高一数学考试卷-含答案
2024年苏教版高一数学下册阶段测试试卷含答案
2024年苏教版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、下面给出了关于复数的三种类比推理：其中类比错误的是（）①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；②由向量的性质||2=2可以类比复数的性质|z|2=z2；③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．A. ②B. ①②C. ①③D. ③2、已知且四边形ABCD为平行四边形，则（）A.B.C.D.3、已知复数则( )A.B.C.D.4、函数的图象大致为下图的( )5、若复数（a2-a-2）+（|a-1|-1）i（a∈R）不是纯虚数，则a的取值范围是（）A. a≠-1或a≠2B. a≠-1且a≠2C. a≠-1D. a≠26、已知复数x+（y-2）i，（x，y∈R）的模为则的取值范围是（）A. [-]B. （-∞，-]∪[+∞）C. [-]D. （-∞，-]∪[+∞）评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、（2015•吉林校级四模）如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是C1D的中点，P是棱CC1所在直线上的动点．则下列四个命题：①CD⊥PE②EF∥平面ABC1③④过P可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．其中正确命题的序号是____（写出所有正确命题的序号）．8、抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于6的坐标是____．9、已知集合A={x|x2+x+1=0，m≥0}，若A∩R=∅，则m的取值范围是____．10、若函数f（x）=x2+（a+2）x+3，x∈[a，b]，且满足f（x-1）=f（1+x），则a=____，b=____．11、【题文】已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，则命题p的否定是____12、若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则 ______ （写出所有正确结论编号）①四面体ABCD每组对棱相互垂直。
2024年沪科新版高一数学上册阶段测试试卷含答案
2024年沪科新版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、下列说法正确的个数有（）个．（1）若α；β垂直于同一平面，则α与β平行；（2）“如果平面α⊥平面β；那么平面α内一定存在直线平行于平面β”的逆否命题为真命题；（3）“若m＞2，则方程=1表示双曲线”的否命题为真命题；（4）“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．A. 1B. 2C. 3D. 42、若函数y=f（x）是函数y=（）x的反函数，则f（4）=（）A. 2B. -2C.D. -3、在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，模型1-4的R2分别为0.98，0.80，0.50，0.25，则其中拟合得最好的模型是（）A. 模型1B. 模型2C. 模型3D. 模型44、函数f（x）=x2+2x-3的零点的集合是（）A. {1，3}B. {-1，3}C. （1，3）D. {-3，1}5、若关于x的不等式（4+m）cosx+sin2x-4＞0在时恒有解，则实数m的取值范围是（）A. （0，+∞）B. [0，+∞）C.D.6、设关于x的不等式x2+4x-2a≤0和x2-ax+a+3≤0的解集分别是A；B．下列说法中不正确的是（）A. 不存在一个常数a使得A；B同时为∅B. 至少存在一个常数a使得A；B都是仅含有一个元素的集合。
C. 当A；B都是仅含有一个元素的集合时；总有A≠BD. 当A；B都是仅含有一个元素的集合时；总有A=B7、下列通项公式表示的数列为等差数列的是（）A.B. a n=n2-1C. a n=5n+（-1）2D. a n=3n-18、已知等于（）A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°9、向量=（x，1，-2），=（3，-x，4），⊥则x=（）A. 8B. 4C. 2D. 0评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)10、已知向量若则实数x的取值范围是____．11、经过点（3，0），离心率为的双曲线的标准方程为。
2024年粤教版高一数学下册月考试卷含答案
2024年粤教版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、函数y=2-sin2x是（）A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为2π的偶函数2、△ABC中，下列说法正确的是（）A. asinA=bsinBB. 若A＞B，则sinA＞sinBC. 若A＞B，则cosA＞cosBD. 若sinB+sinC=sin2A，则b+c=a23、【题文】设双曲线过点则双曲线的焦点坐标是（）A.B.C.D.4、在梯形ABCD中，=3则等于（）A. -+B. -+C. +D. -+5、函数f(x)=2sin2(x+π4)+2sin(π4−x)cos(π4−x)在区间[π2,3π4]上的最小值是()A. 1−2B. 0C. 1D. 2评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、等差数列{a n}中，a4+a6-a11=3，a12-a5=2，记S n=a1+a2+ +a n，则S11=____．7、已知f（x）是在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（）x，那么f（）=____．8、曲线y2=x与y=x2所围成的图形的面积是____．9、设{a n}是集合{2t+2s|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的数按从小到大的顺序排成的数列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，．将数列{a n}中的各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表，则这个三角形数表的第n行的数字之和是____．35 69101210、在等比数列{a n}中，若a1a2a3=2，a2a3a4=16，则公比q=____11、已知则由小到大的顺序是．12、【题文】已知函数若则的取值范围是____。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高一数学 2024.11试卷满分:150分，考试时间:120分钟注意事项:1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(用2B 铅笔填涂)，非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm 黑色签字笔作答），在试卷上答题无效。
3.考试结束后，请将答题卡交监考人员。
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的。
1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 或2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.43.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）A. B. C. D. 4．函数的值域为（ ）A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数）A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）{|02}A x x =<<{|14}B x x =<<A B = {|02}x x <<{|24}x x <<{|04}x x <<{2|x x <4}x >a {}260A x x x =+-=∣{20}B x ax =-=∣B A ⊆a ()f x 0x ≥()2f x x x =+0x <()f x =2x x +2x x -2x x --2x x -+x x y 211-++=(]2，∞-()2，∞-()20，[)∞+，2(2)f x +(3,4)-()g x =(1,6)(1,2)(1,6)-(1,4)20ax bx c ++>{}12x x -<<()()2112a x b x c ax ++-+>A. B. 或C. 或 D. 7.命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8. 已知,则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
2024年沪教版高一数学上册月考试卷含答案
2024年沪教版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、设直线l1：2x-my-1=0，l2：（m-1）x-y+1=0．若l1∥l2，则m的值为（）A. 2B. -1C. 2或-1D. 1或-22、若某班有4个小组各从3处风景点中选一处进行旅游观光，则不同选择方案的种数为（）A. 4种B. 24种C. 64种D. 81种3、设O为坐标原点，若向量的夹角与的夹角相等；则实数λ的值为（）A.B.C.D.4、过点P（3，0）作一直线，它夹在两条直线l1：2x-y-3=0，l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分；该直线的方程是（）A. 4x-y-6=0B. 3x+2y-7=0C. 5x-y-15=0D. 5x+y-15=05、【题文】已知（），其中为虚数单位，则（）A.B. 1C. 2D. 36、【题文】等差数列{a n}中，已知则为（）A. 13B. 14C. 15D. 167、设则是的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8、函数f(x)=xlnx(x>1)单调递减区间是()A. (1,+∞)B. (1,e2)C. (e,+∞)D. (1,e)评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、若直线（1+k）x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则k=____．10、已知x＞0，y＞0，4x+9y=1，则+的最小值为____．11、用数字1，3组成四位数，且数字1，3至少都出现一次，这样的四位数共有____个．12、一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇．若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是____．（结果用分数表示）13、已知正方形ABCD的坐标分别是（-1，0），（0，1），（1，0），（0，-1），动点M满足：则MA+MC=____．14、【题文】在实数范围内，不等式的解集为__________15、【题文】若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围是_______．16、设z=x+y，其中x，y满足若z的最大值为12，则z的最小值为____17、已知A（1，1）、B（-2，3），直线y=ax-1与线段AB相交，则实数a的范围是 ______ ．评卷人得分三、解答题(共5题，共10分)18、已知数列{a n}中，其中a1=1，且当n≥2，a n=，求通项公式a n．19、已知a、b、c分别为一个三角形的三边长，求证：++＜2．20、已知tan=2；求。
2024年北师大版高一数学下册阶段测试试卷含答案530
2024年北师大版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、【题文】设是定义在上的奇函数，当时，则（）.A.B.C. １D. 32、【题文】函数的图象一定过点（）A.B.C.D.3、【题文】集合集合则的关系是（）A.B.C.D.4、设则f[f（﹣1）]=（）A. 1B. 2C. 4D. 85、在等比数列｛a n｝中, a1<0, 若对正整数n都有a nn+1, 那么公比q的取范围是( )A. q>1B. 0<1C. q<0D. q<16、已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为2的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A. 18娄脨B. 6娄脨C. 5娄脨D. 4娄脨评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、设扇形的圆心角的弧度数是面积为4cm2，则扇形的半径长为____cm．8、【题文】圆x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为________．9、【题文】函数为奇函数，则的增区间为_________________10、【题文】如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D=46°，则∠A= ．11、已知A={2，x}，B={xy，1}，若A=B，则x+y= ______ ．12、已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x2-3．（1）当x＜0时；求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在R上的解析式；（3）解方程f（x）=2x．13、已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为 ______ ；若△ABC的平面直观图为边长为a的正△A′B′C′，那么△ABC的面积为 ______ ．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)14、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．15、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．16、作出下列函数图象：y=17、作出函数y=的图象．18、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h 的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．19、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）评卷人得分四、证明题(共4题，共12分)20、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．21、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．22、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．23、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】试题分析：由已知条件，当时，有则所以故选A.考点：奇函数的定义，函数求值.【解析】【答案】A.2、B【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于函数令x-1=0，x=1，可知函数值为2，故可知函数一定过点选B.考点：指数函数。
2024年粤教沪科版高一数学下册月考试卷含答案
2024年粤教沪科版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏一、选择题(共5题，共10分)1、在等比数列{a n}中，已知a1=1，q=2，则第5项至第10项的和为（）A. 63B. 992C. 1008D. 10232、下列表述正确的是（）A. ∅={0}B. ∅⊆{0}C. ∅⊇{0}D. ∅∈{0}3、关于统计数据的分析；有以下结论：①一组数不可能有两个众数．②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后；方差没有变化；③调查观众观看某部电影的感受时；从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的观众进行调查，属于分层抽样．④一组数据的方差一定是正数．其中错误的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. .44、已知|a|≠|b|，m=那么m；n之间的大小关系为（）A. m＞nB. m＜nC. m=nD. m≤n5、【题文】的展开式中，的系数为（）A. 224B. 240C. 288D. 320评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)6、设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时f（x）=（）1-x；则。
①2是函数f（x）的周期；②函数f（x）在（1；2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；③函数f（x）的最大值是1；最小值是0；④当x∈（3，4）时，f（x）=（）x-3．其中所有正确命题的序号是____．7、已知4x=5y=10，则+=____．8、若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x-t|}关于x=2015对称，则t=____．9、经过圆x2+y2=r2上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2．类比上述性质，可以得到椭圆+=1类似的性质为____．10、已知对于任意实数α，我们有正弦恒等式，也有余弦恒等式，类比以上结论对于使正切有意义的α，我们推理得关于正切恒等式为____．11、已知关于x的不等式|x-2|-|x-5|-k＞0的解集为R，则实数k的范围是 ____．12、数式1+ 中省略号“ ”代表无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t= 用类似方法可得=____．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)13、在平面直角坐标系中，用阴影部分表示集合：{α|30°+k•360°≤α≤60°+k•360°，k∈z}．14、利用三角函数线；求满足下列条件的角α的集合．（1）tanα=-1（0≤α≤2π）；（2）sinα≥-（0≤α≤2π）．15、某中学高一（2）班甲；乙两名同学自入高中以来每场数学考试成绩情况如下：甲同学得分：95；81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110；乙同学得分：83；86，93，99，88，103，98，114，98，79，101，107．画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．16、写出输入一个数x，求分段函数的函数值的程序框图．17、如图，半径为2的⊙O切直线MN于点P，射线PK从PN出发，绕P点逆时针旋转到PM，旋转过程中PK交⊙O于点Q，若∠POQ为x，弓形PmQ的面积为S=f（x），那么f（x）的图象大致是：____．18、作出下列函数的图象。
北京市石景山区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷含答案
石景山区2023—2024学年第一学期高一期末试卷数学（答案在最后）本试卷共5页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}0A x x =>，{}12B x x =-<<，则A B = （）A.{}2x x < B.{}02x x << C.{}12x x << D.{}12x x -<<【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义，即可判断选项.【详解】集合{}0A x x =>，{}12B x x =-<<，由交集的定义可知，{}02A B x x ⋂=<<.故选：B2.已知命题p ：“2,10x R x x ∃∈-+<”，则p ⌝为（）A.2,10x R x x ∃∈-+≥ B.2,10∃∉-+≥x R x x C.2,10x R x x ∀∈-+≥ D.2,10x R x x ∀∈-+<【答案】C 【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题p ：“2,10x R x x ∃∈-+<”，的否定为：2,10x R x x ∀∈-+≥．故选：C ．3.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.1()2xy = B.()21y x =- C.1y x =-+ D.3y x =【答案】D【分析】根据各选项中的函数直接判断单调性即可.【详解】函数1()2xy =在R 上单调递减，A 不是；函数()21y x =-在(,1)-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则在(0,)+∞上不单调，B 不是；函数1y x =-+的R 上单调递减，C 不是；函数3y x =在R 上单调递增，在(0,)+∞上单调递增，D 是.故选：D4.已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集是()2,1-则a b +=（）A.0B.1- C.1D.2-【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的解集与相应方程的根的关系，利用韦达定理求解．【详解】由题意2-和1是方程20x ax b ++=的两根，所以21a -+=-，1a =，212b -⨯==-，∴1a b +=-．故选：B ．5.“21x <”是“1x <”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解21x <的解集，再根据集合的包含关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】由21x <，得0x <，因为{}0x x <{}1x x <，所以“21x <”是“1x <”的充分不必要条件.故选：A6.某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（）人A.220B.225C.580D.585【答案】C【分析】利用分层抽样比例一致得到相关方程，从而得解.【详解】依题意，设高三男生人数为n 人，则高三女生人数为()800n -人，由分层抽样可得8001180040n -=，解得580n =.故选：C.7.若0a b <<则（）A.22a b <B.2ab b < C.22a b> D.2a bb a+>【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质，以及指数函数的性质，基本不等式，即可判断选项.【详解】A.因为0a b <<，则a b >，则22a b >，故A 错误；B.因为0a b <<，所以2ab b >，故B 错误；C.2x y =在R 上单调递增，当0a b <<时，22a b <，故C 错误；D.因为0a b <<，所以b a 和a b都大于0，则2a b b a +≥=，当b aa b =时，即0a b =<时等号成立，所以“=”不能取到，所以2a b b a+>，故D 正确.故选：D8.已知函数()22log ,14,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数的定义区间，结合函数解析式，求函数值.【详解】函数()22log ,14,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则()1221422log 212f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C9.已知函数()2log 1f x x x =-+，则不等式()0f x <的解集是（）A.()0,1 B.()(),12,-∞+∞ C.()1,2 D.()()0,12,⋃+∞【答案】D【分析】由()0f x <可得2log 1x x <-，即1y x =-的图象在2log y x =图象的上方，画出2log ,1y x y x ==-图象，即可得出答案.【详解】因为()2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，因为()21log 1110f =-+=，()22log 2210f =-+=，由()0f x <可得2log 1x x <-，即1y x =-的图象在2log y x =图象的上方，画出2log ,1y x y x ==-的图象，如下图，由图可知：不等式()0f x <的解集是()()0,12,∞⋃+.故选：D .10.已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5,6A B = ，A B ⋂=∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（）A.12B.10C.6D.5【答案】B 【解析】【分析】首先讨论集合,A B 中的元素个数，确定两个集合中的部分元素，再结合组合数公式，即可求解.【详解】若集合A 中只有1个元素，则集合B 只有5个元素，1A ∉，5B ∉，即5A ∈，1B ∈，此时有04C 1=个；若集合A 中只有2个元素，则集合B 只有4个元素，2A ∉，4B ∉，即4A ∈，2B ∈，此时有14C 4=个；若集合A 中只有3个元素，则集合B 只有3个元素，3A ∉，3B ∉，不满足题意；若集合A 中只有4个元素，则集合B 只有2个元素，4A ∉，2∉B ，即2A ∈，4B ∈，此时有34C 4=个；若集合A 中只有5个元素，则集合B 只有1个元素，5A ∉，1B ∉，即1A ∈，5∈B ，此时有44C 1=个；故有序集合对(),A B 的个数是144110+++=.故选：B第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.函数()1lg 2y x x=-+的定义域为______.【答案】(2,)+∞【解析】【分析】利用函数有意义列式求解即得.【详解】函数()1lg 2y x x=-+有意义，则20x ->且0x ≠，解得2x >，所以函数()1lg 2y x x=-+的定义域为(2,)+∞.故答案为：(2,)+∞12.已知()2240x x y x x++=>，则当x =______时，y 取得最小值为______.【答案】①.2②.6【解析】【分析】由基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，40x >，所以224422x x y x x x ++==++≥+426=+=，当且仅当4x x=，即2x =时取等，所以当2x =时，y 取得最小值为6.故答案为：2；6.13.不等式212xx ≤-的解集为__________.【答案】[)2,2-【解析】【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案.【详解】根据不等式212x x ≤-整理可得2102xx -≤-，即202x x +≤-，等价于()()22020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得22x -≤<；所以不等式212xx ≤-的解集为[)2,2-故答案为：[)2,2-14.写出一个值域为[)1,+∞的偶函数()f x =______.【答案】2x （答案不唯一）【解析】【分析】根据偶函数的性质，以及指数函数的性质，即可求解()f x 的解析式.【详解】设()2xf x =，函数的定义域为R ，且()()f x f x -=，即函数为偶函数，0x ≥，所以()21x f x =≥，即函数的值域为[)1,+∞,所以满足条件的一个函数()2xf x =.故答案为：2x15.已知函数()21,1,1x ax x f x ax x ⎧-++≤=⎨>⎩，（1）若0a =，则()f x 的最大值是______；（2）若()f x 存在最大值，则a 的取值范围为______.【答案】①.1②.(],0-∞【解析】【分析】（1）若0a =，则()21,10,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，由二次函数的性质可得出答案；（2）当0a =时，由（1）知，()f x 存在最大值，当0a ≠时，若()f x 存在最大值，()f x ax =在()1,∞+应单调递减，所以a<0，即可得出答案.【详解】（1）若0a =，则()21,10,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当1x ≤时，()f x =21x -+，所以()(],1f x ∞∈-，则()f x 的最大值是1.（2）当0a =时，由（1）知，()f x 存在最大值，当0a ≠时，若()f x 存在最大值，()f x ax =在()1,∞+应单调递减，所以a<0，且当1x >时，()0f x ax a =<<，无最大值，当1x ≤时，()f x =2221124a a x ax x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭，则()f x 在,2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()f x 存在最大值为2124a af a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭.故a 的取值范围为：(],0-∞.故答案为：1；(],0-∞.三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知集合{}2340A x x x =-->，集合{}0B x a x =-≤（1）当2a =时，求A B ⋃；（2）若R B A ⋂≠∅ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{1A B x x ⋃=<-或2}x ≥；（2）4a ≤【解析】【分析】（1）分别求集合,A B ，再求A B ⋃；（2）根据（1）的结果，首先求R A ð，再根据集合的运算结果，求实数a 的取值范围.【小问1详解】当2a =时，{}2B x x =≥，2340x x -->，得>4x 或1x <-，即{1A x x =<-或4}x >，所以{1A B x x ⋃=<-或2}x ≥；【小问2详解】由（1）可知，{}R 14A x x =-≤≤ð，{}B x x a =≥，若R B A ⋂≠∅ð，则4a ≤.17.已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.（1）求丙投篮命中的概率；（2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.【答案】（1）0.5（2）0.21（3）0.29【解析】【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件,,A B C ，根据独立事件概率公式，即可求解；（2）根据（1）的结果，根据公式()()()()P ABC P A P B P C =，即可求解；（3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解.【小问1详解】设甲投篮命中为事件A ，乙投篮命中为事件B ，丙投篮命中为事件C ，由题意可知，()0.6P A =，()0.3P B =，()()()0.35P BC P B P C ==，则()()10.7P B P B =-=，()0.350.50.7P C ==,所以丙投篮命中的概率为0.5；【小问2详解】甲和乙命中，丙不中为事件D ，则()P D =()()()()0.60.70.50.21P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，所以甲和乙命中，丙不中的概率为0.21；【小问3详解】甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件E ，则()()P E P ABC ABC ABC =++,()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++0.60.30.50.40.70.50.40.30.5=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.29=18.已知函数()322x mf x x -=+的图像过点()1,1．（1）求实数m 的值；（2）判断()f x 在区间(),1-∞-上的单调性，并用定义证明；【答案】（1）1m =-（2）()f x 在区间(),1-∞-上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）将()1,1代入解析式，得到m 的值；（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.【小问1详解】将点()1,1代入函数()322x m f x x -=+中，可得3122m-=+，解得1m =-．【小问2详解】单调递增，证明如下．由（1）可得()()()3123131222121x x f x x x x +-+===-+++，任取()12,1x x <∈-∞-，则()()121231312121f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()122112111111x x x x x x -=-=++++，因为()12,1x x <∈-∞-，则120x x -<，110x +<，210x +<，即()()12110x x ++>，所以()()1212011x x x x -<++，即()()12f x f x <，所以()f x 在区间(),1-∞-上单调递增．19.甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：甲队88919396乙队89949792（1）在4次比赛中，求甲队的平均得分；（2）分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率；（3）甲，乙两队得分数据的方差分别记为21S ，22S ，试判断21S 与22S 的大小（结论不要求证明）【答案】（1）92（2）516（3）2212S S =【解析】【分析】（1）根据平均数公式，即可求解；（2）利用列举样本空间的方法，结合古典概型概率公式，即可求解；（3）结合方差的定义和公式，即可判断.【小问1详解】设甲队的平均分为1x ，则188919396924x +++==所以甲队的平均分为92；【小问2详解】分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，有()()()()88,89,88,94,88,97,88,92,()()()()91,89,91,94,91,97,91,92,()()()()93,89,93,94,93,97,93,92,()()()()96,89,96,94,96,97,96,92，共包含16个基本事件，这2个比赛得分之差的绝对值为1包含()()()()()88,89,91,92,93,94,93,92,96,97，共5个基本事件，所以这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率516P =;【小问3详解】乙队的平均分为289949792934x +++==，则()()()()22222188929192939296928.54S -+-+-+-==,()()()()22222289939493979392938.54S -+-+-+-==2212S S =20.已知函数()e e x xf x a -=+，其中e 为自然对数的底数，R a ∈.（1）若0是函数()f x 的一个零点，求a 的值并判断函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 同时满足以下两个条件，求a 的取值范围.条件①：x ∀∈R ，都有()0f x >；条件②：[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤.【答案】20.1a =-；奇函数.21.[]0,4【解析】【分析】（1）由()00f =可求出1a =-；再由奇偶函数的定义即可判断；（2）条件①，x ∀∈R ，都有()0f x >，即2e x a -<在R 上恒成立，由2e 0x >，即可求出a 的取值范围，条件②，[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤，即()0024e e x x a ≤-，令0e x t =，由二次函数的性质即可得出答案，综合两个条件①②可得出a 的取值范围.【小问1详解】因为0是函数()f x 的一个零点，所以()000e e 10f a a =+=+=，解得：1a =-，所以()e e x x f x -=-，因为()f x 的定义域为R ，()()ee x xf x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数.【小问2详解】条件①：x ∀∈R ，都有()0f x >，即e e 0x x a -+>，所以()2e 0e x x a+>，即()2e 0x a +>，则2e x a -<在R 上恒成立，因为2e 0x >，所以0a -≤，则0a ≥.故a 的取值范围为[)0,∞+.条件②：[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤，即00e e 4x x a -+≤，即()002e 4e 0x x a -+≤，即()0024e e x x a ≤-，令0e x t =，[]01,1x ∈-，则1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()()22424g t t t t =-=--+，1,e et ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2t =时，()()max 24g t g ==，所以4a ≤.若函数()f x 同时满足两个条件①②可得：故a 的取值范围为[]0,4.。
2024年外研衔接版高一数学上册阶段测试试卷含答案
2024年外研衔接版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面（）A. 各正三角形内一点B. 各正三角形的某高线上的点C. 各正三角形的中心D. 各正三角形外的某点2、设a=3x2-x+1，b=2x2+x，则（）A. a＞bB. a＜bC. a≥bD. a≤b3、已知定义在R上的函数f(x)的周期为4，且当x∈(－1，3]时，f(x)＝则函数的零点个数是( )A. 4B. 5C. 6D. 74、【题文】已知是定义在上的偶函数，且若在上单调递减，则在上是( )A. 增函数B. 减函数C. 先增后减的函数D. 先减后增的函数5、若函数f（x）满足f（x）= x3﹣f′（1）•x2﹣x，则f′（1）的值为（）A. 0B. 2C. 1D. ﹣1评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，设，则=____．7、已知p：x＜1或x＞3，q：a＜x＜a+1，若¬q是¬p的必要不充分条件，则实数a的取值范围为____．8、已知圆O的直径AB=2cm，过A点的两弦AC=cm，AD=cm，则∠CAD所夹圆内部分的面积是____cm2．9、在等比数列中，S30=13S10，S10+S30=140，则S20=____：10、已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值____，此时x=____，y=____．11、（2014•汕头一模）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA，②AF•AG=AD•AE，③△AFB∽△ADG，其中正确结论的序号是____．12、正方体各面所在的平面将空间分成 ____部分．13、【题文】已知X～N（5，4）则P（1＜X≤7）=____14、已知向量a→=(k,3)b→=(1,4)c→=(2,1)且(2a→−3b→)⊥c→则实数k= ______ ．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)15、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若经过点A1，C1，B的截面交平面ABCD于直线a，则直线a的作法是____16、在如图所示的图形上画一条直线，使下面的图形划为两个三角形．17、函数；（1）写出求函数的函数值的框图。
北京市2024-2025学年高一上学期第一学段考试数学试卷含答案
北京2024—2025学年度第一学段高一年级学段考试试卷数学必修第一册（答案在最后）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上）1.已知集合A ={}2x x <,B ={−2,0,1,2},则A B = ()A.{0,1}B.{−1,0,1}C.{−2,0,1,2}D.{−1,0,1,2}【答案】A【解析】【详解】分析：先解含绝对值不等式得集合A ，再根据数轴求集合交集.详解：222,x x ，<∴-<<因此A ⋂B ={}{}2,0,1,2(2,2)0,1-⋂-=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2.设a ，b ，c ∈R ，且a b >，则（）A.ac bc> B.11a b< C.22a b > D.33a b >【答案】D【解析】【详解】当0c =时，选项A 错误；当1,2a b ==-时，选项B 错误；当2,2a b ==-时，选项C 错误；∵函数3y x =在R 上单调递增，∴当a b >时，33a b >．本题选择D 选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．3.函数()12f x x =-的定义域为（）A.[)0,2B.()2,∞+C.()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭ D.()(),22,-∞+∞ 【答案】C【解析】【分析】根据被开方数是非负数，以及分母不为零，即可容易求得结果.【详解】由21020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥12且x ≠2．∴函数()12f x x =+-的定义域为()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭．故选：C .【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，属简单题.4.设全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}10B x x =-≥，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{1x x ≤-或}3x ≥B.{1x x <-或}3x ≥C.{}1x x ≤ D.{}1x x ≤-【答案】D【解析】【分析】根据图可知，阴影表示A B 的补集，即可根据集合交并补的定义求解.【详解】由{}2230A x x x =--<可得=−1<<3，{}{}101B x x x x =-≥=≥，故∪=>−1，进而(){}1A B x x ⋃=≤-R ð.故选：D5.已知0x >，则12x x +-有（）A.最大值0B.最小值0C.最大值-2D.最小值-2【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】0x >，1220x x ∴+-≥-=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，即12x x+-有最小值为0.故选：B .6.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．7.若集合2{|60}A x x x =+-<，2{|0}3x B x x +=≤-，则A B ⋂等于A.(3,3)- B.(2,2)- C.[2,2)- D.[2,3)-【答案】C【解析】【分析】解不等式,可得集合A 与集合B,根据交集运算即可得解.【详解】集合2{|60}A x x x =+-<，2{|0}3x B x x +=≤-解不等式,可得{|32}A x x =-<<，{|23}B x x =-≤<所以[){|32}{|23}2,2A B x x x x =-<<⋂-≤<=- 所以选C【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集运算,注意分式不等式分母不为0的限制要求,属于基础题.8.已知p ：210x -≤≤，q ：110m x m m -≤≤+>（），若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A.03m <≤ B.03m ≤≤C.3m < D.3m ≤【答案】A【解析】【分析】将p 是q 的必要不充分条件转化为B A ，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.【详解】设{}210A x x =-≤≤，=1−≤≤1+，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以012110m m m >⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得03m <≤，当3m =时，=−2≤≤4，成立，所以03m <≤.故选：A.9.已知0,0x y >>，且141x y+=，则x y +的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】由题意得14()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式可求出其最小值.【详解】因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y=，即3,6x y ==时取等号，所以x y +的最小值为9，故选：D10.若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是()2,3-，则关于x 的不等式250bx ax c ++>的解集是（）A.()2,3 B.()(),23,-∞⋃+∞C.()1,6- D.()(),16,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】【分析】由题意可得0a <，且方程20ax bx c ++=的根为2,3-，利用韦达定理求出,b c ，再根据一元二次不等式的解法即可得解.【详解】因为关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是()2,3-，所以0a <，且方程20ax bx c ++=的根为2,3-，故23,23b c a a-+=--⨯=，则0b a =->，60c a =->，故不等式250bx ax c ++>等价于2560ax ax a -+->，即2560x x -+>，解得2x <或3x >，所以关于x 的不等式250bx ax c ++>的解集是()(),23,-∞⋃+∞.故选：B.11.若“x ∃∈R ，使得不等式23208kx kx ++≤成立”是假命题，则实数k 的取值范围为（）A.0k ≤<3B.03k <<C.30k -<≤D.30k -<<【答案】A【解析】【分析】由“x ∃∈R ，使得不等式23208kx kx ++≤成立”是假命题，则其否命题为真命题，再根据不等式恒成立进行求解即可.【详解】由“x ∃∈R ，使得不等式23208kx kx ++≤成立”是假命题，则其否命题为真命题，即“x ∀∈R ，使得不等式23208kx kx ++>成立”是真命题，即x ∀∈R ，使得不等式23208kx kx ++>恒成立，当0k =时，308>恒成立，当0k ≠时，要使x ∀∈R ，不等式23208kx kx ++>恒成立，则>0Δ=2−4×2×38<0，解得03k <<，综上知0k ≤<3，故选：A 12.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转(1,2,3,4)i i =次，每次转动90︒，记(1,2,3,4)i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++.若1234++0x x x x +<，1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A.1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B.1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C.1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D.1234,,,T T T T 中至多有一个为负数【答案】A【解析】【详解】根据题意可知：（1234 1234+++++x x x x y y y y +）（）>0,又（1234 1234+++++x x x x y y y y +）（）去掉括号即得：22121314x y x y x y x y +++22222324+x y x y x y x y +++22333334+x y x y x y x y +++22444344+x y x y x y x y +++=1234T T T T +++>0,所以可知1234,,,T T T T 中至少有一个为正数，故选A点睛：借此题关键是要根据题意明白1234,,,T T T T 所表达的意思，然后容易发现（1234 1234+++++x x x x y y y y +）（）=1234T T T T +++>0从而得出结论二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上）13.命题“230x ,x x ∀∈-+>R ”的否定是___________【答案】2000,30x R x x ∃∈-+≤【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题.【详解】2x R,x x 30∀∈-+>否定是：2000x R,x x 30∃∈-+≤【点睛】全称命题的否定是特称命题，注意要将全称量词否定为存在量词，结论也要否定.14.若函数,0()31,0x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，则15f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________.【答案】25-##0.4-.【解析】【分析】本题考查了分段函数的函数值的求法，解题过程中要注意定义域，属于基础题.根据定义域首先求出1255f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后求25f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即为结果.【详解】∵函数,0()31,0x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，∴1255f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴122555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故填：25-.15.已知集合{}2,1A =-，{}2B x ax ==，若A B B = ，则实数a 值集合为______．【答案】{}0,1,2-【解析】【分析】由A B B = 得到B A ⊆，则{}2,1A =-的子集有∅，{}2-，{}1，{}2,1-，分别求解即可.【详解】因为A B B = ，故B A ⊆；则{}2,1A =-的子集有∅，{}2-，{}1，{}2,1-，当B =∅时，显然有0a =；当{}2B =-时，221a a -=⇒=-；当{}1B =，122a a ⋅=⇒=；当{}2,1B =-，a 不存在，所以实数a 的集合为{}0,1,2-；故答案为{}0,1,2-．16.若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____．【答案】3+【解析】【分析】由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解．【详解】解：x 1> ，()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-++--33≥+=，（当且仅当13x =+取等号）故答案为3+．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．17.一般地，把b a -称为区间(),a b 的“长度”已知关于x 的不等式220x kx k -+<有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k 的取值范围为___________．【答案】[)(]1,08,9- 【解析】【分析】不等式220x kx k -+<有实数解等价于220x kx k -+=有两个不相等的实数根，结合根的判别式，韦达定理进行求解.【详解】不等式220x kx k -+<有实数解等价于220x kx k -+=有两个不相等的实数根，则()280k k ∆=-->，解得：8k >或0k <设220x kx k -+=的两根为1x ，2x ，不妨令12x x <，则12x x k +=，122x x k=由题意得：213x x -==≤，解得：19k -≤≤，结合8k >或0k <，所以实数k 的取值范围为[)(]1,08,9- 故答案为：[)(]1,08,9- 18.设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ⋂≠∅，则12A A ⋂具有性质P ；③若12,A A 具有性质P ，则12A A ⋃具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则R A ð不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【解析】【分析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法判断④，元素0是关键.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈⋂，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈⋂⋂，所以12A A ⋂具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A ∈，23A ∈，但1223A A +∉⋃，故③错误；对于④，若A 具有性质P ，且A ≠R ，假设R A ð也具有性质P ，设0A ∈，在R A ð中任取一个,0x x ≠，此时可证得x A -∈，否则若R x A -∈ð，由于R A ð也具有性质P ，则()0R x x A +-=∈ð，与0A ∈矛盾，故x A -∈，由于A 具有性质P ，R A ð也具有性质P ，所以()22,R x A x A -∈∈ð，而()22x x -=，这与R A A ⋂=∅ð矛盾，故当0A ∈且A 具有性质P 时，则R A ð不具有性质P ，同理当0R A ∈ð时，也可以类似推出矛盾，故④正确.故答案为：①②④【点睛】集合新定义题目，关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于难题.三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上）19.已知函数()2f x x ax b =-+的图象过点()1,0A 和()2,0B .（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()2f xg x x+=，当0x >时，求()g x 的最小值.【答案】（1）()232f x x x =-+（2）1【解析】【分析】（1）代入()1,0A 和()2,0B 即可求解；（2）由（1）得到()g x ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由题意可得：10420a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得：32a b =⎧⎨=⎩，所以函数()f x 的解析式为()232f x x x =-+.【小问2详解】由（1）可得()()243f x g x x x x+==+-因为0x >，所以4331x x +-≥=，当且仅当2x =时，取到等号，所以()g x 的最小值为1.20.已知函数()()224g x x kx k k =-+-∈R .（1）当5k =时，求不等式()0g x ≥的解集；（2）当2x >时，关于x 的不等式()9g x ≥-恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）(][),23,-∞⋃+∞（2）(],10-∞【解析】【分析】（1）把5k =代入()()224g x x kx k k =-+-∈R ，解不等式2560x x -+≥即可；（2）把恒成立的问题转化为分离参数求值的问题，再利用基本不等式求ℎ=>2的最小值即可.【小问1详解】当5k =时，()256g x x x =-+，则不等式()0g x ≥，即()()2560230x x x x -+≥⇔--≥，解得2x ≤，或3x ≥，因此当5k =时，不等式()0g x ≥的解集为(][),23,∞∞-⋃+.【小问2详解】当2x >时，关于x 的不等式()9g x ≥-恒成立，即当2x >时，关于x 的不等式()2249g x x kx k =-+-≥-恒成立，⇔在2x >时，252x k x +≤-恒成立，令ℎ=>2，令2,0t x t =->，则2x t =+，故ℎ=>2⇔=>0，又()22254994410t t t y t tt t ++++===++≥+=，当且仅当9t t=，即3t =时等号成立，故当3t =，即5x =时，()()min 510h x h ==，因此可得10k ≤，即当2x >时，关于x 的不等式()9g x ≥-恒成立，k 的取值范围为(],10∞-.21.已知p ：232x -≤，q ：()224400x x a a -+-≤>，q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】[)8,+∞【解析】【分析】分别求出条件p ，q ，由题意可得出[]2,10-⫋[]2,2a a -+，解不等式即可得出答案.【详解】由232x -≤可得：3232x -≤-≤，则210x -≤≤，由2−4+4−2≤0>0可得：()()220x a x a ⎡⎤⎡⎤---+≤⎣⎦⎣⎦，因为0a >，所以22a a +>-，解得：22a x a -≤≤+，因为q 是p 的必要不充分条件，所以[]2,10-⫋[]2,2a a -+，所以2−≤−22+≥10>0且不能同时取等，解得：8a ≥.所以实数a 的取值范围为：[)8,+∞22.已知关于x 的不等式()2330ax a x -++>的解集为A .（1）若3A ∉，求实数a 的取值范围；（2）当0a <时，集合A 中有且仅有两个整数，求实数a 的取值范围；（3）若集合{}112B x x x =或，满足A B =，求实数a 的值.【答案】（1）1a ≤（2）32a -3<≤-（3）14a =【解析】【分析】（1）因为3A ∉，所以将3x =代入不等式不成立；（2）当0a <时，二次函数2(3)3y ax a x =-++开口向下，要使集合A 中有且仅有两个整数，需要分析函数的零点和取值情况；（3）A B =意味着两个集合中的不等式等价.解集一样，构造方程即可.【小问1详解】因为3A ∉，所以当3x =时，2(3)30ax a x -++≤.将3x =代入得93(3)30a a -++≤，即93930a a --+≤，解得1a ≤.【小问2详解】由2(3)30ax a x -++>，因式分解得(3)(1)0ax x -->，因为0a <，所以31a <，不等式的解为31x a<<.因为集合A 中有且仅有两个整数，这两个整数只能是1-，0.所以321a -≤<-，当32a -≤时，23a -≥，解得32a ≤-；当31a <-时，3a >-，解得3a >-.所以32a -3<≤-.【小问3详解】因为{|1B x x =<或12}x >，A B =，由2(3)30ax a x -++>，因式分解得(3)(1)0ax x -->.因为A B =，所以方程2(3)30ax a x -++=的两个根为1和12.将12x =代入方程2(3)30ax a x -++=得14412(3)30a a -++=，144123630a a --+=，即132330a -=，13233a =，解得14a =.23.设k 是正整数，A 是*N 的非空子集（至少有两个元素），如果对于A 中的任意两个元素x ，y ，都有||x y k -≠，则称A 具有性质()P k ．（1）试判断集合{1,2,3,4}B =和{1,4,7,10}C =是否具有性质(2)P ？并说明理由．（2）若{}1212,,,{1,2,,20}A a a a =⋯⊆⋯．证明：A 不可能具有性质(3)P ．（3）若{1,2,,2023}A ⊆⋯且A 具有性质(4)P 和(7)P ．求A 中元素个数的最大值．【答案】（1）B 不具有性质(2)P ，C 具有性质(2)P ，理由见解析（2）证明见解析（3）920【解析】【分析】（1）根据定义判断,B C 是否具有性质()2P 即可；（2）将{}1,2,,20 分为11个子集，结合抽屉原理证明结论；（3）先证明连续11个自然数中至多有5个元素属于A ，由此可得集合A 中元素个数不超过920个，再举例说明存在含有920个元素的满足要求的集合A .【小问1详解】因为{}1,2,3,4B =，又1N ,2N ,3N ,4N ****∈∈∈∈，但422-=，所以集合B 不具有性质()2P ，因为{}1,4,7,10C =，又1N ,4N ,7N ,10N ****∈∈∈∈，但413,716,1019,743,1046,1073-=-=-=-=-=-=，所以集合C 具有性质()2P .【小问2详解】将集合{}1,2,,20 中的元素分为如下11个集合，{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,4,2,5,3,6,7,10,8,11,9,12,13,16,14,17,15,18,19,20，所以从集合{}1,2,,20 中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A 不可能具有性质()3P .【小问3详解】先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1,2,3,11⋅⋅⋅为例.构造抽屉{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}，{5}，{6}，{7}.①5,6,7同时选，因为具有性质(4)P 和(7)P ，所以选5则不选1,9；选6则不选2,10；选7则不选3,11；则只剩4,8.故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5,6,7选2个，若只选5,6，则1,2,9,10,7不可选，又{4,11}只能选一个元素，3,8可以选，故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5,7，则只能从2,4,8,10中选，但4,8不能同时选，故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6,7，则2,3,10,11,5不可选，又{1,8}只能选一个元素，4,9可以选，故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5,6,7中只选1个，又四个集合{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}每个集合至多选1个元素，故1,2,3,11⋅⋅⋅中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1,4,6,7,9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有1845920⨯=个.给出如下选取方法：从1,2,3,11⋅⋅⋅中选取1,4,6,7,9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A 的元素为：1,4,6,7,9；12,15,17,18,20；23,26,28,29,31；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；2014,2017,2019,2020,2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.。
2024年陕教新版高一数学上册月考试卷含答案
2024年陕教新版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+ +g（）=（）A. 2016B. 2015C. 4030D. 10082、正三棱柱ABC-A1B1C1中，它们的所有棱长都相等，那么CB1与平面AA1B1B所成角的正切值（）A.B.C.D.3、已知集合A={y|y=2x-1}，集合，则集合A∩B=（）A. {x|x＞1}B.C.D.4、方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A. -16＜k＜25B.C.D.5、下列函数为偶函数的是（）A. y=2sinxB. y=cos2x-sin2xC. y=xcosxD. y=1+tanx6、已知函数f（x）=sin（ωx+）（其中ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度7、集合P=若都有则*运算不可能是（）A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法8、若sin（π-α）=-且a∈（π，），则sin（+）=（）A. -B. -C.D.9、已知函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)图象上相邻两个最高点的距离为6P(32,−2)是该函数图象上的一个最低点，则该函数图象的一个对称中心是()A. (1,0)B. (2,0)C. (3,0)D. (4,0)评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、若实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为____．11、两条平行直线5x-12y-2=0与5x-12y+24=0之间的距离等于____．12、从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有____种．13、命题：∀x∈R，sinx≥1．则该命题的否定是____．14、满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是____．15、若=（2，8），=（-7，2），则+2=______ ．16、函数y=sinx(−π4≤x≤3π4)的值域是 ______ ．评卷人得分三、计算题(共7题，共14分)17、对任意实数x，不等式|8-x|≥3+m恒成立，求实数m的取值范围．18、已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=S n-1+a n-1+2n-2（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（2n-1）a n+1，记f（n）=b1+b2+ +b n，若对任意n，（n∈N*），不等式f（n）＜λ•a n+1成立，求实数λ的取值范围．19、若函数y=a x-2+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点 P（m，n），且过点Q（m-1，n）的直线l被圆C：x2+y2+2x-2y-7=0截得的弦长为3，则直线l的斜率为____．20、如图；△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上．（l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积；（2）若 AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值．21、正三棱锥侧棱与底面所成角的大小为45°，若该三棱锥的体积为，则它的表面积为____．22、已知向量，则|2-|的最大值为____．23、方程4x-2x-6=0的解为____．评卷人得分四、作图题(共2题，共14分)24、已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（x-1），当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则函数g（x）=f（x）-ln的零点个数为____．25、某飞机通过雷达发现在其下方500m空域，北偏东60°方位，距离3000m处有另一架飞机正在飞行．试用向量画出两架飞机的相对位置．评卷人得分五、解答题(共3题，共9分)26、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C；有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AC与平面BCD成45°角；④AB与CD所成的角为60°．其中命题正确的编号是______．（写出所有真命题的编号）27、如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数时的图象且最高点B（-1，4），在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧. ⑴试确定A，和的值；⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设(弧度)，试用来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）28、【题文】（本小题满分12分）在角A，B，C的对边分别为（1）判断的形状；（2）若的值。
广东省茂名市化州市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年度第一学期期中学科素养测评高中一年级数学试卷说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页。
满分150分。
考试时间120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目．2、选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上．3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卷的整洁。
考试结束后，将答题卷交回．第一部分选择题（共58分）一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．已知，，则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充要也不必要条件3．已知，则（）A．B．C．D．4．若，且，则的最小值为（）A．20B．12C．16D．25 5．函数的图象是（）B．A．B．C．{}02A x x=<<∣{}13B x x=<<∣()RA B⋂=ð()0,1(]0,1()2,3(]2,3 :02p x<<:13q x-<<p qa b>2ab b>2a ab>2a bb+>11a b> 0,0m n>>3210m n+-=32m n+xy xx=+D ．6．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．7．若函数和都是奇函数，且在区间上有最大值5，则在区间（）A ．有最小值B ．有最大值C ．有最小值D ．有最大值8．若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分。
2024年人教新起点高一数学下册阶段测试试卷含答案
2024年人教新起点高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、下列函数中，在（-∞，1）内是增函数的是（）A. y=1-x3B. y=x2+xC. y=D. y=2、函数y=ln（x2-4x+3）的单调减区间为（）A. （2，+∞）B. （3，+∞）C. （-∞，2）D. （-∞，1）3、在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为△ABC的外心，则=（）A. 34B. 16C. 8D. 04、设长方体的三条棱长分别为a，b，c，若长方体的所有棱的长度之和为24，一条对角线长为5，体积为2，则等于（）A.B.C.D.5、设数列（-1）n的前n项和为S n，则对任意正整数n，S n=（）A.B.C.D.6、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（）A.B.C.D.7、【题文】与普通方程x2＋y－1＝0等价的参数方程是A. (θ为参数)B. (t为参数)C. (t为参数)D. (φ为参数)8、【题文】若则（）A. 1B. 2C. 3D. 49、已知函数y=sin2x的图象为C，为了得到函数y=sin(2x+)的图象，只要把C上所有的点（）A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、已知等差数列{a n}的公差d＜0，且a3a5+a3a7+a5a9+a7a9=0，则当前n项的和S n取得最大值时，n=____．11、已知曲线上的两点M，N对应的参数分别为t1和t2，且t1+t2=0，那么|MN|=____．12、定理：三角形的外心O、重心G、垂心H依次在同一条直线（欧拉线）上，且=其中外心O是三条边的中垂线的交点，重心G是三条边的中线的交点，垂心H是三条高的交点．如图，在△ABC中，AB＞AC，AB＞BC，M是边BC的中点，AH⊥BC（N是垂足），O是外心，G是重心，H是垂心，OM=1，则根据定理可求得的最大值是____．13、椭圆上一点M到左焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|=____．14、设函数f（x）= 为奇函数，则实数a=____．15、在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，则c2=a2+b2，则在同一顶点引出的三条两两垂直的三棱锥V-ABC中，则有 ______ ．16、已知数列{an}中，设a1=1an+1=3an+1(n∈N*)若bn=n(3n−1)⋅2n−2⋅anTn是{bn}的前n项和，若不等式2nλ<2n−1Tn+n对一切的n∈N+恒成立，则实数λ的取值范围是 ______ ．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)17、已知向量、（O；A、B三点不共线）；求作下列向量：（1）=（+）；（2）=（-）；（3）=3+2．18、已知变量x，y满足，则z=x+y+5的最大值为____．19、如图所示，用自然语言表述用斜二测画法画出水平放置的正三角形的直观图的算法过程．20、作出函数y=-3x的图象．21、画出下列空间几何体的三视图．评卷人得分四、证明题(共2题，共6分)22、已知点P为正方形ABCD内一点；且满足∠PAB=∠PBA=15°，用坐标法证明△PCD为等边三角形．23、A 任意a，b∈R，定义运算a*b=，则f（x）=x*lnx的最大值为____B 对于函数①f（x）=4x+-5；②f（x）=|log2x|-；③f（x）=cos（x+2）-cosx；命题甲：f（x）在区间（1；2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1．能使命题甲、乙均为真命题的函数序号是____．评卷人得分五、计算题(共4题，共16分)24、已知F是抛物线x2=2py的焦点，A、B是该抛物线上的两点，且满足|AF|+|BF|=3p，则线段AB的中点到x 轴的距离为____．25、已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3-x）=f（x），且有最小值是；已知g（x）=2x-m （Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）-（2t-3）x在区间[0；1]上的最小值，其中t∈R；（Ⅲ）若f（x）恒在g（x）=2x-m的上方，求m的取值范围．26、已知数列{a n}，a n=-n2+7n-3，则它的最大项是____．27、两个人射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，若两人各射击5次，甲的方差是，且•=6；（1）求 p1、p2的值；（2）两人各射击2次；中靶至少3次就算完成目的，则完成目的概率是多少？（3）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的概率是多少？评卷人得分六、综合题(共4题，共24分)28、已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a，b为常数且a≠0）在x=1处的切线与x轴平行．（Ⅰ）当b=-3时；求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求b的值．29、已知函数f（x）=；满足f（1）=1，且使f（x）=2x成立的实数x只有一个；（1）求函数f（x）的表达式；（2）若数列{a n}满足a1=，a n+1=f（a n）（n∈N+）；（ⅰ）试求a2，a3，a4，并由此猜想数列{a n}的通项公式a n；（ⅱ）用数学归纳法加证明你的猜想．30、在△ABC中；∠A=120°（Ⅰ）若三边长构成公差为4的等差数列；求△ABC的面积；（Ⅱ）已知AD是△ABC的中线，若，求的最小值．31、（2010春•临海市校级期中）如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=4，∠ACB=90°，AA1=2，E、F分别是AC、AB的中点，过直线EF作棱柱的截面，若截面与平面ABC所成的二面角的大小为60°，则截面的面积为____．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】【分析】逐一判断函数的单调性，推出正确结果即可．【解析】【解答】解：y=1-x3函数在（-∞；1）内是减函数．y=x2+x对称轴为x=- ；在（-∞，1）内不是增函数．y= = -1；在（-∞，1）内是增函数，满足题意．y= ；函数在（-∞，1）内是减函数．故选：C．2、D【分析】【分析】令t=x2-4x+3＞0，求得函数的定义域，且y=lnt，本题即求函数t在定义域上的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解析】【解答】解：令t=x2-4x+3＞0；求得x＜1，或x＞3，故函数的定义域为{x|x＜1，或x＞3}，且y=lnt．故本题即求函数t在定义域{x|x＜1；或x＞3}上的减区间．再利用二次函数的性质求得t在定义域{x|x＜1；或x＞3}上的减区间为（-∞，1）；故选：D．3、C【分析】【分析】先利用余弦定理，求AB，AC，再利用向量的数量积，即可得到结论．【解析】【解答】解：设圆的半径为R；∠AOB为α，∠AOC为β，则AB2=AO2+BO2-2AO×BOcosα=2R2-2R2 cosα，AC2=AO2+CO2-2AO×COcosβ=2R2-2R2cosβ∴= =R2 cosα-R2cosβ=∵AB=3，AC=5，∴∴=8故选C．4、B【分析】【分析】设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的一条对角线长为5，十二条棱长度之和为24，体积为2，然后整理可得所求的结果．【解析】【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为a，b；c，由题意可知；a+b+c=6 ①；abc=2 ②；a2+b2+c2=25 ③由①式平方-②可得ab+bc+ac= ④；④÷②得：=故选B5、D【分析】【分析】先由数列的通项公式得数列{（-1）n}是首项与公比均为-1的等比数列；再直接代入等比数列的求和公式，整理即可得出结论．【解析】【解答】解：因为数列{（-1）n}是首项与公比均为-1的等比数列．所以其前n项和为S n= = ．故选D．6、A【分析】【解析】设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于-由点斜式求得所求直线的方程为y-2=（x-1），化简可得x+2y-5=0，故选A【解析】【答案】A7、D【分析】【解析】试题分析：选项A中，由于普通方程x2＋y－1＝0中x可以取得一切实数；因此可知A中x大于等于-1，小于等于1，故错误。
2024-2025学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一上学期10月份考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一上学期10月份考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−2,−1,1,3,5}，集合B={x|−x2+5>0,x∈Z}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A. {−2,−1,1}B. {0,3,5}C. {0,1}D. {0,2}2.若a<0，b<0，则p=b2a +a2b与q=a+b的大小关系为( )A. p<qB. p≤qC. p>qD. p≥q3.命题“∃x∈R,x2−ax+1<0”为假命题的一个必要不充分条件是( )A. a∈[−2,2]B. a∈(−2,1)C. a∈[−2,3]D. a∈(−2,3)4.下列不等式正确的是( )A. 已知1≤a+b≤4，−1≤a−b≤2，则4a−2b取值范围是[−2,10]B. 若1a >1b，则a<bC. 若ac2≥bc2，则a≥bD. 若a>0，b>0，且a<b，则a+mb+m >ab5.若关于x、y的方程组{y−kx−2=0y2−4x−2y+1=0的解集中只有一个元素，则实数k的值为( )A. 1B. 0或1C. −1D. 0或−16.当一个非空数集G满足“如果a,b∈G，则a+b，a−b，ab∈G，且b≠0时，ab∈G”时，我们称G就是一个数域，以下四个数域的命题：①0是任何数域的元素：②若数域G有非零元素，则2024∈G；③集合P={x∣x=3k,k∈Z}是一个数域④有理数集是一个数域其中真命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 47.已知关于x 的不等式ax 2−bx +1>0的解集为(−∞,2m )∪(m,+∞)，其中m >0，则b +1m 的最小值为( )A. 4B. 2 2C. 2D. 18.对于问题“已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为(−2,4)，解关于x 的不等式ax 2−bx +c >0”，给出一种解法：由ax 2+bx +c >0的解集为(−2,4)，得a (−x )2+b (−x )+c >0的解集为(−4,2)，即关于x 的不等式ax 2−bx +c >0的解集为(−4,2)，类比上述解法，若关于x 的不等式ax 3+bx 2+cx +d >0的解集为(1,4)∪(8,+∞)，则关于x 的不等式−a 8x 3+b 4x 2−c 2x +d >0的解集为( )A. (−∞,−16)∪(−8,−2)B. (−∞,−4)∪(−2,−1)C. (−∞,−12)∪(−18,−116)D. (−12,−18)∪(−116,0)二、多选题：本题共3小题，共18分。
广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题(含答案)
柳州市高中2024级12月联考试题高一数学（考试时间 120分钟 满分 150分）注意：1.请把答案填写在答题卡上，否则答题无效.2.答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题.3.选择题，请用铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑.非选择题，请用黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（ ）A. B.C. D.2.命题“，”的否定是（ ）A.， B.，C.， D.，3.对数与互为相反数，则（ ）A. B. C. D.4.下面四个条件中，使成立的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C.D.5.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如下图所示，则（ ）x014269A.2B.6C.9D.02B 0.5mm ()11f x x =+-[)0,+∞[)()0,11,+∞ ()()0,11,+∞ [)1,+∞0x ∀<210x ax +-≥0x ∃>210x ax +-<0x ∀>210x ax +->0x ∀<210x ax +-<0x ∃<210x ax +-<lg a lg b 0a b +=0a b -=1ab =1a b=a b >2a b >-22a b>1a b>2a b >+()f x ()g x ()()3f g =()f x6.已知，则的最小值为（ ）A. B.0C.1D.37.一元二次不等式对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ）A. B.C. D.8.已知函数，，的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.与表示同一个函数的是（ ）A. B. C. D.10.已知，则满足的关系式有（ ）A. B.C. D.11.设，用表示不超过x 的最大整数，例如，，.则下列关于函数的说法正确的是（ ）A.B.在R 上单调递增C.对任意，，都有D.对于任意实数x ，y ，是成立的充分不必要条件第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写成指数幂形式为________.1x >-41x x ++4-23208kx kx +-<30k -<<30k -<≤304k -<<34k -<≤()2xf x x =+()2log g x x x =+()3h x x x =+a b c>>b c a>>c a b>>b a c>>y x =y =2y =,0,0t t y t t ≥⎧=⎨-<⎩2x y x=()2211x f x x+=-()f x ()()f x f x =-()()f x f x =--()1f f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭()1f f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭R x ∈[]x []3.54-=-[]2.12=()[]f x x =()1x f x x -<≤()f x R x ∈Z k ∈()()f x k f x k+=+()()f x f y =1x y -<)0x >13.幂函数的图象经过点，则的值为________.14.已知函数的图象如图所示，则的定义域是________，值域是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合，，.（1）求，；（2）若集合，是否存在实数a ，使得？若存在，试求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.16.（15分）已知函数经过，两点.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明；（3）当时，，求实数m 的最小值.17.（15分）某地区推广种植某种市场畅销水果果树.经调研发现该果树的单株产量P （单位：千克）与施肥量x （单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元.已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）.（1）求函数的解析式；（2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？18.（17分）设函数，.()y f x =1,42⎛⎫⎪⎝⎭f ()y f x =()y f x ={}1,2,3,4,5,6,7U ={}2,4,5A ={}1,3,5,7B =()U A B ð()()U U A B ðð()(){}20C x x x a =--=A C A = ()21x f x ax b +=+()1,252,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x ()0,111,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()m f x ≥()()()()2420236261x x P x xx x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩16x ()2005x +()f x ()f x ()2x x e e f x --=()2x xe e g x -+=（1）判断函数的奇偶性，并讨论函数的单调性（不需证明单调性）；（2）求证：；（3）若在区间上的最小值为，求t 的值.19.（17分）已知有限实数集，若，则称A 为“和积平衡集”.（1）分别判断集合、集合是否为“和积平衡集”；（2）已知集合M 为“和积平衡集”，且，请用列举法表示集合M （不需要说明理由）；（3）已知实数x 、y ，若集合为“和积平衡集”，是否存在实数z 满足，并且使得为“和积平衡集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由.()f x ()f x ()()()222g x g x f x ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦()()()22ln 42ln 2xx x h x f t f =-+⋅[]1,1-78-{}()12,,,2,N n A a a a n n =≥∈ 1212n n a a a a a a +++= {}1,2P={}1,2Q =--+*N M ⊆{},x y 2z xy ={},,x y z柳州市高中2024级12月联考高一数学参考答案及评分标准2024.12一、选择题12345678B DCABDAB二、多选题91011选1个（A 或C ）选2个（AC ）选1个（A 或D ）选2个（AD ）选1个（A 或C 或D ）选2个（AC 或AD 或CD ）选3个（ACD ）3分6分3分6分2分4分6分三、填空题12.13.214.，（第一个空2分，第二个空3分）三、解答题15.（1），，（2）若存在实数a ，使得则所以或516.解：（1），，，解得，（2）在上单调递减，证明如下：任取，，且，23x[][]3,01,3- []1,5{}1,2,3,4,5,6,7U = {}2,4,5A ={}1,3,5,7B =(){}1,3,6,7U A ∴=ð(){}2,4,6UB =ð(){}2,4U A B ∴= ð()(){}6UUA B = ðð()(){}{}22,|0C x x x a a =--==A C A = C A ⊆4a =()12f = ()522f =225522a ba b ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩10a b =⎧⎨=⎩()1f x x x∴=+()f x ()0,11x ()20,1x ∈12x x <则，，，且，，，，，即，所以函数在上单调递减.（3）由（2）知在上单调递减，函数在上的最大值为，由知，所以m 的最小值为17.（1）由题意知：，整理得；（2）当时，，由一元二次函数图象可知在时取得最大值，当时，()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212121x x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1x ()20,1x ∈12x x <120x x ∴-<1201x x <<1210x x ∴-<()()120f x f x ∴->()()12f x f x >()f x ()0,1()f x ()0,1∴()f x 11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11033f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()m f x ≥()max m f x ≥103m ∴≥103()()()21162005f x P x x x =--+()()()()()284216200502756162005261x x x x xx x x x ⎧+--+≤≤⎪=⎨--+<≤⎪+⎩()()28421320275621200(26)1x x x f x x x x x ⎧--≤≤⎪=⎨--<≤⎪+⎩02x ≤≤()2842132f x x x =--2x =()f x ()2262f =26x <≤()()()75617567562120021117911x xf x x x x x +-=--=-+-++，当且仅当，即时等号成立，，的最大值是，当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元.18.（1）由题意可知，的定义域为R ，定义域关于原点对称又，所以为奇函数；因为在上单调递增，在上单调递增，所以，在上单调递增；（2）（3）由令，由，则又则令对称轴当，即时，()7565772111x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦577≤-5772126325=-⨯=()7562111x x =++5x =()()25f f ∴<()f x ∴()5325f =∴()f x ()()e e 2x xf x f x ---==-()f x e xy =(),-∞+∞e xy -=-(),-∞+∞()f x (),-∞+∞()()2222222222e e e e e e 2e e 2e e 22442x x x x x x x x x xg x f x -----⎛⎫⎛⎫+-+++-+⎡⎤⎡⎤+=+=+= ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭()2g x =()()()222g x g x f x ⎡⎤⎡⎤∴=+⎣⎦⎣⎦()()()22442244222ln 42ln 22222222x x x xx x x x xxxxh x f t f t t ------+-=-+⋅=-+⋅=+⋅22x xm -=-[]1,1x ∈-33,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()222222222x xx xh x t ---+-=+⋅()222121222m m H m t m t m +=+⋅=+⋅+122t m t=-=-⨯32t -<-32t >，解得；当，即时，，解得，又，因此不符合题意，舍去当，即时，，解得综上知，.19.（1），集合P 不是“和积平衡集”，集合Q 是“和积平衡集”（2）符合题意的集合（3）若存在符合题意的实数z ，则，即，解得或，当时，则，，不符合题意.当，由此，x 、y 是方程的实数解.但，方程无实数解，所以不符合题意.同理，当时，不符合题意综上，不存在符合题意的实数z .()n2mi 3133317712222288H m H t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+⋅-+=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2t =3322t -≤-≤3322t -≤≤()()()()22min11711228H m H t t t t t =-=-+⨯-+=-+=-t =3322t -≤≤32t ->32t <-()n2mi 3133317712222288H m H t t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2t =-2t =±1212⨯≠+ ∴()()112-⨯⨯-⨯+= ∴{}1,2,3M =2z xy x y xyx y z xyz ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩23z z z ∴+=()210z z z --=0z =z =z =0z =0x =0y =z =x y +=xy =20t -+=240=-=<△z =。
山东省青岛市黄岛区2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题含答案
2024-2025学年度第一学期期中考试高一数学（答案在最后）2024.11本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}12B x x =-<<，则A B ⋂为（）A.∅B.{}0 C.{}1 D.{}0,1【答案】D 【解析】【分析】由集合交集的运算定义即可得结果.【详解】{}0,1A B = 故选：D2.下列各组函数与()f x x =表示同一函数的是（）A.()f x =B.()2x f x x=C.()f x =D.()2f x =【答案】C 【解析】【分析】利用函数的定义逐项判断.【详解】解：()f x x =的定义域为R ，()f x x ==，解析式不同，故不是同一函数，故A 错误；B.()2x f x x =的定义域为{}|0x x ≠，两函数定义域不同，故B 错误；()f x x ==的定义域为R ，故C 正确；()2f x =的定义域为{}|0x x ≥，故D 错误.故选：C3.下列命题为真命题的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b <<D.若0a b <<，则11a b<【答案】B 【解析】【分析】通过举反例排除A,C 两项，利用不等式的性质进行推理，可以排除D 项，证得B 项.【详解】对于A,当0c =时，显然22ac bc >不成立，故A 错误；对于B ，由0a b >>，利用不等式的性质易得22a b >，故B 正确；对于C ，当0a b <<时，取2,1a b =-=-，则242a ab =>=，故C 错误；对于D ，当0a b <<时，0ab >，由不等式的性质，可得11b a<，故D 错误.故选：B.4.在周长为定值P 的扇形中，面积最大时扇形的半径为（）A.P 2B.3P C.4P D.5P 【答案】C 【解析】【分析】用半径表示出面积，结合函数知识得结论.【详解】设扇形半径为r ，则扇形面积为22211(2)()22416P P S r P r r rP r =-=-+=--+，所以4Pr =时，S 取得最大值.故选：C5.命题:2p x ∀>，210x ->，则命题p 的否定形式是（）A.2x ∀>，210x -≤B.2x ∀≤，210x ->C.2x ∃>，210x -≤D.2x ∃≤，210x -≤【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论．【详解】命题:2p x ∀>，210x ->，为全称量词命题，则该命题的否定为：2x ∃>，210x -≤.故选：C ．6.某中学的学生积极参加美育活动，其中有98%的学生喜欢美术或音乐，76%的学生喜欢美术，83%的学生喜欢音乐，则该中学既喜欢美术又喜欢音乐的学生数占该校学生总数的比例为（）A.61%B.62%C.76%D.83%【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集的定义求解.【详解】由题意既喜欢美术又喜欢音乐的学生数占该校学生总数的比例为：76%83%98%61%+-=，故选：A 7.“函数()f x =(),1-∞上单调递减”是“0a <”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用幂函数及复合函数的单调性结合充分、必要条件的定义判定即可.【详解】先判定充分性，若()f x =(),1∞-上单调递减，由幂函数及复合函数的单调性可知，则00111a a a<⎧⎪⇒>≥-⎨-≥⎪⎩，满足充分性；再判定必要性，可举反例，若2a =-，则1y ax =+单调递减，此时()f x =的定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，此时()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，不满足必要性，综上“函数()f x =(),1∞-上单调递减”是“0a <”的充分不必要条件.故选：B8.用()(){}max ,f x g x 表示()f x ，()g x 中的最大者，用()(){}min ,f x g x 表示()f x ，()g x 中的最小者，若函数(){}231min max ,,h x x xx ⎧⎫=⎨⎩⎭在()0,a 上有最大值，则（）A.()h x 是奇函数B.()h x 在()0,a 上最大值是2C.()h x 的值域是()[],10,1-∞-⋃D.a 的取值范围是()1,+∞【答案】D 【解析】【分析】在同一坐标系中作出函数231,,y x y x y x===的图象，进而得到函数ℎ的图象，利用图象分别判断四个选项即可.【详解】ℎ定义域(,0)(0,)-∞+∞ ，在同一坐标系中分别作出函数231,,y x y x y x===的图象，取2y x =与3y x =的图象中较高的曲线段，再与1y x=的图象对比取较低的曲线段，得到函数ℎ的图象，如图所示，因为图象不关于坐标原点对称，所以ℎ不是奇函数，故A 错误；因为ℎ在()0,a 上有最大值，所以1a >，故D 正确，且ℎ在()0,a 上最大值是1，故B 错误；由图象知ℎ的值域是(),0(0,1]∞-⋃，故C 错误；故选：D .【点睛】方法点睛：在研究函数()(){}max ,y f x g x =和函数y =()(){}min ,f x g x 的性质时，通常先画出函数图象，利用数形结合分析函数性质.二、多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分.9.下列函数既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.()1f x x=B.()f x x =C.()2f x x = D.()f x =【答案】BC 【解析】【分析】根据偶函数定义和单调性概念判断即可.【详解】因为函数()f x =[0,)+∞，所以函数()f x =函数()1f x x=的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，又()11()f x f x x x -==-=--，所以函数()1f x x=为奇函数；函数()f x x =的定义域为(,)-∞+∞，且()()f x x x f x -=-==，所以函数()f x x =为偶函数，又因为(0,)x ∈+∞时，()f x x x ==在(0,)+∞上单调递增；函数()2f x x =的定义域为(,)-∞+∞，且()22()()f x x x f x -=-==，所以函数()2f x x =为偶函数，()2f x x =在(0,)+∞上单调递增.故选：BC.10.定义()()11x y x y ⊗=-+，则（）A.x y y x ⊗=⊗B.928x x ⊗≤C.()()x y z x y z ⊗⊗=⊗⊗D.若x ，y 都是正数，()2x y xy -⊗=+，则11944x y +≥【答案】BD 【解析】【分析】根据新定义进行去体验判断AC ，用新定义转化为结合二次函数性质判断B ，用新定义转化后，利用基本不等式判断D.【详解】选项A ，1)(1)1,(1)(1)1x y x y x y xy y x y x x y xy ⊗=-+=-+-⊗=-+=+--（，只有x y =时，两者才相等，A 错；选项B ，221992(1)(12)212()488x x x x x x x ⊗=-+=-++=--+≤，当且仅当14x =时等号成立，B 正确；选项C ，()123[(11)(12)]303(10)(13)4⊗⊗=-+⊗=⊗=-+=，()123(11)(123)04⊗⊗=-+⊗=≠，C 错；选项D ，()(1)(1)12x y x y x y xy xy -⊗=++=+++=+，则1x y +=，又0,0x y >>，所以1111559()(444444x y x y x y x y y x +=++=++≥+=，当且仅当4x y y x =，即21,33x y ==时等号成立，D 正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是利用新定义把问题进行转化，一是直接利用新定义进行运算，二是进行转化转化为函数知识求解，转化为基本不等式问题求解等.11.定义域为的函数()f x ，同时满足：①当0x y +=时，()()0f x f y +=；②[],1,1x y ∀∈-，当0x y +>时，()()0f x f y +>；③()()2f x f x =-.则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 在1,2上单调递减C.函数=的图像关于点1,0中心对称D.()()()()01230f f f f +++=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，结合函数的单调性、奇偶性、对称性，依次分析选项是否正确，即可得答案．【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为R ，且当0x y +=时有()()0f x f y +=，即()()0f x f x +-=，所以()f x 是奇函数，故A 正确；对于B 、C ，因为()(2)f x f x =-，所以()f x 关于1x =对称，故C 错误，因为对[],1,1x y ∀∈-，当0x y +>即x y >-时，()()0f x f y +>，即()()f x f y >-，结合奇函数的性质可得()()f x f y >-，所以当[]1,1x ∈-时，()f x 为增函数，结合()f x 关于1x =对称的条件可知，当[]1,2x ∈时，()f x 为减函数，故B 正确；对于D ，结合①，令0x y ==可得(0)(0)0f f +=，所以(0)0f =，因为()f x 关于1x =对称，所以(2)0f =，结合③，因为()(2)f x f x =-，令3x =可得(3)(1)(1)f f f =-=-结合奇偶性可得()(2)f x f x =-，所以(3)(1)f f =，所以(1)(1)f f -=，解得(1)0f =，所以(3)(1)0f f ==，即(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=，故D 正确，故选：ABD .三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}{}30,0,,1m m ⊆，则实数m 的取值集合为______.【答案】{}1-【解析】【分析】利用集合间的基本关系及集合元素的互异性计算即可.【详解】因为{}{}30,0,,1mm ⊆，所以01m m ≠⎧⎨≠⎩，则31m m m =⇒=-，所以实数m 的取值集合为{}1-.故答案为：{}1-13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≤时，()()1f x x x =-.则当0x >时，函数()f x 的解析式为______.【答案】()()1(0)f x x x x =+>【解析】【分析】根据奇函数的定义求解.【详解】0x >时，0x -<，()(1)f x x x -=-+，所以()()(1)f x f x x x =--=+.故答案为：()()1(0)f x x x x =+>.14.已知a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h 是在集合{}7,5,3,2,2,4,6,13----中的不同数，则()()22a b c d e fg h +++++++的最小值为______.【答案】34【解析】【分析】记,a b c d M e f g h N +++=+++=，根据条件将所求式子表示为()22432M -+，先分析4M =的可行性，然后确定出最小值即可.【详解】不妨设,a b c d M e f g h N +++=+++=，因为7532246138a b c d e f g h +++++++=----++++=，所以8M N +=，所以()()()()222222282432a b c d e f M g N M h M M =+++++++==-+-++，若要()22432M -+值最小，则4M =，下面分析4M =的可能性：当4M =时，则a b c d ,,,四个数全为偶数，或全为奇数，或两奇两偶，若四个数全为偶数，则和的结果为224610-+++=，不满足要求；若四个数全为奇数，则和的结果为753132---+=-，不满足要求；若四个数两奇两偶，其中两个奇数之和可能为{}12,10,6,8,8,10---，两个偶数之和可能为{}0,2,4,6,8,10，此时两奇两偶的四个数之和不可能等于4，所以4M =不成立，所以当32263M a b c d =+++=--++=时，此时()22432M -+取值最小，最小值为34，故答案为：34.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是对所给表达式能利用已知关系进行化简变形，将双变量转化为单变量；另一方面是对于二次函数取最小值的可行性分析，此处无法直接确定4M =成立.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合{}1A x a x a =≤≤+，{}2340B x x x =--≤.（1）若2a =，求()R A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(){R 34A B x x ⋂=<≤ð或}12x -≤<.（2）[]1,3-【解析】【分析】（1）确定集合,A B ，由交集、补集运算即可；（2）由条件确定A B ≠⊂，构造不等式组求解即可.【小问1详解】由2a =可得：=2≤≤3，所以{R 2A x x =<ð或}3x >，又{}{}234014B x x x x x =--≤=-≤≤，所以(){R 34A B x x ⋂=<≤ð或}12x -≤<.【小问2详解】因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ≠⊂，所以141a a +≤⎧⎨≥-⎩解得：13a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,3-16.若关于x 的不等式210ax bx +->的解集是112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（1）求a ，b ；（2）求不等式12a b axx +>+的解集.【答案】（1）2a =-，3b =.（2）{}1x x >-【解析】【分析】（1）由题意可知，1,12为方程210+-=ax bx 的两根，且0a <，由根与系数的关系即可求出答案.（2）将,a b 的值代入不等式，解不等式即可.【小问1详解】由题意可知，1,12为方程210+-=ax bx 的两根，且0a <，所以1121112b aa ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，解得：23ab =-⎧⎨=⎩.【小问2详解】由（1）可得不等式为1212xx x ->=-+，所以()211110111x x x x x x x x +++++==>+++，因为22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以10x +>，解得：1x >-.所以不等式的解集为：{}1x x >-.17.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为2200m 的十字形地域.计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为24200/m 元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为2210/m 元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为280/m 元.设总造价为S （单位：元），AD 长为x （单位：m）（1）请用x 表示DQ 的长；（2）请写出S 关于x 的函数关系式；（3）若总造价S 不超过138000元，求x 的取值范围.【答案】（1）504x Q x D =+(0x <<（2）(224000004000380000S x x x =++<<，（3）【解析】【分析】（1）设DQ y =，根据十字形地域的面积得出,x y 的关系式，即可求解；（2）由（1）可求得DQ ，从而可求出各个图形的的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，即可求解；.（3）根据不等式求解可求得x 的取值范围.【小问1详解】设DQ y =，因为两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为2200m ，所以可得24200xy x +=，解之可得504x y x =-，且0y >所以(5004D x x x Q -<<=，【小问2详解】由（1）知504x Q x D =-，所以221150224DQH x S DQ x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭矩形ADQM 的面积为2505044x x xy x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭正方形MNPQ 为2x ，所以2221504200450210480424x x S x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯-⨯+⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222400000420042000210400010x x x x =+-+-+(224000004000380000x x x =++<<，.【小问3详解】由（2）知(224000004000380000S x x x =++<<，，若总造价不超过138000元，即22400000400038000138000S x x =++≤化简可得2210025x x+≤，即()()4222251002050x x x x -+=--≤，解之可得x ≤≤，所以x的取值范围.18.已知函数()4f x x a a x=--+，[]1,4x ∈.（1）若1a =，试判断()f x 的单调性并用定义法证明；（2）若()1,4a ∈，求函数()f x 的最大值的表达式()M a .【答案】（1）()f x 在区间[1,4]上单调递增；（2）()73,1,2724,,42a M a a a ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先化简函数4,(,4]()42,[1,]x x a x f x a x x a x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，再利用单调性分别求()f x 在区间[1,]a 和(,4]a 上的最大值，取较大者即可.由于42y a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,2]上单调递增，在区间[2,4]上单调递减，需对区间[1,]a 中的a 分类讨论.【小问1详解】()f x 在区间[1,4]上单调递增，证明如下：若1a =，因为[]1,4x ∈，所以()44f x x a a x x x=--+=-，12,[1,4]x x ∀∈，且12x x <，有1212121212212144114()()()()()4()()(1)f x f x x x x x x x x x x x x x -=---=-+-=-+.因为12[1,4]x x ∈,，且12x x <，所以120x x >，120x x -<.于是12214()(1)0x x x x -+<，即12()()f x f x <.故()f x 在区间[1,4]上单调递增；【小问2详解】若()1,4a ∈，则()4f x x a a x =--+4,(,4]42,[1,]x x a x a x x a x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，先判断42y a x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在[1,4]上的单调性，由于1212124422y y a x a x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭212144x x x x =+--()211241x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1221124x x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当12,[1,2]x x ∀∈，且12x x <时，1204x x <<，210x x ->，所以()12211240x x x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12y y <，故42y a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,2]上单调递增；当12,[2,4]x x ∀∈，且12x x <时，12416x x <<，210x x ->，所以()12211240x x x x x x ⎛⎫-->⎪⎝⎭，即12y y >，故42y a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[2,4]上单调递减；综上，42y a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,2]上单调递增，在区间[2,4]上单调递减.①当(,4]x a ∈时，由（1）知，()f x 在区间(,4]a 上单调递增，所以()max (4)3f x f ==；②当[1,]x a ∈时，（i ）若(]1,2a ∈，则4()2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[1,]a 上单调递增，所以()max 44()2032f x f a a a ==-≤-=<，所以函数()f x 的最大值()3M a =；（ii ）若72,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则4()2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[1,2]上单调递增，在[2,)a 上单调递减，所以()max (2)243f x f a ==-≤，所以函数()f x 的最大值()3M a =；（iii ）若7,42a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4()2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[1,2]上单调递增，在[2,)a 上单调递减，所以()max (2)243f x f a ==->，所以函数()f x 的最大值()24M a a =-；综上()73,1,2724,,42a M a a a ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩.19.定义：x 表示实数x 到与它最近整数的距离.（1）求0.14，3.14，0.86-的值；（2）求证：()Z x n x n +=∈；（3）给定正整数r ，函数(){}min ,f x x rx =，用{}min ,a b 表示a ，b 中的最小者.（ⅰ）若r 为奇数，求证：()f x 的最大值为12；（ⅱ）若r 为偶数，求()f x 的最大值.【答案】（1）||0.14||0.14=;||3.14||0.14=;||0.86||0.14-=.（2）证明见解析（3）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）2(1)r r +.【解析】【分析】（1）对于第一问，根据x 的定义，直接计算实数到与其最近整数的距离.（2）第二问要证明||||||||(Z)x n x n +=∈，需要根据整数n 与x 的关系，结合定义来证明.（3）第三问中，对于r 为奇数和偶数的情况分别讨论()f x 的最大值.需要分析||||x 和||||rx 的取值情况，根据min{,}a b 的定义来求解.【小问1详解】对于||0.14||，0.14到最近整数0的距离为|0.140|0.14-=，所以||0.14||0.14=.对于||3.14||，3.14到最近整数3的距离为|3.143|0.14-=，所以||3.14||0.14=.对于||0.86||-，0.86-到最近整数1-的距离为|0.86(1)||0.861|0.14---=-+=，所以||0.86||0.14-=.【小问2详解】设x m a =+，其中m ∈Z ，01a ≤<.当m ∈Z 时，()x n m n a +=++.如果00.5a ≤<，则||||x a =；如果0.51a ≤<，则||||1x a =-.对于x n +，如果00.5a ≤<，()x n m n a +=++到最近整数m n +的距离为a ，即||||x n a +=；如果0.51a ≤<，()x n m n a +=++到最近整数1m n ++的距离为1a -，即||||1x n a +=-.所以||||||||x n x +=成立.【小问3详解】由（2）可知()Z x n x n +=∈；则可取[]0,1x ∈即可.（ⅰ）若r 为奇数，则21,r k k =+∈N ，令12x =，则()1121,22rx k k k =+=+∈N ，可得1||||2x =，111||||||||||||222rx k =+==，所以1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；考虑()f x 的定义，()f x 取||||x 和||||rx 中的较小值，显然对任意x ∈R ，1||||2x ≤，则1||||2rx ≤，可得()12f x ≤；综上所述：()f x 的最大值为12；（ⅱ）不妨取112,()min{||||,||1||}022r f ===，1121()min{||||,||||}3333f ==，2241()min{||||,||||}5555f ==，551(min{||||,||||}121261210f ==.猜想(){}2,min ,r f x x rx ==最大值为13.不妨取114,()min{||||,||2||}022r f ===，1141()min{||||,||||}3333f ==，2282()min{||||,||||}5555f ==，551(min{||||,||||}121231220f ==.猜想(){}4,min ,r f x x rx ==最大值为25.继续猜想当r 为偶数时，(){}min ,f x x rx =最大值为2(1)r r +.当r 为偶数时，2r 为正整数，注意到2min ,min ,2(1)2(1)2(1)2(1)22(1)2(1)r r r r r r r f r r r r r r ⎧⎫⎛⎫⎧⎫==-=⎨⎬⎨⎬ ⎪++++++⎝⎭⎩⎭⎩⎭.下证().2(1)r f x r ≤+假设存在0x ，使得()0.2(1)r f x r >+0[0,1]x ∈.则()00.2(1)r x f x r ≥>+从而()()()()22002,1,.21212121r r r r r x rx r r r r ⎛⎫⎛⎫+∈-∈⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭又()()()()222,2122121221r r r r r r r r r r r +=-=+++++，且*N 2r ∈.则0||||2(1)r rx r <+与()002(1)r rx f x r ≥>+矛盾，因此假设不成立.则当r 为偶数时，(){}min ,f x x rx =最大值为2(1)r r +.。
湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题(B卷)(含解析)
株洲市二中2024年下学期高一年级开学考试试卷数学试题（B 卷）时量：120分钟分值：150分第I 卷（选择题）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（）A.或B.C.D.2.下列运算正确的是（）A.B.C. D.3.桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示.则组成此几何体需要正方体的个数是（）A.7B.8C.9D.104.下列方程中两根之和为6的是（）A.B.C. D.5.设集合，若，则（）A.-3或-1或2B.-3或-1C.-3或2D.-1或26.函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A.B.{3xx ≤-∣3}x ≥{}33x x -≤≤∣{}3x x ≤-∣{}3x x ≥∣623a a a ÷=426a a a ⨯=()325a a =336a a a +=26150x x -+=21260x x -+=22630x x --=2318170x x -+={}22,1,2A a a a =--+4A ∈a =22y kx =-()0k y k x=≠C. D.7.关于的不等式组恰好有5个整数解，则的取值范围是（）A.B.C. D.8.定义：若抛物线的顶点，抛物线与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，（为正整数）.若，当为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线.A.或B.或C.或D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（）A.B.C. D.10.如图，下列是国家统计局公布的数据，下列关于这组数据的说法正确的是（）A.众数是2.1B.中位数是1.6x 0723x m x +<⎧⎨-⎩...m 76m -<-...76m --......76m -<- (76)m -<<-1:3l y x b =+10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()1122331,,2,,3,B y B y B y (),n n B n y ⋯n x ()()1122,0,,0A x A x ()()3311,0,,0n n A x A x ++⋯n 1(01)x d d =<<d 51271251211127121112712,,x y z xyz x y z x y z xyz+++0M ∉2M ∈4M -∈4M ∈C.平均数是2.08D.方差大于111.已知二次函数的图像与轴有两个交点，则下面说法正确的是（）A.该二次函数的图像一定过定点；B.若该函数图像开口向下，则的取值范围为：；C.当，且时，的最大值为；D.当，且该函数图像与x 轴两交点的横坐标满足时，m 的取值范围为：第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则式子的值为__________.13.如图，一段抛物线记为，它与轴交于点；将绕点旋转得到，交轴于点；将绕点旋转得到，交轴于点如此进行下去，直至得到.若在第13段抛物线上，则__________.14.给定实数集合，定义运算.设，则中的所有元素之和为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若满足，求的值.16.（本小题15分）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和B ；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C ，D 和E ；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H 和I .从三个口袋中各随机取出1个小()2223y m x mx m =-++-x ()()12,0,,0x x ()1,5--m 625m <<2m >12x ……y 45m -2m >12,x x 1232,10x x -<<--<<21114m <<2,3a b ab +==-32232a b a b ab ++()()303y x x x =--≤≤1C x 1O A ､1C 1A 180 2C x 2A 2C 2A 180 3C x 3A 13C ()37,P m 13C m =,A B {},,A B xx ab a b a A b B ⊗==++∈∈∣{}{}0,2,4,,18,98,99,100A B == A B ⊗x 2640x x m -++=12,x x m 12,x x 1232x x =+m球.（1）取出的3个小球上恰好有1个､2个和3个元音字母的概率分别是多少？（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，A ，E ，I 是元音字母；B ，C ，D ，H 是辅音字母）17.（本小题15分）对､定义一种新运算“”，规定：（其中､b 均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：.（1）已知.①求的值；②若关于x 的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t 的取值范围.（2）若运算“”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数，m ，结论“”都成立，试探索a ､b 所应满足的关系式.18.（本小题17分）定义：若任意可以相等，都有，则集合称为集合A 的生成集；（1）求集合的生成集B ；（2）若集合的生成集为的子集个数为4个，求实数的值；（3）若集合，A 的生成集为B ，求证.19.（本小题17分）已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1.（1）求的值；（2）点在抛物线上，点在抛物线上.（i ）若，且，求的值；（ii ）若，求的最大值.m n ◊5m n am bn ◊=-+a 56565a b ◊=-+()231,3110◊=◊-=a b ､()()23936x x x t ⎧◊-<⎪⎨◊-≤⎪⎩◊m m n n m ◊=◊,(,m n A m n ∈10mn +≠,,1m n B x x m n A mn ⎧⎫+==∈⎨⎬+⎩⎭{}3,4A ={},2,A a A =,B B a 11A -≤≤A B =2y x bx =-+b 22y x x =-+b ()11,A x y 22y x x =-+()11,B x t y h ++2y x bx =-+3h t =10,0x t >…h 11x t =-h答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合即满足的的集合.本题考查了集合的表示方法，属于基础题.3x x【解答】解：在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合是满足的的集合，解绝对值不等式可得：，故选B.2.【答案】B【解析】略3.【答案】B【解析】【分析】本题考查由三视图判断几何体，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.【解答】解：根据俯视图可知该组合体共2行､4列，结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：则组成此几何体需要正方体的个数是8，故选B.4.【答案】D【解析】略5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，属于中档题.分别由，求出的值，再将值代入验证即可.【解答】解：若，则，满足；若，则或，时，；时，，不符合互异性，则或2.故选C.6.【答案】C【解析】解：分两种情况讨论：3x ≤x {}33xx -≤≤∣214,24a a a -=-+=a a 14a -={}23,214,2,4,14a a a A =-∴-+=∴=224a a -+=2a =1a =-2a ={}11,2,1,4a A -=-∴=-1a =-12a -=3a =-①当时，反比例函数，在一､三象限，而二次函数开口向上，与y 轴交点为，都不符；②当时，反比例函数，在二､四象限，而二次函数开口向下，与y 轴交点为，C 符合.故选：C.根据，结合两个函数的图象及其性质分类讨论.本题主要考查二次函数､反比例函数的图象特点.7.【答案】A【解析】略8.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查新定义问题，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键.由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半.又，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1，据此解答即可.【解答】解：直线经过点，则；直线.由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；该等腰三角形的高等于斜边的一半.，该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；当时，，当时，，当时，，美丽抛物线的顶点只有.①若为顶点，由，则；0k >k y x =22y kx =-()0,2-0k <k y x=22y kx =-()0,1-0,0k k ><01d <<11:3y x b =+10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭14b =∴11:34l y x =+x ∴01d << ∴ 1x =1117113412y =⨯+=<2x =21111213412y =⨯+=<3x =311531344y =⨯+=>∴12B B ､1B 171,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭7511212d =-=②若为顶点，由，则，综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线.故选：B.9.【答案】CD【解析】【分析】本题考查集合中元素的性质､集合与元素的关系，注意题意中的位置有对称性，即代数式的值只与中有几个为负数有关，与具体中谁为负无关.根据题意，分析可得代数式的值与的符号有关；按其符号的不同分4种情况讨论，分别求出代数式在各种情况下的值，即可得，分析选项可得答案.【解答】解：根据题意，分4种情况讨论；①全部为负数时，则xyz 也为负数，则，②中有一个为负数时，则xyz 为负数，则，③中有两个为负数时，则xyz 为正数，则，④全部为正数时，则xyz 也正数，则；则，分析选项可得CD 符合.故选CD.10.【答案】AC 【解析】解：A ､因为2.1出现了2次，出现的次数最多，所以众数数是2.1，故本选项正确，符合题意；B ､把这些数从小到大排列为：，中位数是2.1，故本选项错误，不符合题意；C ､平均数是：，故本选项正确，符合题意；D ､方差是：，故本选项错误，不符合题意；故选：AC.2B 2112,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭11111211212d ⎡⎤⎛⎫=---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦d 5121112x y z ､､x y z ､､x y z ､､xyz x y z x y z xyz+++x y z ､､M x y z ､､4xyz x y z x y z xyz+++=-x y z ､､0xyz x y z x y z xyz+++=x y z ､､0xyz x y z x y z xyz +++=x y z ､､4xyz x y z x y z xyz+++={}4,4,0M =- 1.6,1.8,2.1,2.1,2.8()1 2.8 2.1 2.1 1.8 1.6 2.085⨯++++=22221(2.8 2.08)2(2.1 2.08)(1.6 2.08)(1.8 2.08)0.165615⎡⎤⨯-+⨯-+-+-=<⎣⎦根据平均数，众数，中位数以及方差的计算公式，分别对每一项进行分析，即可得出答案.本题考查了平均数，众数，中位数，方差的意义.平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量.11.【答案】ABD【解析】略12.【答案】-12【解析】略13.【答案】2【解析】由题知图像与轴的交点坐标分别为，易知图像与轴的交点坐标分别为，，且图像在x 轴上方，的表达式为，当时，.14.【答案】29970【解析】【分析】本题考查了集合的新定义问题【解答】解：由，可知所有元素之和为.15.【答案】解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，，解得：，的取值范围为.（2）：关于的一元二次方程有两个实数根，①，②.，当时，有③，联立①③解得：，当时，有④，联立①④解得：（不合题意，舍去）.符合条件的的值为4.【解析】本题考查的是根的判别式和根与系数的关系.1C x ()()0,0,3,01,5C x ()36,0()39,013C ∴()()133639y x x =---37x =()()373637392y =--⨯-=()()111x a b =++-()131930*********+++⨯-⨯= x 2640x x m -++=12,x x ()2(6)442040m m ∴∆=--+=-≥5m ≤m ∴5m ≤x 2640x x m -++=12,x x 126x x ∴+=124x x m =+1232x x =+ 20x ≥1232x x =+122,4x x ==84,4;m m ∴=+=20x <1232x x =-+122,8x x =-=∴m（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论；（2）由根与系数的关系可得①､②，分和可找出③或④，联立①③或①④求出的值，进而可求出的值.16.【答案】【小题1】个元音个元音个元音【小题2】【解析】1.略2.略17.【答案】解：（1）①，，解得：；②，，，即，解得：关于x 的不等式组，有且只有一个整数解，，解得：，即字母t 的取值范围是；（2），，，，2040m ∆=-≥126x x +=124x x m =+20x ≥20x <1232x x =+1232x x =-+12x x ､m (1P 5)(212P =1)(33P =1)12=16()231,3110◊=◊-= 23513510a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩1,2a b ==()()239,1,236x x a b x t⎧◊-<⎪==⎨◊-≤⎪⎩ ()2353119xa x b x ∴--+=-+<()365317xa b x t --+=+≤3119317x x t-+<⎧⎨+≤⎩23173x t x ⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩()()23936x x x t ⎧◊-<⎪⎨◊-≤⎪⎩17123t -∴≤<2023t ≤<2023t ≤<m n n m ◊=◊ 55ma nb na mb ∴-+=-+0ma nb na mb ∴--+=()()0m a b n a b ∴+-+=，为任意数，不一定等于0，，即所应满足的关系式是.【解析】略本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组､一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键.（1）①根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可；②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t 的不等式组，求出解集即可；（2）根据新运算得出等式，整理后即可得出答案.18.【答案】解：（1）由题可知①当时，，②当时，，③当或时，，所以；（2）①当时，，②当时，，③当或时，，的子集个数为4个，则中有2个元素，所以或或，解得或或舍去.（3）证明：，，，，即，()()0a b m n ∴+-=m n ､m n ∴-0a b ∴+=a b ､0a b +=3m n ==3331335x +==+⨯4m n ==44814417x +==+⨯3,4m n ==4,3m n ==34713413x +==+⨯387,,51713B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭2m n ==2241225x +==+⨯m n a ==22211a a a x a a +==++2,m n a ==,2m a n ==212a x a+=+B B 24251a a =+222112a a a a +=++24125a a +=+1a =1a =-1(22a a ==[],1,1m n A ∀∈-=()()111011m n m n mn mn++++=++…()()111011m n m n mn mn---+-=++…111m n mn+∴-+……[]1,1B =-，又，所以A ，综上可得.【解析】本题考查集合的新定义问题，集合中子集的个数，作差法比较大小，属于较难题.（1）根据新定义算出的值即可求出B ；（2）B 的子集个数为4个，转化为中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；（3）求出B 的范围即可证明出结论.19.【答案】解：（1）：抛物线的顶点横坐标为的顶点横坐标为1，，；（2）点在抛物线上，，在抛物线上，，，，（i ），，（ii ）将代入，，B A ∴⊆[]1,1A =-B ⊆A B =x B a 2y x bx =-+2,22b y x x =-+112b ∴-=4b ∴= ()11,A x y 22y x x =-+21112y x x ∴=-+()11,B x t y h ++ 24y x x =-+()()21114y h x t x t ∴+=-+++()()22111124x x h x t x t -++=-+++211224h t x t x t ∴=--++3h t = 2113224t t x t x t ∴=--++()1122t t x t x +=+10,0x t ≥>120t x +>1t =3h =11x t =-211224h t x t x t =--++2:382h t t =-+-，，：当，即时，取最大值.【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，掌握二次函数性质是解题的关键.（1）求出抛物线的顶点横坐标为的顶点横坐标为1，根据题意列方程，即可求出b 的值；（2）先求出，（i ）列方程即可求出h 的值；（ii ）求出关于的方程，配顶点式求出最大值.2410333h t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭30-<43t =113x =h 1032y x bx =-+2,22b y x x =-+211224h t x t x t =--++h h。
湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
长沙市2023~2024学年高一年级期末考试数学试卷（答案在最后）2024年7月时量：120分钟满分：150分命题：高一数学组审题：高一数学组一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2i z =-，则zz z =-（）A.1i 2-+ B.1i 2- C.1i 2+ D.1i 2--2.有一组互不相等的样本数据126,,,x x x ，平均数为x .若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为125,,,y y y ，平均数为y ，则下列说法错误的是（）A.新数据的极差可能等于原数据的极差B.新数据的中位数不可能等于原数据的中位数C.若x y =，则新数据的方差一定大于原数据方差D.若x y =，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数3.设ABC 的内角A B C ､､所对边分别为,,a b c ，若π3A =，且不等式(230x x -+<的解集为{}x b x a <<∣，则B =（）A.π6B.5π6C.π6或5π6 D.2π34.在侧棱长为S ABC -中，40ASB BSC CSA ∠∠∠=== ，过A 作截面AEF ，则截面的最小周长为（）A. B.4C.6D.105.设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得b a λ= ”是“a b a b +=+ ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC CC AC BC ==⊥，点D 是AB 的中点，则直线1B B 和平面1CDB 所成角的正切值为（）A.22B.3222D.227.在正方体1111ABCD A B C D -中边长为2，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π4，则此时点P 构成的图形面积为（）A.πB.25π16C.41π16D.2π8.已知平面向量12312312,,,1,,60e e e e e e e e ====.若对区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的三个任意的实数123,,λλλ，都有11223312312e e e e e e λλλ++≥++，则向量13,e e 夹角的最大值的余弦值为（）A.366-B.356+-C.366-D.356-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为12,x x ，事件A =“13x =”，事件B =“26x =”，事件12“9C x x =+=”，则（）（）A.AB C ⊆B.AC B ⊆C.,B C 互斥D.,B C 独立10.已知函数()23sin 2sin (0)2xf x x ωωω=+>的图象在区间[]0,π上有且仅有三个对称中心，则（）A.ω的取值范围是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()f x 的图象在区间[]0,π上有2条或3条对称轴C.()f x 在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值不可能为3D.()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,,E F G 分别为棱11,,AA CC BC 上的点，()10,1A E CF CG λ===∈，则（）A.EG GF⊥B.平面EFG 经过棱AB 的中点HC.平面EFG 截该正方体，截面面积的最大值为4D.点D 到平面EFG 距离的最大值为2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象与坐标轴交于点,,A B C ，直线BC 交()f x 的图象于点,D O （坐标原点）为ABD 的重心（三条边中线的交点），其中()π,0A -，则ABD 的面积为__________.13.明德中学为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数为x ，方差为2x s ，所有教师评分样本的半均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x s y s s ==，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为__________.14.正四棱锥的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则Rr的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面,2,22,,ABCD PA AB PB AD BC AB BC AD =====⊥∥,BC M 为棱AP 的中点.（1）求证：BM ∥平面PCD ；（2）求直线PC 与平面BCM 所成角的正弦值.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos sin 3a b C C =-.（1）求B 的大小；（2）若ABC 的面积为，且3BC BD =，当线段AD 的长最短时，求AC 的长.17.（15分）袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲､乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，...，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求取球2次即终止的概率：（2）求甲取到白球的概率.18.（17分）如图，已知四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，且6AB =，60BAD BAF DAF ∠∠∠=== .（1）证明：直线BD ⊥平面ACEF ；（2）设平面BEF ⋂平面ABCD l =，且二面角E l D --的平面角为26,tan 3θθ=，设G 为线段AF 的中点，求DG 与平面ABCD 所成角的正弦值.19.（17分）点A 是直线PQ 外一点，点M 在直线PQ 上（点M 与,P Q 两点均不重合），我们称如下操作为“由A 点对PQ 施以视角运算”：若点M 在线段PQ 上，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=；若点M 在线段PQ 外，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=-.（1）若M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 的延长线上，且22AB BM ==，由1A 对AB 施以视角运算，求(),;A B M 的值：（2）若M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 上，且2AB =，由1A 对AB 施以机角运算，得到()1,;2A B M =，求AM MB的值；（3）若1231,,,,n M M M M - 是ABC 的边BC 的()2n n ≥等分点，由A 对BC 施以视角运算，证明：()()(),;,;11,2,3,,1k n k B C M B C M k n -⨯==- .长沙市2023~2024学年高一年级期末考试数学答案题号12345678答案ADACBDAA【解析】因为2i z =-，所以2i z =+，所以()()()2i i 2i 2i 12i 1i 2i 2i 2i 2i i 22z z z +⋅++-+=====-+---+--⋅.故选：A.2.【答案】D【解析】不妨设原数据126x x x <<< ，新数据.125y y y <<< .，A ：例如原数据为1,2,3,4,5,6，新数据为，此时极差均为615-=，故A 正确；B ：原数据中位数为342x x +，新数据中位数为3y ，可知33y x =或34y x =，若33y x =，可得34332x x x y +>=；若34y x =，可得34432x xx y +<=；综上所述：新数据的中位数不可能等于原数据的中位数，故B 正确；C ：若x y =，可知去掉的数据为x ，则652211(()i i x x y y ==-=-∑∑，可得652211111,3,4,5,6()()65i i x x y y ==-<-∑∑，所以新数据的方差一定大于原数据方差，故C 正确；D：若x y =，可知去掉的数据为x ，因为640% 2.4⨯=，可知原数据的40%分位数为第3位数，540%2⨯=，可知新数据的40%分位数为第2位数与第3位数的平均数，例如原数据为2,2,3,4,5,6-，新数据为2,2,4,5,6-，此时新数据的40%分位数､原数据的40%分位数均为3，故D 错误；故选：ABC.3.【答案】A【解析】不等式(230x x -+<即()(30x x -<3x <<，所以，3,a b ==，由正弦定理可得sin sin b a B A=，所以，πsin 13sin 32b A B a ===，b a < ，所以B A <，可得B 是锐角，所以π6B =，故选A .4.【答案】C【解析】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面AEF 的周长最小，就是侧面展开图中AG 的距离，因为侧棱长为2的正三棱锥V ABC -的侧棱间的夹角为40,120AVG ∠=，所以由余弦定理可知22222cos12036,6AG VA VG VA VG AG =+-⋅==∴= ，故选C.5.【答案】B【解析】若“a b a b +=+，则平方得2222|2||2|a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，即a b a b ⋅=⋅ ，即cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅=⋅ ，则cos ,1a b = ，即,0a b = ，即,a b同向共线，则存在实数λ使得b a λ= ；反之当,πa b = 时，存在0λ<，满足b a λ= ，但“a b a b +=+ ”不成立，即“存在实数λ使得b a λ= ”是“a b a b +=+ ”的必要不充分条件.故选：B.6.【答案】D【解析】由题意，以C 为坐标原点，以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间坐标系，如下图所示：令12AC BC CC ===，则()0,0,0C ，()()()()12,0,0,0,2,0,1,1,0,0,2,2A B D B 故()()()110,0,2,1,1,0,0,2,2B B CD CB =-==设(),,n x y z = 为平面1CDB 的一个法向量，则100CD n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0220x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则1,1y z =-=，从而()1,1,1n =-，设直线1B B 和平面1CDB 所成角为θ，则111sin cos ,3||n B B n B B n B Bθ⋅=<>==⋅，故cos 3θ=，从而tan 2θ=.故选：D.7.【答案】A【解析】如下图所示，设三棱锥P ABC -的外接球为球O '，分别取11AC A C ､的中点1O O ､，则点O '在线段1OO 上，由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则ABC的外接圆的半径为OA =O 的半径为R ，则2414ππ4R =，解得4R =.所以，34OO =='，则1135244OO OO OO '=-=-=，易知，点P 在上底面1111A B C D 所形成的轨迹是以1O为圆心的圆，由于4O P R =='，所以，11O P ==，因此，点P 所构成的图形的面积为21ππO P ⨯=.故选：A.8.【答案】A【解析】设()cos ,sin C θθ，如图，不妨设()()12311,0,,,cos ,sin 22e OA e OB e CO θθ⎛⎫======-- ⎪ ⎪⎝⎭.设M 为AB 的中点，G 为OC 的中点，F 为BD 的中点，E 为AD 的中点.则()1233111,,cos ,sin ,44222M G e e e GO OM GM θθ⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设112233e e e HO OP HP λλλ++=+=，点P 在平行四边形EDFM 内（含边界）.由题知HP GM ≥恒成立.为了使13,e e最大，则思考13,e e为钝角，即思考C 点在第一或第四象限.思考临界值即P 与M 重合，G 与H 重合，且GM 不能充当直角三角形斜边，否则可以改变H 的位置，使得HM GM <，此时θ最小，所以GM OC ⊥ ，即()311cos ,sin cos ,sin 04242θθθθ⎛⎫--⋅= ⎪⎪⎝⎭，即22311cos cos sin 04242θθθθ-+-=.即331cos sin 1222θθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即π1cos 262θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以πcos 63θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以ππππππcos cos cos cos sin sin 666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1332326+=⨯+=，其中向量1e 与3e 夹角为πθ-，故1e 与3e 夹角的最大值的余弦值为36+-.故选：A.9.【答案】ABD【解析】AB =“13x =且26x ="，事件C 的基本事件有121212121,8;2,7;3,6;4,5x x x x x x x x ========；121212125,4;6,3;7,2;8,1x x x x x x x x ========共8个，所以AB C ⊆，故A 正确；AC ="13x =且129"x x +=="13x =且26"x =，所以AC B ⊆，故B 正确；对于C ，当13x =且26x =时，事件,B C 同时发生，所以,B C 不互斥，故C 错误；对于()()181D,,8888P B P C ===⨯，而BC =“13x =且26x =”，则()164P BC =，所以()()()P BC P B P C =，所以,B C 独立，故D 正确.故选：ABD.10.【答案】BD【解析】()1cos π2cos 12sin 126xf x x x x x ωωωωω-⎛⎫=+⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，令()ππ6x k k ω-=∈Z ，得()()61πππ66k k x k ωωω+=+=∈Z ，由()()61π0π6k k ω+≤≤∈Z 结合0ω>，得()1166k k ω-≤≤-∈Z ，依题意.k .有且只有三个整数值，所以1236ω≤-<，得131966ω≤<，故A 不正确；令()πππ62x k k ω-=+∈Z ，得()()32ππ2π33k k x k ωωω+=+=∈Z ，由()()32π0π3k k ω+≤≤∈Z 结合0ω>，得()2233k k ω-≤≤-∈Z ，当13863ω≤<时，32223ω≤-<，此时0k =或1k =，函数()f x 的图象在区间[]0,π上有2条对称轴，为2π5π,33x x ωω==，当81936ω≤<时，25232ω≤-<，此时0k =或1k =或2k =，函数()f x 的图象在区间[]0,π上有2条对称轴，为2π5π8π,,333x x x ωωω===，所以()f x 的图象在区间[]0,π上有2条或3条对称轴，故B 正确；当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππππ,6646x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为131966ω≤<，所以ππ3π5π,4688ω⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，所以当ππ62x ω-=，即2π3x ω=时，()f x 取得最大值3，故C 不正确；由π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππππ,6666x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为131966ω≤<，所以ππ7π13π,663636ω⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，因为0ω>，所以()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故D 正确.故选：BD11.【答案】ABD【解析】记M 为11D C 的中点，棱AB 的中点H ，取线段11A D 上的点N 使得1A N λ=，正方体1111ABCD A B C D -的中心为O .则根据对称性，E 和,F G 和,N H 和M 分别关于点O 对称.从而O 在平面EFG 内，而FG ∥1BC ∥HM ，故FG ∥HO ，从而H 在平面EFG 内.由于前面的对称性，及,,,,E F G H O 在平面EFG 内，知平面EFG 截该正方体的截面就是中心为O 的六边形EHGFMN ，从而H 一定在平面EFG 内，至此我们得到选项B 正确.前面已经证明FG ∥MH ，同理有NE ∥MH ，故FG ∥MH ∥NE .由于11A N A E CF CG λ====，故111D N AE C F BG λ====-，同时显然有1112AH BH D M C M ====.从而EN FG λ===，MN MF EH GH =====由于,EN FG HM FG λ==<=∥MH ∥NE ，故四边形ENMH 和GFMH 都是等腰梯形，从而,OE ON OF OG ==.这表明线段EF 和GN 互相平分且长度相等，所以四边形是EGFN 矩形，故EG GF ⊥，至此我们得到选项A 正确.由于四边形ENMH 和GFMH λ，下底均为，.所以它们的面积都等于(11122λλ⋅+=+故截面EHGFMN 的面积(1S λ=+.当34λ=时，(7321411644S λ⋅=+=>，至此我们得到选项C 错误.由于1122DO DB ==，且O 在平面EFG 内，故点D 到平面EFG的距离不超过2.而当12λ=时，,,,,,E H G F M N分别是各自所在棱的中点，从而DE DF DG ===而2OE OF OG ===，这表明点D 和点O 到,,E F G 三点的距离两两相等.故点D 和点O 在平面EFG 的投影同样满足到,,E F G 三点的距离两两相等，从而点D 和点O 在平面EFG 的投影都是EFG 的外心，所以由点D 和点的投影是同一点，知DO 垂直于平面EFG .从而由O 在平面EFG 内，知点D 到平面EFG 的距离就是DO 的长，即32.所以，点D 到平面EFG 的距离的最大值是32，至此我们得到选项D 正确.故选：ABD.12.【答案】2【解析】因为O 为ABD 的重心，且()π,0A -，可得2π3OA AC ==，解得3π2AC =，所以π,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1π3ππ222T =--=，所以3πT =，所以2π3πω=，解得23ω=，可得()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()π0f -=，即()2sin π03ϕ⎡⎤⋅-+=⎢⎥⎣⎦，可得()2π2π3k ϕ⨯-+=，解得2π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又由0πϕ<<，所以2π3ϕ=，所以()22π2sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，于是()22π02sin 033OB f ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭，故ABD的面积为13π2222S =⨯⨯.故答案为：2.13.【答案】160【解析】假设在样本中，学生､教师的人数分别为,(1200,,)m n n m m n ≤<<∈N ，记样本中所有学生的评分为(),1,2,3,,i x i m =⋯，所有教师的评分为(),1,2,3,,j y j n =⋯，由x y =得mx ny z x y m n +===+，所以()()222111200m n i j i j s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()222211114,2002005m n i j x y x y i j x x y y ms ns s s ==⎡⎤=-+-=+=⎢⎥⎣⎦∑∑，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y x y xs s m n s s +=，令x ys t s =，则()21600,Δ2560042560042000mt t n mn m m -+==-=--≥，即220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤<<且200m n +=，得100m >，所以160m ≥.所以总样本中学生样本的个数至少为160.故答案为：160.14.1+【解析】设正四棱锥P ABCD -底面边长为a ，高为h ，底面ABCD 的中心为M ，连接,PM BM，则,2BM a PM h ==，所以PB ==，设外接球球心为1O ，内切球球心为2O ，则12,O O 在PM 上，因为11PO BO R ==，所以11O M PM PO h R =-=-，在1Rt O MB中，222()2h R a R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得2224h a R h +=，因为22111143332P ABCDV a h a r -==+⨯⨯所以r =，所以()22222222244h a h a a a R h a a h ahr h ah ++++===2222224ha h +⋅=，令h k a =，则222221h R a r ⎛⎫+ ⎪=，令1)t t =>，则()2121R t r t +=-，令1(0)m tm =->，则222111122R m m m r m m ++==++≥+=+，当且仅当12m m =，即m =时取等号，所以R r1+.1+.15.【解析】（1）取PD 的中点N ，连接,MN CN ，则MN ∥AD 且12MN AD =，又BC ∥AD 且12BC AD =，所以MN ∥BC 且MN BC =，故四边形BCNM 为平行四边形，所以BM ∥CN ，又BM ⊄平面,PCD CN ⊂平面PCD ，所以BM ∥平面PCD（2）由2,2AB PA PB ===222AB PA PB +=，所以PA AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PA =⊂平面PAB ，所以PA ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥.由2,1,AB BC AB BC ==⊥，得225AC AB BC =+=，所以223PC AC PA =+=，22226,5CM AM AC BM AM AB =+==+=，得222CM BM BC =+，则BC BM ⊥，所以1522MBC S BM BC =⋅= .又()()111121213323P MBC P ABC M ABC ABC V V V S PA MA ---=-=-=⋅⋅⋅⋅-= ，设P 到平面MBC 的距离为h ，直线PC 与平面MBC 的所成角为θ，则1536P MBC MBC V hS -== ，所以1536h =，解得55h =，所以5255sin 315h PC θ===，即直线PC 与平面MBC 的所成角的正弦值为515.16.【解析】（1）因为3cos sin 3a b C C =-，由正弦定理可得3sin sin cos sin 3A B C B C =-，又()()sin sin πsin sin cos cos sin A B C B C B C B C ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，所以sin cos cos sin sin cos sin sin 3B C B C B C B C +=-，所以cos sin sin 3B C B C =-，又()0,πC ∈，所以sin 0C >，所以cos sin 3B B =-，即tan B =，又()0,πB ∈，所以2π3B =；（2）因为ABC 的面积为，即1sin 2ac B =，即12πsin 23ac =11222ac ac ⨯==，因为3BC BD = ，所以13BD BC = ，在ABD 中2222cos AD BA BD BA BD B =+-⋅，即2221121123333AD c a ac ca ac ac ⎛⎫=++≥+== ⎪⎝⎭，当且仅当13c a =，即6,2a c ==时取等号，所以AD ≥AD 的最小值为6,2a c ==，则2222212cos 62262522b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以b =，即AC =17.【解析】（1）设事件A 为“取球2次即终止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助树状图求出相应事件的样本点数：因此，()432767P A ⨯==⨯.（2）设事件B 为“甲取到白球”，“第i 次取到白球”为事件1,2,3,4,5i =，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.借助树状图求出相应事件的样本点数：所以()()()()135135()P B P A A A P A P A P A =⋃⋃=++343343213361227765765437353535⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++=++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯18.【解析】（1）设AC BD O ⋂=，连接,DF OF ，四边形ABCD 为菱形，则,,AB AD AC BD BO OD =⊥=，又60BAF DAF ∠∠== ，易得BAF DAF ≅ ，所以BF DF =，则BD OF ⊥，又,,AC OF O AC OF ⋂=⊂平面ACEF ，所以直线BD ⊥平面ACEF（2）过F 点作FH AC ⊥于H 点，过H 点作HM l ⊥于M 点，连接FM ，过H 点作HN AD ⊥于N 点，连接FN ，由（1）易证，,FM l FN AD ⊥⊥，则FMH ∠为二面角E l D --的平面角，在直角FHM 中，6tan 3FH HM θ==，又3HM BO ==，可得6FH =，设2AF a =，则,33AN a NH FN a ===，直角FHN 中，222(26)3)3a +=，可得6AF =，G 为线段AF 的中点，则G 到平面ABCD 的距离6d =，又33DG =，设直线DG 与平面ABCD所成角为,sin 3d DG αα==，直线DG 与平面ABCD所成角的正弦值为3.19.【解析】（1）如图1，因为22AB BM ==，所以113,AM A B A M ===.由正方体的定义可知1AA AB ⊥，则190A AB ∠= ，故11sin 22AA B AA B ∠∠==，11sin 1313AA M AA M ∠∠==.因为111BA M AA M AA B ∠∠∠=-，所以11111sin sin cos cos sin 26BA M AA M AA B AA M AA B ∠∠∠∠∠=-=，则()11112sin 13,;3sin A A AA M A B M A B MA B ∠∠⨯=-=--.（2）如图2，设()02AM a a =≤≤，则1122sin ,cos 44AA M AA M a a ∠∠==++.因为111BA M AA B AA M ∠∠∠=-，所以()()()()()()22111sin sin 224/24BA M AA B AA M a a a ∠∠∠=-=-++，则()211112sin 14,;sin 22A A AA M a a A B M A B MA B a ∠∠⨯===-，解得23a =，故122AM a MB a ==-.（3）证明：如图3，因为1231,,,,n M M M M - 是BC 的n 等分点，所以k n k BM CM -=,n k k k n k BC BM CM BC n n --===.在k ABM 中，由正弦定理可得sin sin k k k BM AB BAM AM B ∠∠=，则sin sin k k k AB BAM BM AM B ∠∠=.在k ACM 中，同理可得sin sin k k k AC CAM CM AM C ∠∠=.因为πk k AM B AM C ∠∠+=，所以sin sin k k AM B AM C ∠∠=，则()sin sin ,;sin sin k k k k k k k k k AB BAM BM AM B BM k B C M AC CAM CM AM C CM n k∠∠∠∠====-.同理可得(),;n k n k n k BM n k B C M CM k ----==.。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案
2024年下学期10月份考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列表示集合6N N A x x ++⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭和(){}22536B x x x=+=关系的Venn 图中正确的是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】依题意可求得集合,A B ，根据集合中的元素可判断两集合之间的关系.【详解】根据题意由6N ,N x x++∈∈可得1,2,3,6x =，即{}1,2,3,6A =；解方程()22536x x+=可得256x x +=或256x x +=-，解得1x =或6x =-或2x =-或3x =-，即可得{}1,2,3,6B =---；因此可得集合,A B 有交集，但没有包含关系.故选：A2.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]π3=，[]0.60=，[]1.62-=-，那么“1x y -<”是“[][]x y =”的（）．A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】举出反例得到充分性不成立，再设[][]x y k ==，得到1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，故1x y -<，必要性成立，得到答案.【详解】不妨设 1.6, 2.5x y ==，满足1x y -<，但[][]1,21.6 2.5==，不满足[][]x y =，充分性不成立，若[][]x y =，不妨设[][]x y k ==，则1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，故1x y -<，必要性成立，故“1x y -<”是“[][]x y =”的必要条件.故选：B3.已知命题p ：x ∀∈R ，01xx >-，则p ⌝为（）.A.x ∀∈R ，01xx ≤- B.x ∃∈R ，01xx ≤-C.x ∀∈R ，01xx ≤-或10x -= D.x ∃∈R ，01xx ≤-或10x -=【答案】D 【解析】【分析】利用全称命题的否定求解即可.【详解】由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为x ∃∈R ，01xx ≤-或10x -=.故选：D4.若正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则t xy =的取值范围为（）A.{|04}t t <≤B.{|2}t t ≥C.{|4}t t ≥D.{|16}t t ≥【答案】D 【解析】【分析】由基本不等式得到4x y +≥，求出答案.【详解】正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则4x y +≥，当且仅当x y =时取等号，所以t xy =，即xy ≥，即t ≥，两边平方,结合0t >，解的16t ≥.故选：D.5.已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B.1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C.1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D.1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D6.若实数αβ，满足1312αβ-<<<-，则αβ-的取值范围是（）A.1312αβ-<-<-B.250αβ-<-<C.10αβ-<-<D.11αβ-<-<【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质及题中条件即可得到结果.【详解】因为αβ<，所以0αβ-<，又1312α-<<-，1312β-<<-，所以1213β<-<所以11αβ-<-<，故10αβ-<-<，故选：C7.关于x 的一元二次不等式()()()2120x a x a --+->⎡⎤⎣⎦，当01a <<时，该不等式的解集为（）A.2|21a x x x a -⎧⎫><⎨⎬-⎩⎭或 B.2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭C.2|21a x x x a -⎧⎫<>⎨⎬-⎩⎭或 D.2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】由01a <<，知10a -<，原不等式等价于()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭，再确定相应二次方程的根的大小得不等式的解集.【详解】由01a <<，则10a -<，原不等式等价于不等式()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭的解集，又由01a <<，则方程()2201a x x a -⎛⎫--= ⎪-⎝⎭的两根分别为1222,1a x x a -==-，当01a <<时，221a a -<-，故原不等式的解集为2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭.故选：B8.已知长为a ，宽为b 的长方形，如果该长方形的面积与边长为1k 的正方形面积相等；该长方形周长与边长为2k 的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为3k 的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为4k 的正方形面积和周长的比相等，那么1k 、2k 、3k 、4k 大小关系为（）A.1423k k k k ≤≤≤B.3124k k k k ≤≤≤C.4132k k k k ≤≤≤D.4123k k k k ≤≤≤【答案】D 【解析】【分析】先求出21ab k =，22a b k +=3=，2442k aba b k =+，然后利用基本不等式比较大小即可.【详解】由题意可得，21ab k=①，22a b k +=3=③，2442k aba b k =+④，且,0a b >，由基本不等式的关系可知，a b +≥a b =时等号成立，由①②得，2122k k ≥，所以21k k ≥⑤，因为()22222()22+=++≤+a b a b ab a b，所以222()2a b a b ++≥，当且仅当a b =时等号成立，由②③得，2223422k k ≥，所以32k k ≥⑥，又2ab aba b ≤=+，当且仅当a b =时等号成立，由①④得，241422k kk ≤，所以41k k ≤⑦，综合⑤⑥⑦可得，4123k k k k ≤≤≤.故选：D .二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法不正确的是（）A.“a b <”是“11a b>”的必要不充分条件B.若1x y +=，则xy 的最大值为2C.若不等式20ax bx c ++>的解集为{|13}x x <<，则230a b c ++<D.命题“R x ∃∈，使得210x +=．”的否定为“R x ∀∉，使得210x +≠．”【答案】ABD 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断A ，消元，根据二次函数性质判断B ，根据一元二次不等式的解集与二次方程的关系求,,a b c 的关系，由此判断23a b c ++的正负，判断C ，根据含量词的命题的否定方法判断D.【详解】对于A ，取1a =-，1b =，则a b <，但11a b<，取1a =，1b =-，则11a b>，但a b >，所以“a b <”是“11a b>”的既不充分也不必要条件，A 错误；对于B ，因为1x y +=，所以()2211124xy x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以xy 的最大值为14，B 错误；因为不等式20ax bx c ++>的解集为{|13}x x <<，所以0a <，且1,3为方程20ax bx c ++=的根，所以13b a +=-，13c a⨯=，所以4b a =-，3c a =，所以238920a b c a a a a ++=-+=<，C 正确；命题“R x ∃∈，使得210x +=．”的否定为“R x ∀∈，使得210x +≠．”D 错误；故选：ABD.10.已知正数a ，b 满足238a b +=，则下列说法正确的是（）A.83ab ≤ B.227a b +>C.224932a b +≥ D.11126436a b a b +≥++【答案】ACD 【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论检验选项A,C,D ，举出反例检验选项B ，即可判断.【详解】对于A ，因为823a b =+≥，故83ab ≤，当且仅当23,238a b a b =+=,即42,3a b ==时等号成立，故A 正确;对于B ，当2,1b a ==时,2267a b +=<，B 显然错误;对于C ，因为22249(23)12641232a b a b ab ab +=+-=-≥，当且仅当42,3a b ==时等号成立，故C 正确;对于D ，由238a b +=可得()6932324a b a b +=+=,即()264324a b a b +++=,所以111264326432643242643a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++⎛⎫+=+ ⎪++++⎝⎭143261122242643246a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝当且仅当2643a b a b +=+，即42,3a b ==时等号成立，故D 正确.故选：ACD.11.对于一个非空集合B ，如果满足以下四个条件：①(){},,B a b a A b A ⊆∈∈，②(),,a A a a B ∀∈∈，③,a b A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b a B ∈，则a b =，④,,a b c A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b c B ∈，则(),a c B ∈，就称集合B 为集合A 的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（）A.设{}1,2A =，则满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个B.设{}1,2,3A =，则集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =是集合A 的一个“偏序关系”C.设{}1,2,3A =，则含有四个元素且是集合A 的“偏序关系”的集合B 共有6个D.(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是实数集R 的一个“偏序关系”【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，分析出()()1,1,2,2B ∈，分析③可知，()1,2和()2,1只能二选一，或两者均不能在B 中，从而得到足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个；B 选项，()1,2B ∈且()2,1B ∈，但12≠，B 错误；C 选项，分析出()()()1,1,2,2,3,3B ∈，再添加一个元素即可，从而得到答案；D 选项，通过分析均满足四个条件，D 正确.【详解】A 选项，{}1,2A =，则(){}()()()(){},,1,1,1,2,2,1,2,2a b a A b A ∈∈=，通过分析②可知，()()1,1,2,2B ∈，分析③可知，()1,2和()2,1只能二选一，或两者均不能在B 中，取()(){}1,1,2,2B =，或()()(){}1,1,2,2,1,2B =，或()()(){}1,1,2,2,2,1B =，故满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个，A 正确；B 选项，集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =，()1,2B ∈且()2,1B ∈，但12≠，故②不成立，故BC 选项，{}1,2,3A =，通过分析②可知，()()()1,1,2,2,3,3B ∈，结合③和④，可再添加一个元素，即()()()()()()1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2中任选一个，即取()()()(){}1,1,2,2,3,3,1,2B =，或()()()(){}1,1,2,2,3,3,1,3B =，或()()()(){}1,1,2,2,3,3,2,3B =，或()()()(){}11,1,2,2,3,3,,2B =，或()()()(){}11,1,2,2,3,3,,3B =，或()()()(){}21,1,2,2,3,3,,3B =，共6个，C 正确；D 选项，(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是R 的子集，满足①，且当a b =时，()R,,a a a R '∀∈∈，满足②，当a b =时，满足③，,,R a b c ∀∈，若(),a b R '∈且(),b c R '∈，则,a b b c ≤≤，所以a c ≤，则(),a c R ∈'，满足④，故(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是实数集R 的一个“偏序关系，D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设,a b ∈R ，集合{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，则a b +=______【答案】0【解析】【分析】根据ba可知0a ≠，故0a b +=.【详解】由ba可知0a ≠，又{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，故0a b +=.故答案为：013.已知条件:30p x ⌝-<<，条件:q x a ⌝>，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是_________.【答案】(],3-∞-.【分析】根据充分、必要条件的定义及命题的否定形式计算参数范围即可.【详解】由题设得:0p x ≥或3x ≤-，设P ={0x x ≥或3x ≤-}，同理可得:q x a £，设{}Q x x a =≤，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ⊆，因此3a ≤-.故答案为：(],3-∞-.14.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC b =，()BC a b a =≥，AB c =，图中两个阴影三角形的周长分别为1l ，2l ，则12l l a b++的最小值为________.【答案】12+【解析】【分析】根据图形中的相似关系先表示出12l l +，然后利用基本不等式求解出最小值.【详解】如图1，易知BDE V ∽ACB △，且BD CD BC b a =-=-，所以1l BD b a AC b a b c -==++，所以()1b al a b c b-=⨯++；如图2，易知GFH ∽ACB △，且FG a =，所以2l FG a AC b a b c ==++，所以()2al a b c b=⨯++，所以22221222112l l a b c a b a b a b a b a b a b ab+++++==+=++++++221121ab a b =+++,又因为222a b ab +≥，所以2221ab a b +≤，当且仅当a b =时取等号，所以121211112l l a b +≥+=+++，所以最小值为212+，故答案为：212+.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知{|23}A x x =-≤≤，{|53}B x a x a =-<<，全集R U =．（1）若12a =，求A B ，A B ⋂；（2）若()U B A B =ðI ；求实数a 的取值范围．【答案】（1）9|32A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭，3|22A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭，（2）283a a a ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或【解析】【分析】（1）由条件根据集合运算法则求A B ，A B ⋂即可；（2）由条件可得U B A ⊆ð，根据集合包含关系列不等式可求a 的取值范围．【小问1详解】因为12a =，所以93{|53}|22B x a x a x x ⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{|23}A x x =-≤≤，所以9|32A x x B ⎧⎫-<≤=⎨⎬⎩⎭ ，3|22A B x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭ ，【小问2详解】因为()U B A B =ðI ，所以U B A ⊆ð，因为{|23}A x x =-≤≤，所以{2U A x x =<-ð或}3x >，又{|53}B x a x a =-<<，当B =∅时，U B A ⊆ð，此时35a a ≤-，接的52a ≤-，当B ≠∅时，由U B A ⊆ð，可得3532a a a >-⎧⎨≤-⎩或3553a a a >-⎧⎨-≥⎩，所以5223a -<≤-或8a ≥，综上23a ≤-或8a ≥.所以a 的取值范围23a a ⎧≤-⎨⎩或}8a ≥.16.（1）设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：若ab cd >>（2）已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：222111a b c a b c ++≤++.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先对（2）利用基本不等式结合1abc =可证得结论【详解】（1）因为222a b c d =++=++又因为,0a b c d ab cd +=+>>,,,a b c d >为正数，所以22>，>（2）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，当且仅当a b c ==时，取等号，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c ++≤++，当且仅当1a b c ===时取等号.17.已知p ：2280x x +-≤，q ：()22210x m x m m -+++≤.（1）若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若q 是p 的既不充分也不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）41m -≤≤（2）1m >或4m <-【解析】【分析】（1）解不等式化简命题,p q ，由充分不必要条件列出不等式求解；（2）根据命题,p q 的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解.【小问1详解】由2280x x +-≤，可得42x -≤≤，则p ：42x -≤≤，又由()22210x m x m m -+++≤，可得1m x m +≤≤，则q ：1m x m +≤≤，若q 是p 的充分不必要条件，可得[],1m m +是[]4,2-的真子集，有412m m ≥-⎧⎨+≤⎩，解可得41m -≤≤；【小问2详解】若q 是p 的既不充分也不必要条件，则[],1m m +和[]4,2-互不包含，可得12m +>或4m <-，解得1m >或4m <-.18.某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单位为y 元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为1S ;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为2S ．（其中4,4y x b a >>>>）（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a ，b ，x ，y 同时满足关系4224y x b a a =-=+-，求这两种购买方案花费的差值S 最小值（注：差值S =花费较大值-花费较小值）．【答案】（1）采用方案二；理由见解析（2）24【解析】【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；（2）根据题意，得到214((4S S x a a -=-⋅+-，利用换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：方案一的总费用为1S ax by =+（元）；方案二的总费用为2S bx ay =+（元），由21()()()()()S S bx ay ax by a y x b x y y x a b -=+-+=-+-=--，因为4,4y x b a >>>>，可得0,0y x a b ->-<，所以()()0y x a b --<，即210S S -<，所以21S S <，所以采用方案二，花费更少.【小问2详解】解：由（1）可知()()(1244S S y x b a x a a ⎛⎫-=--=-⋅+⎪-⎝⎭，令t =，则24x t =+，所以2224(1)33x t t t -=-+=-+≥，当1t =时，即5x =时，等号成立，又因为4a >，可得40a ->，所以44(4)44844a a a a +=-++≥=--，当且仅当444a a -=-时，即6,14a b ==时，等号成立，所以差S 的最小值为2483=⨯，当且仅当5,8,6,14x y a b ====时，等号成立，所以两种方案花费的差值S 最小为24元.19.已知集合{}()*1,2,3,,2N ,4n S n n n =∈≥ ，对于集合n S 的非空子集A ，若n S 中存在三个互不相同的元素,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于A ，则称集合A 是集合n S 的“期待子集”.（1）试判断集合{}{}123,4,5,3,5,7A A ==是否为集合4S 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）（2）如果一个集合中含有三个元素,,x y z ，同时满足①x y z <<，②x y z +>，③x y z ++为偶数.那么称该集合具有性质P .对于集合n S 的非空子集A ，证明：集合A 是集合n S 的“期待子集”的充要条件是集合A 具有性质P .【答案】（1）1A 是集合4S 的“期待子集”，2A 不是集合4S 的“期待子集”（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可.（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质P 的定义证明即可；【小问1详解】因为{}41,2,3,4,5,6,7,8S =，对于集合{}13,4,5A =，令345a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，显然41S ∈，42S ∈，43S ∈所以1A 是集合4S 的“期待子集”；对于集合2{3,5,7}A =，令111111357a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则111152a b c ++=，因为4111,,a b c S ∈，即111N *a b c ++∈，故矛盾，所以2A 不是集合4S 的“期待子集”【小问2详解】先证明必要性：当集合A 是集合n S 的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的,,n a b c S ∈，使得,,a b b c c a A +++∈，不妨设a b c <<，令x a b =+，y a c =+，z b c =+，则x y z <<，即条件P 中的①成立；又()()()20x y z a b c a b c a +-=+++-+=>，所以x y z +>，即条件P 中的②成立；因为()()()()2x y z a b c a b c a b c ++=+++++=++，所以x y z ++为偶数，即条件P 中的③成立；所以集合A 满足条件P .再证明充分性：当集合A 满足条件P 时，有存在A ∈x,y,z ，满足①x y z <<，②x y z +>，③x y z ++为偶数，记2x y z a z ++=-，2x y z b y ++=-，2x y z c x ++=-，由③得,,Z a b c ∈，由①得a b c z <<<，由②得02x y z a z ++=->，所以,,n a b c S ∈，因为a b x +=，a c y +=，b c z +=，所以a b +，b c +，c a +均属于A ，即集合A 是集合n S 的“期待子集”【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.。
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高一数学考试试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线10mx ny +-=过第一、三、四象限，则（ ）A ．0,0m n >>B ．0,0m n <>C ．0,0m n ><D ．0,0m n <<2.函数()1x f x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3.设,,l m n 表示三条直线，,,αβγ表示三个平面，则下面命题中不成立的是（ ）A ．若.l m αα⊥⊥，则l m ；B ．若,,m m l n β⊂⊥是l 在β内的射影，则m n ⊥；C ．若,,m n m n αα⊂⊄，则n α；D ．若.αγβγ⊥⊥，则αβ.4.若直线()()1:3410l k x k y -+++=与()()2:12330l k x k y ++-+=垂直，则实数k 的值是（ ）A ．3或-3B ． 3或4 C. -3或-1 D ．-1或45.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．1023+B ．103+ C. 123+ D ．1123+6.直线102n mx y +-=在y 轴上的截距是-1，且它的倾斜角是直线3330x y --=的倾斜角的2倍，则（ ）A ．3,2m n =-=-B ． 3,2m n == C. 3,2m n ==- D ．3,2m n =-=7.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120︒，则该圆锥的体积为（ ）A ．2281πB ．4581π C. 881π D ．1081π 8.在正方体1111ABCD A B C D -中，CD 的中点为1,M AA 的中点为N ，则异面直线1C M 与BN 所成角为（ ）A ．30︒B ．60︒ C. 90︒ D ．120︒9.已知点(),M a b 在直线34200x y +-=上，则22a b +的最小值为（ ）A ．3B ． 4 C. 5 D ．610.已知边长为a 的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将该菱形沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A ．36aB ．312a C. 3312a D ．3212a 11.已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，侧棱垂直于底面，且点D 是侧面11BB C C 的中心，则直线AD 与平面11BB C C 所成角的大小是（ ）A ．30︒B ．45︒ C. 60︒ D ．90︒12.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，3,2EFAB EF =，且点E 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为（ ）A ．92B ．5 C. 6 D ．152第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知直线3450x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ．14.设函数()2,1ln ,1x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩，若函数()y f x k =-有且只有两个零点，则实数k 的取值范围是 ．15.已知点()0,2关于直线l 的对称点为()4,0，点()6,3关于直线l 的对称点为，则m n += ．16.定义点()00,P x y 到直线()22:00l Ax By C A B ++=+≠的有向距离为0022Ax By Cd A B ++=+.已知点12,P P 到直线l 的有向距离分别是12,d d ，给出以下命题：①若12d d =，则直线12P P 与直线l 平行；②若12d d =-，则直线12P P 与直线l 垂直；③若120d d ⋅>，则直线12P P 与直线l 平行或相交；④若120d d ⋅<，则直线12P P 与直线l 相交，其中所有正确命题的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，其高为6cm ，底面三角形的边长分别为3,4,5cm cm cm ，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V .18.过点()3.0P 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220l x y --=与2:30l x y ++=之间的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程.19.如图，四棱锥P ABCD -中，,1,2,BCAD BC AD AC CD ==⊥，且平面PCD ⊥平面ABCD .（1）求证：AC PD ⊥；（2）在线段PA 上是否存在点E ，使BE 平面PCD ？若存在，确定点E 的位置，若不存在，请说明理由.20.如图，在ABC ∆中，边BC 上的高所在的直线方程为320,x y BAC -+=∠的平分线所在的直线方程为0y =，若点B 的坐标为()1,3.（1）求点A 和点C 的坐标；（2）求ABC ∆的面积.21. 某化工厂每一天中污水污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为()()[]25log 121,0,24f x x a a x =+-++∈，其中a 为污水治理调节参数，且()0,1a ∈.（1）若12a =，求一天中哪个时刻污水污染指数最低； （2）规定每天中()f x 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？22.已知在三棱锥P ABC -中，,E F 分别是,AC AB 的中点，,ABC PEF ∆∆都是正三角形，PF AB ⊥.（1）求证：PC ⊥平面PAB ；（2）求二面角P AB C --的平面角的余弦值；（3）若点,,,P A B C 在一个表面积为12π的球面上，求ABC ∆的边长.试卷答案一、选择题1-5: CBDAC 6-10: AACBD 11、12：CD二、填空题 13.125 14. 1+2∞（，） 15. 33516. ③④ 三、解答题17.解：111334636(cm )2ABC A B C V -⨯=⨯=三棱柱． …………………3分 设圆柱底面圆的半径为r ，则22341345ABC S r AB BC AC ∆⨯⨯===++++， ……………………6分 1236(cm )OO V r h ππ==圆柱． ………………………9分所以11113(366)cm ABC A B C OO V V V π-=-=-三棱柱圆柱. ……………………10分18.解：设直线l 夹在直线12,l l 之间的线段是AB (A 在1l 上，B 在2l 上)， ,A B 的坐标分别是()()1122,,,x y x y .因为AB 被点P 平分，所以12126,0x x y y +=+=，于是21216,x x y y =-=-.……………………3分 由于A 在1l 上，B 在2l 上，所以1111220(6)()30x y x y --=⎧⎨-+-+=⎩， 解得111116,33x y ==，即A 的坐标是1116,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………………6分 直线PA 的方程是0316110333y x --=--， ……………………10分 即 8240x y --=.所以直线l 的方程是8240x y --=. …………………12分19.证明：D C B EF PA（1）连接AC ，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =， AC CD ⊥，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面PCD , ……………………4分∵PD ⊂平面PCD ,所以AC PD ⊥. ……………………5分(2) 当点E 是线段PA 的中点时，//BE 平面PCD . ……………………6分证明如下：分别取,AP PD 的中点,E F ，连接,,.BE EF CF则EF 为PAD ∆的中位线，所以//EF AD ,且112EF AD ==， 又//BC AD ，所以//BC EF ,且BC EF =，所以四边形BCFE 是平行四边形，所以//BE CF , …………………10分 又因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD所以//BE 平面PCD .…………………12分 20.解：（1）由3200x y y -+=⎧⎨=⎩,得顶点(2,0)A -． …………………2分 又直线ABx 轴是BAC ∠的平分线， 故直线AC 的斜率为1-，AC 所在直线的方程为2y x =-- ①直线BC 上的高所在直线的方程为320x y -+=，故直线BC 的斜率为3-， 直线BC 方程为33(1)y x -=--，即3 6.y x =-+ ② ……………4分 联立方程①②，得顶点C 的坐标为(4,6)-． ………………6分（2 ………………8分 又直线BC 的方程是360x y +-=,所以A 到直线BC 的距离 ………………10分所以ABC ∆ ……………12分21.解：（1） …………………2分当()2f x = 即4x =.所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低. …………………4分（2）设()25log 1t x =+，则当024x ≤≤时，01t ≤≤.则()31, 01, 1t a t a g t t a a t -++≤≤⎧=⎨++<≤⎩, …………………7分 显然()g t 在[]0,a 上是减函数，在[],1a 上是增函数，则()()(){}max max 0,1f x g g =, …………………9分因为()()031,12g a g a =+=+, 则有 ()()0313123g a g a =+≤⎧⎪⎨=+≤⎪⎩，解得23a ≤， ……………………11分又(0,1)a ∈，故调节参数a . ……………………12分22.(1)证明：连接FC ，因为在等边ABC ∆中， F 为AB 中点，所以AB CF ⊥.因为AB CF ⊥,AB PF ⊥,PF CF=F .所以AB ⊥平面PCF , 又PC ⊂平面PCF ,所以PC AB ⊥, ………………2分 在PAC ∆中，PE 为边AC 上的中线， 又1122PE EF BC AC ===， 所以PAC ∆为直角三角形，且AP PC ⊥. ………………4分 因为PC AB ⊥，PC AP ⊥，AP AB A =，所以PC ⊥平面PAB . ……………………5分 （2）解：由（1）可知， PFC ∠为所求二面角的平面角.设AB a =，则2a PF =，FC =，在直角三角形CFP 中，cos 3PF PFC FC ∠==. ……………………8分(3)解：设球半径为r ，则2412r ππ=，所以r = ………………9分 设ABC ∆的边长为a ，因为PC ⊥平面PAB ，,AP PB ⊂平面PAB所以PC AP ⊥，PC BP ⊥，且由（2）知，2PC a =. 因为PF AF FB ==,所以PAB ∆为直角三角形，且PA PB ⊥，2PA PB a ==，2a =，所以a = …………………12分。