3.根的判别式⎩⎨⎧（1）当b 2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b 2－4ac<0时，方程没有实数根.4.根与系数的关系：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的解是x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－ba ，x 1·x 2＝ca Ｗ.5.一元二次方程的应用.二、自学互研 生成能力知识模块一 一元二次方程的有关概念【自主探究】典例1：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由．(1)1x 2－2x ＋1＝0； (2)x 2＝4； (3)x 2－4＝(x ＋2)2.解：(1)不是．不符合条件：整式方程；(2)是．符合一元二次方程的概念；(3)不是．方程整理后，不符合条件：未知数的最高次数是2.【合作探究】典例2：已知关于x 的方程(m ＋3)(m －3)x 2＋(m ＋3)x ＋2＝0.(1)当m 为何值时，此方程是一元一次方程？解：由题意得(m ＋3)(m －3)＝0且m ＋3≠0，所以m －3＝0，即m ＝3.(2)当m 为何值时，此方程是一元二次方程？解：由题意得(m ＋3)(m －3)≠0，即m ≠±3.典例3：已知a 是方程x 2－2016x ＋1＝0的一个根，试求a 2－2015a ＋2016a 2＋1的值． 解：∵a是方程x 2－2016x ＋1＝0的一个根，∴a 2－2016a ＋1＝0，∴a 2＋1＝2016a.∴a 2－2015a ＋2016a 2＋1＝a 2－2016a ＋a ＋20162016a ＝－1＋a ＋1a ＝a 2－a ＋1a ＝2016a －a a＝2015 知识模块二 一元二次方程的解法【合作探究】典例4：用适当的方法解下列一元二次方程：(1)(x ＋2)2－16＝0； (2)(x －3)2＋x 2＝9； (3)3x 2＋4x －7＝0.解：(1)(x ＋2)2＝16，x ＋2＝±4，x 1＝2，x 2＝－6；(2)(x －3)2＋x 2－9＝0(x －3)2＋(x ＋3)(x －3)＝0(x －3)[(x －3)＋(x ＋3)]＝0x 1＝3，x 2＝0(3)a ＝3，b ＝4，c ＝－7，b 2－4ac ＝16－4×3×(－7)＝100.x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝－4±1002×3＝－4±106. x 1＝1，x 2＝－73.知识模块三 一元二次方程的根的判别式【自主探究】典例5：k 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －5＝0：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根．解：Δ＝(－4)2－4·(k －5)＝16－4k ＋20＝36－4k.(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即36－4k>0.解得k<9.(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即36－4k ＝0.解得k ＝9.(3)∵方程没有实数根，∴Δ<0，即36－4k<0.解得k>9.知识模块四 一元二次方程的根与系数的关系【自主探究】典例6：不解方程，求方程两根的和与两根的积．(1)x 2＋4x ＋1＝0；解：x 1＋x 2＝－4，x 1·x 2＝1(2)3x 2＋10＝2x 2＋8x.解：x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝10【合作探究】典例7：已知x ＝－1是方程x 2＋mx －5＝0的一个根，求m 的值及方程的另一根x 2.解：解法1：将x ＝－1代入原方程，得(－1)2＋m·(－1)－5＝0，解得m ＝－4.当m ＝－4时，方程为x 2－4x －5＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5.∴m ＝－4，方程另一根x 2＝5.解法2：由根与系数的关系可得：⎩⎨⎧x 2＋（－1）＝－m ，x 2·（－1）＝－5.解得⎩⎨⎧m ＝－4，x 2＝5.知识模块五 一元二次方程的应用【自主探究】典例8：要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排90场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？解：设应邀请x 个篮球队参加比赛，根据题意，得x （x －1）2×2＝90. 则x 2－x －90＝0.解得x ＝10或x ＝－9(舍去)．答：应邀请10个篮球队参加比赛．三、交流展示 生成新知见光盘知识模块一一元二次方程的有关概念 知识模块二一元二次方程的解法 知识模块三一元二次方程的根的判别式 知识模块四 一元二次方程的根与系数的关系知识模块五 一元二次方程的应用四、当堂检测 达成目标见《精英新课堂》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：_________________________________________2．存在困惑：_____________________________________。
第21章一元二次方程重难点总结(教案)
在今天的一元二次方程教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握这个数学工具。首先，通过日常生活中的例子导入新课，我希望能够激发学生的兴趣，让他们意识到数学与现实生活的紧密联系。这种方法似乎很有效，我看到学生们在听到问题时都显得很兴奋，这为后续的学习打下了一个良好的基础。
在理论介绍环节，我发现有些学生对一元二次方程的基本概念接受得很快，但也有一些学生显得有些困惑。我意识到，对于这样的抽象概念，仅仅通过语言描述是不够的，还需要结合图形和具体例题来加深理解。因此，我及时调整了教学方法，通过图解和动画来展示方程的解和抛物线的关系，这帮助学生更好地理解了方程的根的性质。
-对于因式分解法的应用，学生容易在分解过程中出现错误，需引导学生理解并掌握因式分解的技巧。
（3）图解法的应用：利用抛物线图像分析一元二次方程的根；
-图解法对于学生的几何直观能力要求较高，需要通过具体实例和绘图练习来提高学生的图解能力。
（4）一元二次方程根的判别式Δ的应用；
-判别式Δ的意义及其与根的关系是学生理解的难点，需要通过具体例题和练习，让学生明确判别式Δ对根的影响。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的解法（公式法、配方法、因式分解法）和根的性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示一元二次方程在实际问题中的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在数学和物理学等多个领域有着广泛的应用，是解决平方关系问题的有力工具。
第21章 一元二次方程小结与复习 人教版数学九年级上册课件
转化为一般 式，判断 Δ
考点四 一元二次方程的根与系数的关系
例5 已知一元二次方程 x2 - 4x - 3 = 0 的两根为 m，n， 则 m2 - mn + n2 = 25 ．
总结 重要公式变形：
练一练
2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2mx + m2 + m = 0 有 两个实数根．
第二十一章 一元二次方程
小结与复习
人教版九年级（上）
单元结构图
设未知数，列方程 实际问题
一元二次方程
ax2 + bx + c = 0
配方法
解 方 程
公式法 因式分解法
降 次
实际问题 的答案
检验 方程 ax2 + bx + c = 0 的根
1. 一元二次方程的三个判断条件： ①方程两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是 2.
2. 根的判别式与根与系数的关系：
Δ > 0，方程有两个不等的实数根
根的判别式 Δ = b2 − 4ac
Δ = 0，方程有两个相等的实数 根 Δ < 0，方程无实数根
根
*根与系数的关系
3. 解一元二次方程几种方法：
直接开平方法
(mx + n)2 = p (p≥0，m≠0)
配方法 解
法
公式法
(mx + n)2 = p (p≥0)
即
(2) (2x − 1)2 = (3 − x)2.
解：直接开方法： 2x −1=±(3 - x)， 即 2x −1 = 3 − x， 或 2x − 1 = −3 + x. ∴ x1 = ，x2 = −2.
人教版数学九年级上册教案：第21章一元二次方程小结与复习
第二十二章《一元二次方程》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程*（4）有理方程高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。
（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，•将a、b、c代入求根公式x=（b2-4ac≥0）就得到方程的根．（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。
3、一元二次方程根的判别式（1）⊿＝b2－4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。
21.4 《一元二次方程》 小结与复习
《一元二次方程》小结与复习学 习 目 标1、一元二次方程的相关概念；2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；学习重点 运用知识、技能解决问题。
学习难点解题分析能力的提高．教 学 互 动 设 计一、知识梳理1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0(a ≠0)，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数，bx是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。
3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法4、一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式是△= b 2-4ac ，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。
5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）当⊿=b 2-4ac ≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式为x =242b b ac a-±-；若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2=ab -，x 1•x 2=a c 。
若一元二次方程2x +px +q =0的两根为1x 、2x ，则：x 1＋x 2== -p ， x 1•x 2= q 。
6、一元二次方程的应用。
二、基本知识训练1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是【 C 】 A ．2210x x+= B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+= D ．223250x xy y --= 2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x 米，则可列方程为x (x ＋10)＝200，化为一般形式为x 2+10x -200=0。
九年级数学： 第二十一章小结与复习
第二十一章小结与复习【学习目标】1．记住一元二次方程的概念．2．能根据不同的一元二次方程的特点，选择恰当的方法求解，使解题过程简单合理． 3．能用判别式b 2－4ac 判断一元二次方程根的情况．4．记住：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .并对这一性质进行运用．5．能根据数量之间的关系，列出一元二次方程解决应用题． 【学习重点】一元二次方程的解法．一元二次方程的应用题． 【学习难点】列一元二次方程解决实际问题．教学建议：建议本课时分两个课时，第一课时情景导入、自学自研并交流展示知识模块一、二，第二课时复习知识结构并交流展示知识模块三、四、五．情景导入 生成问题知识结构我能建：一元二次方程⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧1.概念：只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）Ｗ.2.解法⎩⎪⎨⎪⎧（1）直接开平方法，适用于能化为（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的一元二次方程；（2）配方法；（3）公式法，其中求根公式是x ＝2a （4）因式分解法，即把方程变形为ab ＝0的形式，（a ，b 为 两个因式），则a ＝0或b ＝0Ｗ.3.根的判别式⎩⎪⎨⎪⎧（1）当b 2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b 2－4ac<0时，方程没有实数根.4.根与系数的关系：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的解是x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca Ｗ.5.一元二次方程的应用.自学互研 生成能力知识模块一 一元二次方程的有关概念 【自主探究】典例1：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由． (1)1x 2－2x ＋1＝0；(2)x 2＝4；(3)x 2－4＝(x ＋2)2. 解：(1)不是．不符合条件：整式方程； (2)是．符合一元二次方程的概念；(3)不是．方程整理后，不符合条件：未知数的最高次数是2. 【合作探究】典例2：已知关于x 的方程(m ＋3)(m －3)x 2＋(m ＋3)x ＋2＝0. (1)当m 为何值时，此方程是一元一次方程？解：由题意得(m ＋3)(m －3)＝0且m ＋3≠0，所以m －3＝0，即m ＝3. (2)当m 为何值时，此方程是一元二次方程？ 解：由题意得(m ＋3)(m －3)≠0，即m ≠±3.典例3：已知a 是方程x 2－2016x ＋1＝0的一个根，试求a 2－2015a ＋2016a 2＋1的值．解：∵a 是方程x 2－2016x ＋1＝0的一个根， ∴a 2－2016a ＋1＝0， ∴a 2＋1＝2016a.∴a 2－2015a ＋2016a 2＋1＝a 2－2016a ＋a ＋20162016a＝－1＋a ＋1a ＝a 2－a ＋1a ＝2016a －aa＝2015知识模块二 一元二次方程的解法 【合作探究】典例4：用适当的方法解下列一元二次方程： (1)(x ＋2)2－16＝0；解：(x ＋2)2＝16，x ＋2＝±4，x 1＝2，x 2＝－6. (2)(x －3)2＋x 2＝9 解：(x －3)2＋x 2－9＝0 (x －3)2＋(x ＋3)(x －3)＝0 (x －3)＝0 x 1＝3，x 2＝0 (3)3x 2＋4x －7＝0.解：a ＝3，b ＝4，c ＝－7， b 2－4ac ＝16－4×3×(－7)＝100. x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝－4±1002×3＝－4±106.x 1＝1，x 2＝－73知识模块三 一元二次方程的根的判别式 【自主探究】典例5：k 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －5＝0：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根．解：Δ＝(－4)2－4·(k －5)＝16－4k ＋20＝36－4k. (1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ>0，即36－4k>0.解得k<9. (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即36－4k ＝0.解得k ＝9. (3)∵方程没有实数根， ∴Δ<0，即36－4k<0.解得k>9.知识模块四 一元二次方程的根与系数的关系 【自主探究】典例6：不解方程，求方程两根的和与两根的积． (1)x 2＋4x ＋1＝0；解：x 1＋x 2＝－4，x 1·x 2＝1 (2)3x 2＋10＝2x 2＋8x. 解：x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝10 【合作探究】典例7：已知x ＝－1是方程x 2＋mx －5＝0的一个根，求m 的值及方程的另一根x 2. 解：解法1：将x ＝－1代入原方程，得 (－1)2＋m·(－1)－5＝0，解得m ＝－4. 当m ＝－4时，方程为x 2－4x －5＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5. ∴m ＝－4，方程另一根x 2＝5. 解法2：由根与系数的关系可得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（－1）＝－m ，x 2·（－1）＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，x 2＝5. 知识模块五 一元二次方程的应用 【自主探究】典例8：要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排90场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 解：设应邀请x 个篮球队参加比赛，根据题意，得 x （x －1）2×2＝90. 则x 2－x －90＝0.解得x ＝10或x ＝－9(舍去)． 答：应邀请10个篮球队参加比赛．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 一元二次方程的有关概念 知识模块二 一元二次方程的解法 知识模块三 一元二次方程的根的判别式 知识模块四 一元二次方程的根与系数的关系 知识模块五 一元二次方程的应用当堂检测 达成目标【当堂检测】1．方程5(x 2－2x ＋1)＝－32x ＋2的一般形式是5x 2，一次项是－数项是3．2．关于x 的方程(m －4)xm 2－14－x ＝5是一元二次方程，则m ＝－4． 3．解下列一元二次方程： (1)4(x －5)2－36＝0； 解：4(x －5)2＝36. (x －5)2＝9. x ＋5＝±3. x 1＝－2，x 2＝－8.(2)3x 2＋3x －2＝0； 解：a ＝3，b ＝3，c ＝－2. b 2－4ac ＝9－4×3×(－2)＝33.x ＝－3±332×3＝－3±336.x 1＝－3＋336，x 2＝－3－336.(3)x 2＋10x ＋9＝0； 解：x 2＋10x ＋25＝－9＋25. (x ＋5)2＝16. x ＋5＝±4.x 1＝－1，x 2＝－9. (4)x(x －3)＋x －3＝0. 解：(x －3)(x ＋1)＝0. x 1＝3，x 2＝－1.4．已知关于x 的方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－3＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)设x 1、x 2是方程的两根，且(x 1＋x 2)2－(x 1＋x 2)－12＝0，求m 的值． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ>0，即4(m ＋1)2－4(m 2－3)>0.解得m>－2. (2)方法一：∵(x 1＋x 2)2－(x 1＋x 2)－12＝0 ∴x 1＋x 2＝4或x 1＋x 2＝－3.∵x 1＋x 2＝2(m ＋1)，∴2(m ＋1)＝4或2(m ＋1)＝－3. ∴m 1＝1，m 2＝－52.方法二：4(m ＋1)2－2(m ＋1)－12＝0，化简得：2m 2＋3m －5＝0. 解得：x 1＝1，x 2＝－52.【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
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余庆县实验中学九年级（上）数学《三环五步》课堂教学
教学设计（师生共用）
上课时间 2018年 月 日（第 周 星期 ） 总第 课时
课 题 第21章. 一元二次方程复习与小结
主 备 人
黄行龙 二次备课人
九年级（ ）班
学生
学习目标 1、一元二次方程的相关概念；
2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；
3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；
4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；
5、构造一元二次方程解决简单的实际问题； 学习重点 运用知识、技能解决问题。
学习难点 解题分析能力的提高．
使用要求
独立完成学案，然后小组交流、展示。
小组评价 评价人签名
2018年 月 日
学 习 过 程
备 注
一、知识梳理
1、一元二次方程的概念：等号两边都是 ，只含有 个未知数（一元），并且求知数的最高次数是 （二次）的方程，叫做 。
2、一元二次方程的一般形式是： ，其中 是二次项， 是二次项系数， 一次项， 是一次项系数， 是常数项。
3、一元二次方程的解法：① 、② 、③ 、④ 。
4、一元二次方程ax 2
+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式是△= ，当⊿＞0时，方程有 的实数根；当⊿=0时，方程有 的实数根；当⊿＜0时，方程 实数根；当⊿ 时，方程有实数根。
5、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：
当⊿=b 2
-4ac ≥0时，一元二次方程ax 2
+bx +c =0(a ≠0)的求根公式为x = ；若一元二次方程ax 2
+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2= ，x 1•x 2= 。
若一元二次方程x 2
+px +q =0的两根为x 1、x 2，则：x 1＋x 2= ， x 1•x 2= 。
6、一元二次方程的应用。
二、基本知识训练
1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是【 】
A ．2
210x x
+= B ．2
0ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+= D ．223250x xy y --=
2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x 米，则可列方程为 ，化为一般形式为 。
3、已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2
+x +1=0的一个根，则m 的值是【 】
A ． 1
B ．﹣1
C ．0
D ．无法确定
4、咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420
元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，依题意可列方程为 ，此方程适宜用 方法来解。
5、用配方法解关于x 的一元二次方程x 2
﹣2x ﹣3=0，配方后的方程可以是【 】
A ．（x ﹣1）2
=4 B ．（x +1）2
=4 C ．（x ﹣1）2
=16 D ．（x +1）2
=16
6、若一元二次方程022
=++m x x 有实数解，则m 的取值范围是【 】
A ．1-≤m
B ． 1≤m
C ．4≤m
D ．
21
≤m
7、下列一元二次方程两实数根和为-4的是【 】
A ． x 2+2x -4=0
B ． x 2-4x +4=0
C ． x 2+4x +10=0
D ．x 2
+4x -5=0 8、已知m 和n 是方程2x 2
﹣5x ﹣3=0的两根，则
=+n
m 1
1 。
三、典型例题分析
【例1】用适当的方法解下列方程：
⑴ x 2﹣4x +2=0 ⑵(1)(1)2(3)8x x x +-++= ⑶1222
+=-x x x
【例2】已知，x 是一元二次方程x 2
-3x+1=0的实数根，求代数式：
)11
21(1
2+---÷-x x x x x 的值．
解：
【例3】关于x 的一元二次方程x 2
＋3x ＋m -1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2。
（1）求m 的取值范围； （2）若2 (x 1+x 2)+ x 1x 2+10=0，求m 的值. 解：
【例4】k 为何值时，方程x²-(K+1)x+(k-2)=0.
（1）两根互为相反数; （2）两根互为倒数； (3)有一根为零，另一根不为零。
解：
【例5】阅读下面的材料，回答问题：
解方程x 4－5x 2
+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2
－5y +4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．
当y =1时，x 2
=1，∴x =±1；
当y =4时，x 2
=4，∴x =±2；
∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=－1，x 3=2，x 4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到__ __的目的，•体现了数学的 思想．
（2）解方程（x 2+x ）2－4（x 2
+x ）－12=0．
解：
【例6】已知方程 的两个实数根是 且 ，求k 的值。
【例7】方程mx 2
-2mx+m-1=0（m ≠0）有一个正根，一个负根，求m 的取值范围。
四、实际问题与一元二次方程
【数字问题】1、若一个三位数的个位数字是a ，十位数字是b ，百位数字是c ，则这个三位数可表示为 。
2、有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的两位数.
【增长率问题】1、甲公司前年缴税40万元，到今年共缴税135万元，若设该公司缴税的年增长率为x ，则根据题意可列方程为 。
2、甲公司前年缴税40万元，去年和今年共缴税95万元，若设该公司缴税的年增长率为x ，则根据题意可列方程为 。
3、甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，若设该公司缴税的年增长率为x ，则根据题意可列方程为 。
【利润问题】1、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上涨3元，其销售量就能减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
2、某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
【面积问题】1 、一块长方形草地的长和宽分别为20cm 和15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面积为246cm2,求小路的宽度.
2、如图,在一块长92m,宽60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.
【几何问题】
1、
一直角三角形的斜边长7cm,一条直角边比另一条直角边长1cm,求两条直角边长度.
022=+++k kx x 2,1x x 4
2221=+x x。