电磁场小论文

电磁场理论大作业

题目时变电磁场的唯一性

姓名王志全

学号2140920046

专业物理电子学

日期2015年1月15日

摘要：从麦克斯韦方程组的初边值问题出发，引入子区域边界条件和外边界条件，给出了均匀介质区域中时变电磁场惟一性定理的一般证明及其物理解释，得到了时变电磁场解惟一性的普遍条件，并对时变电磁场惟一性定理作了新的表述。

关键词：麦克斯韦方程组；时变电磁场；初边值问题；惟一性定理

1引言

我们都知道在静电场和静磁场的情况下，静电场和静磁场都具有唯一性定理：静电场静电场唯一性定理是在一个空间内，导体的带电量或者电势给定以后，空间电场分布恒定，唯一，边界条件可以是各导体电势，各导体电量或部分导体电量与部分导体电势之混合[1]；静磁场的唯一性定理：我们假设磁场空间为一封闭曲面S所包围，如果S有限，则给定S面上的法向磁感应强度BSn件，以与高斯定理一致；如果S无限，则要求BS趋于0，其次，设磁介质各向同性，磁导率已知但允许出现非均匀性，以及在不同磁介质界面处出现间断[2]。静电场、静磁场和时谐电磁场定解问题的唯一性定理可应用微分几何的外微分分析对其进行统一表述和证明.那么在时变电磁场中是不是也具有唯一性定理呢？

法拉第电磁感应定律表明时变的磁场能够产生电场，反之，时变的电场也能够产生磁场。时变的电场和磁场相互激励、相互依存，构成了统一电磁场不可分割的两部分。自然界中所存在的磁场室友激励源产生的，一旦激励源确定后，电磁场也就随之确定了。如果考虑范围局限于一个有限区域内，那么这个有限区域内的电磁场，除了由处在这个区域内的激励源产生，还可以由这个区域外的激励源产生，仅知道这个区域内的激励源还不能完全确定这个区域内的电磁场。为了彻底确定这个区域内的电磁场，还必须知道区域外的激励源的影响。外部激励源的影响反映在区域边界的边值上。电磁场的基本问题就是给定所有边界上的边界条件求出满足麦克斯韦方程组描述的电磁场的解。同一电磁场问题的求解可以采用不同的场量作变量求解，也可以采用不同的方法求解用不同的变量或者是用不同的方法求解得的电磁场定解问题的解答是不是正确的？电磁场定解问题的解是不是独一无二的？这就是电磁场的唯一性问题。电磁场唯一性定理是电磁场理论中的基本定理之一。经典的电磁场名著《Electromagnetic Theory》是这样表述时变电磁场唯一性定理的:“在时间t>0的所有时刻,闭区域V内的电磁场是由整个V内

t 时边界上电矢量E(或磁矢量H)之切向分量的值之电和磁矢量的初始值，以及0

所唯一确定的。”麦克斯韦方程组是电磁场理论的核心内容，是分析电磁场问题的理论基础。根据这组方程，可以建立实际电磁场初边值问题的表达式，然后用某种方法求出该初边值问题的解。惟一性定理是保证用不同的方法求解麦克斯韦方程组时都能得到同样结果的理论依据。现行的电动力学和文献对于静电边值问题的惟一性定理和静磁边值问题的惟一性定理的证明讨论较多，臻于完善。而对时变电磁场惟一性定理的证明涉及不多，有些教科书虽有讨论，但采用边界上电磁场的零值强条件而不具一般意义；经典的电磁场名著讨论了E边值或H边值的边界条件却忽视了边值情况而存在局限。其主要表现有:

(1)对切向边界条件的描述与实际使用状况不完全符合。该定理指出,为了唯一地确

定电磁场的解，在边界上只需要知道切向分量n E ?或n H ?(n 是边界面上任意点的单位法向矢量)，而并不要求同时知道两个切向分量。这种表述与实际情况不完全符合，因为求解初边值问题的大量实践表明，在许多情况下需要同时应用边界上两个切向分量n E ?或n H ?缺一不可。

(2)不能利用唯一性定理写出初边值间题的完整表达式。从逻辑上考虑,既然唯一性定理表述了场量的唯一性,那么利用唯一性定理就应该可以写出电磁场初边值问题的完整表达式,但目前现有文献中表述的唯一性定理还做不到这一点[3]。

电磁场的唯一性定理不仅是电磁场各种间接解法的理论根据,而且对于解决实际问题有着重要的意义。因为它告诉我们,哪些因素可以完全确定电磁场,这样在解决实际问题时就有所依据。此外,在实际解题过程中,不管采用什么样的方法求得的解应该是相同的。然而,从数学上来说,在什么条件下求得的解是唯一的则是需要证明的。

在时变电磁场情况下，解麦克斯韦方程组以求得时变电磁场的解，在什么样的初始条件和边界条件时才是麦克斯韦方程组解惟一性的最普遍条件？针对以上问题，本文将对此作出讨论。

2 唯一性的证明

2.1 区域外场源对区域内场的影响

假设有一有限区域，区域内外均有场源，区域内的电磁场由区域内外的场源同时产生的电磁场的叠加，外部场源的影响反映在区域边界处由外部源所形成的场值上，通过有限区域的边界条件的作用实现。因此，有限区域的电磁场在已知内部场源初始时刻t 0区域内任一点的电场、磁场之值和边界上外部场源场值的条件下惟一确定。对此解麦克斯韦方程组，设麦克斯韦方程组有两组不同的解1E 、1H 和2E 、2H ，即： f 1=E ρε?，1

1H E t μ???=-? (1)

1=0H ?，111E H E t σε???=+? (2) f 222=,H E E t ρμε????=-? (3)

2

222=0,E H H E t σε????=+? (4)

在同一场源中，两组的源分布和电磁性质常数σ，μ，ε都相同 ，同时两组方程中的解都满足相同的额初始条件和边界条件。即在t=t 0时

1020(,)(,)E r t E r t =，1020(,)(,)H r t H r t = (5)

（5）式中r 为坐标原点到场点的径矢。在边界S 上满足：

12(,)(,)S S h n E r t n E r t J ?=?= (6) 12(,)(,)S S e n H r t n H r t J ?=?= (7)

(6)、(7)两式中n 为边界面S 的外法向单位矢量。h J 和e J 为齐次线性函数。

将方程(1)和(3)相见，(2)和(4)相减，令

12E E E =-，12H H H =- (8)

则有：

0E ?=，H E t

μ???=-? (9) 0,E H H E t

σε??=??=+? (10) 由(5)~(8)式得到方程组(9)、(10)的初始条件和边界条件为

0(,)0E r t =，0(,)0H r t = (11)

(,)0S n E r t ?=，(,)0S n H r t ?= (12)

(9)~(12)式表明E ，H 是满足齐次方程、齐次边界条件、齐次初始条件的无源场。

2.2 有限区域内的电磁场

假定区域V 中有V 1，V 2，V 3…V n 个子区域组成，分区均匀分布着线性介质，区域V 的外边界面S 0；每个子区域Vi ，（i=1，2,3…，m ）中介质的电磁性质量i ε，i μ，i σ均为大于零的实常数。

图1 分布均匀的有限区域 图2 无线区域示意图 设V i 中的电场强度为1i E 、磁场强度1i H 。则V 中两相邻的介质区域V i 与V j ，其公共界面S ij 上的边值关系为

11()0j i ij n E E ?-= (13)

11()j i ij ij n H H a ?-= (14)

(13)，(14)式中ij n 为S ij 上从介质i 指向介质j 的法向单位矢量，ij a 为S ij 上的面电流密度，对于区域V 而言，公共界面S ij 是子区域V i 和V j 的公共边界面，其上的关系式(13)，(14)则称子区域边界条件，相应的(12)式则称为外边界条件。

设Vi 和Vj 中的叠加解分别为i E ，i H ，j E ，j H ，则满足叠加解得子区域边界条件为：

()0j i ij n E E ?-= (15)

()0j i ij n H H ?-= (16)

所以(8)式和(13)，(14)式即为满足叠加解的初始条件、外边界条件和子区域条件。

应用()()()E H H E E H ??=??-??，代入方程组（9、10）式，并在区域Ｖ中进行积分，有：

2221()2V V V E H dV E dV E H dV t

σεμ???=-+???? (17) 也就是：

2221()2V V V E H dV E dV E H dV t

εμσ?+=--?????? (18)

因为1m i i V V ==∑，1011

m m ij ji i j i S S S S -==+=++∑∑，将(17)式的左边的体积分转化为面积分，

注意到ij ji n n =-有：

11()()()i i m

m

i V V S i i E H dV E H dV E H d S ==??=??=?∑∑???= 1()m

i i S E H d S =?∑?

0111()[()]ij m m i i j j ji S S i j i E H ndS E H E H n dS -==+=?+?-?∑∑?? (19)

由(12)式得： 000

()()()0S S S E H nd S n E Hd S n H Ed S ?=?=-?=??? (20) 再由(15)式的ij ij i j n E n E ?=?，再根据到(16)式，就得到：

[()()][()()][()()][()]0ij ij ij ij

ij i i j j S ij ij i i j j ij

S ij i i j ij S ij i i j ij S E H E H n dS

n E H n E H dS n E H H dS E n H H dS ?-?=?-?=?-=?-=???? (21)

所以有

()0V E H d V ??=? (22)

利用(22)式，对(18)式在t 0至他>t 0的时间积分得：

0022222t t 11||22

t V t V V E H dV dt E dV E H dV εμσεμ+=-=+???? (23) (23)式右边的第１项，因为σ>0，E 2>0故

020t

t V

dt E dV σ-≤?? (24) (23)式右边的第２项，由(11)式

022t 1|02

V E H dV εμ+=? (25)

所以(23)式左边有下式成立

22t 1|02

V E H dV εμ+≤? (26) 又(26)式左边被积函数中每一项都大于或等于零，其积分必大于或等于零。那么(26)式成立的条件只可能是积分等于零，由此被积函数必等于零，于是0,0E H ==,从而得出1212,E E H H ==。也就是说，在给定初始条件和边界条件的区域中，系统内的时变电磁场完全由麦克斯韦方程组惟一确定。

上述数学上的证明结果可以从物理上得到自然解释。因为由子区域边界条件和外边界条件已经证明()0V

E H dV ??=?，因而(18)式可以写为： 22212V

V P E H dV E dV t εμσ?=+=-??? (27) (27)式中2212V P E H dV t εμ?=

+??为区域Ｖ内电磁能量的时间增长率，(24)式给出0

20t t V dt E dV σ-≤??,必有P<=0，，即区域Ｖ中的电磁能量总是不断减少的。又系统在初始t 0时0,0E H ==，换言之，初始时刻系统内的场E ，H 的电磁能量为零，那么在t ≥t 0时间，惟一的可能是0,0E H ≡≡，这样就必有1212,E E H H ==。

2.3 无限区域的电磁场

如果所考虑的区域Ｖ是一个无限大区域，这可以认为在有限范围内存在一个或几个封闭的边界面S ’而不再有其它的边界，如图２所示。对无限大区域，S ’为有限范围的边界面，故S ’上的边界条件已知，并有前述(20)式的证明结果；对无限远边界，可任取某一定点为球心，作半径为r 的大球面S r ，先考虑包含在S r 和S ’之内的区域Ｖ，再取r →∞的极限，此极限结果即可作为无限区域的结果。这时S 0=S ’+S r ，因而(19)式右边的第１项变为

'00()()()0()lim()lim()S S S r r E H nd S E H nd S E H nd S E H nS rE rH n →∞→∞?=

?+?=+?=Ω???? (28)

(28)式中Ω为无限大球面Ｓ对球心所张开的立体角。若假定所有场源都位于有限区内，则电磁场在无限远处满足下列条件

l i m ()=0l i m (r r rE rH →∞→∞

， (29) 于是(28)式的面积分等于零。类似前述讨论，同样可以得到解的惟一性。

必须指出的是，对无限场域，当场点与场源间的距离充分大时，两个场量的幅值均至少按距离反比减少；事实上，位于有限区域内的场源所产生的场在无限远处均按11/r σ+(σ>=0) ）的规律减少，因此条件(29)恒成立。

以上讨论的是在σ≠0时得到结论。对σ＝0的理想介质，因σE 2＝0，此时推不出Ｅ＝0的结论。若规定在σ＝0时的任何解都取σ≠０时的解在σ→０时的极限值，由于惟一解的极限只有一个，那么，用这种方式得到的解仍然是惟一的。若单纯从数学上求σ＝０时麦克斯韦方程组的解，则解不惟一（可能有多个）。如空腔内的自由振荡，不同幅度的振荡都可以存在。然而，实际上任何物理介质都具有不同程度的损耗，把σ→０时的极限值作为小损耗介质是合理的。 4 时变电磁场唯一性定理的表述

综上所述，时变电磁场的惟一性定理表述如下：在均匀线性各向同性介质的空间区域中，给定t=t 0时刻区域Ｖ内各点电场和磁场的初始值，并同时给定t ≥t 0时子区域边界条件

()0j i ij n E E ?-=，()j i ij ij n H H α?-=

外边界条件：0(,)|h S n E r t J ?=或0(,)|e S n H r t J ?=

以及无限远条件：lim()=0lim()=0r r rE rH →∞→∞

，，则区域Ｖ中的时变电磁场都有惟一解。惟一性定理不仅指明可用任何方便的方法解电磁场，还可根据该定理建立解电磁场问题的等效原理，使原本不容易求解的电磁场变得比较容易求解[4-6]。 5 时变电磁场的唯一性定理的几点说明

5.1 场量的有界特性和非零特性

实际问题中的电磁场的场量都是有界的。以往用解析法(例如分离变量法)求解电磁场问题时，往往要假定场量是有界的和非零的，据此来确定待定系数和本征值。本文表述的电磁场唯一性定理对此给出了理论根据。

5.2 解的唯一性

线性电磁场的初边值问题在数学表达形式上为线性偏微分方程的初边值问题。在某些限定条件下，线性偏微分方程的初边值问题有可能存在唯一解，而在普遍情形下并不存在唯一解。即使对于线性齐次微分方程的边值问题，也不能保

证解的唯一性，例如贝塞尔方程是二阶线性齐次微分方程，在线性齐次边界条件下，该边值问题至少有两个解，零和贝塞尔函数。这表明，并非所有的线性电磁场初边值问题都有唯一解，需要在满足了本文所补充的条件之后才有唯一解。

5.3 线性媒质

以往文献在表述唯一性定理时，很少强调媒质的线性特性，似乎所有电磁场问题都有唯一解，实际上并非如此。本文所论述的唯一性定理表明，在某些补充条件下，线性电磁场初边值问题有唯一解。对于非线性电磁场问题，一般不存在唯一解。本文在表述唯一性定理时限定媒质是“形状不随时间变化”的“线性媒质”，此限定反映在数学上是指媒质的三个参数με、和γ仅与场点的位置有关,而与时间无关。

5.4 无限远条件

就目前所知，位于有限区域内的场源所产生的场在无限远处均按11/r σ+(σ>=0) ）的规律减小。正因为如此,本文为保证解的唯一性，要求场量在

无限远处满足lim()=0lim()=0r r rE rH →∞→∞

，，此限定无论对辐射场还是对非辐射场均成立。而以往文献在证明唯一性定理时，要补充“电磁波以有限速度传播”这一条件。我们知道，“电磁波以有限速度传播”在理论上来源于场的波动方程,这种以波动方程为基础证明解的唯一性的方法在逻辑上是不严格的。因为在推导电磁场波动方程时已默认了解的唯一性，如果不默认唯一性，就无法断定波动方程的解是唯一的，相应也就无法唯一地确定电磁波的传播速度。

5.5 外部电源

在静止媒质的电磁场中，从外部电源的表现形式看有电流型和电荷型，而本文在证明时变场唯一性定理时只用到了电流型外源J ，而没有用到电荷型外源ρ，这是因为在时变电磁场中交变电荷产生的电磁场实质上就是与之等效的电流所产生的电磁场，交变电荷的大小和分布可以通过电流密度来描述。

５ 结论

可见，时变电磁场的初边值问题，只有在某些限定条件下（如线性介质、外部电源、外边界条件、无限远条件等）应解麦克斯韦方程组以求时变电磁场的解才有可能存在惟一解。因为线性偏微分方程组的初边值问题，在一般情形下并不存在惟一解。介质的线性特性是时变电磁场初边值问题存在惟一解的前提条件之

一，对于非线性介质，一般不存在惟一解。如铁磁质存在磁化曲线和磁滞回线；铁电体存在电滞回线等。应该指出的是：以上证明讨论的是各向同性线性介质。对各向异性的线性介质，沿着上述类似的思路和方法，可以证明时变电磁场惟一性定理仍然成立。

6 参考文献

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