2018版高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例10.3变量间的相关关系统计案例教师用书文北师大版

2018版高考数学大一轮复习 第十章 统计与统计案例 10.3 变量间的相关关系、统计案例教师用书 文 北师大版1．相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．(3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是非线性相关的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． 2．线性回归方程 (1)最小二乘法如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来刻画这些点与直线y ＝a ＋bx 的接近程度，使得上式达到最小值的直线y ＝a ＋bx 就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法． (2)线性回归方程方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中a ，b 是待定参数．⎩⎨⎧b ＝∑n i ＝1x i－x y i－y∑i ＝1x i－x2＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑i ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x .3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中，(x ，y )称为样本点的中心． (3)相关系数①r ＝∑ni ＝1 x i －x y i －y∑n i ＝1x i －x2∑ni ＝1y i －y2＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x 2∑ni ＝1y 2i －n y2；②当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关； 当r ＝0时，表明两个变量线性不相关．|r |值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关程度越高． |r |值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关程度越低． 4．独立性检验设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值， 变量A ：A 1，A 2＝A 1；变量B ：B 1，B 2＝B 1.构造一个统计量 χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.利用统计量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A ，B 有关联，可以认为变量A ，B 是没有关联的； 当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A ，B 有关联； 当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A ，B 有关联； 当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关联． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( ×)(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( √)(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( √)(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归方程y＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．( ×)(5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2越大．( √)(6)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．( ×)1．(2015·湖北)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关答案 C解析因为y＝－0.1x＋1，－0.1<0，所以x与y负相关．又y与z正相关，故可设z＝by ＋a(b>0)，所以z＝－0.1bx＋b＋a，－0.1b<0，所以x与z负相关．故选C.则表中a，b的值分别为( )A．94,72 B．52,50 C．52,74 D．74,52答案 C解析∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.3．(2017·重庆联考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4答案 A解析因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A.由上表可得线性回归方程y＝bx＋a中的b＝－4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为( )A．51个 B．50个 C．49个 D．48个答案 C解析由题意知x＝17.5，y＝39，代入线性回归方程得5．(2016·玉溪一中月考)利用独立性检验来判断两个分类变量X和Y是否有关系，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．为了调查用电脑时间与视力下降是否有关系，现从某地网民中抽取100位居民进行调查．经过计算得χ2≈3.855，那么就有________%的把握认为用电脑时间与视力下降有关系.答案95解析根据表格发现3.855>3.841,3.841对应的是0.05，所以根据独立性检验原理可知有95% 的把握认为用电脑时间与视力下降有关系.题型一相关关系的判断例1 (1)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④(2)x 和y 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．①x ，y 是负相关关系；②在该相关关系中，若用y ＝21e c xc 拟合时的相关系数的平方为r 21，用y ＝bx ＋a 拟合时的相关系数的平方为r 22，则r 21>r 22； ③x 、y 之间不能建立线性回归方程． 答案 (1)D (2)①②解析 (1)由线性回归方程y ＝bx ＋a 知当b >0时，y 与x 正相关，当b <0时，y 与x 负相关，∴①④一定错误．(2)①显然正确；由散点图知，用21e c xy c ＝拟合的效果比用y ＝bx ＋a 拟合的效果要好，故②正确；x ，y 之间能建立线性回归方程，只不过预报精度不高，故③不正确． 思维升华 判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r >0时，正相关；r <0时，负相关． (3)线性回归方程中：b >0时，正相关；b <0时，负相关．(1)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( ) A ．－1 B ．0 C.12D ．1(2)变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( ) A ．r 2＜r 1＜0 B ．0＜r 2＜r 1 C ．r 2＜0＜r 1 D ．r 2＝r 1答案 (1)D (2)C解析 (1)所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D.(2)对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1＞0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2＜0，故选C.题型二 线性回归分析注：年份代码17分别对应年份2008－2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17y i －y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t2∑i ＝1n y i －y2，回归方程y ＝a ＋bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t2，a ＝y －b t .解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17y i －y2＝0.55.∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，所以r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ＝∑i ＝17t i －ty i －y∑i ＝17t i －t2＝2.8928≈0.103， a ＝y －b t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨． 思维升华 线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程①利用公式，求出回归系数b ，a .②待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数． (2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值． (3)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b .(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝∑i ＝1nu i －uv i －v∑i ＝1nu i －u2，α＝v －βu .解 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型． (2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ＝∑i ＝18w i －wy i －y∑i ＝18w i －w2＝108.81.6＝68，c ＝y －d w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ＝100.6＋68x .(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z 取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 题型三 独立性检验例3 (2016·福建厦门三中模拟)某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作的积极性和对待企业改革的态度的关系，随机抽取了100名员工进行调查，其中支持企业改革的调查者中，工作积极的有46人，工作一般的有35人，而不太赞成企业改革的调查者中，工作积极的有4人，工作一般的有15人． (1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)对于人力资源部的研究项目，根据以上数据是否可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关系？ 参考公式：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解 (1)根据题设条件，得2×2列联表如下：(2)提出假设：企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性无关．根据(1)中的数据，可以求得χ2＝－250×50×19×81≈7.862>6.635，所以有99%的把握认为抽样员工对待企业改革的态度与工作积极性有关，从而认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关．思维升华(1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法①通过计算χ2的大小判断：χ2越大，两变量有关联的可能性越大．②通过计算|ad－bc|的大小判断：|ad－bc|越大，两变量有关联的可能性越大．(2)独立性检验的一般步骤①根据样本数据制成2×2列联表．②根据公式χ2＝n ad－bc2a ＋b a＋c b＋d c＋d计算χ2.③比较χ2与临界值的大小关系，作出统计推断．(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该地区学生常吃零食与患龋齿有关系？(2)4名卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到收集数据组，工作人员乙分到处理数据组的概率．附：χ2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d解(1)由题意可得2×2列联表如下：根据2×2列联表中数据，得χ2＝－100×2160×640×200×600≈16.667>10.828.∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该地区学生常吃零食与患龋齿有关系．(2)设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表.由表可知，分组的情况共有6种，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据的有2种，故工作人员甲分到收集数据组，工作人员乙分到处理数据组的概率为P ＝26＝13.21．求线性回归方程的方法技巧典例 (12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2016年的粮食需求量．思想方法指导 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组统计数据，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程． 规范解答解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下表.对处理的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，[4分]b ＝－－＋－－＋2×19＋4×29－5×0×3.2－2＋－2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5， a ＝y －b x ＝3.2.[6分]由上述计算结果，知所求线性回归方程为y －257＝6.5(x －2010)＋3.2，即y ＝6.5(x －2010)＋260.2.[8分](2)利用所求得的线性回归方程，可预测2016年的粮食需求量大约为6.5×(2016－2010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．[12分]1．(2016·衡水质检)具有线性相关关系的变量x ，y 满足一组数据如下表所示．若y 与x 的线性回归方程为y ＝3x －32，则m 的值是( )A.4B.92 C ．5 D ．6答案 A解析 由已知得x ＝32，y ＝m4＋2，又因为点(x ，y )在直线y ＝3x －32上，所以m 4＋2＝3×32－32，得m ＝4.从所得散点图中分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则x ＝13时，y 等于( ) A ．1.45 B ．13.8 C ．13 D ．12.8 答案 B解析 由题意，x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y ＝16×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25，∵y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ， ∴5.25＝0.95×4＋a ，∴a ＝1.45， 从而当x ＝13时，有y ＝13.8.故选B.附：参考公式及数据：(1)统计量：χ2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d(n＝a＋b＋c＋d)．则下列说法正确的是( )A．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关答案 C解析因为χ2＝－220×20×21×19≈4.912，3．841<χ2<6.635，所以有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关．A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg答案 D解析∵0.85>0，∴y与x正相关，∴A正确；∵回归直线经过样本点的中心(x，y)，∴B正确；∵Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85，∴C正确．故选D.附：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是( )A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50 答案 C解析 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A 、B 错误． 根据列联表中的数据， 得到χ2＝－255×50×30×75≈6.109>5.024，6．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ＝bx ＋a ，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ＝bx ＋a ”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 x 0，y 0为这10组数据的平均数，根据公式计算线性回归方程y ＝bx ＋a 的b 以后，再根据a ＝y －b x (x ，y 为样本平均数)求得a .因此(x ，y )一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x ，y )外，可能还有其他样本点． 7．以下四个命题，其中正确的序号是________．①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程y ＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y 平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y 的统计量χ2来说，χ2越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 答案 ②③解析 ①是系统抽样；对于④，统计量χ2越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小． 8．(2016·郑州模拟)对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其线性回归方程是y ＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a 的值是________．答案 18解析 依题意可知样本点的中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38， 则38＝13×34＋a ，解得a ＝18. 9．(2016·江西南昌二中模拟)为了研究某种细菌随时间x 变化的繁殖个数y ，收集数据如下：(1)用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图，根据散点图判断y ＝a ＋bx 与y ＝c 12e c x 哪一个作为繁殖个数y 关于时间x 变化的回归方程类型为最佳；(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)中判断的最佳类型及表中的数据，建立y 关于x 的回归方程.其中z i ＝ln y i ，z ＝16∑6i ＝1z i .参考公式：b ＝∑6i ＝1x i －xy i －y∑i ＝1x i －x2，a ＝y －b x .解 (1)画散点图如下．由散点图看出样本点分布在一条类似指数函数图像的周围，于是先选择y ＝c 12e c x . (2)对y ＝c 12e c x 两边取对数，得ln y ＝c 2x ＋ln c 1. 令z ＝ln y ，c 2＝b ，ln c 1＝a ，则z ＝bx ＋a .由b ＝∑6i ＝1x i －xz i －z∑6i ＝1x i －x2＝12.0917.5＝0.691， a ＝z －b x ≈1.112，得z ＝0.691x ＋1.112， 所以y ＝e0.691x ＋1.112.(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请列出每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． 附：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d.解 (1)300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据． (2)由频率分布直方图得 1－2×(0.025＋0.100)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得χ2＝－75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．。