1.1函数的概念以及表示方法(2017年)

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函数的概念和概念

函数的概念和概念函数是数学中的基本概念之一，也是计算机科学中非常重要的概念之一。

简单来说，函数是一种将一个或多个输入映射到一个输出的规则或过程。

在数学中，函数是一个机械的映射关系，可以将一个数或一组数映射到另一个数或一组数。

具体地说，函数是一种有序对的集合，包括输入和对应的输出。

函数的输入称为自变量，输出称为因变量。

函数通常用自变量x和因变量y表示，一般写成y = f(x)的形式。

这里的f表示函数关系，表示自变量x和因变量y之间的映射关系。

函数关系可以用各种形式的方程式、图表或图像来表示。

函数在数学中有很多种不同的类型，例如，线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等等。

每种函数都有其特定的特征和性质。

函数的定义域为自变量可能取值的集合，值域为函数可能取值的集合。

定义域和值域的不同可以决定函数的性质和特征。

例如，线性函数的图像是一条直线，定义域和值域都是实数集；二次函数的图像是一个抛物线，定义域为实数集，值域取决于二次项的系数等等。

在计算机科学中，函数是一种封装了某个特定功能的可重用代码块。

有了函数，我们可以将复杂的问题分解成更小的问题，每个问题由一个函数来解决。

这种分解使程序变得更加模块化和易于理解。

函数接受输入参数，经过一系列代码运算，产生一个输出结果。

函数可以返回一个值，也可以没有返回值。

函数在程序设计中有很多种不同的形式，例如，内置函数、自定义函数、递归函数等等。

内置函数是语言本身提供的函数，例如，数学计算函数、字符串处理函数、文件操作函数等等。

自定义函数是由程序员根据需要自行编写的函数。

递归函数是指函数可以调用自己的一种特殊函数。

函数在计算机科学中的重要性不言而喻。

函数可以大大简化程序的编写，提高代码的可读性和可维护性。

通过将一个复杂问题分解成多个函数，可以使程序更加模块化，易于理解和调试。

函数可以被多次调用，从而提高代码的重用性。

通过递归函数，可以处理一些复杂和需要重复调用的问题，例如，处理树形结构、图形遍历等。

函数的概念及表示

函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法：（1）观察法（2）判别式法（3）配方法（4）换元法（5）不等式法（6）图像法（7）分离常数法考点1：用观察法求值域例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。

函数的概念及表示方法

函数的概念及表⽰⽅法函数的概念是在某⼀个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每⼀个x值，按照某个对应法则f，y都有唯⼀确定的值与它对应，那么，把x叫做⾃变量，把y叫做x的函数。

函数的概念及表⽰⽅法函数的概念：在某⼀个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每⼀个x值，按照某个对应法则f，y都有唯⼀确定的值与它对应，那么，把x叫做⾃变量，把y叫做x的函数。

函数的表⽰法：将上述函数记作y=f(x)。

变量x叫做⾃变量，数集D叫做函数的定义域。

当x=xo时，函数y=f(x)对应的值yo叫做函数y=f(x)在点xo 处的函数值，记作yo=f(xo)。

函数值的集合{y|y=f(x)，x∈D｝叫做函数的值域。

函数的定义域与对应法则⼀旦确定，函数的值域也就确定了，因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素。

函数简介函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，⽽近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定⼀个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另⼀数集B，假设B 中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以⽤y=f（x）表⽰。

函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。

其中核⼼是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

函数最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。

之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指⼀个量随着另⼀个量的变化⽽变化，或者说⼀个量中包含另⼀个量。

函数的概念及其表示

函数的概念及其表示知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．2．函数定义域的求法要点一、函数的概念例1、设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N的函数关系的有（）A．①②③④B．①②③C．②③D．②例2、下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=lg x2，g（x）=2lg xC．f（x）=，g（x）=x+1D．f（x）=•，g（x）=例3、下列集合A，B及其对应法则，不能构成函数的是（）A．A=B=R f（x）=|x|B．A=B=RC．A={1，2，3，4），B={2，3，4，5，6}f（x）=x+1D．A={x|x＞0}，B={1}f（x）=x0答案：C A B练习1、下列四个图形中不可能是函数y=f（x）图象的是（）A．B．C．D．2、已知函数f（x）的定义域A={x|0≤x≤2}，值域B={y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f （x）的图象的只可能是（）A．B．C．D．3、下列四组函数中的f（x）和g（x）相等的是（）A．B．C．D．4、下列对应是从集合A到B的函数的是（）A．A=N，B=R，对应关系f：“求平方根”B．A=N*，B=N*，对应关系f：x→y=|x﹣3|C．A=R，B={0，1}，对应关系f：D．A=Z，B=Q，对应关系5、中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M={﹣1，1，2，4}，N={1，2，4，16}，给出下列四个对应法则：①，②y=x+1，③y=|x|，④y=x2，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．①③B．①②C．③④D．②④要点二、函数的定义域例4、函数的定义域是（）A．（1，2]B．（1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）例5、已知函数y＝f（x+1）的定义域是[﹣1，2]，则函数y＝f（﹣x）的定义域为（）A．[﹣3，0]B．[﹣1，2]C．[0，3]D．[﹣2，1]例6、若函数y=的定义域为R，则a的取值范围为（）A．（0，4]B．[4，+∞）C．[0，4] D．（4，+∞）答案： B A C 练习6、函数f （x ）=+的定义域为（）A ．（﹣3，0]B ．（﹣3，1]C ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]D ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1] 7、函数f （x ）=（x ﹣5）0+（x ﹣2）的定义域为（）A ．{x ∈R |2＜x ＜5或x ＞5}B ．{x ∈R |x ＞2}C ．{x ∈R |x ＞5}D ．{x ∈R |x ≠5且x ≠2}8、若函数f （x ）的定义域为[1，2]，则函数y=f （x 2）的定义域为（） A ．[1，4]B ．[1，] C ．[﹣，] D ．[﹣，﹣1]∪[1，]9、若函数f （3﹣2x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数f （x ）的定义域是（） A ．B ．[﹣1，2]C ．[﹣1，5]D ．10、已知函数的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．（0， B ．（﹣∞，C ．，+∞）D ．[1，+∞）要点三、函数的解析式例7 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2) f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式(3) 定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．（4）定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.练习11、已知函数，则（）A ．f （x ）＝x 2+2x +1B ．f （x ）＝x 2﹣2x +3（x ≥1）C ．f （x ）＝x 2﹣2x +1D ．f （x ）＝x 2+2x +3（x ≥1）12、若函数f （x ）满足f （）＝x ，则f （x ）的解析式为（）A．f（x）＝（x≠1）B．f（x）＝，（x≠﹣1）C．f（x）＝（x≠1）D．f（x）＝（x≠﹣1）13、已知函数f（x）＝2x+3，若f（g（x））＝6x﹣7，则函数g（x）的解析式为（）A．g（x）＝4x﹣10B．g（x）＝3x﹣5C．g（x）＝3x﹣10D．g（x）＝4x+414、若函数f（x）对于任意实数x恒有3f（x）﹣2f（﹣x）＝5x+1，则f（x）＝．15、已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝+1，则f（x）＝．答案：1、C 2、D 3、C 4、C 5、C 6、C 7、A 8、D 9、C 10、C 11、B 12、A 13、B 14、x+1。

函数的基本概念与表示方法

函数的基本概念与表示方法在数学的广袤天地中，函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系和变化规律。

它不仅是数学研究的重要对象，也是解决实际问题的有力工具。

让我们一起走进函数的世界，去探寻它的基本概念和表示方法。

函数是什么呢？简单来说，函数是一种特殊的对应关系。

想象有两个集合，一个集合中的元素通过某种规则与另一个集合中的元素一一对应，这个规则就是函数。

比如说，我们有一个集合是学生的学号，另一个集合是对应的学生成绩。

当给定一个学号，就能通过特定的规则找到对应的成绩，这就是一个函数关系。

函数通常用符号“f”“g”等来表示。

假设我们有一个函数 f，它把集合A 中的元素 x 映射到集合 B 中的元素 y，我们就可以写成 f(x) ＝ y 。

这里的 x 叫做自变量，y 叫做因变量。

自变量是主动变化的量，因变量则是随着自变量的变化而变化的量。

函数有几个重要的特点。

首先，对于集合 A 中的每一个自变量 x，都必须有唯一确定的因变量 y 与之对应。

也就是说，一个自变量不能对应多个不同的因变量。

其次，集合 A 中的元素都要有“用武之地”，不能有被“冷落”的元素。

这两个特点保证了函数关系的确定性和完整性。

函数的表示方法有很多种，最常见的有解析法、列表法和图像法。

解析法就是用数学表达式来表示函数关系。

比如，y ＝ 2x ＋ 1 就是一个用解析法表示的函数。

这种方法简洁明了，能够清晰地展示自变量和因变量之间的数量关系。

通过这个表达式，我们可以很容易地计算出当 x 取不同值时 y 的值。

列表法是将自变量和对应的因变量列成表格的形式。

比如，我们要表示一个人的体重随年龄的变化，就可以列出这样一个表格：｜年龄（岁）｜ 10 ｜ 15 ｜ 20 ｜ 25 ｜ 30 ｜｜｜｜｜｜｜｜｜体重（kg）｜ 30 ｜ 45 ｜ 55 ｜ 60 ｜ 65 ｜列表法直观清晰，对于一些离散的数据或者有限的取值范围，使用列表法非常方便。

图像法则是用图形来表示函数关系。

函数的概念及其表示方法

教学内容知识梳理知识点一、函数的概念1．函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数. 记作：y=f(x)，x A ．其中，x 叫做叫做自变量自变量，x 的取值范围A 叫做函数的叫做函数的定义域定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的致，而与表示自变量和函数值的字母字母无关. 3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间的数轴表示．区间表示：区间表示：{x|a≤x≤b}=[a ，b]；；；. 知识点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学解析法：用数学表达式表达式表示两个变量之间的对应关系．表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出列表法：列出表格表格来表示两个变量之间的对应关系．来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的分段函数的解析式不能写成几个不同的方程方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．各部分的自变量的取值情况．知识点三、映射与函数1.映射定义：设A 、B 是两个非是两个非空集空集合，如果按照某个对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的映射；记为f ：A→B.象与原象：象与原象：如果给定一个从集合如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，的映射，那么那么A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象. 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a 的象记为f(a). 2.函数：设A 、B 是两个非空数集，若f ：A→B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数，记为y=f(x). 注意：注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；函数三要素：定义域、值域、对应法则(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合. 原象集合例题讲解类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)】判断下列命题的真假真假【变式1】判断下列命题的(1)y=x-1与是同一函数；是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；是同一函数；(3)是同一函数；是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数. 2.求下列函数的定义域(用区间表示). 求下列函数的定义(1)；(2)；(3). 】求下列函数的定义域：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3). 3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1). 【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；域；(2)求f(-3)，的值；的值；f(a-1)的值. (3)(3)当a＞0时，求f(a)×f(a)×f(a-1)【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：，求： (1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x)) 4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4；. 类型二、映射与函数5. 下列下列对应关系对应关系中，哪些是从A 到B 的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射? (1)A=R ，B=R ，对应法则f ：取倒数；：取倒数；(2)A={平面内的平面内的三角形三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f ：作三角形的：作三角形的外接圆外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f ：作圆的：作圆的内接内接三角形．三角形．【变式1】判断下列两个对应是否是】判断下列两个对应是否是集合集合A 到集合B 的映射？的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N *，B={0，1}，对应法则f:x→x 除以2得的得的余数余数； ③A=N ，B={0，1，2}，f ：x→x 被3除所得的余数；除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，【变式2】已知映射f ：A→B ，在f 的作用下，判断下列说法是否正确？的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x ∈A ，都有唯一的y ∈B 与x 对应；对应；(2)A 中的某个元素在B 中可以没有象；中可以没有象；(3)A 中的某个元素在B 中可以有两个以上的象；中可以有两个以上的象；(4)A 中的不同的元素在B 中有不同的象；中有不同的象；(5)B 中的元素在A 中都有原象；中都有原象； (6)B 中的元素在A 中可以有两个或两个以上的原象. 【变式3】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x→y=(x→y=(-1)-1)x ； (2)A=N ，B=N +，f ：x→y=|x x→y=|x-3|-3|；(3)A=R ，B=R ，(4)A=Z ，B=N ，f ：x→y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x→y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x→y=|x→y=|x|. x|. 6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素是从集合的象，B中元素的原象. 的映射，其中【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？的原象分别为什么？y)→(x-y-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x么？么？类型三、函数的表示方法7. 求函数的求函数的解析式解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x). 【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)]. 8.作出下列函数的作出下列函数的图象图象. (1)；(2)；类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值. 【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值. 10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约解析式，并画出个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数函数的图象. 【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，之间的函数关系式？Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？元，应选择哪种通讯方式？话费200元，应选择哪种通讯方式？若某人预计一个月内使用话费Ⅲ. 若某人预计一个月内使用一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) ⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵．⑴、⑵ B．⑵、⑶．⑶、⑸．⑷ D．⑶、⑸．⑵、⑶ C．⑷2．函数y=的定义域是() 0≤x≤1 1 D．{-1，1} x≤-1-1或x≥1 C．0≤x≤A．-1≤x≤1B．x≤3．函数的值域是( ) A．(-(-∞∞，)∪(，+∞)B．(-(-∞∞，)∪(，+∞)C．R D．(-(-∞∞，)∪(，+∞) 4．下列从．下列从集合的对应中：集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x 2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从其中，不是从集合集合A 到集合B 的映射的个数是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5．已知映射f:A→B ，在f 的作用下，下列说法中不正确的是( ) A ． A 中每个元素必有象，但B 中元素不一定有原象中元素不一定有原象 B ． B 中元素可以有两个原象中元素可以有两个原象 C ． A 中的任何元素有且只能有唯一的象中的任何元素有且只能有唯一的象 D ． A 与B 必须是非空的必须是非空的数集数集 6．点(x ，y)在映射f 下的象是(2x-y ，2x+y)，求点(4，6)在f 下的原象( ) A ．(，1)B ．(1，3) C ．(2，6)D ．(-1，-3) 7．已知集合P={x|0≤x≤4}， Q={y|0≤y≤2}，下列各，下列各表达式表达式中不表示从P 到Q 的映射的是( ) A ．y=B ．y=C ．y=x D ．y=x 28．下列．下列图象图象能够成为某个函数图象的是( ) 9．函数的图象与的图象与直线直线的公共点数目是( ) A ．B ．C ．或D ．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( ) A ． B ．C ．D ． 11．已知，若，则的值是( ) A ．B ．或C ．，或D ．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( ) 的图象适当平移A．沿轴向右平移个单位个单位 B．沿轴向右平移个单位个单位C．沿轴向左平移个单位个单位个单位 D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．上的值域4．若最大值为，则这个二次函数的表，且函数的最大值．若二次函数二次函数的图象与x轴交于，且函数的达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．的定义域．2．求函数的值域．的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：．根据下列条件，求函数的解析式(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x 2+2x+1，求f(x+3)；(4)已知； (5)已知f(x)的定义域为R ，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x). 课后作业一．选择题一．选择题1．下列四种说法正确的一个是．下列四种说法正确的一个是（） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的．函数的值域也就是其定义中的数集数集B C ．函数是一种特殊的映射．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于等于（） A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是．下列各组函数中，表示同一函数的是（） A ．xx y y ==,1 B ．1,112-=+´-=x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数23212---=x x x y 的定义域为的定义域为（） A ．]1,(-¥ B ．]2,(-¥C ．]1,21()21,(-Ç--¥D ． ]1,21()21,(-È--¥ 5．设ïîïíì<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f p ，则=-)]}1([{f f f （）A ．1+pB ．0 C ．pD ．1- 6．设函数x x x f =+-)11(，则)(x f 的表达式为（） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．xx +-11 D ．12+x x 7．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为的定义域为（） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[-8．设îíì<+³-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（的值为（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13二、填空题9．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 10．若记号“*”表示的是2*b a b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个”的运算对于任意三个实数实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 . 11．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成可构成个不同的映射. 12．设函数.)().0(1),0(121)(a a f x x x x x f >ïïîïïíì<³-=若则实数a 的取值范围是的取值范围是。

函数的概念.

函数的概念函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的依赖关系，帮助我们更好地理解数学中的各种关系。

本文将从函数的定义、表示、性质、运算以及实际应用等方面进行介绍。

1.函数的定义函数是一个数学表达式，它表示了一个或多个自变量的输入值与对应因变量的输出值之间的关系。

在数学中，用符号“f”表示函数，其中f后面的括号内是自变量的取值范围，而f右侧的表达式则是因变量的取值范围。

例如，一个简单的函数可以定义为y=x+2，其中x 是自变量，y是因变量。

2.函数的表示函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法等。

解析法是用数学符号和公式来表示函数关系的一种方法，如y=x+2。

表格法是用表格形式表示函数关系的一种方法，它适用于离散变量函数，如阶跃函数等。

图象法则是用函数图象表示函数关系的一种方法，适用于连续变量函数。

3.函数的性质函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

单调性是指函数在某一区间内随着自变量的增加，因变量的值也相应增加，反之亦然。

奇偶性是指函数在原点对称或旋转对称时具有的性质。

周期性是指函数按照一定的周期重复出现的现象。

4.函数的运算函数的运算包括函数的加、减、乘、除等基本运算以及复合运算等。

函数的加、减、乘、除等基本运算可以类比于代数中的运算，而复合运算则是将两个或多个基本函数组合成一个新函数的过程。

5.函数的实际应用函数在实际生活中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有函数的身影。

例如，在物理学中，牛顿第二定律F=ma就描述了力与加速度之间的关系；在经济学中，成本函数、收益函数等都是描述经济变量的重要工具；在工程学中，各种系统模型也都是用函数来描述的。

此外，函数还在计算机科学、统计学等领域中有着广泛的应用。

总之，函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了变量之间的依赖关系，并为我们提供了分析问题、解决问题的重要工具。

通过深入理解函数的定义、表示、性质、运算以及实际应用等方面，我们可以更好地掌握函数这一重要概念，并为解决实际问题提供有力的支持。

函数概念与知识点总结

函数概念与知识点总结一、函数的概念1.1 函数的定义函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种对应关系，将一个或多个输入参数映射到一个输出结果。

在数学中，函数通常表示为f(x)，其中x是输入参数，f(x)是输出结果。

函数也可以表示为y=f(x)，其中y是输出结果，x是输入参数。

函数还可以表示为y=f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是多个输入参数。

1.2 函数的特性函数具有一些特性，包括单值性、有限性、定义域和值域。

单值性表示对于每个输入参数，函数有且只有一个输出结果。

有限性表示函数的定义域和值域都是有限的。

定义域是函数能接受的输入参数的集合，而值域是函数输出结果的集合。

1.3 函数的分类函数可以根据其形式、性质和用途进行分类。

常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数等。

函数还可以根据其定义域和值域的不同进行分类，如有界函数、无界函数、周期函数等。

二、函数的性质与图像2.1 函数的奇偶性函数可以根据其图像的对称性来判断奇偶性。

若函数的图像关于原点对称，则函数是奇函数；若函数的图像关于y轴对称，则函数是偶函数。

2.2 函数的增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的增加和减少情况。

若对于定义域内的任意两个值x1和x2，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则函数是单调递增的；若x1<x2，则f(x1)>f(x2)，则函数是单调递减的。

2.3 函数的最值函数的最值指在定义域内的最大值和最小值。

函数的最值可以通过求导数或利用一阶导数的性质进行判断。

2.4 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示。

通过绘制函数的图像，可以直观地理解函数的性质和变化规律。

例如，线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。

三、函数的运算3.1 函数的加减运算当两个函数f(x)和g(x)相加或相减时，可以将它们的对应项相加或相减，得到一个新的函数h(x)=f(x)±g(x)。

函数的概念及表示方法

函数及其表示方法1.函数的概念：一般的，设A ，B 是非空实数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个实数，在集合B 中都有唯一确定的实数)(x f y =和x 对应，那么就称 f 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y = ，其中 x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集。

注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2.构成函数的三要素：值域 , 定义域 , 对应关系 .3. 函数相等:若两个函数的定义域相同,且对应关系在本质上也是相同的,则称两个函数相等。

4、函数的三种表示方法（1）解析法:_用解析式把把x 与y 的对应关系表述出来，最常见的一种表示函数关系的方法。

举例：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。

优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法：用表格的方式把x 与y 的对应关系一一列举出来.比较少用.举例：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。

优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

（3）图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质.优点：直观形象地表示自变量的变化。

5、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。

拓展一判断相同函数例1、下列函数f （x ）与g （x ）是表示同一个函数的是？（）A. f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ;B. f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x C ．f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 、D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 拓展二函数的判断例2、下列函数图像中不能作为函数y=f(x)的图像的是（）拓展三求函数的定义域函数定义域的一般求法（开偶次方根，分式，零次幂）例3、（1） ()x x f 2=+()01+x （2）1()(12)(1)f x x x =-+；(3)()4f x x =-复合函数求定义域若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。

函数的概念及其表示法

时，有x=f^(-1)(y)，则称x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
性质
02
原函数和反函数在相应的区间上单调性相同。
求导法则
03
原函数的导数等于反函数的导数的倒数。
05 函数的实际应用
一次函数的应用
01
02
03
线性回归分析
一次函数是线性回归分析的基础，通过拟合数据点，可以预测因变量的变化趋势。
函数的概念及其表示法
目录
• 函数的基本概念 • 函数的表示法 • 函数的定义域和值域 • 函数的运算 • 函数的实际应用
01 函数的基本概念
函数的定义
01
函数是一种特殊的对应关系，它使得集合A中的每一个元素都能通过某种法则对应到集合B中的唯一一个元素。
02
函数通常用大写字母表示，如f(x)， g(x)等，其中x是自变量，f(x)是因变量。
初等函数
由代数函数和三角函数经过有限次四则运算得到的函数。
三角函数
与三角学相关的函数，如正弦函数、余弦函数等。
超越函数
不能表示为有限次四则运算的初等函数的函数，如自然对数函数、正切函数等。
02 函数的表示法
解析法
解析法
使用数学表达式来表示函数，如 $f(x) = x^2 + 2x + 1$。解析法精确地描述了函数与自变量之间的数学关系，适用于需要精确计算的情况。
表格法
01 02
表格法
列出自变量和因变量的若干组对应数值，以表格的形式表示函数。适用于已知部分函数值的情况，可以通过插值或拟合的方法确定其他点的函数值。
优点
简单、直观，能够提供一定程度的近似值。

(完整版)1.1函数的概念

(公式法) 特点：便于理论分析和数值计算。
7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1-2 某地区统计了某年1~12月中当地流行性出血热
的发病率,见下表
列表法
t (月份) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y (‰) 16.6 8.3 7.1 6.5 7.0 10.0 2.5 3.5 5.7 10.0 17.1 7.0
23
注1 任何两个函数都可以复合成一个复合函数吗？例如 y arcsin u, u x2 2 答案：它们不能复合．因为： y arcsin u 的定义域是 1 u 1 而 u 2 x2 2, 因此函数 y arcsin(2 x 2 ) 是无意义的。
24
注2 复合函数也可以由两个以上的函数构成。
第一章函数和极限
第一节函数的概念
一、函数的概念
定义1-1设 x 和 y 是两个变量, D是一个给定的数集. 如果对于每个数 xD , y 按一定的法则总有确定的数值和它对应,则称 y 是 x 的函数,记作 y = f ( x ).
D 叫做定义域, x 叫做自变量, y 叫做因变量, W={y| y= f ( x ) , xD} 称为函数的值域.
y0= f ( x0 ) 叫做函数在 x = x0 处的函数值.
也可记作 y |x x 0
2
1.求函数的定义域
例1 求 y x 3 ln( x 2 ) 的定义域。
解：要求函数的定义域，即要使函数解析式有意义
x30 x20 解得 x 2 即函数的定义域为 (2,)
3
邻域
以a为中心,长度为2 的开区间 a ,a
x
2
,
3 x,
1 x 0 0 x 1 1 x 2

高一数学函数的概念知识点详解

高一数学函数的概念知识点详解一、函数的定义和表示方法函数是数学中的重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。

函数可以用多种方式来定义和表示，包括集合表示法、公式表示法、图像表示法等。

1.1 集合表示法在集合表示法中，函数可以用有序数对的集合来表示。

例如，如果函数f将集合A中的元素映射到集合B中的元素，则可以表示为f={(a,b)|a∈A, b∈B}。

1.2 公式表示法在公式表示法中，函数可以用一个表达式来表示。

例如，如果函数f将自变量x映射到因变量y，则可以表示为y=f(x)。

1.3 图像表示法在图像表示法中，函数可以通过绘制其图像来表示。

图像是由自变量和因变量的坐标点组成的。

二、定义域和值域在讨论函数时，我们经常会涉及到其定义域和值域。

2.1 定义域定义域是指函数输入的所有可能值的集合。

对于某个函数f，如果自变量x的取值范围在集合D内，则称D为函数f的定义域。

2.2 值域值域是指函数输出的所有可能值的集合。

对于某个函数f，如果因变量y的取值范围在集合R内，则称R为函数f的值域。

三、常见的函数类型在高一数学中，我们会遇到许多常见的函数类型，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

3.1 线性函数线性函数是指自变量和因变量之间存在一次关系的函数。

它的一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数。

3.2 二次函数二次函数是指自变量和因变量之间存在二次关系的函数。

它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数。

3.3 指数函数指数函数是指以常数e为底的幂函数。

它的一般形式为y=a^x，其中a为正实数。

3.4 对数函数对数函数是指以某个正实数为底的对数函数。

它的一般形式为y=logₐx，其中a为正实数且不等于1。

四、函数的性质和特点函数有许多重要的性质和特点，包括奇偶性、单调性、极值等。

4.1 奇偶性如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f是偶函数；如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，则函数f是奇函数；如果对于任意的x，既不满足偶函数的性质，也不满足奇函数的性质，则函数f既不是偶函数也不是奇函数。

函数的概念及表示方法

【考点精讲】1. 函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。

如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值。

2.对函数概念的理解应注意以下几点：①变化过程中； ②两个变量；③一个变量随另一个变量的变化而变化； ④对于自变量x 的每一个确定的值，函数y 都有唯一的值与它对应（但有可能有多个不同的自变量数值对应一个函数值）。

3. 函数的表示方法：函数是从数量角度反映变化规律的数学模型。

解析式法、图象法和列表法是函数的三种常用表示方法。

①解析式法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式。

用解析式来表示函数关系的方法叫做解析式法。

②列表法：用表格来表示函数关系的方法叫做列表法。

③图象法：用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。

【典例精析】例题1 下列关于x ，y 的关系式：① 5x －2y ＝1；② y ＝3|x|；③ x·y 2＝2，其中表示y 是x 的函数的是（）A. ②B. ②③C. ①②D. ①②③思路导航：在x·y 2＝2中，即22y x，当x ＝1时，y y x 对应着两个y 值，和函数的概念不相符，所以它不是函数。

答案：C点评：y 是x 的函数用函数关系式表示时，应用含有x 的式子表示y 。

因此，本题应首先对式子进行变形，用含有x 的式子表示y 。

例题2 下列曲线中不能表示y 是x 的函数的是（）思路导航：从图象可以看出每个图象中y 都随着x 的变化而变化，并且都存在两个变量，所以当x 是一个确定的值时，y 有唯一确定的值与之对应，就是函数，当不是唯一确定的值与之对应时，就不是函数。

答案：C点评：解决本类题的技巧是：过x 轴上的一点，作x 轴的垂线，这条直线与图象的交点为一个时，就是函数关系，当出现多个交点时，就不是函数关系。

函数的概念及表示法

描述电磁波
函数可以用来描述电磁波的振幅、频率和相位等特性随时间和空间的变化。
描述热传导
函数可以用来描述温度随时间和空间的变化，以及热量在物体内部的传导规律。
在经济中的应用
描述市场需求
函数可以用来描述商品价格与市场需求量之间的关系，以及市场供求关系的变化。
描述生产成本
函数可以用来描述生产成本与产量之间的关系，以及生产效率的变化。
函数可以用来描述数据结构（如数组、链表、树等）的基本操作和性能特点。
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描述
表格表示法通常将输入值和输出值按照一定的顺序排列成表格，以便查看和比较。
缺点
对于连续的函数关系，表格表示法可能无法完全准确地表达，且需要大量的数据和时间来整理。
图象表示法
定义
描述
图象表示法是通过绘制函数图像来表示函数关系的一种
方法。
图象表示法通过在平面坐标系中绘制曲线或曲面来表示函数关系，能够直观地展示
函数图像的变换
平移变换
伸缩变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。
将函数图像沿x轴或y轴方向进行伸缩，即扩大或缩小图像。
旋转变换
将函数图像绕原点旋转一定的角度。
翻折变换
将函数图像沿某条直线翻折，实现左右对称或上下对称。
函数图像的应用
分析函数性质
通过观察函数图像，可以分析函数的单调性、周期性、极值等性质。
性质
图像是周期函数，具有特定的对称性。
举例
$y = sin(x)$，$y = cos(3x)$。
指数函数和对数函数
定义
形式分别为 $y = a^x$ 和 $y = log_a(x)$，其中 $a > 0$ 且 $a neq 1$。

高一数学必修1函数的知识点归纳

高一数学必修1函数的知识点归纳一、函数的概念和表示方法1.函数的定义：函数是一个数学概念，是一个输入-输出的对应关系。

2.函数的表示方法：函数可以通过集合表示法、解析式表示法、图像表示法等方式进行表示。

二、函数的性质1.定义域和值域：函数的定义域是所有能够使函数有意义的输入值的集合，值域是所有函数可能的输出值的集合。

2.奇偶性：如果对于定义域中的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；如果对于定义域中的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数。

3.增减性：如果对于定义域中的任意两个数a和b，有a<b时f(a)<f(b)，则函数是增函数；如果a<b时f(a)>f(b)，则函数是减函数；如果存在a和b，使得a<b但f(a)>f(b)，则函数是不严格增函数。

4.周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域中的任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数。

三、一次函数1. 一次函数的定义：一次函数又叫线性函数，表示为 f(x) = kx+b，其中 k 和 b 是常数，k 称为斜率，b 称为截距。

2.特殊情况下的一次函数：当k=0时，函数是与x轴平行的直线，称为常量函数；当b=0时，函数是通过原点的直线，称为比例函数。

四、二次函数1. 二次函数的定义：二次函数表示为 f(x) = ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。

2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，开口的方向和二次项系数a的正负有关。

3.二次函数的性质：二次函数的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），是抛物线的最低点或最高点；对于任意定义域内的x，有f(x)=f(-b/2a)-D，其中D是抛物线与x轴的距离。

五、幂函数1.幂函数的定义：幂函数表示为f(x)=x^n，其中x是自变量，n是常数。

2.幂函数的图像：幂函数的图像根据n的奇偶性、正负和定义域的正负情况，分为四种情况。

函数的基本概念

函数的基本概念在数学中，函数是一种重要的概念，广泛应用于各个领域。

函数描述了一个变量与另一个变量之间的关系，是数学建模和问题求解的基础。

本文将介绍函数的基本概念以及与之相关的重要概念和性质。

一、函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

常用的记法是“f：X→Y”，表示函数f将集合X的元素映射到集合Y的元素上。

二、函数的符号表示函数可以用各种符号来表示，其中最常见的是用公式表示。

例如，f(x)=x^2表示一个函数f，它将输入x映射为x的平方。

此外，还有图表、图像、表格等方式来表示函数。

三、函数的定义域和值域函数的定义域是所有输入变量的取值范围，也就是函数能接受的输入集合。

而函数的值域是所有可能的输出变量的取值范围，也就是函数能够得到的输出集合。

四、函数的性质1. 一对一性：如果函数的每个元素都有唯一的映射元素，那么这个函数是一对一的。

2. 多对一性：如果函数的不同元素有相同的映射元素，那么这个函数是多对一的。

3. 空间性：如果函数的每个元素都有映射元素，那么这个函数是空间的。

4. 单调性：函数在其定义域上是递增或递减的。

5. 周期性：函数具有某个周期性质。

五、函数的常见类型1. 线性函数：f(x)=ax+b，是一条直线的图像，其中a是斜率，b是截距。

2. 幂函数：f(x)=x^a，其中a是实数。

3. 指数函数：f(x)=a^x，其中a是正实数且不等于1。

4. 对数函数：f(x)=loga(x)，其中a是正实数且不等于1。

5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

六、函数的运算函数之间可以进行四则运算和复合运算。

四则运算即加减乘除，复合运算即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

1. 加法：(f+g)(x)=f(x)+g(x)2. 减法：(f-g)(x)=f(x)-g(x)3. 乘法：(f*g)(x)=f(x)*g(x)4. 除法：(f/g)(x)=f(x)/g(x)5. 复合：(f◦g)(x)=f(g(x))七、函数的应用函数在各个领域中具有广泛的应用，例如：1. 数学分析：函数在微积分中扮演重要角色，用于描述曲线的性质和变化率。

高一必修1函数知识点总结

高一必修1函数知识点总结一、函数的概念1.1 函数的定义函数是一个映射关系，它将自变量的取值映射到因变量的取值。

通俗地讲，函数就是一种"输入-输出"的关系。

1.2 函数的表示函数通常用 f(x) 或 y=f(x) 这样的形式来表示，其中 x 是自变量，f(x) 或 y 是因变量。

1.3 定义域和值域在映射的过程中，自变量的取值范围称为函数的定义域，因变量的取值范围称为函数的值域。

1.4 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的表示，它以自变量和因变量为横纵坐标构成图像。

1.5 基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

1.6 函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性、最值等。

二、函数的运算2.1 函数的加减乘除函数可以进行加减乘除运算，也可以进行函数与常数的乘除运算。

2.2 复合函数复合函数是指将一个函数的结果作为另一个函数的自变量进行运算的函数。

2.3 反函数反函数是指与原函数相反的函数，其自变量与原函数的因变量互换。

三、函数的图像与性质3.1 函数的图像函数的图像可以反映函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。

3.2 函数的奇偶性奇函数：f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。

偶函数：f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称。

3.3 函数的周期性周期函数：f(x+T)=f(x)，其中 T>0。

3.4 函数的单调性增函数：f(x₁)<=f(x₂)，x₁<x₂。

减函数：f(x₁)>=f(x₂)，x₁<x₂。

3.5 函数的最值函数的最大值和最小值。

四、函数的应用4.1 函数的建模利用函数描述实际问题，在数学中模拟现实问题。

4.2 函数的解析式函数的解析式是函数的表达式形式，通常可以从实际问题中提炼出来。

4.3 函数的应用问题利用函数解决实际问题，如求最值、求导数等。

4.4 函数的图像分析通过函数的图像分析函数的性质及实际问题。

函数的概念技巧

函数的概念技巧函数是指一种特殊的关系，将一个数域中的元素映射到另一个数域中的元素，且每个输入只能映射到一个输出。

函数是代数学中最基本的概念之一，与常见的加减乘除等数学操作相比，它更加抽象和理论。

在日常生活中，我们经常使用函数，例如计算机科学、金融学、物理学等学科都会使用到函数。

要理解函数，需要掌握一些基本的概念和技巧。

1. 函数的定义：函数是一个映射，它表示从一个集合到另一个集合的映射，其中一个集合称为定义域，另一个集合称为值域。

函数的定义通常是用f(x)或y表示，其中x是定义域中的元素，y是值域中的元素。

例如，f(x) = x^2是一个函数，定义域为实数集，值域为非负实数集。

2. 函数的性质：函数可以拥有各种各样的性质，这些性质可以帮助我们理解和使用函数。

例如：- 单调性：函数的单调性指的是定义域中的元素随着输入的增加或减少，值域中的元素也随之增加或减少。

例如，f(x) = x^2在整个实数集上是单调递增的。

- 奇偶性：函数的奇偶性指的是当x取相反数时，函数值是否相同。

如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则称它是偶函数。

例如，f(x) = x^2是一个偶函数；如果函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则称它是奇函数。

例如，f(x) = x是一个奇函数。

- 周期性：函数的周期性指的是存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T) = f(x)。

例如，f(x) = sin(x)和f(x) = cos(x)都是周期函数，它们的周期为2π。

- 可导性：函数的可导性指的是函数在某些点上是否存在导数。

导数描述了函数在该点附近的局部变化率，对于微积分和应用领域非常重要。

3. 函数的图像：函数的图像是函数定义域和值域的关系在平面直角坐标系中的表示。

函数的图像可以给我们直观的感受，帮助我们更好地理解函数。

例如，f(x) = x^2的图像是一个开口朝上的抛物线，而f(x) = sin(x)的图像是一个周期波动的曲线。

§1.1函数的概念及基本特性(精)

(3) 狄利克雷（Direchlet）函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点有理数点
x
(4) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数显然: y 4 3 2 1 o
x 1 [ x] x
-4 -3 -2 -1
x 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4
定义1.2 邻域设a与是两个实数 , 且 (neighborhood):
0.数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
记作 U (a, ) { x a x a }.
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.

a
点 a 的去心邻域
§1.1 函数的概念及基本特性
一、概念
1.区间(interval):
定义1.1
是指介于某两个实数之间的
全体实数.这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
x b o a { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b]
y
y f ( x)
f ( x)
-x
f ( x )
o 奇函数
x
x
4．函数的周期性(periodicity):
设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的数l , 使得对于任一 x D, ( x l ) D.且 f ( x l ) f ( x )
恒成立. 则称f ( x )为周期函数, l称为f ( x )的周期.
设D关于y轴对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) , 则称 f ( x )为偶函数;

1.1函数的概念

( ,0) (0, )
奇
1 y x
偶
奇
增
增
( ,0) ( 0, ) 减
[0, )
( , )
[0, )
( ,0) (0, )
图形
2、指数函数 y a
x
(a 0, a 1)
ye
x
(0 a 1)
则称函数f ( x )在D上有界.否则称无界.
y M y=f(x) o 有界 x D o M y
x0
D 无界
x
-M
-M
思考题 1 讨论 y sinx 在整个定义域上的有界性.
1 思考题 2 讨论 y 在整个定义域上的有界性, x 及在(0,1],[1, )上的有界性.
1.有界 2.
1 y f ( x) , x f ( D) 习惯上,
1
y
yx
Q(b, a ) y f ( x)
函数
与其反函数
的图形关于直线
对称.
o
x
结论：严格单调函数必存在反函数，且其反函数具有相同的严格单调性。反三角函数
作业： 1.画出幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的图像，并注明其定义域、值域、四个基本性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） 2.总结常用三角函数公式：
(2)复合函数可以由两个以上的简单函数经过复合构成.
x 例如 y cot , 2
x y u, u cot v , v . 2
5. 反函数
，若对于每个定义：设有函数有唯一确定的与之对应且满足得到一个以 y为自变量的函数，称为 f (x) 的反函数，记成：x f ( y ), y f ( D)