(推荐)高中数学分类讨论

§2 分类讨论思想 方法解读

1．分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个

简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原问题的思维策略，实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化解题思路，降低问题难度．

2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重

复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．

3．回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：

①绝对值概念的定义；②一元二次方程根的判别式与根的情况；③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口

方向；④反比例函数y ＝k x

(x ≠0)的反比例系数k ，正比例函数y ＝kx 的比例系数k ，一次函数y ＝kx ＋b 的斜率k 与图象位置及函数单调性的关系；⑤幂函数y ＝x a 的幂指数a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；⑥指数函数y ＝a x 及其反函数y ＝log a x 中底数a ＞1及a ＜1对函数单调性的影响；⑦等比数列前n 项和公式中q ＝1与q ≠1的区别；⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响；⑨直线与圆锥曲线位置关系的讨论；⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k 是否存在．

4．分类讨论的一般流程：

明确讨论的对象确定讨论的全体

选择分类的标准

逐类进行讨论获得初步结果

归纳整合写出结论

分类突破

一、根据概念分类

例1若函数f(x)＝a x－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

a＞1

解析设函数y＝a x(a＞0且a≠1)和函数y＝x＋a.则函数f(x)＝a x－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a＞0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数y＝a x(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a＞1.

归纳拓展有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题．

变式训练1 设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，比较⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )与

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

log a (1＋x )的大小． 解 ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1,1＋x ＞1,0＜1－x 2＜1. ①当0＜a ＜1时，log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0，

所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )－⎪⎪⎪⎪⎪⎪

log a (1＋x ) ＝log a (1－x )－[－log a (1＋x )]＝log a (1－x 2)＞0；

②当a ＞1时，log a (1－x )＜0，log a (1＋x )＞0，

所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )－⎪⎪⎪⎪⎪⎪

log a (1＋x ) ＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2)＞0.

由①②可知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )＞⎪⎪⎪⎪⎪⎪

log a (1＋x ).

二、根据运算需要分类

例2 已知在等比数列{a n }中，a 1＝1， S n 是其前n 项和，

且a k ＋1，a k ＋3，a k ＋2(k ∈N)成等差数列．

(1)求数列{a n }的公比；

(2)试判断S k ＋1，S k ＋3，S k ＋2(k ∈N)是否也构成等差数列，并说明理由．

解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则a k ＋1＝q k ，a k ＋3＝q k ＋2，a k ＋2＝q k ＋1，

依题意得2q k ＋2＝q k ＋q k ＋1，由于q k ≠0，所以2q 2－q －1

＝0，解得q ＝1或q ＝－12

. (2)当q ＝1时，S k ＋1＝(k ＋1)a 1＝k ＋1，S k ＋3＝k ＋3，S k ＋2＝k ＋2，显然S k ＋1＋S k ＋2＝k ＋1＋k ＋2＝2k ＋3≠2S k ＋3，故S k ＋1，S k ＋3，S k ＋2不能构成等差数列；

当q ＝－12时，S k ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12k ＋11－⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫－12＝23⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12k ＋1， 同理可得S k ＋2＝23⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12k ＋2，S k ＋3＝23⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12k ＋3， 于是S k ＋1＋S k ＋2＝23⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12k ＋1＋23⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12k ＋2 ＝23⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12k ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12k ＋2＝43⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12k ＋3＝2S k ＋3， 所以S k ＋1，S k ＋3，S k ＋2能构成等差数列．

综上所述：当q ＝1时，S k ＋1，S k ＋3，S k ＋2不能构成等差数列；

当q ＝－12

时，S k ＋1，S k ＋3，S k ＋2能构成等差数列．

归纳拓展 分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论．

变式训练2 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n ＞0(n

＝1,2,3，…)．

(1)求q 的取值范围；

(2)设b n ＝a n ＋2－32

a n ＋1，记{

b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小．

解 (1)∵{a n }是等比数列，S n ＞0，可得a 1＝S 1＞0，q ≠0，当q ＝1时，S n ＝na 1＞0；

当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q

＞0， 即1－q n

1－q

＞0(n ＝1,2,3，…)， 上式等价于①⎩⎪⎨⎪⎧

1－q ＜01－q n ＜0(n ＝1,2,3，…)

或②⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q ＞01－q n ＞0(n ＝1,2,3，…)

解①式得q ＞1；

解②式，由于n 可为奇数、可为偶数，故－1＜q ＜1. 综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．

(2)由b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，得b n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫q 2－32q ，T n ＝⎝

⎛⎭⎪⎪⎫q 2－32q S n ， 于是T n －S n ＝S n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫q 2－32q －1＝S n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫q ＋12(q －2)． 又因为S n ＞0且－1＜q ＜0或q ＞0，所以当－1＜q ＜－12

或q ＞2时，T n －S n ＞0，即T n ＞S n ；

当－12

＜q ＜2且q ≠0时，T n －S n ＜0，即T n ＜S n ； 当q ＝－12

或q ＝2时，T n －S n ＝0，即T n ＝S n .