《全国百强校》江苏省如皋中学2015-2016学年高二4月阶段练习理数试题解析(原卷版)Word版无答案

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）
1.设集合{}0,2,3A =，{}21,4B x x =++，{}3A B =，则实数x 的值为 ．
2.命题“若1a >，则2a >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为 ．
3.若命题p ：R x ∀∈，21x >，则该命题的否定是 ．
4.已知函数()
f x =的定义域为M ，值域为N ，则M N = ．
5.函数2cos y x x =+在[0,]2
π上取最大值时，x 的值是 ． 6.曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 ．
7.函数12ln y x x
=+的单调减区间为 ． 8.已知函数32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，则a 的取值范围是 ．
9.已知函数()x m f x e x
=-在区间[]1,2上的最小值为1，则实数m 的值为 ． 10.已知函数()2ln 2a f x x x x x =-
-在定义域内为单调函数，则实数a 的取值范围是 ． 11.已知)(x f 为定义在),0(+∞上的可导函数且0)(>x f ，若)()(x f x x f '<恒成立，则不等式
0)()1(2>-x f x
f x 的解集为 ．
12.若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根，则实数k 的取值范围是 ．
13.设曲线()1x y ax e =-在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1x y x e -=-在点()02,B x y 处的切线为
2l ，若存在
030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 ． 14.若函数()()20f x ax bx c a =++≠的图象与直线l 交于两点3(,)A t t t -，232(23,)B t t t t ++，其中
0t ≠且1t ≠-，则2(2)f t t '+的值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.(本题满分14分)
已知集合()(){}2310A x x x a =---<，函数()
()22lg 11a x y a x a -=≠-+的定义域为集合B ，若A B =，求
实数a 的值．
16.(本题满分14分)
命题p ：“关于x 的方程012=++ax x 有解”，命题q ：“R x ∈∀，
022≥+-a ex e x 恒成立”，若
“p ∧q ”为真，求实数a 的取值范围．
17.(本题满分15分)
已知函数)0(3)(3≠+-=a b ax x x f 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为8=y ．
（1）求实数b a ,的值；
（2）求函数)(x f 的单调区间；
（3）求函数)(x f 的极值．
18.(本题满分15分)
如图，在半径为2，圆心角为变量的扇形OAB 内作一内切圆P ，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并
与圆P 外切的小圆Q ，设圆P 与圆Q 的半径之积为y ．
（1）按下列要求写出函数关系式： ①设202AOB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝
⎭，将y 表示成θ的函数； ②设圆P 的半径()01x x <<，将y 表示成x 的函数．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求y 的最大值．
19.(本题满分16分) 已知函数21()34f x x x =-+-，()(1)ln m g x x m x x
=-+- ，m R ∈． （1）求函数()g x 的极值；
（2）若对任意12,[1,]x x e ∈ 12()()1f x g x -≤恒成立，求m 的取值范围．
20.(本题满分16分) 已知函数x
x x f 1ln )(-=，b ax x g +=)(． （1）若函数)()()(x g x f x h -=在),0(+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若直线b ax x g +=)(是函数x
x x f 1ln )(-=图象的切线，求b a +的最小值； （3）当0=b 时，若)(x f 与)(x g 的图象有两个交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：2122x x e ⋅>．（参考数据：
e ≈7.2，2ln ≈7.0，2≈4.1）
附加题
21.(本题满分10分)
长方体1111A B C D ABCD -中，2AB AD ==，1A A =，M 为棱1C C 的中点，1C D 与1D C 交于点N ，求
证：1AM A N ⊥．
22.(本题满分10分)
已知2011A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2435B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，且二阶矩阵M 满足AM B =． （1）求1A -；
（2）求矩阵M ．
23.(本题满分10分)
设二阶矩阵M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 方向伸长为原来5倍的伸压变换．
（1）求直线4101x y -=在M 作用下的方程；
（2）求M 的特征值与特征向量．
（3）求523M ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的值．
24.(本题满分10分)
如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是SD 上的点，且
(01)DE a λλ=<≤．
（1）求证：对任意的(0,1]λ∈，都有AC BE ⊥；
（2）若二面角C AE D --的大小为60︒，求λ的值．。