高一数学竞赛试题
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
高一数学竞赛选拔试题
姓名_________班级__________
一：选 (log2x)]=log3[log (log3y)]=log5[log (log5z)]=0，那么( )
(A) z<x<y (B) x<y<z (C) y<z<x (D) z<y<x
2．由方程|x-1|+|y-1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是( )
（A）1（2）2（C） （D）4
3．设有三个函数，第一个是y=f(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是（）
（A）y=-f(x) (B) y=-f(-x) (C) y=-f-1(x) (D) y=-f-1(-x)
8．设函数f(x)满足关系式af(xn)+f(-xn)=bx,其中a2≠1,n为奇数,则f(x)__________,.
9．函数y=(Sinx+1)(Cosx+1)(- )的最小值为________,
10．y=( )lgcosx的单调递减区间是_________;
11．方程Sinx+Cosx=-k在区间[0,π]上有两个不相等实根,则实数k的取值范围是__________;
12．当时a∈_________,,关于x的方程|x|=ax+1无实数根
四:解答题(每小题20分,共60分)
13. .已知:f(x)=( )2(x≥1),f-1(x)为f(x)的反函数,又g(x)= + +2,求f-1(x)定义域,单调区间和g(x)的最小值;
14.已知方程:mx4-(m-3)x2+3m=0有一根小于-2,其余三根大于-1,求m的取值范围,
第十五届“希望杯”数学竞赛第一试试题及答案整理
A. log3 x -1
-x
B. 2 - 3
C. 3-2+x
D. 2 - log3 x
A
4பைடு நூலகம்
40
二、 组填空题（每题 分，共 分） 11 ． 已 知 函 数
f (x)
=
ì í
1,
x为有理数，
g(
x)
=
ì í
0,
x为有理数，
当
xÎR 时 ，
î0，x为无理数.
î1，x为无理数.
f (g (x)) = _______, g ( f( )x) = _ _ _ _ _ _ _ .
B. 减法 D. 除法
{ } 9．等比数列
an
中，“
a 1
<
a 3
”是“
a 7
<
a 9
”的（
）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
10．已知函数 f (x) 的图象与函数 g(x) = 3x 的图象关于点 (0,1) 对称，则 f (x) =（ ）
4. 等差数列
{an
}
、
{bn}
的前
n
项的和分别为
Sn
、
Tn
，且
Sn Tn
=
3n - 3 ，则 a6 2n + 3 b6
=（
）
A. 3 2
B. 1
6
C.
5
27
D.
23
5. 如图，EF 是梯形 ABCD 的中位线，则在向量 1 ( AD + BC) 、
2
A
1 ( AC + BD) 、 1 (2AD - AB - CD) 中，与 EF 相等的向量的个 E
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(1) \)的值。
A. -2B. -1C. 0D. 12. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。
A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 集合\( A = \{1, 2, 3\} \)，\( B = \{2, 3, 4\} \)，求\( A \cup B \)。
A. \( \{1, 2, 3, 4\} \)B. \( \{1, 2, 3\} \)C. \( \{2, 3, 4\} \)D. \( \{1, 4\} \)4. 已知等差数列的第1项为2，公差为3，求第5项的值。
A. 14B. 17C. 20D. 235. 已知正弦函数\( y = \sin x \)的周期为2π，求\( y = \sin 2x\)的周期。
A. πB. 2πC. 4πD. 8π6. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 157. 函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间(1, 2)上的单调性是？A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减8. 已知\( a^2 + b^2 = 13 \)，\( a + b = 5 \)，求ab的值。
A. 12B. 10C. 8D. 69. 已知\( \cos x = \frac{3}{5} \)，\( \sin x \)的值在区间[-1,1]内，求\( \sin x \)的值。
A. \( -\frac{4}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C. \( -\frac{3}{5} \)D. \( \frac{3}{5} \)10. 已知\( \log_2 8 = 3 \)，求\( \log_{16} 8 \)的值。
A. \( \frac{3}{4} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{3}{2} \)D. \( \frac{4}{3} \)二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数\( h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( h(2) \)的值。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。
A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。
A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根？A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个三角形的内角和为______度。
7. 若a，b，c是三角形的三边，且a^2 + b^2 = c^2，则此三角形是______三角形。
8. 一个正六边形的内角为______度。
9. 将一个圆分成4个扇形，每个扇形的圆心角为______度。
10. 若sinθ = 1/2，且θ在第一象限，则cosθ = ______。
三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1成立。
12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。
13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前n项和Sn。
14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。
15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。
四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。
答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明：设g(x) = e^x - (x + 1)，则g'(x) = e^x - 1。
当x < 0时，g'(x) < 0，当x > 0时，g'(x) > 0。
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛试题（1）(注意:共有二卷,时间100分钟, 满分150)第一卷（本卷100分）一、选择题（每小题5分，共50分）1．下列结论中正确的是（ ）A ．{}{}3,2,1,00∈B ．{}无理数∈2C ．{}φ==0|2x xD ．{}{}等腰直角三角形等腰三角形∈2．若集合M={x │x 2-3x+2≥0}，N={x|5<x ,R x ∈}，则M ∩N 是（ ）A ．}15|{≤<-x x B. }52|{<≤x xC. }5215|{<≤≤<-x x x 或D. φ3．函数2-=x y 的图象是( )4. 一个教室的面积为x m 2, 其窗子的面积为y m 2, (x>y), 如果把y/x 称为这个教室的亮度, 现在教室和窗子同时增加z m 2, 则其亮度将( ) A. 增加 B. 减小 C. 不变 D. 不确定5．奇函数)()0,(,)(),0()(x f x x x f x f 上的则在上的表达式为在-∞+=+∞的 表达式为f(x)=( )A ．x x +- B ．x x -- C ．x x -+-D ．x x --- 6．函数()22--+=x x x f 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数7．已知x x 322-≤0，则函数f (x ) = x 2 +x +1 ( )A. 有最小值43, 但无最大值 B. 有最小值43, 有最大值1C. 有最小值1，有最大值419D. 以上选项都不对8. 方程ax 2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是（ ）A. 0<a ≤1B. a<1C. 0<a ≤1或a<0D. a ≤19. 已知)2(log ax y a -=在[0，1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为（） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2） D ．),2[+∞ 10．若 02log 2log <<b a ，则( )A. 0＜a ＜b ＜1B. 0＜b ＜a ＜1C. a ＞b ＞1D. b ＞a ＞1二．填空题（每小题5分，共15分）11．数y=)1(log 21--x x 的定义域是____________________12．“若0)2)(1(=+-y x ，则21-==y x 或”的否命题是_________________________________________________13．函数y=1313+-x x 的反函数是______________________________三．解答题(共35分. 需要写出详细求解过程)14．（10分）（1）求函数4236)(22-++-=x x x x f 的定义域；（2）已知函数43)(-=x x f 的值域为[-1，5]，求函数)(x f 的定义域。
高一全国数学竞赛试题
高一全国数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共10分）1. 下列哪个数不是有理数？- A. π- B. √2- C. 0.33333...（无限循环小数）- D. -1/32. 如果一个函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在这个区间上f(x)的值域为[c, d]，那么下列哪个选项是正确的？- A. f(a) = c- B. f(b) = d- C. f(a) ≤ c- D. f(x)在[a, b]上存在最大值和最小值二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值。
2. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是____。
3. 一个圆的半径为5，求该圆的面积。
三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。
2. 解不等式：|x + 2| + |x - 3| ≥ 5。
四、综合题（每题25分，共50分）1. 某工厂生产一种产品，每件产品的成本为c元，售价为p元。
工厂每月固定成本为F元，每月生产x件产品。
求工厂的月利润函数，并讨论其增减性。
2. 在平面直角坐标系中，已知点A(-1, 2)和点B(4, -1)，求直线AB的方程，并求出该直线与x轴和y轴的交点坐标。
五、附加题（10分）1. 一个数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_1 = 1，且对于所有n > 1，有a_n = 1/2(a_{n-1} + S_{n-1})。
求证：数列{a_n}是等差数列。
结束语数学竞赛不仅是一场智力的较量，更是一次思维的锻炼。
希望同学们能够通过练习这些题目，提高自己的数学素养和解题能力。
预祝大家在数学竞赛中取得优异的成绩！。
数学竞赛试题及答案高中生
数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。
四川宜宾2024年高中数学联赛(初赛)高一组试题+答案
2024宜宾市高中数学联赛（初赛）试题（高一组）（考试时间120分钟满分120分）题号一二三四合计得分复核人一、填空题（本小题满分64分，每小题8分）1.已知函数()()0,6sin >⎪⎭⎫⎝⎛-=ωπωx x f ，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤3πf x f 对任意的实数x 都成立，则ω的最小取值为2.已知12,0,0=+>>b a b a ，则ba ab+2的最大值为3.已知函数()()a x g x x f x +=+=+22,1，若对任意的[]4,31∈x ，存在[]1,32-∈x ，使得()()21x g x f ≥成立，则实数a 的取值范围是4.定义{}c b a ,,max 为c b a ,,中的最大值，设()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=x x x x h 6,38,max 2，则()x h 的最小值为5.若区间[]b a ,满足：①函数()x f 在区间[]b a ,上有定义且单调；②函数在区间[]b a ,上的值域也为[]b a ,，则称区间[]b a ,为函数的共鸣区间.函数()31x x f =的一个共鸣区间为；若函数()k x x f -+=12存在共鸣区间，则实数k 的取值范围是6.已知ABC ∆的三边为c b a ,,，满足βα=++=++222222222,a c c b b a c b a ，则ABC ∆的面积为7.若函数()b ax x x f ++=2与坐标轴有三个交点C B A 、、，且ABC ∆的外心在x y =上，则ABC∆；8.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”()Benz -ercedes M 的o log 很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知O 是ABC ∆内一点，BOC ∆、AOC ∆、AOB ∆的面积分别为C B A S S S 、、，则0=⋅+⋅+⋅OC S OB S OA S C B A .若O 是ABC ∆锐角内的一点，C B A 、、是ABC ∆的三个内角，且O 点满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则下列说法正确的是（填序号）①O 是ABC ∆的外心；②π=+∠A BOC ；得分评卷人二、（本大题满分16分）9.已知cba、、均为正实数，且1222=++cba.（1）求证：1≤++cabcab；（2）求证：1242424≥++bcabca.得分评卷人三、（本大题满分20分）10.下图是函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<<>>+=20,0,0,sin πϕωϕωA x A x f 的部分图像，N M 、是()x f 与x 轴的两个不同交点，D 是图像的最高点且横坐标为4π，点()10，F 是线段DM 的中点.（1）求函数()x f 的解析式及()x f 在()ππ2,内的单调增区间；（2）当⎦⎤⎢⎣⎡-∈12512ππ，x 时，函数()()12+-=x af x f y 的最小值为21，求实数a 的值.得分评卷人四、（本大题满分20分）11.已知集合()()(){}成立都有，对定义域内任意的存在正实数x f a x f x a x f M a >+=；（1）若()22x x f x-=，判断()x f 是否为1M 中的元素，并说明理由；（2）若()3413+-=x x x g ，且()a M x g ∈，求实数a 的取值范围；（3）若()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x k x x h 3log，其中[)R k x ∈+∞∈，,1，且()2M x h ∈，求()x h 的最小值.得分评卷人年宜宾市高中数学竞赛试题9115.［0，1］答案不唯一；［1，2）二、9.证明：（1）因为a ，b ，c 均为正实数，且a 2+b 2+c 2=1，所以ab +bc +ac=2ab +2bc +2ac2≤()a 2+b 2+()b 2+c 2+()a 2+c 22=a 2+b 2+c 2=1，当且仅当a =b =c 故ab +bc +ac ≤1.（2）因为a ，b ，c 均为正实数，且a 2+b 2+c 2=1，所以a 4c 2+b 4a 2+c 4b2+a 2+b 2+c 2=æèçöø÷a 4c 2+c 2+æèçöø÷b 4a 2+a 2+æèçöø÷c 4b 2+b 2≥=2()a 2+b 2+c 2=2，当且仅当a =b =c 故a 4c 2+b 4a 2+c 4b2≥1.三、10.解：（1）因为点F （0，1）是线段DM 的中点，所以点D æèöøπ4,2，M æèöø-π4,0.因为函数f （x ）=A sin （ωx +φ），所以A =2，周期T =4×éëêùûúπ4-æèöø-π4=2π=2πω，所以ω=1.因为f æèöøπ4=2sin æèöøπ4+φ=2，所以π4+φ=π2+2k π，k ∈Z ，解得φ=π4+2k π，k ∈Z .又0<φ<π2，所以φ=π4，所以f （x ）=2sin æèöøx +π4.令2k π-π2≤x +π4≤2k π+π2，k ∈Z ，解得2k π-3π4≤x ≤2k π+π4，k ∈Z .当k =1时，5π4≤x ≤9π4，所以函数f （x ）在（π，2π）内的单调递增区间为éëöø5π,2π.所以x +π4∈éëùûπ6，2π3，所以f （x ）=2sin æèöøx +π4∈［1，2］.令t =f （x ），则t ∈［1，2］，所以y =t 2-at +1，t ∈［1，2］.又y =t 2-at +1图象的对称轴为t =a 2，当a 2≤1，即a ≤2时，y min =1-a +1=12，解得a =32.当1<a 2<2，即2<a <4时，y min =-a 24+1=12，解得a =±2（舍去）.当a 2≥2，即a ≥4时，y min =4-2a +1=12，解得a =94（舍去）.综上，a =32.四、11.解：（1）因为f （1）=f （0）=1，所以f （x ）∉M 1.（2）由题意可得g ()x +a -g ()x =()x +a 3-x 3-14()x +a +14x=3ax 2+3a 2x +a 3-14a .由g （x ）∈M a ，得3ax 2+3a 2x +a 3-14a >0对任意的x ∈R恒成立，所以9a 4-12a æèöøa 3-14a <0，解得a >1，故实数a 的取值范围是（1，+∞）.（3）因为h ()x +2-h ()x =log 3éëùû()x +2+k x +2-log 3æèöøx +k x >0，即log 3éëùû()x +2+k x +2>log 3æèöøx +k x ，所以()x +2+k x +2>x +k x >0对任意x ∈［1，+∞）都成立，故-x 2<k <x （x +2）对任意x ∈［1，+∞）都成立.令s （x ）=-x 2（x ≥1），t （x ）=x （x +2）（x ≥1），则s （x ）max =s （1）=-1，t （x ）min =t （1）=3，所以-1<k <3.当-1<k ≤0时，易判断h （x ）在［1，+∞）上单调递增，所以h ()x min =h ()1=log 3()1+k .年宜宾市高中数学竞赛试题（高一组）参考答案令t =x +k x，则t 1-t 2=x 1+k x 1-æèçöø÷x 2+k x 2=()x 1-x 2()x 1x 2-k x 1x 2.由0<k ≤1≤x 1<x 2，得x 1-x 2<0，x 1x 2-k >0，x 1x 2>0，所以t 1-t 2<0，即0<t 1<t 2，所以log 3t 1<log 3t 2，即h （x 1）<h （x 2），所以h （x ）在［1，+∞）上单调递增，所以h ()x min =h ()1=log 3()1+k .当1<k <3时，由1≤x 1<x 2≤k ，得x 1-x 2<0，x 1x 2-k <0，x 1x 2>0，所以t 1-t 2>0，即t 1>t 2>0，所以log 3t 1>log 3t 2，即h （x 1）>h （x 2），所以h （x ）在[]1,k 上单调递减.同理可证h （x ）在[)k ,+∞上单调递增，所以h ()x min =h ()k =log 3()2k .综上，h ()x min =ìíîlog 3()1+k ，-1<k ≤1，log 3()2k ，1<k <3.。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。
9. 一个正六边形的内角和为 _______。
10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。
11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。
三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。
13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题一．选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.）1、设集合Ａ＝{}43.21,,,a a a a ，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成集合{}8,5,3,1-=B ，则A ＝（ ）A ．{}6,2,1,3-B ．{}6,2,0,3-C ．{}6,2,1,1-D ．{}6,1,0,3- 2、等差数列{}n a 中，已知10573a a =，且01<a ，则前n 项和S n 中最小的是（ ） A ．S 7或S 8 B ．S 12 C ．S 13 D ．S 15 3、已知函数x a x f 3sin)(π=，a等于抛一骰子得到的点数，则)(x f y =在[0，4]上至少有5个零点的概率为（ ） A ．31 B ．21 C ．32 D ．654、若方程 04)1(2=++-x m x 在（0，3]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．（3，310） B ．[3，310） C ．[3，310] D ．（3，310]5、已知在半径为2的圆Ｏ上有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点，若ＡＢ＝ＣＤ＝2，ＡＢ、ＣＤ中点分别为O 1,Ｏ2，则△Ｏ2AB 的面积最大值为（ ） A ．32 B ．22 C ．3 D ．336、函数)123(log )(2-++-=a x ax x f a 对于任意的x ∈（0，1]恒有意义，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞0且a ≠1 B ．a ≥21且a ≠1 C ．a ＞21且a ≠1 D ．a ＞17、已知0＜α2＜090＜β＜0180，a ＝βαcos )(sin ，βαsin )(cos =b ，βαcos )(cos =c ，则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b8、已知数列}{n a 满足1a ＝1，1321113121--+⋯⋯+++=n n a n a a a a ,2(≥n )*N n ∈，若100=k a ，则k 为（ ）A ．100B ．300C ．200D ．4009、设Ｐ为△AB Ｃ内一点，且ACAB AP 5152+=,则△ＰB Ｃ与△AB Ｃ的面积之比为（ ） A ．51 B ．53C ．54 D ．5210、若任意满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03050y y x y x 的实数x ，y ，不等式222)()(y x y x a +≤+恒成立，则实数a 的最大值为（ ） Ａ.1322 B.1325 C. 2 D.2513二、填空题（每小题5分，共25分）11、如图，四边形ＡＢＣＤ中，Ａ＝60°, AD ⊥CD ，ＤＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝32，ＢＤ＝4，则BC 的长为 。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
必修一数学竞赛试题及答案
必修一数学竞赛试题及答案奥赛班数学能力评估一试题卷MATHEMATICS]本卷满分：150分考试时间：120分钟）一、单项选择题（本大题分10小题，每题5分，共50分）1.已知函数$f(x)(x\in R)$是以4为周期的奇函数。
当$x\in(,2)$时，$f(x)=\ln(x^2-x+b)$．若函数$f(x)$在区间$[-2,2]$上有5个零点，则实数$b$的取值范围是(。
)A．$-1<b\leq1$B．$b\leq-1$或$b>1$C．$-1<b<1$或$b=1$D．$b< -1$或$b\geq1$2.设$M=\alpha\alpha=x^2-y^2$，$x,y\in Z$，则对任意的整数$n$，形如$4n,4n+1,4n+2,4n+3$的数中。
不是$M$中的元素的数为(。
)A．$4n$B．$4n+1$XXXD．$4n+3$3.若集合$A=\{(m,n)(m+1)+(m+2)+\cdots+(m+n)=\}$，$m\in Z$，$n\in N^*$，则集合$A$中的元素个数为(。
) A．$4030$B．$4032$C．$$D．$$4.不定方程$(n-1)!=nk-1$正整数解的个数为(。
)A．$3$B．$4$C．$5$D．$6$5.设$a,b,c$为实数，$f(x)=(x+a)\frac{x^2+bx+c}{x^2+1}$，$g(x)=(ax+1)\frac{ax^2+bx+1}{x^2+1}$．记集合S=\{x|f(x)=0\}$，$T=\{x|g(x)=0\}$，$S,T$分别为集合$S,T$的元素个数。
则下列结论不可能的是(。
)A．$S=1$且$T=0$B．$S=1$且$T=1$C．$S=2$且$T=2$D．$S=2$且$T=3$6.设集合$M=\{(x,y)-xy=45,x,y\in N\}$，则集合$M$中的元素个数为(。
)A．$1$B．$2$C．$3$D．$4$7.已知函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数。
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛试题一、单选题1．若集合A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{x |x 2＋2x <0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1}B ．{－1，0}C ．{－2，－1，0}D ．{－1，0，1} 2．对于任意0a >且1a ≠，函数()log (1)3a f x x =-+的图象必经过点（ ） A ．（4，2） B ．（2，4） C ．（2，3） D ．（3，2） 3．在ABC 中､角A ，B 均为锐角，cos sin A B >，则C ∠是（ ）A ．直角B ．锐角C ．钝角D ．不确定4．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 5．下列说法正确的是（ ）A ．若0a b >>，则b b m a a m+<+ B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b >>，则11a b b a +>+ D ．若,R a b ∈，则2a b +6．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知0.22a -=，ln3b =，0.2log 3c =，则（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 8．若关于x 的方程(||)1x x a +=有三个不同的实数解，则实数a 的可能取值（ ） A ．－5B ．－2C ．2D ．3二、多选题9．下列命题正确的是( )A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan α≥0，则k π≤α<π2 ＋k π(k ∈Z )C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α 10．已知函数)123f x =，则（ ） A ．()17f = B ．()225f x x x =+C ．()f x 的最小值为258- D ．()f x 的图象与x 轴只有1个交点 11．命题“x R ∀∈，则2x <”的一个必要不充分条件是（ ）A ．1x <B ．3x <C ．3x >D ．5x ≤12．设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则下列说法正确的是（ ）A ．41a b +的最小值为9B ．222a b +的最小值为23CD三、填空题 13.函数()f x =______.14． 3log 5lg5lg321-+=____________ 15．223(8)--⨯ __． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．四、解答题17．已知集合{}1A x x =≥，集合{}33,B x a x a a R =-≤≤+∈.（1）当4a =时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.18．已知α为第三象限角，且3sin cos tan()22()sin tan(2)2f ππαααπαπαπα⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）化简()f α；（2）若()f α=，求cos()πα+的值.19．已知函数2()21f x x ax =+-，[1,1]x ∈-.（1）若12a =，求函数()f x 的最值； （2）若a ∈R ，记函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 关于a 的函数解析式.20．已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件（025x <≤）并全部销售完，每千件的销售收入为()R x （单位：万元），且21108(010),3()17557(1025).x x R x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-++<≤⎪⎩（1）写出年利润()f x （单位：万元）关于年产量x （单位：千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）21．已知函数()y f x =的图像与()log (0a g x x a =>，且1)a ≠的图像关于x 轴对称，且()g x 的图像过点(9,2).(1)求函数()f x 的解析式；(2)若(31)(5)f x f x ->-+成立，求实数x 的取值范围.22．已知函数f(x)＝log a(2＋3x)－log a(2－3x)(a>0，a≠1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)当0<a<1时，求关于x的不等式f(x)≥0的解集．。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。
答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。
答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。
如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。
答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。
证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。
首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。
设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。
可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。
对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。
同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3，直线l2过点(1,5)且与l1垂直，则l2的方程是：A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案：C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2}，则A的值是： A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案：D二、填空题1.若a、b满足a+b=5，且ab=6，则a和b的值分别是____。
答案：2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V，且V>0，则该几何体的体积V的值为____。
答案：1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = an + 2n，求数列的通项公式。
解答：首先给出数列的前几项： a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到，第n项的值为n^2 - 1。
所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。
2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。
解答：对于任意x，有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。
令f’(x) = 0，可以解得x = 1。
再求f’‘(x) = 6x - 6，当x = 1时，f’’(x) = 0。
所以x = 1是f(x)的极小值点。
代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。
所以f(x)的最小值是-2，取得最小值时的x值为1。
四、简答题1.数列的极限是什么？如何判断一个数列的极限存在？答：数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项的值趋向的一个确定的数。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. √3B. 0.33333（无限循环）C. πD. 1/32. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 f(-1) 的值。
A. 4B. 6C. 8D. 103. 一个圆的半径为 5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 若 a + b + c = 6，且 a^2 + b^2 + c^2 = 14，求 ab + bc + ca 的值。
A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列的首项为 2，公差为 3，求第 10 项的值是__________。
6. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，求前 5 项的和是__________。
7. 若函数 g(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 的导数是 g'(x)，则 g'(1) 的值是 __________。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是 3、4、5，求其对角线的长度（保留根号）是 __________。
三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数 n，都有 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。
10. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。
11. 已知函数 h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。
12. 已知一个三角形的三个顶点分别为 A(1, 2)，B(-1, -1)，C(3, 4)，求其面积。
答案一、选择题1. 正确答案：C（π 是无理数）2. 正确答案：A（f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 4）3. 正确答案：B（面积= πr^2 = 25π）4. 正确答案：B（根据柯西-施瓦茨不等式）二、填空题5. 第 10 项的值是 2 + 9*(10-1) = 296. 前 5 项的和是 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 1267. g'(x) = 3x^2 - 4x + 3，g'(1) = 3 - 4 + 3 = 28. 对角线的长度是√(3^2 + 4^2 + 5^2) = √50三、解答题9. 证明：根据调和级数的性质，我们知道 1/n^2 随着 n 的增大而减小，且 1/n^2 < 1/(n-1)^2，因此可以构造不等式 1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) = 1 + 1 - 1/n < 2。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若一个等差数列的首项为3，公差为5，那么它的第n项可以表示为：A. 3 + 5(n-1)B. 3 + 5nC. 5 + 3(n-1)D. 5 + 3n2. 下列哪个分数可以化简为1/2？A. 3/6B. 5/10C. 7/14D. 9/183. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求f(x)的最小值。
A. -36B. -9C. 0D. 94. 若a, b, c是等比数列，且a + b + c = 0，那么b^2的值是：A. a^2 + c^2B. -a^2 - c^2C. acD. -ac5. 一个圆的半径是5cm，求这个圆的面积（圆周率取3.14）。
A. 78.5平方厘米B. 157平方厘米C. 200平方厘米D. 314平方厘米二、填空题（每题5分，共20分）6. 一个等比数列的前三项分别是2, 6, 18，那么它的第四项是_______。
7. 函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|的最小值是_______。
8. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，那么它的斜边长（根据勾股定理）是_______。
9. 一个圆的周长是12π，那么这个圆的直径是_______。
三、解答题（每题10分，共60分）10. 已知等差数列的前n项和为S_n = n^2 + 2n，求这个等差数列的前三项。
11. 求解方程：\(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = 3\)。
12. 一个圆与直线y = 2x + 3相交于点P，圆心坐标为(1, 0)，且半径为2。
求点P的坐标。
13. 证明：若a, b, c, d是正整数，且满足a^2 + b^2 = c^2 + d^2，则a + b = c + d。
14. 一个等差数列的前10项和为110，且第10项是第2项的3倍，求这个等差数列的公差和首项。
高一数学竞赛答案一、选择题答案1. A2. D3. D4. B5. B二、填空题答案6. 547. 28. 59. 6三、解答题答案10. 首项为2，公差为4，前三项为2，6，10。
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高一数学竞赛试题
命题人：史志全
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．下列结论中正确的是（ ）
A ．{}{}3,2,1,00∈
B ．{}
无理数∈2
C ．{}
φ==0|2x x D ．{}{}
等腰直角三角形等腰三角形∈
2．函数2-=x y 的图象是
( )
3. 一个教室的面积为x m 2
, 其窗子的面积为y m 2
, (x>y), 如果把y/x 称为这个教室的亮度, 现在
教室和窗子同时增加z m 2
, 则其亮度将( )
A. 增加
B. 减小
C. 不变
D. 不确定 4．奇函数)()0,(,)(),0()(x f x x x f x f 上的则在上的表达式为在-∞+=+∞的表达式为
f(x)=( )
A ．x x +-
B ．x x --
C ．x x -+-
D ．x x ---
5．函数()22--+=x x x f 是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
6. 已知)2(log ax y a -=在[0，1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2）
C ．（0，2）
D ．),2[+∞
7．函数1log (54)x
x y +=-的定义域是（ ）
A.(-1，0)
B.（0，4log 5）
C.（-1，4log 5）
D. (-1，0) ∪（0，4log 5）
8．已知d c b a ,,,为正实数，且5,4,3,25432====d c b a ，则d c b a ,,,中最大的数是 （ ）
A ．a B.b C.c D.d 9．已知⎩⎨
⎧==+2
4xy y x 则x
y
y x
+
的值是 （ ） A ．22 B.8 C
6 D.22±
10.已知lg a e = ，()2
lg b e =
，c =，则（ ）
A.a <b <c
B.b<c<a
C.b<a<c
D.a <c<b
11.设1195()5,f x ax bx cx =+++ 其中a,b,c 均为常数，且(7)7,f -=- 则(7)f =（ ） A.13 B.15 C.17 D.19
12.已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：
给出下列四种说法：
（1）方程个根有且仅有60)]([=x g f （2）方程个根有且仅有30)]([=x f g （3）方程个根有且仅有50)]([=x f f （4）方程个根有且仅有40)]([=x g g 则说法错误的个数为（ ）
A .1
B .2
C .3
D .4 二．填空题（每小题5分，共20分）
13．{}{}
0,1A x x =⊆,用列举法表示集合A=__________ _ 14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线1
2
x =
对称，则()()()()()12345f f f f f ++++=__________
15．若直线y =2a 与函数y =|a x －1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_________
)(x f y = )(x g y =
16．若()2
(2)
lg
x
x a f x --= 的值域为R ，则a 的取值范围为
三．解答题(共70分，需要写出详细求解过程)
17.（10分）已知集合{}{}
22
3,1,,5,21,1M x x N x x x =-+=--+ ，M ∩N={}3- 时，求x 的值
18 ．（12分）设集合},01)2(|{2R x x p x x A ∈=+++=，若A ∩φ=+R ，求实数p 的取范围
19.（12分）函数()f x 的图像由两条射线及抛物线的一部分组成，根据图像求出()f x 的解析式
20.（12分）设函数()ln ,(),f x x g x x a ==+ 其中a 是实数。
（1）对任意的[]1,,()()x e f x g x ∈≤ 总成立，求a 的取值范围 （2）存在[]01,,x e ∈ 使得00()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围
21.（12分）设α，β是22lg lg 30x x p -+= 的两个实根。
（1）求p 的取值范围； （2）把log log q α
ββα=+ 表示成p 的函数；
（3）求q 的范围.
22.（12分）已知2()1x
f x x
=
+ ，求1210012100
(1)(2)(100)()()()()()()222100100100
f f f f f f f f f ++++++++++++
的值。