函数的值域与最值
求函数值域(最值)的方法大全
一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,ac b ⎡⎫-+∞⎢，当0a <时的值1. 例1、 例2、 故函数的值域是：[ -∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y=（x-1）2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ] 例 A 例解：21x x ++222x x x x -=++当2y -=当20y -≠时，x R ∈时，方程根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、求函数y=x+)2(x x -的值域。
解：两边平方整理得：22x -2（y+1）x+y 2=0 （1）x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x （2-x ）≥0，得：0≤x≤2。
由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（y+1）x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1，3]。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
4例y 5 、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
高中数学高频考点——函数最值、值域、恒成立问题知识点总结
函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最大值。
（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最小值。
2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。
求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。
【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。
二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。
（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。
（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。
【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。
2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。
求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。
三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。
四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。
五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。
六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。
高二数学函数的值域与最值
故值域为[0，+≦)． 3. [0,4) 解析：≧4x>0，≨0≤16-4x<16，
≨ 16 4x
4. [-1,1) ≨-2≤ 5.4
3
∈[0,4)．
解析：y 1 <0，
2
≨-1≤y<1，即值域为[-1,1)．
1 3 3 x x 1 x , 解析： 2 4 4 1 4 4 f ( x) , f ( x ) max . 3 3 3 4
3 ， ≨△=8(2a2-a-3)≤0⇒-1≤a≤ 2 ≨a+3>0，
≨g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2
3 17 3 a a 1, . 2 4 2
3 上单调递减， ≧二次函数g(a)在 1, 2
数，在[2，+≦)上是增函数，
≨f(x)min=f(2)=6.
函数，
1 1 (2)当a= 时，f(x)=x+ +2，易知f(x)在[1，+≦)上为增 2x 2
7 ≨f(x)min=f(1)= . 2
(3)函数f(x)=x+ a +2在(0， a ]上是减函数，在[ a ，+≦)
x
上是增函数． 若 a >1，即a>1时，f(x)在区间[1，+≦)上先减后增， ≨f(x)min=f(
2
3 ≨ 2
4
≤g(a)≤g(-1)，
19 即 ≤g(a)≤4，
≨g(a)的值域为
19 , 4 4
.
链接高考
(2010·山东改编)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为________．
高中数学解题方法系列：函数的值域与最值
①
y
k
b x2
型，可直接用不等式性质，
【及时反馈】
求
y
3 2 x2
的值域（答： (0,
3]） 2
②
y
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bx mx
n
型，先化简，再用均值不等式，
【及时反馈】
（2）求函数 y x 2 的值域（答：[0, 1] ）
x3
2
③ y x2 mx n 型，可用判别式法或均值不等式法， mx n
（3）、求函数 y x 2 2x 3 在如下区间中的的最值与值域。
ⅰ、 (4,2] ；ⅱ、 (1,2] ；ⅲ、 (3,5) ；ⅳ、 (,)
（4）、求函数 y sin x cos 2x 的最值与值域。（提示：先转化为带有限制条
件的二次型函数的最值与值域的求解）
（5）、若
所示：
定义域
值域
原函数 y f (x)
A
C
反函数 y f 1 (x)
C
A
由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）
①求 x ( y) ；②x、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域
【及时反馈】
（1）、求函数 f (x) 2x 4 的值域 x 1
解： y x x 1 (x 1) x 1 1
令 x 1 t（运用换元法时，要特别要注意新元 t 的范围），易知 t 0(why ?) 所 以 x 1 t 2 ， 所 以 y t 2 t 1(t 0) ， 欲 求 原 函 数 的 值 域 ， 只 需 求 y t 2 t 1(t 0) 的最值与值域即可（解法同上面的【及时反馈】）。
函数的定义域、值域、最值
对于一些单调函数，可以通过求反函数，然后在反函数的定义域内求 最值。
常见函数的最值
一次函数
一次函数的最值出现在端点处 ，其最值为常数项。
二次函数
二次函数的最值出现在顶点处 ，其最值为顶点的纵坐标。
指数函数
指数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷 大或无穷小。
对数函数
对数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷
最值
函数在定义域内的最大值和最小值，是函数在特定条件下达到的极值。
如何在实际问题中灵活运用函数的性质
实际问题建模
将实际问题转化为数学模型，利用函数性质 进行分析和求解。
优化问题解决
利用函数最值性质，解决最优化问题，如最 大利润、最小成本等。
动态规划
利用函数性质进行动态规划，解决多阶段决 策问题。
数据分析
函数的定义域、值域、最值
• 函数的定义域 • 函数的值域 • 函数的最值 • 函数的最值在实际问题中的应用 • 总结与思考
01
函数的定义域
定义域的概念
定义域是函数中自变量x的取值范围， 它决定了函数中x可以取哪些值进行计 算。
定义域是函数存在的前提，没有定义 域的函数是不存在的。
确定定义域的方法
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最短路径问题
确定起点和终点
最短路径问题通常涉及从起点到终点的最短路径寻找。
定义路径函数
路径函数表示从起点到终点的所有可能路径，以及每 条路径的长度。
求解最短路径
通过比较所有可能的路径长度，可以找到最短路径， 即最小化路径函数值的路径。
最佳投资问题
确定投资目标和约束
01
最佳投资问题通常涉及在一定时间内实现最大的投资回报或最
高考热点：函数值域、最值及极值
高考热点二：函数值域、最值及极值基础回顾1、 函数的值域是指：几种常见的基本初等函数的值域：（1） 一次函数)0()(≠+=a b ax x f 的值域为：（2） 反比例函数)0()(≠=k xk x f 的定义域、值域分别为： （3） 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为：当0>a 时，值域为： 当0<a 时，值域为：（4） 指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且的定义域、值域分别为：（5） 对数函数)10(log )(≠>=a a x x f a 且的定义域、值域分别为：（6） 幂函数)3,2,1,21,1()(-==ααx x f 的定义域、值域分别为： （7） 函数)0)(sin()(≠+=A x A x f ϕω的值域为：2、 函数的最大值、最小值是指：3、 函数的极大值、极小值是指：极大值、极小值统称为极值.4、 求函数)(x f 的极值的方法步骤：（1） （2） (3)5、 利用导数求函数)(x f 的最值的方法步骤：（1） （2）6、 求函数值域与最值的常用方法：（1）直接法 （2）配方法 （3）分离常数法（4）换元法（5）三角有界法 （6）基本不等式法 （7）单调函数法 （8）数形结合法 （9）逆求法（10）判别式法 （11）构造法 （12）导数法达标训练一、选择题1、已知函数)(x f y =的定义域为R ，值域为]1,3[-，则)2(+=x f y 的值域为（ ）A 、]1,3[-B 、]3,1[-C 、),3(+∞D 、),(+∞-∞2、函数)1)(111(log 21>+-+=x x x y 的最大值是（ ） A 、2- B 、2 C 、3- D 、33、函数)1(log ++=x a y a x 在]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4 4、已知函数313)(23-++=ax ax x x f 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A 、31>a B 、012≤<-a C 、012<<-a D 、31≤a 。
值域最值问题常见类型及解法
z
2
2 i | 1
1 为半径的圆面
（包括边界） ，如图。由图观察，易知|z|max=3,|z|min=1。 答案：３ １
九、求导法：
【理论阐释】
求函数最值的步骤：
在闭区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，f（x）在 [a，b]上求最大值与最小值的步骤：①求f（x）在（a，
值域（最值）问题 常见类型及解法
函数的值域与最值是两个不同的概念，一般来说，求出了
一个函数的最值，未必能确定该函数的值域；反之，一个函数 的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。但是，在
许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似
的。关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有许 多方法是类似的，下面就这些方法逐一说明它们的运用。
2 2
求得最值。注意“一正、二定、三等” 。
典例导悟
求函数 f ( x )
x 5
2
的值域。
4 x 4
2
x 4
2
【解析】
f (x)
x 5
2
x 4
2
x 4
2
3 x 4
2
4
3 x 4
2
4
3 2
5 2
4
。
当且仅当 x 2 4
5
，即 x 0 时，等号成立，
x 6 x 18
x 10 x 26
= ( x 3 ) 2 ( 0 3 ) 2 ( x 5 ) 2 ( 0 1) 2 表示动点 P ( x , 0 ) 到定点 A ( 3 ,3 ) ， B ( 5 , 1) 的距离之和，而 A、B 两点分别位于 X 轴的上下两侧，由此连接 AB 交 X 轴于一点，易证该点即是所求的 P 点。由题意 及分析易得直线 AB 的方程为 y
函数值域(最值)
b 与区间 m, n 的位置关系 2a
b b m, n ,则当 a>0 时， f ( ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 中较大者；当 a<0 2a 2a
b ) 是函数的最大值，最大值为 f (m), f (n) 中较小者。 2a b m, n ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a
5、 y 7、 已知二次函数 f ( x) ax bx 满足 f (1 x) f (1 x) ， 且方程 f ( x) x 有两个相等实根， 若函数 f ( x)
2
在定义域为 [ m, n] 上对应的值域为 [2m, 2n] ，求 m, n 的值。
2 x 2 bx c 8、已知函数 f ( x) (b 0) 的值域为 [1,3] ，求实数 b, c 的值。 x2 1
1
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四、形如： y
cx d 的值域： ax b b a c a
1、若定义域为 x x 时，其值域为 y y
2、若 x m, n 时，我们把原函数变形为 x 函数的值域。 如：1、求函数 y
二、一次函数在区间上的值域（最值）： 一次函数 y=ax+b(a 0)在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并比较它们的大小即可。 如：y=3x+2(-1 x 1) 三、二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域(最值)： 首先判定其对称轴 x （1）若 时， f (
知识要点
一、利用常见函数的值域 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R； 反比例函数 y