正多边形和与圆有关的计算

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中考总复习正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解

中考总复习正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解【正多边形与圆的有关的证明和计算】一、正多边形的定义与性质：正多边形是指所有边相等、所有角相等的多边形。

正多边形的性质如下：1.所有边相等，所有角相等；2.任意两条边之间的夹角相等；3.对角线相等；4.中心角等于外角。

二、正多边形的内角与外角的关系：1.由正多边形的定义可知，正多边形的内角和为180°(n-2)，其中n 为正多边形的边数；2.正多边形的外角和为360°，由此可得正多边形的内角和与外角和之间的关系：内角和=外角和/2三、正多边形的周长和面积的计算：1.正多边形的周长为边长×边数；2.正多边形的面积为面积公式：面积=1/2×边长×边数×正弦(360°/边数)。

四、正多边形内接圆的半径和面积：2.正多边形内接圆的面积等于正多边形面积的一半。

五、正多边形外接圆的半径和面积：1.正多边形外接圆的半径等于正多边形的边长的一半乘以正弦(180°/边数)；2.正多边形外接圆的面积等于正多边形边长的平方乘以正弦(360°/边数)乘以1/2六、正多边形的对称轴：正多边形有旋转对称轴和镜像对称轴两类：1.正多边形的旋转对称轴有n条，其中n为正多边形的边数；2.正多边形的镜像对称轴有2n条，其中n为正多边形的边数。

七、圆的性质及计算：1.圆是由一个动点到一个定点的距离保持不变的动点集；2.圆的半径是动点到圆心的距离；3.圆的直径是通过圆心的一条线段，且长度等于半径的两倍；4.圆的周长等于直径的乘以π，即周长=2×半径×π；5.圆的面积等于半径的平方乘以π，即面积=半径×半径×π。

八、正多边形与圆的关系：1.正多边形的内接圆同时是这个正多边形的外接圆，即正多边形的内接圆与外接圆重合；3.正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长的一半乘以正弦(180°/边数)；4.正多边形的外接圆的面积等于正多边形边长的平方乘以正弦(360°/边数)乘以1/2；5.正多边形的内接圆和外接圆的关系可以用于计算正多边形的周长和面积。

中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)

中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】31 .解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝3，所以AB＝AO1+O1C+BC＝131312222++=+．【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.【答案】321：：【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q 分别表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是( )．A．P＝Q B．P＞Q C．P＜Q D．无法确定(2)如图(b)，△ABC为等腰直角三角形，AC＝3，以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB中，OA＝3cm，OB＝1cm，将△AOB绕点O逆时针旋转90°到△A′OB′，求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=； (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形，则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积，等于△ABC面积的一半，答案为94； (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置，则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=．【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A ．64π127-B ．16π32-C ．16π247-D ．16π127-【答案】解：如图，由AB ，AC 为直径可得AD ⊥BC ，则BD ＝DC ＝6．在Rt △ABD 中，228627AD =-=∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影．答案选D. 3．如图所示，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连AC ，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB 、OC ，由BC ∥OA ，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB 、OC∵ BC ∥OA ．∴ △OBC 和△ABC 同底等高，∴ S △ABC ＝S △OBC ，∵ AB 为⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB ．∵ OA ＝4，OB ＝2，∴ ∠AOB ＝60°．∵ BC ∥OA ， ∴ ∠AOB ＝∠OBC ＝60°．∵ OB ＝OC ，∴ △OBC 为正三角形．∴ ∠COB ＝60°，∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】解：连接OC 、OD 、CD ． ∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°．又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD ．4．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ．（1）求弧BE 所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（AB）对应的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成，其中扇形AOB 的中心角是120°，AO 的长为4，Rt △BOC 中，OB ＝OA ＝4，∠BOC ＝60°，∴ 可求得BC 长和OC 长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB 面积+△BOC 面积＝21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，2AD =．以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1224π--. 解析：连接AE ，易证AB ＝BE ＝1，∠BAE ＝45°，所以∠EAD ＝45°，所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形．6．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连接AC，过点O作AC的垂线交AC于点D，交⊙O于点E．已知AB﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC的长；（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC 的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=12AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=OCPC，即PC=433=43；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=26048= 3603ππ⨯，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2，根据勾股定理得：CD=22OC-OD=23，∴S△OCD=12DC•OD=12×23×2=23，则S阴影=S扇形OCE-S△OCD=8-233π．【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．。

正多边形和圆及正多边形的有关计算

中考数学辅导之—正多边形和圆及正多边形的有关计算正多边形和圆是初中几何课本中的最后一单元,它包括正多边形的定义、正多边形的判定、性质,正多边形的有关计算,圆周长及弧长公式，圆、扇形、弓形的面积。

今天我们一起学习正多边形的定义、判定、性质及有关计算.一、基础知识及其说明：1.正多边形的定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.此定义中的条件各边相等,各角也相等 “缺一不可”.如:菱形各边相等,因四个角不等,所以菱形不一定是正多边形.矩形的四个角相等,但因四条边不一定相等,故矩形不一定是正四边形,只有正方形是正四边形.2.正多边形的判定,正多边形的定义当然是正多边形的判定方法之一,但如同全等三角形的判定一样,用定义来证明两个三角形全等显然不可取,因此需用判定定理来证.判定定理:把圆几等分()①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正边形②经过各分点做圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形.也就是说,若要证明一个多边形是圆内接正多边形,只要证明这个多边形的顶点是圆的等分点即可, 如：要证明一个圆内接边形ABCDEF ……是圆内接正边形,就要证A 、B 、C 、D 、E 、F ……各点是圆的n 等分点,就是要证AB=BC=CD=DE=EF=…….同样,要证明一个圆外切边形是圆外切正边形,只要证明各切点是圆的等分点即可例1:证明：各边相等的圆内接多边形是正多边形.已知:在⊙O 中,多边形ABCDE ……是⊙O 的内接n 边形且AB=BC=CD=DE=…….求证:n 边形ABCDE ……是正n 边形证明: AB=BC=CD=DE=…… ∴ AB=BC=CD=DE ……∴OEB=AEC= BED=COE=……∴ =∠=∠=∠=∠D C B A又∵AB=BC=CD=DE=……∴n 边形ABCDE ……是正n 边形.例2:证明:各角相等的圆外切n 边形是正n 边形.已知:多边形……是圆外切n 边形,切点分别是A,B,C,D,E ……,=…….求证:n 边形……是正n 边形.证明:连结OB,OC,OD ……,在四边形COD 和四边形BOC 中∵切⊙O 于B,C,D∴∴ 0''180=∠+∠=∠+∠COD C BOC B而……∴∴BC=CD(在同圆中,相等的圆 B O心角所对的弧相等).同理BC=CD=DE=FE=……'B D∴A,B,C,D,E,F……是圆的n等分点 C∴多边形ABCDEF……是圆外切n正多边形3.正多边都是轴对称图形,若n是奇数,正n边形是轴对称图形,n是偶数,正n边形既是轴对称图形又是中心图形.4.正多边形的性质:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.5.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心.外接圆半径叫正多边形的半径.内切圆的半径叫正多边形的边心距.正多边形的每一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是.如图:OA,OB是半径,O是中心,OH⊥AB于H,OH是边心距,是中心角6.正多边形的有关计算,一般是围绕正边形的半径R,边长,边心距,周长及面积来进行,但关健是之间的计算,因为正边形的边心距把正边形的一边与该边所对应的两条半径所围成的等腰三角形分成两个全等的直角三角形,所以在Rt△AOH中,斜边是R,直角边分别是和,锐角,利用直角三角形的有关知识(勾股定理,锐角三角函数等)来解直角三角形即可.例：已知正六边形ABCDEF的半径是R,求正六边形的边长S6.解:作半径OA、OB，过O做OH⊥AB，则∠AOH==30°∵∴∴∴∵∴S6=同学们在进行正多边形的计算时,应很好的理解、掌握如何用解直角三角形的方法进行计算,但也可以推出公式,然后利用公式变形进行计算.则这是已知半径R,求的公式,若记住公式则正多边形的计算就简单了很多,如已知半径R,求解:再如：已知正三角形的边长为,可以先由,求出半径,再将求得的R代入；若已知边心距求边长,则先用,求出R,再代入求边长公式即可求出,此法好处是不用画图,只需将上面两个公式反复变形即可.7.如何求同圆的圆内接正边形与圆外切正边形的边长比,半径比,边心距比.如：求同圆的圆内接正边形和圆外切正边形的边长比.设⊙O的半径的为R则圆内接正边形的边长是而在Rt△OBC中,OB=R,则,即外切正边形的边长是,∴=实际上，=,OB是的邻边,OC是Rt△BOC的斜边,,希望同学们记住此结论.如圆内接正四边形的边心距与圆外切正四边形的边心距之比是,圆内接正六边形与圆外切正六边形的边长之比是,而圆内接正三角形与圆外切正三角形的面积之比是.(注意:①此结论必须是同圆的边数相同的圆内接正边形与圆外切正边形的相似比是.②若求圆外切正边形与圆内接正边形的相似比则是).二、练习题:1.判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2.填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.②正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm,面积是____cm.④面积等于cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3.选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D.:1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A. B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1::C.1::3D.1:2:三、练习答案:1.判断题①×②×③√④√⑤√2.填空题①四②45°,135°,45°③④12⑤1:2 1:4 ⑥8 ⑦⑧:1 ⑨1:3.选择题①D ②A ③C ④C ⑤B ⑥A。

几何中的正多边形与圆的内切外切

几何中的正多边形与圆的内切外切正多边形和圆是几何中常见的概念，它们之间存在着内切和外切的关系。

正多边形是一个有着相等边长和相等内角的多边形，而圆是一个由无数点组成的闭合曲线。

本文将探讨正多边形与圆的内切和外切关系，以及相关的性质和定理。

一、正多边形与圆的内切当一个正多边形的每条边都与一个圆相切，且这个圆同时与多边形的所有顶点都相切时，称这个圆为该正多边形的内切圆，多边形为内切圆的多边形。

内切圆的半径等于多边形各边边长的一半，而内切圆的圆心和多边形的重心重合。

以正五边形为例，假设其边长为a，内切圆的半径r，则有以下几何关系：- 五边形的中心到一条边的距离为r- 五边形的中心到两条相邻边的夹角为72度- 五边形的中心到五个顶点的距离等于r- 五边形的中心到相邻两个顶点和圆心连线的夹角为36度对于任意正多边形，以上的几何关系都成立。

内切圆是正多边形与圆相互联系的几何特征，它展现了正多边形的对称性和一致性。

二、正多边形与圆的外切当一个正多边形的每条边都与一个圆相切，且这个圆的圆心位于多边形各边的延长线上时，称这个圆为该正多边形的外切圆，多边形为外切圆的多边形。

外切圆的半径与内切圆的半径之间存在着特殊的关系。

以正六边形为例，假设其边长为a，外切圆的半径R，则有以下几何关系：- 六边形的中心到一条边的距离为R- 六边形的中心到两条相邻边的夹角为120度- 六边形的中心到六个顶点的距离等于R- 六边形的中心到相邻两个顶点和圆心连线的夹角为60度同样地，对于任意正多边形，以上的几何关系都成立。

外切圆也是正多边形的一个重要特征，它定义了多边形的圆心和对称性。

三、正多边形与圆内切外切的性质和定理正多边形与内切外切的圆之间有许多有趣的性质和定理，其中一些被广泛用于解决几何问题和证明定理。

1. 内切圆半径与正多边形边长的关系：对于正n边形（n>2），内切圆的半径r与多边形的边长a存在以下关系：r = (a/2) * cot(π/n)该关系可以用来计算内切圆的半径以及与多边形的边长的关系。

平面几何中的正多边形与圆的周长

平面几何中的正多边形与圆的周长在平面几何中，正多边形与圆的周长是一个重要的概念。

正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形，而圆的周长则是指圆的边缘一周的长度。

本文将探讨正多边形和圆的周长的关系，并介绍一些计算正多边形和圆的周长的方法。

一、正多边形的周长正多边形的周长可以通过计算每条边的长度之和来得到。

设正多边形有n条边，边长为a，则正多边形的周长L可以表示为L = n * a。

例如，一个有6条边的正六边形，若每条边的长度为3cm，则正六边形的周长L = 6 * 3 = 18cm。

需要注意的是，正多边形的周长与边数以及边长有关。

当边数n增加时，正多边形的周长也会增加；当边长a增加时，正多边形的周长也会增加。

二、圆的周长在平面几何中，圆的周长又称为圆的周长或圆周长。

圆的周长C可以通过计算圆的直径或半径与圆周率π的乘积来得到。

根据定义，圆周率π的近似值约为3.14159。

1. 通过直径计算设圆的直径为d，则圆的周长C可以表示为C = π * d。

例如，一个直径为10cm的圆的周长C = 3.14159 * 10 = 31.4159cm。

2. 通过半径计算设圆的半径为r，则圆的周长C可以表示为C = 2 * π * r。

例如，一个半径为5cm的圆的周长C = 2 * 3.14159 * 5 = 31.4159cm。

需要注意的是，无论是通过直径还是半径计算，圆的周长都与圆周率π有关。

当直径或半径增加时，圆的周长也会增加。

三、正多边形与圆的周长的关系在考察正多边形和圆的周长时，我们可以发现一个有趣的现象。

当正多边形的边数n足够大时，正多边形的周长L会趋近于圆的周长C。

这可以通过以下推理来解释：首先，在一个给定的正多边形中，边数越多，每条边的长度a则越短，这意味着多边形的周长L越接近于n * a。

而当n趋近于无穷大时，正多边形的周长L趋近于无限，也就是周长无限长。

而圆的周长C是有限且确定的，不会随着边数的增加而增加。

专题11 正多边形以及与圆有关的计算

专题11 与圆有关的计算一、正多边形和圆1. 正多边形的定义：各条边，并且各个也都相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：⑴ 正多边形的中心：正多边形的的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵ 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的．⑶ 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的叫做正多边形的中心角．⑷ 正多边形的边心距：到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3. 正多边形的性质：⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形的对称轴；⑶偶数条边的正多边形既是图形，也是轴对称图形，其就是对称中心.【例 1】⑴求正三角形的边心距、半径和高的比。

⑵若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为3r ，4r ，6r ，求346::r r r 。

边心距二、与圆有关的计算 1、弧长的计算如果弧长为 l ，圆心角度数为 n ，圆的半径为 r ，那么，弧长 l ＝。

【推导】：【例 2】⑴将下表补充完整。

⑵【易错】若弦AB 将圆的周长分为1:5的两部分，则弦AB 所对的圆周角为。

⑶图中有五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 的路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行，则下列结论正确的是（）A. 甲先到B 点B. 乙先到B 点C. 甲、乙同时到B 点D. 无法确定⑷如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针A 3A 2A 1GFE D CBAB DOA2、扇形面积计算方法一：如果已知扇形圆心角为n，半径为r，那么扇形面积S=。

【推导】：方法二：如果已知扇形弧长为l ，半径为r，那么扇形面积S=。

【推导】【例 3】将下表补充完整。

初中数学中考复习正多边形与圆的有关的证明和计算

初中数学中考复习正多边形与圆的有关的证明和计算正多边形与圆的关系是初中数学中重要的内容。

在中考复习中，我们需要掌握正多边形与圆的有关知识，并能够进行证明和计算。

一、正多边形的性质与计算：1.正多边形的定义：正多边形是指所有边相等，所有角也相等的多边形。

2.正多边形的计算：正n边形的内角和为180°(n-2)，每个内角为(180°(n-2))/n。

正n边形的外角和为360°，每个外角为360°/n。

正n边形的中心角为360°/n。

例题1：求正六边形的内角和。

解：内角和为180°(6-2)=720°。

例题2：求正五边形的每个内角大小。

解：每个内角为(180°(5-2))/5=108°。

二、正多边形与圆的关系：1.圆的定义：圆是平面上一组到一个固定点(圆心)距离相等的点的集合。

2.正多边形与圆的关系：正多边形的顶点均在圆上，且正多边形的外接圆和内切圆都满足以下性质：①外接圆：正多边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合。

②内切圆：正多边形的内切圆的圆心与正多边形的中心重合，且内接圆的半径等于正多边形的边长的一半。

3.正多边形与圆的证明：①外接圆的证明：由正多边形的定义可知，正多边形的每个顶点到圆心的距离都相等，即正多边形的顶点在圆上。

而圆心与正多边形的中心重合，所以正多边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合。

②内切圆的证明：首先，通过正多边形的定义，可以证明正多边形的每个顶点到圆心的距离都相等，即正多边形的顶点在圆上。

其次，由于正多边形的边长相等，所以正多边形的中心到各个顶点的距离也相等。

而内切圆的半径等于正多边形中心到任意一个顶点的距离，所以正多边形的内切圆的圆心与正多边形的中心重合，且内切圆的半径等于正多边形的边长的一半。

例题3：如图，正六边形ABCD中，O为外接圆的圆心，求AB的长。

解：由于正六边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合，所以O即为正六边形的中心。

正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析

正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】31+.解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝3，所以AB＝AO1+O1C+BC＝1313122++=+．【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.32：：【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q分别表示阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是( )．A ．P ＝QB ．P ＞QC ．P ＜QD ．无法确定(2)如图(b)，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝3，以BC 为直径的半圆与斜边AB 交于点D ，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB 中，OA ＝3cm ，OB ＝1cm ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°到△A ′OB ′，求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=； (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形，则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积，等于△ABC 面积的一半，答案为94； (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置，则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=．【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A ．64π127-B ．16π32-C ．16π247-D ．16π127-【答案】解：如图，由AB ，AC 为直径可得AD ⊥BC ，则BD ＝DC ＝6．在Rt △ABD 中，228627AD =-=，∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影．答案选D.3．如图所示，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连AC ，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB 、OC ，由BC ∥OA ，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB 、OC∵ BC ∥OA ．∴ △OBC 和△ABC 同底等高，∴ S △ABC ＝S △OBC ，∴∵ AB 为⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB ．∵ OA ＝4，OB ＝2，∴ ∠AOB ＝60°．∵ BC ∥OA ，∴ ∠AOB ＝∠OBC ＝60°．∵ OB ＝OC ，∴ △OBC 为正三角形．∴ ∠COB ＝60°，∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】解：连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°．又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===g g 阴影扇形OCD ．4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E．（1）求弧BE所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠E AB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．»AB）对应5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成，其中扇形AOB 的中心角是120°，AO 的长为4，Rt △BOC 中，OB ＝OA ＝4，∠BOC ＝60°，∴ 可求得BC 长和OC 长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB 面积+△BOC 面积＝21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，2AD =．以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1224π--. 解析：连接AE ，易证AB ＝BE ＝1，∠BAE ＝45°，所以∠EAD ＝45°，所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形．6．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ，过点O 作AC 的垂线交AC 于点D ，交⊙O 于点E ．已知AB ﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC 的长；（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC 的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=12AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=OCPC，即PC=433=43；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠A OC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=26048=3603ππ⨯，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2，根据勾股定理得：CD=22OC-OD=23，【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．。

第1部分第6章第3节与圆有关的计算

弧长的相关计算抓住弧长公式 l＝n1π80r，若求弧长 l，则设法求出 n 或 r，若已知弧长 l，则根据公式可求 n 或 r.
(2019·庐江模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，∠ABC 的平分线交⊙O 于点 D. 若 AB＝6，∠BAC＝30°，则劣弧A︵D的长等于π ．
1．(2017 安徽，13，5 分)如图，已知等边△ABC 的边长为 6，以 AB 为直径的⊙O 与边 AC，BC 分别交于 D，E 两点，则劣弧D︵E的长为 π ．
【解析】连接 OD，OE，∵在等边三角形 ABC 中，∠A＝∠B＝60 °，又 OA＝OB＝OE＝OD＝3，∴△OBE，△ODA 都是等边三角形，
圆柱和圆锥的侧面积和全面积
1．圆柱设圆柱的高为 h，底面半径为 R，则有： (1)S 圆柱侧＝⑧ 2πRh ； (2)S 圆柱全＝2πRh＋2πR2.
2．圆锥设圆锥的母线长为 l，底面半径为 R，高为 h，则有： (1)S 圆锥侧＝⑨ πlR ； (2)S 圆锥全＝πlR＋πR2； (3)圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径．
莱洛三角形 4．(2019·泰州)如图，分别以正三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为 6cm，则该莱洛三角形的周长为 6π ．【解析】3×601π80×6＝6π(cm)．
圆与正多边形的相关计算(冷考) (注：安徽中考近五年未单独考查)
弧长、扇形面积的有关计算(常考)
利用等腰直角三角形的性质得到 AB＝ 2R，利用圆锥的侧面展开图为
一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到 2πr＝

初中数学中考复习正多边形与圆的有关的证明和计算

初中数学中考复习正多边形与圆的有关的证明和计算正多边形与圆的有关证明和计算是初中数学中的基础知识，掌握这些知识将有助于学生在中考中取得好成绩。

下面将详细介绍正多边形与圆的证明和计算相关内容。

一、多边形的内角和在初中数学中，我们首先要了解正多边形的内角和的计算方式。

一个n边形（n≥3）的内角和公式为：(n-2)×180度，也可以写成(n-2)×π弧度。

例如，一个三角形的内角和为(3-2)×180度=180度；一个四边形的内角和为(4-2)×180度=360度。

二、正多边形的性质1.正多边形的内角是相等的。

这是因为正多边形的所有边长和内角都相等。

2.正多边形的外角是相等的。

外角是指在多边形外部，相邻两边的夹角。

3.正多边形的对角线个数为n(n-3)/2，其中n为多边形的边数。

例如，一个六边形有6(6-3)/2=9条对角线。

4.正多边形的对角线长度相等。

如果我们连接正多边形的一个顶点和非相邻顶点，得到的线段即为对角线。

所有对角线的长度均相等。

5.正多边形的中心到顶点的距离称为半径，正多边形的中心到边的距离称为中线。

一个正多边形的半径和中线相等。

三、正多边形的外接圆和内切圆1. 正n边形的外接圆半径r的计算公式为：r = a/2sin(π/n)，其中a为正n边形的边长。

例如，一个正六边形的边长为a，那么它的外接圆的半径为r = a/2sin(π/6)。

2. 正n边形的内切圆半径R的计算公式为：R = a/2tan(π/n)。

例如，一个正六边形的边长为a，那么它的内切圆的半径为R =a/2tan(π/6)。

四、正多边形与圆的面积1. 正n边形的面积公式为：S = (1/4) × n × a² × cot(π/n)，其中a为正n边形的边长。

例如，一个正六边形的边长为a，那么它的面积为S = (1/4) × 6 × a² × cot(π/6)。

圆的内接正多边形与计算

一、正多边形与圆1、正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形的相关概念（1）我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.（2）外接圆的半径叫做正多边形的半径.（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.（4）中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.3、正多边形的性质（1）正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴。

（2）偶数边的正多边形是中心对称图形。

4、正多边形的有关计算（1）正n边形的每个内角都等于（2）正n边形的每一个外角与中心角相等，等于（3）正n边形的边长a，半径R,边心距r，周长P,面积S的关系（特别要掌握正三角形、正方形和正六边形）巩固练习：1、已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为2、正六边形的半径为2厘米，那么它的周长为3、边长为a的正方边形的边心距为4、半径为5厘米的圆中，有一条长为6厘米的弦，则圆心到此弦的距离为5、正三角形的内切圆与外接圆面积之比为_________．6、若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是7、有一个边长为1.5cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为___________cm．8、已知圆内接正六边形的边长是1，则这个圆的内接正方形的边长是____________．9、下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）（A）正三角形．（B）正五边形．（C）正六边形．（D）正七边形．二、圆中计算的相关公式1、若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为l（1）弧长公式：（2）扇形面积公式：（3）圆锥的侧面积：（4）圆锥表面积：（4）圆柱体表面积公式：2、常见组合图形的周长、面积的几种常见方法（1）公式法（2）割补发（3）拼凑法（4）等积变换法巩固练习：1、扇形的圆心角为120°，半径为6，求扇形的弧长2、若75°的圆心角所对的弧长是π5.2，此弧所在圆的半径为3、一扇形的弧长为π12，圆心角为120°，求扇形的面积4、已知扇形的弧长是2π厘米，半径为12厘米，则这个扇形的圆心角是5、已知扇形的圆心角为150 ，它所对的弧长为20π厘米，则扇形的半径是________厘米，扇形的面积是__________平方厘米．6、扇形的圆心角为120 ，弧长为6π厘米，那么这个扇形的面积为_________．7、圆锥的母线长为5厘米，高为3厘米，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是_________度．8、已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥侧面展开图的面积是9、一个圆柱形油桶的底面直径为0.6米，高为1米，那么这个油桶的侧面积为10、一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6厘米，母线长为5厘米，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是11、在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝90．如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2，那么S1∶S2等于12、在Rt△ABC中，∠C＝90，AＢ＝3，BC＝1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面展开图的面积是__________．13、如图，以圆柱的下底面为底面，上底面圆心为顶点的圆锥的母线长为4，高线长为3，则圆柱的侧面积为（）（A ）30π （B ）76π （C ）20π （D ）74π14、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝ 90，AB ＝AC ＝2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为15、如图，正六边形ABCDEF 的边长的上a ，分别以C 、F 为圆心，a 为半径画弧，则图中阴影部分的面积是16、如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是17、如图，已知OA 、OB 是⊙O 的半径，且OA ＝5，∠AOB ＝30 ，AC ⊥OB 于C ，则图中阴影部分的面积（结果保留π）S ＝_________．18、如图，扇形的半径OA ＝20厘米，∠AOB ＝ 135，用它做成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面的半径为20、如图，正六边形ABCDEF 中．阴影部分面积为123平方厘米，则此正六边形的边长为21、如图，若四边形ABCD 是半径为1和⊙O 的内接正方形，则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积和为22、如图，圆内接正六边形ABCDEF 中，AC 、BF 交于点M ．则ABM S △∶AFM S △＝_________．23、某种商品的商标图案如图所求（阴影部分），已知菱形ABCD 的边长为4，∠A ＝ 60，是以A 为圆心，AB 长为半径的弧，是以B 为圆心，BC 长为半径的弧，则该商标图案的面积为_________．。

圆与正多边形的面积比较与计算

圆与正多边形的面积比较与计算圆和正多边形是几何学中常见的图形，它们的面积计算和比较是我们要探究的重点。

在此文中，我们将介绍如何计算圆和正多边形的面积，并比较它们的大小。

一、圆的面积计算圆的面积计算公式是：S = π × r²。

其中，S代表圆的面积，π代表圆周率，r代表圆的半径。

假设给定一个圆的半径为r = 5cm，那么该圆的面积计算为：S = π × 5² = 25π cm²。

这里的π可以精确到小数点后任意位数，一般取3.14或3.14159作为圆周率的近似值。

二、正多边形的面积计算对于正多边形，我们可以通过将其划分为若干个等边三角形来计算面积。

正多边形的面积计算公式是：S = 0.5 × a × p。

其中，S代表正多边形的面积，a代表正多边形的边长，p代表正多边形的周长。

假设给定一个正五边形的边长为a = 6cm，那么该正五边形的周长为p = 5 × 6 = 30cm。

将正五边形划分为五个等边三角形，每个三角形的底边长为a = 6cm，高的长度可以通过勾股定理计算得到。

假设高的长度为h = 4.37cm，那么每个三角形的面积为0.5 × 6 × 4.37 = 13.11cm²。

由此可得正五边形的面积为13.11 × 5 = 65.55cm²。

三、圆与正多边形的比较为了比较圆和正多边形的面积大小，我们可以选取相同的半径和边长来进行比较。

假设给定一个半径为r = 5cm的圆和一个边长为a = 6cm的正六边形。

根据前述计算方法得到圆的面积为25π cm²，正六边形的面积为6 × 6 ×sin(π/3) = 18√3 cm² ≈ 31.18cm²。

由此可见，当半径和边长相等时，正多边形的面积要大于圆的面积。

这是因为正多边形由多个等边三角形组成，而圆则没有尖角，因此正多边形所能包围的区域相对较大。

(中考考点梳理)与圆有关的计算-中考数学一遍过

考点19 与圆有关的计算一、正多边形的有关概念正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二、与圆有关的计算公式1．弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l=π180n r；扇形的面积S=2π360n r=12lr．2．圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为S圆锥侧=12ππ2l r rl⋅=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．考向一正多边形与圆任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．典例1　如图，已知⊙O的周长等于8π cm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为A．2 cm B．cmC．4 cm D．cm【答案】B【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．1．若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是__________．2．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．考向二弧长和扇形面积1．弧长公式：π180n Rl=；2．扇形面积公式：2π360n RS=扇形或12S lR=扇形．典例2　时钟的分针长5 cm ，经过15分钟，它的针尖转过的弧长是 A ．254π cm B ．152π cm C ．52π cm D ．512π cm 【答案】C【解析】∵分针经过60分钟，转过360°，∴经过15分钟转过360°×1560=90°，则分针的针尖转过的弧长是l C ．学科=网典例3　小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为5 cm ，扇形的弧长是6πcm ，那么这个圆锥的高是A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．3 cm【答案】A【解析】设圆锥的底面半径是r ，则2πr =6π，解得：r =3cm ）．【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的计算．用到的知识点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径是圆锥的母线长．3．已知扇形的圆心角为60°，半径长为12，则扇形的面积为 A ．34π B ．2π C ．3π D ．24π4．如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．（1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）；（2）母线SC 是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A 沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？1，则该圆的内接正六边形的边心距是A．2B．1C D2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB，则 AB的长是A．πB．32πC．2πD．12π3．圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是A．90° B．120° C．150° D．180°4．已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆．若∠ABC=25°，则劣弧 AC的长为A．25π36B．125π36C．25π18D．5π365．如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB=a，则图中阴影部分的面积是A ．2π6aB ．26π(a C 2D ．23π(a 6．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，4AB =，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB于点D ，则 CD的长为A ．1π6B ．1π3C ．2π3D 7．如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面半径，已知BC =6 cm ，圆锥的侧面积为15π cm 2，则sin ∠ABC的值为A ．34B ．35C ．45D ．538．如图，在正方形ABCD 中，AB =12，点E 为BC 的中点，以CD 为直径作半圆CFD ，点F 为半圆的中点，连接AF ，EF ，图中阴影部分的面积是A ．18+36πB ．24+18πC ．18+18πD ．12+18π9．如图，从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为A ．2πm 2B 2mC ．2πmD ．22πm10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O 的内接正十边形的一边， DE的度数为__________．11cm ，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是__________cm ． 12．用一块圆心角为216︒的扇形铁皮，做一个高为40cm 的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是__________cm ．13．如图，在正五边形ABCDE 中，AC 与BE 相交于点F ，则∠AFE 的度数为__________．14．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，以点A 为圆心，AB 的长为半径，作扇形ABF ，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留根号和π）．15．如图1，作∠BPC 平分线的反向延长线PA ，现要分别以∠APB ，∠APC ，∠BPC 为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC 为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而902=45是360°（多边形外角和）的18，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是__________；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是__________．16．如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA=3．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）若点E是优弧AEB上一点，且∠AEB=60°，求扇形OAB的面积（计算结果保留π）．17．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；（2）求证：CD是⊙O的切线．学-科网18．已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若等边△ABC的边长为8，求由 DE、DF、EF围成的阴影部分面积．19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）求证：∠EDF=∠DAC．20．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．21．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，E 为⊙O 上一点，过点E 作直线DC 分别交AM ，BN 于点D ，C ，且CB =CE ．（1）求证：DA =DE ；（2）若AB =6，CD1．（2018·益阳）如图，正方形ABCD 内接于圆O ，AB =4，则图中阴影部分的面积是A ．4π16-B ．8π16-C ．16π32-D ．32π16-2．（2018·山西）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积为A ．4π-4B ．4π-8C ．8π-4D ．8π-83．（2018·抚顺）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠BCD =30°，OA =2，则阴影部分的面积是A ．π3B ．2π3C ．πD ．2π4．（2018·十堰）如图，扇形OAB 中，∠AOB =100°，OA =12，C 是OB 的中点，CD ⊥OB 交 AB 于点D ，以OC 为半径的 CE交OA 于点E ，则图中阴影部分的面积是A ．B ．C ．D ．5．（2018·盘锦）如图，一段公路的转弯处是一段圆弧 AB ，则 AB 的展直长度为A ．3π mB ．6π mC ．9π mD ．12π m6．（2018·广安）如图，已知⊙O 的半径是2，点A 、B 、C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为A ．23π- B ．13πC ．43π- D ．43π7．（2018·钦州）如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB =2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为A ．π+B ．π-C ．2πD ．2π-8．（2018·成都）如图，在ABCD 中，60B ∠=︒，C 的半径为3，则图中阴影部分的面积是A ．πB ．2πC ．3πD ．6π9．（2018·湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣： ①将半径为r 的⊙O 六等分，依次得到A ，B ，C ，D ，E ，F 六个分点； ②分别以点A ，D 为圆心，AC 长为半径画弧，G 是两弧的一个交点； ③连接OG ．问：OG 的长是多少？大臣给出的正确答案应是A r B．（）rC．（）r D r10．（2018·温州）已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为__________．11．（2018·呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为__________．△是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是__________ 12．（2018·绥化）如图，ABC（结果用含π的式子表示）．13．（2018·贵阳）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是__________度．学科网14．（2018·玉林）如图，正六边形ABCDEF的边长是O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2=__________．15．（2018·烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1∶r2=__________．16．（2018·株洲）如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM =__________．17．（2018·宜宾）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O 的半径为1，若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，则S =__________．（结果保留根号）18．（2018·凉山州）将ABC △绕点B 逆时针旋转到A'BC'△使A 、B 、C'在同一直线上，若90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，4cm AB =，则图中阴影部分面积为__________2cm ．19．（2018·重庆A 卷）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2AD =，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AB 于点E ，图中阴影部分的面积是__________（结果保留π）．20．（2018·泰州）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BC于点E ．（1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE ，DF =3，求图中阴影部分的面积．21．（2018·扬州）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AO BC ⊥于点O ，OE AB ⊥于点E ，以点O 为圆心，OE 为半径作半圆，交AO 于点F ．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若点F 是AO 的中点，3OE =，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P 是BC 边上的动点，当PE PF +取最小值时，直接写出BP 的长．1∶2．【解析】∵一个正多边形的一个外角为60°，∴360°÷60°=6， ∴这个正多边形是正六边形，设这个正六边形的半径是r ，则外接圆的半径是r ，，2．2．【点睛】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧．3．【答案】D【解析】扇形的面积为D．4．【答案】（1）S阴=4π–8；（2）一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬个单位长度才能吃到蜜糖．【解析】（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C，设图2中的扇形的圆心角为n°·1，∴n=90°，∵SA=SF，∴△SFA是等腰直角三角形，∴S△SAF=12×4×4=8，又S扇形SAFS阴=S扇形SAF–S△SAF=4π–8．（2）在图2中，∵SC是一条蜜糖线，AE⊥SC，AF=，AE∴一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬个单位长度才能吃到蜜糖．1．【答案】B，故选B ． 2．【答案】A【解析】如图，连接OA 、OB ，∵正方形ABCD 内接于⊙O ， ∴AB =BC =DC =AD ，∴ AB BCCD DA ===， ∴∠AOB =14×360°=90°，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：2AO 2=（）2，解得：AO =2， ∴ AB 的长为90π2180⨯=π，故选A ． 3．【答案】D【解析】∵圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形， ∴圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，则圆锥的侧面展开图扇形的半径为4，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是n ，根据题意，得：·π·4180n =4π，解得：n =180°，故选D ． 4．【答案】C【解析】如图，连接AO ，CO ，∵∠ABC =25°，∴∠AOC =50°，∴劣弧 AC 的长=50π525π=18018⨯，故选C ． 5．【答案】B【解析】∵正六边形的边长为a ， ∴⊙O 的半径为a ， ∴⊙O 的面积为π×a 2=πa 2，∵空白正六边形为六个边长为a 的正三角形，∴每个三角形面积为12×a ×a a 2，∴正六边形面积为a 2a 2，∴阴影面积为（πa 2a 2）×16=（π6）a 2，故选B ．6．【答案】C【解析】∵90ACB ∠=︒，4AB =，30A ∠=︒，∴60B ∠=︒，2BC =，∴ CD的长为60π22π1803⨯=，故选C ． 7．【答案】C【解析】设圆锥的母线长为R ，由题意得15π=π×3×R ，解得R =5， ∴圆锥的高为4，∴sin ∠ABC =45．故选C ． 8．【答案】C【解析】作FH ⊥BC 于H ，连接FH ，如图，∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，∴BE =CE =CH =FH =6，AE易得Rt △ABE ≌△EHF ，∴∠AEB =∠EFH ，而∠EFH +∠FEH =90°，∴∠AEB +∠FEH =90°，∴∠AEF =90°，∴图中阴影部分的面积=S 正方形ABCD +S 半圆-S △ABE -S △AEF =12×12+12·π·62-12×12×6-12· =18+18π．故选C ． 9．【答案】A【解析】如图，连接AC ．∵从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC =90°， ∴AC 为直径，即AC =2 m ，AB =BC ．∵AB 2+BC 2=22，∴AB =BC m =1π2（m 2）．故选A ．11．【答案】【解析】设该圆锥的母线长是x cm x =．故答案为：． 12．【答案】50【解析】设这个扇形铁皮的半径为R cm ，圆锥的底面圆的半径为r cm ，根据题意得2πr =216π180R ⋅⋅，解得r =35R ，因为402+（35R ）2=R 2，解得R =50．所以这个扇形铁皮的半径为50 cm ．故答案为：50． 13．【答案】72°【解析】∵五边形ABCDE 为正五边形，∴AB =BC =AE ，∠ABC =∠BAE =108°， ∴∠BAC =∠BCA =∠ABE =∠AEB =（180°−108°）÷2=36°， ∴∠AFE =∠BAC +∠ABE =72°，故答案为：72°．14-π3 【解析】正六边形的中心为点O ，如图，连接OD 、OE ，作OH ⊥DE 于H ，∴∠DOE =3606︒=60°，∴OD =OE =DE =1，∴OH∴正六边形ABCDEF 的面积=12，∠A =(62)1806-⨯︒=120°，∴扇形ABF 的面积=2120π13π603⨯=，∴图中阴影部分的面积-π3-π3． 15．【答案】14；21【解析】图2中的图案外轮廓周长是：8-2+2+8-2=14；设∠BPC =2x ，∴以∠BPC 为内角的正多边形的边数为：360180180290x x =--，以∠APB 为内角的正多边形的边数为：360x，∴图案外轮廓周长是=18090x --2+360x -2+360x -2=18090x -+720x-6，根据题意可知：2x 的值只能为60°，90°，120°，144°，当x 越小时，周长越大，∴当x =30时，周长最大，此时图案定为会标，则则会标的外轮廓周长是=180720903030+--6=21，故答案为：14；21．16．【解析】（1）连接OB ，如图所示：∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∵AD⊥BC，∴AD∥OB，∴∠DAB=∠OBA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠DAB=∠OAB，∴AB平分∠OAD；（2）∵点E是优弧AEB上一点，且∠AEB=60°，∴∠AOB=2∠AEB=120°，∴扇形OAB的面积=2120π3360⨯=3π．17．【解析】（1）∵AB=4，∴OB=2，∵∠COB=60°，∴S扇形OBC=60π42π3603⨯=．（2）∵AC平分∠FAB，∴∠FAC=∠CAO，∵AO=CO，∴∠ACO=∠CAO，∴∠FAC=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AF，∴CD⊥OC∵C在圆上，∴CD是⊙O的切线．18．【解析】（1）如图，连接CD、OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，又∵△ABC是等边三角形，∴AD=BD，∵BO=CO，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线．19．【解析】（1）如图，连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°，∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∵∠FDC=15°，∴∠C=180°-90°-15°=75°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°-∠ABC∠C=30°，∴OM =12OA =12×3=32，AM OM ， ∵OA =OE ，OM ⊥AC ，∴AE =2AM ， ∴∠BAC =∠AEO =30°， ∴∠AOE =180°-30°-30°=120°，∴阴影部分的面积S =S 扇形AOE -S △AOE =2120π3133π36022⨯-⨯=-．（2）如图，连接OD ，∵AB =AC ，OB =OD ，∴∠ABC =∠C ，∠ABC =∠ODB ， ∴∠ODB =∠C ， ∴AC ∥OD ， ∵DF ⊥AC ， ∴DF ⊥OD ， ∵OD 过点O ， ∴DF 是⊙O 的切线．（3）如图，连接BE ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB =90°， ∴BE ⊥AC ，∵DF ⊥AC ， ∴BE ∥DF ， ∴∠FDC =∠EBC ， ∵∠EBC =∠DAC ， ∴∠FDC =∠DAC ， ∵A 、B 、D 、E 四点共圆， ∴∠DEF =∠ABC ， ∵∠ABC =∠C ， ∴∠DEC =∠C ， ∵DF ⊥AC ， ∴∠EDF =∠FDC ， ∴∠EDF =∠DAC ．20．【解析】（1）直线DE 与⊙O 相切．理由如下：连接OE 、OD ，如图，∵AC 是⊙O 的切线， ∴AB ⊥AC ， ∴∠OAC =90°，∵点E 是AC 的中点，O 点为AB 的中点， ∴OE ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠3， ∵OB =OD ， ∴∠B =∠3， ∴∠1=∠2，在△AOE 和△DOE 中，12OA OD OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE≌△DOE，∴∠ODE=∠OAE=90°，∴OA⊥AE，∴DE为⊙O的切线．（2）∵点E是AC的中点，∴AE=12AC=2.4，∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，∴图中阴影部分的面积=2×12×2×2.4-2100π2104.8π3609⨯=-．21．【解析】（1）如图，连接OE、BE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OE B．∵BC=EC，∴∠CBE=∠CEB，∴∠OBC=∠OEC．∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC=∠OBC=90°．∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线，∵AD切⊙O于点A，∴DA=DE．（2）如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，DF=AB=6，∴DC=BC+AD，∵CF=，∴BC -AD∴BC在直角△OBC 中，tan ∠BOC =BCOB， ∴∠BOC =60°．在△OEC 与△OBC 中，OE OB OC OC CE CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OEC ≌△OBC （SSS ）， ∴∠BOE =2∠BOC =120°，∴S 阴影部分=S 四边形BCEO -S 扇形OBE =2×12BC ·OB -2120π360OB ⋅⋅-3π．1．【答案】B【解析】如图，连接OA 、OB ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠AOB =90°，∠OAB =45°， ∴OA =AB ·，所以阴影部分的面积=S ⊙O -S 正方形ABCD =π×（）2-4×4=8π-16．故选B ． 2．【答案】A【解析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF 的面积-△ABD 的面积=290π413602⨯⨯-×4×2=4π-4，故选A ． 3．【答案】B【解析】∵∠BCD =30°，∴∠BOD =60°， ∵AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，OA =2，∴阴影部分的面积是：260π22π3603⨯⨯=，故选B ． 4．【答案】C【解析】如图，连接OD ，AD ，∵点C 为OA 的中点，∴OC =12OA =12OD ， ∵CD ⊥OA ，∴∠CDO =30°，∠DOC =60°，∴△ADO 为等边三角形，OD =OA =12，OC =CA =6，∴CD ，∴S 扇形AOD =260π12360⋅⋅=24π， ∴S阴影=S扇形AOB -S扇形COE -（S扇形AOD -S △COD）=22100π12100π61(24π63603602⋅⋅⋅⋅---⨯⨯，故选C ． 5．【答案】B【解析】 AB 的展直长度为：108π10180⨯=6π（m ）．故选B ．6．【答案】C【解析】连接OB 和AC 交于点D ，如图，∵圆的半径为2，∴OB =OA =OC =2，又四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD =12OB =1，在Rt △COD 中利用勾股定理可知：CD =，AC =2CD ，∵sin ∠COD =CD OC =∴∠COD =60°，∠AOC =2∠COD =120°，∴S 菱形ABCO =12B ×AC =12S 扇形AOC =2120π24π3603⨯⨯=，则图中阴影部分面积为S 菱形ABCO -S 扇形AOC =4π3-C ．8．【答案】C【解析】∵在 ABCD 中，∠B =60°，⊙C 的半径为3，∴∠C =120°，∴图中阴影部分的面积是：2120π3360⨯⨯=3π，故选C ． 9．【答案】D【解析】如图，连接CD ，AC ，DG ，AG ．∵AD 是⊙O 直径，∴∠ACD =90°，在Rt △ACD 中，AD =2r ，∠DAC =30°，∴AC ， ∵DG =AG =CA ，OD =OA ，∴OG ⊥AD ，∴∠GOA =90°，∴OG r ，故选D ．10．【答案】6【解析】设扇形的半径为r ，根据题意得：60π2π180r=，解得：r =6，故答案为：6．111【解析】设⊙O 的半径为r ，⊙O 的内接正方形ABCD ，如图，过O 作OQ ⊥BC 于Q ，连接OB 、OC ，即OQ 为正方形ABCD 的边心距， ∵四边形BACD 是正方形，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆， ∴O 为正方形ABCD 的中心，∴∠BOC =90°， ∵OQ ⊥BC ，OB =CO ，∴QC =BQ ，∠COQ =∠BOQ =45°，∴OQ =OC R ．设⊙O 的内接正△EFG ，如图，过O 作OH ⊥FG 于H ，连接OG ，即OH 为正△EFG 的边心距，∵正△EFG 是⊙O 的外接圆，∴∠OGF =12∠EGF =30°， ∴OH =OG ×sin30°=12R ，∴OQ ∶OH =R ）∶（12R ）∶1∶1．12．【答案】4π-【解析】如图，点O 既是它的外心也是其内心，∴2OB =，130∠=︒，∴112OD OB ==，BD =，∴3AD =，BC =，∴132ABC S =⨯=△2π24π=⨯=，所以阴影部分的面积4π=-，故答案为：4π-． 13．【答案】72【解析】如图，连接OA 、OB 、OC ，∠AOB =3605︒=72°， ∵∠AOB =∠BOC ，OA =OB ，OB =OC ，∴∠OAB =∠OBC ，在△AOM 和△BON 中，OA OB OAM OBN AM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOM ≌△BON ，∴∠BON =∠AOM ，∴∠MON =∠AOB =72°，故答案为：72． 14．【答案】【解析】如图，过A 作AM ⊥BF 于M ，连接O 1F 、O 1A 、O 1B ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠A =(62)1806-⨯︒=120°，AF =AB ，∴∠AFB =∠ABF =12×（180°-120°）=30°， ∴△AFB 边BF 上的高AM =12AF =12×（FM =BM+6，∴BF设△AFB 的内切圆的半径为r ， ∵S △AFB =111AO F AO B BFO S S S ++△△△，∴12×（）×（+6）=12×（）×r +12×（）×r +12×（×r ，解得：r =32，即O 1M =r =32，∴O 1O 2=2×32．152【解析】如图，连接OA ，由已知，M 为AF 中点，则OM ⊥AF ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠AOM =30°，设AM =a ，∴AB =AO =2a ，OM ， ∵正六边形中心角为60°，∴∠MON =120°，∴扇形MON πa =，则r 1a ，同理：扇形DEF 的弧长为：120π24π1803a a ⋅⋅=，则r 2=23a ，r 1：r 222． 16．【答案】48°【解析】如图，连接OA ，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠AOB =3605︒=72°，∵△AMN 是正三角形，∴∠AOM =3603︒=120°， ∴∠BOM =∠AOM -∠AOB =48°，故答案为：48°．17．【答案】【解析】依照题意画出图象，如图所示．∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴△ABO 为等边三角形，∵⊙O 的半径为1，∴OM =1，∴BM =AM AB∴S =6S △ABO =6×12． 18．【答案】4π【解析】由旋转可得△ABC ≌△A ′BC ′．∵∠BCA =90°，∠BAC =30°，AB =4 cm ，∴BC =2 cm ，AC ，∠A ′BA =120°，∠CBC ′=120°，∴阴影部分面积=（S △A ′BC ′+S 扇形BAA ′）-S 扇形BCC ′-S △ABC =120π360×（42-22）=4π cm 2．故答案为：4π． 19．【答案】6π- 【解析】S 阴影=S 矩形ABCD -S 扇形ADE =2×3-290π2360⨯=6-π，故答案为：6-π． 20．【解析】（1）DE 与⊙O 相切，理由：如图，连接DO ，∵DO =BO ，∴∠ODB =∠OBD ，∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠EBD =∠DBO ，∴∠EBD =∠BDO ，∴DO ∥BE ，∵DE ⊥BC ，∴∠DEB =∠EDO =90°，∴DE 与⊙O 相切．（2）∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BE ，DF ⊥AB ，∴DE =DF =3，∵BE ，∴BD =6， ∵sin ∠DBF =31=62， ∴∠DBA =30°，∴∠DOF =60°，∴sin60°=3DF DO DO ==，∴DO ，则FO132π2=． 21．【解析】（1）如图，过O 作AC 垂线OM ，垂足为M ．∵AB AC =，AO BC ⊥，∴AO 平分BAC ∠，∵OE AB OM AC ⊥⊥，， ∴OE OM =，∵OE 为⊙O 的半径，∴OM 为⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．（2）∵3OM OE OF ===，且F 是OA 的中点，∴6AO =，AE =，∴2AEO S AO AE =⋅÷=△， ∵OE AB ⊥，∴60EOF ∠=︒，即9π603π3602OEF S ⋅︒==︒扇形，∴3π2S =-阴影．学科=网（3）作B 关于BC 的对称点G ，交BC 于H ，连接FG 交BC 于P ，此时PE PF +最小，由（2）知60EOF ∠=︒，30EAO ∠=︒，∴60B ∠=︒，∵3EO =，∴3EG =，32EH =，BH =， ∵EG BC ⊥，FO BC ⊥，∴EHP △∽FOP △， ∴31322EH HP FO PO ==÷=，即2HP OP =，∵BO HP OP =+=，∴3HP =，即HP =，∴BP ==．。

数字中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)

中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．（2015•镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】31+.解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝3，所以AB＝AO1+O1C+BC＝1313122++=+．【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习4】【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.32：：【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习2】【变式3】（2015•广西自主招生）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q分别表示阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是( )．A ．P ＝QB ．P ＞QC ．P ＜QD ．无法确定(2)如图(b)，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝3，以BC 为直径的半圆与斜边AB 交于点D ，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB 中，OA ＝3cm ，OB ＝1cm ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°到△A ′OB ′，求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=； (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形，则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积，等于△ABC 面积的一半，答案为94； (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置，则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=．【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A ．64π127-B ．16π32-C ．16π247-D ．16π127-【答案】解：如图，由AB ，AC 为直径可得AD ⊥BC ，则BD ＝DC ＝6．在Rt △ABD 中，228627AD =-=，∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影．答案选D.3．如图所示，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连AC ，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB 、OC ，由BC ∥OA ，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB 、OC∵ BC ∥OA ．∴ △OBC 和△ABC 同底等高，∴ S △ABC ＝S △OBC ，∴∵ AB 为⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB ．∵ OA ＝4，OB ＝2，∴ ∠AOB ＝60°．∵ BC ∥OA ，∴ ∠AOB ＝∠OBC ＝60°．∵ OB ＝OC ，∴ △OBC 为正三角形．∴ ∠COB ＝60°，∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】解：连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°．又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===g g 阴影扇形OCD ．4．（2015秋•江都市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC 交于点E．（1）求弧BE所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．»AB）对应5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成，其中扇形AOB 的中心角是120°，AO 的长为4，Rt △BOC 中，OB ＝OA ＝4，∠BOC ＝60°，∴ 可求得BC 长和OC 长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB 面积+△BOC 面积＝21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，2AD =．以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1224π--. 解析：连接AE ，易证AB ＝BE ＝1，∠BAE ＝45°，所以∠EAD ＝45°，所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形．6．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ，过点O 作AC 的垂线交AC 于点D ，交⊙O 于点E ．已知AB ﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC 的长；（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC 的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=12AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=OCPC，即PC=433=43；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=26048=3603ππ⨯，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2，根据勾股定理得：CD=22OC-OD=23，【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．。

正多边形和圆及圆中计算问题

正多边形和圆及圆中计算问题一．内容综述正多边形的有关计算方法、圆及简单组合图形的周长与面积的计算方法，是本单元的重点。

实际上，这部分计算问题的解决大都是放在直角三角形（如下图△OAD）中解决的。

掌握这些知识，一方面可以为进一步学习打好基础，另一方面这些知识在生产和生活中常常用到，所以要给予足够的重视。

在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n和S n表示正n(n≥3,n 为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：①αn=；②a n=2R n·sin；③r n=R n·cos；④+；⑤P n=na n；⑥S n=P n r n；⑦S n=n sin.（因为一个三角形的面积为：h·OB）注意两点：1、构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；2、准确记忆相关公式。

在圆的有关计算中，如果用R表示圆的半径，n表示弧或弧所对的圆心角的度数，L表示弧长，则有：①圆周长：C=2πR。

②弧长：L=③圆面积：S=πR2④扇形面积：S扇形==LR⑤弓形面积可利用扇形面积与三角形面积的和或差来计算需根据不同的情况作出不同的处理：（1）当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S△（2）当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S△（3）当弓形所含弧为半圆时，S弓=S圆⑥圆柱与圆锥的侧面积可以转化为计算侧面展开图的面积二．例题分析：例1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A、B、C、D、解：如图1，BF=2，过点A作AG⊥BF于G，则FG=1，又∵∠FAG=60°，故选B。

说明：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。

例2.如图2，两个同心圆被两条半径截得的的长为6πcm,的长为10πcm，若AB=12cm,求图中阴影部分的面积。

解：设∠O=α，由弧长公式得6π=, 10π=,∴OA=, OB=.又∵AB=OB-OA,∴12=-,∴α=60°,∴OA==18, OB==30.∴阴影部分的面积为：-==96π说明：本题主要考察弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。

正多边形和圆

正多边形和圆介绍在几何学中，正多边形和圆是两个重要的概念。

正多边形是指具有相等边长和相等内角的多边形，而圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的图形。

本文将介绍正多边形和圆的特征、性质和相关公式。

正多边形定义正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形。

常见的正多边形有三角形、四边形（正方形）、五边形、六边形等。

正多边形的内角都可以通过以下公式计算：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n表示多边形的边数。

性质1.边长相等：正多边形的所有边长都相等，即正多边形的每条边长度相等。

2.内角相等：正多边形的所有内角都相等，即正多边形每个内角的度数相等。

3.对称性：正多边形具有n个对称轴，其中n为边数。

每个对称轴将正多边形分为两个对称的部分。

4.外角和：正多边形的外角和等于360°，即正多边形的所有外角之和为一个圆的周角。

5.外接圆：正多边形的外接圆是指将正多边形每个顶点都切在圆上的圆。

外接圆的半径等于正多边形中心到任一顶点的距离。

公式1.正多边形的面积：正多边形的面积可以通过边长和高计算，公式如下：面积 = 边长 × 高 / 22.正多边形的周长：正多边形的周长等于所有边长之和，即边长 × 边数。

圆定义圆是平面上所有点到圆心距离都相等的图形。

圆由圆心、半径和弧组成，其中圆心为圆上所有点的中心，半径是圆心到圆上任意一点的距离，弧是圆上两点之间的弯曲部分。

性质1.圆心角：圆心角是指圆心所对的弧所对应的角。

圆心角的度数等于对应弧所占据的圆心角度的一部分，即圆心角 = 弧度 / 弧长 × 360°。

2.弧长：圆上的弧长可以通过圆心角的度数计算，公式如下：弧长 = 圆心角度数 / 360°× 圆周3.面积：圆的面积可以通过半径计算，公式如下：面积= π × 半径²其中，π（pi）是一个数学常数，约等于3.14159。

正多边形与圆的相关计算公式

正多边形与圆的相关计算公式在我们的数学世界里，正多边形与圆可是一对关系紧密的“好伙伴”。

今天，咱们就来好好聊聊它们之间那些神奇的计算公式。

记得有一次，我在公园里散步，看到一个圆形的花坛。

花坛的边缘被修成了正六边形的形状，特别规整漂亮。

当时我就在想，这正多边形和圆之间的关系可真是巧妙。

咱们先来说说正多边形的内角和公式。

对于一个 n 边形，它的内角和等于 (n - 2)×180°。

比如说一个正三角形，也就是三角形啦，n = 3，那内角和就是 (3 - 2)×180° = 180°，这大家都知道。

再比如一个正五边形，n = 5，内角和就是 (5 - 2)×180° = 540°。

那正多边形的每个内角的度数怎么算呢？很简单，用内角和除以边数就行啦。

还是拿正五边形举例，每个内角的度数就是540°÷5 = 108°。

接下来聊聊正多边形和圆的关系。

以正 n 边形为例，把它的 n 个顶点都和圆心连起来，就会分成 n 个等腰三角形。

这些等腰三角形的顶角就是圆心角，每个圆心角的度数是 360°÷n 。

咱们再来说说正多边形的边长和外接圆半径的关系。

假设正 n 边形的边长是 a ，外接圆半径是 R ，那就有 a = 2Rsin(180°/n) 。

比如说一个正六边形，n = 6，要是外接圆半径 R 是 5 厘米，那边长 a 就等于2×5×sin(180°/6) = 5√3 厘米。

还有正多边形的面积公式。

如果正 n 边形的边长是 a ，边心距是 r （就是从正多边形的中心到边的距离），那它的面积就是n×(1/2)×a×r 。

就像我在公园里看到的那个正六边形花坛，我们可以通过测量它的外接圆半径或者边心距，还有边长，就能算出花坛的面积。

内圆和外圆计算公式

内圆和外圆计算公式在几何学中，内圆和外圆是与多边形相关的两个重要概念。

内圆是指多边形内部切切的一个圆，而外圆则是指多边形外部切切的一个圆。

在本文中，我们将讨论如何计算内圆和外圆的半径和面积的公式。

首先，让我们来看看如何计算内圆的半径和面积的公式。

对于任意一个正多边形，内圆的半径可以通过以下公式来计算：r = a / (2 tan(π / n))。

其中，r表示内圆的半径，a表示多边形的边长，n表示多边形的边数，π表示圆周率。

这个公式的推导过程比较复杂，我们这里不做详细解释，但是这个公式是由正多边形的内角和内切圆的关系推导出来的。

接下来，我们来看看如何计算内圆的面积。

内圆的面积可以通过以下公式来计算：A = π r^2。

其中，A表示内圆的面积，r表示内圆的半径，π表示圆周率。

这个公式的推导过程也比较复杂，我们这里同样不做详细解释。

现在，让我们来看看如何计算外圆的半径和面积的公式。

对于任意一个正多边形，外圆的半径可以通过以下公式来计算：R = a / (2 sin(π / n))。

其中，R表示外圆的半径，a表示多边形的边长，n表示多边形的边数，π表示圆周率。

这个公式的推导过程与内圆的半径公式类似，也是由正多边形的外角和外切圆的关系推导出来的。

最后，我们来看看如何计算外圆的面积。

外圆的面积可以通过以下公式来计算：A = π R^2。

其中，A表示外圆的面积，R表示外圆的半径，π表示圆周率。

这个公式的推导过程与内圆的面积公式类似，也是由圆的面积公式推导出来的。

在实际应用中，内圆和外圆的计算公式可以帮助我们计算出多边形的内外圆的半径和面积，进而帮助我们解决一些与多边形相关的实际问题。

比如，在建筑设计中，我们可以通过内外圆的半径和面积来计算出建筑物的内外空间的大小，从而更好地进行设计和规划。

总之，内圆和外圆是与多边形相关的重要概念，其计算公式可以帮助我们计算出多边形的内外圆的半径和面积，进而帮助我们解决一些与多边形相关的实际问题。

正多边形和圆、弧长公式及有关计算

一.正多边形和圆、弧长公式及有关计算1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。

正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

2. 正多边形和圆的关系定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。

3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：（1）半径（或边心距）的比等于相似比。

（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。

4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。

（1）画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。

（2）用量角器等分圆先用量角器画一个等于360︒n的圆心角，这个角所对的弧就是圆的1n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。

5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

6. 圆周长公式：C R=2π，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。

7. n°的圆心角所对的弧的弧长：ln R =π180n表示1°的圆心角的度数，不带单位。

8. 正n边形的每个内角都等于()nn-︒2180，每个外角为360︒n，等于中心角。

二.1.重点：正多边形和圆关系，弧长公式及应用。

正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。

只有正五边形、正四边形对角线相等。

2.难点：解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。

【典型例题】例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A.33 B.233 C.23 D.223解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1F EA G DB C又∵∠FAG ＝60°∴=∠==AF FG FAG sin 132233故选B点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。

正多边形和与圆有关的计算

中考总复习正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解

中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)

正多边形和圆及正多边形的有关计算

几何中的正多边形与圆的内切外切

平面几何中的正多边形与圆的周长

专题11 正多边形以及与圆有关的计算

初中数学中考复习正多边形与圆的有关的证明和计算

正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析

第1部分 第6章 第3节 与圆有关的计算

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圆的内接正多边形与计算

圆与正多边形的面积比较与计算

(中考考点梳理)与圆有关的计算-中考数学一遍过

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正多边形和圆及圆中计算问题

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