2010年浙江省高中数学竞赛试卷

2010年浙江省高中数学竞赛试卷（教师）

说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1．

化简三角有理式x

x x x x

x x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ A ）

A. 1

B. sin cos x x +

C. sin cos x x

D. 1+sin cos x x

解答为 A 。

22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=(

4422s i n c o s s i n

c o s

x x x x =++

。

2．

若2:(10,:2p x x q x ++≥-，则

p 是q 的（ B ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 解答为 B 。p 成立3x ⇔≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。 3．

集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ D ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或

C. {6,3}x x x <->或

D. {6,3}x x x <->-或 解答：D 。 画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-，

{}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。

4． 设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b .

若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为（ C ）

A ．k r ==

B ．k r ==

C ．k r ==

D ．k r ==解答．C. P Q Q R P R ==

，

==

。

5． 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若1，则CA 1与C 1B 所成的角的大小

是( C )

A ．60°

B ．75°

C ．90°

D ．105°

解答：C 。建立空间直角坐标系，以11A B 所在的直线为x 轴，在平面111A B C 上垂直于11A B

的直线为y 轴，1BB 所在的直线为z 轴。则11A C C

(0,0,1)B ，1111(

1),(02222

CA C B CA C B =--=--∙=。 6．

设{}n a ，{}n b 分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以

下结论正确的是（ A ）

A. 22a b >

B. 33a b <

C. 55a b >

D. 66a b > 解答：A 。

11444,12

a b a b ====设等差数列的公差为d ，等比数列公比为q,由，得d=-1,q=

223355663,2,0,1,24

a b a b a b a b =======-=得。

7．

若15,(12)x R x +∈+则的二项式展开式中系数最大的项为（ D ）

A ．第8项 B. 第9项 C. 第8项和第9项 D. 第11项

解答：D. 11512129322,33

r r

r r r r r T C T T T T r ++++=≤≤⇒≤≤由，，r=10，第11项最大。

8．

设()cos 5x f x =，12111

(log ),(log ),(log )e e a f b f c f e πππ

===，则下述关系式

正确的是（ D ）。

A ．a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. b a c >>

解答： D 。函数()cos 5x f x =为偶函数，在（0，2π

）上，()cos f x x =为减函数，

而121

111log log ,log ,log 2log log e

e e e e e π

πππ

ππ

=-=-=， log 2log 1

05log 554

e e e ππππ<

<<<，所以b a c >>。

9．

下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（ C ）

A.

32π B. 23π C. 43π D. 34

π 解答：C. 根据题意，该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。

10. 设有算法如下：

正视图： 半径为1的半圆以及高为1的矩形

俯视图： 半径为1的圆

如果输入A=144, B=39,则输出的结果是（ B ） A. 144 B. 3 C. 0 D. 12 解答 B （1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）

11. 满足方程2=所有实数解为20102011x ≤≤。

解答 201=⇒≤，解得

20102011x ≤≤。

12. ,x R ∈ 函数()2sin

3cos 23

x x

f x =+的最小正周期为12π. 解答 2s i n 43c o s ()12

23

x x

f x πππ的周期为，的周期为6，所以函数的周期为。 13. 设P 是圆2236x y +=上一动点，A 点坐标为()20,0。当P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹方程为22(10)9x y -+=.

解答 设M 的坐标为00(,)(,),x y P x y ，设点坐标为则有 0020,22

x y

x y +=

= 00220,2x x y y ⇒=-=，因为P 点在圆上，所以22(220)(2)36x y -+= 所以P 点轨迹为

22(10)9x y -+=。

14. 设锐角三角形ABC 的边BC 上有一点D ，使得AD 把△ABC 分成两个等腰三角

形，试求△ABC 的最小内角的取值范围为 30