§5.4 相对论性动量与能量

m0 m
Ek mc mo c
2
2
与经典力学形式差别很大，但当 v<<c时：
E k mc 2 mo c 2 mo c 2 {(1 v 2 / c 2 )1 / 2 1}
1 m v2 mo c {(1 v / 2c ) 1} 2 o
2 2 2
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
当A静止时，应与B完全一样，其静止质量亦为 m 0 代入得：
v
S
S
mA
m B 1 ( vA / c )2
o
o vA
mA m m B
A B
x
v B
x
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 9 /P 39 . .9.
P. 3 /P 39 . .3.
相对论质量 相对论：能否也认为物体的质量是个常数？ 惯性系等价原理要求：动量守恒律在任何 惯性参照系必须成立。
S
S
v
分裂前：p1 0 S系： 分裂后： p2 mv / 2 ( mv / 2 ) 0 p1 p2

o
o
v
m
A B
v
x
验测得其质量皆大于静止质量。
v 2.7 10 m / s
8
m 2.3mo m 3.9mo
v 2.9 10 m / s
8
m
m0 1 ( v m / c )2
显然，当 vm c 时， m ，说明随着 vm增加， 质点的惯性也增加，作用在物体上的外力永远不能 将质点加速至超过光速的速度。
P. 18P / 39 . .18.
三.质量与能量的关系
外力对物体所作的功为： dW F dr W F dr 设：质点沿 x 轴运动，外力所 作功等于质点动能的增加
dp Ek Fx dx dx vdp dt
F

dr
F

dx
Ek vd( mv ) ( mvdv v dm )
例 地面参照系测得两沿相反方向飞行的宇宙飞船速度 为0.6c，它们的静止质量皆为m0 ，则飞船上的宇航员 测得对方飞船的质量为多少？ 解: 建立参照系如图所示 S系中: vA= −0.6c S′中A的速度为：
ux v v A 1 uxv / c 2 0.6c 0.6c 1 ( 0.6c ) 0.6c / c 2 15 c o 17
实验验证
☻1901年，实验物理学家考夫曼从镭辐射测 射线在
电场和磁场中的偏转，发现电子质量随速度变化。
☻1908年，德国物理学家布雪勒用改进了的方法测量
电子的质量，证实了爱因斯坦理论。
v/ c
0.3173 0.3787 0.4281 0.5154 0.6870
e / m实验值(C kg -1 )
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 7 /P 39 . .7.
由洛沦兹速度变换得:
vv 2v vA 1 ( v )v / c 2 1 v 2 / c 2
2 c v 1 1 ( vA / c )2 vA


S
S
代入得：
v
mA
m B 1 ( vA / c )2
m Bv mA vA v
o
o vA
mA m m B
A B
x
v B
x
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 8 /P 39 . .8.
可知: m A mB 在S′中，B静止，称 m 为静止质量，常用 m 0 表示。 B

F ma p mv t v v0 adt
0
即：物体的质量m是常数，无论 F 多大，只要作用 时间足够长，其 v ，可以超过光速。与实验 事实不相符。
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
x
所以S系观测者认为动量 是守恒量，动量守恒定 律成立！
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 4 /P 39 . .4.
S′系： m v v mv 分裂后： p2 mv A / 2 0 2 1 v( v ) / c 2 1 v 2 / c 2
p p1 2

mv 分裂前： p1
S′系动量却不守恒！
分裂前：p1 0 S系： 分裂后： p2 mv / 2 ( mv / 2 ) 0
S
S
v

o
o
v
m
A B
v
x
ux v ux 2 所以S系观测者认为动量 1 uxv / c
是守恒量，动量守恒定 律成立！


S
S
v
质量守恒：m mA m B
p 若动量守恒，即: p1 2
o
o vA
mA m m B
A B
x
( mA m B )v m Av A
m Bv mA vA v
v B
x
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
S
S
v 0.6c
0.6c
A
o x
17 mo 8
o
B
x
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 16P / 39 . .16.
二.狭义相对论力学的基本方程
作用在质点上的作用力等于质点动量的变化率，即
dp movm d F 2 2 d t dt 1 vm /c
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 1 /P 39 . .1.
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 2 /P 39 . .2.
一.动量与质量
经典力学：质量为m的物体的加速度与外力关系为
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 20P / 39 . .20.
m
mo 1 v2 / c 2
2 2 m2 c 2 m2v 2 m0 c
上式两边微分： 2mc 2dm 2mv 2dm 2m2vdv 0
mvdv v 2dm c 2dm
E k c 2 dm
1.661 1011 1.630 1011
1.590 1011 1.511 1011 1.283 1011
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 11P / 39 . .11.
☻实验测得当质子在加速器中被加速接近光速时，实
外力对物体所作的功为： dW F dr W F dr
对于质点系，系统的总动量： P
i
F

dr
moi vi 1v / c
2 i 2
若质点系所受到的合外力为零，则P ＝常数，系统的 总动量守恒。
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
2 o o
v
v
x
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 19P / 39 . .19.
m
mo 1 v2 / c 2
2 2 m2 c 2 m2v 2 m0 c
上式两边微分： 2mc 2dm 2mv 2dm 2m2vdv 0
p(c )
6 5 4 3 2 1 0 0.0
物体的的运动速
度 vm 有关。
相对论动量
m
mo
2 1 vm / c2
经典力学动量
0.2
0.4
0.6
0.8
vm / c
1.0
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 13P / 39 . .13.
对于质点系，系统的总动量： P
i
moi vi 1v / c
2 i 2
若质点系所受到的合外力为零，则P ＝常数，系统的 总动量守恒。
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 17P / 39 . .17.
三.质量与能量的关系
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 12P / 39 . .12.
相对论动量:
p mvm
movm 1v / c
2 m 2
m0：物体静止质量 (静质量)，为一常数。 m ：物体运动时的质 量 (动质量)，与
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 21P / 39 . .21.
令：E mc 2 为物体以速度 v 运动时的总能量。
0.2 0.4 0.6
x
vm / c x
1.0
m
m0 1 ( v m / c )2
A B 质量与速度关系
v 0.8 B
vm c时，m m0
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 10P / 39 . .10.
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 6 /P 39 . .6.
由洛沦兹速度变换得:
vv 2v vA 1 ( v )v / c 2 1 v 2 / c 2
ux v ux 2 1 uxv / c
2 c v 1 1 ( vA / c )2 vA
S
S
v 0.6c
0.6c
A
o x
B
x
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 15P / 39 . .15.
则在 S′中测得飞船A的质量为：
m
mo 1v / c
2 m 2
代入上式得：
m mo 1 (15 17) 2
可知: m A mB 在S′中，B静止，称 m 为静止质量，常用 m 0 表示。 B
当A静止时，应与B完全一样，其静止质量亦为 m 0
m / m0
7 6 5 4 3
F1
S
S
mA
m0 1 ( vA / c )2
v
一般地写成：
o
o 1v 0.0 A
2
mA m m B
v

S
S
质量守恒：m mA m B
p 若动量守恒，即: p1 2
o
o vA
mA m m B
A B
x
( mA m B )v m Av A
m Bv mA vA v
v B
x
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
来自百度文库
p1 p2
x
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 5 /P 39 . .5.
相对论认为：物体的质量与物体的速度有关，即
m f ( vm )
mv 分裂前： p1 S′系： 分裂后： p 2 m Av A mBvB m Av A
A
v 0.6c
S
S
0.6c
o
B
x
x
Chapter 5. 相对论 18. 相对论
§5. 4 § 相对论性动量与能量 18. 2 洛沦兹变换
P. 14P / 39 . .14.
则在 S′中测得飞船A的质量为：
m
mo 1v / c
2 m 2
代入上式得： S′中A的速度为：
ux v v A 1 uxv / c 2 0.6c 0.6c 1 ( 0.6c ) 0.6c / c 2 15 c o 17
mvdv v 2dm c 2dm
E k c 2 dm
m0 m
Ek mc mo c F
2 2
dp Ek Fx dx dx vdp dt

dx
Ek vd( mv ) ( mvdv v dm )
2 o o
v
v
x
Chapter 5. 相对论 18. 相对论