石景山区2016-2017学年第一学期高三期末数学试题
北京市石景山2017届高三上学期期末考试数学(理)试题【含答案】
北京市石景山区区2016-2017学年度第一学期高三期末理科数学2017．1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}21012A =--，，，，，{}01B x x =≤≤，那么A B =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}01，D ．[]01，2．若34iz i+=，则z =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．执行如图所示的程序框图，输出的值是 （ ） A ．5 B ．3 C ．9D ．74．下列函数中既是奇函数又在区间()0+∞，上单调递减的是（ ） A ．xy e -=B ．()ln y x =-C ．3y x =D ．1y x=5．由直线10x y -+=，50x y +-=和1x =所围成的三角形区域（包括边界）， 用不等式组可表示为（ ）A ．10501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩B ．10501x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩C ．10501x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩D ．151x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩6．一个几何体的三视图如右图所示．已知这个几何体的体积为8， 则h =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．67．将函数()23y x =-图象上的点()()23P t t -，向左平移()0m m >个单位长度得到点Q ．若Q 位于函数2y x =的图象上，则以下说法正确的是（ ） A ．当2t =时，m 的最小值为3 B ．当3t =时，m 一定为3 C ．当4t =时，m 的最大值为3D ．t R ∀∈，m 一定为38．六名同学A B C D E F 、、、、、举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A B 、各参加了3局比赛，C D 、各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，那么F 在第一天参加的比赛局数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．k 侧视图正视图俯视图9．在()73x -的展开式中，5x 的系数是_________．（结果用数值表示）．10．已知ABC ∆中，AB =1BC =，sin C C =，则ABC ∆的面积为_________．11．若双曲线2214x y m -=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是_________．12．等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1a ，3a ，11a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_________．13．有以下4个条件：①a b =；②||||a b =；③a 与b 的方向相反；④a 与b 都是单位向量．其中//a b 的充分不必要条件有_________．（填正确的序号）．14．已知函数()1114ln 1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，，，①方程()f x x =-有________个根；②若方程()f x ax =恰有两个不同实数根，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数()2sin sin 22f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值．16．（本小题共13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．17．（本小题共14分）如图1，等腰梯形BCDP 中，//BC PD ，BA PD ⊥于点A ，3PD BC =，且1AB BC ==． 沿AB 把PAB ∆折起到P AB '∆的位置（如图2），使90P AD '∠=︒． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AC '； （Ⅱ）求二面角A P D C '--的余弦值；（Ⅲ）线段P A '上是否存在点M ，使得//BM 平面P CD '．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由． 18．（本小题共13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()20， 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()10P ， 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为'B ．直线'AB 与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．19．（本小题共14分）已知函数()211xf x x =++，()()20ax g x x e a =<． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意[]1202x x ∈，， ，()()12f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围． 20．（本小题共13分）集合M 的若干个子集的集合称为集合M 的一个子集族．对于集合{}123n ，，，，的一个子集族D 满足如下条件：若A D B A ∈⊆，，则B D ∈，则称子集族D 是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{}12，的“向下封闭”的子集族D 并计算此时()1AA D∈-∑的值 （其中A 表示集合A 中元素的个数，约定0∅=；A D∈∑表示对子集族D 中所有成员A 求和）；（Ⅱ）D 是集合{}123n ，，，，的任一“向下封闭的”子集族，对A D ∀∈，记max k A = ，()()max 1AA Df k ∈=-∑ （其中max 表示最大值），（ⅰ）求()2f ；（ⅱ）若k 是偶数，求()f k ．2016-2017学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{0} B．{1} C．{0，1} D．[0，1]【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|0≤x≤1}，∴A∩B={0，1}，故选：C．2．（5分）若，则|z|=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：=，则|z|=．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．5 B．3 C．9 D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1，k=3，a=8，b=9不满足条件a＞b，执行循环体，k=5，a=32，b=25满足条件a＞b，退出循环，输出k的值为5．故选：A．4．（5分）下列函数中既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=e﹣x B．y=ln（﹣x）C．y=x3D．【解答】解：由于函数y=e﹣x是减函数，但不是奇函数，故不满足条件．由于函数y=ln（﹣x）不是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，故不满足条件．由于函数y=x3是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，故不满足条件．由于函数y=是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，故满足条件，故选D．5．（5分）由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A．B．C．D．【解答】解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x≥1，在x﹣y+1=0的上方，则x﹣y+1≤0，在x+y﹣5=0的下方，则x+y﹣5≤0，则用不等式组表示为，故选：A．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示．已知这个几何体的体积为8，则h=（）A．1 B．2 C．3 D．6【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面是一个长，宽分别为3，4的矩形，故底面面积S=3×4=12，高为h，故这个几何体的体积为V=×12×h=8，解得：h=2，故选：B．7．（5分）将函数y=（x﹣3）2图象上的点P（t，（t﹣3）2）向左平移m（m＞0）个单位长度得到点Q．若Q位于函数y=x2的图象上，则以下说法正确的是（）A．当t=2时，m的最小值为3 B．当t=3时，m一定为3C．当t=4时，m的最大值为3 D．∀t∈R，m一定为3【解答】解：函数y=（x﹣3）2图象上，向左平移3个单位得到函数y=x2的图象，∴∀t∈R，m一定为3，故选D．8．（5分）六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过．那么F在第一天参加的比赛局数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过，所以与D赛过的是A、C、E、F四人；与C赛过的是B、D、E、F四人；又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局，所以与A赛过的是D、B、F；而与B赛过的是A、C、F；所以F共赛了4局．故选D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（x﹣3）7的展开式中，x5的系数是189（结果用数值表示）．【解答】解：因为（x﹣3）7的展开式的通项公式为：T r+1=C7r x7﹣r（﹣3）r，当r=2时，T3=C72x5（﹣3）2=189x5．所以（x﹣3）7的展开式中，x5项的系数为：189．故答案为：189．10．（5分）已知△ABC中，AB=BC=1，sinC=cosC，则△ABC的面积为．【解答】解：∵sinC=cosC，∴tanC==∵C∈（0，π）∴∵AB=，BC=1，由余弦定理可得，=∴∴AC=2，△ ==故答案为：11．（5分）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是，．【解答】解：由题意知，∴m=3．∴c2=4+3=7，∴双曲线的焦点坐标是（，）．故答案：（，）．12．（5分）等差数列{a n}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于4．【解答】解：设a1，a3，a11成等比，公比为q，则a3=a1•q=2q，a11=a1•q2=2q2．又{a n}是等差数列，∴a11=a1+5（a3﹣a1），∴q=4．故答案为413．（5分）有以下4个条件：①；②||=||；③与的方向相反；④与都是单位向量．其中∥的充分不必要条件有①③．（填正确的序号）．【解答】解：若①=；则∥，但反之不一定成立，若③与的方向相反；则∥，但反之不一定成立，由此知①③为∥的充分不必要条件；故答案为：①③．14．（5分）已知函数，，＞，①方程f（x）=﹣x有1个根；②若方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是，．【解答】解：①函数，，＞，与y=﹣x的图象如图：可知方程f（x）=﹣x有1个根．②函数，，＞，∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）故答案为：①1，②，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在，上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）…（1分）=…（2分）=，…（4分）因此f（x）的最小正周期为π．…（6分）（Ⅱ）当，时，，…（8分）当，有最大值1．…（10分）即时，f（x）的最大值为2．…（13分）16．（13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18﹣36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由已知得：0+30+30+a+5=100，解得a=35，∴，．…（3分）（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，则．所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为．…（7分）（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为．X的所有可能取值0，1，2，3．…（8分）则，，，．其分布列如下：所以，．…（13分）17．（14分）如图1，等腰梯形BCDP中，BC∥PD，BA⊥PD于点A，PD=3BC，且AB=BC=1．沿AB把△P AB 折起到△P'AB的位置（如图2），使∠P'AD=90°．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P'AC；（Ⅱ）求二面角A﹣P'D﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段P'A上是否存在点M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为∠P'AD=90°，所以P'A⊥AD．因为在等腰梯形中，AB⊥AP，所以在四棱锥中，AB⊥AP'．又AD∩AB=A，所以P'A⊥面ABCD．因为CD⊂面ABCD，所以P'A⊥CD．…（3分）因为等腰梯形BCDE中，AB⊥BC，PD=3BC，且AB=BC=1．所以，，AD=2．所以AC2+CD2=AD2．所以AC⊥CD．因为P'A∩AC=A，所以CD⊥平面P'AC．…（5分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P'A⊥面ABCD，AB⊥AD，如图，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P'（0，0，1）．…（5分）所以，，，，，．由（Ⅰ）知，平面P'AD的法向量为，，，设，，为平面P'CD的一个法向量，则，即，再令y=1，得，，．，＞==．所以二面角A﹣P'D﹣C的余弦值为．…（9分）（Ⅲ）线段P'A上存在点M，使得BM∥平面P'CD．依题意可设，其中0≤λ≤1．所以M（0，0，λ），，，．由（Ⅱ）知，平面P'CD的一个法向量，，．因为BM∥平面P'CD，所以，所以，解得．所以，线段P'A上存在点M，使得BM∥平面P'CD…（14分）18．（13分）已知椭圆：＞＞的离心率为，点（2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（1，0）的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A、B两点，设点B关于x轴的对称点为B'．直线AB'与x轴的交点Q是否为定点？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为点（2，0）在椭圆C上，所以a=2．又因为，所以．所以．所以椭圆C的标准方程为：．…（5分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），B'（x2，﹣y2），Q（n，0）．设直线AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．…（6分）联立y=k（x﹣1）和x2+4y2﹣4=0，得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．所以，．…（8分）直线AB'的方程为，…（9分）令y=0，解得…（11分）又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以．…（13分）所以直线AB'与x轴的交点Q是定点，坐标为Q（4，0）．…（14分）19．（14分）已知函数，g（x）=x2e ax（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，．…（2分）当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：所以，函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．…（5分）（Ⅱ）依题意，“对于任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”等价于“对于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”．由（Ⅰ）知，函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，因为f（0）=1，＞，所以函数f（x）的最小值为f（0）=1．所以应满足g（x）max≤1．…（7分）因为g（x）=x2e ax，所以g'（x）=（ax2+2x）e ax．…（8分）因为a＜0，令g'（x）=0得，x1=0，．（ⅰ）当，即﹣1≤a＜0时，在[0，2]上g'（x）≥0，所以函数g（x）在[0，2]上单调递增，所以函数．由4e2a≤1得，a≤﹣ln2，所以﹣1≤a≤﹣ln2．…（11分）（ⅱ）当＜＜，即a＜﹣1时，在，上g'（x）≥0，在，上g'（x）＜0，所以函数g（x）在，上单调递增，在，上单调递减，所以．由得，，所以a＜﹣1．…（13分）综上所述，a的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．…（14分）20．（13分）集合M的若干个子集的集合称为集合M的一个子集族．对于集合{1，2，3…n}的一个子集族D满足如下条件：若A∈D，B⊆A，则B∈D，则称子集族D是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D并计算此时的值（其中|A|表示集合A中元素的个数，约定|ϕ|=0；表示对子集族D中所有成员A求和）；（Ⅱ）D是集合{1，2，3…n}的任一“向下封闭的”子集族，对∀A∈D，记k=max|A|，（其中max表示最大值），（ⅰ）求f（2）；（ⅱ）若k是偶数，求f（k）．【解答】解：（Ⅰ）含有集合{1，2}的“向下封闭”的子集族D={ϕ，{1}，{2}，{1，2}}…（2分）此时…（4分）（Ⅱ）设{1，2，3…n}的所有不超过k个元素的子集族为D k，（ⅰ）易知当D=D2时，达到最大值，∴…（6分）（ⅱ）设D是使得k=max|A|的任一个“向下封闭”的子集族，记D=D′∪D''，其中D′为不超过k﹣2元的子集族，D''为k﹣1元或k元的子集，则=…8 分现设D''有l（）个{1，2，3…n}的k元子集，由于一个k﹣1元子集至多出现在n﹣k+1个{1，2，3…n}的k元子集中，而一个k元子集中有个k﹣1元子集，故l个k元子集至少产生个不同的k﹣1元子集．由（ⅰ）得…（13分）。
【高三】(试题全)北京市石景山区届高三上学期期末考试数学理试题(WORD
【高三】（试题全）北京市石景山区届高三上学期期末考试数学理试题（WORD试卷说明：石景山区―学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，那么（）A．B．C．D．2．复数（）A．B．C．D．3．已知向量，，则“”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）A．B．C．D． 6．在边长为的正方形中任取一点，则点恰好落在正方形与曲线围成的区域内(阴影部分)的概率为（）A．B．C．D．7．用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．B． C．D．8．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．的参数方程为为参数，则圆的直角坐标方程为_______________，圆心到直线的距离为______． 1．中，角的对边分别为，若，，，则______．11．，满足约束条件则．12．中，，是上一点，以为圆心，为半径的圆与交于点，与切于点，，，则的长为，的长为． 13．的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点作于，若直线的倾斜角为，则______． 14．是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线与所成的角的度数为，当三棱锥的体积取得最大值时，四棱锥的长为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数．在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．13分）北京市各级各类中小学每年都要测试，测试总成绩满分为分测试成绩在之间为体质优秀；在之间为体质良好；在之间为体质合格；在之间为体质不合格．现从某校高年级的名学生中随机抽取名学生体质测试成绩如下：1356801122333445667797056679645856（Ⅰ）试估计该校高年级体质为优秀的学生人数；名学生体质测试成绩名学生，再从这名学生中选出人．名学生中至少有名体质为优秀的概率；（?）记为名学生中体质为良好的人数，求的分布列及数学期望．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，为的中点．（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点（不与两点重合），使得∥平面?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数（为自然对数的底数）.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）已知函数在处取得极小值，不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合，对于数列中.（Ⅰ）若项数列满足，，则数列中有多少项取值为零？()（Ⅱ）若各项非零数列和新数列满足（）．（?）若首项，末项，求证数列是等差数列；（?）若首项，末项，记数列的前项和为，求的最大值和最小值．石景山区―学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案DCAACBBD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．题号91011121314答案，，，(两空的题目第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）............2分， (4)分，，，，...............6分所以函数的单调递增区间为．，， (9)分，，……………11分所以当，即时，函数取得最小值．13分）解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人．（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为．，从体质为优秀的学生中抽取的人数为．……………6分（?）设“在选出的名学生中至少有名体质为优秀”为事件，则．名学生中至少有名体质为优秀的概率为．的所有取值为．，，．的分布列为: ．因为平面，平面，所以. ……………1分取因为底面为直角梯形，∥，，且，所以四边形为正方形，所以，且，所以，即. ……………3分又，所以平面. ……………4分（Ⅱ）解：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．……………5分则，，，，所以，，．因为平面，所以为平面的一个法向量．……………6分设平面的法向量为，由，得令，则，，所以是平面的一个法向量．……………8分所以因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．……………9分（Ⅲ）解：假设在线段上存在点（不与两点重合），使得∥平面．设，则，．设平面的法向量为，由，得令，则，，所以是平面的一个法向量．因为∥平面，所以，即，……………13分解得，所以在线段上存在一点（不与两点重合），使得∥平面，且．8.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当时，，，，得，……………2分所以曲线在点处的切线方程为. ……………3分（Ⅱ）.当时，恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；……………5分当时，时，，时，，此时的单调递增区间为，单调递减区间为.……………7分（Ⅲ）由题意知得，经检验此时在处取得极小值. ...............8分因为，所以在上有解，即使成立，...............9分即使成立，............10分所以.令，，所以在上单调递减，在上单调递增，则， (12)分所以. ……………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以，所以，……………1分因为椭圆的离心率为，所以，即，……………2分解得，……………4分所以椭圆的方程为. ……………5分（Ⅱ）设，，①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由得，……………7分所以，……………8分因为，即为中点，所以，即. 所以，……………9分因为直线，所以，所以直线的方程为，即，显然直线恒过定点. ……………11分②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过点. ……………13分综上所述直线恒过定点. ……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设数列中项为分别有项．由题意知解得．所以数列中有项取值为零．……………3分（Ⅱ）（?）且，得到，若，则满足．此时，数列是等差数列；若中有个，则不满足题意；所以数列是等差数列．……………7分（?）因为数列满足，所以，根据题意有末项，所以．而，于是为正奇数，且中有个和个．要求的最大值，则只需前项取，后项取，所以（为正奇数）．要求的最小值，则只需前项取，后项取，则（为正奇数）．…………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的高考资源 1 12 每天发布最有价值的是输入输出开始结束否．（试题全）北京市石景山区届高三上学期期末考试数学理试题（WORD版，含答案）感谢您的阅读，祝您生活愉快。
北京市石景山区2016届高三数学一模考试试卷 理(含解析)
石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}M x x x =≥∈，R ，2{|1}N x x x =<∈，R ，则M N ＝( ) A ．[]01， B ．()01， C ．(]01，D ．[)01， 2．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．1y x =+ B ．3y x =- C ．1y x =D ．y x x =4．下图给出的是计算111124610+++⋅⋅⋅+的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是( ) A ．5i > B ．5i < C ．6i > D ．6i <5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A ．8B ．C ．10D ．6．在数列{}n a 中，“1n n a a +>”是“数列{}n a 为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．函数()sin()(00)2f x A x A =+>><，，πωϕωϕ的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的函数图象的解析式为( ) A ．sin 2y x=B ．2sin(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos 2y x = 8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n是偶数，就将它减半 (即2n)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31n +)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则n的所有不同值的个数为( )A ．4B ．6C ．32D ．128第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线2212x y -=的焦距是________，渐近线方程是________． 10．若变量x y ，满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最大值等于_____． 11．如图，AB 是半圆O 的直径，30BAC ︒∠=，BC 为半圆的切线，且BC =O 到AC 的距离OD ＝________．12．在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为11x s y s=+⎧⎨=-⎩，(s 为参数)，曲线C 的参数方程为22x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，则AB ＝____． 13．已知函数2log 0()30x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，，，，关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．15．（本小题共13分）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin cos b A B ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3sin 2sin b C A ==，，求a c ，的值．16．（本小题共13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S 手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S 手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S 手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X 表示销售一部苹果6S 手机的利润，求X 的分布列及数学期望．17．（本小题共14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，13AA =，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ；（Ⅱ）求二面角1C BD C --的余弦值； （Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面1BDC ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题共13分）已知函数()sin cos f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(())πf π，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0)2x ∈，π时，31()3f x x <； （Ⅲ）若()cos f x kx x x >-对(0)2x ∈，π恒成立，求实数k 的最大值．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为2，直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的垂直平分线通过点1(0)2-，．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求△AOB （O 为坐标原点）面积的最大值．20．（本小题共13分）若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”．（Ⅰ）①前n 项和为2n nS =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+*()n ∈N 成立，请给出你的结论，并说明理由．答案及试题解析1【知识点】集合的运算【试题解析】因为故答案为：D【答案】D2【知识点】复数综合运算【试题解析】因为所以，对应的点位于第二象限故答案为：B【答案】B3【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】因为A．不是奇函数，B．不是增函数，C．不是增函数，只有D．既是奇函数又是增函数故答案为：D【答案】D4【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为判断框内填入的条件是输出的值故答案为：A【答案】A5【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为如图为原几何体的直观图，面积中最大的是,故答案为：C【答案】C6【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为不能推出数列为递增数列，由数列为递增数列能推出，所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件故答案为：B【答案】B7【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为由图像可知,过点，又得，，图象向右平移个单位后故答案为：C【答案】C8【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为倒着分析得第一个数可为共六个不同取值故答案为：B【答案】B9【知识点】双曲线【试题解析】因为焦距渐近线方程是故答案为：，【答案】，10【知识点】线性规划【试题解析】因为如图为可行域，在取得最大值10故答案为：10【答案】1011【知识点】几何选讲【试题解析】因为故答案为：3【答案】312【知识点】参数和普通方程互化【试题解析】因为，联立得得，得故答案为：【答案】13【知识点】零点与方程函数图象【试题解析】因为原命题等价于函数与图像只有一个交点，a为直线在x轴上的截距，有图像可得。
石景山区2017届高三一模数学(理)试题及答案(官方版)
石景山区2017年高三统一练习数 学（理）试 卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|210}A x x =-<，{|01}B x x =≤≤，那么等于（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．1{|0}2x x <<D ．1{|0}2x x <≤2．已知实数,x y 满足06,,0,x y x y x y +⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩2,≤≤≥≥则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．10D ．123．直线1cos 2ρθ=被圆1ρ=所截得的弦长为（ ） A ．1BC ．2D ．44．设∈R θ,“sin cos θθ=”是“cos20θ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A B I正（主）视图侧（左）视图俯视图211 15．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202—1261年） 给出了求*()n n ∈N次多项式1110n n n n a x a x a x a --++++L当0x x =时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九 韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：3232103210(())a x a x a x a a x a x a x a +++=+++之后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值． A ．432234x x x x ++++ B ．4322345x x x x ++++ C ．3223x x x +++ D ．32234x x x +++6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ． 25+B ． 225+C ． 45+D ． 57．如图，在矩形ABCD 中，2,2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=u u r u u u r，则AE BF ⋅u u r u u r的值是（ ）A ．22-B ．1C ．2D ．2DEFCBA开始是否 结束8．如图，将正三角形ABC 分割成m 个边长为1的 小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以 分割成n 个边长为1的小正三角形．若:47:25m n =，则三角形ABC 的边长是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数i1ia +-是纯虚数，则实数a = ． 10．在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +⋅=-(123)n =L ，，，，那么8a 等于 ．11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p = ． 12．如果将函数()sin(3)(π0)f x x ϕϕ=+-<<的图象向左平移π12个单位所得到的图象关于原点对称，那么ϕ= ．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是 ．（用数字做答）14．已知42(),,()4,.a x x a xf x x x a x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≥①当1a =时，()3f x =，则x = ；②当1a -≤时，若()3f x =有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a = ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知c b a ,,分别是△ABC 的三个内角,,A B C 的三条对边，且222c a b ab =+-． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求B A cos cos +的最大值．16．（本小题共13分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间(0,50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按(0,10]，(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a 的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小（只需写出结论）； （Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间(0,20]的数据样本中抽取3个，记在(0,10]内的数据个数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间(0,10]中的个数． 17．（本小题共14分）频数频率/组距6 5 3 4 2 0 0.030 0.025 0.0150.020 a10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 甲种酸奶日销售量/箱 乙种酸奶日销售量/箱 图甲 图乙《九章算术》中，将底面为长方形且有一条 侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都 为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào ）．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ， 且PD CD =，E 为PC 中点，点F 在PB 上， 且PB ⊥平面DEF ，连接BD ，BE ． （Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC ； （Ⅱ）试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （Ⅲ）已知2,2AD CD ==，求二面角F AD B --的余弦值．18．（本小题共13分）已知函数()ln f x x =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当0x >时，1()1f x x-≥；（Ⅲ）若1ln x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点（0，1），且离心率为32．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A C 、两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．20．（本小题共13分）ABCDEPF已知集合12{(,,,),{0,1},1,2,,}(2)n n i R X X x x x x i n n ==∈=≥L L ．对于12(,,,),n n A a a a R =∈L 12(,,,),n n B b b b R =∈L 定义A 与B 之间的距离为11221(,)nn n i i i d A B a b a b a b a b ==-+-+-=-∑L ．（Ⅰ）写出2R 中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M 满足：3M R ⊆，且任意两元素间的距离均为2，求集合M 中元素个数的最大值并写出此时的集合M ；（Ⅲ）设集合n P R ⊆，P 中有(2)m m ≥个元素，记P 中所有两元素间的距离的平均值为()d P ，证明()2(1)mnd P m ≤-．石景山区2017年高三统一练习数学（理）试卷答案及评分参考三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为222c a b ab =+-，所以2221cos 22a b c C ab +-==． ……3分 又因为(0,π)C ∈， 所以π3C =． …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知π3C =，又πA B C ++=， 所以2π3B A =-且2π(0,)3A ∈， 故2πcos cos cos cos()3A B A A +=+-2π2πcos cos cos sin sin 33A A A =++ 1πcos sin()26A A A =+=+． 又2π(0,)3A ∈，5π(,)666A ππ+∈， 所以当ππ62A +=即π3A =时，cos cos AB +的最大值为1． …13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由图（乙）知，10(0.020.030.0250.015)1a ++++=解得0.01a =，2212s s >． ………………… 3分（Ⅱ）X 的所有可能取值1，2，3．则()124236115C C P X C ===，()214236325C C P X C ===，()304236135C C P X C ===， 其分布列如下：…………………8分 （Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2345620++++=个，其中有4个数据在区间(0,10]内．又因为分层抽样共抽取了12005%60⨯=个数据， 乙种酸奶的数据共抽取602040-=个，由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间(0,10]内的频率为0.1， 故乙种酸奶的日销售量数据在区间(0,10]内有400.14⨯=个． 故抽取的60个数据，共有448+=个数据在区间(0,10]内． 所以，在1200个数据中，在区间(0,10]内的数据有160个．……………13分（Ⅰ）因为PD ⊥ 面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以BC PD ⊥.因为四边形ABCD 为矩形，所以BC DC ⊥.PD DC D =I , 所以BC ⊥面PDC .DE ⊂面PDC , DE BC ⊥, 在PDC ∆中，PD DC =，E 为PC 中点 所以DE PC ⊥. PC BC C =I ,所以DE ⊥面PBC . ……………………………………4分（Ⅱ）四面体DBEF 是鳖臑，其中π2BED FED ∠=∠=，π2BFE BFD ∠=∠=． ……………………………………9分（Ⅲ）以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．(0,0,0),(2,0,0),D A C P B ．设PF PB λ=u u u r u u u r，则(2)F λ．DF PB ⊥得0DF PB =u u u r u u u r g 解得14λ=．所以1(,,244F ． ………11分 设平面FDA 的法向量(,,)n x y z =r，10220n DF x y z n DA x ⎧⎧⊥++=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎪⎩=⎩r u u u r r u u u r 令1z = 得0,3x y ==-． 平面FDA 的法向量(0,3,1)n =-r， 平面BDA的法向量DP =u u u r，cos ,10n DP n DP n DP<>===-r u u u rr u u u r g r u u u r ． 二面角F AD B --． …………………14分解：（Ⅰ）1()f x x'=, (1)1f '=， 又(1)0f =，所以切线方程为1y x =-; ……3分 （Ⅱ）由题意知0x >，令11()()(1)ln 1g x f x x xx=--=-+． 22111'()x g x x x x -=-= ………5分 令21'()0x g x x-==，解得1x =． ………6分易知当1>x 时，'()0g x >，易知当01x <<时，'()0g x <．即()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增 ………7分 所以min ()(1)0g x g ==，()(1)0g x g ≥=即1()()(1)0g x f x x =--≥，即1()(1)f x x≥-． ……8分 （Ⅲ）设()1ln (1)h x x a x x =--≥，依题意，对于任意1,>x ()0h x >恒成立．'()1a x ah x x x-=-=， ………9分 1≤a 时，'(),h x >0()h x 在[1,)+∞上单调增，当1>x 时，()(1)0h x h >=，满足题意． ………11分1>a 时，随x 变化，'()h x ，()h x 的变化情况如下表：()h x 在(,)a 1上单调递减， 所以()()<=g a g 10即当 1>a 时，总存在()0<g a ，不合题意． ………12分 综上所述，实数a 的最大值为1． ………13分解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c .因为点（0,1）在椭圆C 上，所以1b =．故221a c -=．又因为2c e a ==，所以c =2a =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分 （Ⅱ） 设1122(,),(,)A x y C x y ，线段AC 中点为00(,)M x y ．联立 2214402y x m x y =++-=和，得：222220x mx m ++-=．由222(2)4(22)840m m m ∆=--=->，可得m <所以122x x m +=-，21222x x m =-． ……………8分 所以AC 中点为1(,)2M m m -． …………9分弦长||AC === ………10分 又直线l 与x 轴的交点(2,0)N m -， ………11分所以||MN == ………12分 所以2222215||||||||||42BN BM MN AC MN =+=+=．所以B 、N ………14分解：（Ⅰ）2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}R =，2,A B R ∈ ，max (,)2d A B =． …………………3分 （Ⅱ）3R 中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M 中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以{(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}M =或{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}M =，集合M 中元素个数最大值为4． ………………8分 （Ⅲ）2,1()(,)A B P m d P d A B C ∈=∑ ，其中,(,)A B P d A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和．设P 中所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0，则 ,1(,)()ni i A B P i d A B t m t ∈==-∑∑ 由于2()(1,2,,)4i i m t m t i n -≤=L 所以2,1(,)()4ni i A B P i nm d A B t m t ∈==-≤∑∑ 从而222,1()(,)42(1)A B P mmnm nm d P d A B C C m ∈=≤=-∑ …………………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】。
北京市石景山区2017届高三第一学期期末考试数学(理)试卷(含答案)word版
北京市石景山区2012届高三第一学期期末考试数学（理）试卷第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃)(B A C U （ ）A ． }3{B ． }2{C ．}4,2,1{D ．}4,1{2．已知复数i1i1z -+=，则复数z 的模为（ ） A ． 2B ．2C ．1D ． 03．在极坐标系中，圆θρcos 2-=的圆心的极坐标是（ ）A ． )2,1(π B ． )2,1(π-C ．)0,1(D ．),1(π4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图 为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角 边长为2，那么这个几何体的体积为（ ）A ．38 B ．34 C ．4 D ．25．执行右面的框图，若输出结果为21， 则输入的实数x 的值是（ ） A ．23 B ．41 C ．22 D ．2正视图侧视图俯视图6.设抛物线x y 82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．127.以下四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”； ②若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题；③命题p ：存在R x ∈,使得012<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x ；④在ABC ∆中,B A <是B A sin sin <的充分不必要条件. A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.对于使M x x ≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若+∈R b a 、，且1=+b a ，则122a b--的上确界为（ ） A ．92B ．92-C ．41 D ．-4第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．在ABC ∆中，若32,120,2=︒=∠=a A c ，则=∠B ． 10．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知22PA =，4PC =，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为 ．11．已知向量)1,3(=a ，)1,0(=b ，)3,(k c =，若b a 2+与c 垂直，则=k ．12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = ． 13．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种． 14.已知函数)1,0(log )(≠>+-=a a b x x x f a 且，当2131<<a 且43<<b 时， 函数)(x f 的零点*0),1,(N n n n x ∈+∈，则=n ．PABCO•三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x f 2sin 21cos 3)(2+=．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：甲 乙 1 8 6 0 02 4 4 23（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和Y 的分布列和数学期望． （注：方差[]222212)()()(1x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为1x ，2x ，⋯n x 的平均数）MEFCD BA17．（本小题满分14分）如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，A D C D ⊥，AB ∥CD ，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点． （Ⅰ）求证：BM ∥平面ADEF ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BEC ； （Ⅲ）若3=DE ，求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分） 已知.,ln )(R a x ax x f ∈-=（Ⅰ）当2=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在1=x 处有极值，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]e ,0的最小值是3，若存在，求出a 的值； 若不存在，说明理由.19．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）过点M （0，2），离心率36=e .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过定点N （2，0）的直线l 与椭圆相交于B A 、两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点),求直线l 倾斜角的取值范围.20．（本小题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数q p 、,使得1n n c pc q+=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是 “κ类数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32nn b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“κ类数列”？若是，指出它对应的实常数q p 、，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则数列}{1++n n a a 也是“κ类数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2012项的和．并判断{}n a 是否为“κ类数列”，说明理由．石景山区2016—2017学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACDBDBCB二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）x x x f 2sin 2122cos 13)(++=232sin 212cos 23++=x x 23)32sin(++=πx ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以ππ65320≤+≤x …………9分当232ππ=+x 时，即12π=x 时，)(x f 的最大值为231+,………11分当032=+πx 时，即6π-=x 时，)(x f 的最小值为23. ………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数24430242418=+++=x ； ……………………2分[]18)2430()2424()2424()2418(4122222=-+-+-+-=s ……5分题号 9 10 11 1213 14 答案 6π 2 -3 72 112（Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况：（18，20）（18，20）（18，26）（18，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（30，20）（30，20）（30，26）（30，32） …………8分 得分和可能的结果有：38,44,50,56,62 …………9分 得分和Y 的分布列为：Y3844505662p81165 165 163 161 …………11分 数学期望161621635616550165448138⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EY 5.48= ………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：取DE 中点N ，连结,MN AN ．在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =．所以四边形ABMN 为平行四边形． ………2分所以BM ∥AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF ． ………………………………4分 （Ⅱ）证明：在矩形ADEF 中，ED AD ⊥．AxyMCNEFDBz 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ………………………………5分 在直角梯形ABCD 中，2AB AD ==，4CD =，可得22BC =． 在△BCD 中，22,4BD BC CD ===， 因为222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥．因为BD DE D ⋂=,所以BC ⊥平面BDE ．………………………7分 又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC ．…………………………………………8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ED ⊥平面ABCD ，且AD CD ⊥．以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系． (2,2,0),(0,4,0),(0,0,3)B C E ． …………………………………9分易知平面DEC 的一个法向量为m )0,0,1(=．…………………………10分 设(,,)x y z =n 为平面BEC 的一个法向量，因为(2,2,0),BC =- (0,4,3)CE =-所以220430x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得41,3y z ==． 所以4(1,1,)3=n 为平面BEC 的一个法向量． …………………………12分 设平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角为θ． 则22213cos 34||||3441113||θ⋅===⋅⎛⎫⋅++ ⎪⎝⎭m n m n ． 所以平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为33434．………14分3．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得)(x f 的定义域为(0)+∞，， 因为()ln f x ax x =-，所以'1()f x a x =-当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f = 因为'1 ()2f x x =-，所以'1 (1)211f =-=……………………2分 所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2(1)(1)y f x '-=-，即10x y -+= …………………………4分 （Ⅱ）因为)(x f 在1=x 处有极值，所以(1)0f '=， 由（Ⅰ）知(1)1f a '=-，所以1a =经检验，1a =时)(x f 在1=x 处有极值． …………………………6分 所以()ln f x x x =-，令'1()10f x x=->解得10x x ><或；因为)(x f 的定义域为(0)+∞，，所以'()0f x >的解集为(1)+∞，， 即)(x f 的单调递增区间为(1)+∞，. …………………………………………8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3， ① 当0≤a 时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=，舍去. …………………………10分 ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增，3ln 1)1()(min =+==a a f x f ，2e a =，满足条件. ………………………12分③ 当e a≥1时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=，舍去. 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3. ……………14分19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得36,2==a c b 结合222c b a +=，解得122=a所以，椭圆的方程为141222=+y x . ………………4分 （Ⅱ） 设),(),,(2211y x B y x A ，则),(OB ),,(OA 2211y x y x ==. ①当221==x x 时，不妨令)362,2(OB ),362,2(OA -==034384OB OA >=-=⋅，当斜率不存在时，AOB ∠为锐角成立 ………………6分 ②当21x x ≠时，设直线l 的方程为：)2(-=x k y 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+)2(141222x k y y x 得12)2(3222=-+x k x即0121212)31(2222=-+-+k x k x k . 所以22212221311212,3112kk x x k k x x +-=⋅+=+， ………………8分 ]4)(2[()2)(2(2121221221++-=--=⋅x x x x k x x k y y 22424224314123124311212k k k k k k k k ++++-+-= 22318kk +-= ………………10分 2121OB OA y y x x +=⋅03112422>+-=kk 解得33-<>k k 或. ……………………12分 综上，直线l 倾斜角的取值范围是)32,3(ππ . …………………13分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈故数列{}n a 是“κ类数列”，对应的实常数分别为1,2 …………… 1分因为32n n b =⋅，则有12n n b b +=，*n N ∈. 故数列{}n b 是“κ类数列”，对应的实常数分别为2,0. …………… 3分 （Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、，使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立， 故数列{}1n n a a ++也是“κ类数列”．对应的实常数分别为,2p q ． ……………6分（Ⅲ）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈ 则有1232a a t +=⋅，33432a a t +=⋅ ，20092009201032a a t +=⋅20112011201232a a t +=⋅故数列{}n a 前2012项的和2012S =()12a a ++()34a a ++ +()20092010a a ++()20112012a a +()320092011201232323232221t t t t t =⋅+⋅++⋅+⋅=- ……………9分 若数列{}n a 是 “κ类数列”， 则存在实常数q p 、使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立， 而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，且)(23*121N n t a a n n n ∈⋅=++++，则有132322n n t t p q +⋅=⋅+对于任意*n N ∈都成立，可以得到(2)0,0t p q -==， 当2,0p q ==时，12n n a a +=，2n n a =，1t =，经检验满足条件. 当0,0t q == 时，1n n a a +=-，12(1)n n a -=-，1p =-经检验满足条件. 因此当且仅当1t =或0t =时，数列{}n a 是“κ类数列”.对应的实常数分别为2,0或1,0-． ………………… 13分。
北京市石景山区2016届高三上学期期末考试理数试题解析(解析版)
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{0,1,2}M =，2{|320}N x x x =-+≤，则MN ＝（ ）A. {1}B.{2}C.{}0,1D.{1,2}【答案】D 【解析】试题分析：由题意{|12}N x x =≤≤，所以{1,2}M N =．故选D ．考点：集合的运算．2．若变量y x ,满足约束条件2,1,0x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，z 是直线2x y z +=的纵截距，向上平移直线l ，z 增大，当直线l 过点(2,0)B 时，24z x y =+=为最大值．故选D ．考点：简单的线性规划问题．3．下面的程序框图表示算法的运行结果是（ ）A. 2-B. 2C. 1-D. 1【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图，本题算法相当于分段函数,,x i i S x i i +⎧=⎨-⎩是奇数是偶数，,S i 的初始值分别为0,1，程序执行过程中，,S i 值依次为1,2，1,3-，2,4，2,5-，此时54i =>，循环结束，输出S ，因此输出2S =-．故选A ．考点：程序框图．4．已知数列{}n a 是等差数列，348,4a a ==，则前n 项和n S 中最大的是（ ）A.3SB.4S 或5SC.5S 或6SD.6S【答案】B 【解析】试题分析：由已知43484d a a =-=-=-，3(3)8(3)(4)204n a a n d n d =+-=+-⨯-=-，由2040n a n =-≥得5n ≤，所以40a >，50a =，60a <，所以45S S =是n S 中的最大值．故选B ．考点：等差数列的前n 项和．5．“4ab =”是直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：0a =时，直线210x ay +-=与直线220bx y +-=不平行，所以直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的充要条件是2221b a -=≠-，即4ab =且1(4)a b ≠≠，所以“4ab =”是直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的必要不充分条件．故选B ．考点：充分必要条件6．若曲线)0(22>=p px y 上只有一个点到其焦点的距离为1，则p 的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】C 【解析】试题分析：设00(,)p x y 是抛物线上的点，则它到焦点的距离为02pd x =+，由题意抛物线上只有一点满足012px +=，则00x =，2p =，故选C ． 考点：抛物线的定义．7．如图，点O 为正方体ABCD A B C D ''''-的中心，点E 为面B BCC ''的中心，点F 为B C ''的中点，则空间四边形D OEF '在该正方体的面上的正投影不．可能．．是（ ）【答案】D 【解析】试题分析：如图正方体的方向，空间四边形'D OEF 在前后两个面上的投影是A ，在左右两个面上的投影是B ，在上下两个面上的投影可能为C （当F 是棱中点时），不可能为D ．故选D ． 考点：投影．8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，12AB CD =，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起，使得面BEFC ⊥面ADFE ，若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面ADFE 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为( )A.直线B.椭圆C.圆D.抛物线【答案】C 【解析】试题分析：由折叠过程知BE 、FC 都与平面ADEF 垂直，因此1BPE θ∠=，2CPF θ∠=，则1tan BEPE θ=，2tan CFPF θ=，由已知有2CF BE =，又12θθ=，所以2PF PE =，在平面ADFE 上建立直角坐标系，设(,0),(,0)E a F a -，(,)P x y=222525()39a x a y ++=，因此P 点轨迹是圆．故选C ．考点：直线与平面所成的角，轨迹方程，圆的标准方程．解析法．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在复平面内，复数2i1i-对应的点到原点的距离为_________.ABCDEFPAB C D FE【解析】试题分析：2211i i i i ===-- 考点：复数模的性质．10. 51⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中x 项的系数为_________．（用数字作答）【答案】5- 【解析】试题分析：展开式通项为53521551()(1)rrrr r rr T C C x x --+=-=-，令5312r -=，1r =，所以x 项的系数为115(1)5C -=-．考点：二项式定理．11. 在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .15a =，10b =，60A =， 则cos B =_____________.【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin a b A B =，即1510sin 60sin B=︒，则sin B =，又a b >，所以A B >，即B 为锐角，所以cos B ===． 考点：正弦定理．12. 在极坐标系中，设曲线2ρ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝___________.【答案】 【解析】试题分析：曲线2ρ=和cos 1ρθ=的直角坐标方程分别为224x y +=和1x =，把1x =代入方程224x y +=，得y =，所以AB =考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相交弦长．13. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________种.（用数字作答） 【答案】72 【解析】试题分析：两名男生排列后，选两名女生捆绑作为一个元素，然后把女生（看作是2个）插入男生的空档中，方法数为22222323()72A C A A ．考点：排列组合的应用．14. 股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多. （注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为________元，能够成交的股数为___________.【答案】 2.2，600故答案为：2.2，600．考点：函数模型的选择与应用．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数R x x x x x f ∈-=,sin 2cos sin 32)(2. （1）求函数)(x f 的最小正周期与单调增区间； （2）求函数)(x f 在[0,]4π上的最大值与最小值． 【答案】（1）周期是π，单调增区间为[,]33k k ππππ-+，k Z ∈；（2）最小值是0，最大值是1． 【解析】试题分析：（1）先化简函数可得f （x ）=sin(2)16x π+-，即可求函数f （x ）的最小正周期与单调增区间；（2）由定义域根据正弦函数的单调性即可求出函数f （x ）在[0,]4π上的最大值与最小值．试题解析：()2cos 21f x x x =+-12cos 2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. ………………2分 （1）()f x 的最小正周期为2ππ.2T == ………………4分 令222,262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以函数()f x 的单调增区间为[,],36k k k ππππ-+∈Z . ………………7分（2）因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以1sin(2x )126π≤+≤ ，于是 12sin(2)26x π≤+≤ ，所以0()1f x ≤≤. ………………9分当且仅当0x =时，()f x 取最小值min ()(0)0f x f ==. ………………11分 当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==. ………13分 考点：二倍角公式，两角和与差的正弦公式，三角函数的单调性，最值． 16．（本小题共13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12 名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良． （1）写出这组数据的众数和中位数；（2）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（3）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．【答案】（1）众数为86，中位数为86；（2）6364；（3）分布列见解析，期望为94．（2）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为34， 故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为34， ………………4分 设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A ， 则()3033163()11146464P A C =-⨯-=-=； ………………6分（3）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3． ………………7分333121(0)220C P C ξ===，129331227(1)220C C P C ξ===，5 26 57 28 8 6 6 6 7 7 8 98219331210827(2)=22055C C P C ξ===，393128421(3)=22055C P C ξ===， ………………11分所以ξ的分布列为12727219012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分 考点：茎叶图，样本数据的特征（众数，中位数），对立事件，随机变量分布列，数学期望． 17．（本小题共14分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =. （1）求证：//BE 平面PAD ； （2）求证：BC ⊥平面PBD ；（3）在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45？若存在,求PQ PC的值；若不存在，请述明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，且1PQ PC=-.【解析】试题分析：（1）要证线面平行，就要证线线平行，由线面平行的性质定理知，这条平行线是过直线BE 的平面ABE 到平面PAD 的交线，由于E 是中点，2DC AB =，因此辅助线作法易知，只要取PD 中点F ，AF 就是要找的平行线；（2）要证线面垂直，就是要证线线垂直，由已知易得BC PD ⊥，因此还要证BC BD ⊥（或者BC PB ⊥），这在ΔBCD 中由勾股定理可证；（3）求二面角问题，可通过参阅空间直角ACDEP坐标系用空间向量法求解，即以,,DA DC DP 为坐标轴建立坐标系，写出各点坐标，并设设PQ PC λ=，(0,1)λ∈，所以(0,2,1)Q λλ-，求出两平面QBD ，PBD 的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得．试题解析：（1）取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，所以//EF CD ，且112EF CD ==，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =， 所以//EF AB ，EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形，所以//BE AF ， …………………2分 因为BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD . …………………4分 （2）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥. …………………5分 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).A B C P …………………6分(1,1,0)DB =，(1,1,0)BC =-，所以0BC DB ⋅=，BC DB ⊥， ……………8分 又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD BC ⊥， 因为PD BD D ⋂=所以BC ⊥平面PBD . …………………9分 （3）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-， …………………10分(0,2,1)PC =-，设PQ PC λ=，(0,1)λ∈所以(0,2,1)Q λλ-， ……………11分 设平面QBD 的法向量为(,,)a b c n =，(1,1,0)DB =，(0,2,1)DQ λλ=-，由0DB ⋅=n ，0DQ ⋅=n ，得02(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩，令1b = 所以2(1,1,)1λλ--n =， …………………12分所以cos 45BCBC ⋅===n n ， …………………13分 注意到(0,1)λ∈，得1λ=-. 所以在线段PC 上存在一点Q，使得二面角Q BD P --为45，此时1PQPC =- …………………14分考点：线面平行的判断，线面垂直的判断，二面角．18. （本小题共13分）已知函数()1xa f x x e =-+ (a R ∈,e 为自然对数的底数). （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值．【答案】（1）a e =；（2）当0a ≤时,函数()f x 无极小值，当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值；（3）1．【解析】试题分析：（1）求出'()f x ，由导数的几何意义，解方程'(1)0f =即可；（2）解方程'()0f x =，注意分类讨论，以确定'()f x 的符号，从而确定()f x 的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程()1f x kx =-无实数解，即关于x 的方程()11x k x e -=在R 上没有实数解.一般是分类 讨论，1k =时，无实数解，1k ≠时，方程变为11x xe k =-，因此可通过求函数g()x x xe =的值域来求得k的范围．试题解析：(1)由()1x a f x x e =-+,得()1x a f x e'=-. ………………2分 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴,得()10f '=,即10a e -=,解得a e =. ………………4分 (2)()1xa f x e '=-, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数, 所以函数()f x 无极值. ………………6分②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值.综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值. ………………9分(3)当1a =时,()11x f x x e=-+ 令()()()()111x g x f x kx k x e =--=-+, 则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于方程()0g x =在R 上没有实数解. ………………10分假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e -⎛⎫=-+< ⎪-⎝⎭, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤. ………………12分又1k =时,()10xg x e =>,知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1. ………………13分解法二:(1)(2)同解法一.(3)当1a =时,()11x f x x e=-+. 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x k x e -= (*)在R 上没有实数解. ……………10分①当1k =时,方程(*)可化为10xe =,在R 上没有实数解. ………………11分 ②当1k ≠时,方程(*)化为11x xe k =-. 令()x g x xe =,则有()()1xg x x e '=+. 令()0g x '=,得1x =-,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:当1x =-时,()min g x e =-,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞,从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -. 综上,得k 的最大值为1. ………………13分考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布．19. （本小题共14分）已知椭圆:C 22221x y a b+=(0)a b >>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．(其中O 为坐标原点)【答案】（1）22162x y +=；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）求椭圆的标准方程，列出关于,,a b c 的两个方程即可；（2）本题是解析几何中的证明题，与解析几何中定点定值问题我解决方法类似，设动点为(3,)M m -，由PQ OM ⊥，可得PQ 斜率（这时要对m 分类），从而得直线PQ 方程为2x my =-（0m =时的直线PQ 方程也适合此形式），同时设交点为()11,P x y ，()22,Q x y ，把2x my =-代入椭圆方程整理后得关于y 的二次方程，从而得12y y +，12y y ，这样PQ 中点为N 坐标为1212(,)22x x y y ++，而要证OM 点N ，只要说明OM ON k k =即可． 试题解析：（1）解：由已知可得224b c ⎧=⎪⎨==⎪⎩， ………………2分解得26a =，22b =， 所以椭圆C 的标准方程是22162x y +=. ………………4分 （2）证明：由（1）可得，F 的坐标是()2,0-，设M 点的坐标为()3,m -，则直线MF 的斜率03(2)MF m k m -==----. ………………5分 当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m =.直线PQ 的方程是2x my =-. 当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式．设()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，221622x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x ，得()223420m y my +--=， ………………8分其判别式()2216830m m ∆=++>. 所以12243m y y m +=+，12223y y m -=+， ()12124x x m y y +=+-2123m -=+. ………………10分 设N 为PQ 的中点，则N 点的坐标为2262,33m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭. ………………12分 所以直线ON 的斜率3ON m k =-，又直线OM 的斜率3OM m k =-， 所以点N 在直线OM 上，即OM 经过线段PQ 的中点N . ………………14分考点：椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系（圆锥曲线的综合问题）．20．（本小题共13分）给定一个数列{}n a ，在这个数列里，任取*(3,)m m m N ≥∈项，并且不改变它们在数列{}n a 中的先后次序，得到的数列称为数列{}n a 的一个m 阶子数列．已知数列{}n a 的通项公式为1n a n a=+（*,n N a ∈为常数），等差数列236,,a a a 是 数列{}n a 的一个3阶子数列．（1）求a 的值；（2）等差数列12,,...,m b b b 是{}n a 的一个*(3,)m m m N ≥∈ 阶子数列，且 11b k= (k 为常数，*,2)k N k ∈≥，求证：1m k ≤+； （3）等比数列12,,...,m c c c 是{}n a 的一个*(3,)m m m N ≥∈ 阶子数列， 求证：1211......22m m c c c -+++≤-．【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由236,,a a a 成等差数列得3262a a a =+，可解得a ；（2）{}k b 是等差数列，由11b k =，知211b k <+，从而211111(1)d b b k k k k =-<-=-++，这样数列{}n b 是递减的，但它是{}n a 的子数列，因此各项就均为正，由此有111(1)(1)m m b b m d k k k -=+-≤-+，从而有110(1)m k k k -->+，可得结论；（3）与（2）设11c t =，类似得211c t q c t <≤+，从而11*111()(1,)1n n n c c q n m n N t t --=≤≤≤∈+，1211231111()()()111m m t t t c c c c t t t t t t t -++++≤++++++＝1[1()]1m t t t t +-+＝11()1m t t t t -+-+．下面要证1111()212m m t t t t --+-≤-+，这可由证明函数11()(3,*)m g x x m m N x -=-≥∈的单调性得其最大值得到结论．试题解析：（1）因为236,,a a a 成等差数列，所以2336a a a a -=-．又因为212a a =+，313a a =+，616a a=+， 代入得11112336a a a a -=-++++，解得0a =． ………………3分 （2）设等差数列12,,,m a a a 的公差为d ． 因为11b k =，所以211b k ≤+， 从而211111(1)d b b k k k k =-≤-=-++． 所以111(1)(1)m m b b m d k k k -=+-≤-+． ………………5分 又因为0m b >，所以110(1)m k k k -->+． 即11m k -<+．所以2m k <+． 又因为*,m k N ∈，所以1m k ≤+． ………………8分（3）设11c t = (*t N ∈)，等比数列123,,m c c c c 的公比为q ． 因为211c t ≤+，所以211c t q c t =≤+． 从而11*111()(1,)1n n n c c qn m n N t t --=≤≤≤∈+． ………………9分 所以1211231111()()()111m m t t t c c c c t t t t t t t -++++≤++++++ ＝1[1()]1m t t t t +-+ ＝11()1m t t t t -+-+．设函数*11(),(3,)m f x x m m N x -=-≥∈． 当(0,)x ∈+∞时，函数11()m f x x x -=-为单调增函数． 因为当*t N ∈，所以112t t +<≤．所以111()22m t f t -+≤-． 即1211 (22)m m c c c -+++≤-． ………………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】考点：新定义，等差数列的性质，等差数列的通项公式，等比数列的通项公式与前n 项和公式，放缩法证明不等式．：。
北京市石景山2017届高三一模数学(文)试题【含答案】
北京石景山区高三年级2016-2017学年度第一次综合练习数学试卷（文科）2017．3一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}210A x x =-<，{}01B x x =≤≤，那么A B =（ ）A ．{}0x x ≥B ．{}1x x ≤C ．102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．102x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2．以()11-， 为圆心且与直线0x y -=相切的圆的方程是（ ）A ．()()22112x y ++-= B ．()()22114x y ++-= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y -++=3．下列函数中，偶函数是（ ）A ．122xxy =-B ．sin y x x =C ．cos xy e x =D ．2sin y x x =+4．设θ∈R ，“sin cos θθ=”是“cos 20θ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202-1261年）给出了求()n n N*∈次多项式11nn nn a xa x --++10a x a ++当0x x =时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为：()()3232103210a xa x a x a a x a x a x a +++=+++然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值． A ．432234x x x x ++++ B ．4322345x x x x ++++ C ．3223x x x +++D ．32234x x x +++6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ．2B ．4C ．2+D ．57．如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF ⋅=uu u r uu u rAE BF ⋅uu u r uu u r 的值是（ ）A．2B ．1CD ．28．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（ ） A ．19B ．38C ．51D ．57二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数1a ii+-是纯虚数，则实数a =_________． 10．已知实数x y ，满足000236x y x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，那么z y x =-的最大值是_________．11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p =_________．12．已知函数()22x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，，，若()()2f a f a >-，则a 的取值范围是_________． 13．若函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω=____． 14．在环境保护部公布的2016年74城市 2.5PM 月均浓度排名情况中， 某14座城市在74城的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为某三座城市．从排名情况看，①在甲、乙两城中， 2月份名次比1月份名次靠前的城市是__________；三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）数列{}n a 中，1122n n n a a a c +==+⋅，（c 是常数，n N *∈），且1a ，2a ，3a 成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．已知a b c 、、分别是ABC ∆的三个内角A B C 、、的三条对边，且222c a b ab =+-． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．“累积净化量（CCM ）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据/188012015GB T -《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（CCM ）有如下等级划分：为了了解一批空气净化器（共台）的质量，随机抽取台机器作为样本进行估计，已知这n 台机器的累积净化量都分布在区间(]414， 中．按照(]46， ，(]68， ，(]810， ，(]1012， ，(]1214， 均匀分组，其中累积净化量在(]46， 的所有数据有：4.5 4.6 5.2 5.3 5.7 5.9， ， ， ， ， ，并绘制了如下频率分布直方图：（Ⅰ）求n 的值及频率分布直方图中的x 值；（Ⅱ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为2P 的空气净化器有多少台？ （Ⅲ）从累积净化量在(]46， 的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为2P P2的概率．如图，在ABC ∆中，C ∠为直角，4AC BC ==．沿ABC ∆的中位线DE ，将A D E ∆折起到'A DE ∆的位置，使得90A DC '∠=︒，得到四棱锥A BCDE '-． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面A CD '； （Ⅱ）求三棱锥E A BC '-的体积；（Ⅲ）M 是棱CD 的中点，过M 做平面α与平面A BC '平行，设平面α截四棱锥A BCDE '-所得截面面积为S ，试求S 的值．已知函数()xf x e =．（Ⅰ）过原点作曲线()y f x =的切线，求切线方程；（Ⅱ）当0x >时，讨论曲线()y f x =与曲线()20y mx m =>公共点的个数．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点()01， ，且离心率为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A C 、两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ．记直线l 与x 轴的交点为N ，问B N 、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．石景山区2017年高三统一练习数学（文）试卷答案及评分参考三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 112,2n n n a a a c +==+⋅∴2122a a c c =+=+ ，232226a a c c =+⋅=+． 依题意，123a a a ，，成公比不为1的等比数列， ∴2213a a a = ， 即：22+2)2(26)c c =+（ ， 化简，得：20c c -=，解得，0c =或=1c ．由于公比不为1，因此，=1c ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12n n n a a +=+． 因此，212a a =+ 2322a a =+ 3432a a =+．．．．．．112n n n a a --=+，（2n ≥，且*n ∈N ） “叠加”：1231121-2)2+2+2+......+2=2+=21-2n n n n a a --=+（（*2n n ≥∈N 且）．12a ==1n ∴时也满足2n n a = ．故，数列{}n a 的通项公式为：2nn a =（*n ∈N ）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为222c a b ab =+-，所以221cos 22a b ab C ab +-==．又因为(0,π)C ∈ ，所以π3C =． …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知π3C =， 又πA B C ++=， 所以2π3B A =-且2π(0,)3A ∈， 故2πcos cos cos cos()3A B A A +=+- 2π2πcos coscos sin sin 33A A A =++1πcos sin()26A A A ==+． 又2π(0,)3A ∈，ππ5π(,)666A +∈， 所以当ππ62A +=即π3A =时，cos cos AB +的最大值为1．…．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分17.（本小题13分）解：（Ⅰ）因为在4,6]（之间的数据一共有6个， 再由频率分布直方图可知：落在4,6]（之间的频率为0.032=0.06⨯． 因此，61000.06n ==．0.03+0.120.140.15)210.06x x +++⨯=∴=（．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知：落在6,8]（之间共：0.122100=24⨯⨯台， 又因为在5,6]（之间共4台， ∴落在5,8]（之间共28台， 故，这批空气净化器等级为2P 的空气净化器共有560台．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（Ⅲ）设“恰好有1台等级为2P ”为事件B依题意，落在4,6]（之间共有6台，记为：123456,A A A A A A ，，，，，属于国标2P 级有4台，我们记为：3456,A A A A ，，，则从4,6]（中随机抽取2个，所有可能的结果有15种， 它们是：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，15(,)A A ，16(,)A A ，23(,)A A ，24(,)A A ，25(,)A A ，26(,)A A ，34(,)A A ，35(,)A A ， 36(,)A A ，45(,)A A ，46(,)A A ，56(,)A A ，而事件B 的结果有8种，它们是：13(,)A A ，14(,)A A ， 15(,)A A ，16(,)A A ，23(,)A A ，24(,)A A ，25(,)A A ，26(,)A A ．因此事件B 的概率为8=15P B （）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 18．（本小题14分）（Ⅰ）证明：因为//DE BC ，且90C ∠=︒，所以DE AD'⊥，同时DE DC ⊥， 又A D DC D '⋂=， 所以DE ⊥面.A CD '又因为//DE BC ，所以BC ⊥平面A CD '． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：BC ⊥平面A CD '，又A D '⊂平面A DC '，所以A D BC '⊥，又因为90A DC '∠=︒ ，所以A D DC '⊥．又因为BC DC C ⋂=，所以A D '⊥平面BCDE ．所以，13E A BC A EBC EBC V V S A D ''--∆'==⨯． 依题意，11=42422EBC S BC CD ∆⨯=⨯⨯=． 所以，184233E A BC V '-=⨯⨯=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（Ⅲ）分别取A D '，EA '，A B '的中点N ，P ，Q ，并连接MN ，NP ，PQ ，QM ．因为平面α//平面A CD '，所以平面α与平面A CD '的交线平行于A C '，因为M 是中点，所以平面α与平面A CD '的交线是A CD '∆的中位线MN ．同理可证，四边形MNPQ 是平面α截四棱锥A BCDE '-的截面．即：=MNPQ S S ．由（I ）可知：BC ⊥平面A CD '，所以BC A C '⊥，又//,//QM A C MN BC QM MN '∴⊥．∴四边形MNPQ 是直角梯形．在Rt A DC '∆中，2A D CD A C ''==∴=12MN A C '==，112NP DE ==，1()32MQ BC DE =+=． 1(13)2S ∴=+= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分19．（本小题13分）解：（Ⅰ）由题意，设切点为00(,)M x y ，由题意可得0000'()0y f x x -=-，即000x x e e x =，解得01x =，即切点(1,)M e ． 所以010e k e -==-，所以切线方程为y ex =． ……………．．．．．．．．．．…5分（Ⅱ）当 0,0x m >>时， 曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m => 的公共点个数即方程2)(mx x f =根的个数． 由2()f x mx =得2xe m x =． 令2()x e g x x =，则4(2)'()x xe x g x x-=，令'()0g x =，解得2x =． 随x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：其中2g(2)4e =．所以g(2)为2()xe g x x=在(0,)+∞的最小值． 所以对曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m =>公共点的个数，讨论如下：当2(0,)4e m ∈时，有0个公共点； 当24e m =时，有1个公共点； 当2(,)4e m ∈+∞时，有2个公共点． ……………．．．．．．．．．．…13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ．因为点（0,1）在椭圆E 上，所以1b =．故221a c -=．又因为2c e a ==，所以c =2a =． 所以椭圆E 的标准方程为：2214x y +=． ……………．．．．．．．．．．…5分 （Ⅱ） 设1122(,),(,)A x y C x y ，线段AC 中点为00(,)M x y ．联立 2214402y x m x y =++-=和，得：222220x mx m ++-=．由222(2)4(22)840m m m ∆=--=->，可得m < 所以122x x m +=-，21222x x m =-．所以AC 中点为1(,)2M m m - ．弦长||AC === 又直线l 与x 轴的交点(2,0)N m -．所以||MN ==． 所以2222215||||||||||42BN BM MN AC MN =+=+=．所以B 、N ……．．．…14分。
北京市石景山2017届高三一模数学(理)试题【含答案】
北京石景山区高三年级2016-2017学年度第一次综合练习数学试卷（理科）2017．3一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{}210A x x =-<，{}01B x x =≤≤，那么A B =I （ ） A ．{}0x x ≥B ．{}1x x ≤C ．102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．102x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2．已知实数x y ，满足0620x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．10D ．123．直线1cos 2ρθ=被圆1ρ=所截得的弦长为（ ）A ．1BC ．2D ．44．设R θ∈,“sin cos θθ=”是“cos 20θ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202-1261年）给出了求()n n N *∈次多项式11n n n n a x a x --++10a x a ++，当0x x =时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：()()323210321a x a x a x a a x a x a x a +++=+++之后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值． A ．432234x x x x ++++ B ．4322345x x x x ++++ C ．3223x x x +++D ．32234x x x +++6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A．2+B．2+C．4+D ．57．如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF ⋅=uu u r uu u r AE BF ⋅uu u r uu u r的值是（ ）A．2B ．1CD ．28．如图，将正ABC ∆分割成m 个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n 个边长为1的小正三角形．若:47:25m n =，则ABC ∆的边长是（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数1a ii+-是纯虚数，则实数a = ． 10．在数列{}n a 中，11a =，()12123n n a a n +⋅=-=，，，，那么8a = ． 11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p = ． 12．如果将函数()()()sin 30f x x ϕπϕ=+-<<的图象向左平移12π个单位所得到的图象关于原点对称，那么ϕ= ．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是 ．（用数字做答）14．已知()424a x x a x f x x x a x ⎧⎛⎫-+< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≥⎪⎩，，． ①当1a =时，()3f x =，则x = ；②当1a ≤-时，若()3f x =有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a = ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知a b c 、、分别是ABC ∆的三个内角A B C 、、的三条对边，且222c a b ab =+-． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求B A cos cos +的最大值．某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间(0,50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按(]010， ，(]1020， ，(]2030， ，(]3040， ，(]4050， 分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a 的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间(]020， 的数据样本中抽取3个，记在(]010， 内的数据个数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间(]010， 中的个数．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ē n ào ）．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD C D =，E 为PC 中点，点F 在PB 上，且PB ⊥平面DEF ，连接BD ，BE ．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知2AD CD ==，F AD B --的余弦值．已知函数()ln f x x =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当0x >时，()11f x x≥-；（Ⅲ）若1ln x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点()01， ，且离心率为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A C 、两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B N 、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．已知集合(){}{}()1201122nn i R X X x x x x i n n ==∈=≥，，，，，，，，，．对于 ()12n n A a a a R =∈，，，，()12n n B b b b R =∈，，，定义A 与B 之间的距离为()11221nn n i i i d A B a b a b a b a b ==-+-+-=-∑，．（Ⅰ）写出2R 中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M 满足：3M R ⊆，且任意两元素间的距离均为M ，求集合M 中元素个数的最大值并写出此时的集合M ；（Ⅲ）设集合n P R ⊆，P 中有()2m m ≥个元素，记P 中所有两元素间的距离的平均值为()dP ，证明()()21mnd P m ≤-．石景山区2017年高三统一练习数学（理）试卷答案及评分参考三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为222c a b ab =+-，所以2221cos 22a b c C ab +-==． ……3分 又因为(0,π)C ∈， 所以π3C =． …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知π3C =， 又πA B C++=， 所以2π3B A =-且2π(0,)3A ∈， 故2πcos cos cos cos()3A B A A +=+-2π2πcos cos cos sin sin 33A A A =++ 1πcos sin()26A A A =+=+． 又2π(0,)3A ∈，5π(,)666A ππ+∈， 所以当ππ62A +=即π3A =时，cos cos AB +的最大值为1． …13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由图（乙）知，10(0.020.030.0250.015)1a ++++=解得0.01a =，22s s >．………………… 3分（Ⅱ）X 的所有可能取值1，2，3．则()124236115C C P X C ===，()214236325C C P X C ===，()304236135C C P X C ===， 其分布列如下：…………………8分 （Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2345620++++=个，其中有4个数据在区间(0,10]内．又因为分层抽样共抽取了12005%60⨯=个数据， 乙种酸奶的数据共抽取602040-=个，由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间(0,10]内的频率为0.1， 故乙种酸奶的日销售量数据在区间(0,10]内有400.14⨯=个． 故抽取的60个数据，共有448+=个数据在区间(0,10]内． 所以，在1200个数据中，在区间(0,10]内的数据有160个．……………13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）因为PD ⊥ 面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以BC PD ⊥.因为四边形ABCD 为矩形，所以BC DC ⊥.PD DC D =, 所以BC ⊥面PDC .DE ⊂面PDC , DE BC ⊥, 在PDC ∆中，PD DC =，E 为PC 中点 所以DE PC ⊥. PC BC C =,所以DE ⊥面PBC . ……………………………………4分（Ⅱ）四面体DBEF 是鳖臑，其中π2BED FED ∠=∠=，π2BFE BFD ∠=∠=． ……………………………………9分（Ⅲ）以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．(0,0,0),(2,0,0),D A C P B ．设PF PB λ=，则(2)F λ．DF PB ⊥得0DF PB =解得14λ=．所以1(,244F ． ………11分 设平面FDA 的法向量(,,)n x y z =，1024420n DF x y z n DA x ⎧⎧⊥++=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎪⎩=⎩令1z = 得0,3x y ==-． 平面FDA 的法向量(0,3,1)n =-，平面BDA的法向量DP =，cos ,10n DPn DP n DP -<>===． 二面角F AD B -- ． …………………14分 18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）1()f x x'=, (1)1f '=， 又(1)0f =，所以切线方程为1y x =-; ……3分 （Ⅱ）由题意知0x >，令11()()(1)ln 1g x f x x x x =--=-+． 22111'()x g x x x x-=-= ………5分 令21'()0x g x x-==，解得1x =． ………6分 易知当1>x 时，'()0g x >，易知当01x <<时，'()0g x <．即()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增 ………7分所以min ()(1)0g x g ==，()(1)0g x g ≥=即1()()(1)0g x f x x =--≥，即1()(1)f x x≥-． ……8分（Ⅲ）设()1ln (1)h x x a x x =--≥，依题意，对于任意1,>x ()0h x >恒成立．'()1a x a h x x x-=-=， ………9分 1≤a 时，'(),h x >0()h x 在[1,)+∞上单调增，当1>x 时，()(1)0h x h >=，满足题意． ………11分 1>a 时，随x 变化，'()h x ，()h x 的变化情况如下表：()h x 在(,)a 1上单调递减， 所以()()<=g a g 10即当 1>a 时，总存在()0<g a ，不合题意． ………12分综上所述，实数a 的最大值为1． ………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c .因为点（0,1）在椭圆C 上，所以1b =．故221a c -=．又因为2c e a ==，所以c =2a =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分 （Ⅱ） 设1122(,),(,)A x y C x y ，线段AC 中点为00(,)M x y ．联立 2214402y x m x y =++-=和，得：222220x mx m ++-=．由222(2)4(22)840m m m ∆=--=->，可得m < 所以122x x m +=-，21222x x m =-． ……………8分 所以AC 中点为1(,)2M m m -． …………9分弦长||AC === ………10分又直线l 与x 轴的交点(2,0)N m -， ………11分所以||MN ==． ………12分 所以2222215||||||||||42BN BM MN AC MN =+=+=． 所以B 、N………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}R =，2,A B R ∈ ，max (,)2d A B =． …………………3分 （Ⅱ）3R 中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M 中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以{(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}M = 或{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}M =，集合M 中元素个数最大值为4． ………………8分 （Ⅲ）2,1()(,)A B P m d P d A B C ∈=∑ ，其中,(,)A B Pd A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和． 设P 中所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0，则,1(,)()ni i A B P i d A B t m t ∈==-∑∑ 由于2()(1,2,,)4i i m t m t i n -≤= 所以2,1(,)()4n i i A B P i nm d A B t m t ∈==-≤∑∑ 从而222,1()(,)42(1)A B P mm nm nm d P d A B C C m ∈=≤=-∑ …………………13分。
石景山区第一学期期末考试高三数学(理科)
石景山区第一学期期末考试高三数学（理科）高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，第10页为草稿纸，共150分．考试时间120分钟．题号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷总分一 二 15 16 17 18 19 20 分数第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在 题后括号内．1．设全集{}5,4,3,2,1U =，{}4,3,1=M ，{}5,4,2=N ，那么(UM ) (UN )等于（ ）A ．∅B ．{}3,1 C ．{}4 D ．{}5,2 2．ii i )1)(1(-+等于（ ）A ．2B ．－2C ．i 2D ．－i 23．若函数)(x f 的反函数为)1(log )(21+=-x x f，则)1(f 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．4D ．4- 4．已知向量a ＝（3，4），b ＝（αsin ，αcos ），且a ∥b ，则αtan 等于（ ）A ．34B ．34-C ．43D ．43-5．若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ）A ．//a β且αβ⊥B ．a β⊂且αβ⊥C ．a b ⊥且//b αD ．a β⊥且//αβ6．某班上午要上语文、数学、英语、体育各一节，体育课既不在第一节也不在第四节，共有不同的排法数为（ ）得分 评卷人A ．24B ．22C ．20D ．12 7．数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，12321n n a a a a ++++=-，则2222123n a a a a ++++等于（ ） A ．(2n －1)2B ．31(2n －1) C ．31(4n －1) D ．4n －1 8．已知定义在R 上的函数f x ()同时满足条件：（1）f ()02=；（2）f x ()>1，且1)(lim =-∞→x f x ；（3）当x R ∈时，f x '()>0．若f x ()的反函数是f x -1()，则不等式0)(1<-x f的解集为（ ）A ．)2,0( B ．)2,1( C ．()-∞，2D ． ()2，+∞第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．2211lim 21x x x x →---= ．10．在8)2(xx -展开式中，常数项是 ，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）11．球的表面积扩大到原来的2倍，则球的半径扩大到原来的_______倍，球的体积扩大到原来的________倍．12．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥.6,2,2y x y x 则该不等式组表示的平面区域的面积为 ，目标函数得分 评卷人y x z 3+=的最大值是 ．13．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ，，，若1=a ，oB 45=∠，ABC ∆的面积2=S ，则b 边长为 ，ABC ∆的外接圆的直径的大小为 ．14．对于函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤⋅=.0,212,0,2)(2x x x x e x x f x 有下列命题： ①过该函数图像上一点()()2,2--f 的切线的斜率为22e -； ②函数)(xf 的最小值为e2-； ③该函数图像与x 轴有4个交点；④函数)(x f 在]1,(--∞上为减函数，在]1,0(上也为减函数.其中正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （2sinx -，)2sin x， B （2sinx ，)2cos 2x -，C （2cos x，0）．（Ⅰ）求向量AC 和向量BC 的坐标；（Ⅱ）设BC AC x f ⋅=)(，求 )(x f 的最小正周期； （Ⅲ）求当12[π∈x ，]65π时，)(x f 的最大值及最小值．得分 评卷人16.（本小题满分13分）已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时，)(x f 取得极值2-．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）当∈x ]3,3[-时，m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围．得分 评卷人17.（本小题满分13分）已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且．（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{nna 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S ．18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，P 点在平面ABCD 内的得分 评卷人得分 评卷人PDB ACE射影为A ，且2==AB PA ，E 为PD 中点． （Ⅰ）证明：PB //平面AEC ； （Ⅱ）证明：平面⊥PCD 平面PAD ； （Ⅲ）求二面角D PC B --的大小．19.（本小题满分14分）在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为4.0，5.0，8.0，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响.（Ⅰ）求甲、乙、丙三人均达标的概率； （Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；（Ⅲ）设ξ表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求ξ的概率分布及数学期望E ξ．得分 评卷人20.（本小题满分14分）已知定义在R 上的函数)(x f ，对任意的实数m 、n ,都有)()()(n f m f n m f =+成立，且当0>x 时，有1)(>x f 成立.（Ⅰ）求)0(f 的值，并证明当0<x 时，有1)(0<<x f 成立； （Ⅱ）判断函数)(x f 在R 上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若2)1(=f ，数列}{n a 满足))((*N n n f a n ∈=，记nn a a a S 11121+++=，且对一切正整数n 有n S m f 2)1(>-恒成立，求实数m 的取值范围.得分 评卷人以下为草稿纸2006-2007学年石景山区第一学期期末考试 高三数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：每小题5分，满分40分．1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．D 7．C 8．B二、填空题：每小题5分，满分30分．（对有两空的小题，第一空3分，第二空2分）9．2310．1120，1 11．2，22 12．2，14 13．5，25 14． ①②④三、解答题：本大题满分80分． 15．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）AC =2sin2(cos x x +，)2sin x-， BC =2sin 2(cos xx -，)2cos 2x ． …………………………………2分（Ⅱ） BC AC x f ⋅=)(= 2cos 2)2sin ()2sin 2(cos )2sin 2(cos xx x x x x ⋅-+-⋅+ …………4分= 2cos 2sin 22sin 2cos 22x x x x --= x x sin cos - …………………………………6分=)22sin 22(cos 2⋅-⋅x x =)4cos(2π+x …………………………………8分∴)(x f 的最小正周期π2=T ． …………………………………9分 （Ⅲ）∵≤≤x 12π65π， ∴121343πππ≤+≤x ．∴ 当ππ=+4x ，即x =43π时，)(x f 有最小值2-， ………………11分当34ππ=+x ，即x =12π时，)(x f 有最大值22． ……………12分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由)(x f 是R 上的奇函数，有)()(x f x f -=-， …………………………1分即d cx ax d cx ax ---=+--33，所以0=d ．因此cx ax x f +=3)(． …………………………………2分对函数)(x f 求导数，得c ax x f +='23)(． ……………………………3分由题意得2)1(-=f ，0)1(='f , ……………………………4分所以⎩⎨⎧=+-=+.03,2c a c a …………………………………5分解得3,1-==c a ,因此x x x f 3)(3-=．…………………………………6分（Ⅱ）)(x f '332-=x ． ………………………7分令332-x >0，解得x <1-或x >1， 因此，当∈x (－∞,－1)时，)(x f 是增函数；当∈x (1,＋∞)时，)(x f 也是增函数． …………………………………8分 再令332-x <0, 解得1-<x <1，因此，当∈x (－1,1)时，)(x f 是减函数． ……………………………9分 （Ⅲ）令)(x f '=0，得1x =－1或2x =1．当x 变化时，)(x f '、)(x f 的变化如下表.x3-()1,3--－1 ()1,1-1 )3,1(3 )(x f '＋ 0－ 0＋ )(x f18- ↗2 ↘2-↗18…………………………………11分从上表可知，)(x f 在区间]3,3[-上的最大值是18 . 原命题等价于m 大于)(x f 在]3,3[-上的最大值,∴18>m ．…………………………………13分EADP17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）622212=+=a a ，2022323=+=a a ． …………………………………2分（Ⅱ）),2(22*1N n n a a nn n ∈≥+=-且 ，∴),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥+=--且， …………………………………3分 即),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥=---且． …………………………………4分 ∴数列}2{nn a 是首项为21211=a ，公差为1=d 的等差数列． …………5分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得,211)1(21)1(212-=⋅-+=-+=n n d n a n n ……………………………7分∴nn n a 2)21(⋅-=． ……………………………8分)2(2)21(2)211(2252232212)1(2)21(2252232211432321+⋅-+⋅--++⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n S n S……………………………10分1322)21(2221)2()1(+⋅--++++=--n n n n S 得12)21(2222132-⋅--++++=+n n n 12)21(21)21(21-⋅----=+n n n32)23(-⋅-=n n ．∴32)32(+⋅-=nn n S ． ……………………………13分18．(本小题满分14分) （Ⅰ）PDBACEHCBPHO CABDPF证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．O 为BD 中点，E 为PD 中点，∴EO//PB ． ……………………1分EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ……………………2分∴ PB//平面AEC ． ……………………3分（Ⅱ）证明： P 点在平面ABCD 内的射影为A ，∴PA ⊥平面ABCD ．⊂CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ……………………4分 又 在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =⋂， ……………………5分 ∴CD ⊥平面PAD ． ……………………6分 又 ⊂CD 平面PCD ，∴平面⊥PCD 平面PAD ． ……………………7分 （Ⅲ）解法一：过点B 作BH ⊥PC 于H ，连结DH ． ……………………8分易证PDC PBC ∆≅∆，∴DH ⊥PC ，BH=DH,∴BHD ∠为二面角B —PC —D 的平面角． ……………………10分PA ⊥平面ABCD,∴AB 为斜线PB 在平面ABCD 内的射影，z yxCABDP又BC ⊥AB, ∴BC ⊥PB. 又BH ⊥PC,∴PB BC PC BH ⋅=⋅,36232222=⨯=BH , ……………………11分 在BHD ∆中，HDBH BD HD BH BHD ⋅-+=∠2cos 222 =2131638362362283838-=-=⨯⨯-+， ……………………12分∴120=∠BHD ， ……………………13分 ∴二面角B —PC —D 的大小为120． ……………………14分解法二：如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． ……………………8分由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 的坐标分别为A(0 ,0, 0), B(2, 0, 0), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2) ．)0,2,0(BC 2),,0,-2(BP ==,)0,0,2(DC 2),,2,0(DP =-=. …………9分设平面BCP 的法向量为1n =),,(111z y x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0BC ,0BP 11n n 即⎩⎨⎧=++=++-.0020,0202111y z x∴⎩⎨⎧==0.,111y x z令1z 1=,则)1,0,1(1=n . …………………………………11分 设平面DCP 的法向量为2n =),,(222z y x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0DC ,0DP 22n n 即⎩⎨⎧=++=+-.0002,0220222x z y∴⎩⎨⎧==.0,222x y z令1z 2-=,则)1,1,0(2--=n . …………………………………13分21221|n ||n |n n n ,n cos 212121-=⨯-=⋅>=<,∴二面角B —PC —D 的大小为120． …………………………………14分19． （本小题满分14分）解：（Ⅰ）分别记“甲达标”，“乙达标”，“丙达标”为事件321,,A A A ．…………………………………1分由已知321,,A A A 相互独立，4.0)(1=A P ，,5.0)(2=A P 8.0)(3=A P .…………………………………2分3个人均达标的概率为)(321A A A P ⋅⋅)()()(321A P A P A P ⋅⋅=16.08.05.04.0=⨯⨯=． ……………………4分（Ⅱ）至少一人达标的概率为)(1321A A A P ⋅⋅- ……………………5分)()()(1321A P A P A P ⋅⋅-=94.0)8.01)(5.01)(4.01(1=----=．……………………………7分（Ⅲ）测试结束后达标人数的可能取值为0，1，2，3,相应地，没达标人数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3. ……………………………8分)()()3(321321A A A P A A A P P ⋅⋅+⋅⋅==ξ)()()()()()(321321A A A P A A A P ⋅⋅+⋅⋅=)8.01)(5.01)(4.01(8.05.04.0---+⨯⨯=22.0= ． ……………………………10分)()()()()1(321132231321A A A P A A A P A A A P A A A P P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==ξ)()(213312A A A P A A A P ⋅⋅+⋅⋅+)4.01(8.05.0)5.01(8.04.0)8.01(5.04.0-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯= )8.01()4.01(5.0)8.01()5.01(4.0-⨯-⨯+-⨯-⨯+)5.01()4.01(8.0-⨯-⨯+=78.0 ． ………………12分ξ的概率分布如下表：……………………………13分E ξ＝44.122.0378.01=⨯+⨯ ． ……………………………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）令1,0==n m ，得)1()0()1(f f f =，由题意得1)1(>f ，所以1)0(=f . ……………………2分 若0<x ，则1)0()()()(==-=-f x x f x f x f ，∴ )(1)(x f x f -=. 由已知1)(>-x f ，得1)(0<<x f ． …………………………………4分 （Ⅱ）任取R x x ∈21,且设21x x >， …………………………………5分由已知和（Ⅰ）得)(0)(R x x f ∈>，∴)()()()()(21222121x x f x f x x x f x f x f -=+-=， ……………………………7分 021>-x x ，∴1)(21>-x x f ，∴)()(21x f x f >．ξ 1 3 P0.780.22所以函数)(x f 在R 上是增函数. …………………………………9分（Ⅲ）2)1()1()(1==-=-f n f n f a a n n ， ∴数列}{n a 是首项为2, 公比为2的等比数列.∴nn a 2=. …………………………………11分n n n n a a a S )21(1211])21(1[2111121-=--=+++= . …………………12分又对一切正整数n ，有n S m f 2)1(>-恒成立， 即2)1(≥-m f 恒成立．又2)1(=f ， ∴ )1()1(f m f ≥-恒成立. 又由（Ⅱ）得11≥-m ，解得m 的取值范围是0≤m . ……………………14分若有其它解法，请酌情给分．。
2016年3月石景山高三数学(理)试题及答案综述
石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40 分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1•已知集合M 二｛x| x _0 , x R｝, N 二｛x |x2：：：1 , x • R｝，则M 门N =（）A . 10 ,1] B. （0 ,1 ）C. （0,1] D.【0,1）2•设i是虚数单位，则复数2i在复平面内所对应的点位于（）1 -iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3•下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）31A . y=x+1 B. y = —x C. y=—D. y = XXx1 1 1 14.下图给出的是计算'' - '的值的一个框图，2 4 6 10其中菱形判断框内应填入的条件是（）A. i 5B. i ：：5 C . i 6 D .i ：：65.某四面体的三视图如图所示,A. 8B. 6.2该四面体四个面的面积中最大（）C . 10 D. 8.26.在数列｛畀中，“ s n^>3n ”是“数列｛畀为递增数列”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.函数f（x）二As in （，x：W）（A 0 , 0, ）的部分图象如图所示,2TT则将y = f （x）的图象向右平移一个单位后，得到的函数图象的解析式6为（）2兀A. y =sin 2x B . y=sin（2x ）nC . y =si n（2x ）D . y = cos 2x 恻（左』视图&德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 n 如果n 是偶数，就将它减半（即n）;如果n 是奇数，则将它乘 3加1（即3n 7），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到21.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数 规则施行变换后的第 8项为i （注：i 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为（）A . 4B . 6C . 32D . 128第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.29•双曲线一-y 2=1的焦距是 _____________ ，渐近线方程是 _________2x 2^8,10.若变量X,y 满足约束条件＜OWx 兰4,则z = 2x+y 的最大值等于 __________0 Wy 兰3,11•如图， AB 是半圆0的直径，.BAC =30 , BC 为半圆的切线，且BC =4 J 3，则点O 到AC 的距离OD = _____________ .X = 1 + Sl 的参数方程为 '（s 为参数），曲线C 的参数方程为I y = 1—s（t 为参数），若直线l 与曲线C 相交于A , B 两点，则log 2 x ,x 0,13 .已知函数f （x ）关于x 的方程f （x ），x-a=0有且只有一个实根，则实数 a 的取值范2,x^0,围是 ________ .14. 某次考试的第二大题由 8道判断题构成，要求考生用画“/和画“X”表示对各题的正误判断，每 题判断正确得1分，判断错误不得分•请根据如下甲，乙，丙 3名考生的判断及得分结果，计算出考生 丁的得分.第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题得分 甲 X X V X X V X V 5 乙 X V X X V X V X 5 丙 V X V V V X X X 6 丁VXXXVXXX?八首项）按照上述12 •在平面直角坐标系中，已知直线AB =丁得了_________________ 分.三、解答题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）设厶ABC的内角A , B ,C的对边分别为a , b ,c,且bsin . 3acos B •（i）求角B的大小；（n）若b = 3 ,si nC =2s in A，求a ,c 的值.16. （本小题共13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（i）求a b的值；（n）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（川）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款（即全款），其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元.用X表示销售一部苹果6S手机的利润，求X的分布列及数学期望.如图，三棱柱ABC _A B,C,中, AA1丄平面ABC , BC _ AC ,BC = AC = 2, AA、_3 , D 为AC 17. （本小题共14分）的中点.（I）求证：AB、// 平面BDC 1；（H）求二面角C1 _BD _C的余弦值;（川）在侧棱AA I上是否存在点P，使得CP丄平面BDC 1?若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由.18. （本小题共13分）已知函数f （x） = sin x -xcosx .（I）求曲线y = f（x）在点（n, f（冗））处的切线方程；（n）求证：当x 三（0 ,—）时，f （x） ::: - x3；2 3■TT（川）若f （x）・kx「xcosx对x・（0，—）恒成立，求实数k的最大值.219. （本小题共14分）x2 v2J2已知椭圆C:二2=1（a b 0）的短轴长为2,离心率为，直线a b 21l : y = kx m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点（0，_ —）.2（I）求椭圆C的标准方程；（□）求厶AOB （O为坐标原点）面积的最大值.20. （本小题共13分）若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列｛a ｝的前n项和S =a ，则称｛a ｝是“回归数列”n n m nJ （I）①前n项和为S h =2的数列｛ a n｝是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为b n =2n的数列｛b n｝是否是“回归数列”？并请说明理由；（H）设｛an｝是等差数列，首项a1日，公差dcO，若｛an｝是“回归数列”，求d的值；（川）是否对任意的等差数列｛a n｝，总存在两个“回归数列” ｛b n｝和｛c n｝,使得a n =b n-「c n（n三N *）成立，请给出你的结论，并说明理由.石景山区2015— 2016学年第一次模拟考试高三数学（理）参考答案15. （本小题共13分） 解：(I), bsi nA=.3acosB ,.................. 2 分由正弦定理得 sin Bsin A =、、3sin AcosB ,在厶 ABC 中，si n A=0，即 tan B 二3 , B (0，力,..... 4 分B = - .......... 6 分3(n) 丁 sinC=2sin A ,由正弦定理得 c = 2a ,.............. 8 分由余弦定理 b 2 二 a 2 • c 2 -2accosB ,2 2n得 9 二 a 4a -2a (2 a) cos ,.............. 10 分3解得 a =呵3，二 c =2a =2.3 ...............13 分16. (本小题共13分)a解: (I)由题意得0.15 ,100所以a =15 ,又 35 25 a 10 b =100，所以 b =15 ............... 3 分（第9题第第二三、解答题共80一空2分, 空3分）共6小题, 分.（n）设事件A为“购买一部手机的3名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款” ........ 4分由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1 , ............... 5分所以P（A） =C3><0.1X0.92 =0.243. ................... 7 分(川)记分期付款的期数为E,依题意得P(E = 1) = 0.35 , P(E= 2) =0.25 , P( 3) = 0.15 , P( E = 4) = 0.1 , P(E = 5) = 0.15 ,因为X可能取得值为1000元，1500元，2000元， ........ 8分并且易知P(X =1000)rP(E 二1)=0.35 , ............... 9 分P(X = 1500) = P(和2) P( 3) = 0.4 , ................. 10 分P(X =2000) = P( E 二4) P( E 二5) =0.25 , ............... 11 分所以X的分布列为所以X 的数学期望EX =1000 0.35 1500 0.4 2000 0.25=1450 •…13 分17. （本小题共14分）解：（I）证明：连接BC ,与BC1相交于O ,连接OD .••• BCC1B1是矩形，••• O是BC的中点.又D是AC的中点，••• OD // AB1. ......... 2分AB—-平面BDC1, OD -平面BDG ,--AB1 // 平面BDC1 .B(0,3,2)—（n）如图，建立空间直角坐标系，贝y G（0,0, 0）,C（0,3,0）, A（2,3,0）, D（1,3,0）,分设n =（为，％,zj是平面BDC1的一个法向量，I n GB = 0, 3 % + 2z1 — 0 ,贝叭彳亠即g力1“n C1D =0 , X1 3% =0,1 1令％ =1，则n =（1,-一，—） , ....... 7分3 2易知GC =（0 ,, 0）是平面ABC 的一个法向量,由题意知二面角 G - BD -C 为锐角,2面角G - BD -C 的余弦值为|.则巨看°，，即3(y -3^0，CP C 1D =0,23(y-3) =o ,•••方程组无解.•••假设不成立.f (x) = cos x -(cos x - x sin x) = x sin x（I ） f （二）=0 , f （二）=二.所以切线方程为 y 二二.1 3(H)令 g (xr f(x)-3x ,贝U g (x)二 xsin x 「x 2 二 x(sin x -x),当 x (0 ,—)时，设 t(x)二 sin x - x ，贝V t (x)二 cosx 一 1 ：：0 2所以 t(x)在 x • (0 ,—)单调递减，t( x) = sin x - x ：：： t(0) = 02即 sin x :: x ，所以 g (x) :: 0 ............ 6 分jr所以g （x ）在（0,—）上单调递减，所以 g （x ） ：：： g （0）= 0,21 3所以 f （x ） ：： - X 3 . .... 8 分3IT（川）原题等价于sinx kx 对x ・（0，一）恒成立，2sin x n即k ::: ------ 对x (0，—)恒成立， ....... 9分n C i C --cos . n ,GC =C i C -1 610分（川）假设侧棱 AA i 上存在一点P （2, , ,0） (0_y _3)，使得 CP _ 平面 BDC 1.12分•侧棱AA 1上不存在点P ，使CP 丄平面BDG . 14分18. 解： （本小题共13 分）x 2令h（x）二沁xcosx -sinx2xf(x)10分易知f(x)=xsin x . 0，即即f(x)在(0,—)单调递增，2所以f(x) . f(0) =0,所以h (x) ：,0 , ....... 11 分故h(x)在(0 ,)单调递减，所以k空h(1)=Z .2 2 兀2综上所述，k的最大值为-. ....... 13分3119.(本小题共14分)C运—— 5a 2解: (I)由已知可得丿2b =2 , 解得a =2 ,b =1,a2= b2+c2,i2故椭圆C的标准方程为—y2 = 1.2(n)设AX ,yj , BX ,祠,y = kx m ,联立方程x2x 2 d消去y 得(1 2k2)x2 4kmx 2m2 - 2 = 0.当' =8(2k2 _m2 1) 0 ,即2k2m2-1 时,2-4km 2m -2X〔X? — 2 , X〔X2 —2.1 2 1 2k2 1 2 1 2k2所以x1 X2 _ -2km % y2 _ m2 1 +2k2 ' 2 1 +2k2•1当k =0时，线段AB的垂直平分线显然过点(0 , -丄)2S曲OB = 3 AB ‘m =? ■ m 2^2 J i — m?=. (1 —m2) m2因为m • (-1,0) 一(0,1)，所以m2(0,1)S AOB —2）2吟，当m=2时，取到等号1当k = 0时，因为线段AB的垂直平分线过点（0 , 一丄）,23-（-丄）1所以一2 2 1,X i X2 _ 0k2 -化简整理得2k2• 1 = 2m .2k2 1 =2m,2 22k 1m,得0 ::: m ::: 2 .又原点O到直线AB的距离为d =m 1k2AB = J1 +k2 % - x2=2 1 k2、4k2 -2m2 21 2k2所以S AOB AB m』4k2 _2m2 +21 2k2而2k2 1 =2m且0 ：：m .2 ,则S.A OB = L\/4m-2m2,0 cm c2 . 2所以当m =1，即k2乂1时,2 S.A OB取得最大值综上, S.AOB最大值为•- 8分9分10分11分12分13分14分20.（本小题共13分）解：（I）①••• S n =2n，作差法可得a n 二S n-S nv =2心（n - 2）,当n =1 时，S^ -a1；当n丄2时，& = a* i，存在m = n 1，使得S n = O m「•数列｛O n｝是“回归数列”.... 2分2 2②;b n = 2n，•前n项和「= n • n ,根据题意n • n = 2m••• n(n 1)一定是偶数，•存在m1，使得T n =b m二数列｛0｝是“回归数列” .... 4分(n) & =n •也，根据题意，存在正整数m，使得$ =a m成立21 *即2 d = 1 (m - 1)d , d 0 , m ：：2 , m 二Nm -2•- m =1，即d - -1 . ............ 8 分(川)设等差数列a n =Oi (n -1)d总存在两个回归数列b n=印-(n-1)a , C* =(n- 1)(ai d)使得a n= b n- c n........ 9 分证明如下：b n C n =4 -(n -1)a1 (n -1)^ (n -1)d =a n数列｛b n｝前n项和B n二na1 -垃1^a1,2n =1 时，m =1 ；n=2 时，m =1 ；n—3时，2 55为正整数，当m=2，°3也时，b m-B..2 2•存在正整数m=2,穿，使得B”讥，•⑹是“回归数列”…H分数列｛c n｝前n项和C n二虹卫(印• d)存在正整数m =卫匸卫1，使得C^c m, • ｛c n｝是“回2 2归数列”，所以结论成立. ..... 13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。
北京市石景山区高三数学上学期期末试卷 文(含解析)
2015-2016学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（）A．{1，2，5} B．{2，5} C．{2，5，7} D．{1，2，5，7}2．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．0 B．2 C．3 D．43．若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．4．“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．如图的程序框图表示算法的运行结果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．16．若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y+1）2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+y2=17．已知f（x）=x﹣1，若|f（x）|≥ax﹣1在x∈R上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）8．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数i（1﹣i）的实部为．10．已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若•（﹣）=0，则m= ．11．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a= ；样本中净重在[98，104）的产品的个数是．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a=15，b=10，A=60°，则sinB= ．13．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为．14．股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为元，能够成交的股数为．卖家意向价（元）2.1 2.2 2.3 2.4意向股数200 400 500 100买家意向价（元）2.1 2.2 2.3 2.4意向股数600 300 300 100三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和S n．16．已知函数f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值与最小值．1216运动员编号 A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号 A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38 （Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20）[20，30）[30，40]人数（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，，M，N 分别是棱CC1，AB中点．（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB1；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣AMN的体积．19．已知椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求直线l的方程．20．已知函数f（x）=x3﹣x2，g（x）=﹣mx，m是实数．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求m的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有三个零点，求m的取值范围．2015-2016学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（）A．{1，2，5} B．{2，5} C．{2，5，7} D．{1，2，5，7}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由并集可得A∪B={1，2，5}，再求交集即可．【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2}；∴A∪B={1，2，5}；∵C={1，2，5，7}，∴（A∪B）∩C={1，2，5}，故选：A．【点评】本题考查了并集，交集的运算．2．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．0 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】数形结合．【分析】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题．在解答时可以就选项逐一排查．对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可获得解答；对B满足函数定义，故可知结果；对C出现了一对多的情况，从而可以否定；对D值域当中有的元素没有原象，故可否定．【解答】解：对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B．【点评】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了函数概念的理解、一对一、多对一、定义域当中的元素必须有象等知识，同时用排除的方法解答选择题亦值得体会．4．“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当a=2 时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a=±2，故必要性不成立．【解答】解：当a=2 时，直线2x+ay﹣1=0 即 2x+2y﹣1=0，直线ax+2y﹣2=0 即 2x+2y﹣2=0，显然两直线平行，故充分性成立．当直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行时，由斜率相等得，a2=4，a=±2，故由直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行，不能推出a=2，故必要性不成立．综上，“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的充分不必要条件，故选B．【点评】本题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．5．如图的程序框图表示算法的运行结果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时满足条件i＞3，退出循环，输出S的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1不满足条件i＞3，不满足条件i是偶数，S=1，i=2不满足条件i＞3，满足条件i是偶数，S=﹣1，i=3不满足条件i＞3，不满足条件i是偶数，S=2，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出S的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的条件，依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基础题．6．若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y+1）2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+y2=1【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；规律型；函数思想；直线与圆．【分析】求出圆的圆心与半径，写出结果即可．【解答】解：圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆的圆心坐标（0，1），圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1．故选：C，【点评】本题考查圆的方程的求法，考查计算能力．7．已知f（x）=x﹣1，若|f（x）|≥ax﹣1在x∈R上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【考点】函数恒成立问题．【专题】作图题；函数思想；运动思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意画出图形，结合图形求得动直线y=ax﹣1的斜率的范围得答案．【解答】解：如图，要使|f（x）|≥ax﹣1在x∈R上恒成立，则过定点（0，﹣1）的直线y=ax﹣1的斜率a∈[﹣1，1]．故选：C．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了数形结合的解题思想方法，属中档题．8．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】排列、组合的实际应用．【专题】方案型；数形结合；数形结合法；排列组合．【分析】给能走的方格表上数字，一一列举即可得到答案．【解答】解：如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8种，故选：B．【点评】本题考查了考查了排列组合的问题，一一列举也是常用的方法，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数i（1﹣i）的实部为 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法化简复数，然后求解复数的实部即可．【解答】解：复数i（1﹣i）=1﹣i，复数的实部为：1．故答案为：1．【点评】本题考查复数的基本运算，基本概念的应用，是基础题．10．已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若•（﹣）=0，则m= 7 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标公式，以及向量垂直的定义直接计算即可．【解答】解：由题可知：•（﹣）=（﹣3，4）•[（﹣3，4）﹣（1，m）]=（﹣3，4）•（﹣4，4﹣m）=12+16﹣4m=0，即m=7，故答案为：7．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．11．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a= 0.125 ；样本中净重在[98，104）的产品的个数是120 ．【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【专题】计算题．【分析】先由样本的频率分布直方图求出a，再根据样本中产品净重小于100克的个数是48，而这个区间的频率是2×（0.05+0.1）=0.3，得到样本的容量，根据样本中净重在[98，104）的产品的频率是2×（0.10+0.15+0.125）=0.75，能求出样本中净重在[98，104）的产品的个数．【解答】解：由样本的频率分布直方图知：a=[1﹣2×（0.05+0.075+0.1+0.15）]=0.125．∵样本中产品净重小于100克的产品的频率是2×（0.05+0.1）=0.3，样本中产品净重小于100克的个数是48，∴样本的容量是n==160，∵样本中净重在[98，104）的产品的频率是2×（0.10+0.15+0.125）=0.75，∴样本中净重在[98，104）的产品的个数是160×0.75=120．故答案为：120．【点评】本题考查频率分布直方图，本题解题的关键是做出这个样本容量，用样本容量乘以符合条件的概率，本题是一个基础题．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a=15，b=10，A=60°，则sinB= ．【考点】正弦定理．【专题】计算题；对应思想；分析法；解三角形．【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解．【解答】解：∵a=15，b=10，A=60°，∴sinB===．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．13．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为4．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故答案为：4【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．14．股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为 2.2 元，能够成交的股数为600 ．卖家意向价（元）2.1 2.2 2.3 2.4意向股数200 400 500 100买家意向价（元）2.1 2.2 2.3 2.4意向股数600 300 300 100【专题】计算题；探究型；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】分别计算出开盘价为2.1、2.2、2.3、2.4元买家意向股数及卖家意向股数，进而比较即得结论．【解答】解：依题意，当开盘价为2.1元时，买家意向股数为600+300+300+100=1300，卖家意向股数为200，此时能够成交的股数为200；当开盘价为2.2元时，买家意向股数为300+300+100=700，卖家意向股数为200+400=600，此时能够成交的股数为600；当开盘价为2.3元时，买家意向股数为300+100=400，卖家意向股数为200+400+500=1100，此时能够成交的股数为400；当开盘价为2.4元时，买家意向股数为100，卖家意向股数为200+400+500+100=1200，此时能够成交的股数为100；故答案为：2.2，600．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（I）设公差为d，由题意可得，求出d的值，即得数列{a n}的通项．（II）化简，故数列{b n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式求得结果【解答】解：（I）设公差为d，由题意可得，即d2﹣d=0，解得 d=1或d=0（舍去）所以 a n=1+（n﹣1）=n．（II）∵，故数列{b n}是以2为首项，以2为公比的等比数列．∴数列{b n}的前n项和．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．16．已知函数f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值与最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）先化简函数可得f（x）=，即可求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）由定义域根据正弦函数的单调性即可求出函数f（x）在上的最大值与最小值．【解答】解：==．（Ⅰ）f（x）的最小正周期为．令，解得，所以函数f（x）的单调增区间为．（Ⅱ）因为，所以，所以，于是，所以0≤f（x）≤1．当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0．当且仅当，即时最大值．【点评】本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．1216运动员编号 A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号 A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38 （Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20）[20，30）[30，40]人数（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（I）根据已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表，我们易得出得分在对应区间内的人数．（II）（i）根据（I）的结论，我们易列出在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，所有可能的抽取结果；（ii）列出这2人得分之和大于50分的基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到这2人得分之和大于50分的概率．【解答】解：（I）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，故答案为4，6，6（II）（i）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．（ii）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种故这2人得分之和大于50分的概率P==【点评】本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件烽、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．18．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，，M，N分别是棱CC1，AB中点．（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB1；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣AMN的体积．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）由题可得AA1⊥CN且CN⊥AB又因为AA1∩A B=A所以CN⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）由题意得CM∥NG，CM=NG所以四边形CNGM是平行四边形，所以CN∥MG．又因为CN⊄平面AMB1，GM⊂平面AMB1，所以CN∥平面AMB1．（Ⅲ）所以先求△AB 1N的面积，由（Ⅱ）知GM⊥平面AB1N，三棱锥的高是GM，所以根据三棱锥的体积公式可得体积为．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC又因为CN⊂平面ABC，所以AA1⊥CN．因为AC=BC=2，N是AB中点，所以CN⊥AB．因为AA1∩AB=A，所以CN⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）证明：取AB1的中点G，连接MG，NG，因为N，G分别是棱AB，AB1中点，所以NG∥BB1，．又因为CM∥BB1，，所以CM∥NG，CM=NG．所以四边形CNGM是平行四边形．所以CN∥MG．因为CN⊄平面AMB1，GM⊂平面AMB1，所以CN∥平面AMB1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM⊥平面AB1N．所以．故答案为：．【点评】证明线面垂直关键是证明已知直线与面内的两条相交直线都垂直即可，证明线面平行关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行；求三棱锥的体积时若不易求出一般是先观察一下是否换一个底面积与高都容易求的定点．19．已知椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（II）设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，求出直线的斜率，即可得到所直线方程．【解答】解：（I）由条件椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，可得c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（II）由过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得k2＜，x1+x2=，由又点A，B的中点横坐标为．可得解得k2=，即有k=±．y=（x﹣4）．直线l的方程：y=（x﹣4）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=x3﹣x2，g（x）=﹣mx，m是实数．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求m的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有三个零点，求m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，由f′（1）=0，解出即可；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣（m+1）x，得f′（x）=x（x﹣m﹣1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，即m≤x﹣1恒成立，由x＞2，得m≤1，（Ⅲ）先求出h′（x）=（x﹣1）（x﹣m）=0，分别得m=1时，m＜1时的情况，进而求出m 的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣（m+1）x，由f（x）在x=1处取到极大值，得f′（1）=1﹣（m+1）=0，∴m=0，（符合题意）；（Ⅱ）f′（x）=x2﹣（m+1）x，∵f（x）在区间（2，+∞）为增函数，∴f′x）=x（x﹣m﹣1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，∴x﹣m﹣1≥0恒成立，即m≤x﹣1恒成立，由x＞2，得m≤1，∴m的范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣x2+mx﹣，∴h′（x）=（x﹣1）（x﹣m）=0，解得：x=m，x=1，m=1时，h′（x）=（x﹣1）2≥0，h（x）在R上是增函数，不合题意，m＜1时，令h′x）＞0，解得：x＜m，x＞1，令h′（x）＜0，解得：m＜x＜1，∴h（x）在（﹣∞，m），（1，+∞）递增，在（m，1）递减，∴h（x）极大值=h（m）=﹣m3+m2﹣，h（x）极小值=h（1）=，要使f（x）﹣g（x）有3个零点，需，解得：m＜1﹣，∴m的范围是（﹣∞，1﹣）．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，参数的范围，是一道综合题．。
北京市石景山区高三第一学期期末考试数学理科试题答案
1页石景山区第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：第11、14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）∵ 73tan =C , ∴ 73cos sin =CC. 又∵ 1cos sin 22=+C C , 解得 1cos 8C =±． ……………………3分 ∵ 0tan >C ，∴ C 是锐角．∴ 81cos =C ． ………………………6分 （Ⅱ）∵ 25=⋅CA CB ，∴ 25cos =C ab . 解得 20=ab ． …………………8分又∵ 9=+b a ， ∴ 4122=+b a ． ∴ 36cos 2222=-+=C ab b a c ．∴ 6=c ． ………………………12分16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2． ………………………2分由题意知⎩⎨⎧=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得⎩⎨⎧=-=23b a ．…………………5分2页∴ 233)(23+--=x x x x f ． ……………………6分（Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ．∵ 3>a ，∴ 01242>-=∆a a ．由0)(>'x f 解得332a a a x ---<或332aa a x -+->，由0)(<'x f 解得333322aa a x a a a -+-<<---． ……………10分∴ )(x f 的单调增区间为：)33,(2a a a ----∞和),33(2+∞-+-aa a ；)(x f 的单调减区间为： )33,33(22aa a a a a -+----．……12分 17．（本题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明：∵ 面ABC ⊥面BCD ，︒=∠90BCD ，且面ABC 面BCD BC =，∴ ⊥CD 面ABC ． ……………2分 又∵ ⊂AB 面ABC ，∴ AB DC ⊥． ………………4分（Ⅱ）解：如图，过点C 作CM ⊥AB 于M ，连结DM ．由（Ⅰ）知⊥CD 面ABC ．∴ CM 是斜线DM 在平面ABC 内的射影， ∴ AB DM ⊥．（三垂线定理）∴ CMD ∠是二面角C AB D --的平面角． …………………6分 设1=CD ，由︒=∠90BCD ，︒=∠30CBD 得3=BC ，2=BD ．∵ ABC ∆是正三角形，CBD3页∴ 2323=⋅=BC CM ． ∴ 32tan ==∠CM CD CMD ． ∴ 32arctan =∠CMD ．∴ 二面角C AB D --的大小为32arctan． …………………9分 （Ⅲ）解：如图，取三边AB 、AD 、BC 的中点M 、N 、O ，连结AO 、MO 、NO 、MN 、OD ， 则AC OM //，AC OM 21=；BD MN //，BD MN 21=． ∴ OMN ∠是异面直线AC 与BD 所成的角或其补角． ………………11分 ∵ ABC ∆是正三角形，且平面⊥ABC 平面BCD ， ∴ ⊥AO 面BCD ，AOD ∆是直角三角形，AD ON 21=． 又∵ ⊥CD 面ABC ，故2222==+=ON AC DC AD ．在OMN ∆中，23=OM ，1=MN ，1=ON ． ∴ 4321cos ==∠MN MOOMN ． ∴ 异面直线AC 和BD 所成角为43arccos． ……………14分 解法二：（Ⅰ）分别取BC 、BD 的中点O 、M ，连结AO 、OM ． ∵ ABC ∆是正三角形， ∴ BC AO ⊥．∵ 面ABC ⊥面BCD ，且面ABC 面BCD BC =， ∴ ⊥AO 平面BCD ．∵ OM 是BCD ∆的中位线，且⊥CD 平面ABC ，。
石景山区2016届高三一模数学(理)试题及答案(word版)剖析
石景山区2015—2016学年第一次模拟考试一试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．已知会合M{x|x0，xR}，N{x|x2，，则M N＝()1xR}A．0，1B．0，1C．0，1D．0，12．设i是虚数单位，则复数2i 在复平面内所对应的点位于()1iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．以下函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．yx1B．y x3C．y1D．yxxx4．以下图给出的是计算1111的值的一个框图，此中菱形判断框内应填入的条件是24610A．i5B．i5C．i6D．i65．某四周体的三视图以下图，该四周体四个面的面积中最大的是()A．8B．62C．10D．826．在数列a n中，“a n1a n”是“数列a n为递加数列”的()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件7．函数f(x)Asin(x)(A0，0，)的部分图象以下图，则将2yf(x)的图象向右平移个单位后，获得的函数图象的分析式为() 6A．ysin2x B．y sin(2x2)C．y sin(2x)D．y cos2x 368．德国数学家科拉茨1937年提出了一个有名的猜想：任给一个正整数n，假如n是偶数，就将它减半(即n)；如果n是奇数，则将它乘32加1(即3n1)，不停重复这样的运算，经过有限步后，必定能够获得1．对于科拉茨猜想，当前谁也不可以证明，也不可否认，此刻请你研究：假如对正整数n(首项)依据上述规则施行变换后的第8项为1（注：1能够多次出现)，则n的全部不一样值的个数为()A．4B．6C．32D．128第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分．9．双曲线x2y21的焦距是________，渐近线方程是________．21x 2y，810．若变量x ，y 知足拘束条件0 x 4，则z2x y 的最大值等于_____．0 y 3，11．如图，AB 是半圆O 的直径， BAC 30，BC 为半圆的切线，且BC43，则点O 到AC 的距离OD ＝________．12．在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为x 1 s ，xt 2，y 1 (s 为参数)，曲线C 的参数方程为t 2(t 为sy参数)，若直线l 与曲线C 订交于A ，B 两点，则AB ＝____．log 2x ，，x0x a0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是____．13．已知函数f(x)x ，0 ，对于x 的方程f(x)3x14．某次考试的第二大题由 8道判断题组成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分.请依据以下甲，乙，丙 3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．第1题第2题第3题 第4题第5题第6题 第7题 第8题 得分甲 × × √ × × √ × √ 5乙 × √ × × √ × √ × 5丙 √ × √ √ √ × × × 6丁√×××√×××？丁得了_______________分．三、解答题共 6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共 13分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且bsinA 3acosB ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b 3，sinC 2sinA ，求a ，c 的值．16．（本小题共 13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S 手机推出无抵押分期付款购置方式，该店对近来购置苹2果6S 手机的100人进行统计（注：每人仅购置一部手机），统计结果以下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数3525a10b已知分3 期付款的频次为0.15,请以此100人作为样本预计花费人群整体，并解决以下问题：（Ⅰ）求 a，b 的值；（Ⅱ）求“购置手机的3名顾客中（每人仅购置一部手机） ，恰巧有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果 6S 手机，顾客分1期付款(即全款)，其收益为1000元；分2期或3期付款，其收益为1500元；分4期或5期付款，其收益为2000元．用X 表示销售一部苹果 6S 手机的收益，求X 的散布列及数学希望．317．（本小题共14分）如图，三棱柱ABCABC中，AA ⊥平面ABC ，BCAC ，BCAC2，AA1 3，1 1 11D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证： AB 1∥平面BDC 1；（Ⅱ）求二面角 C 1BDC的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA 1上能否存在点 P ，使得CP ⊥平面BDC 1？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明原因．18．（本小题共 13分）已知函数 f(x) sinx xcosx ．4（Ⅰ）求曲线y f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x(0，)时，f(x)1x3；23（Ⅲ）若f(x)kx xcosx对x(0，)恒成立，务实数k的最大值．219．（本小题共14分）已知椭圆C:x2y21(ab0)的短轴长为2，离心率为2kxm与椭圆a22，直线l:y b25C交于A，B两点，且线段AB的垂直均分线经过点(0，1 )．2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．20．（本小题共13分）若对随意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{a}的前n项和S am ，则称{a}是“回n n n 归数列”．6（Ⅰ）①前n 项和为S n2n 的数列{a n }是不是“回归数列”？并请说明原因；②通项公式为b n2n 的数列{b n }是不是“回归数列”？并请说明原因；（Ⅱ）设{a n }是等差数列，首项a 11，公差d0，若{a n }是“回归数列”，求d 的值；（Ⅲ）能否对随意的等差数列{a n }，总存在两个“回归数列”{b n }和{c n }，使得a nb nc n (nN *)成立，请给出你的结论，并说明原因．石景山区2015—2016学年第一次模拟考试高三数学（理）参照答案一、选择题共 8小题，每题5分，共40分．7号 1 2 3 4 5 6 7 8答案DBDACBCB二、填空共6小，每小5 分，共30分．号答案910 11 12 13 1423，y2 1032(1，)6x2(第9第一空 2分，第二空3 分)三、解答共6小，共80分．15．（本小共13分）解：（Ⅰ）bsinA 3acosB ，⋯⋯⋯⋯⋯2分由正弦定理得sinBsinA3sinAcosB ，在△ABC 中，sinA0 ，即tanB3，B(0，π)π ⋯⋯⋯⋯6分，⋯⋯⋯⋯4分B．3（Ⅱ）sinC 2sinA ，由正弦定理得 c 2a ，⋯⋯⋯⋯⋯8分由余弦定理b 2a 2 c 2 2accosB ，得9a 24a 22a(2a)cos π，⋯⋯10分3解得a 3，∴c 2a 2 3．⋯⋯⋯⋯⋯13分16．（本小共13分）解：（Ⅰ）由意得a0.15，因此a15 ，100又35 25 a 10b100，因此b 15．⋯⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ）事件A “一部手机的 3名客中，恰巧有 1名客分4期付款”，⋯⋯⋯⋯4分由意得：随机抽取一位者，分4期付款的概率0.1，⋯⋯⋯⋯⋯5分因此P(A)10.1 20.243．⋯⋯⋯⋯⋯7分C 3 0.9（Ⅲ）分期付款的期数ξ，依意得P(ξ1)0.35，P(ξ2)0.25，P(ξ3)0.15，P(ξ4) 0.1，P(ξ5)0.15，因X 可能获得1000 元，1500元，2000 元， ⋯⋯⋯⋯8分而且易知P(X1000)P(ξ1)0.35，⋯⋯⋯⋯⋯9分P(X1500) P(ξ2)P(ξ3)0.4，⋯⋯⋯⋯⋯10分P(X2000) P(ξ4)P(ξ5)0.25 ，⋯⋯⋯⋯⋯11分因此X 的散布列8X 1000 1500 2000 P0.35 0.4 0.25因此X 的数学希望 EX 10000.35 1500 0.4 20000.25 1450．⋯13分17．（本小共 14分）解：（Ⅰ）明：接 B 1C ，与BC 1订交于O ，接OD ．∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点．又 D 是AC 的中点，∴OD ∥AB 1． ⋯⋯2分∵AB 1 平面BDC 1，OD 平面BDC 1， ⋯⋯⋯3分∴AB 1∥平面BDC 1． ⋯⋯⋯4分（Ⅱ）如，成立空直角坐系， C(0，0，0)，B(0，3，2)，C(0，3，0)A(2，3，0)，1 D(13，，0)，⋯5分n(x 1，y 1，z 1)是平面BDC 1的一个法向量，nC 1B0，3y 1 2z 1 0，即x 1 3y 10，nCD0，1令x 1 1，n(1， 1 1⋯⋯⋯7分3 ，)，2易知C 1C(0，3，0)是平面ABC 的一个法向量，⋯⋯8分∴ cos，nC 1C 1 2， ⋯⋯⋯9分nC 1Cn C 1C 73 76由意知二面角C 1BDC 角，∴二面角C 1 BDC 的余弦2． ⋯10分7（Ⅲ）假棱 AA 1上存在一点P(2,，y ，0) (0y3)，使得CP 平面BDC 1．CPC 1B0，3(y 3) 0，y 3 ，7．⋯⋯⋯12分，即∴CPC 1D0，2 3(y3)0，y3∴方程无解．∴假不可立．∴棱AA 上不存在点P ，使 C P ⊥平面BDC ．⋯⋯⋯14分1118．（本小共13分）解：f(x) cosx(cosxxsinx)xsinx⋯⋯⋯1分（Ⅰ）f() 0，f()．因此切方程y．⋯⋯⋯3分（Ⅱ）令g(x)f(x)1x 3，g(x)xsinxx 2x(sinx x)，⋯⋯⋯4分3当x (0，)，t(x)sinx x ，t(x)cosx12因此t(x)在x(0，)减，t(x)sinx x t(0)29即sinxx ，因此g(x)06分因此g(x)在(0，)上单一递减，因此g(x) g(0)0，7分1x 3．8分2因此f(x)3（Ⅲ）原题等价于sinxkx 对x(0，)恒成立，2 sinx对x(0，)恒成立， 9分即kx2sinxxcosxsinxf(x)．10分令h(x)，则h(x)x 2x x 2易知f(x)xsinx0，即f(x)在(0,)单一递加，2因此f(x) f(0)0 ，因此h(x)0，11分故h(x)在(0，)单一递减，因此kh( ) 2 ．综上所述，k 的最大值为2 ．13分22e c 2，a 2解得a 2 2，b 21，19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知可得2b 2，2分a 2b 2c 2，故椭圆的标准方程为 x 2 2Cy13分2．（Ⅱ）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程y kx m ，x 2y 21，2消去y 得(12k 2)x 2 4kmx 2m 2 20．4分当8(2k2m 21) 0，即2k2m21时， 5分x 1x 21 4km，x 1x 22m 2 2 ．6分2k 21 2k 2因此x12x 22km ，y1y 2 m．当k0时，线段AB 的垂直均分线明显过点(0112k 2212k 2， 2)SAOB1ABm 1 m22 1m 22(1 m 2)m 222由于m (1,0)(0,1) ,因此m2(0,1)S AOB2(11)12，当m21时，取到等号.8分2 222y 1 y 2 ( 1)1，当k0时，由于线段 AB 的垂直均分线过点(0，1)，因此 2 x 222x 1 2 0k化简整理得2k 212m ．9分102k212m，m2．⋯⋯⋯10分由得02k21m2，m22又原点O到直AB的距离d．AB1k2x1x221k24k2m211k22k2因此S AOB 1m4k22m22ABd12k2⋯⋯⋯11分2而2k212m且0m2，S AOB14m2m2,0m2．⋯⋯⋯12分2因此当m1，即k21，S AOB获得最大2．⋯⋯⋯13分22上，S AOB最大2．⋯⋯⋯14分220．（本小共13分）解:（Ⅰ）①∵S nn，作差法可得a n S n S n12n1(n2)，2当n1，S1a1；当n2，S n a n1，存在m n1，使得S n a m ∴数列{a n}是“回数列”．⋯⋯⋯2分②∵b n2n，∴前n和T n2n，依据意n2n2m n∵n(n1)必定是偶数，∴存在m n(n1)b m，使得T n2∴数列{b n}是“回数列”．⋯⋯⋯4分（Ⅱ）S n n n(n 1)d，依据意，存在正整数m，使得S2a m成立2即2d1(m1)d，d10，m2，mN*m2∴m1，即d1．⋯⋯⋯8分（Ⅲ）等差数列a a(n1)dn1存在两个回数列b n a1(n1)a1，c n(n1)(a1d)使得a n b n c n⋯⋯⋯9分明以下：b nc n a1(n1)a1(n1)a1(n1)da n数列{b n}前n和B n na1n(n 1) a1，2 n1，m1；n2，m1；11(n3)nm2(n3)nB n.n3时，22为正整数，当时，b m2∴存在正整数m(n3)nb m，∴{b n}是“回归数列”11分2，使得B n2数列{c n}前n项和C n n(n1)(a1d)存在正整数m n(n 1)1，使得C n c m，∴{c n}是“回归数列”，22因此结论成立．13分【注：如有其余解法，请酌情给分】12。
精品解析北京市石景山区2016届高三上学期期末考试文数试题解析(解析版)
2
a ，a2=4，a=±2，
a2
故由直线 2x+ay ﹣ 1=0 与直线 ax+2y ﹣2=0 平行，不能推出 a=2，故必要性不成立．
综上，“ a=2”是“直线 2x+ay﹣ 1=0 与直线 ax+2y ﹣ 2=0 平行”的充分不必要条件，
故选 B．
考点：直 线的一般式方程与直线的平行关系．
5．如图的程序框图表示算法的运行结果是（
【答案】 D
【解析】
试题分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最
优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解析】
试题分析：由约束条件
xy2 x 1 作出可行域如图， y0
化目标函数 z=2x+y 为 y= ﹣ 2x+z，
由图可知，当直线 y=﹣ 2x+z 过 A（ 2，0）时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为
）
A．﹣ 2 B． 2 C．﹣ 1 分析：模拟执行程序框图，可得
S=0， i=1
不满足条件 i ＞ 3，不满足条件 i 是偶数， S=1， i=2
不满足条件 i ＞ 3，满足条件 i 是偶数， S=﹣ 1， i=3
不满足条件 i ＞ 3，不满足条件 i 是偶数， S=2， i=4
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项．
1．设集合 A={2 ，5} ，集合 B={1，2} ，集合 C={1，2，5，7} ，则（ A∪B）∩Ｃ 为（ ）
A． {1 ， 2，5}
B． {2 ， 5} C． {2 ， 5， 7}
D． {1 ， 2， 5， 7}
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
石景山区2016-2017学年度第一学期初三期末试卷数 学学校姓名 准考证号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．在Rt △ACB 中，90C ∠=︒，1AC =，2BC =，则sin B 的值为A ．5B ．5C ．3D ．122．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，=65ABC ∠°，则D ∠的度数为A ．130︒B ．65︒C ．35︒D ．25︒3．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A 错误！未指定书签。
，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC 错误！未指定书签。
，CD ⊥BC 错误！未指定书签。
，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得30BE =m 错误！未指定书签。
，15EC =m 错误！未指定书签。
错误！未指定书签。
错误！未指定书签。
，30CD =m 错误！未指定书签。
，错误！未指定书签。
则河的宽度AB 长为A ．90mB ．60mC ．45mD ．30m4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为函数4y xx=(＜)图象上任意一点，过点P作PA⊥x错误！未指定书签。
轴于点A错误！未指定书签。
，则△PAO的面积是A．8B．4C．2D．2-5要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择A．甲B．乙C．丙D．丁6．如图，⊙A的半径为3，圆心A的坐标为(1,0)，点(,0)B m在⊙A内，则m的取值范围是A．4m<C．24m-<<B．2m>-D．2m<-或4m>7．如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AC的长为A．6πC．2πB．3πD．π8．若将抛物线25y x=先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为A．2521y x=-+（）B．25+21y x=+（）C．2521y x=--（）D．25+21y x=-（）9．若抛物线22y x x m=-+与x轴有交点，则m的取值范围是A．1m>B．1m≥C．1m<D．1m≤10．如右图，在Rt△ACB中，90C∠=︒，60A∠=︒，8AB=.点P是AB边上的一个动点，过点P作PD⊥AB交直角边于点D，设AP为x，△APD的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请写出一个反比例函数的表达式，满足条件：在各自象限内，y 的值随x 值的增大而增大.此反比例函数的表达式可以是（写出一个即可）： ． 12．某农场引进一批新稻种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取800粒稻种进行实验.实验的结果如下表所示：在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的稻种发芽的概率为 （精确到0.01）；如果该农场播种了此稻种2万粒，那么能发芽的大约有 万粒. 13．如图，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点B ，点C 是优弧AB 上一点，若=35ACB ∠︒，则P ∠的度数是 ︒.14于点G ，交AB 于点F ，则BF 的长为 .15．如图，抛物线1C ：212y x =经过平移得到抛物线2C ：2122y x x =+，抛物线2C 的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是 . 16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，…，n A在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 在二次函数2y x =位于第一象限的图象上，若△11OB A ，△122A B A ，△233A B A ，…，△1n n n A B A -都是等腰直角三角形，其中123B B B ∠=∠=∠=…90n B =∠=︒，则：点1B 的坐标为 ； 线段12A A 的长为 ； △1nn n A BA -的面积为 .三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．计算：0tan 454cos30︒+-︒2016）．18．如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，且AED B ∠=∠，若3AE =，1EC =，2AD =求AB 的长．19．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，8CD =，2BE =.求⊙O 的半径．20．二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：（1）求这个二次函数的表达式； （2）在右图中画出此二次函数的图象的示意图；（3）结合图象，直接写出当0y >时，自变量x 的取值范围．21．如图，在△ABC 中，30A ∠=︒，4cos 5B =，AC =求AB 的长.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与双曲线 (0)ky k x=≠的一个交点为点(1,C m （1）求双曲线的表达式；（2）过点B 作直线BD ∥x 轴，交双曲线于点D ，在x 轴上存在点P ，使得以点A ，B ，D ，P 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D 和点P 的 坐标．23．数学综合与实践活动中，某小组测量公园里广场附近古塔的高度．如图，他们先在点D 用高1.5米的测角仪DA 测得塔顶M 的仰角为30︒，然后沿DF 方向前行40m到达点E 处，在E 处测得塔顶M 的仰角为60︒．请根据他们的测量数据求古塔MF 的高（结果精确到0.1m ）．1.414≈ 1.732≈）24．某超市按每件30元的价格购进某种商品.在销售的过程中发现，该种商品每天的销售量w （件）与销售单价x （元）之间满足关系3150w x =-+（30≤x ≤50）.如果销售这种商品每天的利润为y （元），那么销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？25．如图，以△ABC 的AB 边为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线 DE ，交AC 于点E ，且DE ⊥AC ，连接EO . （1）求证：AB AC =；（2）若5AB =，1AE =，求tan AEO ∠的值．26．有这样一个问题：探究函数2y x x=-的图象和性质. 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量x 的取值范围是 ； （2求m 的值；（3）如右图，在平面直角坐标系xOy 上表中各对对应值为坐标的点.画出此函数的图象；（4 性质（一条即可）： .27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：2(3)y x m x =+-经过点(1,0)A -. （1）求抛物线C 的表达式；（2）将抛物线C 沿直线1=y 翻折，得到的新抛物线记为1C ，求抛物线1C 的顶点坐标；（3）将抛物线C 沿直线y n =翻折，得到的图象记为2C ，设C 与2C 围成的封闭图形为M ，在图形M 上内接一个面积．．为4的正方形（四个顶点均在M 上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行.求n 的值.28．已知△ABC 是等边三角形，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，点M 是射线EC 上的一个动点，作等边△DMN ，使△DMN 与△ABC 在BC 边同 侧，连接NF .（1）如图1，当点M 与点C 重合时，直接写出线段FN 与线段EM 的数量关系； （2）当点M 在线段EC 上（点M 与点E ，C 不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）连接DF ，直线DM 与直线AC 相交于点G ，若△DNF 的面积是△GMC 面积的9倍，8AB =，请直接写出线段CM 的长.29．已知⊙C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重 合的点，点P 关于⊙C 的反演点的定义如下： 若点P '在射线CP 上，满足2CP CP r '⋅=， 则称点P '是点P 关于⊙C 的反演点.图1为 点P 及其关于⊙C 的反演点P '的示意图.（1）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为6，⊙O 与x 轴的正半轴交于点A .① 如图2，135AOB ∠=︒，18OB =，若点A '，B '分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，则点A '的坐标是 ， 点B '的坐标是 ； ② 如图3，点P 关于⊙O 的反演点为点P '，点P '在正比例函数y =位于 第一象限内的图象上，△P OA '的面积为P 的坐标；（2）点P 是二次函数22 3 14y x x x =---(≤≤)的图象上的动点，以O 为圆心，12OP 为半径作圆，若点P 关于⊙O 的反演点P '的坐标是(,)m n ，请直接 写出n 的取值范围.图1图1 图2 备用图备用图。