高一数学考试卷-含答案

高一数学考试试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线10mx ny +-=过第一、三、四象限，则（ ）
A ．0,0m n >>
B ．0,0m n <>
C ．0,0m n ><
D ．0,0m n <<
2.函数()1x f x e x
=-的零点所在的区间是（ ） A ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3.设,,l m n 表示三条直线，,,αβγ表示三个平面，则下面命题中不成立的是（ ）
A ．若.l m αα⊥⊥，则l m ；
B ．若,,m m l n β⊂⊥是l 在β内的射影，则m n ⊥；
C ．若,,m n m n αα⊂⊄，则n α；
D ．若.αγβγ⊥⊥，则αβ.
4.若直线()()1:3410l k x k y -+++=与()()2:12330l k x k y ++-+=垂直，则实数k 的值是（ ）
A ．3或-3
B ． 3或4 C. -3或-1 D ．-1或4
5.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．1023+
B ．103+ C. 123+ D ．1123+
6.直线102
n mx y +-=在y 轴上的截距是-1，且它的倾斜角是直线3330x y --=的倾斜角的2倍，则（ ）
A ．3,2m n =-=-
B ． 3,2m n =
= C. 3,2m n ==- D ．3,2m n =-=
7.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120︒，则该圆锥的体积为（ ）
A ．2281π
B ．4581π C. 881π D ．1081
π 8.在正方体1111ABCD A B C D -中，CD 的中点为1,M AA 的中点为N ，则异面直线1C M 与BN 所成角为（ ）
A ．30︒
B ．60︒ C. 90︒ D ．120︒
9.已知点(),M a b 在直线34200x y +-=上，则22a b +的最小值为（ ）
A ．3
B ． 4 C. 5 D ．6
10.已知边长为a 的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将该菱形沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）
A ．36a
B ．3
12
a C. 3312a D ．3212a 11.已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，侧棱垂直于底面，且点D 是侧面11BB C C 的中心，则直线AD 与平面11BB C C 所成角的大小是（ ）
A ．30︒
B ．45︒ C. 60︒ D ．90︒
12.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，3,2
EF
AB EF =，且点E 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A ．92
B ．5 C. 6 D ．152
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知直线3450x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离
是 ．
14.设函数()2,1ln ,1
x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩，若函数()y f x k =-有且只有两个零点，则实数k 的取值
范围是 ．
15.已知点()0,2关于直线l 的对称点为()4,0，点()6,3关于直线l 的对称点为，则m n += ．
16.定义点()00,P x y 到直线()
22:00l Ax By C A B ++=+≠的有向距离为0022Ax By C
d A B ++=+.已知点12,P P 到直线l 的有向距离分别是12,d d ，给出以下命题：①若12d d =，则直线12P P 与直线l 平行；②若12d d =-，则直线12P P 与直线l 垂直；③若120d d ⋅>，则直线12P P 与直线l 平行或相交；④若120d d ⋅<，则直线12P P 与直线l 相交，其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，其高为6cm ，底面三角形的边长分别为3,4,5cm cm cm ，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V .
18.过点()3.0P 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220l x y --=与2:30l x y ++=之间的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程.
19.如图，四棱锥P ABCD -中，,1,2,BC
AD BC AD AC CD ==⊥，且平面PCD ⊥平
面ABCD .
（1）求证：AC PD ⊥；
（2）在线段PA 上是否存在点E ，使BE 平面PCD ？若存在，确定点E 的位置，若不存在，请说明理由.
20.如图，在ABC ∆中，边BC 上的高所在的直线方程为320,x y BAC -+=∠的平分线所在的直线方程为0y =，若点B 的坐标为()1,3.
（1）求点A 和点C 的坐标；
（2）求ABC ∆的面积.
21. 某化工厂每一天中污水污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为
()()[]25log 121,0,24f x x a a x =+-++∈，其中a 为污水治理调节参数，且()0,1a ∈.
（1）若12
a =，求一天中哪个时刻污水污染指数最低； （2）规定每天中()f x 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？
22.已知在三棱锥P ABC -中，,E F 分别是,AC AB 的中点，,ABC PEF ∆∆都是正三角形，PF AB ⊥.
（1）求证：PC ⊥平面PAB ；
（2）求二面角P AB C --的平面角的余弦值；
（3）若点,,,P A B C 在一个表面积为12π的球面上，求ABC ∆的边长.
试卷答案
一、选择题
1-5: CBDAC 6-10: AACBD 11、12：CD
二、填空题 13.125 14. 1+2∞（，） 15. 335
16. ③④ 三、解答题
17.解：111334636(cm )2
ABC A B C V -⨯=⨯=三棱柱． …………………3分 设圆柱底面圆的半径为r ，则
22341345
ABC S r AB BC AC ∆⨯⨯===++++， ……………………6分 1236(cm )OO V r h ππ==圆柱． ………………………9分
所以11113(366)cm ABC A B C OO V V V π-=-=-三棱柱圆柱. ……………………10分
18.解：设直线l 夹在直线12,l l 之间的线段是AB (A 在1l 上，B 在2l 上)， ,A B 的坐标分别是()()1122,,,x y x y .
因为AB 被点P 平分，所以
12126,0x x y y +=+=，
于是21216,x x y y =-=-.
……………………3分 由于A 在1l 上，B 在2l 上，所以1111220(6)()30
x y x y --=⎧⎨-+-+=⎩， 解得111116,33x y ==，即A 的坐标是1116,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
. ……………………6分 直线PA 的方程是0316110333
y x --=--， ……………………10分 即 8240x y --=.
所以直线l 的方程是8240x y --=. …………………12分
19.证明：
D C B E
F P
A
（1）连接AC ，
∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =， AC CD ⊥，AC ⊂平面ABCD ，
∴AC ⊥平面PCD , ……………………4分
∵PD ⊂平面PCD ,所以AC PD ⊥. ……………………5分
(2) 当点E 是线段PA 的中点时，//BE 平面PCD . ……………………6分
证明如下：
分别取,AP PD 的中点,E F ，连接,,.BE EF CF
则EF 为PAD ∆的中位线，
所以//EF AD ,且112
EF AD ==， 又//BC AD ，所以//BC EF ,且BC EF =，
所以四边形BCFE 是平行四边形，所以//BE CF , …………………10分 又因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD
所以//BE 平面PCD .
…………………12分 20.解：（1）由3200
x y y -+=⎧⎨=⎩,得顶点(2,0)A -． …………………2分 又直线AB
x 轴是BAC ∠的平分线， 故直线AC 的斜率为1-，AC 所在直线的方程为2y x =-- ①
直线BC 上的高所在直线的方程为320x y -+=，故直线BC 的斜率为3-， 直线BC 方程为33(1)y x -=--，即3 6.y x =-+ ② ……………4分 联立方程①②，得顶点C 的坐标为(4,6)-． ………………6分
（2 ………………8分 又直线BC 的方程是360x y +-=,
所以A 到直线BC 的距离 ………………10分
所以ABC ∆ ……………12分
21.解：（1） …………………2分
当()2f x = 即4x =.所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低. …………………4分
（2）设()25log 1t x =+，则当024x ≤≤时，01t ≤≤.
则()31, 01, 1
t a t a g t t a a t -++≤≤⎧=⎨++<≤⎩, …………………7分 显然()g t 在[]0,a 上是减函数，在[],1a 上是增函数，
则()()(){}
max max 0,1f x g g =, …………………9分
因为()()031,12g a g a =+=+, 则有 ()()0313123
g a g a =+≤⎧⎪⎨=+≤⎪⎩，解得23a ≤， ……………………11分
又(0,1)a ∈，故调节参数a . ……………………12分
22.(1)证明：连接FC ，
因为在等边ABC ∆中， F 为AB 中点，所以AB CF ⊥.
因为AB CF ⊥,AB PF ⊥,PF CF=F .
所以AB ⊥平面PCF , 又PC ⊂平面PCF ,所以PC AB ⊥, ………………2分 在PAC ∆中，PE 为边AC 上的中线， 又1122
PE EF BC AC ===， 所以PAC ∆为直角三角形，且AP PC ⊥. ………………4分 因为PC AB ⊥，PC AP ⊥，AP AB A =，
所以PC ⊥平面PAB . ……………………5分 （2）解：由（1）可知， PFC ∠为所求二面角的平面角.
设AB a =，则2a PF =，FC =，
在直角三角形CFP 中，cos 3PF PFC FC ∠=
=. ……………………8分
(3)解：设球半径为r ，则2412r ππ=，所以r = ………………9分 设ABC ∆的边长为a ，
因为PC ⊥平面PAB ，,AP PB ⊂平面PAB
所以PC AP ⊥，PC BP ⊥，
且由（2）知，2PC a =
. 因为PF AF FB ==,
所以PAB ∆为直角三角形，且PA PB ⊥，2
PA PB a ==，
2a =，所以a = …………………12分。