高一数学竞赛试题及答案详解

合集下载

数学竞赛试题高一及答案

数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。

答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。

答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。

答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。

证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。

因此，该三角形为直角三角形。

2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。

解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。

高一数学竞赛试题参考答案

高一数学竞赛试题参考答案一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

）1.[答案] B[解析] 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒a ≤1.故选B.2.[答案] C[解析] 由已知ax 2＋ax －3≠0恒成立，当a ＝0时，－3≠0成立；当a ≠0时，Δ<0，∴a 2＋12a <0， ∴－12<a <0，综上所述，a ∈(－12,0]．3．C 【解析】依题意，函数y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，则a >1且a 2－2<0，解得a∈(1，2)，选择C.4．B 【解析】 ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，故f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝124 5．C 【解析】由f (x －1)＝f (x ＋1)知f (x )是周期为2的偶函数，因为x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，故当x ∈[－1,0]，－x ∈[0,1]时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＝x 2，由周期为2可以画出图象，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈⎣⎡⎦⎤0，103上有三个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103内无解． 6.[答案] D[解析] 由题意，DE ⊥平面AGA ′， ∴A ，B ，C 正确，故选D. 7.[答案] B[解析] 设f (x )＝2x －3－x ，因为2x ，－3－x 均为R 上的增函数，所以f (x )＝2x －3－x 是R 上的增函数．又由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0.8.[答案] A[解析] m ＝x －1－x ，令t ＝1－x ≥0，则x ＝1－t 2，∴m ＝1－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋54≤1，故选A.9.[答案] B[解析] 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 10.[答案] B[解析] 由已知得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2(－1≤x ≤32)，x －x 2(x <－1或x >32)，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2，应选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

高一上学期数学竞赛试题(有答案)

高一上学期竞赛试题（数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页．试卷满分150分．考试时间100分钟．第I 卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}12345U =，，，，,集合{}1,3A =,{}3,4,5B =,则集合()U C A B =（）A ．{3}B ．{4,5}C ．{3,4,5}D ．{1245}，，，2.若直线过点(1,2),(4,2+,则此直线的倾斜角是（） A.030 B.045 C ．060 D ．090 3.下列各组函数表示同一函数的是（）A ．293x y x -=-与3y x =+ B．1y =-与1y x =-C ．00()y x x =≠与10()y x =≠ D ．21,y x x Z =+∈与21,y x x Z =-∈ 4.下列结论正确的是（） A ．2030321..<< B ．2030312..<<C ．2031032..<< D ． 0322103..<<5．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数,则下列关系式中成立的是（）A.3122-()()f f f -<<（）B. 3122-()()f f f <-<（） C. 3212-()()f f f <<-（） D. 3212-()()f f f <-<（）6．(0)a >化简的结果是（）A. 12a B. 14a C. 18a D. 38a 7．如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为 2的正三角形、俯视图轮廓为正方形,则其体积是（）.A．3D . 838．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是（）.A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④9.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于（） A π B 2π C 4π D 8π俯视图10．设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A. 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点 C ．在区间1(,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点 B. 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点 D ．在区间1(,1)e内无零点,在区间(1,)e 内有零点11.已知函数2()lg()f x ax x a =-+定义域为R ,则实数a 的取值范围是（）A ．11(,)22-B ．11(,)(,)22-∞-+∞C ．1(,)2+∞D ．11(,][,)22-∞-+∞12.已知三棱锥ABC S -中,底面ABC 为边长等于2的等边三角形,SA 垂直于底面ABC ,3=SA ,那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（） A.43 B.45 C.47 D. 43第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上． 13.设)(x f 在R 上是偶函数,若当0>x 时,有)1(log )(2+=x x f ,则=-)7(f ． 14.设1(1)()3(1)x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩,则5(())2-f f 的值为 .15．4219432log 2log 3log -⋅= .16．已知函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4)-∞上是减函数,则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分10分）已知集合{}{}{}37,210,A x x B x x C x x a =≤≤=<<=<．（1）求B A ；（2）求B A C R )(；（3）若A C ⊆,求a 的取值范围． (18)（本小题满分12分）设函数2211)(x x x f -+=．（1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）求证：)()1(x f xf -=．(19)（本小题满分12分）P ABCD-如图,在底面为平行四边形的四棱锥PA AB =,点E 是PD中,AB AC ⊥,PA ⊥平面ABCD ,且的中点.（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；（Ⅲ）求二面角E AC B --的大小. (20)（本小题满分12分）（本小题12分）已知函数2421x x y --=的SCBA定义域为A,函数)1(log 2+-=a x y 的定义域为B.（1）若B A ⊆,求实数a 的取值范围；（2）若φ=B A ,求实数a 的取值范围．(21)（本小题满分12分）如图,在三棱锥P ABC -中,,E F 分别为,AC BC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）若平面PAC ⊥平面ABC ,且PA PC =,90ABC ∠=︒,求证：平面PEF ⊥平面PBC ．(22)（本小题满分12分）已知函数62252)(12-⋅-=+x xx f ,其中[0,3]x ∈, （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若实数a 满足：()0f x a -≥恒成立,求a 的取值范围．河南省新乡市新乡县第一中学高一上学期竞赛试题数学答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分． 13．3； 14．132； 15．32； 16．(3,⎤-∞-⎦ 三、解答题：本大题共6小题,共70分．17．（本小题满分10分）（1）B A {}210x x =<< ……………………………３分（2）{}37或R C A x x x =<> ……………………４分B AC R )({}23710或x x x =<<<< ……………………………６分（3）7a ≥ …………………………………1０分 18．（本小题满分12分） (1)由210-≠x可得1≠±x , ……………………3分所以函数的定义域为：()()()1111,,,-∞--+∞；……………………4分（2）因为22221111()()()()+-+-===---x x f x f x x x,……………………7分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DACBDABDBDCDPAC EBF所以函数()f x 为偶函数；……………………8分（3）因为22222211111111111()()()()+++====----x x x f f x x x x x,……………………11分所以 )()1(x f xf -= ． .……………………12分 19. （本小题满分12分）（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD,∴ AB 是PB 在平面ABCD 上的射影, 又AB ⊥AC,AC ⊂平面ABCD, ∴AC ⊥PB.（Ⅱ）连接BD,与AC 相交与O,连接EO, ABCD 是平行四边形 ∴O 是BD 的中点又E 是PD 的中点, ∴EO PB. 又PB ⊄平面AEC,EO ⊂平面AEC, ∴PB //平面AEC,（Ⅲ）如图,取AD 的中点F,连EF,FO,则 PA ⊥平面EF 是△PAD 的中位线, ∴EF //PA 又ABCD , ∴EF ⊥平面ABCD同理FO 是△ADC 的中位线,∴FO //AB ∴FO ⊥AC 由三垂线定理可知∴∠EOF 是二面角E －AC －D 的平面角. 又FO ＝12AB ＝12PA ＝EF 。

数学竞赛高一试题及答案

数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。

4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。

三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。

6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。

四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。

五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。

如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。

10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。

答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。

高一数学竞赛试题

高一数学竞赛试题（1）(注意:共有二卷,时间100分钟, 满分150)第一卷（本卷100分）一、选择题（每小题5分，共50分）1．下列结论中正确的是（）A ．{}{}3,2,1,00∈B ．{}无理数∈2C ．{}φ==0|2x xD ．{}{}等腰直角三角形等腰三角形∈2．若集合M={x │x 2-3x+2≥0}，N={x|5<x ,R x ∈}，则M ∩N 是（）A ．}15|{≤<-x x B. }52|{<≤x xC. }5215|{<≤≤<-x x x 或D. φ3．函数2-=x y 的图象是( )4. 一个教室的面积为x m 2, 其窗子的面积为y m 2, (x>y), 如果把y/x 称为这个教室的亮度, 现在教室和窗子同时增加z m 2, 则其亮度将( ) A. 增加 B. 减小 C. 不变 D. 不确定5．奇函数)()0,(,)(),0()(x f x x x f x f 上的则在上的表达式为在-∞+=+∞的表达式为f(x)=( )A ．x x +- B ．x x -- C ．x x -+-D ．x x --- 6．函数()22--+=x x x f 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数7．已知x x 322-≤0，则函数f (x ) = x 2 +x +1 ( )A. 有最小值43, 但无最大值 B. 有最小值43, 有最大值1C. 有最小值1，有最大值419D. 以上选项都不对8. 方程ax 2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是（）A. 0<a ≤1B. a<1C. 0<a ≤1或a<0D. a ≤19. 已知)2(log ax y a -=在[0，1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为（） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2） D ．),2[+∞ 10．若 02log 2log <<b a ，则( )A. 0＜a ＜b ＜1B. 0＜b ＜a ＜1C. a ＞b ＞1D. b ＞a ＞1二．填空题（每小题5分，共15分）11．数y=)1(log 21--x x 的定义域是____________________12．“若0)2)(1(=+-y x ，则21-==y x 或”的否命题是_________________________________________________13．函数y=1313+-x x 的反函数是______________________________三．解答题(共35分. 需要写出详细求解过程)14．（10分）（1）求函数4236)(22-++-=x x x x f 的定义域；（2）已知函数43)(-=x x f 的值域为[-1，5]，求函数)(x f 的定义域。

四川宜宾2024年高中数学联赛(初赛)高一组试题+答案

2024宜宾市高中数学联赛（初赛）试题（高一组）（考试时间120分钟满分120分）题号一二三四合计得分复核人一、填空题（本小题满分64分，每小题8分）1.已知函数()()0,6sin >⎪⎭⎫⎝⎛-=ωπωx x f ，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤3πf x f 对任意的实数x 都成立，则ω的最小取值为2.已知12,0,0=+>>b a b a ，则ba ab+2的最大值为3.已知函数()()a x g x x f x +=+=+22,1，若对任意的[]4,31∈x ，存在[]1,32-∈x ，使得()()21x g x f ≥成立，则实数a 的取值范围是4.定义{}c b a ,,max 为c b a ,,中的最大值，设()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=x x x x h 6,38,max 2，则()x h 的最小值为5.若区间[]b a ,满足：①函数()x f 在区间[]b a ,上有定义且单调；②函数在区间[]b a ,上的值域也为[]b a ,，则称区间[]b a ,为函数的共鸣区间.函数()31x x f =的一个共鸣区间为；若函数()k x x f -+=12存在共鸣区间，则实数k 的取值范围是6.已知ABC ∆的三边为c b a ,,，满足βα=++=++222222222,a c c b b a c b a ，则ABC ∆的面积为7.若函数()b ax x x f ++=2与坐标轴有三个交点C B A 、、，且ABC ∆的外心在x y =上，则ABC∆；8.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”()Benz -ercedes M 的o log 很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知O 是ABC ∆内一点，BOC ∆、AOC ∆、AOB ∆的面积分别为C B A S S S 、、，则0=⋅+⋅+⋅OC S OB S OA S C B A .若O 是ABC ∆锐角内的一点，C B A 、、是ABC ∆的三个内角，且O 点满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则下列说法正确的是（填序号）①O 是ABC ∆的外心；②π=+∠A BOC ；得分评卷人二、（本大题满分16分）9.已知cba、、均为正实数，且1222=++cba.（1）求证：1≤++cabcab；（2）求证：1242424≥++bcabca.得分评卷人三、（本大题满分20分）10.下图是函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<<>>+=20,0,0,sin πϕωϕωA x A x f 的部分图像，N M 、是()x f 与x 轴的两个不同交点，D 是图像的最高点且横坐标为4π，点()10，F 是线段DM 的中点.（1）求函数()x f 的解析式及()x f 在()ππ2,内的单调增区间；（2）当⎦⎤⎢⎣⎡-∈12512ππ，x 时，函数()()12+-=x af x f y 的最小值为21，求实数a 的值.得分评卷人四、（本大题满分20分）11.已知集合()()(){}成立都有，对定义域内任意的存在正实数x f a x f x a x f M a >+=；（1）若()22x x f x-=，判断()x f 是否为1M 中的元素，并说明理由；（2）若()3413+-=x x x g ，且()a M x g ∈，求实数a 的取值范围；（3）若()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x k x x h 3log，其中[)R k x ∈+∞∈，,1，且()2M x h ∈，求()x h 的最小值.得分评卷人年宜宾市高中数学竞赛试题9115.［0，1］答案不唯一；［1，2）二、9.证明：（1）因为a ，b ，c 均为正实数，且a 2+b 2+c 2=1，所以ab +bc +ac=2ab +2bc +2ac2≤()a 2+b 2+()b 2+c 2+()a 2+c 22=a 2+b 2+c 2=1，当且仅当a =b =c 故ab +bc +ac ≤1.（2）因为a ，b ，c 均为正实数，且a 2+b 2+c 2=1，所以a 4c 2+b 4a 2+c 4b2+a 2+b 2+c 2=æèçöø÷a 4c 2+c 2+æèçöø÷b 4a 2+a 2+æèçöø÷c 4b 2+b 2≥=2()a 2+b 2+c 2=2，当且仅当a =b =c 故a 4c 2+b 4a 2+c 4b2≥1.三、10.解：（1）因为点F （0，1）是线段DM 的中点，所以点D æèöøπ4,2，M æèöø-π4,0.因为函数f （x ）=A sin （ωx +φ），所以A =2，周期T =4×éëêùûúπ4-æèöø-π4=2π=2πω，所以ω=1.因为f æèöøπ4=2sin æèöøπ4+φ=2，所以π4+φ=π2+2k π，k ∈Z ，解得φ=π4+2k π，k ∈Z .又0<φ<π2，所以φ=π4，所以f （x ）=2sin æèöøx +π4.令2k π-π2≤x +π4≤2k π+π2，k ∈Z ，解得2k π-3π4≤x ≤2k π+π4，k ∈Z .当k =1时，5π4≤x ≤9π4，所以函数f （x ）在（π，2π）内的单调递增区间为éëöø5π,2π.所以x +π4∈éëùûπ6，2π3，所以f （x ）=2sin æèöøx +π4∈［1，2］.令t =f （x ），则t ∈［1，2］，所以y =t 2-at +1，t ∈［1，2］.又y =t 2-at +1图象的对称轴为t =a 2，当a 2≤1，即a ≤2时，y min =1-a +1=12，解得a =32.当1<a 2<2，即2<a <4时，y min =-a 24+1=12，解得a =±2（舍去）.当a 2≥2，即a ≥4时，y min =4-2a +1=12，解得a =94（舍去）.综上，a =32.四、11.解：（1）因为f （1）=f （0）=1，所以f （x ）∉M 1.（2）由题意可得g ()x +a -g ()x =()x +a 3-x 3-14()x +a +14x=3ax 2+3a 2x +a 3-14a .由g （x ）∈M a ，得3ax 2+3a 2x +a 3-14a >0对任意的x ∈R恒成立，所以9a 4-12a æèöøa 3-14a <0，解得a >1，故实数a 的取值范围是（1，+∞）.（3）因为h ()x +2-h ()x =log 3éëùû()x +2+k x +2-log 3æèöøx +k x >0，即log 3éëùû()x +2+k x +2>log 3æèöøx +k x ，所以()x +2+k x +2>x +k x >0对任意x ∈［1，+∞）都成立，故-x 2<k <x （x +2）对任意x ∈［1，+∞）都成立.令s （x ）=-x 2（x ≥1），t （x ）=x （x +2）（x ≥1），则s （x ）max =s （1）=-1，t （x ）min =t （1）=3，所以-1<k <3.当-1<k ≤0时，易判断h （x ）在［1，+∞）上单调递增，所以h ()x min =h ()1=log 3()1+k .年宜宾市高中数学竞赛试题（高一组）参考答案令t =x +k x，则t 1-t 2=x 1+k x 1-æèçöø÷x 2+k x 2=()x 1-x 2()x 1x 2-k x 1x 2.由0<k ≤1≤x 1<x 2，得x 1-x 2<0，x 1x 2-k >0，x 1x 2>0，所以t 1-t 2<0，即0<t 1<t 2，所以log 3t 1<log 3t 2，即h （x 1）<h （x 2），所以h （x ）在［1，+∞）上单调递增，所以h ()x min =h ()1=log 3()1+k .当1<k <3时，由1≤x 1<x 2≤k ，得x 1-x 2<0，x 1x 2-k <0，x 1x 2>0，所以t 1-t 2>0，即t 1>t 2>0，所以log 3t 1>log 3t 2，即h （x 1）>h （x 2），所以h （x ）在[]1,k 上单调递减.同理可证h （x ）在[)k ,+∞上单调递增，所以h ()x min =h ()k =log 3()2k .综上，h ()x min =ìíîlog 3()1+k ，-1<k ≤1，log 3()2k ，1<k <3.。

2021年高一数学竞赛试题和参考答案及评分标准(精华版)

2021年高一数学竞赛试题和参考答案及评分标准（精华版）（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．若集合{}2120A x x x =--≤，101x B xx +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}C x x A x B =∈∉且，则集合C =（）A ．[)(]3114--⋃，，B ．[](]3114--⋃，，C ．[)[]3114--⋃，，D ．[][]3114--⋃，，【答案】 D【解答】依题意，{}[]212034A x x x =--≤=-，，10(11)1x B xx +⎧⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭，。

由x A ∈，知34x -≤≤；x B ∉，知1x ≤-或1x ≥。

所以，31x -≤≤-或14x ≤≤，即[][]3114C =--⋃，，。

2．已知直线1l ：(2)310m x my +++=与直线2l ：(2)(2)40m x m y -++-=（0m >）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（）A B ．2 C D 【答案】 D【解答】由12l l ⊥知，(2)(2)(2)30m m m m +⋅-++⋅=，结合0m >，得230m m -+=，12m =。

∴ 1l 方程为531022x y ++=，即5320x y ++=；2l 方程为：354022x y -+-=，即3580x y -+=。

由53203580x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩。

因此，(11)P -，，线段OP。

3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。

则二面角A PC B --的余弦值为（）A．3 B．3 C．3 D ．13【答案】 B【解答】如图，取AC 中点O ，PC 中点D ，连结OP ，OB ，OD ，DB 。

不妨设2AB =，则由条件知，2PA PC ==，AC = ∴ PA PC ⊥，12OP AC OC ===。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。

8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。

9. 一个正六边形的内角和为 _______。

10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。

11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。

三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。

13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。

答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。

答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。

如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。

答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。

首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。

设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。

可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。

对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。

同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题一、猜一猜：（每小题2分共16分）1.司药（打一数学名词）——配方2.招收演员（打一数学名词）——补角3.搬来数一数（打一数学名词）——运算4.你盼着我，我盼着你（打一数学名词）——相等5.北（打一数学名词）——反比6.从后面算起（打一数学名词）——倒数7.小小的房子（打一数学名词）——区间8.完全合算（打一数学名词）——绝对值二、试一试：（每小题4分共8分）1.把12、18、7、6、11分别填入下面□中，使算式成立。

□+□=□=□+□12+6=18=7+112.按规律填数1、6、7、12、13、18、( 19 )、( 24 )、( 25 )三、画一画：（6分）24个人排成6列，要求5个人为一列，你知道应该怎样来排列吗? (一个六边形)四、脑筋急转弯：（每小题4分共20分）1.桌子上原来有12支点燃的蜡烛，先被风吹灭了3根，不久又一阵风吹灭了2根，最后桌子上还剩几根蜡烛呢解答：5根2.一个人花8块钱买了一只鸡，9块钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10块钱又买回来了，11块卖给另外一个人。

问他赚了多少？答案：2元3.一根绳子两个头，三根半绳子有几个头?解：8个头，(半根绳子也是两个头)4.一栋住宅楼，爷爷从一楼走到三楼要6分钟，现在要到6楼，要走多少分钟?答：15分钟5.如果有5只猫，同时吃5条鱼，需要5分钟时间才吃完。

按同样的速度，100只猫同时吃掉100条鱼，需要( )分钟时间。

解：5分钟6.100个包子，100个人吃，1个大人吃3个，3个小孩吃1个，多少个大人和多少小孩刚好能吃完？解答：25个大人，75个小孩五、算一算：（每小题5分共25分）1. 兄弟共有45元钱，如果老大增加2元钱，老二减少2元钱，老三增加到原来的2倍，老四减少到原来的1/2，这时候四人的钱同样多，原来各有多少钱?解：老大8 老二12 老三5 老四202. 幼儿园新买回一批小玩具。

如果按每组10个分，则少了2个;如果按每组12个分，则刚好分完，但却少分一组。

高一数学竞赛试题含解析试题

2021年高一年级数学竞赛试卷第一卷〔一共60分〕一、填空题〔每一小题10分，一共80分.〕1. 假设是单位向量，且，那么__________．【答案】0【解析】2. 函数的值域为__________．【答案】【解析】时，x-1时，1-x<0, <-1综上值域为故答案为点睛：分段函数求值域，先分段求，再求并集，注意的是指数函数都是大于0的3. 4个函数，，，图象的交点数一共有__________．【答案】5故答案为54. 假设，那么__________．【答案】0.........5. ，，，那么__________．【答案】【解析】∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，∴cosγ=−cosα−cosβ，sinγ=−sinα−sinβ，∵=1，∴=1，整理得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即cosαcosβ+sinαsinβ=−，∴cos(β−α)= −，∵0⩽α<β<2π，∴0<β−α<2π∴β−α=或者.①∴同理可得：cos(γ−β)=−−,解得：γ−β=或者②。

cos(γ−α)= −;解得：γ−α=或者③。

∵0⩽α<β<γ<2π，∴β−α=,γ−β=,γ−α=.故β−α的值是.点睛：此题主要考察了同角平方关系的应用，解题的关键是要发现sin2γ+cos2γ=1，从而可得α，β的根本关系，但要注意出现多解时一定要三思而后行.6. 甲乙两人玩猜数学游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚刚所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，假设，称甲乙“心相近〞，现任意两人玩这游戏，那么他们心相近的概率为__________．【答案】【解析】7. 在中，角所对边分别为，假设，那么__________．【答案】【解析】又A为锐角，所以A=8. 将10个数1，2，3，…，9，10按任意顺序排列在一个圆圈上，设其中连续相邻的3数之和为，那么的最大值不小于__________．【答案】18【解析】设10个在圆圈上的排列的数依次为其中于是=故中必有一个不小于18故答案为18二、解答题〔一共70分〕9. 函数〔〕是偶函数，假设对一实在数都成立，务实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：函数〔〕是偶函数得出，证明出当时，为增函数，，根据单调性去掉f,得出，即得解试题解析：〔〕是偶函数，当时，，得对一切都成立，所以，.于是设，，所以，当时，为增函数.，，于是，即，所以即对一实在数都成立.点睛：型如的题目肯定会用到函数的奇偶性，单调性，所以做题时从这两方面着手即可.10. 记表示不超过实数的最大整数，在数列中，，〔〕，证明：.【答案】见解析【解析】试题分析：由〔〕知，数列化为，两边同除得，裂项相消求和即得解.试题解析：由〔〕知，数列为正项递增数列.又，所以，.化为，两边同除得.因此，故11. 如图，定直线与定相离，为上任意一点，为的两条切线，为两切点，其垂足为点，交于点，证明：为定长.【答案】见解析【解析】试题分析：因为，，由射影定理，得，因为，所以，四点一共圆，由圆幂定理得结合两个等式即得解.试题解析：连，设为，的交点，因为，，由射影定理，得因为，所以，四点一共圆.由圆幂定理，得所以，即〔定值〕，所以，为定长.12. 有〔〕个整数：，，…，，满足，，证明能被4整除.【答案】见解析【解析】试题分析：反证法来解决问题，假设为奇数，由，得均为奇数推出矛盾，所以，中必有偶数，假如中仅有一个偶数，推出矛盾，所以中必至少有2个偶数，即得证试题解析：首先，为偶数，事实上，假设为奇数，由，得均为奇数，而奇数个奇数和应为奇数，且不为0，这与矛盾，所以，为偶数所以，中必有偶数.假如中仅有一个偶数，那么中还有奇数个奇数，从而，也为奇数，矛盾，所以，中必至少有2个偶数.由知，能被4整除.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. √3B. 0.33333（无限循环）C. πD. 1/32. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 f(-1) 的值。

A. 4B. 6C. 8D. 103. 一个圆的半径为 5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 若 a + b + c = 6，且 a^2 + b^2 + c^2 = 14，求 ab + bc + ca 的值。

A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列的首项为 2，公差为 3，求第 10 项的值是__________。

6. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，求前 5 项的和是__________。

7. 若函数 g(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 的导数是 g'(x)，则 g'(1) 的值是 __________。

8. 一个长方体的长、宽、高分别是 3、4、5，求其对角线的长度（保留根号）是 __________。

三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数 n，都有 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。

10. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。

11. 已知函数 h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。

12. 已知一个三角形的三个顶点分别为 A(1, 2)，B(-1, -1)，C(3, 4)，求其面积。

答案一、选择题1. 正确答案：C（π 是无理数）2. 正确答案：A（f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 4）3. 正确答案：B（面积= πr^2 = 25π）4. 正确答案：B（根据柯西-施瓦茨不等式）二、填空题5. 第 10 项的值是 2 + 9*(10-1) = 296. 前 5 项的和是 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 1267. g'(x) = 3x^2 - 4x + 3，g'(1) = 3 - 4 + 3 = 28. 对角线的长度是√(3^2 + 4^2 + 5^2) = √50三、解答题9. 证明：根据调和级数的性质，我们知道 1/n^2 随着 n 的增大而减小，且 1/n^2 < 1/(n-1)^2，因此可以构造不等式 1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) = 1 + 1 - 1/n < 2。

高一数学竞赛试题及答案详解

高一数学竞赛试题一、选择题(每小题5分, 共40分, 每题仅有一个正确答案)1.已知函数f (x )满足f (||2x x +)=log 2||x x , 则f (x )的解析式是( ) A.2-x B.log 2 x C. -log 2 x D.x -22.已知f (x )=1-21x -(-1≤x ≤0), 函数y =f (x +1)与y =f (3-x )的图象关于直线l 对称,则直线l 的方程为( )A.x =2B.x =1C.x =21 D.x =0 3.设f (x )是R 上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f (21)=0, f (log 4x )＞0, 那么x 的取值范围是( )A.x ＞2或21＜x ＜1B.x ＞2C.21＜x ＜1D.21＜x ＜24.已知定义域为R 的函数y =f (x )在(0, 4)上是减函数, 又y =f (x +4)是偶函数, 则( )A. f (5)＜f (2)＜f (7)B. f (2)＜f (5)＜f (7)C. f (7)＜f (2)＜f (5)D. f (7)＜f (5)＜f (2)5.若不等式2x 2+ax +2≥0对一切x ∈(0,21]成立, 则a 的最小值为( )A.0B. -4C.-5D. -66.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )= -f (x +2), 且当x ＞1时, f (x )单调递增.如果x 1+x 2＜2, 且(x 1-1)(x 2-1)＜0, 则f (x 1)+f (x 2)的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.可能为0D.可正可负7.若函数f (x )=25-|x +5| -4×5-|x +5| +m 的图象与x 轴有交点, 则实数m 的取值范围是( )A.m ＞0B.m ≤4C.0＜m ≤4D.0＜m ≤38.对定义在区间[a , b ]上的函数f (x ), 若存在常数c , 对于任意的x 1∈[a , b ]有唯一的x 2∈[a , b ], 使得221)()(x f x f +=c 成立, 则称函数f (x )在区间[a , b ]上的“均值”为c . 那么,函数f (x )=lg x 在[10, 100]上的“均值”为( )A.101B.10C.43D.23二、填空题(每小题5分, 共30分)9.已知集合A={x | 4-2k ＜x ＜2k -8}, B={x | -k ＜x ＜k },若A ⊂ ≠B, 则实数k 的取值范围是____________________ 10.若函数y =log a (2x 2+ax +2)没有最小值, 则a 的所有值的集合是_________________11.集合P ={x |x =2n -2k , 其中n , k ∈N , 且n ＞k }, Q ={x |1912≤x ≤2006, 且x ∈N },那么, 集合P ∩Q 中所有元素的和等于_________12.已知方程组⎩⎨⎧=-=+164log 81log 4log log 6481y xy x 的解为⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x , 则log 18(x 1 x 2 y 1 y 2)=________13.若关于x 的方程4x +2x m +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内, 则实数m 的取值范围是_________________14.设card(P)表示有限集合P 的元素的个数. 设a =card(A), b =card(B), c =card(A ∩B),且满足a ≠b , (a +1)(b +1)=2006, 2a +2b =2a +b -c +2c , 则max{a , b }的最小值是______三、解答题(每题10分, 共30分)15.设函数f (x )=|x +1|+|ax +1|.(1)当a =2时, 求f (x )的最小值;(2)若f (-1)=f (1), f (-a 1)=f (a1)(a ∈R, 且a ≠1), 求a 的值 16.设函数f (x )的定义域是(0, +∞), 且对任意的正实数x , y 都有f (xy )=f (x )+f (y )恒成立.已知f (2)=1, 且x ＞1时, f (x )＞0.(1)求f (21)的值; (2)判断y =f (x )在(0, +∞)上的单调性, 并给出你的证明;(3)解不等式f (x 2)＞f (8x -6) -1.17.已知函数f (x )=log a (ax 2-x +21)在[1, 2]上恒为正数, 求实数a 的取值范围.。

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若一个等差数列的首项为3，公差为5，那么它的第n项可以表示为：A. 3 + 5(n-1)B. 3 + 5nC. 5 + 3(n-1)D. 5 + 3n2. 下列哪个分数可以化简为1/2？A. 3/6B. 5/10C. 7/14D. 9/183. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求f(x)的最小值。

A. -36B. -9C. 0D. 94. 若a, b, c是等比数列，且a + b + c = 0，那么b^2的值是：A. a^2 + c^2B. -a^2 - c^2C. acD. -ac5. 一个圆的半径是5cm，求这个圆的面积（圆周率取3.14）。

A. 78.5平方厘米B. 157平方厘米C. 200平方厘米D. 314平方厘米二、填空题（每题5分，共20分）6. 一个等比数列的前三项分别是2, 6, 18，那么它的第四项是_______。

7. 函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|的最小值是_______。

8. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，那么它的斜边长（根据勾股定理）是_______。

9. 一个圆的周长是12π，那么这个圆的直径是_______。

三、解答题（每题10分，共60分）10. 已知等差数列的前n项和为S_n = n^2 + 2n，求这个等差数列的前三项。

11. 求解方程：\(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = 3\)。

12. 一个圆与直线y = 2x + 3相交于点P，圆心坐标为(1, 0)，且半径为2。

求点P的坐标。

13. 证明：若a, b, c, d是正整数，且满足a^2 + b^2 = c^2 + d^2，则a + b = c + d。

14. 一个等差数列的前10项和为110，且第10项是第2项的3倍，求这个等差数列的公差和首项。

高一数学竞赛答案一、选择题答案1. A2. D3. D4. B5. B二、填空题答案6. 547. 28. 59. 6三、解答题答案10. 首项为2，公差为4，前三项为2，6，10。

高一奥数竞赛试题及答案

高一奥数竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若实数a、b满足a^2 + b^2 = 1，则下列不等式中恒成立的是（）。

A. a + b ≤ √2B. a + b ≥ √2C. a + b ≤ 1D. a + b ≥ 1答案：A解析：根据柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），对于任意实数a和b，有(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) ≥ (a + b)^2。

因为a^2 + b^2 = 1，所以1 × 2 ≥ (a + b)^2，即a + b ≤ √2。

2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f(-1)的值（）。

A. 3B. -3C. -1D. 1答案：A解析：将x = -1代入函数f(x) = x^3 - 3x + 1，得到f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3。

3. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a5的值（）。

A. 15B. 31C. 63D. 127答案：B解析：根据递推关系an+1 = 2an + 1，可以逐步计算得到：a2 = 2a1 + 1 = 2 × 1 + 1 = 3a3 = 2a2 + 1 = 2 × 3 + 1 = 7a4 = 2a3 + 1 = 2 × 7 + 1 = 15a5 = 2a4 + 1 = 2 × 15 + 1 = 314. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = c^2，求角C的大小（）。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：D解析：根据勾股定理，若a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC为直角三角形，且角C为直角，即C = 90°。

二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值。

高一数学竞赛试题及答案详解

数学竞赛试题高一及答案

高一数学竞赛试题参考答案

高一上学期数学竞赛试题(有答案)

数学竞赛高一试题及答案

高一数学竞赛试题

四川宜宾2024年高中数学联赛(初赛)高一组试题+答案

2021年高一数学竞赛试题和参考答案及评分标准(精华版)

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题含解析 试题

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案详解

高一数学竞赛试题及答案

高一奥数竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题含解析试题