计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结

计数原理

一、知识精讲

1、分类计数原理：

2、分步计数原理：

特别注意:两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。

不同点：如果完成一件事情共有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类）

如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后，相互依存，缺一不可。

3、排列

(1)排列定义,排列数

(2)排列数公式:

(3)全排列列:

4.组合

5. (1)组合的定义,排列与组合的区别;

6. (2)组合数公式:

(3)组合数的性质

(4)二、.典例解析

(5) 题型1:计数原理

(6)例1.完成下列选择题与填空题

(7) (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。

(8)

(9) (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( )

(10)

(11) (3)有四位学生参加三项不同的竞赛,

(12) ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有;

(13) ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;

(14)

③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。

(15)例2（1）如图为一电路图，从A 到B 共有 条不同的线路可通电。

例3: 把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法若分割成4块扇形呢

例4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答)

例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，问共有多少种不同的取法

例6、（1）电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果

（2）三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是

D

A

题型2:排列、组合问题处理策略

一.元素个数较少的排列组合问题枚举法:

1、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法

2、学号为1、2、

3、4的学生坐到编号为1、2、3、4的四张凳子上，要求学生的学号与其所坐的凳子编号不同，问有多少种不同的坐法

二、特殊元素和特殊位置优先策略

3、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

4、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有( ）

5、A．120种B．96种C．78种D．72种

6、

三、相邻捆绑、不相邻插空

5、（1）7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法

（2）7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法

6、马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种

7、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为

8、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出

场顺序有多少种

四、不尽相异元素、定序问题倍缩法

9、（1）7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

（2）10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法

（3）由4个A和3个B可以组成多少个7位字符信息

五、分排问题“直排法”

10、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种

11、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法

六、重排问题方幂策略（住店、投邮、影射）

12、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

13、某8层大楼从一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,则他们下电梯的方法有多少种

七.构造模型的策略

14、10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法

15、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解

八、排列组合混合问题先选后排策略

16、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

17、一个班有6名战士,其中正副班长各1人，现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________ 种

九、.正难则反总体淘汰策略

18、我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种

十、无编号平均分组问题除法策略

19、6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法