【教育学习文章】高一必修一《对数函数》知识点总结苏教版
高一必修一对数函数知识点
高一必修一对数函数知识点对数函数是高中数学中的一个重要内容，它涉及到了指数函数和对数函数的关系。
对数函数的学习对于高中数学学习的深入理解和能力的发展非常重要。
本文将为大家介绍高一必修一对数函数的主要知识点，并通过示例来加深理解。
一、对数函数的定义和性质1. 对数函数的定义：对数函数y=loga(x)定义为y=a^x，其中a>0且a≠1。
其中，a称为底数，x称为指数，y称为对数。
2. 对数函数的性质：- 当x>0时，对数函数y=loga(x)是严格单调递增函数。
- 当0<a<1时，对数函数关于x轴对称。
- 当a>1时，对数函数关于y轴对称。
二、对数函数的图像和性质1. 对数函数的图像：对数函数的图像随着底数a的不同而变化，当底数a>1时，对数函数的图像呈现上升的指数形状；当0<a<1时，对数函数的图像呈现下降的指数形状。
2. 对数函数的常用性质：- 对数函数的定义域为(0, +∞)，值域为(-∞, +∞)。
- 对数函数的图像经过点(1, 0)，即loga(1) = 0。
- 对数函数在x=1时取到最小值，即loga(1) = 0。
- 对数函数在x→+∞时，值趋近于正无穷；在x→0+时，值趋近于负无穷。
三、对数函数的基本性质1. 对数函数的指数运算：- loga(xy) = loga(x) + loga(y)- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)- loga(x^p) = p·loga(x)2. 对数函数的换底公式：- loga(x) = logb(x) / logb(a)四、对数方程和对数不等式1. 对数方程的求解：- 求解对数方程时，需要根据对数函数的性质来进行等式变形和求解。
2. 对数不等式的求解：- 求解对数不等式时，需要根据对数函数的性质来确定不等式的取值范围。
五、常用对数的计算常用对数是以10为底的对数，用logx表示。
苏教版高中数学必修一第课对数函数教师
第二十三课时 对数函数（1）学习要求1．要求了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系。
2．了解对数函数与指数函数的互为反函数，能利用其相互关系研究问题，会求对数函数的定义域；3．记住对数函数图象的规律，并能用于解题；4．培养培养学生数形结合的意识用联系的观点研究数学问题的能力。
自学评价1． 对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数(logarithmic function), 定义域是 (0,)+∞思考：函数l o g a y x=与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？2. 对数函数的性质为3. 关于直线y x =对称。
画对数函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象，可以通过作xy a =(0,1)a a >≠关于直线y x =的轴对称图象获得，但在一般情况下，要画给定的对数函数的图象，这种方法是不方便的。
所以仍然要掌握用描点法画图的方法，注意抓住特殊点（1，0）及图象的相对位置。
4.指数函数x y a =(0,1)a a >≠与对数函数log a y x =(0,1)a a >≠称为互为反函数。
指数函数的定义域和值域分别是对数函数的值域和定义域。
5．一般地，如果函数()y f x =存在反函数，那么它的反函数，记作1()y fx -=思考：互为反函数的两个函数的定义域和值域有什么关系？原函数的定义域和值域分别是反函数的值域和定义域。
【精典范例】例1：求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =[分析]：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域(0,)+∞求解。
（1）由40x ->得4x <，∴函数的0.2log (4)y x =-定义域是(,4)-∞；（2）由10x ->得1x >， ∴函数log ay =(0,1).a a >≠(1,0)1x =1x = log a y x =log a y =1x =的定义域是{}1x x >（3）2210211230x x x x ⎧->⎪-≠⎨⎪-++>⎩得112x <<或13x << ∴函数2(21)log (23)x y x x -=-++的定义域是1(,1)(1,3)2（4）由2log (43)0x -≥ 得431x -≥ ∴1x ≥，函数y 的定义域是[1,)+∞例2：利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小：（1）2log 3.4，2log 3.8； （2）0.5log 1.8，0.5log 2.1；（3）7log 5，6log 7； （4）2log 3，4log 5，32【解】（1）对数函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数，于是2log 3.4<2log 3.4；（2）对数函数0.5log y x =在(0,)+∞上是减函数，于是0.5log 1.8>0.5log 2.7； （3）．∵66log 7log 61>=，77log 5log 71<=，6log 7>7log 5；（4）∵24log 3log 9=，43log 82=而444log 5log 8log 9<<∴4log 532<<2log 3（1）点评: 本例是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如1 或0），间接比较上述两个对数的大小。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是高中数学中的重要概念之一，也是数学建模和科学研究中经常用到的工具。
它在各个领域都有广泛的应用，如金融领域中的复利计算、物理学中的指数和对数关系、计算机科学中的算法复杂性分析等。
本文将对对数函数的定义、性质以及一些应用进行总结。
1. 对数函数的定义对数函数是指数函数的逆运算。
设a为正实数，且a≠1，那么对数函数定义为y=loga(x)，其中x>0。
对数函数的底数a决定了对数函数的性质。
2. 对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是密切相关的，它们之间存在着一种互逆的关系。
对于任意正实数a和b以及任意正整数n，有以下等式成立：loga(a)=1，loga(1)=0，loga(ab)=loga(a)+loga(b)，loga(1/b)=-loga(b)，loga(an)=nloga(a)。
3. 对数函数的性质对数函数具有一些特性。
首先，对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集。
其次，对数函数在不同的底数下具有不同的性质，例如对于底数为2的对数函数，表示以2为底的对数。
对数函数的值随着自变量的增大而增大，但增长速度逐渐减慢。
4. 对数函数的图像及其性质对数函数的图像与指数函数的图像呈现出一种对称性。
当底数a>1时，对数函数y=loga(x)的图像呈现出右上方向的增长趋势，且在x轴上的切点为(1, 0)；当0<a<1时，对数函数的图像呈现出从左上方向x轴靠近的方式增长，且在x轴上的切点为(1, 0)。
5. 对数函数的应用对数函数在现实生活中有广泛的应用。
例如，在金融领域中，对数函数常用于计算复利，即指定利率和时间时计算本金的增长情况。
在物理学中，对数函数与指数函数的关系有助于解决指数与对数的相互转换问题，使得许多指数关系可以转化为对数关系进行研究和分析。
此外，对数函数还在计算机科学中有重要作用，它与算法的复杂性分析密切相关，用于评估算法的效率和运行时间。
高一数学必修一对数知识点
高一数学必修一对数知识点一、什么是对数对数是数学中一个很重要的概念，它与指数运算密切相关。
对数通常用来表示通过指数运算得到的结果。
在数学中，我们以log为符号，表示对数。
这里的底数通常是10，因此常用的对数就是以10为底的对数，简称为常用对数。
常用对数的符号是lg。
例如，如果我们有一个等式10^2=100，我们可以用对数来表达为：lg100=2。
这里的2就是这个数的对数。
二、对数的特性对数有一些特性，掌握这些特性可以更好地理解和应用对数。
1. 对数相加等于两个数相乘的对数：log(ab)=loga+logb。
这个特性称为对数的乘法法则。
2. 对数相减等于两个数相除的对数：log(a/b)=loga-logb。
这个特性称为对数的除法法则。
3. 底数为10的对数称为常用对数，它的特点是对数值与所表示的数的数量级相等。
4. 任何数的对数都必须大于0，即对数的底数必须大于1。
三、对数的应用1. 对数在科学计算中经常使用，尤其是当数据的数量级很大或很小时。
例如，天文学家用对数来表示星星的亮度等级，地震学家用对数来表示地震的震级等。
2. 对数在解决指数方程和指数不等式时非常有用。
通过运用对数的性质，我们可以将指数方程转化为对数方程，进而求解。
3. 对数还可以用于解决百分数和利率的问题。
当我们需要计算复利时，可以使用对数来简化计算过程。
四、对数的计算方法1. 利用对数的乘法法则和除法法则，我们可以将任意一个数转化为以某个底数为底的对数。
2. 计算对数时，可以利用科学计算器上的对数函数。
通常，对数函数的按键上标有log或lg的符号。
3. 当底数不是10时，我们可以利用换底公式来计算对数。
换底公式是loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中c可以是任意不等于1的数。
五、对数的常见错误1. 计算对数时，一定要记得给出底数，否则对数没有意义。
2. 在使用对数进行计算时，一定要保证输入的数值大于0，否则计算结果将出错。
苏教版(2019)必修第一册6.3(1)对数函数的概念和图像
苏教版（2019）必修第一册
课前预习
知识点二 对数函数的图像与性质
定义 底数
y=logax(a>0,a≠1) a>1
0<a<1
图像
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课前预习
定义 定义域
值域
y=logax(a>0,a≠1) (0,+∞)
R
单调性 共点性
函数
增函数
图像过定点 (1,0) x∈(0,1)时,y∈ (-∞,0) ;
减函数
,即loga1= 0 x∈(0,1)时,y∈ (0,+∞) ;
值特征 x∈(1,+∞)时,y∈ (0,+∞)
x∈(1,+∞)时,y∈ (-∞,0)
对称性
x
趋近 趋势
a越大,图像越接近x轴
a越小,图像越接近x轴 图像无限趋近于y轴
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课堂评价
6.设a=log32,b=log52,c=log23,则 ( D )
A.a>c>b
B.b>c>a
C.c>b>a
D.c>a>b
[解析] a=log32<log33=1,c=log23>log22=1,由对数函数的性质可知
log52<log32,∴b<a<c,故选D.
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课中探究
(3)若函数y=loga(x+b)+c(a>0,a≠1)的图像过定点(3,2),则实数
-2
b2=
,c=
高中对数函数知识点
高中对数函数知识点在高中数学中，对数函数是一个重要的知识点。
对数函数是指以某个确定的正数为底，来定义一个新的函数。
在这篇文章中，我将介绍对数函数的定义、性质以及应用。
一、对数函数的定义对数函数的定义是：设a是一个正数且a≠1，对任意的正数x，y，如果aᵡ＝y，则称x是以a为底的y的对数，记为logₐy。
其中，a称为对数的底数，x称为对数的真数，y称为对数的被求值。
二、对数函数的性质1. logₐ1 = 0：任何数以自己为底的对数都等于0，即logₐ1 = 0。
2. logₐa = 1：任何数以自己为底的对数都等于1，即logₐa = 1。
3. 对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。
三、对数函数的图像对数函数的图像是一个曲线，具有特殊的形状。
当底数a大于1时，对数函数是递增的；当底数a介于0和1之间时，对数函数是递减的。
对数函数的增长速度比指数函数慢，但比线性函数快。
四、对数函数的应用对数函数在实际生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 对数函数在计算复利和连续复利时具有重要作用，可以方便地计算投资或借贷的利息。
2. 在测量地震的强度时，使用了里氏震级的对数表示，这样可以更好地反映地震的强度差异。
3. 对数函数还在科学和工程中起着重要的作用，如在放射性衰变的研究、声学和天文学中的应用等。
五、常用的对数函数在数学中，常用的对数函数是以10为底的常用对数（以log表示）和以e为底的自然对数（以ln表示）。
常用对数在计算学科和实际生活中广泛使用，自然对数则在微积分和指数函数的研究中经常被使用。
六、对数函数的性质1. 对数函数的底数为正实数且不等于1。
2. 对数函数的图像是一条连续的曲线，且在定义域上处处大于0。
3. 对数函数的反函数是指数函数。
总结：对数函数是高中数学中的重要概念，它的定义、性质和应用在学习中起到关键的作用。
通过学习对数函数的知识，我们能够更好地理解数学的相关概念，并在实际生活中应用它们。
对数函数知识点总结
对数函数知识点一：对数函数的概念1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域为),(+∞-∞.它是指数函数xa y = )10(≠>a a 且的反函数．注意： ○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 两个常用对数： (1)常用对数 简记为: lgN （以10为底） (2)自然对数 简记为: lnN （以e 为底）例1、求下列函数的定义域、值域：(1)41212-=--xy ( 2))52(log 22++=x x y (3))54(log 231++-=x x y (4))(log 2x x y a --=知识点二：对数函数的图象方法一：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。
同样：也分1>a 与10<<a 两种情况归纳，以x y 2log =与x y 21log =为例方法二： ①确定定义域; ②列表; ③描点、连线。
（1）x y 2log =（2） x y 21log =y=x o 11 yxy =log 2x o 11 yxy=xy =x 21log（3）x y 3log =（4） x y 31log =思考：函数x y 2log =与y =3log x 与y对函数的相同性质和不同性质. 相同性质： 不同性质：例2、作出下列对数函数的图象：知识点三：对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．思考：底数a 是如何影响函数x y a log =的．（学生独立思考，师生共同总结）规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 例3、比较下列各组数中两个值的大小：⑴ 5.8log ,4.3log 22； ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0； ⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a ． 变式训练：（1）若3log 3log n m <，求n m 和的关系。
新教材苏教版高中数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数 知识点考点重点难点归纳总结
第六章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数 (1)6.2指数函数 (6)第1课时指数函数的概念、图象与性质 (6)第2课时指数函数的图象与性质的应用 (11)6.3对数函数 (16)第1课时对数函数的概念、图象与性质 (16)第2课时对数函数的图象与性质的应用 (20)6.1幂函数知识点1幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点2幂函数的图象和性质1．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：2．幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非奇函数偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞) 上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0)(1,1)考点类型1 幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x m2－2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．(1)B [幂函数有①⑥两个．] (2)[解] 由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.1．幂函数y ＝x α满足的三个特征 (1)幂x α前系数为1；(2)底数只能是自变量x ，指数是常数； (3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.类型2 比较大小【例2】 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13与⎝ ⎛⎭⎪⎫14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)0.25与6.25；(4)1.20.6与0.30.4；(5)(－3)与(－2).[思路点拨] 可以借助幂函数y ＝x 2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．[解] (1)∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且13>14， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13>⎝ ⎛⎭⎪⎫14. (2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数， 且－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)0.25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2，6．25＝2.5.∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5， ∴2<2.5，即0.25<6.25.(4)由幂函数的单调性，知1.20.6>10.6＝1,0.30.4<10.4＝1，从而0.30.4<1.20.6. (5)由幂函数的奇偶性，(－3)＝3>0，(－2)＝－2<0， 所以(－3)>(－2).比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．类型3 幂函数的图象及应用【例3】 点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )． [解] 设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法 (1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．2．幂函数在第一象限的图象与性质(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数． (2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数． 3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律(1)在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；(2)在第一象限内直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．类型4 幂函数性质的综合应用【例4】 已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)<(3－2a )的a 的取值范围．1．函数图象关于y 轴对称，函数有怎样的奇偶性？ [提示] 偶函数． 2．x>y时，x 、y 与0的大小关系有多少种？[提示] 0<x <y ，x <y <0，x >0>y .[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1. ∴有(a ＋1)<(3－2a ).∵y ＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1. 所以a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解． 2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质． 解决此类问题可分为两大步：第一步，研究幂函数的奇偶性(图象对称性)、第一象限的图象的单调性求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．6.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质知识点1指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R.知识点2指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点图象过点(0,1)，图象在x轴的上方函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数奇偶性非奇非偶函数1.指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？[提示]指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．2.为什么底数应满足a>0且a≠1?[提示]①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.考点类型1指数函数的概念【例1】(1)下列函数中，是指数函数的个数是()①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝a x；④y＝2·3x.A ．1B ．2C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39，则f (－2)＝________.(1)D (2)19 [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量x ，而是x 的函数， 所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19.]1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点 (1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．类型2 利用单调性比较大小 【例2】 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8与⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫58与1； (3)0.6－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫43；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3与3－0.2；(5)0.20.6与0.30.4；(6) ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫25.[思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解] (1)∵0<34<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x在定义域R 内是减函数，－1.8>－2.6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6.(2)∵0<58<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫58x在定义域R 内是减函数．又∵－23<0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>⎝ ⎛⎭⎪⎫580＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>1.(3)∵0.6－2>0.60＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， ∴0.6－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫43.(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＝3－0.3，y ＝3x 在定义域R 内是增函数，又∵－0.3<－0.2， ∴3－0.3<3－0.2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3<3－0.2.(5)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y ＝0.3x 是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.(6)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23<⎝ ⎛⎭⎪⎫23， ∵f (x )＝x 在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25.在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如a c 与b d ，可取a d ，前者利用单调性，后者利用图象．类型3 利用指数函数的单调性解不等式 【例3】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)． [解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0， 故原不等式的解集为{x |x ≥0}． (2)分情况讨论①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上为减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6， ∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5.②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数． ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0. 根据相应二次函数的图象可得－1<x <5， 综上所述当0<a <1时，x <－1或x >5， 当a >1时，－1<x <5.1．形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．2．形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．类型4 图象变换及其应用【例4】 (1)函数y ＝3－x 的图象是________．(填序号)(2)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(3)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________． [思路点拨] 题(1)中可将y ＝3－x转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.题(2)中，函数y ＝a x ＋b 的图象过点(0,1＋b )， 因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上． 题(3)应该根据指数函数经过定点求解．(1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为单调递减的指数函数，其图象为②.(2)函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y ＝a x ＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0,1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．(3)令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝2a 0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]1．处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．第2课时 指数函数的图象与性质的应用知识点 指数型函数形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则y ＝N (1＋p )x (x ∈N )．考点类型1 求函数的定义域、值域 【例1】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(4)y ＝4x ＋2x ＋2－3.[解] (1)由x －4≠0，得x ≠4， 故y ＝2的定义域为{x |x ≠4}．又1x －4≠0，即2≠1，故y ＝2的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]． 由0<2x ≤1，得－1≤－2x <0， ∴0≤1－2x <1，∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)． (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．(4)函数 y ＝4x ＋2x ＋2－3的定义域为R .设t ＝2x ，则t >0.所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7，t >0. 因为函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在(0，＋∞)为增函数， 所以y >－3，即函数的值域为(－3，＋∞)．1．若将本例(2)中函数换为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，求其定义域． [解] 由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1≥0得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫130，∴x ≤0即函数的定义域为(－∞，0]．2．若将本例(4)增加条件“0≤x ≤2”再求函数的值域．[解] 由于x ∈[0,2]则2x ＝t ∈[1,4]，所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7.t ∈[1,4]，∵函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在[1,4]为增函数．故y ∈[2,29]．1．对于y ＝a f (x )这类函数(1)定义域是指使f (x )有意义的x 的取值范围． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u 的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y ＝m (a x )2＋n (a x )＋p (m ≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．类型2 指数型函数的应用题【例2】 某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x 年后该城市人口总数y (万人)与年份x (年)之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．(参考数据：1.01210≈1.127) [思路点拨] 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为p ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．[解] (1)1年后城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)3， …故x 年后的城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127 ≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．类型3 指数函数性质的综合应用【例3】 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围； (3)求f (x )在[－1,2]上的值域．[思路点拨] (1)根据奇函数的定义，求出a ，b .(2)利用单调性和奇偶性去掉“f ”解不等式求k 的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域．[解] (1)∵函数y ＝f (x )是定义域R 上的奇函数， ∴⎩⎨⎧f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b 2＋a ＝0，－2－1＋b 20＋a ＝－－21＋b 22＋a ，∴b ＝1，a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1，设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1)<0， ∴f (x )在定义域R 上为减函数， 由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立， 可得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∴t 2－2t >k －2t 2， ∴3t 2－2t －k >0恒成立，∴Δ＝(－2)2＋12k <0，解得k <－13， ∴k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.(3)由(2)知f (x )在R 上单调递减， ∴f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝－12＋11＋12＝16，f (x )min ＝f (2)＝－12＋14＋1＝－310，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310，16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．类型4 复合函数的单调性 【例4】 判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 2－2x 的单调性分别如何？ [提示] y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x单调递减．y ＝x 2－2x 在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．[解] 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， 又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．1．关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性，其规则是“同增异减”．6.3对数函数第1课时对数函数的概念、图象与性质知识点1对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．1.函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？[提示]不是，其不符合对数函数的形式．知识点2对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)在(0，＋∞)上是增函数当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0在(0，＋∞)上是减函数当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<02.对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？[提示]底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”，当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．知识点3反函数(1)对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)和指数函数y＝a x(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．考点类型1对数函数的概念【例1】判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．(1)y＝log a x2(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x－1；(3)y＝2log8x；(4)y＝log x a(x＞0，且x≠1)．[思路点拨]依据对数函数的定义来判断．[解](1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；(3)中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；(4)中底数是自变量x，而不是常数a，∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x.类型2对数函数的定义域【例2】求下列函数的定义域．(1)f(x)＝1log12x＋1；(2)f(x)＝12－x＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；(4)f (x )＝x ln(1－2x )．[解] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12 x ＋1>0，即log 12 x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)要使函数式有意义需满足⎩⎨⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎨⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎨⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，且x ≠1. (4)由题意知⎩⎨⎧x ≥0，1－2x >0，解得0≤x <12，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x <12.求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．类型3 比较对数式的大小 【例3】 比较下列各组值的大小： (1)log 534与log 543； (2)log 13 2与log 15 2；(3)log 23与log 54.[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log534<log543.(2)法一(单调性法)：由于log132＝1log213，log152＝1log215，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log213>log215，所以1log213<1log215，所以log132<log152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝log13x及y＝log15x的图象，由图易知：log132<log152.(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小．第2课时对数函数的图象与性质的应用知识点图象变换(1)平移变换当b＞0时，将y＝log a x的图象向左平移b个单位，得到y＝log a(x＋b)的图象；向右平移b个单位，得到y＝log a(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝log a x的图象向上平移b个单位，得到y＝log a x＋b的图象，将y＝log a x的图象向下平移b个单位，得到y＝log a x－b的图象．(2)对称变换要得到y＝log a 1x的图象，应将y＝log a x的图象关于x轴对称．考点类型1与对数函数相关的图象【例1】作出函数y＝|log2 (x＋2)|＋4的图象，并指出其单调增区间．[解]步骤如下：(1)作出y＝log2x的图象，如图(1)．(2)将y＝log2x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2 (x＋2)的图象，如图(2)．(3)将y＝log2(x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得到y＝|log2 (x＋2)|的图象，如图(3)．(4)将y＝|log2(x＋2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝|log2(x ＋2)|＋4的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调增区间为[－1，＋∞)．1．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.以上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y.类型2值域问题x的定义域为[2,4]，则函数f(x)的值域是【例2】(1)已知函数f(x)＝2log12________．(2)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域．x在定义域[2,4]上为减函数求解．[思路点拨](1)中利用f(x)＝2log12(2)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．x在[2,4]上为减函数，(1)[－4，－2][∵f(x)＝2log122＝－2；∴x＝2时，f(x)max＝2log124＝－4.x＝4时，f(x)min＝2log12∴f(x)的值域为[－4，－2]．](2)[解]∵－x2－4x＋12＞0，又∵－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，∴0＜－x2－4x＋12≤16，故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，∴函数的值域为(－∞，4]．求函数值域或最大(小)值的常用方法(1)直接法根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．(2)配方法当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c )，求函数值域问题时，可以用配方法．(3)单调性法根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．(4)换元法求形如y ＝log a f (x )型函数值域的步骤：①换元，令u ＝f (x )，利用函数图象和性质求出u 的范围；②利用y ＝log a u 的单调性、图象，求出y 的取值范围．类型3 对数函数的综合问题【例3】 已知函数f (x )＝lg (2－x )－lg (2＋x )．(1)求值：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)判断函数的单调性并用定义证明．[思路点拨] (1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性．[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021＝0. (2)由题知⎩⎨⎧2－x >0，2＋x >0⇒－2<x <2， 又f (－x )＝lg (2＋x )－lg (2－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)设－2<x 1<x 2<2，f (x 1)－f (x 2)＝lg 2－x 12＋x 1－lg 2－x 22＋x 2＝lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)， ∵(2－x 1)(2＋x 2)－(2＋x 1)(2－x 2)＝4(x 2－x 1)>0.又(2－x 1)(2＋x 2)>0，(2＋x 1)(2－x 2)>0，∴(2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>1，∴lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>0.从而f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(－2,2)上为减函数．对数函数性质的综合应用(1)常见的命题方式对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．(2)解此类问题的基本思路首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．类型4 解对数不等式【例4】 解下列关于x 的不等式： (1)log 17 x >log 17(4－x )； (2)log a (2x －5)>log a (x －1)．[解] (1)由题意可得⎩⎨⎧ x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4. 当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 52<x <4.对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x>log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如log a x>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝log a a b)，再借助y＝log a x的单调性求解．(3)形如log f(x)a>log g(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．。
高中数学(苏教版)必修一讲义：第三章 3.2 对数函数
问题1：若2x ＝16，(13)x ＝9，x 的值分别为多少？提示：4，－2.问题2：若2x ＝3，(13)x ＝2，你现在还能求得x 吗？这是一种什么运算？提示：不能．这是一种已知底数和幂值，求指数的运算． 问题3：若2x ＝0，(13)x ＝－1，这样的x 存在吗？为什么？提示：不存在．因为2x >0，(13)x >0，所以原方程无解．1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，对数log 10N 简记为lg_N . 在科学技术中，常常使用以e 为底的对数，这种对数称为自然对数(其中e ＝2.718 28…是一个无理数)，正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln_N .对数符号log a N 只有在N >0，a >0且a ≠1时才有意义．零和负数无对数，即N ≤0时log a N 无意义(因为a x >0)．[例1] 求使对数log (a －2)(7－2a )有意义的a 的取值范围． [思路点拨] 根据对数中底数与真数的取值范围求解． [精解详析] 在log a N 中，N >0，a >0且a ≠1， ∴依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧7－2a >0，a －2>0，a －2≠1.解得2<a <72且a ≠3.故a 的取值范围是2<a <72，且a ≠3.[一点通] 解决此类问题只需根据对数的意义，即底数大于0且不等于1，真数大于0，列不等式组求解即可．1．已知对数log a (3a －2)有意义，则实数a 的取值范围为________． 解析：要使log a (3a －2)有意义， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －2>0a >0a ≠1.∴a >23且a ≠1.★答案★：{a |a >23且a ≠1}2．求下列各式中的x 的范围．(1)log (x 2＋1)(－3x ＋8)；(2)log (2x －1)(x ＋2)． 解：(1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋8>0x 2＋1>0x 2＋1≠1，解得x <83且x ≠0.所以x 的取值范围是x <83且x ≠0.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>02x －1>02x －1≠1，解得x >12且x ≠1.所以x 的取值范围是x >12且x ≠1.[例2] 将下列指数式与对数式互化： (1)43＝64；(2)(13)－2＝9；(3)2－2＝14；(4)log 327＝3；(5)log 128＝－3；(6)log 2x ＝5.[思路点拨] 利用a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)进行转化． [精解详析] (1)log 464＝3； (2)log 139＝－2； (3)log 214＝－2；(4)33＝27； (5)(12)－3＝8； (6)x ＝(2)5＝4 2.[一点通] 指数式a b ＝N 中的幂N 即为对数式log a N ＝b 中的真数N .利用此关系可以进行指数式与对数式的互化，求某些对数值就可以把它转化成指数问题．3．下列指数式与对数式的互化正确的序号是________． ①N ＝a 2与log N a ＝2；②log 2 4＝4与 2 4＝4； ③(14)－3＝64与log 6414＝－13； ④log x 7y ＝z 与x z ＝y 17.解析：①错，N ＝a 2⇒log a N ＝2；②正确； ③错误，(14)－3＝64⇒log 1464＝－3；④正确．★答案★：②④4．求下列各式中x 的值：(1)log x 27＝32；(2)log 3x ＝6；(3)log 3(lg x )＝1.解：(1)∵log x 27＝32，∴x 32＝27，x ＝2723＝32＝9.(2)由log 3x ＝6，得(3)6＝x ，∴x ＝33＝27. (3)由log 3(lg x )＝1，得lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000.[例3] 求下列各式的值： (1)log (2－3)(2＋3)－1;(2)log 327; (3)32＋log 35.[思路点拨] 利用对数的基本性质和对数与指数之间的转化求解． [精解详析] (1)设x ＝log (2－3)(2＋3)－1，则(2－3)x ＝(2＋3)－1＝12＋3＝2－ 3. ∴x ＝1. 即log (2－3)(2＋3)－1＝1.(2)∵33＝27，∴log 327＝3. (3)32＋log 35＝32·3log 35＝9·3log 35. 令3log 35＝x ，∴log 35＝log 3x 即x ＝5.∴原式＝9×5＝45. [一点通](1)求对数的值时，可先设其值为x ，转化为指数式后再求． (2)log a a N ＝N (a >0且a ≠1)，这是对数恒等式，使用时要注意格式．5．求下列各式的值：(1)log 525；(2)log 2116；(3)lg 1 000；(4)lg 0.001.解：(1)∵52＝25，∴log 525＝2； (2)∵2－4＝116，∴log 2116＝－4；(3)∵103＝1 000，∴lg 1 000＝3； (4)∵10－3＝0.001，∴lg 0.001＝－3. 6．计算下列各题： (1)2122；(2)22＋log 25；(3)71－log 75. 解：(1)212log25＝(212)2＝(2)2＝5；(2)22＋log25＝22×2log 25＝4×5＝20； (3)71－log75＝71÷7log 75＝7÷5＝75.1．在求解对数问题时，要注意log a N 中对a ，N 的要求：①对a 的要求是：a >0且a ≠1；②对N 的要求是：N >0.2．对数的基本性质对于对数log a N (a >0，a ≠1，N >0)，具有以下性质：①零和负数无对数，即N >0；②log a a ＝1；③log a 1＝0；④a log a N ＝N .一、填空题1．若对数式log (x －1)(x ＋3)有意义，则x 的取值范围为________． 解析：若log (x －1)(x ＋3)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x －1>0，x －1≠1解得x >1且x ≠2.★答案★：(1,2)∪(2，＋∞)．2．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于________．解析：由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8， 所以x12-＝812-＝18＝122＝24. ★答案★：243．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 解析：由log a 2＝m 得a m ＝2，由log a 3＝n 得a n ＝3. ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. ★答案★：124．若f (10x )＝x ，则f (1 000)的值为________．解析：令10x ＝t ，∴x ＝lg t . ∴f (t )＝lg t 即f (x )＝lg x .∴f (1 000)＝lg 1 000，∵103＝1 000，∴f (1 000)＝3. ★答案★：35．若10α＝2，β＝lg 3，则10012αβ-＝________.解析：∵β＝lg 3，∴10β＝3. ∴100α12-β＝100α10012β＝(10α)210β＝223＝43. ★答案★：436．若log 3(a ＋1)＝1，则log a 2＋log 2(a －1)的值为________． 解析：∵log 3(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝31，即a ＝2. ∴log a 2＋log 2(a －1)＝log 22＋log 2(2－1)＝1＋0＝1. ★答案★：1 二、解答题7．(1)将对数式log 139＝－2，化为指数式；(2)将指数式10－3＝0.001，化为对数式； (3)已知log 2(log 5x )＝1，求x 的值． 解：(1)∵log 139＝－2，∴(13)－2＝9；(2)∵10－3＝0.001，∴log 100.001＝－3， 即lg 0.001＝－3；(3)∵log 2(log 5x )＝1，∴log 5x ＝2，∴x ＝52＝25. 8．求下列各式中x 的值： (1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 2(log 5x )＝0；(4)log 3(lg x )＝1. 解：(1)由log 8x ＝－23，得x ＝823-＝(23)23-＝2－2＝14.(2)由log x 27＝34，得x 34＝27，x ＝(33)43＝34＝81.(3)由log 2(log 5x )＝0，得log 5x ＝1，所以x ＝5.(4)由log 3(lg x )＝1，得lg x ＝3，所以x ＝103＝1 000. 9．已知log 2x ＝3，log 2y ＝5，求log 2xy 的值．解：∵log 2x ＝3，log 2y ＝5， ∴x ＝23，y ＝25，x y ＝2325＝14∴log 2x y ＝log 214＝log 22－2＝－2.问题1：你知道对数log 22，log 24，log 28，log 232的值分别是多少吗？ 提示：1，2，3，5.问题2：这几个对数与log 22有什么形式上的关系？提示：log 24＝log 222＝2log 22，log 28＝log 223＝3log 22，log 232＝log 225＝5log 22. 问题3：log 24，log 28，log 232之间存在什么关系？ 提示：log 24＋log 28＝log 232＝log 2(4×8)，log 2328＝log 24＝log 232－log 28，log 2324＝log 28＝log 232－log 24.问题4：利用上面的数值，log a (MN )＝log a M log a N 成立吗？ 提示：不成立，如log 232≠log 24×log 28.对数的运算性质(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M ，(其中a >0，a ≠1，M >0，N >0，n ∈R .)问题1：对数log 24，log 42的值分别是多少？提示：2，12.问题2：log 24，log 42的关系是什么？log a b 与log b a 是否具有同样的关系？ 提示：log 24log 42＝1，log a b log b a ＝1.问题3：令a ＝lg 5，b ＝lg 3，试用a ，b 表示log 35. 提示：由a ＝lg 5知10a ＝5，由b ＝lg 3知10b ＝3.又10a ＝(10b )ab，5＝3a b，∴log 35＝a b ，即log 35＝lg 5lg 3.换底公式的定义：一般地，我们有log a N ＝log c Nlog c a ，(其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1.)这个公式称为对数的换底公式．对数的每一条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立，如log 2[(－3)·(－5)]是存在的，但log 2(－3)与log 2(－5)均不存在，故不能写成log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)．[例1] 计算下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 5＋lg 2； (2)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53； (3)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 2 2；(4)(1－log 62)2＋log 62·log 618＋lg 10－ln e 2.[思路点拨] 利用对数的运算性质，将式子转化为只含一种或几种真数的形式再进行计算．[精解详析] (1)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5·lg(5×2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.(2)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg102·lg(2×10)＋lg 2 2 ＝2lg(5×2)＋(1－lg 2)·(lg 2＋1)＋lg 2 2＝2＋1－lg 22＋lg 22＝3.(4)(log 66－log 62)2＋log 62·log 6(2×32) ＝⎝⎛⎭⎫log 6622＋log 62·(log 62＋log 632) ＝log 263＋log 262＋2log 62·log 63 ＝(log 63＋log 62)2＝1. 又lg 10＝12，ln e 2＝2，∴原式＝1＋12－2＝－12.[一点通] 利用对数的运算性质解题时，应根据所求式子的结构，对真数进行分解或合并，常见的方法有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算性质将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．1．(1)(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 20的值是________． (2)log 39100＋2log 310＝________. 解析：(1)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20 ＝lg 5＋lg 20＝lg (5×20)＝lg 100＝2. (2)原式＝log 39100＋log 3100 ＝log 3⎝⎛⎭⎫9100×100＝log 39＝2. ★答案★：(1)2 (2)22．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，3x (x <0).则f [f (－2)]等于________．解析：f (－2)＝3－2＝19.∴f [f (－2)]＝f (19)＝log 319＝log 33－2＝－2.★答案★：－23．求值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)lg 243lg 9；(3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2.解：(1)法一(公式的正向运用)：原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2 ＝0.法二(公式的逆向运用)： 原式＝lg 14－lg(73)2＋lg 7－lg 18＝lg14×7(73)2×18＝lg 1＝0.(2)原式＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52.(3)原式＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.[例2] 已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 3645.[思路点拨] 利用换底公式，把题目中不同底的对数化成同底的对数，再进一步应用对数的运算性质求值．[精解详析] 法一：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ， 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a. 法二：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a .法三：∵log 189＝a,18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.[一点通](1)换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，解决一般对数求值问题．(2)换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．4．若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为________． 解析：由x log 23＝1得x ＝1log 23＝log 32.∴3x ＋9x ＝3log 32＋9log 32＝2＋9log 94 ＝2＋4＝6. ★答案★：65．已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 498. 解：log 498＝lg 98lg 4＝lg 49＋lg 22lg 2＝2lg 7＋lg 22lg 2，∵lg 2＝a ，lg 7＝b ，∴log 498＝2b ＋a2a.6．计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)． 解：法一：原式＝(log 253＋log 225log 24＋log 25log 28)·(log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125) ＝(3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22)(log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55)＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13.法二：原式＝(lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8)(lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125)＝(3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2)(lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5)＝(13lg 53lg 2)(3lg 2lg 5)＝13.[例3] 设x ，y ，z 均为正数，且3x ＝4y ＝6z . 求证：1z －1x ＝12y.[思路点拨] 由条件可知，可以令3x ＝4y ＝6z ＝k ， 用k 分别表示出x ，y ，z .然后再代入进行证明． [精解详析] 设3x ＝4y ＝6z ＝k ， 因为x ，y ，z 均为正数，所以k >1.所以x ＝log 3k ＝1log k 3，y ＝log 4k ＝1log k 4＝12log k 2， z ＝log 6k ＝1log k 6，所以1x ＋12y ＝log k 3＋log k 2＝log k 6＝1z ，即1z －1x ＝12y. [一点通] 在证明恒等式或进行对数值运算时，多借助于换底公式化为同底的对数，至于底数取什么数值，一般是根据已知条件灵活选取．7．已知2x ＝5y ，则xy 的值为________．解析：令2x ＝5y ＝k (k >0)， 则x ＝log 2k ，y ＝log 5k ， ∴x y ＝log 2k log 5k ＝log k 5log k 2＝log 25. ★答案★：log 25 8．设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 2 19，B ＝1log 2 π＋1log 5 π，试比较A 与B 的大小． 解：利用换底公式，可得A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360，B ＝log π2＋log π5＝log π10. ∵log 19360<log 19192，log π10>log ππ2， ∴log 19360<2，log π10>2，∴A <B .[例4] 2013年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2013年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4.精确到1年)[思路点拨] 认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．[精解详析] 设经过x 年，我国国民生产总值是2013年的2倍． 经过1年，总产值为a (1＋8%)， 经过2年，总产值为a (1＋8%)2. ……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x . 由题意得a (1＋8%)x ＝2a ，即1.08x ＝2，两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2，则x＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2013年的2倍．[一点通]解对数应用题的步骤(1)理解题意，弄清各字母的含义；(2)恰当地设未知数，建立数学模型，即已知a x＝N(a，N是常数，且a>0，a≠1)，求x；(3)在a x＝N两边取以a为底的对数得x＝log a N.(4)还原为实际问题，归纳结论．9．通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？解：M＝7时，7＝lg A1－lg A0，∴A1A0＝107，即A1＝107A0；当M＝5时，A2＝105A0，∴A1A2＝107A0105A0＝100(倍)．因此7级地震的最大震幅是5级地震最大振幅的100倍．10．我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：y＝10lg II0.这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0＝10－12 w/m2，当I＝I0时，y＝0.(1)如果I＝1 w/m2，求相应的分贝值；(2)70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的多少倍？解：(1)∵I＝1 w/m2，∴y＝10lg II0＝10lg110－12＝10lg 1012＝120(dB)．(2)由70＝10lg II0，得lgII0＝7，∴II0＝107.又由60＝10lg I′I0，得lgI′I0＝6，∴I′I0＝106.∴II′＝107106＝10，即I＝10I′.1．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．2．根据对数的换底公式，可得出下列结论．(1)log a n b m ＝mnloga b (a >0，a ≠1，b >0，m ∈R ，n ∈R 且n ≠0)；(2)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，b >0，c >0，d >0，a ≠1，b ≠1，c ≠1)．一、填空题1．lg 5＋lg 20的值是________． 解析：lg 5＋lg 20＝lg 100＝1. ★答案★：12．(陕西高考改编)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是________．①log a b ·log c b ＝log c a ②log a b ·log c a ＝log c b ③log a (bc )＝log a b ·log a c ④log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：对①式：log a b ·log c b ＝log c a ⇒log a b ＝log c a log c b ，显然与换底公式不符，所以不恒成立；对②式：log a b ·log c a ＝log c b ⇒log a b ＝log c blog c a ，显然与换底公式一致，所以恒成立；对③式：log a (bc )＝log a b ·log a c ，显然与公式不符，所以不恒成立．对④式：log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c ，同样与公式不符，所以不恒成立．★答案★：②3．已知a 2＝1681(a >0)，则log 23a ＝________.解析：由a 2＝1681(a >0)得a ＝49，所以log 2349＝log 23⎝⎛⎭⎫232＝2. ★答案★：24．已知lg 2＝a,10b ＝3，则lg 108＝________(用a ，b 表示)． 解析：由条件可知lg 2＝a ，lg 3＝b ， ∴lg 108＝lg(27×4)＝lg 4＋lg 27＝2lg 2＋3lg 3 ＝2a ＋3b . ★答案★：2a ＋3b5．已知3a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 的值为________．解析：由条件可知a ＝log 3m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 3＋log m 5＝2，∴log m 15＝2. 即m 2＝15，∴m ＝15. ★答案★：156．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．★答案★：6 10 000 二、解答题7．计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解：(1)法一：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 法二：原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝3. 8．(1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 142＝a ，用a 表示log27.解：(1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2，∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9. (2)由对数换底公式，得 log27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2⎝⎛⎭⎫1a －1＝2(1－a )a .9．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)解：假设经过x 年，该物质的剩余量是原来的13，根据题意得：0.75x ＝13，∴x ＝log 0.7513＝－lg 3lg 3－lg 4＝－lg 3lg 3－2lg 2≈4.故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13.细胞分裂的过程中，1个分裂成2个，2个分裂成4个，依此类推，… 问题1：当细胞分裂成64个时，分裂了多少次？ 提示：6次．问题2：当细胞的数目确定时，分裂的次数是唯一确定的吗？提示：是唯一确定的．问题3：当已知细胞数目y时，分裂次数x如何表示？提示：由y＝2x可得x＝log2y.一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．考察函数y＝log2x和y＝logx的图象．12问题1：试作出这两个函数的图象．提示：如图所示：问题2：它的图象与y轴有交点吗？为什么？提示：没有交点．因为x>0.问题3：它的图象与x轴有公共点吗？y＝log a x过这一点吗？提示：有公共点(1,0)，过．问题4：这两个函数的图象有什么关系？提示：关于x轴对称．问题5：它们的增减性怎样？提示：y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增．x在(0，＋∞)上单调递减．y＝log12对数函数的图象与性质0＜a＜1a＞1图象性定义域：(0，＋∞)质值域：(－∞，＋∞)过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数问题1：作出函数y＝2x与y＝log2x的图象．提示：如图：问题2：它们的图象有什么关系？提示：关于直线y＝x对称．指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．1．对数函数是一个形式概念，只有形如y＝log a x(a>0，a≠1)的函数才是对数函数．如函数y＝log2x＋1，y＝log2(x＋1)，y＝2log2x等都不是对数函数．2．由指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的关系不难发现其对应关系：由此可知：对数函数中的自变量x的范围等同于指数函数中的函数值范围；对数函数中的函数值的范围等同于指数函数中的自变量的范围．3．不论a(a>0且a≠1)取何值，函数f(x)＝log a x必过定点(1,0)，这是因为“不论底数为何值，1的对数等于0”．因此涉及与对数函数有关的定点问题，均可利用此性质求解．[例1]求下列函数的定义域．(1)f(x)＝log(x－1)(x＋2)；(2)f(x)＝log(1－2x)(3x＋2)；(3)f(x)＝1 log2(x－1).[思路点拨]根据对数式中底数、真数的范围列不等式(组)求解．[精解详析](1)由⎩⎪⎨⎪⎧x－1>0，x－1≠1，x＋2>0得⎩⎪⎨⎪⎧x>1，x≠2，x>－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x>1，x≠2.故函数的定义域是{x|x>1且x≠2}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x>0，1－2x≠1，3x＋2>0得⎩⎪⎨⎪⎧x<12，x≠0，x>－23，∴⎩⎪⎨⎪⎧－23<x<12，x≠0.故函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－23<x<12且x≠0.(3)由log2(x－1)≠0知x－1≠1，∴x≠2.又x－1>0，∴x>1.故函数的定义域是{x|x>1且x≠2}．[一点通]求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义时自变量的取值范围．常用的方法有：①分母不等于零；②根指数为偶数时，被开方数为非负数；③对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.1．(广东高考改编)函数f(x)＝lg(x＋1)x－1的定义域是________．解析：要使函数有意义，须满足：⎩⎪⎨⎪⎧x＋1>0x－1≠0⇒x>－1且x≠1，∴函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．★答案★：(－1,1)∪(1，＋∞)2．求下列函数的定义域：(1)y＝log2(4x－3)；(2)y＝log5－x(2x－2)．解：(1)要使函数有意义，须满足： log 2(4x －3)≥0＝log 21， ⇒1≤4x －3⇒x ≥1，∴函数的定义域为[1，＋∞)． (2)要使函数有意义，须满足： ⎩⎪⎨⎪⎧2x －2>05－x >05－x ≠1⇒1<x <5且x ≠4.∴函数的定义域为(1,4)∪(4,5).[例2] 作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象，并指出其单调区间． [思路点拨] 按下列顺序作图，作图后再观察得出单调区间． y ＝log 2x →y ＝log 2(x ＋1)→y ＝|log 2(x ＋1)|→y ＝|log 2(x ＋1)|＋2. [精解详析] 第一步：作出y ＝log 2x 的图象，如图(1)．第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位得到y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图(2)． 第三步：将y ＝log 2(x ＋1)的图象在x 轴下方的图象以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方得到y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图(3)．第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象沿y 轴方向向上平移2个单位，得到y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调递减区间是(－1,0)，单调递增区间是(0，＋∞)．[一点通] 按函数图象的平移，翻折变换作图，先作出基本的函数y ＝f (x )图象，然后再按顺序作函数y ＝|f (x ＋a )|＋b 的图象．3．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )在同一坐标系中的图象为________(填序号)．解析：法一：首先，曲线y ＝a x 位于x 轴上方，y ＝log a (－x )位于y 轴左侧，从而排除(1)(3)．其次，从单调性入手，y ＝a x 与y ＝log a (－x )的增减性正好相反，又可排除(4)．法二：若0<a <1，则曲线y ＝a x 下降且过点(0,1)，而曲线y ＝log a (－x )上升且过点(－1,0)，所有选项均不符合这些条件．若a >1，则曲线y ＝a x 上升且过点(0,1)，而曲线y ＝log a (－x )下降且过点(－1,0)，只有(2)满足条件．法三：如果注意到y ＝log a (－x )的图象关于y 轴的对称图象为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定(2)．★答案★：(2)4．如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次为________． 解析：过点(0,1)作平行于x 轴的直线，与C 1、C 2、C 3、C 4的交点的坐标为(a 1,1)、(a 2,1)、(a 3,1)、(a 4,1)，其中a 1、a 2、a 3、a 4分别为各对数的底数，显然a 1>a 2>a 3>a 4，所以C 1、C 2、C 3、C 4的底数值依次为3、43、35、110.★答案★：3、43、35、110[例3] 比较下列各组数的大小： (1)log 0.13与log 0.1π； (2)log 45与log 65； (3)3log 45与2log 23.[思路点拨] 所给的四组数的大小均与对数有关，可借助对数函数的单调性比较大小． [精解详析] (1)∵函数y ＝log 0.1x 是减函数，π>3， ∴log 0.13>log 0.1π.(2)∵函数y ＝log 4x 和y ＝log 6x 都是增函数， ∴log 45>log 44＝1，log 65<log 66＝1. ∴log 45>log 65.(3)∵3log 45＝log 453＝log 4125＝log 2125log 24＝12log 2125＝log2125，2log 23＝log 232＝log 29，又∵函数y ＝log 2x 是增函数，125>9， ∴log 2125>log 29，即3log 45>2log 23.[一点通] 比较两个对数值的大小与比较两个指数值的大小的方法基本类似．当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；当底数不同时，可用换底公式或找中间值联系传递，如取0,1，－1等进行比较．5．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：∵1>log 54>log 53>0，∴(log 53)2<log 53. 又∵log 45>log 44＝1，∴c >a >b . ★答案★：c >a >b6．(重庆高考改编)设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 由小到大的顺序为________．解析：a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，c ＝log 343，函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，43＜32＜2，即c ＜b ＜a .★答案★：c <b <a7．比较下列各组数的大小： (1)log 0.30.1与log 0.33；(2)log a (a ＋2)与log a (a ＋3)(a >0，a ≠1)； (3)log 3π，log 76与ln 0.2.解：(1)∵函数y ＝log 0.3x 是减函数，0.1<3， ∴log 0.30.1>log 0.33. (2)∵a ＋2<a ＋3，∴①当a >1时，log a (a ＋2)<log a (a ＋3)， ②当0<a <1时，log a (a ＋2)>log a (a ＋3)． (3)∵log 3π>1,0<log 76<1，ln 0.2<0， ∴log 3π>log 76>ln 0.2.函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a >1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0<a <1时a 越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．一、填空题1．(重庆高考改编)函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2(x －2)≠0，解得x >2且x ≠3.★答案★：(2,3)∪(3，＋∞)2．函数f (x )＝log a (2x ＋1)＋2(a >0且a ≠1)必过定点________． 解析：∵log a 1＝0，∴x ＝0时f (x )＝2. 故函数f (x )过定点(0,2)． ★答案★：(0,2)3．(新课标卷Ⅱ改编)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：由题意知：a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，因为log 23<log 25<log 27，所以a >b >c . ★答案★：a >b >c4．若y ＝(log 12a )x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝(log 12a )x 在R 上为减函数，∴0<log 12a <1.∴12<a <1.★答案★：(12，1)5．函数y ＝log a x ，x ∈[2,4]，a >0且a ≠1，若此函数的最大值比最小值大1，则a ＝________. 解析：当a >1时，log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2， 当0<a <1时，log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.∴a ＝2或12.★答案★：2或126．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，(12)x (x ≤0)，则f [f (127)]＝________.解析：因为f (127)＝log 3127＝－3，所以f [f (127)]＝f (－3)＝(12)－3＝8.★答案★：8 二、解答题7．已知函数f (x )＝log 2(x －3)． (1)求f (51)－f (6)的值；(2)若f (x )≥0，求x 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝log 2(x －3)，∴f (51)－f (6)＝log 2(51－3)－log 2(6－3) ＝log 248－log 23＝log 216＝4.(2)f (x )≥0即log 2(x －3)≥0，∴x －3≥1解得x ≥4. 所以x 的取值范围为[4，＋∞)．8．设y 1＝log a (3x ＋1)，y 2＝log a (－3x )，其中0<a <1. (1)若y 1＝y 2，求x 的值； (2)若y 1>y 2，求x 的取值范围．解：(1)∵y 1＝y 2，∴log a (3x ＋1)＝log a (－3x )， ∴3x ＋1＝－3x ，解得x ＝－16，经检验x ＝－16在函数的定义域内，∴x ＝－16.(2)y 1>y 2，即log a (3x ＋1)>log a (－3x )(0<a <1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，－3x >0，3x ＋1<－3x ，解得－13<x <－16，∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－13，－16. 9．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)当0<a <2时，有f (a )>12，利用图象求a 的取值范围．解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝12，即log 3x ＝12，解得x ＝ 3.由如图所示的图象知： 当0<a <2时， 若f (a )>12，则3<a <2.故当0<a <2时，满足f (a )>12的a 的取值范围为(3，2)．[例1] 求函数y ＝log 12(6＋x ＋2x 2)的单调区间．[思路点拨] 首先确定出该函数的定义域，把函数转化为两个函数y ＝log 12u ，u ＝6＋x＋2x 2构成，根据它们各自的单调性来进行判断．[精解详析] 由6＋x ＋2x 2>0得2(x ＋14)2＋478>0，即函数定义域是R 令u (x )＝2x 2＋x ＋6，则函数u (x )＝2x 2＋x ＋6的单调增区间为 (－14，＋∞)，单调减区间为(－∞，－14)． 又∵y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝log 12(6＋x ＋2x 2)的单调增区间为(－∞，－14)，单调减区间为(－14，＋∞)．[一点通](1)研究函数的单调性，首先必须考虑它的定义域；(2)对于形如y ＝f (g (x ))的函数的单调性，必须考虑u ＝g (x )与y ＝f (u )的单调性，从而得出f (u )＝f (g (x ))的单调性；(3)判断函数的单调性，或者求函数的单调区间，也可画出函数图象求解．1．函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调递增区间是________．解析：由1－2x >0得x <12，∵u ＝1－2x 在(－∞，12)上单调递减，y ＝log 12u 在(0，＋∞)上单调递减．∴f (x )＝log 12(1－2x )在(－∞，12)上单调递增．★答案★：(－∞，12)2．已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)单调递减，则a 的取值范围________． 解析：根据复合函数的单调性知， ⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，22－2a ＋3a >0，解得－4<a ≤4. ★答案★：(－4,4]3.判断函数y ＝f (x )＝log a (1－x )的单调性．解：由1－x >0，得函数f (x )＝log a (1－x )的定义域为(－∞，1)． 令u ＝1－x ＝－x ＋1，∴y ＝log a u . ∵u ＝－x ＋1在(－∞，1)上是减函数，当a >1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上是增函数；当0<a <1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上是减函数； ∴当a >1时，f (x )＝log a (1－x )在(－∞，1)上是减函数； 当0<a <1时，f (x )＝log a (1－x )在(－∞，1)上是增函数.[例2] 解下列不等式： (1)log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)； (2)log x 12>1.[思路点拨] (1)利用y ＝log 2x 的单调性求解； (2)分类讨论，分x >1和0<x <1讨论． [精解详析] 因为对数式中真数大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，－x ＋5>0.解得12<x <5.又函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以原不等式化为2x －1<－x ＋5，解得x <2. 所以原不等式的解集是{x |12<x <2}．(2)当x >1时，原不等式化为log x 12>log x x .∴x <12，这与x >1矛盾；当0<x <1时，原不等式可化为log x 12>log x x ，∴x >12.结合0<x <1，所以12<x <1.故原不等式的解集为(12，1)．[一点通] 解对数不等式需考虑对数定义中的隐含条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，再根据对数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式，然后求交集即得原不等式的解集．4．不等式log 2(x －3)>1的解集为________． 解析：∵log 2(x －3)>1， ∴log 2(x －3)>log 22. ∴x －3>2，x >5. ★答案★：{x |x >5}5．(1)已知log a 12>1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.72x <log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． 解：(1)由log a 12>1得log a 12>log a a .①当a >1时，有a <12，此时无解．②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x <log 0.7(x －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)[例3] 已知函数f (x )＝log m (x ＋1)－log m (1－x )(m >0且m ≠1)， (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性．[思路点拨] (1)确定定义域是解x ＋1>0且1－x >0，而不是x ＋11－x >0；(2)判断奇偶性可利用定义来判定．[精解详析] (1)由x ＋1>0且1－x >0得 －1<x <1.∴f (x )的定义域是(－1,1)． (2)函数的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝log m (－x ＋1)－log m (1＋x ) ＝－[log m (1＋x )－log m (1－x )]＝－f (x )， ∴y ＝f (x )是奇函数．[一点通] 对数函数的综合问题的考查主要体现在：对数的运算，与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题．解决这些问题必须熟练的掌握对数的相关运算性质、基本初等函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性的求解方法与技巧．6．已知f (x )是定义在[－2,2]上的单调递增函数，且f (x )的最大值为1，则满足f (log 2x )<1的解集为________．解析：函数f (x )在[－2,2]上单调递增且f (x )的最大值为1，∴f (2)＝1.∴f (log 2x )<1可化为f (log 2x )<f (2)，即log 2x <2，即0<x <4.又－2≤log 2x ≤2，∴14≤x ≤4.故14≤x <4.★答案★：[14，4)7．设函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫1－ax ，其中0<a <1. (1)证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)若f (x )>1，求x 的取值范围． 解：(1)证明：令0<a <x 1<x 2， g (x )＝1－ax，则g (x 1)－g (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1－a x 1－⎝⎛⎭⎫1－a x 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2<0， ∴g (x 1)<g (x 2)，又∵0<a <1， ∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(a ，＋∞)上是减函数． (2)∵log a ⎝⎛⎭⎫1－a x >1，∴0<1－ax <a . ∴1－a <ax <1，∵0<a <1，∴1－a >0，从而a <x <a1－a .∴x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫a ，a1－a .1．对于函数y ＝log a f (x )(a >0且a ≠1)单调性的判断，首先应求满足f (x )>0的x 的范围，即函数的定义域．假设f (x )在定义域的子区间I 1上单调递增，在区间I 2上单调递减，则(1)当a >1时，原函数与内层函数f (x )的单调性相同，即在I 1上单调递增，在I 2上单调递减．(2)当0<a <1时，原函数与内层函数f (x )的单调性不同，即在I 1上单调递减，在I 2上单调递增．2．关于对数函数性质的几点应用：(1)y ＝log a x 中定义域(0，＋∞)――――――→可延伸为y ＝log a f (x )的定义域，需f (x )>0. (2)y ＝log a x 过定点(1,0)――――――→可延伸为y ＝log a f (x )过定点，只需f (x )＝1即可． (3)y ＝log a x 的单调性――――――→可延伸为 y ＝log a f (x )的单调性，利用y ＝log a u 和u ＝f (x )的单调性判断．(4)考查y ＝log a f (x )的奇偶性，定义域关于原点对称后利用函数奇偶性的定义来判定较容易．一、填空题1．(江苏高考)函数ƒ(x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析：由题意知，函数ƒ(x )＝log 5(2x ＋1)的定义域为{x |x ＞－12}，所以该函数的单调增区间为(－12，＋∞)．答案：(－12，＋∞)2．函数y ＝3x 的反函数是________，y ＝log 12x 的反函数是________．解析：∵函数y ＝a x 与函数y ＝log a x 互为反函数，∴函数y ＝3x 的反函数是y ＝log 3x ，函数y ＝log 12x 的反函数是y ＝(12)x .答案：y ＝log 3x y ＝(12)x3．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12)＝0，则满足f (log 14x )<0的集合为________．解析：因为定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0]上单调递增．又f (12)＝0，所以f (－12)＝0，由f (log 14x )<0可得log 14x <－12或log 14x >12，解得x ∈(0，12)∪(2，＋∞)．答案：{x |0<x <12或x >2} 4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是__________(从小到大排列)．解析：∵a ＝0.32∈(0,1)．b ＝20.3∈(1,2)，c ＝log 25∈(2,3)，d ＝log 20.3∈(－1,0)，∴d <a <b <c . 答案：d <a <b <c5．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．解析：由奇函数图象的对称性，知函数f (x )的图象如图所示．由图象知满足f (x )>0的x 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________．解析：函数f (x )的图象如图∵f (a )＝f (b )，即|lg a |＝|lg b |.∴ab ＝1，又10<c <12∴abc ∈(10,12)．答案：(10,12)二、解答题7．解不等式：log a (3x －4)>log a (x －2)．解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ log a (3x －4)>log a (x －2)，3x －4>0，x －2>0.(1)当a >1时，又等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4>x －2，3x －4>0，x －2>0，解得x >2.(2)当0<a <1时，又等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4<x －2，3x －4>0，x －2>0，不等式无解．综上可知：当a >1时，不等式的解集为(2，＋∞)；当0<a <1时，不等式无解．8．已知函数f (x )＝lg |x |.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的草图；(3)求函数f (x )的单调递减区间，并加以证明．解：(1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，如图所示．(3)由图得函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)．证明：设x 1、x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg |x 1|－lg |x 2|＝lg |x 1||x 2|.∵x 1、x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，∴|x 1|>|x 2|>0.∴|x 1||x 2|>1.∴lg |x 1||x 2|>0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，即函数的单调递减区间是(－∞，0)．9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－(4a ＋1)x －8a ＋4，x <1，log a x ，x ≥1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x ，x <1log 12x ，x ≥1，当x <1时，f (x )＝x 2－3x 是减函数，所以f (x )>f (1)＝－2，即x <1时，f (x )的值域是(－2，＋∞)．当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是减函数， 所以f (x )≤f (1)＝0，即x ≥1时，f (x )的值域是(－∞，0]．于是函数f (x )的值域是(－∞，0]∪(－2，＋∞)＝R .(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则下列①②③三个条件同时成立：①当x <1时，f (x )＝x 2－(4a ＋1)x －8a ＋4是减函数，于是4a ＋12≥1， 则a ≥14； ②当x ≥1时，f (x )＝log a x 是减函数，则0<a <1；③12－(4a ＋1)·1－8a ＋4≥0，则a ≤13. 于是实数a 的取值范围是[14，13]．。
对数函数知识点总结
对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x=⇔=log ；○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． （二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○2 =N Ma log M a log －N a log ； ○3 na M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a n a m log log =；（2）a b b a log 1log =． （二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：x y 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2对数函数·例题解析例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=．解：（1）由2x >0得0≠x ，∴函数2log x y a =的定义域是{}0x x ≠；（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4x x <；（3）由9-02>-x 得-33<<x ，∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33x x -<<．例2．求函数251-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy 和函数22112+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。
数学高一上对数函数知识点
数学高一上对数函数知识点对数函数是高中数学中的重要知识点之一，在高一上学期，学生首次接触到了对数函数的概念和基本性质。
下面我们就来系统地了解一下高一上对数函数的知识点。
1. 对数函数的定义和性质：对数函数是指满足一定条件的函数，其中最常见和常用的是以10为底的对数函数，即常用对数函数。
常用对数函数的定义是：y = log10x，其中x和y分别表示自变量和因变量，log10x表示以10为底的x的对数。
对数函数的性质有：- 定义域：对数函数的定义域是正实数集。
- 值域：对数函数的值域是实数集。
- 单调性：对于正数x1和x2，如果x1 > x2，则log10x1 >log10x2。
也就是说，对数函数是递增函数。
- 零点：对数函数的零点是x = 1，因为log101 = 0。
- 对称性：对数函数关于直线y = x对称。
- 拉伸和压缩：对数函数y = log10(x/a)表示将函数的图像沿x轴拉伸a倍，而y = log10(ax)表示将函数的图像沿x轴压缩a倍。
- 幂函数与对数函数的互逆关系：指数函数与对数函数是互为反函数的关系。
2. 对数函数的图像和性质：对数函数的图像特点与函数的性质密切相关。
对数函数y =log10x的图像在x轴的右侧是递增的，而在x轴的左侧是递减的。
当x取正数时，函数图像在y轴的右侧上方，当x取0时，函数图像经过(0, -∞)的点，当x取负数时，函数图像在y轴的左侧下方。
对数函数的图像是一个渐近线为y = 0的曲线，该曲线在点(1, 0)处与x轴相交。
当x趋近于无穷大时，函数的值也趋近于无穷大，反之亦然。
3. 对数函数的运算和性质：对数函数的运算是基于指数函数的运算规律的。
对数函数的运算包括：- 指数和对数之间的互化：指数函数和对数函数是互为反函数的关系，两者之间可以通过指数函数的计算特性进行换算。
- 对数的乘除法：log10(a * b) = log10a + log10b，log10(a / b) = log10a - log10b。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结(共12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x=⇔=log ；○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○2 =N Ma log M a log －N a log ； ○3 na M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a n a mlog log =；（2）a b b a log 1log =．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：x y 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．对数函数·例题解析例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=．解：（1）由2x >0得0≠x ，∴函数2log x y a =的定义域是{}0x x ≠；（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4x x <；（3）由9-02>-x 得-33<<x ，∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33x x -<<．例2．求函数251-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy 和函数22112+⎪⎭⎫⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。
高一数学对数函数知识点
高一数学对数函数知识点一、引言在高一数学课程中，对数函数是一个重要而且常见的概念。
它在许多实际问题中有着广泛的应用。
了解并掌握对数函数的知识对于我们的学习和解题能力都是非常有益的。
二、对数函数的定义和性质对数函数是幂函数的逆运算。
给定一个正数a和一个正数x，如果a^x=b，则我们称x是以a为底b的对数，记作x=log_a(b)。
其中a称为对数的底数，b称为真数。
对数函数有以下几个重要的性质：1. 对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)；2. 对数函数的值域为实数集；3. 对数函数的反函数是指数函数。
三、对数函数的图像和性质1. 对数函数y=log_a(x)的图像在直角坐标系中的特征为：图像关于直线y=x对称，过点(1,0)，且在x轴上没有定义；2. 对数函数的图像在底数a>1时呈现增长趋势，底数a在(0,1)之间时呈现下降趋势；3. 对数函数在定义域内单调递增；4. 对数函数在底数大于1时无上确界，当底数在(0,1)之间时，对数函数的上确界为0。
四、对数函数的运算对数函数的运算主要有以下几种：1. 对数的乘法法则：log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)；2. 对数的除法法则：log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)；3. 对数的幂运算法则：log_a(b^k) = k log_a(b)；4. 换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)。
通过对数函数的运算，我们可以将复杂的乘除运算转化为简单的加减运算，从而更便于计算和求解问题。
五、对数函数的应用对数函数在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们来看几个例子。
例1：在一个细胞培养实验中，细胞数量N(t)与时间t的关系由以下方程给出：N(t)=N_0 * 2^(t/τ)，其中N_0是初始细胞数量，τ是细胞分裂时间。
将该方程改写为对数形式，可以得到新的方程log_2(N(t)/N_0) = t/τ。
高一数学对数函数苏教版知识精讲
高一数学对数函数苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 对数函数【教学目标】1. 理解对数的概念及其运算性质，会熟练地进行指数式与对数式的互化，能灵活准确地运用对数的运算性质进行对数、对数式的化简与计算；了解对数恒等式，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数，会用换底公式进行一些简单的化简与证明。
2. 通过具体的实例，直观了解对数函数的模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型。
3. 知道指数函数y a a a x=>≠()01，与对数函数()y x a a a =>≠log 01，互为反函数；能运用对数函数的性质比较两个对数式值的大小；能研究一些与对数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等。
4. 感受化归与转化、数形结合的思想。
【教学过程】 （一）对数的概念庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（1）取5次，还有多长？取多少次，还有0.125尺？（2）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质的剩留量是原来的84%，试问经过多少年，这种物质的剩留量是原来的一半？抽象出：（1）125⎛⎝ ⎫⎭⎪=?，120125⎛⎝ ⎫⎭⎪=⇒=xx .?（2）08412.?xx =⇒= 1. 定义：一般地，如果a a a ()>≠01，的b 次幂等于N ，就是a N b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log ()a N b =logarithm ，a 叫做对数的底数（base of logarithm ），N 叫做真数（proper number ）。
说明：（1）a N b=与log a N b =等价（2）a ，N ，b 的取值X 围各是：①a >0且a ≠1；②N ＞0；③b R ∈ 2. 几个常用的对数等式：log log log log a a a n N a a n a N a 101====，，，3. 常用对数与自然对数：常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
【知识学习】高一必修一《对数函数》知识点总结苏教版
高一必修一《对数函数》知识点总结苏
教版
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1.对数
对数的定义：
如果ab=N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.
指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
对数运算性质:
①loga=logam+logaN.
②loga=logam-logaN.
③logamn=nlogam.
④对数换底公式：logbN=.
2.对数函数
对数函数的定义
函数y=logax叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.
注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1
对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢?
在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b
的值的。
但是，根据对数定义:logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数第二，根据定义运算公式：logam^n=nlogam如果a<0,那么这个等式两边就不会成立4^就不等于*log4;一个等于1/16，另一个等于-1/16 对数函数的性质:
①定义域：.
②值域：R.
③过点，即当x=1时，y=0.
④当a>1时，在上是增函数;当0
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苏教版高中数学必修一对数函数文字素材(2)
)2y 对数函数中的数学思想对数函数中蕴含着丰富的数学思想方法，解题时若能充分运用这些数学思想方法，常可使许多问题获得简洁巧妙的解决．一、数形结合思想例1 方程x x -=+)2(log 2的实数解有（ ）Ａ．０个 Ｂ．１个Ｃ．２个 Ｄ．３个解：令)2(log 21+=x y ，x y -=2． 在同一坐标系中，分别画出两个函数图象．如图２所示，两个函数图象只有一个交点，所以方程有一个解．故选Ｂ．评注：此方程属于超越方程．没有其直接解法，利用数形结合可从图象上观察到两函数图象的交点个数，从而推出方程解的个数．关键是较准确做出两函数图象．二、方程思想例２ 设1lg(1)7a =+，1lg(1)49b =+，试用,a b 表示lg 2,lg7． 分析：直接用,a b 表示lg 2,lg7显然困难，观察题设特点，可通过变形将lg 2,lg7看作未知数，构造关于lg 2,lg7的方程组，解方程组求解．解：1lg(1)7a =+＝32lg 3lg 2lg 77=-， 1lg(1)49b =+＝225010lg lg 2lg 22lg 74927==--⨯， ∴3lg 2lg 7,2lg 22lg 7.a b -=⎧⎨--=⎩， 解之得11lg 2(22),lg 7(36)77a b a b =-+=--+． 评注：通过分析数学问题中的已知与未知之间的等量关系，从而建立方程（组）或者构造方程，通过解方程（组）或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程与函数密切相关，对于函数()y f x =，当y ＝０时，就转化为方程()f x ＝０．三、分类讨论思想例３ 求函数log ()(0x a y a a a =->，且a 1)≠的定义域与值域．解：∵a －x a ＞０， ∴a ＞xa ．当a ＞１时，x ＜１，则()f x 的定义域为(,1)-∞；当０＜a ＜１时，x ＞１，则()f x 的定义域为(1,)+∞．∵ x a ＞０， ∴ ０＜a －x a ＜a ．当a ＞１时，log ()log 1x a a a a a -<=，函数()f x 的值域为(,1)-∞；当０＜a ＜１时，log ()log 1x a a a a a ->=，函数()f x 的值域为(1,)+∞．综上所述，当a ＞１时，函数()f x 的定义域与值域均为(,1)-∞；当０＜a ＜１时，函数()f x 的定义域与值域均为(1,)+∞．评注：求解指数函数、对数函数问题时，要养成关注底数的好习惯，若底数含有字母，就需要分两种情况进行讨论，这一点也是高考的关注点．四、转化思想例４若a ＝lg 2lg3lg5,,235b c ==，则（ ） Ａ．a b c << Ｂ．c b a <<Ｃ．c a b << Ｄ．b a c << 分析：直接比较无法判断，可将其根据对数的性质转化为相同底数的对数，根据其单调性求解．解：∵a ＝lg 2lg3lg5235b c ======<==>=<<又∵ 函数y ＝lg x 在（０，+∞）是增函数，∴<<， 即c a b <<，故选Ｃ．评注：有关对数、指数大小比较问题，常常将问题转化，有时需转化为同底数的指数式、对数式，有时根据问题的需要将指数式转化为对数式，或者将对数式转化为指数式后再运算，这正是数学中转化思想的具体体现．转化思想是中学重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用的目的．五、整体换元思想例５ 设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a ++++>+，求实数a 的取值范围．分析：观察不等式的结构特点，有些局部地方重复出现，不妨换元，是复杂的不等式问题变为熟知的一元二次不等式问题．解：设22log 1a u a =+，则原不等式化为2(3)220u x ux u -+-> ① ∵x R ∈时，不等式恒成立，但当3u =时，①式变为660x ->，即1x >与条件x R ∈ 不符， ∴3u ≠．当3u ≠时，①式对x R ∈恒成立，则23044(3)(2)0u u u u ->⎧⎨---<⎩ 解得306u u u <⎧⎨<>⎩或，∴0u <，即22log 01a a <+， ∴2011a a <<+ 解得0x 1<<，故a 的取值范围是（０，１）．评注：本题利用整体换元的思想方法起到了沟通问题的条件和结论的中介作用，并使运算得以简化，令人耳目一新．对数函数图像应用举隅对数函数图像是对数函数的一种直观的表达形式，形象地显示了对数函数的性质。
苏教版高中数学必修一第课对数函数教师
第二十三课时 对数函数（1）【学习导航】知识网络学习要求1．要求了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系。
2．了解对数函数与指数函数的互为反函数，能利用其相互关系研究问题，会求对数函数的定义域；3．记住对数函数图象的规律，并能用于解题；4．培养培养学生数形结合的意识用联系的观点研究数学问题的能力。
自学评价1． 对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数(logarithmic function), 定义域是 (0,)+∞思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ 2. 图 象 1a > 01a <<性 质 （1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R（3）过点(1,0)，即当1=x 时，0=y（4）在（0，+∞）上是增函数（4）在(0,)+∞上是减函数3. 对数函数的图象与指数函数的图象 关于直线y x =对称。
画对数函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象，可以通过作xy a =(0,1)a a >≠关于直线y x =的轴对称图象获得，但在一般情况下，要画给定的对数函数的图象，这种方法是不方便的。
所以仍然要掌握用描点法画图的方法，注意抓住特殊点（1，0）及图象的相对位置。
4.指数函数x y a =(0,1)a a >≠与对数函数log a y x =(0,1)a a >≠称为互为反函数。
指数函数的定义域和值域分别是对数函数的值域和定义域。
5．一般地，如果函数()y f x =存在反函数，那么它的反函数，记作1()y fx -=思考：互为反函数的两个函数的定义域和值域有什么关系？原函数的定义域和值域分别是反函数的值域和定义域。
【精典范例】例1：求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1ay x =- (0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =-[分析]：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域(0,)+∞求解。
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高一必修一《对数函数》知识点总结苏
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1.对数
对数的定义：
如果ab=N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.
指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
对数运算性质:
①loga=logam+logaN.
②loga=logam-logaN.
③logamn=nlogam.
④对数换底公式：logbN=.
2.对数函数
对数函数的定义
函数y=logax叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.
注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1
对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢?
在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b
的值的。
但是，根据对数定义:logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数第二，根据定义运算公式：logam^n=nlogam如果a<0,那么这个等式两边就不会成立4^就不等于*log4;一个等于1/16，另一个等于-1/16 对数函数的性质:
①定义域：.
②值域：R.
③过点，即当x=1时，y=0.
④当a>1时，在上是增函数;当0
xx为大家提供的苏教版高一数学指数函数知识点：上册大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。
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