北京四中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(含精品解析)

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2019-2020学年北京四中高二(上)期中数学试卷-含详细解析

2019-2020学年北京四中高二年级第一学期期中考试数学试卷 2019.11一、选择题（本大题共13小题，共62.0分）1.不等式x−3x+2<0的解集为()A. {x|−2<x<3}B. {x|x<−2}C. {x|x<−2或x>3}D. {x|x>3}2.已知数列{a n}满足a n+1=a n+n，且a1=2，那么a3=()A. 4B. 5C. 6D. 73.下列命题中的假命题是()A. ∀x∈R，x3>0B. ∃x∈R，使tanx=2C. ∀x∈R，2x>0D. ∃x∈R，使lgx=04.已知等差数列{a n}中，a1=−1，公差d=2，则{a n}的前5项和等于()A. −15B. −17C. 15D. 175.若a<b<0，则下列不等式中成立的是()A. a2<b2B. ab <1 C. 1a<1bD. 1a>1b6.“x2=4”是“x=2”成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A. a2+b2>2abB. a+b≥2√abC. 1a +1b>√abD. ba+ab≥28.等差数列{a n}前n项和为S n，a4+a6=−6，a1=−11.则当S n取最小值时，n=()A. 6B. 7C. 8D. 99.函数y=tanx+9tanx (π2<x<π)的最大值为()A. 6B. 9C. −6D. −910.已知常数k∈(0,1)，数列{a n}满足a n=n⋅k n(n∈N∗).下面说法正确的是()①当k=12时，数列{a n}为递减数列；②当0<k<12时，数列{a n}为递减数列；③当12<k<1时，数列{a n}不一定有最大项；④当k1−k为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④11.若m<0，n>0且m+n<0，则()A. m<−n<n<−mB. −n<m<−m<nC. m<−n<−m<nD. −n<m<n<−m12.设{a n}是等差数列，{b n}为等比数列，其公比q≠1，且b n>0(n=1,2，3，…).若a1=b1，a11=b11，则a6与b6的大小关系为()A. a6>b6B. a6=b6C. a6<b6D. a6≥b613.已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n+3，且a1=2，则a1+a2020=()A. 4043B. 4046C. 4047D. 4049二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）14.命题“∀x∈R，x2−1>0”的否定是______．15.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2−a5=0，则公比q=______，S4S2=______．16.若正数a，b满足1a +4b=1，则a+b的最小值等于______．17.已知函数f(x)的对应关系如表所示：数列{a n}满足a1=3，a n+1=f(a n)，则a4=______，a2019=______．18.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______．19.已知数列{a n}满足a n=4S n−3，n∈N∗，则a1+a3+a5+⋯+a2n+1=______．20.已知a>0，b>0，不等式−b<1x<a的解集是______．21.已知a>b>0，则a2−4b2−ab的最小值是______．22.有穷数列{a n}(n∈N∗,n≤12)满足|a n+1−a n|=1，且a1，a4，a12成等比数列．若a1=1，a12=4，则满足条件的不同数列{a n}的个数为______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）23.已知{a n}为等差数列，且a3=6，a6=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若等比数列{b n}满足b1=3，b2=a4+a5，求{b n}的前n项和公式．24.已知函数f(x)=x2+ax−4．(Ⅰ)当a=3时，解不等式f(x)<0；(Ⅱ)若不等式f(x)+5>0的解集为R，求实数a的取值范围．25.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b5=81，a1=b1，a14=b4．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．26.已知二次函数f(x)=ax2+bx，f(−1)=−4，恒有f(x)≤6x+2.数列{a n}满足(n∈N∗)．a n+1=f(a n)，且0<a n<12(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)证明：数列{a n}单调递增；(Ⅲ)记πn i=1ai =a1a2…a n，若a1=13，求πn i=1(1−2a i).27.给定数列a1，a2，…，a n.对i=1，2，3，…，n−1，该数列前i项的最大值记为A i，后n−i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i−B i．(Ⅰ)设数列{a n}为3，4，7，1.写出d1，d2，d3的值；(Ⅱ)设a1，a2，…，a n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明d1，d2，…，d n−1是等比数列；(Ⅲ)若d1=d2=⋯=d n−1=0，证明{a n}是常数列．2019-2020学年北京四中高二年级第一学期期中考试数学试题参考答案1.【答案】A<0，得到(x−3)(x+2)<0【解析】解：∵x−3x+2即x−3>0且x+2<0解得：x>3且x<−2所以无解；或x−3<0且x+2>0，解得−2<x<3，所以不等式的解集为−2<x<3故选A本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．2.【答案】B【解析】解：数列{a n}满足a n+1=a n+n，且a1=2，当n=1时，a2=a1+1=3，当n=2时，a3=a2+2=5，故选：B．直接利用数列的递推关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3.【答案】A【解析】解：对于A，当x=0时，x3=0，与x3>0矛盾；故A为假命题；对于B，由于正切函数值域为R，故∃x∈R，使tanx=2正确，故B为真命题；对于C，由于指数函数值域为(0,+∞)，故∀x∈R，2x>0正确，故C为真命题；对于D，当x=1时，使lg1=0，故∃x∈R，使lgx=0正确，故D为真命题．故选：A．对于全称命题，若为假命题，举反例即可，若为真命题，需证明；对于特称命题，若为真命题，举例即可，若为假命题，需要证明．根据含量词的命题判断方法逐一判断即可．本题考查了含量词的命题的真假的判断，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，a1=−1，公差d=2，∴{a n}的前5项和为：S5=5×(−1)+5×42×2=15．故选：C．等差数列{a n}中，由a1=−1，公差d=2，能求出{a n}的前5项和．本题考查等差数列的前5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】D【解析】解：a<b<0，则−a>−b>0，故(−a)2>(−b)2，即a2>b2，故A错，若a=−2，b=−1，则ab=2>1，故B不成立，1 a −1b=b−aab>0，故C错，D对，故选：D．利用不等式的性质，作差法，举特例法，a<b<0，则−a>−b>0，故(−a)2>(−b)2，即a2>b2，故A错，若a=−2，b=−1，则ab =2>1，故B不成立，1a−1b=b−aab>0，故C错，D对，故选：D．考查了不等式的性质，用了作差法，举特例法等数学方法，基础题．6.【答案】B【解析】解：由x2=4得x=2或x=−2，则“x2=4”是“x=2”成立的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查基本不等式，属于基础题．利用基本不等式需注意：各数必须是正数，而不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A，a2+b2≥2ab，所以A错；对于B，C，ab>0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，a+b<2√ab，1a +1b<ab，所以B，C错;对于D，因为ab>0，所以ba >0,ab>0，ba+ab≥2，当且仅当ba=ab时等号成立，所以D正确，故选D．8.【答案】A【解析】a1=−11,【分析】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．根据等差数列的性质化简a4+a6=−6，得到a5的值，然后根据a1的值，利用等差数列的通项公式即可求出公差d的值，根据a1和d的值写出等差数列的通项公式，进而写出等差数列的前n项和公式S n，配方后即可得到Sn取最小值时n 的值．【解答】由a4+a6=2a5=−6，解得a5=−3，又a1=−11，∴a5=a1+4d=−11+4d=−3，解得d=2，则a n=−11+2(n−1)=2n−13，∴S n=n(a1+a n)2=n2−12n=(n−6)2−36，∴当n=6时，S n取最小值．故选：A．9.【答案】C【解析】解：函数y =tanx +9tanx (π2<x <π)，tanx <0，由基本不等式，−tanx −9tanx ≥2√9=6，当且仅当tanx =−3成立，所以tanx +9tanx ≤−6，故选：C ．函数y =tanx +9tanx (π2<x <π)，tanx <0，由基本不等式，−tanx −9tanx ≥2√9=6，得出结论．考查基本不等式的应用，基础题．10.【答案】C【解析】解：①当k =12时，a 1=12,a 2=2×(12)2=12，所以数列{a n }不是递减数列，①不正确； ②当0<k <12时，a n+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n<nn+1≤1，即a n+1<a n ，数列{a n }是递减数列，②正确；③当12<k <1时，an+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，则k <k(n+1)n<2k ，例如取k =78，则a 7=a 8且为最大项，③错误； ④a n+1a n =(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，当k1−k 为正整数时，1>k ≥12，当k =12时，a 1=a 2>a 3>a 4>⋯…… 当12<k <1 时，令k1−k =m ，解得k =mm+1；则a n+1a n =(n+1)k n+1nk n =k(n+1)n=(n+1)mn(m+1)，当n <m 时，a n+1a n>1，数列{a n }单调递增；当n >m 时，a n+1a n<1，数列{a n }单调递减；当n =m 时，a n+1=a n ；所以数列{a n }必有两项相等的最大项；④正确；故选：C ．直接用作商比较法计算a n+1a n=(n+1)k n+1nk n=k(n+1)n，对k 的范围进行讨论，得到数列{a n }的单调性．本题考查数列的增减性，作商法比较大小，属于难题．11.【答案】A【解析】解：由m<0，得−m>0，−n>0，得−n<0，由m+n<0，−m>n>0，0>−n>m，所以m<−n<0<n<−m，故选：A．由m<0，得−m>0，−n>0，得−n<0，由m+n<0，−m>n>0，0>−n>m，所以由不等式的传递性得，m<−n<0<n<−m，得出结论．考查不等式的性质，不等式的传递性等，基础题．12.【答案】A【解析】解：由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6．∵公比q≠1，b i>0，∴b1+b11>2√b1b11=2b6，∴2a6>2b6，即a6>b6，故选：A．由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6，再由b1+b11>2√b1b11=2b6，从而得出结论．本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，属于基础题．13.【答案】A【解析】解：数列{a n}满足a n+1+a n=4n+3①，则a n+2+a n+1=4n+7②，②−①得a n+2−a n=4(常数)，所以数列{a n}的奇数项和偶数项公差都为4的等差数列．由于a1=2，所以a1+a2=7，解得a2=5，所以a n={2n(n为奇数) 2n+1(n为偶数)．所以a1+a2020=2+2×2020+1=4043．故选：A．直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.【答案】∃x∈R，x2−1≤0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∀x∈R，x2−1>0”的否定是：∃x∈R，x2−1≤0．故答案为：∃x∈R，x2−1≤0．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．15.【答案】2 5【解析】解：∵等比数列{a n}中8a2−a5=0，设首项为a1，∴a5a2=a1q4a1q=q3=8，∴q=2，∴由等比数列前n项和公式得：S4S2=a1(1−q4)1−qa1(1−q2)1−q=1−241−22=22+1=5，故答案为：2；5．利用递推式8a2−a5=0根据等比数列的定义得到公比q，设该数列首项为a1，利用前n 项和公式求解．本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，是基础的计算题．16.【答案】9【解析】解：若正数a，b满足1a +4b=1，则(a+b)(1a +4b)≥(1+2)2=9，当且仅当a=2b=9时，取等号，故答案为：9．若正数a，b满足1a +4b=1，则(a+b)(1a+4b)≥(1+2)2=9，得出结论．考查基本不等式的应用，本题用了柯西不等式，基础题．17.【答案】3 1【解析】解：由函数对应关系得a1=3，a2=f(a1)=f(3)=2，a3=f(a2)=f(2)=1，a4=f(a3)=f(1)=3，则a4=a1，则数列{a n}的周期是3，则a2019=a672×3+3=a3=1，故答案为：3，1根据函数与数列的对应关系，进行递推，得到数列{a n}是周期为3的周期数列，结合数列的周期性进行转化求解即可．本题主要考查函数与数列的综合，结合数列的递推关系，得到数列{a n}是周期为3的周期数列是解决本题的关键．考查学生的运算推理能力．18.【答案】−1，−2，−3【解析】【分析】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．直接举例即可，本题答案不唯一．【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题，可设a，b，c的值依次−1，−2，−3，(答案不唯一)，故答案为−1，−2，−3．19.【答案】98−18⋅9n【解析】解：数列{a n}满足a n=4S n−3，n∈N∗，可得n=1时，a1=4S1−3=4a1−3，即a1=1，当n≥2时，a n−1=4S n−1−3，又a n=4S n−3，两式相减可得a n−a n−1=4(S n−S n−1)=4a n，可得a n=−13a n−1，可得{a n}为首项为1，公比q为−13的等比数列，则a n=a1q n−1=(−13)n−1，可得a1，a3，a5，…，a2n+1为首项为1，公比为19的等比数列，则a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n+1=1−19n+11−19=98−18⋅9n ．故答案为：98−18⋅9n ．运用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的定义和通项公式，可得a n =(−13)n−1，可得a 1，a 3，a 5，…，a 2n+1为首项为1，公比为19的等比数列，由等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．20.【答案】(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)【解析】解：∵−b <1x <a ， ∴1x +b >0且1x −a <0， ∵b >0，由1+bx x>0，解得x >0或x <−1b ；① 1x−a <0，得1−ax x<0⇔ax−1x>0，∵a >0，∴x >1a 或x <0；② 由①②得：x >1a 或x <−1b ；∴不等式−b <1x <a 的解集是(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)．故答案为：(−∞,−1b )∪(1a ,+∞)．在a >0，b >0的条件下将−b <1x <a 转化为{1+bxx>01−axx<0即可求得答案．本题考查分式不等式组的解法，将−b <1x <a 转化为{1+bxx>01−axx<0是关键，也是难点，考查化归思想与分析运算的能力，属于中档题．21.【答案】8【解析】解：令t =ab −b 2>0，则a =tb +b ≥2√t ，当且仅当t =b 2时成立，所以a 2−4b 2−ab =(tb +b)2+4t ≥4t +4t ≥8，当且仅当t =1时成立，故答案为：8令t =ab −b 2>0，则a =t b +b ≥2√t ，当且仅当t =b 2时成立，所以a 2−4b 2−ab =(tb +b)2+4t≥4t +4t≥8，当且仅当t =1时成立．考查了基本不等式的应用，还用了换元法，中档题．22.【答案】176【解析】解：根据题意，由|a n+1−a n |=1|分析可得必有在a n+1−a n =1和a n+1−a n =−1中，必须且只能有1个成立，∵a 1，a 4，a 12成等比数列．且a 1=1，a 12=4，则a 4=±2，分2种情况讨论： ①、若a 4=−2，在1≤n ≤3中，a n+1−a n =−1都成立，在4≤n ≤11中，有1个a n+1−a n =−1，7个a n+1−a n =1成立，则有C 81=8种情况，即有8个不同数列；②、若a 4=2，在1≤n ≤3中，有1个a n+1−a n =−1成立，2个a n+1−a n =1成立，有C 31=3种情况，在4≤n ≤11中，有3个a n+1−a n =−1，5个a n+1−a n =1成立，有C 83=56种情况，则有3×56=168种情况，即有168个不同数列；则一共有8+168=176个满足条件的不同数列．故答案为：176．根据题意，由|a n+1−a n |=1|分析可得必有在a n+1−a n =1和a n+1−a n =−1中，必须且只能有1个成立，由等比数列的性质求得a 4=±2，进而分2种情况讨论，分析由乘法原理计算可得每种情况的数列数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，涉及函数的定义以及函数值的计算，关键是将函数值的问题转化为排列、组合问题．23.【答案】解：(Ⅰ)∵{a n }为等差数列，且a 3=6，a 6=0．∴{a 3=a 1+2d =6a 6=a 1+5d =0，解得d =−2，a 1=10，∴a n =10+(n −1)×(−2)=−2n +12． (Ⅱ)∵等比数列{b n }满足b 1=3，b 2=a 4+a 5=(−8+12)+(−10+12)=6，∴q=6=2，3∴{b n}的前n项和公式为：S n=3(1−2n)=3×2n−3．1−2【解析】(Ⅰ)利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公差，由此能求出a n．(Ⅱ)求出等比数列{b n}的首项和公差，由此能求出{b n}的前n项和公式．本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24.【答案】解：(1)函数f(x)=x2+ax−4，当a=3时，f(x)=x2+3x−4=(x+4)(x−1)<0，故不等式的解集为(−4,1)．(2)不等式f(x)+5>0的解集为R，x2+ax+1>0在R上恒成立，△=a2−4<0，即a∈(−2,2)．【解析】(1)函数f(x)=x2+ax−4，当a=3时，f(x)=x2+3x−4=(x+4)(x−1)< 0，解出即可；(2)不等式f(x)+5>0的解集为R，△=a2−4<0，即a∈(−2,2)．考查一元二次不等式的解法，恒成立问题，基础题．25.【答案】解：(Ⅰ){a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，且b2=3，b5=81，=27，即q=3，则b n=b2q n−2=3n−1；可得q3=b5b2=2，a1=b1=1，a14=b4=27，则d=a14−a114−1则a n=1+2(n−1)=2n−1：(Ⅱ)c n=a n b n=(2n−1)⋅3n−1，可得前n项和T n=1⋅30+3⋅31+5⋅32+⋯+(2n−1)⋅3n−1，3T n=1⋅3+3⋅32+5⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n，两式相减可得−2T n=1+2(3+32+⋯+3n−1)−(2n−1)⋅3n−(2n−1)⋅3n，=1+2⋅3(1−3n−1)1−3化为T n =1+(n −1))⋅3n ．【解析】(Ⅰ){a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式；(Ⅱ)求得c n =a n b n =(2n −1)⋅3n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．26.【答案】解：(Ⅰ)f(−1)=a −b =−4，即b =a +4，因为f(x)=ax 2+bx ≤6x +2恒成立，即对任意x ，ax 2+(b −6)x −2≤0恒成立，所以{a <0△=(b −6)2+8a ≤0b =a +4，整理得(a +2)2≤0，所以a =−2，b =2，则f(x)=−2x 2+2x ；(Ⅱ)证明：因为a n+1=f(a n )=−2a n 2+2a n ，所以a n+1−a n =−2a n 2+2a n −a n =−2a n 2+a n =−2(a n −14)2+18，因为0<a n <12(n ∈N ∗)，所以a n+1−a n ∈(0,18)，则a n+1>a n ，所以数列{a n }单调递增；(Ⅲ)因为a n+1=−2a n 2+2a n ，即a n+1−12=−2(a n −12)2，两边同时乘以−2，可得1−2a n+1=(1−2a n )2，两边取对数可得lg(1−2a n+1)=2lg(1−2a n )，则数列{lg(1−2a n )}是以2为公比，lg(1−2a 1)=lg 13为首项的等比数列，所以lg(1−2a n )=2n−1lg 13=lg(13)2n−1，则1−2a n =(13)2n−1，πni =1(1−2a i )=(1−2a 1)(1−2a 2)(1−2a 3)…(1−2a n )=(13)1+2+22+⋯+2n−1=(13)2n −1．【解析】(Ⅰ)根据f(−1)=−4可得a ，b 数量关系，再根据恒有f(x)≤6x +2.可求出a ，进而得f(x)解析式；(Ⅱ)利用二次函数验证a n+1−a n >0即可；(Ⅲ)先求出数列{lg(1−2a n )}是以2为公比，lg(1−2a 1)=lg 13为首相的等比数列，所以1−2a n =(13)2n−1，进而可求出πni =1(1−2a i )的值．本题考查数列与函数的综合运用，能判断出数列{lg(1−2a n )}是等比数列是关键，属于难题．27.【答案】解：(I)d 1=A 1−B 1=2，d 2=A 2−B 2=4−1=3，d 3=A 3−B 3=7−1=6；(II)证明：a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0，所以a n =a 1q n−1，且数列为递增数列，所以当k =1，2，3，…，n −1时，d k =A k −B k =a k −a k+1，所以d kdk−1=a k−a k+1a k−1−a k=a k−1q(1−q)a k−1(1−q)=q ，所以d 1，d 2，…，d n−1是等比数列； (iii)若d 1=d 2=⋯=d n−1=0，由d 1=A 1−B 1=0，即max{a 1}=min{a 2,…,a n }，故存在k ≥2时，a 1=a k ，且对于任意的j ∈{2,3，…，n}，都有a j ≥a k ，① 若k =2，则a 1=a 2，若k >2，因为d k−1=0，所以A k−1=B k−1，即max{a 1,…,a k−1}=min{a k ,…,a n }=a k ，又a 1=a k ，所以对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，a j ≤a 1=a k ，② 由①②可知，对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，都有a j =a k ，故a 1=a 2=⋯=a k ，因为d k =0，所以A k =B k ，所以a k =max{a 1,…,a k }=min{a k+1,…,a n }，所以存在k′∈{k +1,k +2,…,n}，使得a k ′=a k ，根据以上道理，可得故a k =⋯=a k ，依此类推，故{a n }是常数列．【解析】(I)由d 1=A 1−B 1=2，d 2=A 2−B 2=4−1=3，d 3=A 3−B 3=7−1=6，得出结论；(II)根据题意得，d k =A k −B k =a k −a k+1，由d kd k−1=a k −a k+1a k−1−a k=a k−1q(1−q)a k−1(1−q)=q 为定值，得出结论；(III)先证明d 1=A 1−B 1=0，即max{a 1}=min{a 2,…,a n }，故存在k ≥2时，a 1=a k ，且对于任意的j ∈{2,3，…，n}，都有a j ≥a k ，①再证明对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，a j ≤a 1=a k ，②由①②可知，对于任意的j ∈{2,3，…，k −1}，都有a j =a k ，故a 1=a 2=⋯=a k ，同理得出结论．本题是一道创新型数列题，结合等比数列的性质，考查了数学的逻辑推理能力和数学运算能力，难度较大，综合性强．。

北京四中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(含解析)

2018-2019学年北京四中高二上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合A={Z|}，B={－2，－1），那么A B等于A．{－2，－1，0，1} B．{－2，－1，0}C．{－2，－1} D．{－1}2．已知数列{）的通项公式为，则下列各数中不是数列中的项的是A．2 B．40 C．56 D．903．等差数列的前项和，若，则A．8 B．10 C．12 D．144．若a>b>c且a+b+c=0，则下列不等式一定成立的是A．ac>bc B．ab>bc C．ab<bc D．ac<bc5．若1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5，成等比数列，则等差数列的公差为A．3 B．3或－1 C．－3 D．3或－36．设函数，若，则的取值范围为A．（－1，1）B．（－1，+）C．（－，9）D．（－，－1）（9，+）7．数列{}中，“（n∈N*）”是“数列{}为等比数列”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．当x>1时，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是A．（－，2] B．[2，+）C．（－，3] D．[3，+）9．不等式121xx-≤+的解集为A．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦B．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭D．[)1,1,2⎛⎤-∞-⋃+∞⎥⎝⎦10．等差数列{}的公差d>0，前n项和为，则对n>2时有A．B．C．D．的大小不确定11．下列不等式：①；②；③≥2，其中恒成立的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个二、解答题12．已知：等差数列{}的公差d≠0，=1，且a2、a3、a6成等比数列（I）求{}的通项公式；（II）设数列{}的前n项和为，求使>35成立的n的最小值.13．已知：关于x的不等式（mx－（m+1））（x－2）>0（m R）的解集为集合P（I）当m>0时，求集合P；（II）若{}P，求m的取值范围.14．已知：等比数列{}中，公比为q，且a1=2，a4=54，等差数列{}中，公差为d，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+ a2+ a3.（I）求数列{}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和的公式；（III）设，，其中n=1，2，…，试比较与的大小，并证明你的结论.15．已知：函数，当x∈（－3，2）时，>0，当x∈（－，－3）（2，+）时，<0（I）求a，b的值；（II）若不等式的解集为R，求实数c的取值范围.16．对于数列A：a1，a2，a3，…，定义A的“差数列” A：，…（I）若数列A：a1，a2，a3，…的通项公式，写出A的前3项；（II）试给出一个数列A：a1，a2，a3，…，使得A是等差数列；（III）若数列A：a1，a2，a3，…的差数列的差数列（A）的所有项都等于1，且==0，求的值.三、填空题17．命题“R，”的否定为_______18．等差数列{}中，=_______19．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是20．数列{}是公比为2的等比数列，其前n项和为。

2019北京市四中高二(上)期中数学

2019北京市四中高二（上）期中数学A 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.不等式x−3x+2<0的解集为（）A. {x −2⁄<x <3}B. {x x ⁄<−2}C. {x x ⁄<−2或x >3}D. {x x ⁄>3}2.已知数列{a n }满足a n+1=a n +n ，且a 1=2，那么a 3=（）A. 4B. 5C. 6D. 73.下列命题中的假命题是（）A. ∀x ∈R ，x 3>0B. ∃x ∈R ，使tanx =2C. ∀x ∈R ，2x >0D. ∃x ∈R ，使lgx =04.已知等差数列{a n }中，a 1=1，公差d =2，则{a n }的前5项和等于（）A. −15B. −17C. 15D. 175.若a <b <0，则下列不等式中成立的是（）A. a 2<b 2B. a b <1C. 1a <1bD. 1a >1b6.设P:a 2=4，Q:a =2，则P 是Q 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是（）A. a 2+b 2>2abB. a +b ≥2√abC. 1a +1b >D. b a +ab ≥2 8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=−11，a 4+a 6=−6则S n 取最小值时的n 为（）A. 6B. 7C. 8D. 99.函数y =tanx +9tanx (π2<x <π)的最大值为（） A. 6 B. 9 C. −6 D. −910.已知常数k ∈(0，1)，数列{a n }满足a n =n ∙k n (n ∈N ∗).下面说法正确的是（）① 当k =12时，数列{a n }为递减数列； ② 当0<k <12时，数列{a n }为递减数列；③ 当12<k <1时，数列{a n }不一定有最大值； ④ 当k k−1为正数时，数列{a n }必有两项相等的最大项.A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11.命题“∀x∈R，x2−1>0”的否定是 .12.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2−a5=0，则公比q=，S4S2= .13.若正数a，b满足1a +4b=1，则a+b的最小值等于 .14.已知函数f(x)的对应关系如下表所示：数列{a n}满足a1=3，a n+1=f(a n)，则a4=，a2019= .15.能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 .三.解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16. 已知等差数列{a n}中，且a3=6，a6=0.（1）求{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}满足b1=3，b2=a4+a5，求{b n}的前n项和公式.17.（本小题满分10分）已知函数f(x)=x2+ax−4.（1）当a=3时，解不等式f(x)<0；（2）若不等式f(x)+5>0的解集为R，求实数a的取值范围.18.（本小题满分10分）已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b5=81，a1=b1，a14=b4. （1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n.B 卷一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）1.若m <0，n >0且m +n <0，则（）A. m <−n <n <−mB. −n <m <−m <nC. m <−n <−m <nD. −n <m <n <−m2.设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，其公比q ≠1，且b n >0(n =1，2，3，⋯)，若a 1=b 1，a 11=b 11，则 a 6与b 6的大小关系为（）A. a 6=b 6B. a 6>b 6C. a 6<b 6D. 不确定3.已知数列{a n }满足a n+1+a n =4n +3，则a 1+a 2020= （）A. 4043B. 4046C. 4047D. 40494. 已知数列{a n }满足a n =4S n −3，n ∈N ∗，则a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=5.若a >0，b >0，则不等式−b <1x <a 的解集是 .6. 若a >0，b >0，则a 2−4b 2−ab 的最小值是 .7.有穷数列{a n }(n ∈N ∗，n ≤12)满足a 1，a 4，a 12成等比数列，且对∀k ∈N ∗，2≤k ≤12，都有|a k −a k−1|=1. 若a 1=1，a 12=4，则满足条件的不同数列{a n }的个数为 .二、解答题（本大题有2小题，共22分）8.（本小题满足10分）已知二次函数f (x )=ax 2+bx ，f (−1)=−4，恒有f (x )≤6x +2，数列{a n }满足a n+1=f(a n )，且0<a n <12(n ∈N ∗). （1）求f(x)的的解析式；（2）证明：数列{a n }单调递增；（3）求∏a i =n i=1a 1a 2⋯⋯a n ，若a 1=13，求∏(1−2a i )n i=19.（本小题满分12分）给定数列a 1a 2⋯⋯a n ，对i =1，2，3，⋯，n −1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后 n −i 项a i+1，a i+2，⋯，a n 的最小值记为B i ，d i =A i −B i .（1）设数列{a n }为3,4,7,1.写出d 1，d 2，d 3的值；（2）设a 1a 2⋯⋯a n (n ≥4)是等比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，⋯，d n−1是等比数列；（3）若d 1=d 2=⋯=d n−1=0，证明：{a n }是常数列.word 下载地址。

北京市第四中学2018年届高三年级上学期期中考试数学[理]试题含答案解析

北京四中2016~2017学年度第一学期期中测试高三数学期中试卷（理）（试卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.） 1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{1,2}A =,则U A =ðA ．{4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{1,3,4}2．设命题2:,2n p n n ∃∈>N ，则p ⌝为A ．2,2n n n ∀∈>NB ．2,2n n n ∃∈N ≤C ．2,2n n n ∀∈N ≤D ．2,2n n n ∃∈<N3．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．25．等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．846．已知x ∈R ，则“απ=”是“sin()sin x x α+=-”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在区间[1,0]-上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a8.已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤，若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围是A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.） 9．设i 是虚数单位，则1i1i-=+ . 10．执行如图所示的框图，输出值x = . 11．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大． 12．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式()0x f x>的解集为______.13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米200元，侧面造价是每平方米100元，则该容器的最低总造价是________元．14．已知函数()y f x =，任取t ∈R ，定义集合:{|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||PQ .设,M m t t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记()h t M m t t =-.则(1) 若函数()f x x =，则(1)h =______；（2）若函数π()sin 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()h t 的最小正周期为______.三、解答题（共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15．（本题满分13分）集合2{|320}A x x x =-+<，11{|28}2x B x -=<<，{|(2)()0}C x x x m =+-<，其中m ∈R . （Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若()A B C ⊆，求实数m 的取值范围.16．（本题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．（本题满分13分）已知函数()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.18．（本题满分13分）已知函数()1()ln(1)01xf x ax x x-=+++≥，其中0a >. （Ⅰ）若1a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围. 19．（本题满分14分）设函数()ln e x b f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程为e(1)2y x =-+.（Ⅰ）求,a b ；（Ⅱ）设()2()e 0ex g x x x -=->，求()g x 的最大值；（Ⅲ）证明函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点. 20．（本题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,().1,M x M f x x M-∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合,M N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对(),P Q ，满足,P Q A B ⊆，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？参考答案一．选择题（每小题5分，共40分）()4,+∞215. 解：（Ⅰ）()2{|320}1,2A x x x =-+<=；()1{|28}0,42x B x -=<<=；所以()1,2A B =；（Ⅱ）()0,4A B =，若2m >-，则()2,C m =-，若()0,4A B C =⊆，则4m ≥；若2m =-，则C =∅，不满足()0,4A B C =⊆，舍；若2m <-，则(),2C m =-，不满足()0,4A B C =⊆，舍；综上[)4,m ∈+∞.16. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===. 所以1(1)3,n a a n d n n *=+-=∈N ．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =. 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=.从而11232,n n n n b a n n --*=+=+∈N ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知132,n n b n n -*=+∈N ．123n n S b b b b =++++01211(32)(62)(92)(32)2n n n --=++++++++0121(3693)(2222)n n -=+++++++++(33)12212n n n +-=+-2332122n n n =++- 所以，数列{}n b 的前n 项和为2332122n n n ++-.17. 解：()4sin cos 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭14sin sin 2x x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭2cos 2sin x x x =-2cos21x x =+-12cos 2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. （Ⅰ）令3222,262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得263k x k ππππ+≤≤+，所以函数()f x 的单调减区间为2[+,],63k k k ππππ+∈Z .（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤，所以1sin(2)126x π-≤+≤ ，于是 12sin(2)26x π-≤+≤ ，所以2()1f x -≤≤.当且仅当2x π=时 ()f x 取最小值min ()()22f x f π==-;当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==.18. 解:定义域为[)0,+∞.22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++. （Ⅰ）若1a =，则221()(1)(1)x f x x x -'=++，令()0f x '=，得1x =（舍1-）.所以1a =时，()f x 的单调增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).（Ⅱ）222()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++，∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +> ①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x+∞>上，∴()f x 在[)1,+∞单调递增，所以()(0)1;f x f =的最小值为②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得∴()fx +∞的单调减区间为（0）.所以()f x 在x =处取得最小值，注意到(0)1,f f <=，所以不满足综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞19. 解：()f x ∞（I ）函数的定义域为(0,+),()2()ln ln ln .x x x b b a bb f x a x e a x e a x e x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)2,(1).f f e '==由题意可得 21,.a b e==故（Ⅱ）2(),'()(1)x x g x xe g x e x e--=-=-则.(0,1)()0;(1,)()0.()1()(0,)(1).x g x x g x g x g x g e ''∈>∈+∞<∞∞=-所以当时当时，故在（0,1）单调递增，在(1,+)单调递减，从而在的最大值为（Ⅲ）12()ln ,x x f x e x e x-=+由（I ）知又0(1)ln12=21,f e e =+>于是函数()f x 的图象与直线1y =没有公共点等价于()1f x >。

北京第四中学2018年10月2018～2019学年度高一第一学期期中考试数学试卷及参考答案教师专用

北京四中2018～2019学年度上学期高中一年级期中考试数学试卷卷(I)一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.的值为( )A. B. C.1 D.【参考答案】D【试题解析】根据对数的运算法则及性质即可求解.【试题解答】因为,故选D.本题主要考查了对数的性质和运算法则,属于容易题.2.集合,则下列关系正确的是( )A. B. C. D.【参考答案】A【试题解析】根据元素与集合的关系即可判断.【试题解答】因为,所以,故选A.本题主要考查了元素与集合的关系,属于容易题.3.函数的定义域是( )A. B.C. D.【参考答案】C【试题解析】函数要有意义,则需解析式有意义,分式的分母不为0即可.【试题解答】要是函数有意义,则需,解得,所以函数的定义域为,故选C.本题主要考查了函数的定义域,属于中档题.4.若,则( )A.1B.C.0D.【参考答案】A【试题解析】根据函数解析式,只需把代入即可求出函数值.【试题解答】因为,所以当时,,故选A.本题主要考查了根据函数解析式求函数值,属于中档题.5.下列函数中,在区间上为增函数的是( )A. B.C. D.【参考答案】B【试题解析】根据基本初等函数的单调性,逐项分析即可.【试题解答】A选项中是一次函数,,所以在R上是减函数,错误； B选项是幂函数,幂指数,在区间上为增函数,故正确；C选项是二次函数,对称轴为,在区间上无单调性,错误； D选项是指数函数,,在R上是减函数,错误.故选B.本题主要考查了函数的单调性,属于中档题.6.下列函数中,值域是的是( )A. B.C. D.【参考答案】B【试题解析】根据函数性质,逐项分析各选项即可.【试题解答】A中的值域为R,错误,B中的值域为,正确；C中,值域为,错误； D中的值域为R,错误.故选B.本题主要考查了基本初等函数的值域,属于中档题.7.函数的零点所在的一个区间是( )A. B. C. D.【参考答案】C【试题解析】根据题意可知函数是R上的减函数,只需根据即可判断零点所在区间.【试题解答】因为是R上的减函数,所以是R上的减函数, 又,可知零点在区间上,故选C.本题主要考查了函数零点的存在性,函数的单调性,属于中档题.8.若,则( )A. B. C. D.【参考答案】B【试题解析】根据指数及对数的性质可分析出范围,从而得到结果.【试题解答】因为,所以,因为,所以,所以选B.本题主要考查了指数的性质,对数的性质,属于容易题.9.已知函数是上的偶函数,当时,,则的解集是( )A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】根据函数是上的偶函数,可知函数图象关于y轴对称,解出当时的解, 由函数图像的对称性,可知时,的解.【试题解答】当时,,所以解得,由是上的偶函数知,函数图象关于y轴对称,所以当时,的解为,综上知,的解集为.故选D.本题主要考查了偶函数的性质及图象,属于中档题.10.若,则函数的图象有可能是( )A. B.C. D.【参考答案】A【试题解析】根据,可知函数是增函数,当时,,由知,可选出答案.【试题解答】根据,可知函数是增函数,排除B,D选项,当时,,由知,排除C选项,故选A.本题主要考查了指数函数的增减性,指数函数的图象,属于中档题.二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.计算:________；________.【参考答案】 (1).1 (2).4【试题解析】分别根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可求解.【试题解答】;故填(1).1 (2).4本题主要考查了对数及指数运算法则,属于中档题.12.若函数的定义域为,则函数的定义域为________.【参考答案】【试题解析】根据的定义域为知,要有意义则需,即可求出的定义域.【试题解答】因为的定义域为,则要有意义则需,解得,所以的定义域为.故填.本题主要考查了抽象函数的定义域,属于中档题.13.函数,则其图象的对称轴方程为 ________；的增区间是________.【参考答案】 (1).2 (2).【试题解析】根据二次函数的性质知,对称轴方程为,当时, 增区间为,据此可写出答案.【试题解答】因为函数,所以对称轴方程为,的增区间是.故填:(1).2 (2).本题主要考查了二次函数的对称轴和单调区间,属于容易题.14.已知函数,若函数有3个零点,则实数的取值范围是________.【参考答案】【试题解析】函数有3个零点,即方程有3个根,因此在同一坐标系内做出的图象与直线,观察它们公共点的个数即可得到答案.【试题解答】因为有3个零点,所以的图象与直线有3个公共点在同一坐标系内作出它们的图象,如下:根据图象可知,当时,有三个交点.故则实数的取值范围是.本题主要考查了分段函数,函数的零点,函数零点与方程的根,数形结合思想,属于中档题.三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)15.设集合.(I)用列举法写出集合；(II)求和.【参考答案】(I)；(II),.【试题解析】(I)根据集合的描述法写出集合中的元素即可列举法表示(II)根据交集和并集的运算即可求解.【试题解答】(I)因为x,所以,所以.(II)因为,所以,.本题主要考查了集合的描述法,列举法,交集,并集,属于中档题.16.已知函数.(I)当时,判断的奇偶性,并证明你的结论；(II)当时,求的值域.【参考答案】(I)证明见解析；(II).【试题解析】(I)当时,,,为偶函数,可根据定义证明(II)当时,,配方可写出值域.【试题解答】(I)当时,,,为偶函数,证明:由知,,,.即函数为偶函数.(II)当时,即函数的值域为.本题主要考查了函数的奇偶性,二次函数的值域,属于中档题.17.设函数.(I)利用单调性定义证明:在区间上是单调递减函数；(II)当时,求在区间上的最大值.【参考答案】(I)证明见解析；(II).【试题解析】(I)根据函数单调性的定义证明即可(II)先证明函数在区间[2,＋∞)上是单调递增函数,再结合(I)的结论且,对分类讨论写出函数最大值.【试题解答】(I)任取,∈(0,2],设<,则∵,∴∵,∴∴所以,故在区间(0,2]上是单调递减函数.(II)由(I)可知,在区间(0,2]上是单调递减函数；当,设<,易知总有<,所以在区间[2,＋∞)上是单调递增函数,又,所以在区间上最大值为.本题主要考查了函数单调性的定义证明,分类讨论的思想,属于中档题.卷(II)一、选填题:(本大题共6小题,每小题5分,共30分)18.不等式的解集是A. B. C. D.【参考答案】C【试题解析】根据指数函数的增减性可转化为,即可求解.【试题解答】,即.所以不等式的解集为.故选C.本题主要考查了指数函数的增减性,属于中档题.19.如果是定义在上的奇函数,那么下列函数中,一定是偶函数的是A. B.C. D.【参考答案】B【试题解析】试题分析:由题意得,因为函数是定义在上的奇函数,所以,设,则,所以函数为偶函数,故选B.考点:函数奇偶性的判定.20.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,下表是某公司前5天监测到的数据: 第被感染的计算机数量则下列函数模型中,能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是A. B.C. D.【参考答案】D【试题解析】根据选项中的函数,依次代入x值求出y的值,通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较,误差越小则拟合度越高,误差越大则拟合度越小,计算即可求解.【试题解答】对于A选项,当时,对应的y值分别为,对于B选项,当时,对应的y值分别为,对于C选项,当时,对应的y值分别为,对于D选项,当时,对应的y值分别为,而表中所给的数据为,,当时,对应的y值分别为,通过比较,即可发现选项D中y的值误差最小,即能更好的反映与之间的关系.故选D.本题主要考查了选择合适函数模型来拟合实际问题,属于中档题.21.设全集,集合,则_______；_______. 【参考答案】 (1). (2).【试题解析】根据集合的补集的运算及交集的运算即可求解.【试题解答】因为全集,集合,所以,.本题主要考查了集合的交集、补集运算,属于中档题.22.如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为, ,则_________；的解集为________.【参考答案】 (1).2 (2).【试题解析】根据函数的图象,观察即可得出答案.【试题解答】根据图象知,所以,根据图象知 ,所以,当时,由图象可知,即的解集为.本题主要考查了函数的图象,属于中档题.23.当时,不等式恒成立,则的取值范围是________.【参考答案】()【试题解析】试题分析:当时,,所以,画出和的图象,从图象可知,要使,需要考点:本小题主要考查指数函数、对数函数的图象和应用,考查学生的推理能力和数形结合思想的应用.点评:题目中给出的不等式涉及到指数函数和对数函数,所以要画出两个函数的图象,数形结合解决.二、解答题:(本大题共2小题,每小题10分,共20分)24.设函数.(I)若,求的取值范围；(II)记的反函数为,若在上恒成立,求的最小值.【参考答案】(I)或；(II).【试题解析】(I)根据对数函数的增减性转化为,并注意真数大于零即可求解(II)由题意知,原不等式可转化为在区间[2,)上恒成立即可求解.【试题解答】(I)由已知log a(x2－x)>log a2,因为0<a<1,所以0<x2－x<2,解,得－1<x<2,解,得x>1或x<0,所以x的取值范围是{x|－1<x<0或1<x<2).(II)为的反函数,所以,由已知在区间[2,)上恒成立,因为,所以在区间[2,)上恒成立,即大于等于的最大值,因为0<a<1,所以>1,又x－2∈[0,),所以()的最小值为1,－()的最大值为－1,所以k≥－1,所以k的最小值为－1.本题主要考查了对数函数的增减性,反函数,指数函数,恒成立问题,属于中档题.25.给定数集,若对于任意,有,且,则称集合为闭集合.(I)判断集合是否为闭集合,并给出证明；(II)若集合为闭集合,则是否一定为闭集合?请说明理由；(III)若集合为闭集合,且,证明:.【参考答案】(I)证明见解析；(II)不一定,证明见解析；(III)证明见解析.【试题解析】(I)根据特值,但是4＋4＝8A,判断A不为闭集合,设,可证出,,B为闭集合(II)取特例A＝{x|x＝2k,k∈Z},B＝{x|x＝3k,k∈Z},集合为闭集合,但不为闭集合即可(III)用反正正法,若A B＝R,存在a∈R且a A,故a∈B,同理,因为B R,存在b∈R且b B,故b∈A,若,则由A为闭集合,,与a A矛盾,同理可知若,,与b B矛盾,即可证明.【试题解答】(I)因为,但是4＋4＝8A,所以,A不为闭集合；任取,设,则且所以,同理,,故B为闭集合.(II)结论:不一定.令A＝{x|x＝2k,k∈Z},B＝{x|x＝3k,k∈Z},则由(I)可知,A,B为闭集合,但2,3∈A B,2＋3＝5A B, 因此,A B不为闭集合.(III)证明:(反证)若A B＝R,则因为A R,存在a∈R且a A,故a∈B,同理,因为B R,存在b∈R且b B,故b∈A,因为a＋b∈R＝A B,所以,a＋b∈A或a＋b∈B,若,则由A为闭集合,,与a A矛盾, 若,则由B为闭集合,,与b B矛盾, 综上,存在c∈R,使得c(A B).。

北京市西城区第四中学高二数学上学期期中试题(含解析)

北京市西城区第四中学高二数学上学期期中试题（含解析）•选择题（本大题共 10小题，每小题5分，共50 分） 1.不等式v 0的解集为x 2A. x | 2 x 3B. x | x 2x|x 3【答案】A 【解析】略【此处有视频，请去附件查看】当 n 2 时，a 3 a 2 2 5.故选B.【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的项，属于基础题 3.下列命题中的假命题是（） A. x R , x 3 0 B. x R ，使 tanx 2 C.x R , 2x 0D. x R ,使 lg x 0 【答案】 A【解析】【分析】2.已知数列 h 满足a n 1ann，且 a 1 2，那么a 3（)A. 4B. 5C. 6【答案】B【解析】【分析】根据递推关系，依次求得a 2,a 3的值.【详解】当n 1 时，a 2 ai 13 ；D. 7C. x|x 2或x 3D.对选项逐一分析命题的真假性，由此得出正确选项【详解】对于A选项，当x 0时，X30,故A选项是假命题；对于B选项，正切函数的值域为R，故B选项是真命题；对于C选项，根据指数函数的值域可知，C选项是真命题；对于D选项，lg1 0，故D选项是真命题.故选:A.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题真假性的判断，考查幂函数、函数和对数函数有关知识，属于基础题.4. 已知等差数列a n中，印1，公差d 2，则a n的前5项和等于A. 15B. 17C. 15【答案】C【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式，求得a n的前5项和.【详解】由于数列a n是等差数列，所以S5 5印10d 5 20 15.故选：C.【点睛】本小题主要考查等差数列前n项和公式，属于基础题.5. 若a b 0，则下列不等式中成立的是（）2 2 a 1 1A. a2b2B. 1C.b a b【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此确定正确选项【详解】对于A选项，由于a b 0, a b 0，a2 b2 a b a b所以A选项不成立.a对于B选项，由于a b 0，所以1，所以B选项不成立.正切函数、指数）D. 171 1 D.a b 0，故a2b2，b1 1 b a1 1对于C D 选项，由于a b 0,b a 0,o ,故，所以C 选项不a b aba b成立，D 选项成立. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据不等式的性质判断不等式是否成立，考查差比较法，属于基础题• 6.设 P: a 24, Q : a 2，则 p 是 Q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将P,Q 相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件【详解】由a 2 4,a 2.所以p Q，Q p，故P 是Q 的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题 7.若a,b R ，且ab 0，则下列不等式中，恒成立的是【答案】D【解析】试题分析：一：「j ，所以A 错；.一，-:，只能说明两实数同号，同为正数，或同为 err0 4 一负数，所以当• ’■时，B 错；同时C 错；一或都是正数，根据基本不等式求最值,o aa b * 卫 b …——二_』一 -_，故D 正确. 考点：不等式的性质【此处有视频，请去附件查看】2 2A. a b 2abB. a b 2 . ab1 12 C.a b ■- abD.8.设等差数列｛a n ｝的前n 项和为$,若a i = - 11, a 4+ a 6=- 6,则当S 取最小值时，n 等于A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】A 【解析】分析：条件已提供了首项，故用“a 1, d ”法，再转化为关于 n 的二次函数解得.解答：解：设该数列的公差为 d ,贝U a 4+a 6=2a i +8d=2x(-11 ) +8d=-6，解得d=2,所以 S=-11 n+x 2=n 2-12n=(n-6) 2-36，所以当 n=6 时，S n 取最小值.故选A点评：本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力.【此处有视频，请去附件查看】9 n9.函数y tanx( x n 的最大值为( )tanx 2A. 6B. 9C. 6D. 9【答案】C 【解析】【分析】n【详解】由于n2利用基本不等式, 结合正切函数的取值范围,求得函数ytanx盏畤x "的最大y tanx 9 tanx9 tanxtanx2 tanxtanx当且仅当 tan x9,tanx3时等号成立.tan xn ,所以 tanx 0,所以故选：C 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查正切函数的取值范围，属于基础题 10.已知数列｛a n ｝满足a n = nk n （n €N *, 0 < k < 1），下面说法正确 ①当 1 时，数列｛a n ｝为递减数列;2 ②当 1时，数列｛a n ｝不一定有最大项;③当 1时，数列｛a n ｝为递减数列;2 ④当 1 k A.①② 为正整数时，数列｛a n ｝必有两项相等的最大项•B.②④C.③④【答案】C 【解析】试题分析：选项①：当1 k 时, 2a nn (1)n a 2即数列a n 不是递减数列，故①错误; 选项②：当1 k 1时，旦口 2 a n (n n 11) k k n k(n 1)n，因为k k(n n列a n 可有最大项，故②错误; 2 ,1 选项③：当 k 1时，2 a na n 1 (n n 11) kk(n 1) n n 12n1，所以a na n ，即数列a n 是递减数列，故③正确; 选项④：也 a n (n 1) k n 1n k n k(n为正整数时,i 时，a 1 a 2 a 3 a 4 ; 1时,k令mN ，解得1 ka n 1 m(n a n n(1 m) °，数列 a n 必有两项相等的最大项，故④正确所以正确的选项为③④. 考点：数列的函数特征二•填空题（本大题共 5小题，每小题4分，共20分）211.命题“ x R , x 2 1 0 ”的否定是【答案】x R,x 2 1 0【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，因此否定为：x R,x 2 考点：全称命题与特称命题12.设S n 为等比数列a n 的前n 项和，832 35 0，则公比q ______________【答案】 (1). 2 (2). 5 【解析】【分析】【详解】由于数列a n 为等比数列，故8ag 31q 40，解得q = 2，故答案为：(1)2 ；(2)5.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式基本量计算，属于基础题1 413.若正数a,b满足一一1，则a b 的最小值等于 ______________ .a b【答案】9 【解析】【分析】利用“1的代换”方法，利用基本不等式，求得a b 的最小值.故答案为：9.将已知转化为31, q 的形式，由此求得公比q ，进而求得t 的值.S 2 1 q 25.1 4I 详解】由于1 -1，所以a bb 4a a b当且仅当1- a b1，即a 2,b 8时等号成立【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值, 考查化归与转化的数学思想方法, 属于基础题.214.已知函数f(x)的对应关系如下表所示:123312数列｝满足a13, a n 1f(a n)，则a4,a2019｛a n【答案】(1). 3(2). 1【解析】【分析】根据函数的对应关系，求得数列的前6项，找到规律，由此求得a4,a2oi9的值.【详解】依题意a2 f a1 f 3 2, a3 f a2 f 2 1 , a4f a3 f 1 3, a5 f a t f 3 2,兎f a§f 2 1 ,……,以此类推，数列a.是周期为3 的周期数列，故a2019 a673 3 a31. 故答案为：(1) 3 ; (2) 1.【点睛】本小题主要考查周期数列，考查函数的对应关系，属于基础题15.能够说明“设a,b,c是任意实数，若a b c,则a b c”是假命题的一组整数a,b,c 的值依次为.【答案】1, 2, 3【解析】试题分析：1 2 3, 1 2 3 3，矛盾，所以-1, -2, -3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法. 解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一.三•解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)16.已知｛a n｝为等差数列，且a3 6 , a6 0.(1 )求｛a n｝通项公式；(2)若等比数列｛b n｝满足b 3 , b2 a4 a5，求｛g｝的前n项和公式.【答案】(1) a n 2n 12 ；( 2) & 3(2n1)【解析】【分析】(1)将已知条件转化为 a i ,d 的形式列方程组，解方程组求得a i ,d ，进而求得数列｛a “｝的通项公式.(2)将已知条件转化为b 1,q 的形式列方程组,n 项和公式.【详解】 (1)设等差数列｛a n ｝的公差为d因为 a 36,a 6 0 ,a 1 2d 6所以，解得 a 1 10, d 2.a 1 5d 0所以 a n 10 (n 1)( 2) 2n 12 .(2) 设等比数列｛b n ｝的' 公比为q. 因为 b 2 a 4 a 56, d 3，所以3q 6，即q = 2 .所以{b n }的前n 项和公式为S nd(1 q)3(2n 1).1 q【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比数列通项和前 n 项和的基本量计算，属于基础题. 17.已知函数 f(x) x 2 ax 4 .(1 )当a 3时，解不等式f(x) 0 ；(2)若不等式f(x) 5 0的解集为R ，求实数a 的取值范围【答案】(1) {x| 4 x 1} ； (2) ( 2,2) 【解析】【分析】(1 )当a 3时，根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集(2)构造函数g(x) f(x) 5，根据二次函数函数值恒为正数的条件列不等式，解不等式求得a 的取值范围.解方程组求得d,q ，进而求得数列｛b n ｝的前【详解】(1)由f(x) x23x 4 0得(x 4)(x 1) 0，所以原不等式解集为{x| 4x1}.(2)若不等式f (x) 5 0的解集为R，因为抛物线g(x) f (x) 5 x2ax 1开口向上，所以只需a24 0,解得2 a 2.故f (x) 5 0解集为R时，实数a 取值范围为(2,2).【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题的求解, 属于基础题.b2 3 所以D =皿=1，b4 b3q 27，b n 3n 1 q设等差数列{a n}的公差为d .因为a1 b1 1 , a14 b4 27,所以1 13d 27,即d 2 •所以a n2n 1(n N )•(2 )由(1)知, a n2n1, b n3n1, 从而C n (2n 1) 3n 1由于T n C1 C2C3L C n ,即T n 1 3 3532 1L (2n1) 3n 1(1)则3T n 3 32 3 533L (2n1) 3n(2)由（1）-(2 )得'2T n - 1 2 (33233L 31)(2n1) 3nc 3(13n 1)12(2n 1)3n131 3 (3n1 1) (2n 1) 3n2 (2n2)3n所以T n(n 1)3n1.【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列通项的基本量计算，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.一•选填题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）19.若m0,n 0 且m n 0，则（)A.m n n mB.n m m nC.m n m nD.n m n m 【答案】A【解析】【分析】利用特殊值对选项进行排除，根据不等式的性质，证明正确的选项结论成立【详解】不妨设m 2,n 1,m n 0,所以n m，故BD选项错误；m n，故C选项错误.正确的选项为A.对于A选项.由于m 0, n 0且m n 0 ,即卩m n, n m，所以m n 0 n m.故选：A.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查比较大小，属于基础题 20.设｛a n ｝是等差数列，b n 为等比数列，其公比q i ,且b n 0 (n i,2,3,L )，若a ib i , anb ii ，则a §与的大小关系为(可知bi —如2故选：B.【点睛】本小题主要考查等差中项、等比中项的性质，考查基本不等式求最值【答案】A 【解析】【分析】故选：A.【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的和，考查等差数列基本量的计算,A. a 6 馆B. a 6b 6 C. a 6 b 6D.不确定【答案】B 【解析】【分析】根据等差中项和等比中项的性质，结合基本不等式，判断出 a 6与b 6的大小关系.【详解】由于｛a n ｝是等差数列，b n 为等比数列，所以a 〔 a〔i2,b 6b 1b ii，而a ib i , a 11b ii ，所以a 6 专1,b6 311，由于 bib ii ,b n根据基本不等式- b i b ii ，即 a6b 6.2i.已知数列｛a n ｝满足a n i 4n3，则 aia 2020（）A.4043B.4046C.4047D.4049根据已知判断 a n 2 a n 4，即 a i ,a 3,a 5,L 与 a 2,a 4,a 6,L 分别是公差为4的等差数列，利用 a 20i9,a 2020a 20i9的值，求得a ia 2020的值.【详解】由 a n i a n 4n 3 得 a . 2 a n i 4n 7，两式相减的a 1, a 3, a 5,L 与a 2, a 4,a 6,L 分别是公差为 4的等差数列，所以 a 2019 a i i009 4 ①.而a 2020 a 20i94 20i9 3②，由①②得a i a 20204 20i9 3 i009 4 4043.a 1a 3 a 5 La 2n 1的值.【详解】当n 1时，a 1 4a 1 3,a 1 1.】a n1，故数列a n 是首项为a 1 1，公比为 1的等比数列.而耳忌旦丄,a 2n 1是3 31丄的等比数列的前n 项和.所以991故答案为：1歹S n 求a n ，考查等比数列通项公式及前 n 项和公式，属于中档题.123.若a 0，b 0，则关于x 的不等式 b — a 的解集为 ______________________x1 1【答案】， U ,b a【解析】【分析】可将该不等式转化为一元二次不等式组，从而可求原不等式的解集属于基础题.22.已知数列｛a n ｝满足a n 4S n 3, n N ，则 a ia 3 a 5 L a 2n 1【答案】9 181 9"【解析】【分先求得a i 的值，再根据a nS|,n 1SnSi 1, n2求得数列的通项公式，由此求得当n 2时，由a n4S n3得a “ 14S n 1 3，两式相减得a n a n 1 4a n ，故首项为1,公比为 a 3 a 5 La 2n 19n【点睛】本小题主要考查已知档题.求解，注意转化时分母不为零【答案】8 【解析】【分析】的最小值.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值考查化归与转化的数学思想方法,【详解】不等式 b 1b a 等价于1bx 1 0 x 1 ax J 0xx bx 1 故x ax 1整理得到x 1 或 x ：0b•，该不等式组的解为 x 1x 〈0或x ）舌故原不等式的解集为故答案【点睛】本题考查分式不等式解的求法,般地，分式不等式可以转化为一元二次不等式来224.已知a b 0 ,则a丁4的最小值是b 2 ab将要求最小值的表达式化简为ababab ab，再利用基本不等式求得表达式【详解】由于a b 0,所以a2ab4ab b 2ab4 a 2ab 4 ababa 2ab4 a 2ab2 al ab8，当且仅当abab4 a 2 ab，即aba 2,b1时, 取得最小值•故答案为:8.属于中25.有穷数列{a n} (n N ,n 12)满足| a. 1 a. | 1，且a1,a4,a12成等比数列.若a i 1, a12 4，则满足条件的不同数列{a n}的个数为_______________ .【答案】176【解析】【分析】根据印84,印2成等比数列，求得a4的可能取值，由此进行分类讨论，结合|a n 1 a n | 1，判断出满足条件的不同数列{a n}的个数.【详解】由于|a n 1 a n | 1，所以a n 1 a n 1或a n 1 a n 1.由于a「a4，a12成等比数列，所以a： a1盹，所以a：4，故2或2 .当a4 2时，在1 n 3中，a. 1 a. 1都成立；在4 n 11中，有1个a n 1 a.1，7个a n 1 a n 1成立.故方法数有8种.当a4 2时，在1 n 3中，有1个a n 1 a. 1成立，2个a n 1 a. 1成立，方法数有3 3种；在4 n 11中，有3个a n 1 a n 1，5个a n 1 a n 1成立，方法数有C s 56种.故方法数有3 56 168种.综上所述，满足条件的不同数列{a n}的个数为8 168 176.故答案为：176.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查分析与解决问题的能力，考查组合数的计算，属于中档题.二•解答题(本大题共2小题，共22分)226.已知二次函数f x ax bx, f 1 4，恒有f x 6x 2.数列a n满足1a n 1 f a n，且0 a n 2 ( n N*).(1 )求f x的解析式；(2)证明：数列a n单调递增；2(3 )记 na i i 1 a a 2 L a n •若 a 1-，求(1 2aJ . 3 i 1 【答案】 (1) f x 2x 2 2x ；（ 2 ）见解析；（3） 31 2n 【解析】【分析】 (1)利用f 14得到a, b 的关系式，利用f x 6x 2恒成立，列不等式，由此求得a,b 的值，进而求得函数 f x 解析式. （2）利用差比较法，结合（1）的结论，证得a n 1 a n o ,由此证得数列 an 单调递增.2 （3 ）首先判断1 2a n 1 （1 2a n ） 0，然后证得数列 log 3（1 2a n ）是等比数列, 并求得其首项和公比，进而求得其前n 项和的表达式，利用对数式化为指数式, 求得 in (1 12a i )的【详解】(1) 由 f 1 4 得 a b 4，即 b a 4 ；因为f 6x 2恒成立，即ax 2 （b6)x 2 0恒成立, 即ax2(a 2）x 2 0恒成立，从而(a 2 22) 8a (a 2)0，所以所以表达式为 2x 2 2x；(2)由于a n 1 a n2a n 2 2a n ) a n2aan2a n(an ~)，又因为0 a n 2( N*)，所以2a n (a n 1)0，因此 a n 1 a n ，所以数列 a n 单调递增; (3)因为 1 2a n 1 1 2( 2a n 2 2a n )1 4a n4a n 2 (1 2a n )20，所以 Iog 3(1 2a n 1)2log 3(1 2a n )，即Iog 3(1 2a n Jg(1 2a n )所以数列Iog 3（1 2a n ）是等比数列，其首项 log 3(1 2aJ1，公比q = 2，其前 n 项和为 1 2n，即log3 1 2印1 2a2 L 1 2a. 1 2n，所以1 2n1 2n（1 2a i）31 2.i 1【点睛】本小题主要考查二次函数解析式的求法，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略；考查利用差比较法证明数列的单调性，考查构造数列法求数列前n项乘积的值，考查运算求解能力，属于中档题.27.给定数列a1,a2, L ,务.对i 1,2,3, L , n 1，该数列前i项的最大值记为A ,后n i项a i 1, a i 2 ,L , a n 的最小值记为B i，d i A B i .（1）设数列a n为3,4,7,1. 写出d1,d2,d3的值；（2）设a1,a2,L ,a n（n 4）是公比大于1的等比数列，且印0，证明d「d2丄,d n 1是等比数列；（3）若d1 d2 L d n 1 0，证明a n是常数列.【答案】（1）d1 2，d2 3，d3 6 ；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据A，B「d i的定义，求得d1,d2,d3的值.（2）根据数列a n的单调性，确定d i a i a i 1，根据等比数列的定义，证得d1,d2,L ,d n 1 是等比数列；（3）先证得a1后面的项，都不小于a1，然后证得a1后面的项，都不大于&，由此证得內后面的项，和a1都相等，即证得数列a n的每一项和a1都相等，也即证得a n是常数列.【详解】（1）d1 A1 B1 3 1 2，d2 A2 B2 4 1 3，d3 A3 B3 7 1 6 （2）因为a1,a2,L ,a n（n 4）是公比大于1的等比数列，且a1 0 所以a n a1q n 1.所以当i 1,2,3丄，n 1时，d i A B i a i a 121所以d,d 2丄,d n 1是等比数列min{a 2,a 3,L ,a n }，故 k {2,3, L , n}，使 a 1 a k ，且对j {2,3, L , n}，都有％ a k 印……①. 若 k 2，则 a 1 a 2 ；若k 2，因为d k 1 0，所以B k 1 max{a 1,a 2,L @1} min 厲@1 ,L Q } a k 印,所以对j {2,3, L , k 1}，都有a j a a k ……②. 由①②知，对 j {2,3, L ,k 1}，都有a j a k . 综上，& a 2 L a k .因 d k 0，所以 A k B k ，所以 a k max{a 1,a 2 丄，a k } min{ a k 1忌 2丄，a .}, 所以k' {k 1,k 2丄，n}，使 a k' a k .同上可证a k L a k '.以此类推，由于 a n 仅有有限项，所以 a n 是常数列.【点睛】本小题主要考查新定义 d i A B i 的理解和运用，考查等比数列的定义，考查分析思考与解决问题的能力，综合性很强，属于难题 .- 所以当i 2,3,L , n 1 时,d i d i 1 a a i ! a i i q(1 q) a i i a a i (1 q)(3)因为 d 1 A 1 EB ( 0 即 max{aj。

【全国百强校】北京四中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题

绝密★启用前2018-2019学年度???学校1月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合A={ Z| }，B={－2，－1），那么A B 等于( ) A ．{－2，－1，0，1} B ．{－2，－1，0} C ．{－2，－1} D ．{－1}2．已知数列{ ）的通项公式为，则下列各数中不是数列中的项的是( ) A ．2 B ．40 C ．56 D ．903．等差数列的前项和，若，则 ( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．144．若a >b >c 且a +b +c =0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．ac >bc B ．ab >bc C ．ab <bc D ．ac <bc5．若1，a ，b 成等差数列，3，a +2，b +5，成等比数列，则等差数列的公差为( ) A ．3 B ．3或－1 C ．－3 D ．3或－36．设函数，若，则的取值范围为( )A ．（－1，1）B ．（－1，+ ）C ．（－，9）D ．（－，－1）（9，+ ）7．数列{ }中，“ （n ∈N*）”是“数列{ }为等比数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．当x >1时，若不等式恒成立，则实数a 的取值范围是( )9．不等式121xx-≤+的解集为()A．1 ,1 2⎛⎤-⎥⎝⎦B．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[)1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭D．[)1,1,2⎛⎤-∞-⋃+∞⎥⎝⎦10．等差数列{}的公差d>0，前n项和为，则对n>2时有( )A．B．C．D．的大小不确定11．下列不等式：①；②；③≥2，其中恒成立的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个………………第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题12．命题“ R ， ”的否定为_______ 13．等差数列{ }中，=_______14．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是15．数列{ }是公比为2的等比数列，其前n 项和为。

2019北京四中高二上数学期中考试

2019北京四中高二上数学期中测试卷试卷分为两卷，A 卷100分，B 卷50分，共计150分考试时间：120分钟A 卷一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.不等式302x x -<+的解集为A.{}23x x -<< B.{}2x x <- C.{}23x x x <->或 D.{}3x x >2.已知数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且12a =，那么3a =A ．4B ．5C ．6D ．73.下列命题中的假命题．．．是A.R x ∀∈,30x > B.R x ∃∈，使tan 2x =C.R x ∀∈，20x > D.R x ∃∈，使lg 0x =4.已知等差数列{}n a 中，11a =-，公差2d =，则{}n a 的前5项和等于A.15-B.17-C.15D.175.若0<<b a ，则下列不等式中成立的是A ．22b a <B ．1<b aC ．b a 11<D ．b a 11>6.设2:4P a =,:2Q a =，则P 是Q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b a a b +≥8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-，则n S 取最小值时的n 为A.6B.7C.8D.99.函数9πtan (π)tan 2y x x x =+<<的最大值为A.6 B.9 C.6- D.9-10.已知常数(0,1)k ∈，数列{}n a 满足()N n n a n k n *=⋅∈.下面说法正确的是①当12k =时，数列{}n a 为递减数列；②当102k <<时，数列{}n a 为递减数列；③当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项；④当1k k -为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项．A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．命题“x ∀∈R ，210x ->”的否定是_____．12．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则公比q =_____，42S S =_____．13．若正数,a b 满足141a b+=，则a b +的最小值等于_____．14.已知函数()f x 的对应关系如下表所示：数列{}n a 满足113,()n n a a f a +==，则4a =_____,2019a =_____.15.能够说明“设,,a b c 是任意实数.若a b c >>，则a b c +>.”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_____.三．解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16．（本小题满分10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =，60a =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；x123()f x 312（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足13b =，245b a a =+，求{}n b 的前n 项和公式．17．（本小题满分10分）已知函数2()4f x x ax =+-．（Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x <；（Ⅱ）若不等式()50f x +>的解集为R ，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分10分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，581b =，11a b =，144a b =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．B 卷一．选填题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）1.若0,0m n <>且0m n +<，则A.m n n m <-<<-B.n m m n -<<-<C.m n m n <-<-<D.n m n m -<<<-2.设}{n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1≠q ,且0(1,2,3,)n b n >= .若11b a =,1111b a =，则6a 与6b 的大小关系为A ．66b a =B ．66b a >C ．66b a <D ．不确定3.已知数列}{n a 满足143n n a a n ++=+，则12020a a +=A ．4043B ．4046C ．4047D ．40494.已知数列}{n a 满足43n n a S =-，n ∈N *，则13521n a a a a +++++= _____．5.若0,0a b >>,则不等式1b a x -<<的解集．．是_____．6.已知0a b >>,则224a b ab--的最小值是_____．7.有穷数列*{}(,12)n a n N n ∈≤满足1||1n n a a +-=，且1412,,a a a 成等比数列.若1121,4a a ==，则满足条件的不同数列{}n a 的个数为_____．二．解答题（本大题共2小题，共22分）8．（本小题满分10分）已知二次函数()2f x ax bx =+，()14f -=-，恒有()62f x x ≤+.数列{}n a 满足()1n n a f a +=，且102n a <<(n ∈N *).（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：数列{}n a 单调递增；（Ⅲ）记121ni n i a a a a ==⋅⋅∏ .若113a =，求1(12)n i i a =-∏.9．（本小题满分12分）给定数列12,,,n a a a .对1,2,3,,1i n =- ，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项12,,,i i n a a a ++ 的最小值记为i B ，i i i d A B =-.（Ⅰ）设数列{}n a 为3,4,7,1.写出123,,d d d 的值；（Ⅱ）设12,,,(4)n a a a n ≥ 是公比大于1的等比数列，且10a >.证明121,,,n d d d - 是等比数列；（Ⅲ）若1210n d d d -==== ，证明{}n a 是常数列.如想获得Word 版及答案，请关注“海淀数学教研”微信公众平台，点击“干货下载”。

北京市第四中高二上学期数学期中试题

北京四中高二数学期中测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知向量()1,2,1a =-，则下列向量与a 垂直的是（）A. ()0,0,1B. ()2,1,0-C. ()1,1,2D. ()4,1,1- 2. 若直线:210l x ay ++=与直线2:220l x y -+=平行，则a =（）A. 1B. 1-C. 4D. 4- 3. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A. 若//,//,m n αα则//m nB. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 4. 在三棱锥A BCD -中，若AD BC ⊥，AD BD ⊥，那么必有（）A. 平面ADC ⊥平面BCDB. 平面ABC ⊥平面BCDC. 平面ABD ⊥平面ADCD. 平面ABD ⊥平面ABC5. 圆()2224x y ++=与直线3420x y ++=相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A. 4360x y ++=B. 3480x y ++=C. 4360x y --=D. 4360x y -+= 6. 若()2,3A -、()3,2B -、()1,C m 三点共线，则m 的值为（） A. 12 B. 1- C. 2- D. 07. 下列命题正确的是（）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（） A. B. C. D.9. 直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，则k 的取值范围为（）A. ()6,2--B. 1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 10. 如图所示，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在平面ABC 上的射影H 必在（）A. 直线AB 上B. 直线BC 上C. 直线AC 上D. △ABC 的内部二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11. 经过1,0A ，(3B 两点的直线的倾斜角为______________.12. 圆心为()4,3C -且与直线2100x y ++=相切的圆的方程为______________.13. 圆224410x y x y +-+-=截直线60x y --=所得弦长等于______________.14. 若空间向量()5,3,a m =，()1,1,2b =--，()0,2,3c =-共面，则m =______________. 15. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 中点，则点B 到平面1AB E 的距离为______________．16. 三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：①()()223OA OB OC OA ++=； ②()0BC CA CO ⋅-=；③()OA OB +和CA 的夹角为60； ④三棱锥O ABC -的体积为()16AB AC BC ⋅. 其中所有正确命题的序号为______________.三、解答题：本大题共3小题，共36分17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ；（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PB 的中点.（1）求直线PD 与CE 所成角的余弦值；（2）求直线CD 与平面ACE 所成角的正弦值；（3）求二面角E AC P --的余弦值.19. 已知直角三角形ABC 的项点坐标()4,0A -，直角顶点(2,22B --，顶点C 在x 轴上.（1）求BC 边所在的直线方程；（2）设M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（3）已知AB 与平行的直线DE 交轴x 于D 点，交轴y 于点()0,72E -.若P 为圆M 上任意一点，求三角形PDE 面积的取值范围.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分20. 圆()()22135x y -+-=关于直线y x =对称的圆方程为______________.21. 已知ABC 的三个顶点分别是()0,3A ，()4,2B ，()2,1C .若直线l 过点A ，且将ABC 分割成面积相等的两部份，则直线l 的方程是______________.22. 如图，梯形ABCD 中，//AD BC ， 1AD AB ==，AD AB ⊥， 45BCD ∠=︒，将ABC ∆沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为'A ，且平面A BD '⊥平面BCD ，则下列四个命题中正确的是______________.①'A D BC ⊥；②三棱锥'A BCD -2； ③CD ⊥平面'A BD④平面'A BD ⊥平面A DC '23. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ： 2y x =上在第一象限内点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若45DBA ∠︒≥，则点A 的横坐标的取值范围为______________.三、解答题：本大题共2小题，共24分24. 在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===， 120PDC ∠=︒.（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）线段BC 上是否存在点F ，使得PDF ⊥平面PAC ？如果存在，求BF BC 的值；如果不存在，说明理由；（3）若M 是棱PA 的中点，N 为线段BC 上任意一点，求证：MN 与PC 一定不平行.25. 设N n *∈，且3n ≥.对1，2，…，n 的一个排列12n i i i ，如果当s t <时，有s t i i >，则称（s i ，t i ）是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序()2,1，()3,1 ，则排列231的逆序数为2.记()n f k 为1，2，…，n 的的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数.（1）求()32f 的值；（2）判断()2n f 与()+12n f 大小，并说明理由；（3）求()()24n f n ≥的表达式（用n 表示）.北京四中高二数学期中测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知向量()1,2,1a =-，则下列向量与a 垂直的是（）A. ()0,0,1B. ()2,1,0-C. ()1,1,2D. ()4,1,1-【答案】B2. 若直线:210l x ay ++=与直线2:220l x y -+=平行，则a =（）A. 1B. 1-C. 4D. 4-【答案】D3. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A. 若//,//,m n αα则//m nB. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B4. 在三棱锥A BCD -中，若AD BC ⊥，AD BD ⊥，那么必有（）A. 平面ADC ⊥平面BCDB. 平面ABC ⊥平面BCDC. 平面ABD ⊥平面ADCD. 平面ABD ⊥平面ABC【答案】A5. 圆()2224x y ++=与直线3420x y ++=相交于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A. 4360x y ++=B. 3480x y ++=C. 4360x y --=D. 4360x y -+=【答案】C6. 若()2,3A -、()3,2B -、()1,C m 三点共线，则m 的值为（）A. 12B. 1-C. 2-D. 0【答案】D7. 下列命题正确的是（）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C8. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（）A. B. C. D.【答案】BC9. 直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，则k 的取值范围为（）A. ()6,2--B. 1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】C10. 如图所示，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在平面ABC 上的射影H 必在（）A. 直线AB 上B. 直线BC 上C. 直线AC 上D. △ABC 的内部【答案】A 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11. 经过1,0A ，()0,3B 两点的直线的倾斜角为______________.【答案】23π 12. 圆心为()4,3C -且与直线2100x y ++=相切的圆的方程为______________.【答案】()()22435x y ++-=13. 圆224410x y x y +-+-=截直线60x y --=所得弦长等于______________.【答案】2714. 若空间向量()5,3,a m =，()1,1,2b =--，()0,2,3c =-共面，则m =______________.【答案】22-15. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 中点，则点B 到平面1AB E 的距离为______________．【答案】6616. 三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：①()()223OA OB OC OA ++=； ②()0BC CA CO ⋅-=；③()OA OB +和CA 的夹角为60； ④三棱锥O ABC -的体积为()16AB AC BC ⋅. 其中所有正确命题的序号为______________.【答案】①②③三、解答题：本大题共3小题，共36分17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，D 为1BC 中点，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：//OD 平面111A B C ；（2）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PB 的中点.（1）求直线PD 与CE 所成角的余弦值；（2）求直线CD 与平面ACE 所成角的正弦值；（3）求二面角E AC P --的余弦值.【答案】（1）3；（2）3；（3）6. 19. 已知直角三角形ABC 的项点坐标()4,0A -，直角顶点()2,22B --，顶点C 在x 轴上. （1）求BC 边所在的直线方程；（2）设M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（3）已知AB 与平行的直线DE 交轴x 于D 点，交轴y 于点(0,72E -.若P 为圆M 上任意一点，求三角形PDE 面积的取值范围.【答案】（1）220x --=；（2）()2219x y ++=；（3）422213422213,22⎡⎢⎣⎦. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分20. 圆()()22135x y -+-=关于直线y x =对称的圆方程为______________.【答案】()()22315x y -+-=21. 已知ABC 的三个顶点分别是()0,3A ，()4,2B ，()2,1C .若直线l 过点A ，且将ABC 分割成面积相等的两部份，则直线l 的方程是______________.【答案】260x y +-=22. 如图，梯形ABCD 中，//AD BC ， 1AD AB ==，AD AB ⊥， 45BCD ∠=︒，将ABC ∆沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为'A ，且平面A BD '⊥平面BCD ，则下列四个命题中正确的是______________.①'A D BC ⊥；②三棱锥'A BCD -的体积为22； ③CD ⊥平面'A BD④平面'A BD ⊥平面A DC '【答案】③④23. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ： 2y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若45DBA ∠︒≥，则点A 的横坐标的取值范围为______________.【答案】[]1,3- 三、解答题：本大题共2小题，共24分24. 在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===， 120PDC ∠=︒.（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）线段BC 上是否存在点F ，使得PDF ⊥平面PAC ？如果存在，求BF BC的值；如果不存在，说明理由；（3）若M 是棱PA 的中点，N 为线段BC 上任意一点，求证：MN 与PC 一定不平行.【答案】（1）详见解析（2）详见解析；（3）详见解析.25. 设N n *∈，且3n ≥.对1，2，…，n 的一个排列12n i i i ，如果当s t <时，有s t i i >，则称（s i ，t i ）是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序()2,1，()3,1 ，则排列231的逆序数为2.记()n f k 为1，2，…，n 的的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数.（1）求()32f 的值；（2）判断()2n f 与()+12n f 的大小，并说明理由；（3）求()()24n f n ≥的表达式（用n 表示）.【答案】（1）2；（2）()()+122n n f f >，证明见解析；（3）()()22242n n n n f --=≥.。

北京市第四中学高二数学上学期期中试题文

北京四中2017-2018学年上学期高中二年级期中考试数学试卷（文科）试卷分为两卷，卷（I） 100分，卷（II） 50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（I）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 下面四个条件中，能确定一个平面的条件是A. 空间任意三点B. 空间两条直线C. 空间两条平行直线D. 一条直线和一个点2. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A. l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B. l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C. l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D. l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面3. 已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB. 若m⊥α，n⊥α，则m∥nC. 若m∥α，n∥α，则m∥nD. 若m ∥α，m∥β，则α∥β4. 在四面体P-ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有A. 0个B. 1个C. 3个D. 4个5. 下列命题中错误．．的是A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，αβ=l，那么l⊥平面γD. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β6. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC 中点，则下列叙述正确的是A. CC1与B1E是异面直线B. AC⊥平面ABB1A1C. AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D. A1C1∥平面AB1E7. 把正方形ABCD沿对角线BD折，使平面ABD⊥平面CBD后，下列命题正确的是A. AB⊥BCB. AC⊥BDC. CD⊥平面ABCD. 平面ABC⊥平面ACD8. 如图所示点P为三棱柱ABC-A1B1C1侧棱AA1上一动点，若四棱锥P-BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为A. 2VB. 3VC. 43VD.32V二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α; ②m⊥α; ③m⊂α; ④α⊥β; ⑤α∥β（1）当满足条件___________（填序号或序号组合）时，有m∥β；（2）当满足条件_____________（填序号或序号组合）时，有m⊥β.10. 己知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题正确的是（1）若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；（2）若l平行于α，则l平行于α内所有直线；（3） m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β；（4）若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β；（5）m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l.11. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是_____________.12. 三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，，己知空间中有一个点到这四个点距离相等，则这个距离是__________.13. 某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为_______________.14. 如下图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，己知△A'DE是△ADE 绕DE旋转过程中的一个图形，不考虑A'与A、F重合的情形，给出下列命题：①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A'DE；③三棱锥A'-FED的体积有最大值.其中真命题的序号是_______________.三、解答题：本大题共3小题，共30分15. 已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示：（I）求四棱锥P-ABCD的表面积；（II）求四棱锥P-ABCD的体积.16. 若P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.求证：BC⊥AC17. 如图，已知PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，AB=2，C是圆O上的一点，且AC=BC，∠PCA=45°，E是PC中点，F为PB的中点.（I）求证：EF∥面ABC；（II）求证：EF⊥面PAC；（III）求三棱锥B-PAC的体积.卷（Ⅱ）一、选填题：本大题共5小题，每小题5分，共25分1. 下列说法正确的是A. 一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假B. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真C. 一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真2. 在空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）. 画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在（）位置时，平面D1BQ∥平面PAO.A. Q与C重合B. Q与C1重合C. Q为CC1的三等分点D. Q为CC1的中点4. 若a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，①当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β；②当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β③当b⊂α时，若a∥α，则a∥b：④若a，b异面，则有无数条直线与a，b都垂直；⑤若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b.真命题的序号是_________________.5. 正四棱锥的顶点都在同一球面上. 若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为____________.二、解答题：本大题共2小题，第6题10分，第7题15分.6. 如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点，求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA.7. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ?说明理由。

北京四中高二(上)期中数学试卷

<
푥
< 휋)，푡푎푛푥
<
0，由基本不等式，−푡푎푛푥− 9
푡푎푛푥
≥
2
9=6
，
得出结论．
考查基本不等式的应用，基础题．
10.【答案】C
【解析】解：①当푘 = 12时，푎1 = 12,푎2 = 2 × (12)2 = 12，所以数列{푎푛}不是递减数列，①
不正确；
②当0 < 푘
< 12时，푎푛푎푛+ 1 = (푛
A. 푎2 + 푏2 > 2푎푏
B. 푎 + 푏 ≥ 2 푎푏
C.
1 푎
+
1 푏
>
2 푎푏
D. 푏 + 푎 ≥ 2
푎푏
8. 等差数列{푎푛}前 n 项和为푆푛，푎4 + 푎6 = −6，푎1 = −11. 푆 则当 푛取最小值时，
푛 =( )
第 1 页，共 18 页
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
值．
【解答】
由푎4 + 푎6 = 2푎5 = −6
푎5 = −3 푎1 = −11，
，解得
，又
∴ 푎5 = 푎1 +4푑 = −11 + 4푑 = −3，解得푑 = 2，
则푎 = −11 + 2(푛−1) = 2푛−13，
푛
∴ 푆푛 =
푛(푎1 + 2
푎푛)
=
푛2−12푛
= (푛−6)2−36，
∴ 当푛 = 6时，푆푛取最小值．
x
1
2
3
푓(푥)
3
1
2
数列{푎푛}满足푎1

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北京四中2018－2019学年上学期高中二年级期中考试数学试卷试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分共计150分,考试时间：120分钟.卷（I ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1.已知集合A={Z|}，B={－2，－1），那么A B 等于( )x Î(2)(1)0x x +-<ÈA. {－2，－1，0，1} B. {－2，－1，0}C. {－2，－1}D. {－1}【答案】B 【解析】由得，结合可知，故选B.()(){|210}A x x x =Î+-<Z {}1,0A =-{}2,1B =--{}2,1,0A B È=--点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2.已知数列{）的通项公式为，则下列各数中不是数列中的项的是( )n a 2n a n n =-A. 2B. 40C. 56D. 90【答案】B 【解析】【分析】分别令选项中的数等于，解得n 值不是正整数的即为答案．2n n -【详解】由题意令可得n=2为正整数，即2是{a n }的项；22,n a n n =-=同理令,可得n 不为正整数，即40不是{a n }的项；240n a n n =-=令，可得n=8为正整数，即56是{a n }的项；256n a n n =-=令，可得n=10是正整数，即90是{a n }的项．290n a n n =-=故选：B ．【点睛】本题考查数列的通项公式的定义，注意数列通项公式中n 必须是正整数．3.等差数列的前项和，若，则( ){}n a n n S 132,12a S ==6a =A. 8 B. 10 C. 12 D. 14【答案】C 【解析】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.d 1323212,22d d ´+´´=\=62(61)212a =+-´=考点：等差数列的性质.视频4.若a >b >c 且a +b +c =0，则下列不等式一定成立的是( )A. ac >bcB. ab >bcC. ab <bcD. ac <bc【答案】D 【解析】【分析】由条件可得a ＞0，c ＜0，再利用不等式的基本性质可得结论．【详解】∵a＞b ＞c ，且a+b+c=0，∴a ＞0，c ＜0，b 不确定，∴ac <bc,故选：D ．【点睛】本题考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，判断 a ＞0，c ＜0，是解题的关键.5.若1，a ，b 成等差数列，3，a +2，b +5，成等比数列，则等差数列的公差为( )A. 3B. 3或－1C. －3D. 3或－3【答案】A 【解析】【分析】由题意列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后可得等差数列的公差．【详解】∵1，a ，b 成等差数列，3，a+2，b+5成等比数列，则，解得或,()()221235a b a b ì=+ïíï+=+î47a b ì=ïí=ïî25a b ì=-ïí=-ïî∵3，a+2，b+5成等比数列,故b+50,即，∴舍去，¹5b ¹-25a b ì=-ïí=-ïî即∴等差数列的公差为b-a=3．47a b ì=ïí=ïî故选：A ．【点睛】本题考查了等差数列,等比数列的性质，考查了等差数列的定义.属于基础题.6.设函数，若，则的取值范围为()20()lg(1)0x x f x x x ì£ï=í+>ïî0()1f x >0x A. （－1，1） B. （－1，+）¥C. （－，9） D. （－，－1）（9，+）¥¥È¥【答案】D 【解析】【分析】由分段函数可得或，运用二次函数图像和对数函数的单调性，即可得到解集．02001x x ì£ïí>ïî()00011x lg x ì>ïí+>ïî【详解】若f （）＞1，0x 则或，02001x x ì£ïí>ïî()00011x lg x ì>ïí+>ïî即或000011x x x ì£ïí><-ïî或009x x ì>ïí>ïî解得<-1或>9．0x 0x 故选：D ．【点睛】本题考查二次不等式和对数不等式的解法，考查对数函数单调性的运用，解对数不等式将式子化为同底的对数，再由单调性列出不等式即可得到结果.7.数列{}中，“（n ∈N*）”是“数列{}为等比数列”的( )n a 212n n n a a a ++=n a A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：若数列{a n }是等比数列，根据等比数列的性质得：，212*,n n n n N a a a ++"Î=反之，若“”，当a n =0，此式也成立，但数列{a n }不是等比数列，212*,n n n n N a a a ++"Î=∴“”是“数列{a n }为等比数列”的必要不充分条件，212*,n n n n N a a a ++"Î=故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．8.当x >1时，若不等式恒成立，则实数a 的取值范围是( )11x a x +³-A. （－，2] B. [2，+）C. （－，3]D. [3，+）¥¥¥¥【答案】D 【解析】试题分析：设，因为，所以，则()11f x x x =+-1x >10x ->，所以，因此要使不等式恒成()111131f x x x =-++³+=-()min 3f x =11x a x +³-立，则，所以实数的取值范围是，故选D.3a £a (,3]-¥考点：均值不等式．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9.命题“R ，”的否定为_______x "Î210x +>【答案】，x R $Î210x +£【解析】试题分析：本小题给出的命题是全称命题，它的否定是特称命题“，”.x R $Î210x +£考点：本小题主要考查含有一个量词的命题的否定.点评：对于此类问题，要主要特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题.10.等差数列{}中，=_______n a 1357246a a a a a a a +++++【答案】43【解析】【分析】利用等差数列的性质进行化简即可得到结果.【详解】数列{}n a 为等差为列，∴==1357246a a a a a a a +++++1753426a a a a a a a +++++444422423a a aa +=+故答案为：.43【点睛】本题主要考查等差数列的性质（其中p+q=m+n ）的应用.p qmn a a a a +=+11.若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是【答案】【解析】由得由整数有且仅有1，2，3知，解得视频12.数列{}是公比为2的等比数列，其前n 项和为。

若，则=_______；=_______n a n S 212a =n a 5S 【答案】 (1). (2).32n -314【解析】，，，故答案为， .211112,24a a a =´=\= 131224n n n a --\=´=()55112314124S -==-32n -31413.甲、乙两人同时从A 地出发沿同一路线走到B 地，所用时间分别为、，甲有一半时间以速度m 行1t 2t走，另一半时间以速度n 行走（m ≠n ）；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，则、1t 的大小关系是_______2t 【答案】12t t <【解析】【分析】本题考查不等式的应用与作差法比较大小，由题意知，可分别根据两人的运动情况表示出两人走完全程所用的时间，再对两人所用的时间用作差法比较大小即可得出正确选项.【详解】设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2，则，可得：，，1122t t m n S +=222S S t m n +=12St m n=+()22S m n t mn +=∴ ()1222S m n S t t m n mn+-=-+()()()()22422S mn m n S m n mn m n mn m n éù-+-êúëû==-++∵S, m, n 都是正数，且m ≠n ，∴t 1 - t 2 < 0 即t 1 < t 2故答案为：．12t t <【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小，熟练掌握比较大小的方法作差法,作商法.14.对一切实数x ，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是_______210x a x ++³【答案】[－2，+）¥【解析】【分析】根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥-（|x|+），由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得答案.1x【详解】根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（x 2+1），即a≥-（|x|+）,1x又由|x|+≥2，则-（|x|+）≤-2；1x 1x要使不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可；综上可得，a 的取值范围是[-2，+∞）；故答案为：[-2，+∞）．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共3小题，共30分15.已知：等差数列{}的公差d ≠0，=1，且a 2、a 3、a 6成等比数列n a 2a （I ）求{}的通项公式；n a （II ）设数列{}的前n 项和为，求使>35成立的n 的最小值.n a n S n S 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）8.23n a n =-【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由得，从而得，即可得通{}n a d 2326a a a =×()2114dd +=+d 项公式；（Ⅱ）由，解不等式即可.，2235n S n n =->试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，．{}n a d 0d ¹因为，，成等比数列，所以．2a 3a 6a 2326a a a =×即，()2114dd +=+解得，或（舍去）.2d =0d =所以的通项公式为．{}n a ()2223n a a n d n =+-=-（Ⅱ）因为，23n a n =-所以．()()1212222n n n n a a n a a S n n -++===-依题意有，2235n n ->解得．7n >使成立的的最小值为8．35n S >n 16.已知：关于x 的不等式（mx －（m+1））（x －2）>0（m R ）的解集为集合P Î（I ）当m >0时，求集合P ；（II ）若{}P ，求m 的取值范围.|32x x -<<Í【答案】（I ）见解析；（II ）114m -££【解析】【分析】（I ）通过比较两根大小进行分类讨论，利用二次函数的图像即可得到不等式的解集；（Ⅲ）依题意，当x∈（-3，2）时，不等式（mx －（m+1））（x －2）>0恒成立，分类讨论即可求出m 的范围．【详解】（I ）当m >0时，原不等式变为 1m x m æö+ç÷-ç÷èø()20x ->当0<m <1时，>2，不等式的解为x <2或；1m m +1m x m +>当m=1时，=2，不等式的解为x <2或x >2；1m m +当m>1时，<2，不等式的解为x <或x >2；1m m +1m m+综上所述，当0<m≤1时，P=（－，2）（，+），¥È1m m+¥当m>l 时，P=（－，）（2，+）。